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LIGOURAS Panagiote
I.I.S. “Leonardo da Vinci – Galileo Galilei” Noci (BA)
Matematica e Informatica
ESAME DI STATOMatematica Liceo Scientifico
Limit i , As intot i , ContinuitàI ta l ia , Europa e Amer iche – anni 2011 -2015
Panagiote LIGOURAS 02 / ++ Versione 2016-01
Limiti, Asintoti, Continuità
Limiti notevoli
𝐥𝐢𝐦𝒙→𝟎
𝒔𝒊𝒏 𝒙
𝒙= 𝟏
𝐥𝐢𝐦𝒙→𝟎
𝒍𝒏 𝟏 + 𝒙
𝒙= 𝟏𝐥𝐢𝐦
𝒙→𝟎
𝟏 − 𝒄𝒐𝒔 𝒙
𝒙= 𝟎
𝐥𝐢𝐦𝒙→𝟎
𝟏 − 𝒄𝒐𝒔 𝒙
𝒙𝟐 =𝟏
𝟐
𝐥𝐢𝐦𝒙→±∞
𝟏 +𝟏
𝒙
𝒙
= 𝒆
𝐥𝐢𝐦𝒙→𝟎
𝒆𝒙 − 𝟏
𝒙= 𝟏
𝐥𝐢𝐦𝒙→𝟎
𝟏 + 𝒙 𝒌 − 𝟏
𝒙= 𝒌
𝐥𝐢𝐦𝒙→𝟎
𝒂𝒙 − 𝟏
𝒙= 𝒍𝒏 𝒂
Panagiote LIGOURAS 03 / ++ Versione 2016-01
Limiti, Asintoti, Continuità – Quesito n.6 – Italia – 2011
Il limite in questione è quello che conduce alla derivata di tg x in x = a, quindi vale:
Il calcolo diretto può essere effettuato utilizzando la regola di de L’Hôpital
dopo aver verificato che sono valide le condizioni. Infatti, il limite si presenta nella forma 0/0, numeratore e denominatore sono continue e derivabili in un intorno di x = a e in tale intorno la derivata del denominatore non si annulla.
Il limite non ha senso se 𝑎 =𝜋
2+ 𝑘𝜋
Panagiote LIGOURAS 04 / ++ Versione 2016-01
Limiti, Asintoti, Continuità – Quesito n.2 – Italia supp. – 2011
Si ha una discontinuità di prima specie con salto 1.
Il grafico della funzione è:
lim𝑥→0−
1
𝑒1𝑥 − 1
2 =
=1
𝑒10− − 1
2 =1
𝑒−∞ − 1 2=
1
0+ − 1 2= 𝟏
Analogamente𝑙𝑖𝑚𝑥→0+
1
𝑒1𝑥 − 1
2 = 𝟎
Panagiote LIGOURAS 05 / ++ Versione 2016-01
Limiti, Asintoti, Continuità – Quesito n.9 – Italia supp. – 2011
lim𝑥→0
𝑠𝑖𝑛 𝑥
𝑥= 1
lim𝑥→0
𝑒𝑥 − 1
𝑥= 1
Sono noti i seguenti limiti notevoli:
= lim𝑦→0
𝑒𝑦 − 1
𝑦∙ lim𝑥→0
𝑥
𝑠𝑖𝑛 𝑥
2
=
= lim𝑦→0
𝑒𝑦 − 1
𝑦∙ lim
𝑥→0
𝑥
𝑠𝑖𝑛 𝑥
2
=
Posto:
𝑦 = 𝑥3
Panagiote LIGOURAS 06 / ++ Versione 2016-01
Limiti, Asintoti, Continuità – Quesito n.2 – Italia str. – 2011
lim𝑥→0+
1
𝑥−
1
𝑡𝑎𝑛 𝑥= lim
𝑥→0+
1
𝑥− lim
𝑥→0+
1
𝑡𝑎𝑛 𝑥=
1
0+−
1
0+= ∞−∞
lim𝑥→0+
1
𝑥−
1
𝑡𝑎𝑛 𝑥= lim
𝑥→0+
1
𝑥−𝑐𝑜𝑠 𝑥
𝑠𝑖𝑛 𝑥= lim
𝑥→0+
𝑠𝑖𝑛 𝑥 − 𝑥𝑐𝑜𝑠 𝑥
𝑥𝑠𝑖𝑛 𝑥= ⋯ =
0
0
Le funzioni al numeratore e al denominatore sono continue e derivabili.
Studiamo la derivata del denominatore xsin(x):
𝑥𝑠𝑖𝑛 𝑥 ′ = 𝑥 ′𝑠𝑖𝑛 𝑥 + 𝑥 𝑠𝑖𝑛 𝑥 ′ = 𝑠𝑖𝑛 𝑥 + 𝑥𝑐𝑜𝑠 𝑥
essa è diversa da zero in ogni intorno di zero più. Applichiamo la regola di de L’Hȏpital:
lim𝑥→0+
1
𝑥−
1
𝑡𝑎𝑛 𝑥= lim
𝑥→0+
𝑠𝑖𝑛 𝑥 − 𝑥𝑐𝑜𝑠 𝑥
𝑥𝑠𝑖𝑛 𝑥= lim
𝑥→0+
𝑠𝑖𝑛 𝑥 − 𝑥𝑐𝑜𝑠 𝑥 ′
𝑥𝑠𝑖𝑛 𝑥 ′=
= lim𝑥→0+
𝑐𝑜𝑠 𝑥 − 𝑐𝑜𝑠 𝑥 − 𝑥𝑠𝑖𝑛 𝑥
𝑠𝑖𝑛 𝑥 + 𝑥𝑐𝑜𝑠 𝑥= lim
𝑥→0+
𝑥𝑠𝑖𝑛 𝑥
𝑠𝑖𝑛 𝑥 + 𝑥𝑐𝑜𝑠 𝑥= lim
𝑥→0+
𝑥𝑠𝑖𝑛 𝑥
𝑥𝑠𝑖𝑛 𝑥
𝑥+𝑥𝑐𝑜𝑠 𝑥
𝑥
=
= lim𝑥→0+
𝑠𝑖𝑛 𝑥
𝑠𝑖𝑛 𝑥𝑥
+ 𝑐𝑜𝑠 𝑥= ⋯ =
0
1 + 1= 0
lim𝑥→0
𝑠𝑖𝑛 𝑥
𝑥= 1
È noto il seguente limite notevole:
Panagiote LIGOURAS 07 / ++ Versione 2016-01
Limiti, Asintoti, Continuità – Quesito n.2 – Americhe – 2012
lim𝑥→0+
31𝑥 − 2 ∙ 3
2𝑥
32−𝑥𝑥
= lim𝑥→0+
31𝑥 − 2 ∙ 3
2𝑥
32𝑥−
𝑥𝑥
= lim𝑥→0+
31𝑥 − 2 ∙ 3
2𝑥
32𝑥 ∙ 3−1
=
= 3 ∙ lim𝑥→0+
31𝑥 − 2 ∙ 3
2𝑥
32𝑥
= 3 ∙ 𝑙𝑖𝑚𝑥→0+
31𝑥
32𝑥
− 232𝑥
32𝑥
= 3 ∙ lim𝑥→0+
1
31𝑥
− 2 =
= 3 ∙1
+∞− 2 = 3 ∙ 0+ − 2 = −6
Panagiote LIGOURAS 08 / ++ Versione 2016-01
Limiti, Asintoti, Continuità – Quesito n.6 – Europa – 2012
lim𝑥→0
𝑠𝑖𝑛 3𝑥𝑐𝑜𝑠 3𝑥
+ 3𝑥
𝑠𝑖𝑛 5𝑥= lim
𝑥→0
3𝑥𝑐𝑜𝑠 3𝑥
∙𝑠𝑖𝑛 3𝑥
3𝑥+ 3𝑥
𝑠𝑖𝑛 5𝑥5𝑥5𝑥
=
= lim𝑥→0
3𝑥1
𝑐𝑜𝑠 3𝑥∙𝑠𝑖𝑛 3𝑥
3𝑥+ 1
𝑠𝑖𝑛 5𝑥5𝑥
∙ 5𝑥=
3
5∙ lim𝑥→0
1𝑐𝑜𝑠 3𝑥
∙𝑠𝑖𝑛 3𝑥
3𝑥+ 1
𝑠𝑖𝑛 5𝑥5𝑥
=
=3
5∙lim3𝑥→0
1𝑐𝑜𝑠 3𝑥
∙ lim3𝑥→0
𝑠𝑖𝑛 3𝑥3𝑥
+ 1
lim5𝑥→0
𝑠𝑖𝑛 5𝑥5𝑥
=3
5∙lim3𝑥→0
1𝑐𝑜𝑠 3𝑥
∙ 1 + 1
1=
=3
5∙
1𝑐𝑜𝑠 0
∙ 1 + 1
1=
3
5∙1 ∙ 1 + 1
1=
6
5
lim𝑥→0
𝑠𝑖𝑛 𝑥
𝑥= 1
È noto il seguente limite notevole:
Panagiote LIGOURAS 09 / ++ Versione 2016-01
Limiti, Asintoti, Continuità – Quesito n.1 – Italia pni – 2012
𝐥𝐢𝐦𝒙→𝟎+
𝟐𝟑𝒙 − 𝟑𝟒𝒙
𝒙𝟐= 𝑙𝑖𝑚
𝑥→0+
8𝑥 − 81𝑥
𝑥2= 𝑙𝑖𝑚
𝑥→0+
81𝑥 881
𝑥
− 1
𝑥2=
È noto il seguente limite notevole:
lim𝑥→0
𝑎𝑥 − 1
𝑥= 𝑙𝑛 𝑎
= lim𝑥→0+
81𝑥
𝑥∙ lim𝑥→0+
881
𝑥
− 1
𝑥=
= lim𝑥→0+
81𝑥
𝑥∙ ln
8
81=
=810
+
0+∙ ln
8
81=
1
0+∙ ln
8
81=
= +∞ ∙ ln8
81= −∞
Panagiote LIGOURAS 10 / ++ Versione 2016-01
Limiti, Asintoti, Continuità – Quesito n.2 – Italia str. – 2012
𝒍𝒊𝒎𝒙→𝟎
𝟏
𝟏 − 𝒄𝒐𝒔 𝒙−
𝟐
𝒙𝟐= 𝑙𝑖𝑚
𝑥→0
𝑥2 − 2 1 − 𝑐𝑜𝑠 𝑥
𝑥2 1 − 𝑐𝑜𝑠 𝑥= ⋯ =
0
0=
limite notevole:
= 𝑙𝑖𝑚𝑥→0
𝐷 𝑥2 − 2 1 − 𝑐𝑜𝑠 𝑥
𝐷 𝑥2 1 − 𝑐𝑜𝑠 𝑥= 𝑙𝑖𝑚
𝑥→0
2𝑥 − 2𝑠𝑖𝑛 𝑥
2𝑥 1 − 𝑐𝑜𝑠 𝑥 + 𝑥2𝑠𝑖𝑛 𝑥= ⋯ =
0
0=
In un intorno di 0 le due funzioni sono continue e derivabili.
𝐷 𝑥2 1 − 𝑐𝑜𝑠 𝑥 = 2𝑥 1 − 𝑐𝑜𝑠 𝑥 + 𝑥2𝑠𝑖𝑛 𝑥 non si annulla in un intorno di 0. Applichiamo il teorema di De l’Hopital:
Il limite dato si presenta nella forma indeterminata 𝟎
𝟎.
= 𝑙𝑖𝑚𝑥→0
𝐷 2𝑥 − 2𝑠𝑖𝑛 𝑥
𝐷 2𝑥 1 − 𝑐𝑜𝑠 𝑥 + 𝑥2𝑠𝑖𝑛 𝑥= 𝑙𝑖𝑚
𝑥→0
2 − 2𝑐𝑜𝑠 𝑥
2 1 − 𝑐𝑜𝑠 𝑥 + 4𝑥𝑠𝑖𝑛 𝑥 + 𝑥2𝑐𝑜𝑠 𝑥= ⋯ =
0
0=
= 𝑙𝑖𝑚𝑥→0
2 − 2𝑐𝑜𝑠 𝑥
2 1 − 𝑐𝑜𝑠 𝑥 + 4𝑥𝑠𝑖𝑛 𝑥 + 𝑥2𝑐𝑜𝑠 𝑥= 𝑙𝑖𝑚
𝑥→0
21 − 𝑐𝑜𝑠 𝑥1 − 𝑐𝑜𝑠 𝑥
21 − 𝑐𝑜𝑠 𝑥1 − 𝑐𝑜𝑠 𝑥
+ 4𝑥𝑠𝑖𝑛 𝑥
1 − 𝑐𝑜𝑠 𝑥+ 𝑥2 𝑐𝑜𝑠 𝑥
1 − 𝑐𝑜𝑠 𝑥
=
= 𝑙𝑖𝑚𝑥→0
2
2 + 4𝑥𝑠𝑖𝑛 𝑥
1 − 𝑐𝑜𝑠 𝑥+ 𝑥2 𝑐𝑜𝑠 𝑥
1 − 𝑐𝑜𝑠 𝑥
=
= 𝑙𝑖𝑚𝑥→0
2
2 + 4𝑥𝑠𝑖𝑛 𝑥
2𝑠𝑖𝑛2 𝑥2
+ 𝑥2 𝑐𝑜𝑠 𝑥
2𝑠𝑖𝑛2 𝑥2
== 𝑙𝑖𝑚𝑥→0
1
1 + 4
𝑠𝑖𝑛 𝑥𝑥
𝑠𝑖𝑛𝑥2
𝑥2
2 + 𝑐𝑜𝑠 𝑥
𝑥2
𝑠𝑖𝑛𝑥2
2 =
La derivata del denominatore:
= ⋯ =1
1 + 411 2 + 1 ∙ 1 2
=𝟏
𝟔
lim𝑥→0
𝑠𝑖𝑛 𝑥
𝑥= 1
𝑠𝑖𝑛𝑥
2= ±
1 − 𝑐𝑜𝑠 𝑥
2
Panagiote LIGOURAS 11 / ++ Versione 2016-01
Limiti, Asintoti, Continuità – Quesito n.9 – Italia Com. – 2013
𝐥𝐢𝐦𝒙→𝟎
𝟒𝒔𝒊𝒏 𝒙 𝒄𝒐𝒔 𝒙 − 𝒔𝒊𝒏 𝒙
𝒙𝟐= 4 ∙ lim
𝑥→0
𝑠𝑖𝑛 𝑥 𝑐𝑜𝑠 𝑥 − 1
𝑥2=
È noto il seguente limite notevole:
= 4 ∙ lim𝑥→0
𝑠𝑖𝑛 𝑥 ∙ lim𝑥→0
𝑐𝑜𝑠 𝑥 − 1
𝑥2=
= −4 ∙ lim𝑥→0
𝑠𝑖𝑛 𝑥 ∙ lim𝑥→0
1 − 𝑐𝑜𝑠 𝑥
𝑥2=
𝐥𝐢𝐦𝒙→𝟎
𝟏 − 𝒄𝒐𝒔 𝒙
𝒙𝟐=
𝟏
𝟐
= −4 ∙ lim𝑥→0
𝑠𝑖𝑛 𝑥 ∙1
2=
= −4 ∙ 𝑠𝑖𝑛 0 ∙1
2=
= −4 ∙ 0 ∙1
2= 0
Panagiote LIGOURAS 12 / ++ Versione 2016-01
Limiti, Asintoti, Continuità – Quesito n.2 – Italia str. – 2013
𝑙𝑖𝑚𝒙→𝟎
𝟏 + 𝒙𝟐
𝟏
𝒔𝒊𝒏 𝒙𝟐
= 𝑙𝑖𝑚𝑥→0
1 + 𝑥2𝑙𝑖𝑚𝑥→0
1
𝑠𝑖𝑛 𝑥2
= Sono noti i seguenti limiti notevoli:
Il limite si presenta nella forma indeterminata 1∞.
= 1 + 010 == 1+∞
𝑙𝑖𝑚𝒙→𝟎
𝟏 + 𝒙𝟐
𝟏
𝒔𝒊𝒏 𝒙𝟐
= 𝑙𝑖𝑚𝑥→0
1 + 𝑥2
1
𝑠𝑖𝑛 𝑥2∙𝑥2
𝑥2
=
= 𝑙𝑖𝑚𝑥→0
1 + 𝑥2
𝑥2
𝑠𝑖𝑛 𝑥2∙
1𝑥2
= 𝑙𝑖𝑚𝑥→0
1 + 𝑥21𝑥2
𝑥𝑠𝑖𝑛 𝑥
2
=
Posto 𝑦 =1
𝑥2
Se 𝑥 → 0 allora 𝑦 → +∞
= lim𝑥→0
1 + 𝑥21𝑥2
lim𝑥→0
𝑥𝑠𝑖𝑛 𝑥
2
== lim𝑥→0
1 + 𝑥21𝑥2
1 2
=
lim𝑥→0
𝑠𝑖𝑛 𝑥
𝑥= 1
lim𝑥→±∞
1 +1
𝑥
𝑥
= 𝑒
= lim𝑥→0
1 + 𝑥21𝑥2 = lim
𝑦→+∞1 +
1
𝑦
𝑦
= 𝒆
Panagiote LIGOURAS 13 / ++ Versione 2016-01
Limiti, Asintoti, Continuità – Quesito n.1 – Americhe – 2014
𝑙𝑖𝑚𝒙→𝟏
𝒙 − 𝟏
ln 𝑥2=
𝑙𝑖𝑚𝑥→1
𝑥 − 1
𝑙𝑛 𝑙𝑖𝑚𝑥→1
𝑥2=
1 − 1
𝑙𝑛 12=
0
0
È noto il seguente limite notevole:
Il limite dato si presenta nella forma indeterminata 0
0.
𝑙𝑖𝑚𝒙→𝟏
𝒙 − 𝟏
ln 𝑥2= 𝑙𝑖𝑚
𝑥→1
𝑥 − 1 ∙ 𝑥 + 1
𝑙𝑛 𝑥2 ∙ 𝑥 + 1=
= 𝑙𝑖𝑚𝑥→1
𝑥 − 1
𝑙𝑛 𝑥2 ∙ 𝑥 + 1= = 𝑙𝑖𝑚
𝑥→1
𝑥 − 1 ∙ 𝑥 + 1
𝑙𝑛 𝑥2 ∙ 𝑥 + 1 ∙ 𝑥 + 1== 𝑙𝑖𝑚
𝑥→1
𝑥2 − 1
𝑙𝑛 𝑥2 ∙ 𝑥 + 1 ∙ 𝑥 + 1=
= 𝑙𝑖𝑚𝑥→1
𝑥2 − 1
𝑙𝑛 𝑥2∙ 𝑙𝑖𝑚𝑥→1
1
𝑥 + 1 ∙ 𝑥 + 1=
=1
4∙ 𝑙𝑖𝑚𝑥→1
𝑥2 − 1
𝑙𝑛 1 + 𝑥2 − 1=
= 𝑙𝑖𝑚𝑥→1
𝑥2 − 1
𝑙𝑛 𝑥2∙1
4=
𝐥𝐢𝐦𝒙→𝟎
𝒍𝒏 𝟏 + 𝒙
𝒙= 𝟏
Posto 𝑦 = 𝑥2 − 1
Se 𝑥 → 1 allora 𝑦 → 0
=1
4∙ 𝑙𝑖𝑚𝑦→0
𝑦
𝑙𝑛 1 + 𝑦==
1
4∙ 1 =
𝟏
𝟒
Panagiote LIGOURAS 14 / ++ Versione 2016-01
Limiti, Asintoti, Continuità – Quesito n.2 – Europa – 2014
𝑙𝑖𝑚𝒙→𝟎+
ln 𝑠𝑖𝑛 3𝑥
ln 𝑠𝑖𝑛 𝑥=
𝑙𝑛 𝑙𝑖𝑚𝑥→0+
𝑠𝑖𝑛 3𝑥
𝑙𝑛 𝑙𝑖𝑚𝑥→0+
𝑠𝑖𝑛 𝑥=
𝑙𝑛 𝑠𝑖𝑛 0+
𝑙𝑛 𝑠𝑖𝑛 0+=
𝑙𝑛 0+
𝑙𝑛 0+=
∞
∞
Il limite dato si presenta nella forma indeterminata ∞
∞. Poniamo 𝑓 𝑥 = 𝑙𝑛 𝑠𝑖𝑛 3𝑥 e 𝑔 𝑥 = 𝑙𝑛 𝑠𝑖𝑛 𝑥
In un intorno destro di 0 le due funzioni sono continue e derivabili;
valutiamo la derivata del denominatore: 𝑔′ 𝑥 =𝐷 𝑠𝑖𝑛 𝑥
𝑠𝑖𝑛 𝑥=
𝑐𝑜𝑠 𝑥
𝑠𝑖𝑛 𝑥non si annulla in un intorno destro di 0.
Possiamo quindi applica la regola di de L’Hospital. 𝑓′ 𝑥 =𝐷 𝑠𝑖𝑛 3𝑥
𝑠𝑖𝑛 3𝑥=
3𝑐𝑜𝑠 3𝑥
𝑠𝑖𝑛 3𝑥
𝑙𝑖𝑚𝒙→𝟎+
ln 𝑠𝑖𝑛 3𝑥
ln 𝑠𝑖𝑛 𝑥= 𝑙𝑖𝑚
𝑥→0+
𝑓′ 𝑥
𝑔′ 𝑥= 𝑙𝑖𝑚
𝑥→0+
3𝑐𝑜𝑠 3𝑥𝑠𝑖𝑛 3𝑥𝑐𝑜𝑠 𝑥𝑠𝑖𝑛 𝑥
=
Calcoliamo
= 𝑙𝑖𝑚𝑥→0+
3𝑐𝑜𝑠 3𝑥
𝑠𝑖𝑛 3𝑥∙𝑠𝑖𝑛 𝑥
𝑐𝑜𝑠 𝑥=
lim𝑥→0
𝑠𝑖𝑛 𝑥
𝑥= 1
È noto il seguente limite notevole:
= 𝑙𝑖𝑚𝑥→0+
3𝑐𝑜𝑠 3𝑥
𝑠𝑖𝑛 3𝑥∙𝑠𝑖𝑛 𝑥
𝑐𝑜𝑠 𝑥∙𝑥
𝑥= 𝑙𝑖𝑚
𝑥→0+
3𝑥
𝑠𝑖𝑛 3𝑥∙𝑠𝑖𝑛 𝑥
𝑥∙𝑐𝑜𝑠 3𝑥
𝑐𝑜𝑠 𝑥= 1 ∙ 1 ∙ 1 = 𝟏
Panagiote LIGOURAS 15 / ++ Versione 2016-01
Limiti, Asintoti, Continuità – Quesito n.2 – Americhe – 2015
𝑙𝑖𝑚𝒙→𝟎−
𝟏
𝟑𝟏𝒙 + 𝟏
=1
3𝑙𝑖𝑚𝑥→0−
1𝑥 + 1
=1
310− + 1
=1
3−∞ + 1=
1
1= 𝟏
La prima funzione è discontinua per x = 0 (Punto escluso dal suo dominio).
Calcoliamo il limite destro ed il limite sinistro per x che tende a zero:
I due limiti sono finiti e diversi, quindi in x = 0 c’è una discontinuità di prima specie, con 𝑠𝑎𝑙𝑡𝑜 = 1 − 0 = 1.
La seconda funzione è discontinua per x = 0.
Calcoliamo il limite destro ed il limite sinistro per x che tende a zero:
I due limiti sono finiti e uguali, quindi in x = 0 c’è una discontinuità di terza specie.
𝑙𝑖𝑚𝒙→𝟎+
𝟏
𝟑𝟏𝒙 + 𝟏
=1
3𝑙𝑖𝑚𝑥→0+
1𝑥 + 1
=1
310+ + 1
=1
3+∞ + 1=
1
+∞= 𝟎
il “prolungamento continuo” della funzione è:
𝑙𝑖𝑚𝒙→𝟎−
𝒙
𝟑𝟏𝒙 + 𝟏
=lim𝑥→0−
𝑥
3𝑙𝑖𝑚𝑥→0−
1𝑥 + 1
=0−
310− + 1
=0−
3−∞ + 1=
0−
1= 𝟎
𝑙𝑖𝑚𝒙→𝟎+
𝟏
𝟑𝟏𝒙 + 𝟏
=1
3𝑙𝑖𝑚𝑥→0+
1𝑥 + 1
=1
310+ + 1
=1
3+∞ + 1=
1
+∞= 𝟎
𝒇 𝒙 = 𝑓 𝑥 𝑠𝑒 𝑥 ≠ 00 𝑠𝑒 𝑥 = 0
Panagiote LIGOURAS 16 / 16 Versione 2016.01
Grazie!!!
A l b e r o b e l l o
2 0 1 6
Questa presentazione è disponibile anche all’indirizzo:http://www.slideshare.net/panagioteligouras/
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ESAME DI STATO
Matematica