Click here to load reader
Upload
arin-ayundhita
View
15.639
Download
19
Embed Size (px)
DESCRIPTION
materi pada matakuliah metode numerik. mengenai interpolasi
Citation preview
INTERPOLASI LINEAR DAN KUADRATIK
Disusun guna memenuhi tugas kelompok mata kuliah Metode Numerik
Dosen Pengampu: Dr. Rochmad, M. Si
Disusun oleh:
1. Nur Fitri Amalia (4101410016)
2. Arin Ayundhita (4101410042)
3. Desfi meliasari (4101410044)
4. Latifah Darojat (4101410052)
5. Laurensia Dhika M (4101410063)
6. Cintya Hesriana P (4101410066)
JURUSAN MATEMATIKAFAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
UNIVERSITAS NEGERI SEMARANG2012
BAB I
PENDAHULUAN
A. Latar Belakang
Di dalam pengertian matematika dasar, interpolasi adalah perkiraan suatu nilai
tengah dari suatu set nilai yang diketahui. Interpolasi dengan pengertian yang lebih
luas merupakan upaya mendefinisikan suatu fungsi dekatan suatu fungsi analitik yang
tidak diketahui atau pengganti fungsi rumit yang tak mungkin diperoleh persamaan
analitiknya. Masalah umum interpolasi adalah menjabarkan data untuk fungsi
dekatan, dan salah satu metode penyelesaiannya dinamakan Metoda prinsip
Substitusi. Dalam mata kuliah metode numerik ada materi Interpolasi linear dan kuadratik.
Materi ini dapat diaplikasikan dalam kehidupan sehari-hari.
Apabila y=f (x ) adalah suatu fungsi dengan nilai-nilai :
y0 untuk x0
y1untuk x1
y2 untuk x2
. .
. .
. .
yn untuk xn
y0 y1 y2 y3 y4 yn
x0 x1 x2 x3 x4 xn
Dan jika Φ ( x ) adalah fungsi sederhana sembarang sedemikian rupa sehingga
untuk variable x0 , x i , ……, xn memberikan nilai yang hampir sama dengan f (x), maka
bila f (x) digantikan oleh Φ (x) pada interval yang diketahui, hal ini disebut proses
interpolasi dan fungsi Φ (x) adalah rumus interpolasi untuk fungsi.
Fungsi Φ (x) dapat dinyatakan dalam berbagai bentuk persamaan. Apabila Φ (x)
dinyatakan sebagai fungsi polinomial P(x ), proses disebut interpolasi polinomial atau
parabolik, sedangkan bila Φ (x) dinyatakan dalam persamaan fungsi trigonometri,
proses disebut interpolasi trigonometri. Bila Φ (x) dinyatakan dalam fungsi
eksponensial, polynomial Legendre atau fungsi Bessel atau bentuk fungsi spesifik
lainnya, maka pemilihan bentuk fungsi tersebut didasarkan pada anggapan atau
perilaku data yang dianggap cenderung mempunyai pola fungsi-fungsi tersebut.
B. Permasalahan
Berdasarkan latar belakang tersebut, kami menyelesaikan masalah interpolasi
linear dan kuadratik pada metode numerik dengan menggunakan perhitungan manual
dan menggunakan bahasa pemrograman Visual Basic.
1. Bagaimana menyelesaikan masalah interpolasi linear dan kuadratik pada metode
numerik dengan menggunakan perhitungan manual?
2. Bagaimana menyelesaikan masalah interpolasi linear dan kuadratik pada metode
numerik dengan menggunakan bahasa pemrograman Visual Basic?
C. Tujuan
Tujuan pembuatan makalah ini adalah sebagai berikut:
1. Pemahaman penerapan metode numerik dalam cara kerja matematika untuk
menyelesaikan permasalahan matematis atau perhitungan.
2. Menyelesaiakan masalah interpolasi linear dan kuadratik dengan menggunakan
bahasa pemrograman pascal.
Y
X
(x0,y0)
(xn,yn)(x1,y1)
(x2,y2)
(x3,y3)
(a,pn(a))
(xn-1,yn-1)
(a,pn(a))
x = a x = a
BAB II
PEMBAHASAN
A. Persoalan Interpolasi Polinom
Mempelajari berbagai metode interpolasi yang ada untuk menentukan titik-titik
antara dari n buah titik dengan menggunakan suatu fungsi pendekatan tertentu. Diberikan
n + 1 buah titik berbeda, (x0,y0), (x1,y1), . . . , (xn,yn). Tentukan Polinom pn(x) yang
menginterpolasi (melewati) semua titik-tik tersebut sedemikian rupa sehingga yi = pn(x)
untuk i – 0, 1, 2, . . . ,n.
Nilai yi dapat berasal dari fungsi matematika f(x) (seperti ln x, sin x, fungsi Bessel
dan sebagainya) sedemikian sehingga yi = f(x). Atau yi berasal dari nilai empiris yang
diperoleh melalui percobaan atau pengamatan.
Gambar 2.1 Interpolasi dan Ekstrapolasi
Setelah polinom interpolasi pn(x) ditemukan, pn(x) dapat digunakan untuk
menghitung perkiraan nilai y di x = a, yaitu y = pn(a). Bergantung pada letaknya, nilai
x=amungkin terletak dalam rentang titik-titik data (x0 < a < xn) atau di luar rentang titik-
titik data (a < x0 atau a>xn):
(i) Jika (x0 < a < xn) maka yk = p(a) disebut nilai interpolasi (interpoluted value)
(ii) Jika data (a < x0 atau a>xn) maka yk = p(xk) disebut nilai ekstrapolasi
(extrapolated value)
Y
X
(x0,y0)
(x1,y1)
Y
X
(x0,y0)
(x1,y1)
B. Interpolasi Linear
Interpolasi linear atau interpolasi lanjar adalah interpolasi dua buah titik dengan sebuah
garis lurus. Misal diberikan dua buah titik, (x0,y0) dan (x1,y1). Polinom yang
menginterpolasi kedua titik itu adalah persamaan garis lurus yang berbentuk:
P1(x) = a0 + a1x
Gambar 2.2 dan Gambar 2.3 memperlihatkan garis lurus yang menginterpolasi titik-titik
(x0,y0) dan (x1,y1).
Gambar 2.2 Interpolasi Linear
Gambar 2.3 Interpolasi Linear
Koefisien a0 dan a1 dicari dengan proses substitusi dan eliminasi. Dengan
mensubstitusikan (x0 , y0) dan (x1 , y1) ke dalam persamaan p1 (x )=a0+a1 x diperoleh
dua persamaan linear:
y0=a0+a1 x0 . . . . . (1)
y1=a0+a1 x1 . . . . . (2)
Dari dua persamaan diatas, dengan eliminasi diperoleh:
y0− y1=(a0+a1 x0 )−(a¿¿0+a1 x1)¿
y0− y1=a1 x0−a1 x1 ⇔ y0− y1=a1(x¿¿0−x1)¿
⇔ a1=y0− y1
x0−x1
Substitusikan nilai a1 ke dalam persamaan (1), diperoleh:
y0=a0+a1 x0 ⇔ y0=a0+(y0− y1
x0−x1
) x0
⇔ y0=a0+x0 y0−x0 y1
x0−x1
⇔ y0=a0+x0 y0−x0 y1
x0−x1
⇔ a0= y0−x0 y0−x0 y1
x0−x1
⇔a0=y0(x0−x1)−x0 y0+ x0 y1
x0−x1
⇔ a0=x0 y0−x1 y0−x0 y0+x0 y1
x0−x1
⇔ a0=x0 y1−x1 y0
x0−x1
Dengan melakukan manipulasi aljabar untuk menentukan nilai p1 (x )dapat dilakukan
sebagai berikut:
p1 (x )=a0+a1 x
Y
X
P1(x0,y0)
P2 (x1,y1)
(x,y)
p1 (x )=x1 y0−x0 y1
x1−x0
+y1 – y0
x1−x0
x
p1 (x )=x1 y0−x0 y1+xy1 – x y0
x1−x0
p1 (x )=x1 y0−x0 y1+xy1 – x y0+(x0 y0−x0 y0)
x1−x0
p1 (x )=x1 y0−x0 y 0−x0 y1+xy1 – x y0+x0 y0
x1−x0
p1 (x )= y0 ( x1−x0 )+ y1¿¿
p1 (x )= y0 ( x1−x0 )+( y¿¿1− y0)¿¿¿
p1 (x )= y0+( y¿¿1− y0)¿¿¿
Dalam menentukan persamaan dari interpolasi linear juga dapat dilakukan melalui cara
berikut:
Menentukan titik-titik antara dari 2 buah titik dengan menggunakan garis lurus.
Gambar 2.4 Interpolasi Linear
Persamaan garis lurus yang melalui 2 titik P1 (x0,y0) dan P2 (x1,y1) dapat dituliskan
dengan:
y− y0
y1− y0
=x−x0
x1−x0
Sehingga diperoleh persamaan dari interpolasi linear sebagai berikut:
y=y1− y0
x1−x0( x−x0 )+ y0
C. Algoritma dan Diagram Alir Interpolasi Linear
a. Algoritma Interpolasi Linear
1. Tentukan nilai x0 , y0 , x1 , dan y1 .
2. Periksa apakah x0=x1. Jika ya, maka kembali ke langkah 1 sebab nilai fungsinya
tidak terdefinisi dalam kondisi ini. Jika tidak, maka dilanjutkan ke langkah 3.
3. Masukkan nilai x.
4. Periksa apakah min {x0 , x1 }≤ x ≤ max {x0 , x1 }. Jika tidak, maka masukkan nilai x
yang lain. Jika ya, maka dilanjutkan langkah 5.
5. Hitung P= y0+(x−x0)y1− y0
x1−x0.
6. Periksa apakah y0= y1. Karena jika sama, maka akan diperoleh P= y0.
7. Tulis hasil y=P.
Ya
Tidak
Tidak
Ya
Ya Tidak
MULAI
Input
Input
Tulis hasilTulis hasil
SELESAI
b. Diagram alir interpolasi linear
D. Contoh Soal
1. Perkirakan atau prediksi jumlah penduduk Gunungpati pada tahun 2005 berdasarkan
data tabulasi berikut:
Tahun 2000 2010
Jumlah Penduduk 179.300 203.200
Penyelesaian:
Dipunyai: x0 = 2000, x1 = 2010, y0 = 179.300, y1 = 203.200.
Ditanya: Prediksi jumlah penduduk Gunungpati pada tahun 2005.
Ingat :
p1 (x )= y0+( y¿¿1− y0)¿¿¿
Misalkan x=2005
p1 (2005 )=179.300+(203.200−179.300)¿¿
p1 (1968 )=191.250
Jadi, diperkirakan jumlah penduduk Gunungpati pada tahun 2005 adalah 191.250
orang.
2. Dari data ln(9.0) = 2.1972, ln(9.5) = 2.2513, tentukan ln(9.2) dengan interpolasi lanjar
sampai 5 angka bena. Bandingkan hasil yang diperoleh dengan nilai sejati
ln(9.2)=2.2192.
Penyelesaian:
Dipunyai:
x0=9.0 , y0=2.1972.
x1=9.5 , y1=2.2513 .
Ditanya : tentukan nilai ln(9.2) sampai 5 angka bena kemudian dibandingkan dengan
nilai sejati ln(9.2) = 2.2192.
Ingat:
p1 (x )= y0+( y¿¿1− y0)¿¿¿
Y
X
x0,y0
x1,y1
x2,y2
x2x1x0
y0
y1
y2
p1 (9.2 )=2.1972+(2.2513−2.1972)¿¿
p1 (9.2 )=2.21884
Galat = nilai sejati ln(9.2) – nilai ln(9.2) hasil perhitungan dengan metode interpolasi
linear
Galat = 2.2192 – 2.21884 = 3,6 x 10-4 .
E. Interpolasi Kuadratik
Misal diberi tiga buah titik data, ( x0 , y0 ) , ( x1 , y1 ) , dan( x2 , y2). Polinom yang
menginterpolasi ketiga buah titik itu adalah polinom kuadrat yang berbentuk:
p2 ( x )=a0+a1 x+a2 x2
Bila digambar, kurva polinom kuadrat berbentu parabola, seperti ditunjukkan dalam
Gambar 2.4 dan Gambar 2.5
Gambar 2.5 Interpolasi kuadratik.
Masih terdapat grafik berbentuk parabola yang lain, selain yang ditunjukkan pada
Gambar 2.5, namun harus diperhatikan bahwa untuk setiap nilai x i akan diperoleh
hanya sebuah nilai y i. Sehingga tidak mungkin kondisi grafiknya seperti Gambar 2.6
di bawah ini atau semacamnya.
Y
X
x0,y0
x1,y1
x2,y2
x2x1x0
y0
y1
y2
Gambar 2.6 Bukan Interpolasi Kuadratik.
Menyelesaikan Polinom p2(x ) ditentukan dengan cara berikut:
1. Substitusikan (x i , y i) ke dalam persamaan p2 ( x )=a0+a1 x i+a2 x i2 dengan i = 0, 1,
2. Diperoleh tiga persamaan dengan tiga buah parameter yang tidak diketahui
yaitu: a0 , a1 , dan a2:
a0+a1 x0+a2 x02= y0
a0+a1 x1+a2 x12= y1
a0+a1 x2+a2 x22= y2
2. Hitung a0 , a1 , dan a2 dari sistem persamaan tersebut dengan metode eliminasi
Gauss.
Selain menggunakan metode eliminasi Gauss, menentukan a0 , a1 , dan a2 dapat
ditentukan dengan cara sebagai berikut:
a) Hitung F01=y i+1− y i
x i+1−x i
, F12=y i+2− y i+1
y i+2− y i+1
, dan F012=F12−F01
x i+2−x i
b) Hitung P= y1+( x−xi ) F01+(x−x i)(x−x i+1) F012
F. Algoritma dan Diagram Alir Interpolasi Kuadratik
a. Algoritma Interpolasi Kuadratik
Untuk interpolasi kuadratik digunakan algoritma sebagai berikut :
1. Tentukan nilai x0 , y0 , x1 , y1 , x2 , dan y2 .
2. Periksa apakah x0<x1<x2. Jika tidak, maka kembali ke langkah 1 sebab nilai
fungsinya tidak terdefinisi dalam kondisi ini. Jika tidak, maka dilanjutkan ke
langkah 3.
3. Masukkan nilai x.
4. Periksa apakah min {x0 , x1 , x2 }≤ x≤ max {x0 , x1 , x2 }. Jika tidak, maka masukkan
nilai x yang lain. Jika ya, maka dilanjutkan langkah 5.
5. Hitung F01=y1− y0
x1−x0
, F12=y2− y1
x2−x1
, dan F012=F12−F01
x2−x0
6. Hitung P= y1+( x−xi ) F01+( x−xi ) (x−x i)F012
7. Periksa apakah F012=0. Jika ya, maka persamaan yang dihasilkan linear. Jika
tidak maka persamaan yang dihasilkan merupakan persamaan kuadrat.
8. Tulis hasil y=P.
Ya
Tidak
Tidak
Ya
Ya Tidak
MULAI
Input
Input
Tulis hasilTulis hasil
Ket: Fungsi linear
SELESAI
b. Diagram Alir Interpolasi Kuadratik
G. Contoh Soal
1. Diberikan titik ln(8.0) = 2.0794, ln(9.0) = 2.1972, dan ln(9.5) = 2.2513. Tentukan
nilai ln(9.2) dengan interpolasi kuadratik.
Penyelesaian:
Dipunyai: x0=8.0 , y0=2.0794
x1=9.0 , y1=2.1972
x2=9.5 , y2=2.2513
Ditanya : Tentukan nilai ln (9.2).
Sistem persamaan yang terbentuk adalah:
a0+8.0 a1+64.00 a2=2.0794
a0+9.0 a1+81.00 a2=2.1972
a0+9.5 a1+90.25 a2=2.2513
Untuk perhitungan secara manual, sistem persamaan diselesaikan dengan metode
eliminasi Gauss dengan langkah sebagai berikut:
Matriks yang terbentuk dari persamaan
a0+8.0 a1+64.00 a2=2.0794
a0+9.0 a1+81.00 a2=2.1972
a0+9.5 a1+90.25 a2=2.2513
adalah:
(11189
9.5
6481
90.25
2.07942.19722.2513) R 21(−1)
R 31(−1)(10081
1.5
6417
26.25
2.07940.11780.1719)
R 12(−8)R 32(−1.5)(100
010
−7217
0.75
1.1370.1178
−0.0048) R 31( 10.75
)(100
010
−72171
1.1370.1178
−0.0064 )R 13(72)
R 23(−17)(100
010
001
0.67620.2266
−0.0064)
Menggunakan metode Eliminasi gauss menghasilkan
a0=0.6762 , a1=0.2266 , a2=−0.0064 .
Polinom kuadratnya adalah: p2 ( x )=a0+a1 x+a2 x2
p2 (9.2 )=0.6762+0.2266 . (9.2 )+−0.0064 .(9.2)2
p2 (9.2 )=2.2192
Untuk perhitungan dengan program, diperoleh hasil sebagai berikut.
2. Dalam suatu eksperimen fisika pergerakan sebuah benda pedat berbentuk
parabola. Dengan data sebagai berikut
t (detik) Y (m)
5 2,01
6,5 2,443
8 2,897
Dengan menggunakan interpolasi kuadratik perkirakan ketinggian bola
pada saat t = 7 detik.
Penyelesaian:
Dipunyai data pergerakan suatu benda padat:
t (detik) Y (m)
5 2,01
6,5 2,443
8 2,897
Dengan menggunakan interpolasi kuasratik akan diprediksi ketinggian bola saat t =
7 detik.
Sistem persamaan lanjar yang terbentuk adalah:
a0+5,0 a1+25,00 a2=2,01
a0+6,5 a1+42,25 a2=2,443
a0+8,0 a1+64,00 a2=2,897
Penyelesaian sistem persamaan dengan menggunakan metode eliminasi Gauss
[1 5 251 6,5 42,251 8 64
2,012,4432,897]R 2 , R1 (−1 )
R 3 , R 1 (−1 ) [1 5 250 1,5 17,250 3 39
2,010,4430,887 ]R 2( 1
1,5 )¿
[1 5 250 1 11,50 3 39
2,010,288670,887 ]R 1, R 2 (−5 )
R 3 , R 2 (−3 )[1 0 −32,50 1 11,51 0 4,5
0,566670,28867
0,021 ]R 3 ( 14,5 )
[1 0 −32,50 1 11,51 0 1
0,566670,288670,00467 ]R 1 , R 3(32,5)
R 2, R 3(11,5)[1 0 00 1 01 0 1
0,717330,235
0,00467 ]Diperoleh : a0=0,71733 , a1=0,235 , a2=0,00467
Sehingga Polinom Kuadratnya adalah:
p2 ( x )=0,71733+0,235 x+0,00467 x2
Sehingga p2 (7 ) = 2,588
Jadi,diprediksi, pada t = 7 detik tinggi bola 2,588 m.