Matematicas ud10

10 Límites de funciones. Continuidad

UD10: LÍMITES Y

CONTINUIDAD

1. LÍMITES

1.1. IDEA INTUITIVA

1.2. LIMITE DE UNA FUNCIÓN

1.3. OPERACIONES

1.4. CÁLCULO DE LÍMITES

INDETERMINACIONES

2. ASÍNTOTAS

2.1. VERTICALES

2.2. HORIZONTALES

2.3. OBLÍCUAS 3. CONTINUIDAD

10 Límites de funciones. Continuidad 1. LÍMITES. 1.1. Idea intuitiva

Vamos a estudiar el comportamiento de la función f(x) = x2 – 2x para valores próximos a x = 4. Para ello, vemos cómo se comporta esta función para valores próximos a 4, pero menores que 4, y para valores próximos a 4, pero mayores que 4.


En la tabla que figura a continuación observamos que, cuando damos a x valores próximos a 4 y superiores a 4, la función f(x) se aproxima o tiende a 8. Decimos que, cuando x tiende a 4 por la derecha, f(x) tiende a 8, y escribimos: x → 4+ ⇒ f(x) → 8

En la tabla siguiente observamos que, cuando damos a x valores próximos a 4 e inferiores a 4, la función f(x) se aproxima o tiende a 8. Decimos que, cuando x tiende a 4 por la izquierda, f(x) tiende a 8, y escribimos: x → 4– ⇒ f(x) → 8


Por todo lo anterior, podemos decir que cuando x tiende a 4, f(x) tiende a 8, y podemos escribir: x → 4 ⇒ f(x) → 8 Cuando nos hemos acercado a la función por la izquierda y derecha hemos obtenido el mismo resultado. Decimos que la función es convergente en x = 4.

10 Límites de funciones. Continuidad 1. LÍMITES. 1.2. Límite de una función. 1.2.1. Límites laterales




10 Límites de funciones. Continuidad 1. LÍMITES. 1.2. Límite de una función. 1.2.2. Existencia de límite

El concepto de límite está íntimamente unido al concepto de convergencia de una función.



¿Hay límite en -2, 0 o en 2?


¿Hay límite en -1, 0 o en 1?

¿Hay límite en -2, 0, 2 o en 3?


EJERCICIO Calcula los límites laterales y determina si existe el límite en las funciones siguientes definidas a trozos, en los puntos en los que se unen dos ramas:

10 Límites de funciones. Continuidad 1. LÍMITES. 1.2. Límite de una función 1.2.3. Límites en el infinito

La idea de límites infinito de una función en el infinito queda recogida en el siguiente esquema: Cuando existe uno de estos cuatro límites, decimos que la función y = f(x) tiene una rama parabólica.

10 Límites de funciones. Continuidad 1. LÍMITES. 1.3. Operaciones con límites

1. Límite de la suma o diferencia de funciones. Es la suma o diferencia de los límites de dichas funciones: 2. Límite del producto de funciones. Es el producto de los límites de esas funciones:


3. Límite del cociente de dos funciones. Es el cociente de los límites de esas funciones, siempre que el límite del denominador no sea nulo: 4. Límite de la función logarítmica. Es el logaritmo del límite de la función, siempre que este límite sea positivo:


5. Límite de una función elevada a otra función. Es el límite de la función de la base, siempre que este sea positivo, elevado al límite de la función del exponente:

10 Límites de funciones. Continuidad 1. LÍMITES. 1.4. Calculo de límites


OPERACIONES CON 0 E INFINITO


EJERCICIO:

Resuelve los siguientes límites:

10 Límites de funciones. Continuidad 1. LÍMITES. 1.4. Calculo de límites. 1.4.1. Indeterminaciones

INDETERMINACIONES La forma más habitual para calcular límites consiste en sustituir el valor al que tiende la x. Sin embargo, hay ocasiones en el que este valor no se puede determinar de manera inmediata. Es el caso de la indeterminaciones.

INDETERMINACIÓN RESOLUCIÓN

Se compara el grado del polinomio numerador y denominador (dividiendo).

Haciendo operaciones con ambas funciones «f(x)-g(x)» y simplificando.

Suelen resolverse operando y simplificando «f(x)·g(x)».

Factorizar los polinomios numerador y denominador y simplificar.

Aplicar la «fórmula» para simplificar el límite según la definición del número e.


FICHA

INDETERMINACIÓN EJERCICIO

6, 7, 8, 25, 28-33, 39

34, 67 - 69, 84,

14, 26, 27, 40, 56, 65, 66, 70 – 74, 97, 98

Sin indeterminación: 1 - 5, 9-13, 15, 16, 19 - 21, 41- 54, 55, 57 – 64,

70, 75, 76, 80 – 83, 85 – 87, 92 – 96, 99, 100.

No hacer: 17, 18, 23, 24, 35 – 38, 77, 78, 88 – 91.


CASO 1 gr[P(x)] > gr[Q(x)]

CASO 2 g[P(x)] = gr[Q(x)]

CASO 3 gr[P(x)] < gr[Q(x)]


CASO 1 gr[P(x)] > gr[Q(x)]


CASO 2 g[P(x)] = gr[Q(x)]


CASO 3 gr[P(x)] < gr[Q(x)]

EJERCICIOS:


EJERCICIOS :


EJERCICIO RESUELTO :

lim𝑥→3

1

𝑥2 − 9−

1

𝑥 − 3

lim𝑥→3

1

𝑥2 − 9−

1

𝑥 − 3= ∞ − ∞ 𝐼𝑛𝑑𝑒𝑡𝑒𝑟𝑚𝑖𝑛𝑎𝑐𝑖ó𝑛

lim𝑥→3

1 − 1 · (𝑥 + 3)

(𝑥 + 3)(𝑥 − 3)= lim

𝑥→3

−𝑥 − 2

(𝑥 + 3)(𝑥 − 3)=

−5

0 𝑉𝑒𝑚𝑜𝑠 𝑙𝑜𝑠 𝑙í𝑚𝑖𝑡𝑒𝑠 𝑙𝑎𝑡𝑒𝑟𝑎𝑙𝑒𝑠

lim𝑥→3−

−𝑥 − 2

(𝑥 + 3)(𝑥 − 3)=

−5−

6− · 0− =−5−

0− = +∞

lim𝑥→3+

−𝑥 − 2

(𝑥 + 3)(𝑥 − 3)=

−5+

6+ · 0+ =−5+

0+ = −∞

𝐶𝑜𝑚𝑜 𝑛𝑜 𝑐𝑜𝑖𝑛𝑐𝑖𝑑𝑒𝑛 𝑙𝑜𝑠 𝑙í𝑚𝑖𝑡𝑒𝑠 𝑙𝑎𝑡𝑒𝑟𝑎𝑙𝑒𝑠 𝑛𝑜 ℎ𝑎𝑦 𝑙í𝑚𝑖𝑡𝑒


EJERCICIO RESUELTO : 𝑓 𝑥 =

−𝑥 − 2

(𝑥 + 3)(𝑥 − 3)


EJERCICIOS:


EJERCICIOS:



EJERCICIOS:

10 Límites de funciones. Continuidad 2. ASÍNTOTAS

Una asíntota es una recta hacia la cual se dirige la gráfica de la función sin llegar a tocarla. Una función puede presentar tres tipos de asíntotas: 1) Asíntota vertical: es una recta de la forma x = x0 que verifica: 2) Asíntota horizontal: es una recta de la forma y = L que verifica:

10 Límites de funciones. Continuidad 2. ASÍNTOTAS

Una asíntota es una recta hacia la cual se dirige la gráfica de la función sin llegar a tocarla. Una función puede presentar tres tipos de asíntotas: 3) Asíntota oblicua: es una recta de la forma y = mx + b que verifica:

10 Límites de funciones. Continuidad 3. CONTINUIDAD

10 Límites de funciones. Continuidad 3. CONTINUIDAD

Una función es discontinua en un punto de abscisa x cuando no es continua en él, es decir, cuando falta alguna de las condiciones de continuidad.

DISCONTINUIDAD

EVITABLE

(existe límite)

INEVITABLE

(no existe límite)

DE SALTO FINITO

DE SALTO INFINITO

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