MATIKKA KERTAUSTA

OSA 1Ajattelun taidot -ilmiö 7.4.-31.5.2014

Susanna PuhakkaOtavan Opiston nettilukio

SISÄLLYSLUETTELO

Kerrataan...1. PERUSTYÖKALUT2. YHTÄLÖT3. FUNKTIOT

Kertaus on opintojen äiti!

1. PERUSTYÖKALUTMitä matematiikan kurssilla tarvitaan?

TAULUKKOKIRJA

● MAOL-taulukkokirja on korvaamaton apuväline matematiikan laskijalle.

● MAOL-taulukkokirjan saa ottaa mukaan sekä tentteihin että yo-kirjoituksiin.

● Huom! Taulukkokirjassa ei saa olla merkintöjä eikä alleviivauksia. Käytä tarvittaessa muistilappuja kirjan välissä, ne saat kätevästi poistettua ennen koetta.

OPISKELIJAN VINKIT LASKIMEN HANKINTAAN● Hanki laskin, jossa on sinulle tarvittavat

toiminnot → funktiolaskin tai graafinen laskin.

● Lyhyessä matematiikassa pärjää mainiosti funktiolaskimella.

● Funktiolaskimia saa yllättävänkin edullisesti (noin. 30 €:lla).

● Graafiset laskimet ovat reilusti kalliimpia.● Graafisella laskimella voi piirtää kuvaajia, ja

siinä on enemmän ominaisuuksia.

CASIO FX-991ES PLUS

● Itse olen mieltynyt Casio FX-991ES Plus funktiolaskimeen, koska siinä○ murtoluvut voi syöttää murtolukumuodossa,○ murtoluvun muuttaminen desimaalimuotoon on

helppoa (S↔D näppäin),○ laskin on selkeä ja

helppokäyttöinen.

MATEMAATTISET MERKIT

● MAOL-taulukkokirjasta (2005) löytyy sivuilta 12-13 mm. seuraavat merkinnät:○ = yhtäsuuri○ ≠ erisuuri kuin○ ≈ likimäärin yhtäsuuri kuin○ ~ verrannollinen (kuviot ovat yhdenmuotoiset)○ < pienempi kuin○ > suurempi kuin○ ≤ pienempi tai yhtäsuuri kuin○ ≥ suurempi tai yhtäsuuri kuin○ ± plus (tai) miinus

MERKKISÄÄNNÖT

● + + → +○ Esim. 2 · 2 = 4

● + - → -○ Esim. 2 · (-2) = -4

● - + → -○ Esim. -3 · 2 = -6

● - - → +○ Esim. -5 · (-5) = 25○ -20 : (-4) = 5○ 5 - (-2) = 5 + 2 = 7

LASKUJÄRJESTYS

Miten edetä matematiikan laskussa?1. laske sulkeiden sisällä olevat laskut2. laske potenssit ja juuret3. laske kerto- ja jakolaskut4. laske yhteen- ja vähennyslaskut

2. YHTÄLÖTMikä ihmeen yhtälö ja miten se ratkaistaan?

YHTÄLÖ

● Kun kaksi lauseketta on merkitty yhtäsuuriksi, on kyse yhtälöstä.

● Yhtälön ratkaisutapa valitaan sen mukaan, millainen yhtälö on kyseessä.

● Yhtälö voi olla joko tosi tai epätosi, identtisesti tosi tai identtisesti epätosi.○ 2 + x = 4 (yhtälö on tosi, jos x = 2)○ 0 + x = x (yhtälö on identtisesti tosi)○ 3 + 2 = 10 (yhtälö on epätosi)○ x - 4 = x (yhtälö on identtisesti epätosi)

KERRATTAVAT YHTÄLÖT

● Ensimmäisen asteen yhtälö○ muuttujan korkein eksponentti on yksi○ Esim. 2 + x = 4

● Vaillinainen toisen asteen yhtälö○ muuttujan korkein eksponentti on 2, yhtälöstä

puuttuu ensimmäisen asteen termi tai vakiotermi○ Esim. 4x2 + 2x = 0

● Täydellinen toisen asteen yhtälö○ yhtälöstä löytyy sekä toisen asteen termi,

ensimmäisen asteen termi että vakiotermi○ Esim. 3x2 + 4x - 7 = 0

SIEVENTÄMINEN

● Yhtälön ratkaisussa hyödynnetään usein sieventämistä eli lausekkeen muuttamista mahdollisimman yksinkertaiseen muotoon.

● Apua sieventämiseen löytyy MAOL-taulukkokirjan kaavoista ja laskusäännöistä.

● Muun muassa binomin neliö (s. 18, MAOL 2005) on hyvä opetella!

BINOMIN NELIÖ

(a + b)2 = a2 + 2ab + b2

(a - b)2 = a2 - 2ab + b2

(2 + x)2 = 4922 + 2 · 2 · x + x2 = 494 + 4x + x2 = 49x2 + 4x + 4 = 49

Nyt meillä on täydellinen toisen asteen yhtälö!

KERRATAAN MERKKISÄÄNNÖT!● Kahdesta peräkkäisestä - merkistä tulee +

merkki:○ 3 - (-1) = 3 + 1

● Kun negatiivinen luku kerrotaan tai jaetaan negatiivisella luvulla, saadaan positiivinen luku:○ -2 · (-2) = 4○ -6 : (-3) = 2

● Kun jokin termi siirretään = merkin toiselle puolelle, sen etumerkki muuttuu:○ 2x + 1 = 7 → 2x = 7 - 1

ENSIMMÄISEN ASTEEN YHTÄLÖN RATKAISU● Ensimmäisen asteen yhtälö ratkaistaan siirtämällä

vakiotermit (luvut) yhtäsuuruusmerkin oikealle puolelle, jolloin vasemmalle puolelle jää tuntematon.

● Vakiotermien siirtämisessä on kyse siitä, että yhtälön molemmilta puolilta joko lisätään tai poistetaan yhtä paljon.○ 3x + 5 = 11○ -5| 3x + 5 = 11 |-5 ○ 3x = 11 - 5 ○ 3x = 6

Jatkuu →

JATKUU...

○ Yhtälön molemmat puolet voidaan myös jakaa tai kertoa!

○ : 3| 3x = 6 |:3 ○ x = 2

● Seuraavalla sivulla yksinkertaisempi tapa merkitä yhtälöön tehtävät muutokset →

3x + 5 = 11

● 3x + 5 = 11Siirretään +5 yhtäsuuruusmerkin oikealle puolelle, jolloin sen etumerkki muuttuu.3x = 11 - 5

● 3x = 6 |: 3Jaetaan yhtälön molemmat puolet x:n kertoimella.

● x = 2

TARKISTUS

Sijoitetaan saatu x:n arvo yhtälöön ja katsotaan, onko yhtälö tosi.

● 3x + 5 = 11 ● 3 · 2 + 5 = 11 ● 6 + 5 = 11 ● 11 = 11Yhtälö on tosi!

Laskinkohan oikein…?

RATKAISU PÄHKINÄNKUORESSA1. Poistetaan sulkeet2. Siirretään termit (muuttujan sisältävät

termit yhtäsuuruusmerkin vasemmalle puolelle, muut oikealle)

3. Yhdistetään samanmuotoiset termit4. Selvitetään tuntemattoman arvo; voidaan

hyödyntää jako-/kertolaskua

ESIMERKKI 25 - x = 2(x + 5)

1. Poistetaan sulkeet:25 - x = 2x + 10

2. Siirretään termit:-x - 2x = 10 - 25

3. Yhdistetään samanmuotoiset termit:-3x = -15

4. Selvitetään tuntemattoman arvo; voidaan hyödyntää jako-/kertolaskua:-3x = -15 |: (-3)x = 5

AIVOAPINA OPETTAA...

Opettele ensimmäisen asteen yhtälöitä Aivoapinan parissa!

VAILLINAINEN TOISEN ASTEEN YHTÄLÖOpetustv:n Lauri johdattaa sinut vaillinaisen toisen asteen yhtälön saloihin!

TÄYDELLINEN TOISEN ASTEEN YHTÄLÖ● Täydellisen toisen asteen yhtälön

normaalimuoto on ax2 + bx + c = 0, a ≠ 0● Tällainen yhtälö ratkaistaan ratkaisukaavalla

● Perehdyttäessä binomin neliöön saatiin täydellinen toisen asteen yhtälö x2 + 4x + 4 = 49 → 1x2 + 4x + 4 = 49→ 1x2 + 4x - 45 = 0

● Yhtälössä toisen asteen termin kerroin a = 1.

YHTÄLÖN x2 + 4x + 4 = 49 RATKAISU

Vastaus: x = 5 tai x = -9

3. FUNKTIOTTutustutaan hieman funktioihin ja niiden kuvaajiin.

FUNKTIO

● Funktiolla tarkoitetaan sääntöä, jolla kuvataan kahden suureen välistä riippuvuutta.

● Funktio nimetään yleensä kirjaimella f, g tai h.

● Funktion muuttuja ilmoitetaan suluissa: f(x).● Huom! f(x) = y● y = funktion arvo, x = muuttuja

KERRATTAVAT FUNKTIOT

● Vakiofunktio○ funktion muoto: f(x) = a○ a on jokin reaaliluku○ funktion kuvaaja on vaakasuora

● Ensimmäisen asteen polynomifunktio○ funktion muoto: f(x) = kx + b○ k ja b ovat reaalilukuja, k ≠ 0○ funktion kuvaaja on suora

● Toisen asteen polynomifunktio○ funktion muoto: f(x) = ax2 + bx + c○ a, b ja c ovat reaalilukuja, a≠0○ funktion kuvaaja on paraabeli

SUORAN PIIRTÄMINEN

1. Suora muutetaan (jos se ei valmiiksi ole) ratkaistuun muotoon: y = kx + b.

2. Ensimmäinen piste koordinaatistoon piirretään suoran ja y-akselin leikkauspisteeseen (0, b).

3. Seuraava piste määräytyy kulmakertoimen (k) mukaan:○ Jos k > 0, suora on nouseva. ○ Jos k < 0, suora on laskeva.

4. Mennään yksi pykälä koordinaatistossa oikealle ja kulmakertoimen verran ylös tai alas, piirretään piste.

5. Toistetaan edellinen kohta.6. Piirretään suora saatujen pisteiden kautta.

ESIMERKKI SUORAN PIIRTÄMISESTÄ

SUORAN YHTÄLÖ JA LEIKKAUSPISTEET● Suoran yhtälön ratkaistu muoto on

y = kx + b, jossa○ k = kulmakerroin○ b = vakiotermi

● Suora leikkaa y-akselinpisteessä (0, b)

● Suora leikkaa x-akselinpisteessä (x, 0)○ x:n arvo saadaan selville

ratkaisemalla suoran yhtälö, jossa y = 0.

y = kx + b → y = 5x + 2

y = 5x + 2

● Ratkaistaan suoran yhtälö:○ 5x + 2 = 0○ 5x = 0 - 2 (luvun 2 etumerkki muuttuu, kun se

siirretään yhtäsuuruusmerkin toiselle puolelle)○ 5x = -2 |: 5 (jaetaan yhtälön molemmat puolet x:n

kertoimella)○ x = -2 : 5○ x = -0,4

● Suora y = 5x + 2 leikkaax-akselin pisteessä(-0,4; 0)

NOLLAKOHTA

● Funktion nollakohdaksi kutsutaan sitä kohtaa, jossa funktion kuvaaja leikkaa x-akselin. Tällöin y:n arvo on nolla.

● Edellisen dian suoran y = 5x + 2 nollakohta saadaan suoran ja x-akselin leikkauspisteestä, joka on (-0,4; 0).

● → nollakohta on x = -0,4.

PARAABELI y = 3x2 + 2x - 1

HUIPUN KOORDINAATIT

● Paraabelin x-koordinaatti saadaan laskettua kaavalla

● y-koordinaatti saadaan selville, kun sijoitetaan saatu x:n arvo paraabelin yhtälöön.

PARAABELIN y = 3x2 + 2x - 1HUIPPU● x-koordinaatti:

● y-koordinaatti:

JATKUU...

● Tarkista vastaus GeoGebralla!

● Huipun koordinaatit:

OPET VAUHDISSA!

● Opetus.tv:stä löytyy hyvää tietoa toisen asteen polynomifunktiosta.

● Lyhyt video toisen asteen funktion pienimmästä ja suurimmasta arvosta sekä nollakohdista.

● Kati-open Matikkaverkko-blogista löytyy esimerkkejä baraabelin piirtämisestä.

● Kati-ope kertoo GeoGebrasta.

KATSO MAOL:STA!

● MERKINTÖJÄ JA SYMBOLEJA: ○ Reaali- ja kompleksiluvut

● KAAVOJA JA MÄÄRITELMIÄ: ○ Algebra:

■ Reaalilukujen aksioomat■ Potenssien laskusääntöjä■ Polynomin jako tekijöihin■ Toisen asteen yhtälö

○ Analyyttinen geometria: ■ Suora■ Paraabeli