1. l)!VIL) J. DAVID J. GRIFFITHS REED COLLEGE Traduo: Lara Freitas Reviso Tcnica: Marcelo Mulato Professor Associado do Departamento de Fsica da Faculdade de Filosofia, Cincias e Letras de Ribeiro Preto da Universidade de So Paulo - USP So Paulo Brasil Argentina Colmbia Costa Rica Chile F.spanha Guatemala . ~ _)' ~o r'dll;l1('1 ,.., IM'f):IA All1..l.A.1M

2. Sumrio , PREFACIO ............................................................................................. viii PARTE I TEORIA -1 A FUNAO DE ONDA......................................................................... 1 1.1 Equao de Schrdinger 1 1.2 A interpretao estatstica 2 1.3 Probabilidade 4 1.4 Normalizao 9 1.5 Momento 11 1.6 O princpio da incerteza 14 2 EQUAO DE SCHRDINGER INDEPENDENTE DO TEMPO............ 17 2.1 Estados estacionrios 17 2.2 Poo quadrado infinito 22 2.3 Oscilador harmnico 30 2.4 Partcula livre 45 2.5 Potencial da funo delta 52 2.6 Poo quadrado finito 61 3 FORMALISMO ...................................................................................71 3.1 Espao de Hilbert 3.2 Observveis 3.3 Autofunes de um operador hermitiano 3.4 Interpretao estatstica generalizada 3.5 Princpio da incerteza 3.6 1lotao de Dirac 71 74 77 81 84 91 3. vi Mecnica quntica 4 MECNICA QUNTICA EM TRS DIMENSES ................................ 99 4.1 Equao de Schrdinger em coordenadas esfricas 4.2 O tomo de hidrognio 4.3 Momento angular 4.4 Spin 99 110 121 128 , -5 PARTICULAS IDENTICAS ................................................................. 147 5.1 5.2 5.3 5.4 Sistemas de duas partculas ' Atomos Slidos Mecnica estatstica quntica PARTE 11 APLICAOES 147 154 160 169 6 TEORIA DE PERTURBAO INDEPENDENTE DO TEMPO ................ 182 6.1 Teoria de perturbao no degenerada 6.2 Teoria de perturbao degenerada 6.3 A estrutura fina do hidrog1o 6.4 O efeito Zeeman 6.5 Separao hiperfina 182 188 195 203 209 7 PRINCPIO VARIACIONAL ............................................................. 215 7.1 Teoria 7.2 O estado fnndarnental do hlio 7.3 on de molcula de hidrogruo - 215 220 224 8 APROXIMAAO WKB ....................................................................231 8.1 A regio 'clssica' 8.2 Tunelamento 8.3 As frmulas de conexo 232 235 239 9 TEORIA DE PERTURBAO DEPENDENTE DO TEMPO.................... 249 9.1 Sistemas de dois nveis 9.2 Emisso e absoro de radiao 9.3 Emisso espontnea 250 257 262 1O A APROXIMAO ADIABTICA...................................................271 10.1 O teorema adiabtico 10.2 Fase de Berry 271 277 11 ESPALHAMENTO ............................................................................. 291 11.1 Introduo 291 11.2 Anlise de ondas parciais 295 11..3 Mudana de fase 300 11.4 Apro.imao de Bom 302 , 12 EPILOG0 ......................................................................................... 312 12.1 O paradoxo EPR 12.2 Teorema de Bell 313 314 4. 12.3 Teorema no-clone 12.4 O gato de Schrdingcr 12.5 Paradoxo Zeno quntico Sumrio vil 318 319 320 - , APENDICE ALGEBRA LINEAR...............................................................323 A.1 Vetores 323 A.2 Produtos internos 325 A.3 Matrizes 327 A.4 Mudana de base 332 AS Autovetores e autovalores 334 A.6 Transformaes hermitianas 338 , INDICE REMISSIVO .............................................................................. 342 5. PARTE I TEORIA Captulo 1 A funo de onda 1.1 Equao de Schrdinger Imagine uma partcula de massa m, compelida a se mover sobre o eixo x e sujeita a uma fora dada F (x, t) (Figura 1.1). O objetivo da mecnica clssica detenninar a posio da part- cula em qualquer instante dado: x(t). Com base nessa informao, podemos encontrar a veloci- dade (v= dx/dt), o momento (p = mv), a energia cintica (T = (1/2)mv2) ou qualquer outra va- rivel dinmica de .interesse. E como detenninamos x(t)? Aplicamos a segunda lei de Newton: F= ma. (Para sistemas conservativos- o nico tipo que iremos considerar e, felizmente, o nico tipo que ocorre em nvel microscpico - a fora pode ser expressa como a derivada de uma funo energia potencial} F= -OV/ox, e assim a lei de Newton se toma md2x/dt2 = -OVj()x.) Isso, juntamente a condies iniciais apropriadas (tipicamente, posio e velocidade em t = 0), determina x(t). A mecnica quntica aborda esse mesmo problema de modo muito diferente. Nesse caso, o que buscamos a funo de onda da partcula, 'l'(x,t), a qual obtemos ao resolver a equao de Schrdinger: x(t) m 'r.-~ - - F(x,t) ) l [1.1] X FIGURA 1.1 'Partcula' compelido o se mover em uma dimenso sob o influncia de umo dado foro. 1 Foras magnticas so uma exceo, mas no iremos nos preocupar com elas por enquanto. Apropsito, devemos pressupor ao longo de todo este livro que a movimentao no relativstica (v 2a2, enquanto a a amplitude. Assim, a 'regio permitida classicamente' para um oscilador de energia Eestende-se de J2E I mw2 para +J2EI mw2 Procure o valor numrico da integral em uma tabela matemti- ca, em 'Distribuio normal' ou 'Funo erro'. 49. 2.4 Captulo 2 Equao de Schrdinger independente do tempo 45 IProblema 2.16 Use a frmula de recurso (Equao 2.84) para encontrar H5(~) e H6(~). Apele para a conveno que estabelece que o coeficiente de maior potncia de~ 2n para corrigir a constante geral. **Problema 2.17 Nesse problema exploramos alguns dos teoremas (utilizados sem prova) mais teis que envolvem os polinmios de Hermite. (a) A frmula de Rodrigues diz que [2.86) Use-a para obter H3 e H4 (b) A relao de recursoseguinte dHn+1 em termos dos dois polinmiosde Hermiteprecedentes: [2.87] Use-a, juntamente com a resposta de (a), para obter H5 e H6 . (c) Se voc diferenciar um polinmio de n-sima ordem, obter um polinmio de ordem (n -1). Para polinmios de Hermite, na verdade, dH ---'-'- 11 = 2nH (~). d n-1 [2.88] Verifique isso, diferenciando H5 e H6. (d) H0 () a n-sima derivada em z, em z = O, da funo geradora exp(-z2 +2z); ou, em outras palavras, o coeficiente de znI 11! na expanso da srie de Taylor para essa funo: e-z''''t =~~H (). L..J I r 1r=O n Use isso para reobter HO' H1 e H2 [2.89] Partcula livre Passamos a seguir para o que deveria ser o caso mais simples de todos: a partcula livre (V(x) =O em qualquer lugar). Classicamente, isso significaria apenas movimento em veloci- dade constante, porm, na mecnica quntica, o problema surpreendentemente sutil e com- plicado. A equao de Schrdinger independente do tempo diz que ou onde k :: &f.. 1i [2.90] [2.91] 50. 46 Mecnica quntica At aqui, o mesmo que dentro do poo quadrado infinito (Equao 2.21), no qual o potencial tambm zero; dessa vez, entretanto, prefiro escrever a soluo geral na forma expo- nencial (em vez de senos e cossenos) por razes que surgiro em seu devido tempo: jl (x) = Aeikx +Be- ik.r. [2.92] Diferentemente do poo quadrado infinito, no h condies de contorno que restrinjam os valores possveis de k (e, portanto, de E); a partcula livre pode possuir qualquer energia (positiva). Incluindo a dependncia de tempo padro, exp(- iEt/h), .1 hk' l hkl'l'(x,t) = Ae'l' 2m' +Be-tkx.-.2m' . [2.93] Agora, qualquer funo de x e t que dependa dessas variveis na combinao especial (x vt) (para alguma constante v) representa uma onda de perfil fixo, movendo-se na dire- o =Fx com velocidade v. Um ponto fixo na forma de onda (por exemplo, um mximo ou mnimo) corresponde a um valor fixo do argumento e, portanto, corresponde tambm a x e t, tal que x vt =constante, ou x = =tvt + constante. Uma vez que cada ponto da onda se move na mesma velocidade, sua forma no muda conforme ela se propaga. Assim, o primeiro termo na Equao 2.93 representa uma onda que se move para a direita, e o segundo representa uma onda (de mesma energia) que se desloca para a esquerda. A propsito, como eles diferem apenas pelo sinal na frente de k, podemos tambm escrever [2.94] e deixar que k seja negativo para amparar o caso das ondas que se movem para a esquerda: l k > O=> movendo-se para a direita, com k movendo-se para a esquerda. [2.95] Evidentemente, os 'estados estacionrios' da partcula livre so ondas que se propagam; o comprimento de onda = 21TI Ik I e, de acordo com a frmula de de Broglie (Equao 1.39), elas carregam o momento p= lk. [2.96] A velocidade das ondas (o coeficiente de t sobre o coeficiente de x) [2.97] Por outro lado, a velocidade clssicade uma partcula com energia E dada por E= (l/ 2)mv2 (pura cintica, sendo V = 0), e assim, )-''-'- = {2E= 2J . . ......,.,.... v-;;; qu.>l1bl [2.98] Na mecnica quntica, aparentemente, a funo de onda se move com a metadeda veloci- 51. Captulo 2 Equao de Schrdinger independente do tempo 47 dade da partcula que supostamente representa! Logo voltaremos a esse paradoxo; h um pro- blema ainda mais srio que precisamos confrontar: essafuno de onda no normalizt,el. Para J+::x> I 12 f +::x> I 12 -oc 'l'k'1'kdx =A oo dx= A (x). [2.99] No caso da partcula livre, as solues separveis no representam estados fisicamente realizveis. Uma partcula livre no pode existir em um estado estacionrio; ou, em outras palavras, no h partcula livre com energia definida. Mas isso no significa que solues separveis no tenham utilidade para ns, pois elas desempenham um papel matenutico que inteiramente independente de sua interpretaof- sica. A soluo geral para a equao de Schrdinger dependente do tempo ainda uma combi- nao linear de solues separveis (s que, dessa vez, uma integral sobre a varivel contnua k em vez de uma soma sobre o ndice discreto n): { lik~ l1 -e tkx t 'l'(x,t) = ~ 27r f_00 cj>(k)e 2 m dk. [2.100] (A quantidade 1I & est fatorada por convenincia; o que desempenha o papel de coefi- ciente cn na Equao 2.17 a combinao (li&)cj>(k)dk.) Agora, essa funo de onda pode ser normalizada (para cj>(k) apropriado). Porm, ela necessariamente carrega um intervalo de k e, portanto, um intervalo de energias e velocidades. Chamamos isso de pacote de onda.32 No problema quntico genrico dado IJI(x, 0), e a partir da devemos encontrar IJI(x, t). Para uma partcula livre, a soluo toma a forma da Equao 2.100; a nica questo como deter- minar cj>(k) para que o resultado coincida com a funo de onda inicial: 1 f ~00 ikx 'l'(x,O) = r::- cj>(k)e dk. v2-rr oo [2.101] Esse um problema clssico na anlise de Fourier; a resposta fornecida pelo teorema de Plancherel (veja o Problema 2.20): 1 f +x 1a 1 f -1-X' ikx f(x) = r::- . F(k)e dk {=} F(k) = r::- f(x)e- dx. v27r -~ v27r -oc [2.102] F(k) chamada de transformada de Fourier de f(x); f(x) a transformada de Fourier inversa de F(k) (a nica diferena est no sinal do expoente). H, claro, algumas restries nas funes permissveis: as integrais tm de existir.33 Para nossos propsitos, isso garantido pela exigncia fsica de que IJ!(x, O) seja normalizado. Assim, a soluo do problema quntico genrico para a partcula livre a Equao 2.100, com 1 f~"" ih cj>(k) = r::- 'l'(x,O)e dx. v2-rr "' [2.103] 32 Ondas sinusoidais &e estendem ao infinito e no so normalizveis. Porm, as sobrt>p [V(-oo) ou V( too)] => estado de espalhamento. [2.109] Na 'vida real', a maioria dos potenciais vai a zero no infinito, o que faz com que o critrio fique ainda mais simples: { E< O=> estado ligado, E> O=> estado de espalhamento. [2.110] Corno os potenciais do poo quadrado infinito e do oscilador harmnico vo ao infinito conforme x~oo, eles admitem somente estados ligadoSi como o potencial da partcula livre zero em qualquer lugar, permite somente estados de espalhamento.34 Nessa seo (e na se- guinte), exploraremos os potenciais que levam a ambos os tipos de estados. 2.5.2 Poo funo delta A funo delta de Dirac um pico infinitamente alto, infinitesimalmente estreito na ori- gem, cuja rea 1 (Figura 2.13): '&x)=. O, se x-.= O , oc,sex=O 5 --:.c com _.,._ '&x)dx= . .'2.} Tecnicamente, a funo delta de Dirac no uma funo, pois no finita em x =O (os matemticos a chamam de funo generalizada ou distribuio).35 Contudo, uma constru- o extremamente til na fsica terica. (Por exemplo, na eletrodinmica, a densidade de carga de uma carga pontual uma funo delta.) Observe que 8(x- a) seria um pico de rea 1 no ponto a. Multiplicar 8(x- a) por uma funo ordinriaf(x) o mesmo que multiplic-la porf(a), f(x)8(x- a)= f(a)8(x a), [2.112] pois o produto zero, exceto no ponto a. Especialmente, f ~oo J..-oc-oc f(x)8(x- a)dx = f(a) x 8(x a)dx= f(a). [2.113] Essa a propriedade mais importante da funo delta: sob o sinal da integral ela serve, para 'escolher' o valor def(x) no ponto a. (E claro que a integral no precisa ir de-oca +oc; o que importa que o domnio da integrao inclua o ponto a, e, portanto, a- e para a +e serviria para qualquer e> O.) (x) X FIGURA 2.13 Funo delta de Dirac (Equao 2.111 ). 34 Caso voc seja irritantemente observador, deve ter notado que o teorema geral que exige C> Vmin (Problema 2.2) no se aplica, na verdade, aos estados de espalhamento, pois n.'o so normalizveis. Se isso o incomoda, tente resol- ver a equao de Schrodinger com E~ Opara a partcula livre, e note que as combbtailes lineares equilibradliS dessas solues no podem ber normalizadas. As soluesde energia positiva por si s constituem um conjunto completo. 35 A funo delta pode ber considerada o limite de uma sequbtcII de funes, tal como retngulos (ou tringulos) de altura cada vez maior e largura cada vez menor. 59. Captulo 2 Equao de Schrodinger independente do tempo ss Consideremos o potencial da forma V(x) = -a8(x), [2.114] em que a uma constante positiva.36 Esse um potencial artificial, certamente (assim como o poo quadrado lnfinito), mas muito simples de se trabalhar e esclarece a teoria bsica com um mnimo de confuso analtica. A equao de Schrodinger para o poo funo delta indica que 1i2 d2jl - - - a8(x)jJ = Ejl; 2m dx2 [2.115] ela produz tanto o estado ligado.(E 0). Examinaremos primeiramente os estados ligados. Na regio x < O, V(x) = O, assim que [2.116] na qual _ J - 2mE K= . li [2.117] (E negativo, por conjetura, e, portanto, k real e positivo.) A soluo geral para a Equao 2.116 [2.118] porm, o primeiro termo explode quando x-+-oo, e por isso devemos escolher A = 0: jJ(x) = BeKX, (x O, V(x) tambm zero, e a soluo geral tem a forma de F exp(- kx) + G exp(kx); dessa vez, o segundo termo que explode (quando X-f+oo), assim, jl(x) = Fe- KX, (x >0). [2.120] Resta apenas unir essas duas funes usando as condies de contorno apropriadas em x = O. J citei anteriormente as condies de contorno padro para jJ: 1. jJ sempre contnuo; 2. djl I dx contnuo exceto nosp:mtos em que o potencial infinito. [2.121] Nesse caso, a primeira condio de contorno nos diz que F= B, assim que ljl(x) = Beo0), ento di)J I dxl_ = -BK, dtv I dx =+BKe-KXI para (x < 0), ento d~Ji I axt = t BK, logo, d(d~J~Idx) =-2Bk. E IJI(O) = B. Ento a Equao 2.125 diz mo K=-, li" e a energia permitida (Equao 2.117) Por fim, normaHzamos IJI: portanto (escolhendo, por convenincia, a raiz positiva real): 8 [2.125] [2.126] [2.127) [2.128] 61. Captulo 2 Equao de Schrodinger independente do tempo 7 evidente que o poo funo delta, independentemente do seu 'vigor' o, tem cxntamr1zte llltl estado ligado: lj!(x) .j;;;e molxjlfl'; Ec. ,, [2.1291 E os estados de rspnlhaml!llfo com E> O? Para x O, A continuidade de l!'(x) em x = Oexige que F 1- G=A l B. As derivadas so dlj!I dx = ik(Fe'kx -Geikx), para (x > 0) ento dljJ I dx I~= ik(F-G), dlj!I dx k(Aea."< - Bea.-.), para (x Vmax' ento T = 1 e R= Oe a partcula certamente passar; se E< Vmax' ento T =O e R= 1 e a partcula sobe a rampa at se esgotar e ento retoma fazendo o mesmo trajeto pelo qual veio. Os problemas de espalhamento quntico so muito maiores: a partcula tem probabilidade no zero de passar pelo potencial mesmo se E < Vmax Chamamos esse fenmeno de tunelamento; o mecanismo que torna possvel grande parte da eletrnica moderna - sem mencionar os avanos incrveis na microscopia. Reciprocamente, mesmo se E > Vmax' h uma possibilidade de que a partcula seja refletida, embora eu no recomende que voc dirija em direo a um penhasco esperando que a mecnica quntica o salve (veja o Problema 2.35). V{x) = et{x) X FIGURA 2.16 Barreira funo delta. 38 Estudos numricos dos pacotes de ondas que so espalhados em poos e barreiras revelam estruturas extraor- dinariamente ricas. A anlise clssica de A. Goldberg, H. M. Schey e J. L. Schwartz, Am J. Plzys. 35, 177 (1967); trabalhos mais recentes podem ser encontrados na web. 64. 60 Mecnica quntica Problema 2.23 AvaHe as seguintes integrais: f 11 3 2 (a) 3 (x 3x 1 2x -1)8(x+2)dx. (b) fooc[cos(3x)+ 2]8(x-7T)d:r. (c) .{_ 1 1 exp( Ix I+ 3)(x- 2)dx. Problema 2.24 As funes delta vivem sob os sinais da integral, e duas expresses (D1(x) e D2(x)) envolvendo funO, O, sex0eikx dk. 2Tr -'X) [2.144] Comentrio: essa frmula causa perplexidade a qualquer matemtico respeitvel. Embora a integral seja claramente infinita quando x = O, ela no converge (a zero ou qualquer outro valor) quando x :I! O, pois o integrando oscila continuamente. H meios de consert-la (por exemplo, voc pode inte- grar de -L a -L c interpretar a Equao 2.144 de modo que ela seja o valor mdio da integral finita, como L~ x). A fonte do problema que a funo delta no cumpre a exigncia (integrabilidade- -quadrado) do teorema de Plancherel (veja nota de rodape n 33). Com relao a isso, a Equao 2.144 pode ser extremamente til se tratada com cuidado. *Problema 2.27 Considere o potencial ftmo delta dobrado V(x) = a[(x-. a)...- 8(x- a)), na qual a e n so constantes positivas. (a) Esboce esse potencial. (b) Quantos estados ligados a equao possui? Calcule as ener~>ias permitidas, para a = ft2 I mn e para ex = ft2I 4ma, e esboce as funes de onda. I *Problem a 2.28 Calcule o coeficiente de transmisso para o potencial do Problema 2.27. 65. Captulo 2 Equao de Schrdinger independente do tempo 61 2.6 Poo quadrado finito Em um ltimo exemplo, considere o potencial do poo quadradofinito -V0 para - aa, V(x) = [2.145] em que V0 uma constante (positiva) (Figura 2.17). Assim como o poo funo delta, esse po- tencial admite tanto os estados ligados (com E< O) como os estados de espalhamento (com E > 0). Veremos primeiro os estados ligados. Nn regio x a. [2.150] O prximo passo impor condies de contorno: tJi e dtJi/dx contnuas em -a e +a. No entanto, podemos poupar tempo observando que esse potencial uma funo par, e assim podemos supor sem perda de generalidade que as solues so pares ou mpares (Problema 2.1(c)). A vantagem disso que precisamos impor as condies de contorno apenas de um lado (digamos, em +a); do outro lado isso ocorre automaticamente, pois tJi(-x) = tJ!(x). Trabalharei com as solues pares; voc pode trabalhar com as mpares no Problema 2.29. O cosseno par (e o seno mpar), por isso procuro por solues da forma tJ!{x) = Dcos(/x) t!l(-x) para x> a, para0 < x< a, para x 0). Para a esquerda, em que V(x) =O, temos l!l(x) = Aeikx + Be-ikx, para (x < - a) em que (como sempre) Dentro do poo, onde V(x) = -V0, l!l(x) = C sen(lx) + D cos(lx), para (-a < x < a), onde, como antes, i = ~2m(E+V0 ). n Para a direita, supondo que no exista onda que entre nessa regio, teremos l!l(x) = Feikx. [2.158] [2.159] [2.160] [2.161] [2.1621 Aqui, A a amplitude incidente, 8 a amplitude refletida c F a amplitude transmitida.40 H quatro condies de contorno: a continuidade de l!l(x) em -a diz Ae-ika + Beika = -C sen(la) + D cos(/a), [2.163] a continuidade de dl!l/dx em -a resulta em ik[Ae- ika -Beika) /[C cos(la) + D cos(/a) [2.164] 40 Poderamos procurar por funes pares e mpares como j fizemos no caso dos estados 1gado:., mas o problema de espalhamento inerentemente assimtrico, pois as ondas vm apenas de um lado e a notao exponencial (representando ondas mveis) mais nattual nesse contexto. 68. 64 Mecnica quntica a continuidade de jJ(x) em +a produz C sen(la) + D cos(la) = Feika, [2.165] e a continuidade de djJ/dx em +a exige l[C cos(la) - D sen(la)] = ik Feika. [2.166] Podemos usar dois desses para eliminar CeDe resolver os dois restantes para Be F (veja o Problema 2.32): B=isen(2la) (Z2 _ kz)F 2kl I [2.167] e- 2ihl A F= , , cos(2/a)- iO na regio -a V0 (note que a funo de onda dentro da barreira diferente nos trs casos). Resposta parcinl: para E< V0' 42 *Problema 2.34 Considere o potencial'degrau': V(x) = O, se x ~O, V0 , se x >O. (a) Calcule o coeficiente de reflexo para o caso E< V0 e comente a resposta. (b) Calcule o coeficiente de reflexo para o caso E> V0. (c) Para um potencial como esse, que no volta a zero para a direita da barreira, o coeficiente de transmisso no simplesmente IF 12 I IA 12 (sendo A a amplitude incidente e Fa amplitude transmitida), pois a onda transmitida se move em uma velocidade diferente. Demonstre que E-V IFI2 T= o--, E IAI2 [2.172] para E > V0 . Dica: voc pode usar a Equao 2.98 ou, mais elegantemente, porm no to informativamente, a probabilidade atual (Problema 2.19) para resolver essa qu6to. Qual oT,paraE> V0? (d) Para E> V!Y calcule o coeficiente de transmisso para o potencial degrau e verifique que T +R= 1. 42 Aqui, um bom exemplo de tunclamento; cla$sicammte, a partcula seria refletida. 70. 66 Mecnica quntica Problema 2.35 Uma partcula de massa m e energia cintica E > Ose aproxima de uma queda abrupta de potencial V0 (Figura 2.20). (a) Qual a probabilidade de que ela seja 'refletida' se E= Vof3? Dica: esse problema exata- mente como o 2.34, exceto que o degrau agora desce em vez de subir. (b) Fiz um esboo para que voc pense em um carro se aproximando de um penhasco, mas, obviamente, a probabilidade de 'ser refletido' da beirada do penhasco bem menor que a obtida em (a) -a menos que voc seja o Pernalonga. Explique por que esse potencial no representa um penhasco com preciso. Dica: na Figura 2.20, o potencial de energia do carro diminui descontinuamente para -VO' conforme passa x =O; isso se aplicaria a um carro em queda livre? (c) Quando um nutron livre entra em um ncleo, ele passa por uma queda de energia po- tencial, de V= Ofora para. cerca de -12 MeV (milhes de eltron-volts) dentro. Suponha que um nutron, emitido com energia cintica de 4 MeV por um evento de fisso, atinja tal ncleo. Qual a probabilidade de que ele seja absorvido, estimulando desse modo outra fisso? Dica: voc calculou a probabilidade de reflexo em (a); use T = 1 - R para obter a probabilidade de transmisso atravs da superfcie. V(x) X -Vo 1------------- FIGURA 2.20 Espalhamento de um 'penhasco' (Problema 2.35). Mais problemas para o Captulo 2 Problema 2.36 Resolva a equao de Schrodinger independente do tempo com condies de contorno apropriadas para o poo quadrado infinito 'centrado': V(x) =O (para -a< x a)? Resposta: 0,542, ento mesmo que esteja 'ligada' pelo poo, mais provvel que seja encontrada fora do que dentro! Problema 2.41 Uma partcula de massa m no potencial de oscilador harmnico (Equao 2.43) inicia no estado 'l'(x,O) Al 2~~wx para uma constante A. 2 mw 1 X e 211 , (al Qual o valor esperado de energia? (b) Em algum tempo posterior T, a funo de onda {;;;;:; 2 -!!'"'x' 'l'(x,T) = B 1+2Vf:x e 2n , parcl uma constante B. Qual o menor valor possvel dei? Problema 2.42 Calcule as energias permitidas de meio a. Problema 2.45 Se duas (ou mais) solues distintas44 para a equao de Schrdinger (independente do tempo) tm a mesma energia E, esses estados so chamados de degenerados. Por exemplo, os estados de partcula livre so duplamente degenerados: uma soluo representa o movimento para a direita e, a outra, o movimento para a esquerda. Porm, nunca encontramos solues degene- radas normalizveis, e isso no acontece por acaso. Prove o seguinte teorema: em uma dimensa45 no lz estados li- gados degenerados. Dica: suponha que haja duns solues, $1 e $2, com a mesma energia E. Multiplique a equao de Schrdinger para $1 por $2 e a equao de Schrdin- gcr para $2 por $1' e subtraia uma da outra para mostrar que ($2d$tfdx- $1d$/dx) uma constante. Use as solu- es normalizveis IJI -+ Oem ::x> para demonstrar que essa constante , na verdade, zero. Conclua que $2 um mltiplo de $1 e que, portanto, as duas solues no so distintas. Problema 2.46 Imagine uma mianga de massa m que corre sem frico em tomo de um anel circular de cir- cunferncia L. ( como uma partcula livre, exceto que IJI(x +- L) = IJI(x).) Calcule os estados estacionrios (com normalizao apropriada) e as energias correspondentes 43 O fato de os tempos de restaurao clssico e qulintico no ostentarem uma relao bia um com outro (e o quntico nem mesmo depende da energia) um paradoxo curioso; veja Daniel Styer, Am.f.Pln!> 69 56 (2001). 44 Se duas solues diferem apenas na constante multiplicativa (para que assim, uma vez normalizada, difiram apenas por um fator de fase e"l>), elas representam o mesmo estado fsico, c nesse contexto ela~ nllo o;o solues dtstintas. Tecnicamente, por 'distinto' quero dizer 'linearmente independente'. 4.5 Em dimenses maiores e:;sa degenerncia muito comum, como ''eremo,; no Captulo -i. Suponha que o potencial no consista de peas isoladas separadas por rcgie::. em que V= :x; dois poos quadrados infuto,; isolados, por exemplo, dariam origema estados ligados degenerados, para os quais a partcula e.taria ou em um,ou em outro. 72. 68 Mecnico quntico permitidas. Note que h duns solues independentes para cada energia En que correspondem circulao nos sentidos horrio e anti-horrio; chame de tV;(x) e 'I(x). Como voc leva em considerao essa degenerescncia em vista do teorema abordado no Problema 2.45 (por que o teorema falha nesse caso)? **Problema 2.47 Ate11o: esse um problema estri- tamente qualitativo, e nenhum clculo ser permitido! Considere o potencial do 'poo quadrado duplo' (Figura 2.21). Suponha que a profw1didade V0 e a largura a so fixas, e amplas o suficiente para que vrios estados liga- dos aconteam. V(x) a b a X -Vo FIGURA 2.21 Poo quadrado duplo (Problema 2.47). (a) Esboce a funo de onda do estado fundamental tjJ1 e do primeiro estado excitado ~~2, (i) para o caso b = O, (ii) para b"' a e (iii) para b a. (b) Qualitativamente, como as energias corresponden- tes (E1 e E2) variam conforme b vai de Oa oo? Esboce E1 (b) e E2 (b) no mesmo grfico. (c) O poo duplo um modelo primitivo em uma di- menso para o potencial experimentado por um eltron em uma molcula diatmica (os dois poos representam a fora atrativa dos ncleos). Se os n- cleos esto livres para se mover, eles adotaro a con- figurao de energia mnima. Sob a perspectiva de suas concluses em (b), o eltron tende a atrair os ncleos ou separ-los? ( claro que tambm deve- mos levar em conta a repulso internuclear, porm, esse um problema parte.) Problema 2.48 No Problema 2.7(d) voc obteve o valor esperado de energia ao somar as sries na Equao 2.39, mas avisei (nanota de rodap no 15) para no tentar faz- -lo ' moda antiga', (H) = jtjl(x, O)*H'I(f(x, O)dx, pois a pri- meira derivada descontnua de '(f (x, O) torna a segunda derivada problemtica. Na verdade, voc poderm ter re- solvido a questo usando integrao por partes, porm, a funo delta de Dirac proporciona uma maneira mais clara de lidar com anomalias. (a) Calcule a primeira derivada de 'l(f(x, O) (no Problema 2.7) e escreva a resposta em termos de uma funo degrau, e(x- a/2.) definida na Equao 2.143. (No se preocupe com os pontos extremos, mas somente com a regio interior O< x ) 114 mw 2+a 2 (1 2iwt)+'t' x, = - exp - - x - +e ~" 2n 2 ifrt 2 -wt)- - - axe m satisfaz a equao de Schrodinger depende11te do tem- po para o potencial do oscilador harmnico (Equa- o 2.43). Nesse caso, n qualquer constante real com as dimenses de comprimento.46 (b) Calcule I'l'(x, t) 1 2 e descreva o movimento do paco- te de onda. (c) Calcule (x) e (p) e verifique se o teorema Ehrenfest (Equao 1.38) satisfeito. **Problema 2.50 Considere o poo funo delta mvel: V (x,t) = -a (x - vt) em que v a velocidade (constante) do poo. (a) Demonstre que a equao de Schrodinger depen- dente do tempo admite a soluo exata 'l'(x)) = ~e- maix- vtl/h1 e- i[(f+(l/2)mu' )t- tiWX)/h I n em que E= -ma2/2f2 a energia do estado ligado da funo delta estaciomria. Dica: substitua e verifique! Use o resultado do Problema 2.24(b). (b) Calcule o valor esperado do Harniltoniano nesse es- tado e comente o resultado. ***Problema 2.51 Considere o potencial n2a2 V(x) =- sech2 (nx), m em que a uma constante positiva e 'sech' indica secante hiperblica. (a) Faa uma representao grfica desse potencial. (b) Verifique se esse potencial tem como estado funda- mental tjJ0(x) =A sech(ax), e calcule a sua energia. Nonnalize tjJ0 e esboce um grfico. 46 Esse exemplo raro de uma soluo de forma fechada exata para a equao de Schrdinger dependente do temJX foi descoberta pelo prprio Schrdinger, em 1926. 73. Captulo 2 Equao de Schrdinger independente do tempo 69 (c) Demonstre que a funo ,,, () - A ik - atgh(ax) ikx '~'A x - e ' tk +a (em que k .= J2mE I h. como sempre) resolve a equa- o de Schrdinger para qualquer energia (positiva) E. Sendo que a tgh z -1 quando z-+ -oc, 1l1k(x) ::::: A' 10000]], {x, a, b), PlotRange -> {c, d)]; (Aqui (a, b) o intervalo horizontal do grfico, e (c, d) o intervalo vertical, comeando com a= O, b = 10, c= -10 e d = 10.) Sabemos que a soluo correta K = 1, ento voc deve 'supor' um valor de K = 0,9. Observe o que o 'rabo' da funo de onda faz. Agora, tente K = 1,1 e note que o rabo inverte. A soluo est em algum lugar entre esses valores. Procure a soluo reduzindo o intervalo de valores de K cada vez mais. Ao faz-lo, voc pode ajustar a, b, c e d para zerar no ponto de cruzamento. Problema 2.55 Calcule as energias dos trs primeiros estados excitados (com cinco algarismos significativos) para o oscilador harmnico, pelo mtodo do cachorro sa- cudindo o rabo (Problema 2.54). Para o primeiro (e tercei- ro) estado excitado voc precisar estabelecer u[O] ==0, u'[O] = = 1. Problema 2.56 Calcule as quatro primeiras energias permitidas (com cinco algarismos significativos) para o poo quadrado infinito, pelo mtodo do cachorro sacu- dindo o rabo. Dica: consulte o Problema 2.54 e faa as mudanas apropriadas para a equao diferencial. Dessa vez, a condio que voc procura u(1) = O. 75. Captulo 3 Formalismo 3.1 Espao de Hilbert Nos dois ltimos captulos, tropeamos em vrias propriedades interessantes de sistemas qunticos simples. Algumas delas so caractersticas 'acidentais' de potenciais especficos (o mesmo espaamento dos nveis de energia para o oscilador harmnico, por exemplo); porm, outras parecem ser mais comuns, e seria bom comprov-las de uma vez por todas (como, por exemplo, o princpio da incerteza e a ortogonalidade dos estados estacionrios). Tendo isso em mente, o objetivo deste captulo reformular a teoria de uma forma mais poderosa. No h nada de genuinamente novo aqui, pelo contrrio; a ideia fazer com que seja consistente o que j descobrimos em casos especficos. A teoria quntica se baseia em duas construes:.funes de onda e operadores. O estado de um sistema representado por sua funo de onda, e as observveis so representadas por operadores. Matematicamente, as funes de onda satisfazem as condies que definem os vetores abstratos e os operadores agem sobre eles como transformaes lineares. Portanto, a Linguagem natural da mecnica quntica a lgebra linear.1 Mas no acredito que seja uma fom1a de lgebra linear com a qual voc esteja intimamente familiarizado. Em umespaoN-dimensional, muito simples representar um vetor, Ia), por meio dos N-tuplos de seus componentes, (aJ, no que diz respeito a uma base ortonormal especfica: [3.1] O produto interno, (a 113), de dois vetores (se generalizarmos o produto escalar em trs dimenses) um nmero complexo, [3.2] 1 Se voc nunca estudou lgebra linear, ento deveria ler o Apndice antes de continuar o estudo deste captulo. 76. 72 Mecnica quntica As transformaes lineares, T, so representadas por matrizes (com relao base espe- cfica), as quais agem em vetores (para produzir novos vetores) por regras comuns de multi- plicao de matrizes: tll til ... tiN a, lf3)=Tia)~ b Ta= t21 t22 ... f2N a2 [3.3]. .. . . tNl tN2 ... fNN aN Mas os 'vetores' que encontramos na mecnica quntica so (quase sempre)funes, e elas esto em espaos com dimenses infinitas. Para eles, as notaes N-tuplas/matrizes so, na melhor das hipteses, estranhas, e manipulaes bem feitas em casos com dimenses finitas podem ser problemticas. (A razo bsica disso que, ao passo que a soma finita na Equao 3.2 sempre existe, uma soma infinita- ou uma integral- pode no convergir, caso em que o produto interno no existe e que toma qualquer argumento envolvendo produtos internos imediatamente suspeito.) De modo que, embora a maior parte da terminologia e da notao seja familiar, vale a pena abordar esse assunto com cautela. O conjunto de todas as funes de x constitui um espao vetorial, mas para nossos objeti- vos ele amplo demais. Para representar um estado fsico possvel, a funo de onda ')f deve ser normalizada: O conjunto de todas as funes quadrado-integrveis, em um intervalo especfico/ f(x) tais que J.blf(x) 12 dx a coordenada polar usual em duas dimenses. (Esse operador pode surgir em um A contexto fisico se estivermos estudando a 'mianga no anel circular'; veja o Problema 2.46.) O Q hermitiano? Encontre suas autofunes eseus autovalores. Resposta: trabalharemos com as funes f(Q) no intervalofinito O5 5 2'Tf, estipulando que f( + 2'Tf) =f() [3.26] sendo que Q e +2'Tf descrevem o mesmo ponto fisico. Usando a integrao por partes, 81. Captulo 3 Formalismo 77 A c por isso Q hcrmitiano (dessa vez, o termo de contorno desaparece em virtude da Equao 3.26). A equao de autovalores, i~f(c/>)=qf(c/>), [3.27) tem a soluo geral f(cf>)= Ae '1 "'. [3.28] A Equao 3.26 restringe os valores possveis de q: e-lq2n = 1 ::} q ==O, 1, 2,... [3.29] O espectro desse operador umconjunto de todos os nmerosinteiros e no degenerado. ' Problema 3.6 Considere o operador Q= fi2/d~2 , no qual (como no Exemplo 3.1) ~ o nguloA azimutal em coordenadas polares e as funes esto sujeitas Equao 3.26. Nesse caso, Q 'hermitiano? Encontre suas autofunes e seus autovalores. Qual o espectro de Q? O espectro degenerado? 3.3 Autofunes de um operador hermitiano Agora, nossa ateno direcionada para as autoju11es de um operador hermitiano (em ter- mos da Fsica: estados determinados de observveis). Elas se dividem em duas categorias: se o espectro discreto (isto , se os autovalores esto separados uns dos outros), ento as auto- funes esto no espao de Hilbert e constituem estados realizveis fisicamente. Se o espectro contnuo (isto , se os autovalores preenchem um intervalo inteiro), ento as autofunes no so normalizveis e no representam funes de onda possveis (embora suas combinaes lineares, que envolvem necessariamente uma disperso de autovalores, sejam normalizveis). Alguns operadores tm somente o espectro discreto (por exemplo, o Hamiltoniano para o os- cilador harmnico), e alguns tm somente o espectro contnuo (por exemplo, o Hamiltoniano da partcula livre); outros, ainda, tm ambos os espectros, discreto e contnuo (por exemplo, o Hamiltoniano para o poo quadrado finito). O caso discreto mais fcil de se lidar, pois certo que os produtos internos relevantes existem; na verdade, ele muito similar teoria com di- menso finita (os autovetores de uma matriz hermitiana). Primeiramente, trataremos do caso discreto, para, ento, tratarmos do contnuo. 3.3.1 Espectros discretos Matematicamente, as autofunes normalizveis de um operador hermitiano tm duas propriedades importantes: Teorema 1: seus autovalores so reais. Prova: suponha que A QJ= qf 82. 78 Mecnica quntica A (isto ,f(x) uma autofuno de Q, com um autovalor q) e10 (!1Qf)=(J1f) A (Q hermitiano). Ento, q(fif)=q*(flf) (q um nmero e, portanto, pode sair da integral, e corno a primeira funo no produto interno um complexo conjugado (Equao 3.6), ento o q direita tambm o ). Porm, iflf) no pode ser zero if(x) =O no uma autofuno legtima), ento, q = q* e, portanto, q real. QED reconfortante: se voc medir um observvel de uma partcula em um estado determina- do, voc obter, no mnimo, umnmero real. Teorema 2: autofunes pertencentes a autovalores distintos so ortogonais. Prova: suponha que Qj= qfe Qg = q'g, A A A e Q hermitiano. Ento (fi Qg} = (Qflg}, assim q'(flg) = q*(flg) (novamente, os produtos internos existem porque supomos que as autofunes estejam no espao de Hilbert). Porm, q real (como vimos no Teorema 1), portanto, se q'=t= q, ento ifl g} = O. QED por isso que os estados estacionrios do poo quadrado infinito, por exemplo, ou o oscilador harmnico, so ortogonais: eles so autofunes do Hamiltoniano com autovalores distintos. Porm, essa propriedade no uma caracterstica deles e nem do Harniltoniano; o mesmo vale para estados determinados de qualquer observvel. Infelizmente, o Teorema 2 no nos diz nada sobre estados degenerados (q' = q). Entre- tanto, se duas (ou mais) autofunes partilharem o mesmo autovalor, qualquer combinao linear delas ser a prpria autofuno com o mesmo autovalor (Problema 3.7(a)), e podere- mos fazer uso do procedimento de ortogonalizao de Gram-Schmidt (Problema A.4) para construir autofunes ortogonais dentro de cada subespao degenerado. Em princpio, esse procedimento pode ser usado sempre, mas quase nunca necessrio us-lo explicitamente (que alvio!). Por isso, at na presena de degenerescncia as autofunes podem ser escolhidas para serem ortogonais, e, ao adotar o formalismo da mecnica quntica, devemos pressupor que isso j tenha sido feito. Isso licencia o uso do truque de Fourier, o qual depende da orto- normalidade na base das funes. Em um espao vetorial com dimensofinita, os autovetores de uma matriz hermitiana pos- suem uma terceira propriedadefundamental: eles geram o espao (cada vetor pode ser expresso como uma combinao linear deles). Infelizmente, a prova disso no se estende aos espaos com dimenses infinitas. Mas a propriedade essencial para a consistncia interna da mecnica quntica, assim, observando-se Dirac,n vamos consider-la um axioma (ou, mais precisamente, uma restrio da classe de operadores hermitianos que podem representar observveis): Axioma: as autofunes de um operador observvel so completas: qualquer funo {no espao de Hilbert) pode ser expressa como uma combinao linear delas.12 Problema 3.7 A (a) Suponha quef(x) e g(x) so duas autofunes de um operador Q com o mesmo autovalor A q. Demonstre que qualquer combinao linear def e g tambm autofuno de Q com autovalor q. 10 Aceitamos que as autofunes estejam no espao de Hilbert, caso contrrio,o produto intemo poderia nem existir 11 P. A. M. Oirac, Tlze Principies ofQuantwn Mechanics. Oxford University Press, Nova York (1958). 12 Em alguns casos espedficos, a completude demonstrvel (sabemos que os estados estacionrios do poo qua- drado infinito, por exemplo, so completos por causa do teorema de Dirichlet). um pouco estranho chamar de 'axioma' algo demonstrvel em alguns casos, mas no sei de que outra forma eu poderia cham-lo. 83. Captulo 3 Formalismo 79 (b) Verifique quef(x) =exp(x) e g(x) = exp(-x) so autofunes do operador 2/dx2 com o mes- mo autovalor. Monte duas combinaes lineares def e g que sejam autofunes ortogonais no intervalo (-1, 1). Problema 3.8 (a) Verifique que os autovalores do operador hermitiano no Exemplo 3.1 so reais. Demonstre que as autofunes (para autovalores distintos) so ortogonais. (b) Faa o mesmo com o operador do Problema 3.6. 3.3.2 Espectros contnuos Se o espectro de um operador hermitiano contnuo, as autofunes no so normaliz- veis, e as provas dos Teoremas 1 e 2 so insatisfatrias, pois os produtos internos podem no existir. Contudo, h a percepo de que as trs propriedades essenciais (realidade, ortogonali- dade e completude) ainda so vlidas. Creio que seja melhor abordar esse caso sutil por meio de exemplos especficos. Exemplo 3.2 Calcule as autofunes e os autovalores do operador de momento. Resposta: sejamJP(x) a autofuno e p o autoalor: A soluo geral : li d --f (x) = pf (x). i d;r P '' f (x) = Aeipx/h. p [3.30] No se trata de uma funo quadrado-integrvel para qualquer valor (complexo) de p. O ope- rador de momento no tem autofunes no espao de Hilbert. E, ainda, se nos restringirmos aos autovalores reais, devemos recuperar um tipo de 'ortonormalidade' substituta. Consulte os proble- mas 2.24(a) e 2.26, Secscolhermos A=l/../27Tii, paraque r (x) = 1 eirx!h ) J' ,-::---: I ...J27Th [3.32] Ento, (!1 1fp)= S(p- p'), [3.33] o que visivelmente similar verdadeira ortonormalidade (Equao 3.10). Agora, os ndices so variveis contnuas c o delta de Kronecker se torna um delta de Dirac, apesar de ainda parecer o mesmo. Chamarei a Equao 3.33 de ortonormalidade de Dirac. importante ressaltar que as autofunes so completas, e tm a somatria (na Equao 3.11) substituda por uma integral: qualquer funo (quadrado-integrvel) j(x) pode ser escrita da se- guinte forma: 84. ao Mecnico quntico f(x)= f'., c(p) !,,(x)dp= 1 J""c(p)eipx;r, dp. oc 1 ~2r.n -oo (3.34] O coeficiente de expanso (agora uma funo, c(p)) obtido, como sempre, com o uso do truque de Fourier: [3.35] Alternativamente, voc pode obt-lo a partir do teorema de Plancherel (Equao 2.102), j que a expanso (Equao 3.34) nada mais do que a transformada de Fourier. As autofunes do momento (Equao 3.32) so sinusoidais, c tm o seguinte compri- mento = 2r.fl. p (3.36] Trata-se da antiga frmula de de Broglie (Equao 1.39), a qual prometo comprovar no momento apropriado. Ela vem a ser um pouco mais sutil do que de Broglie imaginou, pois sabemos agora que partkulas com momento determinado no existem. Mas poderamos fazer um pacote de onda normalizvel com um intervalo estreito de momento, e tal objeto que a relao de de Broglie se aplica. E o que fazer com o Exemplo 3.2? Embora nenhuma das autofunes de pexista no espao de Hilbert, determinada linhagem delas (aquelas com autovalores reais) reside nos 'subr- bios' mais prximos com um tipo de quase normalizabilidade. Elas no representam estados fsicos possveis, mas ainda assim so muito teis (como j vimos em nosso estudo de espa- lhamento unidimensional).13 Exemplo 3.3 Calcule as autofunes e os autovalores do operador de posio. Resposta: sejam gyCx) a autofuno e y o autovalor: xg, (x) = yg (x)..V .Y [3.37] y um nmero fixo (para qualquer autofuno dada), mas x uma varivel continua. Que funo de x tem a propriedade de, multiplicada por x, resultar no mesmo valor que teria se multi- plicada pelaconstante y? Obviamente, a resposta zero, exceto no ponto em que x = y; na verdade, essa funo a delta de Dirac: gy(x) == A8(x - y). Dessa vez, o autovalor tem de ser real. As autofunes no so quadrado-integrveis, mas novamente admitem a ortonormaldade de Dirac: f:g:.(x)gy(x)dx=l Al 2 f_:(x-y')8(x-y)dx=l A 12 (y-y'). [3.38] 13 E as autofunes com autovalores no reais? Elas no so meramente no normalizveis; na verdade, divergem em +oo. As funes as quais chamei de 'subrbio' do espao de Hilbert (a rea metropolitana inteira tambm , s vezes, chamada de 'espaode Hilbert estriado'; veja, por exemplo, Leslie Ballentine(Quantw11 Mechanics: A Modem Developme11t, World Scientific, 1998) tem a seguinte propriedade: embora no tenham um produto interno (finito) prprio, elas admitem, sim, produtos internos com todos os membros do espao de Hilbert. Isso 11o verdadeiro para as autofunes de pcom autovalores no reais. Mostrei, especialmente, que o operador de momento herrni- tiano parafu11es noespao de Hilbert, porm, o argumento depende da dispensa do termo de contorno (na Equao 3.19). Aquele termo ainda zero se g for uma autofuno depcom um autovalor real (contanto que f esteja no espao de Hilbert), mas no se o autovalor tiver uma parte imaginria. Nesse sentido, qualquer nmero complexo um autovalor para o operadorp,mas somente nmeros reais so autovalores para o operador hermitianop. Os outros permanecem fora do espao em que p hermitiano. 85. 3.4 Captulo 3 Formalismo 81 Se escolhermos A = 1, g.(x) = (x y), [3.39] ento, [3.40] Essas autofunes tambm so completas: [3.41] com c(y) =f(y) [3.42] (parece trivial, mas voc pode obter a resposta a partir do truque de Fourier). Se o espectro de um operador herrnitiano co11tnuo (nesse caso, os autovalores so ro- tulados por uma varivel continua; p ou y nos exemplos; z, genericamente, na scquncia), as autofunes no so normalizveis, no esto no espao de Hilbert e no representam estados fsicos possveis. Contudo, as autofunes com autovalores reais so ortonormalizveis de Dirac e completas (com a somatria agora sendo uma integral). Felizmente, isso tudo de que . preCisamos. Problema 3.9 (a) Cite um Hamilloniano visto no Captulo 2 (um que seja diferellte do oscilador harmnico) que tenha apenas espectro discreto. (b) Cite um Hamiltoniano visto no Captulo 2 (um que seja diferente da partcula livre) que tenha apenas espectro contnuo. (c) Cite um Hamiltoniano visto no Captulo 2 (um que seja diferente do poo quadrado finito) que tenha tanto a parte discreta como a contnua do espectro. IProblema 3.10 O estado fundamental do poo quadrado infinito uma autofuno do momento? Se sim, qual o seu momento? Se no, explique por qu Interpretao estatstica generalizada No Captulo 1, mostrei como calcular a probabilidade que uma partcula tem de ser en- contrada em determinado local c como determinar o valor esperado de qualquer quantidade observvel. No Captulo 2, voc aprendeu como encontrar os resultados possveis de uma me- dida de energia e suas probabilidades. Agora, tenho condies de mencionar a interpretao estatstica generalizada, que inclui tudo isso e permite que voc encontre os resultados poss- veis de qualquer medida e suas probabilidades. Juntamente com a equao de Schrodinger (que diz como a funo de onda evolui no tempo), um dos fundamentos da mecnica quntica. 86. 82 Mecnica quntica Interpretao estatstica generalizada: se voc medir um observvel Q(x, p) em uma par- ~ tcula no estado 'l'(x, t), certamente obter um dos autovalores do operador hermitiano Q (x, A -ifd/dx). Se o espectro de Q discreto, a probabilidade de se obter determinado autovalor qn associado autofuno normalizada fn(x) de lc 12 , emque c =(!. lw).,., , ,. [3.43] Se o espectro contnuo, com autovalores reais q(z) e autofunes ortonormalizadas de DiracJ,(x), a probabilidade de se obter um resultado no intervalo dz de Ic(z) 1 2 dz, onde c(z) = (!. I'I'). [3.44] Como consequncia da medida, a funo de onda'colapsa' no autoestado correspondente.14 A interpretao estatstica radicalmente diferente de qualquer coisa na fsica clssica. Uma perspectiva diferente, de certa forma, ajuda a torn-la plausvel: as autofunes de um operador observvel so completas e, portanto, as funes de onda podem ser escritas como uma combinao linear delas: 'l!(x,t) ="'c f. (x).L..J " ,, [3.45] IJ (Para simplificar, suponhamos que o espectro seja discreto; fcil generalizar esse argumento para o caso contnuo.) E como as autofunes so ortonormais, os coeficientes so dados pelo truque de Fourier:15 [3.46] Qualitativamente, cn informa 'o quantoAdefn est contido em 'l'', e dado que uma medida tem de resultar em um dos autovalores de Q, parece razovel que a probabilidade de se obter determinado autovalor qn seja determinada pela 'quantidade defn' em 'Ir. Mas, como as pro- babilidades so determinadas pelo quadrado absoluto da funo de onda, a medida exata , na verdade, I cn 1 2 Essa a funo essencial da interpretao estatstica generalizada.16 claro que a probabilidade total (soma de todos os resultados possveis) tem de ser um: [3.47] IJ c isso, certamente, decorre da normalizao da funo de onda: [3.48] = "'"'c~c 8J ="'/c = "'lc 1 2 .L...JL_; h n nn L....,; 11 H ~ n w n n n Similarmente, o valor esperado de Q deveria ser a soma de todos os resultados possveis do autovalor vezes a probabilidade de se obter aquele autovalor: (Q)=Lq"lcn 12. [3.49] , 14 No caso do espectro contnuo, o colapsose d com um intervalo estreito do valor medido, dependendo da preciso do mecanismo de medida. 15 Observe gue a dependncia do tempo- que no est em foco, nesse caso- carregada pelos coeficientes; para tornar isso mais claro, deveramos escreverc.(t). 16 :-Jovamente, evito escrupulosamentea afirmao muito comumde que' I c. 12 a probabilidade de que a partcula esteja no estadof.'. Isso absurdo. A partfcula est no estado 'IJr, e pontofinal. Mas I c 12 a probabilidade de quen , n uma medida de Q produza o valor q,. E verdade que tal medio colapsar o estado da autofuno/,.,assim que algum poderia dizer que' 1c. 12 a probabilidade de que uma partcula, que no momento seencontra no estado 'i!, esteja no estadof. Jogo aps a medida de Q'... Mas essa uma afirmao completamente diferente. 87. Captulo 3 FormoNnO S3 De fato, [3.50] A porm Qfn = qJn, assim (Q) L . ( ) LL. L 2 c ,C I = c ,C 8 = Ic I .11 .,q., J., J., 11 ,q, n'n q, 11 n' n 11' " n [3.51] At agora, ao menos, tudo parece fazer sentido. Conseguiramos reproduzir, com essa linguagem, a interpretao estatstica original para a medida de posio? Claro que sim; um verdadeiro exagero, mas vale a pena verificar. Uma medida de x em uma partcula no estado'f! deve resultar em um dos autovalores do operador posio. Bem, no Exemplo 3.3 vimos que todo nmero (real) y um autovalor de x, e que a autofuno (ortonormalizada de Dirac) correspondente g/x) = 8 (x- y). Obviamente, [3.52] assim, a probabilidade de se obter um resultado no intervalo dy de I'fl'(y, f) 12dy, que preci- samente a interpretao estatstica original. E o momento? No Exemplo 3.2, vimos que as autofunes do operador de momento so f. (x) = (1I J21rli) exp(ipxI li), assimp c(p) = (!. Iw)= 1 f"' e-tpxthqt(x,t)dx. p J27Tii. ... [3.53] Essa quantidade to importante que damos a ela um nome e um smbolo especiais: fun- o de onda no espao de momento, (p, t). Essa funo , essencialmente, a transformada de Fourier da funo de onda (no espao de posio) W(x, f), que, pelo teorema de Plancherel, a sua transformada de Fourier inversa: 1 Joc(p,t)dp. 27Th 1'>0 [3.54] [3.55] De acordo com a interpretao estatstica gencraHzada, a probabilidade de uma medida de momento produzir um resultado no intervalo dp de I(p,t) 1 2 dp. [3.56] Exemplo 3.4 Uma partcula de massa m est limitada ao poo funo delta V(x) = -a (x). Qual a probabilidade de uma medio de seu momento produzir um valor maior do que p0 = malh? Resposta: a funo de onda (no espao de momento) (Equao 2.129) 'l'(x,t)= .,f;;;;e mul.l'l/h 1 e lit/h 1'1 (em que E= -mcx212fl2). A funo de onda no espao de momento , portanto, 88. 84 Mecnica quntica (Consultei a integral.) A probabilidade, ento, de 2 f"' 1 1 pp -p~ dp=- ' o +tg 'TI' />,, (p2 +p~ )2 'ii p" +~~~ r"I P I rolPo 1 1 =---=0,0908 4 2'1T (Novamente, consultei a integral.) f Problema 3.11 Calcule a funo de onda no espao de momento, (p, t), para uma partcula no estado fundamental do oscilador harmnico. Qual a probabilidade (para 2 algarismos signifi- cativos) de uma medida de p em uma partcula nesse estado produzir um valor fora do il1tervalo clssico (para a mesma energia)? Dica: d uma olhada em uma tabela matemtica, em 'Distribuio normal' ou 'Funo Erro' para a parte nwnrica, ou use o software Mathematica. I Problema 3.12 Demonstre que (x)=J

l/2) na Seo 1.6, c voc j voltou a ele vrias vezes para resolver os problemas propostos. Porm, nunca provamos, de fato, o prin- cpio da incerteza. Nesta seo, provarei uma verso mais geral desse princpio, c explorarei algumas de suas implicaes. O argumento lindo, mas bastante abstrato, de modo que voc dever ficar bastante atento. 3.5.1 Prova do princpio da incerteza generalizado Para qualquer observvel A, temos (Equao 3.21): a~=( (A))'l!l (- (A))'1')=(!I f), em quef= ( - (A))'1'. Da mesma forma, para qualquer outro observvel, B, a~ =(glg), em que g=(B- (B))fl. 89. Captulo 3 Formalismo 85 Portanto (usando a desigualdade de Schwarz, Equao 3.7), Agorn, para qualquer nmero complexo z, I:f= [Rc(z)] 2 +{Im(z)f [lm(z)f =~~(z-z*) 2 Portanto, seja z = (fi g), (!lg)- ( certamente real, portanto, isso significa que a constan- te c deve ser puramente imaginria; vamos cham-la de ia. A condio necessria e suficiente para a incerteza mnima, ento, g(x) = iaf(x), em que n real. [3.66] Para o princpio de incerteza posio-momento, esse critrio se toma: [3.67] que uma equao diferencial para 'I' como uma funo de x. Sua soluo geral (Problema 3.16) [3.68] Evidentemente, o pacote de onda de incerteza mnima uma gaussiana, e os dois exem- plos que encontramos antes eram gaussianos.20 I Problema 3.16 Resolva a Equao 3.67para 'Jf(x). Note que (x) e (p) so constantes. .5.3 Princpio da incerteza para energia-tempo O princpio da incerteza para posio-momento geralmente escrito da seguinte forma: [3.69] 20 Observe que o nico foco aqui a dependncia de 'I' em x. As 'constante:.' A, a, {x) e lp/ podem ser funs do tempo c, para isso, 'I' tal"ez tenha de se afastar da forma mnima. O que e~tou afirmando que, ~em algum momento a funo de onda for gaussiana em x, ento (naquele momento), o produto da incerteza ! fi. 2 [3.70] De fato, no contexto da relatividade especial, a forma energia-tempo pode ser vista como uma consequncia da verso posio-momento, pois x e t (ou melhor, ct) seguem juntos no quadrivetor posio-tempo, enquanto p c E (ou melhor, E/c) seguem juntos no quadrivetor energia-momento. Assim, em uma teoria relativstica, a Equao 3.70 seria uma concomitante necessria para a Equao 3.69. Porm, no estamos trabalhando com mecnica quntica re- lativstica. A equao de Schroclinger explicitamente no relativstica: trata f ex em termos muito desiguais (como uma equao cfercncial de primeira ordem em t, porm, de segunda ordem em x), e a Equao 3.70 est, enfaticamente, 11io implicada pela Equao 3.69. Meu obje- tivo agora derivar o princpio da iJ1ccrteza para a energia-tempo e, nesse processo, persuadi- -lo de que ele um monstro completamente diferente dos outros, cuja semelhana superficial com o princpio da incerteza na posio-momento , na verdade, ilusria. Afinal, posio, momento e energia so variveis dinmicas; so caractersticas mensur- veis do sistema, em quaIquer tempo dado. Porm, o prprio tempo no uma varivel dinmica (pelo menos, no emuma teoria no relativstica): voc no sai simplesmente medindo o 'tempo' de uma partcula como voc pode fazer com sua posio e sua energia. O tempo a varivel independente, da qual as quantidades dinmjcas sofunes. Espccialmcntc, o D.t no princpio da incerteza para a energia-tempo no o desvio-padro de um conjunto de medidas do tempo; a grosso modo (serei mais preciso em breve), otempo que leva osistema pam mudar substancialmente. Para avaliar o quo rapidamente o sistema est mudando, calcularemos a derivada tem- poral do valor esperado de um observvel Q(x, p, t): Agora, a equao de Schroclinger diz que (em que H= p2/2m +V o Hamiltoniano). Sendo assim, " ,... ,.. .... ,.. Porm, H hermtano, e ento, (H'l' IQ'l')=('l' lliQ'V), portanto, [3.71] Esse um resultado interessante e tilpor si s (veja os problemas 3.17 e 3.31). No caso tpico, em que o operadorno depende explicitamente do tempo,22 ele nos informa que a taxa de variao 21 Muitas aplicaes casuais do princpio da incerteza so, na verdade, baseadas (em geraL inadvertidamente) em uma medida, nem sempre justificada, completamente diferente da medida da 'incerteza'. Por outro lado, algtms Mgu- mentos perfeitamente rigorosos usam outras definis de 'incerteza'. Veja Jan Hilgevoord,Amf. Phys. 70, 983 (2002) ' 22 Operadores que dependem explicitamente de t so muito raros, assim, qrtase srmpre, 8Q/at - O. Como exemplo de dependncia explcita de tempo, considerea energia potencial do oscilador harmnico cuja constante de mola est mu- dando (talvez a temperatura esteja atunentando e, por isso, a mola estejaficando mais flexvel): Q~ (1/2)m[w(f)f:..2. 93. Captulo 3 Formalismo 89 do valor esperado determinada pelo comutador do operador com o Hamiltoniano. Em especial, ~ . se Qcomuta com H, ento (Q) constante e, dessa maneira, Q uma quantidade consen-'ndn. Agora, considere a escolha de A = H e B Q no princpio da incerteza generallzado (Equao 3.62), e suponha que Qno depende explicitamente de l: d(Q) 2 dt tl, mais simplesmente, "d(Q)(JH(JQ >- . - 2 dt [3.72] Definindo AE = crw e [3.73] Ento, [3.74] e esse o princpio da incerteza para a energia-tempo. Porm, observe o que se entende por At aqui: sendo d(Q) CJn= .t, "' dt At representa a quantidade de tempo que o valor esperado de Q leva para mudar por um desvio- -padro.2J Em especial, At depende inteiramente de qual observvel (Q) voc esteja usando; a mudana pode ser rpida para um observvel, c lenta para outro. Porm, se AE pequeno, ento a taxa de mudana de todos os observveis deve ser bem gradual; ou, no sentido inverso, se qualquer observvel muda rapidamente, a 'incerteza' na energia deve ser grande. Exemplo 3.5 No caso extremo de um estado estacionrio, para o qual a energia singularmente determinada, todos os valores esperados so constantes no tempo {Llf =O~ M = oo), conforme notamos h algum tempo ('Cja a Equao 2.9). Para que algo accmtea, voc tem de usar uma com- binao linear com pelo menos dois estados estacionrios. Por exemplo: '"( ) ) -iE.t!h b it t/h 't' :r,t =a~11 (x c + ~12(x)e . Se a, b, W1 e 'l(t~ so reais, , , , , 2 EE l']l(x,l)l- tr(t)1 1 (x)) +b"(~'/x)) +2abtJI1 (x)tjJ,(x)ros 2 1t. fi O plrodo de oscilao T -=- 2-rrli/(E2 - F.1 ). A grosso modo, AE ..., E2 - E1 e Lli = :-(para o cl- culo exata, veja o Problema 3.18), de modo que de fato 6 ?}t/2. 23 s vezes isso tambm chamado de frmula de 'Mandclstam-Tamm' do princpio da incerteu para a energia- -tempo. Para um estudo sobre (p, t) a expanso de I~) na base das autofunes de momento: (p,t) =(p I~(t)) [3.76] y A,. X (a) (b) (C) FIGURA 3.3 (a) Vetar A. (b) Componentes de A em relao aos eixos xy. (c) Componentes de A em rela- o aoseixosx'y'. 25 No quero cham-lo de g, (Equao 3.39), pois essa sua forma na base de posio, c a questo aqui nos libertar- mos de qualquer base determinada. Na verdade, j ficou bastante restrito quando defini o espao de Hilbert como oconuntodefunes quadrado-integrveissobrex,o quenos comprometea uma representaoespecfica(abase de posio). Agora quero imagin-lo como um espao vetorial abstrato, cujos membros podem ser expressos com relao a qualquer base que voc queira. 96. 91 Mecnica quntica (com Ip) representando a autofuno de pcom autovalor p)Y Ou poderiamos expandir 1-s) na base de autofunes de energja (considerando, para simplificar, que o espectro seja discreto): c,(t) = (n 1-s(t)) [3.77] ' (com In) representando a n-sima autofuno de H)- Equao 3.46. Porm, so todos o mesmo estado; as funes '1' e , e o conjunto de coeficientes {cn)_ contm exatamente a mesma informao; elas so, simplesmente, trs diferentes maneiras de descrever o mesmo vetor: L - 1E t/P.,1, ( ) = ce...,x.11 H [3.78] Operadores (representando observveis) so transformaes lineares; eles 'transformam' um vetor em outro: I~) = QIa). [3.79] Assim como os vetores so representados com relao a uma base determinada (I en)127 por seus componentes, la) = "'a le), mmn = (e la); l13)="'b le ). comb = (e 1~), [3.80]~ u u r 11 L_; n 11 11 n 11 11 operadores so representados (comrelao a uma base determinada) pelos elementos de suas matrizes2R (e IQA Ie ) =Q .fl1 u mn [3.81] Nessa notao, a Equao 3.79 toma a forma de b le = n eL '" ) IIQI ). [3.82] n 11 ou, considerando o produto interno com Iem), Lb11 (em Ie.,)= L:a,(e111 IQI e11 ), [3.83] b 11 e, portanto, b = "'Q am .L...J rmr ,, [3.84] n Assim, os elementos da matriz indicam a forma com que as componentes se transformam. Mais adiante, encontraremos sistemas que admitem somente um nmero finito (N) de estados linearmente independentes. Nesse caso, 1-s(t)) permanece em um espao vetorial N- -dimensional; pode ser representado como uma coluna de (l0 componentes (em relao a uma base dada) e os operadores tomam a forma de matrizes comtms (N x N). Estes so os sistemas qunticos mais simples; no h nenhuma ocorrncia das sutilezas relacionadas ao espao vetorial com dimenso infinita. O mais fcil de todos o sistema de dois estados, o qual exploraremos no prximo exemplo. Exemplo 3.8 Imagine um sistema no qual haja apenasdois estadoslinearmente i.ndepcndcntes:2'i 11)=( ~ ) e 12)=( ~ ) 26 I'o espao de posio seriafr(x) (Equao 3.32). 27 S~tponho que a base seja discreta; caso contrrio, 11 se tornaria 1m1 ndice contnuo e as somatrias seriam substi- tudas por integrais. 28 Essa terminologia inspirada, obviamente, pelo caso com dimenso finita, porm, a 'matriz' ter agora, tipica- nwnte, um nmero infinito (talvez at mesmo incontvel) de elementos. 29 Aqui, tecnicamente, os sinais 'iguais' significam 'est representado por'; porm, no creio que faremos confusll se adotarmos a notao usual informal. 97. Captulo 3 Formalismo 93 O estado mais geral uma combinao linear normalizada: O I lamiltoniano pode ser expresso como uma matri;~, (hermitiana); suponh.1 que tenha a for- ma especfica H = h g , g lt em que ge lz so constantes reais. Se o sistema se inicia (em t =O) no estado 11), qual o seu estado no tempo t? Resposta: a equao de Schrodinger (dependente do tl'mpo) diz que ih!!_ 1,&) =H 1~). dt [3.85] Como sempre, comearemos resolvendo a equao de Schrdinger independente do tempo: H I-&}= E I~); [3.86] isto , procuraremos os autovetores e os autovalores de H. A equao caracterstica determina os autovalores: dct[ h-E g g lt - E Evidentemente, as energias permitidas s.i.o (h + g) e (h - g). Para determinar os autovetores, escrev~;>mos h g ( a J=(lr:;:;g)( f3=a, g h f3 f3 assim os autovetores normalizados so I~} . l l 1 1fi 1 . Em seguida, expandiremos o estado inicial como uma combinaio linear de autovetores do Hamiltoniano: 1~(0))=-[ b)=i[I-& ,)+1~ )). cos(gt I h) -i sen(gt /li) Caso voc tenha dvidas sobre esse resultado, t>erifiquc: ele satisfaz a equao de Schrodinger dependente do tempo? Ele corn:sponde ao estado inicial quando t =O? 98. 94 Mecnica quntica Esse um modelo bruto (entre outras coisas) de oscilaes de neutrinos. Nesse caso, 11) representa o neutrino do eltron, e I2}, o neutrino do mon; se o Hamiltoniano temum termono nulo fora da diagonal (g), ento, no decorrer do tempo, o neutrino do eltron se transformar no neutrino do mon (e vice-versa). Dirac props dividir a notao de bracket para o produto interno, (a 113), em duas partes, as quais ele chamou debra, (a I, e ket, 113) (no sei o que aconteceu com a letra c). O ltimo um ve-, tor, mas o que exatamente o anterior? E umaJuno linear de vetores, no sentido de que, quando atinge um vetor ( sua direita), produz um nmero (complexo): o produto interno. (Quando um operador atinge umvetor, umnovo vetor gerado; quando um bra atinge umvetor, um nmero gerado.) Em uma funo de espao, obra pode ser considerado uma instruo para integrar: UI =ff*[..]dx, com as reticncias[...] aguardando para serem preenchidas por qualquer funo que obra encontreno ket sua direita. Em um espao vetorial com dimenso finita, com vetores expressos em colunas, [3.87] an o bra correspondente um vetor linha: [3.88] O conjunto de todos os bras constitui outro espao vetorial: o chamado espao dual. A licena para tratar os bras como entidades separadas permite notaes mais poderosas e precisas (embora eu no v explorar isso neste livro). Por exemplo, se Ia) for um vetor nor- malizado, o operador P= la)(al [3.89] escolhe a parte de qualquer outro vetor que 'esteja' em Ia): P113) =(a 113) Ia); o chamamos de operador de projeo para o subespao unidimensional gerado por Ia). Se {Ien)) uma base ortonormal discreta, (em Ie,)=,111 , [3.90] ento, [3.91] n (o operador identidade). Para o caso de deixarmos esse operador agir em qualquer vetor Ia } recuperamos a expanso de Ia) na base {I e")}: "le}(e la)=la).L_; H ,_ [3.92] 11 Similarmente, se {Ie )) uma base contnua ortonormalizada de Dirac,z (e_le..)=(z-z'), < - [3.93] ento, f ie )(e ldz=l. [3.94] As equaes 3.91 e 3.94 so as maneiras mais organizadas de expressar completude. 99. Captulo 3 Formo'lsmo 95 Problema 3.21 Demonstre que os operadores de projeo so idempotentes: P = P. Determine A os autovalores de P e caracterize seus autovetores. Problema 3.22 Considere um espao vetorial tridimensional gerado por uma base ortonormal 11}, 12}, 13}. Kets Ia }e I13}so dados por lcx)=i l1)-212)-i l3), 113) = il1)+213). (a) Monte (a I e (131 (nos termos da base dual (11, (21, (31 ). (b) Calcule (a 113}e (131 a} e confirme que (131 a }= (a 113). (c) Calcule os nove elementos da matriz do operador A = Ia}(l31 nos termos dessa base e monte a matriz A. Ela hermitiana? Problema 3.23 O Hamiltoniano para determinado sistema de dois nveis H= E( 11)(11 12)(21 + 11}(21 +12)(11), em que 11}, 12) uma base ortonormal e E um nmero com as dimenses da energia. Encontre seus autovalores e autovetores (corno combinaes lineares de 11) e 12}). Qual a matriz H que A representa H em relao a essa base? A Problema 3.24 Seja Qum operador com um conjunto completo de autovetores ortonormais: A Qle )= q Ie ) (n= 1,2,3,...).11 , 11 A Demonstre que Qpode ser escrito em termos de sua decomposio espectral: Q='l:qnlen)(en I. Dica: um operador caracterizado por sua ao em todos os vetores possveis, portanto, o que voc deve mostrar que para qualquer vetor Iex). Mais problemas para o Captulo 3 Problema 3.25 Polinmios de Legendre. Use o procedi- mento de Gram-Schmidt (Problema A.4) para ortonorma- lizar as funes 1, X, r e .x3 no intervalo - 1 :5 X < 1. Talvez voc reconhea os resultados: eles so ( parte da normali- zao)'lOos polinmios de Legendre {Tabela 4.1). (a) Demonstre que o valor esperado de um operador anti-hermitiano imaginrio. Problema 3.26 Um operador anti-hermitiano igual a nenos o seu conjugado hermitiano: A A Q =-Q. [3.95] (b) Demonstre que o comutador de dois operadores her- mitianos anti-hermitiano. E o comutador de dois operadores anti-hermitianos, o que ? A Problema 3.27 Medies sequenciais. Um operador A representando o observvel A tem d01s autoestados nor- malizados, o/1 e 'l'2 , com autovalores n1 e a2 , respectiva- 30 Legendre no sabia qual seria a melhor conveno; ele escolheu o fator global para que todas as suas funes fossem 1 em x = 1, e agora estamos presos a essa escolha infeliz. 100. 9 Mecnica quntica A mente. O operador B, representando o observvel B, tem dois autoestados normalizados, 1 c 2 , com autovalores b1 e b7 Os autoestados esto relacionados por (a) O obscrv,cl A medido e o valor a1 obtido. Qual o estado do sistema (imediatamente) aps a medida? (b) Se a medio de Bj foi feita, quais so os resultados possveis, e quais so as probabilidades para cada um deles? (c) Logo aps a medio de B, A medido novamente. Qual a probabilidade de se obter a? (Observe que a resposta scrin bem diferente se eu tivesse informado o resultndo das medies de B.) **Problema 3.28 Calcule a funo de onda para o espa- o de momento hmes de onda carregar a dependnda de tempo),~ J. ainda, imprensando 0'Q entre '1-'(x, O)*e 'l'(x, 0), deixando assim que o operador carreguea dependnda do temp- O primeiro chamado de representao de Schrdinger, e o ltimo chamado de representao de Heisenber; 103. Captulo 4 Mecnica quntica em trs dimenses 4.1 Equao de Schrdinger em coordenadas esfricas A generalizao para trs dimenses simples. A equao de Schrodinger diz que ih ft = H'IJf; [4.1] 8t o operador1 Hamiltoniano H obtido da energia clssica pela receita-padro (aplicada agora a y e a z, bem como a x): ou para resumir. Assim h tz n p -+---, p -+-- p -+-- X ix v iy' z iz' 1l p -+ -:'V, I [4.2) [4.3] [4.4] 1 Para evitar confuso, tenho colocado 'acento circunflexo' nos operadores para distingui-los dos observveis clssi- cos corrc:.pondentes. No creio que haver muitas ambiguidades neste captulo, e os acentos circunflexos so um pouco trabalhosos, de modo que vou elinn-los de agora em diante. 104. 100 Mecnica quntica onde [4.5] o Laplaciano, em coordenadas cartesianas. A energia potencial V e a funo de onda'lf so agora funes de r = (x, y, z) e t. A proba- bilidade de se encontrar a partcula no volume infinitesimal d3r = dx dy dz de I'V(r, t) 12 d3 r, e a condio de normalizao diz que [4.6] com a integraI percorrendo todo o espao. Se o potencial independente do tempo, haver um conjlillto completo de estados estacionrios, {f (r t) = 1 (r)e r/ ,til> 11 I 't'lf I [4.7] nos quais a funo de onda espacial ljln satisfaz a equao de Schrdinger independente do tempo: [4.8] A soluo geral para a equao de Schrdinger (dependente do tempo) 'l'(r,t) - c tjl (r)e r" , L "f 1/~ n 'r [4.9] com as constantes cn determinadas pela funo de onda inicial, W(r, 0), como sempre. (Se o potencial admite estados contnuos, ento a somatria da Equao 4.9 se torna uma integral.) *Problema 4.1 (a) Resolva todas as relaes de comutao cannicas para os componentes dos operadores r e p [x, y], lx, p), [x, pJ, [py, p,], e assim por diante. Resposta: [r,7J ]= - [p,r.] = ih 1 , [r,r]=[p,1J .]=0,r 1 1 1 1 r 1 r r, [4.10] em que os ndices representam x, y ou z, e r,= x, r).= y e r7 - z. (b) Confirme o teorema de Ehrenfest para trs dimenses: !!_(r)=_!_(p) e !!_(p) =(-VV). dt 111 dt [4.11] (Cada uma delas, claro, representa trs equaes, uma para cada componente.) Dica: primeiro verifique se a Equao 3.71 vlida em trs dimenses. (c) Formule o princpio da incerteza de Heisenberg em trs dimenses. Resposta: [4.12] mas vamos dizer que no haja restrio em crpry 105. Captulo 4 Mecnico quntico em trs dimenses 101 4.1 .1 Separaco de variveis Tipicamente, o potencial uma funo somente da distncia da origem. Nesse caso, natural adotar coordenadas esfricas (r, O,) (veja a Figura 4.1). Nas coordenadas esfricas o Laplaciano toma a forma dc2 l-U3] Nas coordenadas esfricas, ento, a equao de Schrdinger independente do tempo diz que Comeamos buscando solues que sejam separveis em produtos: lj!(r,e,) R(r)Y(S,). Inserindo isso na Equao 4.14, temos 112 y d( dR) R ~(sene~)+ R a2Yl+VRY=ER.Y. 2m ~dr r dr r2 sene ae D6 r2sen26 2 Dividindo por RY e multiplicando por - 2mr2 /li2: X .!_~fr2 !!3_) 211 ~ 2 [V(r)- E] R dr dr 11 1 1 ( 0DY) 1 2 Y+- - sen - +---- - y senO DO a sen2 6D2 z - ___A' I I /~ / - I /- -__-.J/ ' ' =o. o y FIGURA 4.1 Coordenados esfricas: raio r, ngulo polar Oe ngulo azimulal o. [4.14] [4.15] 2 F.m princpio, isso pode ser obtido pela troca de v.1ri.vcs da expresso cartc~ian,, (Equao 4.5). Entr~tanto, h mant!iras muito mais cficicntl!::. di:! obt-lo; veja, por exemplo, M. Boas, Mlltft,malit"alllethod- m tl1e Plty-i.-a/ Scwnces, 2 ed. (Wiley, Nova York, 1983), Captulo 10,Seo 9. 106. 102 Mecnico quntico O termo na primeira chave depende somente de r, considerando-se que o restante de- pende apenas de ee; consequentemente, cada um deve ser uma constante. Por razes que surgiro no devido momento? escreverei essa 'constante de separao' na forma 1(/ + 1): .!!!._[r2 !!B.)-2 mr 2 [V(r)-E] = l(/+1); [4.16] R dr dr h2 [4.17] Problema 4.2 Use a separao de variveis em coordenadas cartesianas para resolver o poo cbico infinito (ou 'partcula em uma caixa'): V(x,y,z)= O, se x,y,z esto entre Oe a; co, caso contrrio. (a) Calcule os estados estacionrios e suas energias correspondentes. (b) Chame de E1 , E21 E3 ... as energias distintas, em ordem crescente. Encontre E1 , E2 , E3 , E4, E5 e E6 Determine a degenerescncia de cada um desses valores (ou seja, o nmero de estados distintos que compartilham da mesma energia). Comentrio: em uma dimenso, no ocor- rem estados ligados degenerados (veja o Problema 2.45), porm, em trs dimenses eles so muito comuns. (c) Qual a degenerescncia de Ew e por que esse caso interessante? 4.1.2 A equao angular A Equao 4.17 determina a dependncia de jJ em e e ; multiplicando por Ysen2e, toma-se sene- sene- + = -1(1 + 1)sen2 eY. [4.18] [ Y) 2 Y e e ) = 0(6)(). [4.19] Substituindo isso na equao e dividindo-a por 0, encontramos: - sene- sene- +1(1+1)sen2 e +- =0.1 d d) 1 d 2 e de de d, de modo quecada um dever seruma constante. Dessa vez} chamarei a constante de separao de m2: (4.20] 3 Observe que aqui no h perda de generalidade; nesse estgio, I poderia ser qualquer nmero complexo. Mai~ tarde, descobriremos que Ideve ser, na verdade, um nr111ero inteiro, e na antecipao desse resultado que expresso a constante de separao de urna forma que, nesse momento, pode parecer peculiar. 4 Novamente, no h perda de generalidade, sendo que nesse estgio m poderia ser qualquer nmero complexo: logo mais, no entanto, descobriremos que m deve ser, na verdade, um nlmero inteiro. Cuidado: a letra m tem ago- ra dupla funo, a de massa e a de constante de separao. No h maneira elegante de evitar essa confuso, sendo que ambos os usos so padro. Alguns autores usam M ou IJ. para massa, mas odeio mudar a notao no meio do caminho. Alm do mais, creio que no haver confuso, contanto que voc esteja atento ao problema. 107. Captulo 4 Mecnica quntica em trs dimenses 103 [!.21] A equao fcil: dl --=-nt2 => ()= eim. dl [4.22] [Na verdade, h duas solues: exp(im) e exp(- im); porm, cobriremos a ltima, permi- tindo quem seja negativo. Poderia haver tambm um fator constante na frente, mas provavel- mente o absorveremos em 0. A propsito, na eletrodinmica escreveramos a funo azimutal () em termos de senos e cossenos em vez de exponenciais, pois os potenciais eltricos devem ser reais. Na mecnica quntica no h tal restrio, e as exponenciais so muito mais fceis de se trabalhar.] Agora, quando progride em 2'1T, voltamos ao mesmo ponto no espao (veja a Figura 4.1), de modo que natural exigir que5 (+2'1T) = (). [4.23] Em outras palavras, exp[im( +2'1T)] = exp(im) ou exp(2'1Tim) = 1. A partir da, segue-se quem deve ser um nmero inteiro: m = 0,1,2,... [4.24] A equao em e, [4.25] no to simples. A soluo (e)= AP,m(cose), [4.26] em que P;" a funo associada de Legendre, definida pox-6 [ ] 11111 ~"'(x)=(l-x2)1ml/2 f P,(x), [4.27] e P1 (x) o l-simo polinmio de Legendre, definido pela frmula de Rodrigues: P(x)- 2..[.!!...]'(x2 -1)'. I 21[! dx [4.28] Por exemplo, e assim por diante. Os primeiros polinmios de Legendre esto listados na Tabela 4 1. Confor- me o nome sugere, P1 (x) um polinmio (de grau L) em x e par ou mpar, de acordo com a paridade de 1. Porm, Pt(x) no , em geral, um polinmio; sem mpar, ele carrega um fator de ~l-x2 : 5 Isso mais incerto do que parece. Afinal, a densidade de probabilidade (IIP I ~ tem valor nico, indqlt'ndmtementedo m. Na Seo 4.3, obteremos a condio de m por meio de um argumento inteiramente diferente (e condncente). 6 Note que P ~ = fJI!'. AlgLmS autores adotam uma conveno de sinais diferentes para 'alorC!t negati'OS de m; veja Boas (nota de rodap n 2), p. 505. 108. 104 Mecnica quntica TABELA 4.1 Os primeiros polinmios de Legendre, ~(x): (a) formo funcionaL (b) grficos. P0 =I pl =x P., = ; (3x2 - I) - - P3 =~ (5x3 - 3x) P4 = ~ (35x4 - 30x2 + 3) P5 =l. (63x5 - 70x3 + 15x) . 8 (a) l - I (b) P,'(x) =(1 - x')[!r~(3x' - 1)1=3(1- x'), ] X etc. (Por outro lado, precisamos de P;"(cose) e ~1-cos2 e= sen e, de modo que P7' (cose) sempre ser um polinmio em cos e, multiplicado pelo sen e-sem for mpar. Algumas funes as- sociadas de Legendre do cose esto listadas na Tabela 4.2.) Observe que 1deve ser um nmero inteiro no negativo para que a frmula de Rodrigues faa sentido; alm disso, se Im I > 1, ento a Equao 4.27 diz que P't= O. Para qualquer l dado, ento, h (21 + 1) possveis valores de m: 1=O, 1,2 ...; m= -1,-1+ 1, ...,-1, O, l, ...,l- 1, l. [4.29] Mas espere! A Equao 4.25 uma equao diferencial de segunda ordem: deveria ter duns solues linearmente independentes para quaisquer valores anteriores dele m. Onde esto as outras solues? Resposta: elas existem, claro, como solues matemticas para a equao, porm, sofisicamente inaceitveis, pois divergem em e= Oe/ou e= '1T (veja o Problema 4.4). TABELA 4.2 Algumas funes associados de Legendre, P~ (cos 6): (o) formo funcional. (b) grficos de r= P';'(cos 6) (nesses grficos, r diz qual o magnitude do funo no direo 6; os figuras deveriam ser rotocio- nadas sobre o eixo z). -' P~ = [;i(ihL,)r=~(L,)', ou [4.100] 21 Observe que todos os operadorc::. que encontramos na mecnica quntica (nota de rodap n 15, Capitulo 1) t.o dislributivos em relao somatriJ: A(B 1 C)= AB + AC. Especialmente [A, B I C]= [A, Bl +[A, C). 126. 122 Mecnica quntica Por isso, seria .intil procurar estados que so simultaneamente autofunes de L, e L . Por outro lado, o quadrado do momento angular total, 12 =e+e +L2 [4.1011x y z' comuta com L,: [L2 ,L ]=[L2 ,L ]+[L2 ,L ]+[L2 ,L]X XX yx ZX =L [L ,L ]+[L ,L ]L + L [L ,L ]+[L ,L ]Lyy x yxy zzx z xz =L (-ifiL )+(- ihL )L +L (itiL )+(iliL )Ly z z y z y y z = 0. (Usei a Equao 3.64 para simplificar os comutadores; note tambm que qualquer opera- dor comuta com ele mesmo.) Segue-se, naturalmente, que U comuta tambm com LY e L2 : [4.102] ou, mais compactamente, [4.103] Ento, U compatvel com cada componente de L, e podemos esperar encontrar autoesta- dos simultneos deU e (por exemplo) Lz: [4.104] Usaremos a tcnica do 'operador escada', muito similar que aplicamos ao oscilad..::- harmnico na Seo 2.3.1. Seja L = L iL.X y [4.105: O comutador com Lz [L ,L]=[L ,L ]i[L ,L ] = inL i(-i11L )=h(L L ),Z ZX zy Y X X y ento [L ,L ]=1iL,.z :1: :r [4.106 E, claro, [4.107" Afirmo que sef uma autofuno deU e Lz, ento L f tambm o : a Equao 4.107 diz q-. [4.108 ento Lf uma autofuno deU, com o mesmo autovalor X., e a Equao 4.106 diz que L2 (Lf)=(LzL -LL)f+ LLJ =liLf +L::r:.(JJ.f) =(IJ-Ii)(Lf), [4.100 ento LJ uma autofuno de L2 , com o novo autovalor JJ. l. Chamamos L+de operador 'levantamento', pois aumenta o autovalor de L, em n, e L_ de operador de 'abaixamento', r- diminui o autovalor em l. Para um dado valor de , ento, obtivemos uma 'escada' de estados, com cada 'deg;- separado dos outros por uma unidade de l no autovalor de Lz (veja a Figura 4.8). Para su..~ a escada, aplicamos o operador de levantamento, e, para descer, o operador de abaixamer 127. Captulo 4 Mecnica quntica em trs dimenses 123 f, . f.1 + 3h l.li==:~Fc.'f L~f FIGURA 4.8 'Escada' dos estados do momento angular. Porm, esse processo no pode continuar ocorrendo eternamente: eventualmente, atingiremos o estado para o qual o componente z excede o total, e isso no pode acontecer.22 Tem de existir um 'degrau mximo',ft, tal que23 [4.110] Seja l.l o autovalor de Lz nesse degrau mximo (a adequao da letra 'l' aparecer em breve): [4.111] Agora, LL_=(L iL )(L +iL )=L2 +L2 +(L L - L L)+ .t y x y x y xy yx = L2 -e-(inL )z+ z' ou, explicando de outra maneira, [4.112] 22 Formalmente, (U) = (L!) + (L~) + (L;), mas (L!) = O (o mesmo vale para LY), ento 11. =(L~} + (L~) + fJ-.2 ;:: J.ll. 23 Na verdade, o que podemos concluir que L ft 11o IWrmalizvel; sua norma pode ser infinita em vez de zero. O Problema 4.18 explora essa alternativa. 128. 124 Mecnica quntica Segue-se que e, portanto, [4.113] Isso nos diz o autovalor deU em termos do autovalor mximo de L .z Ao mesmo tempo, h tambm (pela mesma razo) um degrau mais baixo, fb, tal que L_/1 , = O. [4.114] - Seja ll o autovalor de Lz nesse degrau mais baixo: LJb = !iTfi>; L 2 J;, = Xfv Usando a Equao 4.112, temos L1 fb =(L 1 L +L~ -tiL)f,,= (O+h2 l 2 - tr2 l)f1 , = t?T(l-1)/b' e, portanto, [4.115] [4.116] Comparando as equaes 4.113 e 4.116 vemos que 1(1 + 1) = 1(1 -1), ento, ou I= 1+ 1 (o que absurdo, j que o degrau mais baixo seria mais alto do que o degrau mais alto!) ou 1=-1. r4.117J Evidentemente, os autovalores de L7 so ml, em que m (a adequao dessa letra ser es- clarecida em breve) vai de - I a t-1 em N passos inteiros. Em especial, segue-se que l = - 1+ N, e, portanto, I = N/2, sendo que l deve ser um nmero inteiro ou semi-inteiro. As autofunes so caracterizadas pelos nmeros I em: e!,"'= 1i 2 /(/J-1)J;"'; LJ/" = tnrrJ,T/1 I l4.118] em que I= O, 1/2, 1, 3/2,...; m = -1, - 1+1,...,1-1, I. [4.119] Para um valor dado de l, h 21 +1 valores diferentes de m (isto ,2l +l'degraus' na 'escada'). Algumas pessoas gostam de ilustrar esse resultado com o diagrama da Figura 4.9 (elabora- do para o caso l = 2). As setas devem representar os possveis momentos angulares. Em unida- des de fl eles tm o mesmo comprimento Jz(l+1) (nesse caso, J6= 2,45), e seus componentes= so os valores permitidos de m (-2, -1, O, 1, 2). Observe que a magnitude dos vetores (o raio da esfera) maior do que o componentez mximo! (Em geral, ~I(I-: 1) >l, exceto para o caso 'trivial' I= 0.) Evidentemente, voc no pode obter o momento angular que indicar perfeitamente a direo z. A princpio, isso parece absurdo. 'Por que no posso escolher meus eixos para que:;: indique a direo do vetor de momento angular?' Bem, para que isso acontecesse voc teria de conhecer os trs componentes simultaneamente, e o princpio da incerteza (Equao 4.100) diz que isso impossvel. 'Tudo bem, mas, certamente, de vez em quando, com alguma sorte, vai acontecer de a direo de L estar na mira do meu eixo z.' No, no! Voc no entendeu. No que voc no conhea as trs componentes de L; simplesmente no existem trs componentes. Uma partcula no pode ter um determinado vetor de momento angular, assim como tambm no pode ter simultaneamente uma posio e um momento determinados. Se Lz tem um valor bem definido, ento L, eL, no o tm. At mesmo desenhar os vetoresnaFigura4.9 seria um equ- voco; na melhor das hipteses, eles deveriam ser distribudos em torno das linhas de latitude Para indicar que L eL so indeterminados.X V Espero que voc steja impressionado: por meios puramente algbricos, iniciando com as re- laes de comutao fundamental para o momento angular (Equao 4.99), determinamos os 129. Captulo 4 Mecnica quntica em trs dimenses 125 2 -1 -2 FIGURA 4.9 Estados do momento angular (para I= 2). autovalores deU c L,. sem nem mesmo ter visto as autofuncs! Voltaremos agora ao problema da construo das autofunes; porm, devo avis-lo de que isso muito mais complicado. S para voc saber que direo iremos tomar, comearei com uma frase de efeito:f;'= Y7' As auto- funes deU e L, nada mais so do que os antigos harmnicos esfricos, aos quais chegamos por um caminho bem diferente na Seo 4.1.2 (e por isso que escolhi as letras l c m, claro). E agora posso cUzer por que os harmnicos esfricos so ortogonais: porque eles so autofunes dos operadores hermitianos (U e L,) pertencentes a autovalores distintos (Teorema 2, Seo 3.3.1). .. *Problema 4.18 Os operadores de levantamento e abaixamento mudam o valor de m em uma unidade: L f."' = (A"' )f...,.1 = I I I I [4.120] em que A7' uma constante. Pergunta: qual o valor de A;'sc as autofunes devem ser normali- zadas? Dica: primeiro mostre que L. o conjugado hermitiano de L. Q que L,c Lv so observveis, voc deve supor que so tambm hermitianos... mas verifique, se quiser); ento; use a Equao 4.1J2. Resposta: A;" = fl~l(l+1)-m(m 1) 1iJ(l+m){l 111 +1). [4.1211 Observe o que acontt!cc no topo e na base da escada (isto , quando voc.: aplica I. para fiou L_ para/, 1 ). Problema 4.19 (a) Comeando pelas rdaes de comutao cannicas para posio c momento (Equao 4.10), resolva os ~cguintc~ comutadores: [L ,x]=ily, (L_,y]=-iflx, (f.:,p) =iflp 1 [L:,py]=-ihpr' [L,z] =O,: [1.,,,]=0.. : [-!.122] (b) Uhlize os resultados de (a) para obter [L, e LJ = iM diretamente da Equao 4.96. (c) Avalie os comutadores [L,, r1 ] e [LL,p2 ] (nos quais, claro, r x2 ~ y2 +::2 c p2 P! +p~ - pJ (d) Demonstre que o Hamiltoniano H= (p1 /2m) + V comuta com os trs componentes de L, sendo que V depende somente de r. (De modo que H, F c L, so observveis mutuamente compatveis.) 130. 126 Mecnica quntica "*Problema 4.20 (a) Prove que para uma partcula em um potencial V(r) a taxa de mudana do valor esperado do momento angular orbital L igual ao valor esperado do torque: em que d -(L)=(N), dt N = r x(-V'V). (Esse o anlogo rotacional do teorema de Eh.renfest.) (b) Mostre que d(L)/dt = O para qualquer potencial esfericamente simtrico. (Essa uma forma do enunciado quntico de co~servao do momento angular.) 4.3.2 Autofunes Primeiro precisamos reescrever L,, LYe L, em termos de coordenadas esfricas. Bem L = (li/i)(r X V), e o gradiente , em coordenadas csfricas:24 .a A1a A 1 1 Y'=r-+ 6--..... -; ar r86 rsene D [4.123] A ao mesmo tempo, r = rr, e, portanto, ft [ (' A) a (' A) A A 1 aL =- r rxr -+ r+ 6 --+ (rx "' ,.. ,. ,.. Mas (rxr)=O, (rx6)= e (rx) =-6 (veja a Figura 4.1), e, portanto, L=!:[~~- 1 ~).i De senO [4.124] A A Os vetores unitrios e e podem ser decompostos segundo seus componentes cartesianos Portanto, Evidentemente A A A A e= (oosecos)i ~(cos6sen)j -(sene)k; A A (sen)i = (cos)j. ,.,[ A A L =- (- seni + cos;')- i ae A A - (cosecosi '"~" cosesen j senek) 1 J_. senO 8 li[ )L =- - sen--coscote-, X 6 L =- +cos--scncotO-n[ a a)Y i 86 I [4.125] [4.126] [4.127] [4.128] 24 George Arfken e Hans-Jurgen Weber, Mntllmraticnl Metlwdsfor Pllysicists, 5>ed., Academic Prcss, Orlando (2000 Seo 2.5. 131. Captulo 4 Mecnica quntica em trs dimenses 127 e L tt a i a [4.1291 Tambm precisaremos dos operadores de levantamento e abaixamento: L,_= L iL = !!..1(-sen=cos

isen

Mas i scn e , ento .. a aL =1ie

[4.130] Em especial (Problema 4.21(a)): L L =-n2 [ 82 +cote~+coee 82 +i__), .... - e2 ae 82 De!> [4.131] e, portanto, (Problema 4.21(b)): [4.1321 ' Estamos agora em posio de determinarJ;(e, ). E uma autofuno deU, com autovalor li2 l(l + 1): Porm, essa precisamente a 'equao angular' (Equao 4.18). E tambm uma autofun- o de L,, com autovalor mf: L ~~~~ = !!___~~~~ = tnn~111 z I i I I ' mas isso equivalente equao azimutal (Equao 4.21). J resolvemos esse sistema de equa- es: o resultado (apropriadamente normalizado) o harmnico esfrico, Y;"(6, ). Concluso: os harmnicos esfricos so autofunes deUe L, Quando resolvemos a equao de Schrdin- ger por separao de variveis, na Seo 4.1, fomos inadvertidamente construindo autofun- es simultneas dos trs operadores H, U e L, que comutam entre si: [4.1331 Por acaso, podemos usar a Equao 4.132 para reescrever a equao de Schrdinger (Equao 4.14) mais compactamente: 1 ~--n2 ~[r2__)+e 'i!+V'i!= E'i!. 2mr2 r r H uma ltima e curiosa reviravolta nessa histria: a teoria algbrica do momento angular permite que I (e, portanto, m tambm) assuma valores semi-inteiros (Equao 4.119), enquanto a separao de variveis produziu autofunes somente para valores inteiros (Equao 4.29). Voc poderia supor que as solues semi-inteirasso falsas, mas, de fato, elas so de profunda importncia, como veremos nas prximas sees. 132. 128 Mecnica quntica 4.4 Spin *Problema 4.21 (a) Obtenha a Equao 4.131 da Eqt1ao 4.130. Dica: use uma funo teste; caso contrrio, voc provavelmente descartar alguns termos. (b) Obtenha a Equao 4.132 das equaes 4.129 e 4.131. Dica: use a Equao 4.112. *Problema 4.22 (a) Qual o valor de L Y/ ? (Nenhum clculo pcnnitido!) (b) Utilize o resultado de (a) juntamente com a Equao 4.130 e o fato de que L;Y/ = 1i0~ 1 para determinar Y,1 (6,), at uma constante de normalizao. (c) Determine a constante de nor~nalizao por integrao direta. Compare sua resposta com a que voc obteve no Problema 4.5. Problema 4.23 No Problema 4.3 voc demonstrou que Y2 1 (6,) = -~15I 8'ITsenecoseeit. Utilize o operador de levantamento para encontrar Y2 (6,q,). Faa uso da Equao 4.121 para obter li 2 a norma zao. Problema 4.24 Duas partculas de massa m esto ligadas s extremidades de uma haste rgida sem massa de comprimento a. O sistema livre para rotacionar em trs dimenses em tomo do centro (porm, o prprio ponto central fixo). (a) Demonstre que as energias permitidas dessf rotor rgido so n2 n(n +1) E = , para n= O, 1, 2,... n maz Dica: primeiramente, expresse a energia (clssica) em termos do momento angular total. (b) Quais so as autofunes normalizadas para esse sistema? Qual a degenerescncia do n-simo nvel de energia? Na mecnica clssica, um objeto rgido admite dois tipos de momento angular: o orbital (L = r x p), associado ao movimento do centro da massa, e o spin (S = I w), associado ao mo-- vimento em torno do centro de massa. Por exemplo, a Terra tem um momento angular orbital atribuvel sua revoluo anual em torno do Sol e o momento angular de spin proveniente de sua rotao diria sobre o eixo norte-sul. No contexto clssico, essa distino uma questo de convenincia, pois quando voc o aborda, S nada mais do que a somatria dos momen- tos angulares 'orbitais' de todas as pedras e blocos de lama que formam a Terra, j que eles circulam em tomo do eixo. Mas uma coisa semelhante acontece na mecnica guntica, e aqu: a distino absolutamente fundamental. Alm do momento angular orbital, associado (nc' caso do hidrognio) ao movimento do eltron em tomo do ncleo (e descrito pelos harmnicos esfricos), o eltron tambm traz outra forma de momento angular, a qual nada tem a ver com c movimento no espao (e que no , portanto, descrita por qualquer funo das variveis de posi- o r, e,), mas que de alguma maneira semelhante ao spin clssico (e para a qual, portanto usamos a mesma palavra). No vale a pena forar muito essa analogia: o eltron (at onde sabemos) uma particula pontual sem estrutura e seu momento angular de spin no pode sei 133. Captulo 4 Mecnico quntico em trs dimenses 129 decomposto em momentos angulares orbitais das partes constituintes (vejl o Problema 4.25).l" Basta dizer que partculas elementares carregam um momento angular intrnseco (S), alm de seu momento angular 'extrnseco' (L). A teoria algbrica de spin uma cpia carbono da teoria do momento angular orbital, a comear pelas relaes de comutao fundamentaP e [S ,S ]= itiS_, [S ,SJxy _ 11- i1iS I [S ,S ] -ihS .X = X 1/ Segue-se que (como antes) os autovetores de s~ e 5, S), e no h razo, a priori, para excluir os valores semi-inteiros de se 111: 1 3 s=O,-, 1,-, ...; 111 =-s,-s+ 1, ..., s - 1, s. 2 2 [4.137] Acontece que cada partcula elementar tem um valor especfico c imu