Metemática

Fundación Gloria de Kriete

Programa “Oportunidades”

Materia

Matemática

Tema

Ecuaciones de Segundo Grado

Docente

Nelsón

Alumna

Jessica Morán

José Eduardo Monge

Grupo

A2

Fecha de Entrega

Sábado 29 de Agosto de 2014

Santa Ana, 10 de marzo de 2014

http://gaussianos.com/%C2%BFde-donde-sale-la-formula-para-resolver-ecuaciones-polinomicas-de-segundo-grado/ https://espanol.answers.yahoo.com/question/index?qid=20090107173105AA7amTH Página 2

Introducción

Los números forman parte de nuestro diario vivir, los vemos presentes en la

mayoría de actividades que como seres humanos realizamos diariamente. Están

presentes en nuestras finanzas, en los niveles poblacionales, en nuestra

respiración, en nuestra salud, en nuestra recreación……En fin, en todo lo que

realizamos.

Y es así, como de una u otra manera nos volvemos dependientes de una vida

estrechamente ligada a los cálculos, a las probabilidades y más importante aún, a

la realidad. Es por este motivo, que como si, existe una gran diversidad de ramas

en las cuales se subdividen las ciencias, no existiría una que se encargase de tan

importantes casos como los cuales les conllevan la utilización de los números.

Así es como nace “la matemática”, una ciencia, que según expertos en el tema, es

una ciencia formal que, partiendo de axiomas y siguiendo el razonamiento lógico,

estudia las propiedades y relaciones entre entidades abstractas con números,

figuras geométricas o símbolos, pese a que también es discutido su carácter

científico. Las matemáticas se emplean para estudiar relaciones cuantitativas,

estructuras, relaciones geométricas y las magnitudes variables.

Debido a su enorme utilidad en la vida humana, la matemática presenta cientos de

formas analíticas a utilizar, muchas que más que ayudar al razonamiento lógico de

la población, son eficaces en la solución de problemáticas que puedan surgir en el

área numérica. Prueba de esto, son las ecuaciones algébricas, cuyas ecuaciones

son fundamentales para lograr un calculo exacto o repartición, conocimiento de

ganancias, precios de productos, etc.

Existen ecuaciones algebraicas de tres tipos primordialmente, “Ecuaciones de

primer grado, Segundo grado y Tercer grado”.

En esta ocasión, nos enfocaremos en el estudio de las tan conocidas “Ecuaciones

de Segundo Grado”, también llamadas “Ecuaciones Cuadráticas”, cuya fórmula

general se encuentra dada de la siguiente manera:


Objetivos

∞ Conocer los aspectos generales en el área teórica de las

ecuaciones de segundo grado.

∞ Reconocer ecuaciones de segundo grado.

∞ Resolver ecuaciones de segundo grado con una incógnita en

forma numérica.

∞ Aplicar los métodos de resolución anterior a problemas prácticos.


Definición

Ecuaciones de segundo grado y una incógnita

Sabemos que una ecuación es una relación matemática entre números y letras. Normalmente se trabaja con ecuaciones en las que sólo hay una letra, llamada incógnita, que suele ser la x.

Resolver la ecuación consiste en encontrar un valor (o varios) que, al sustituirlo por la incógnita, haga que sea cierta la igualdad.

Ese valor es la solución de la ecuación.

Ejemplo: Resolver la ecuación x − 1 = 0

El número que hace que esa ecuación sea cierta es el 1, ya que 1 – 1 = 0, por lo tanto, 1 es la solución de la ecuación.

Si en la ecuación la incógnita está elevada al cuadrado, decimos que es una ecuación de segundo grado (llamadas también ecuaciones cuadráticas), que se caracterizan porque pueden tener dos soluciones (aunque también una sola, e incluso ninguna).

Cualquier ecuación de segundo grado o cuadrática se puede expresar de la siguiente forma:

ax2 + bx + c = 0

Donde a, b y c son unos parámetros que habrá que sustituir por los números reales que corresponda en cada caso particular.

1-2 De donde proviene

Todo el que haya llegado hasta Educación Secundaria ha resuelto ecuaciones

polinómicas de segundo grado. Por tanto todo el mundo conoce la famosa

fórmula que se utiliza para determinar cuántas soluciones tiene una ecuación

concreta:

Las posibilidades son 0, 1 ó 2 y es la fórmula la que nos acaba diciendo cuántas

hay y cuáles son en el caso de que existan.

La pregunta es: ¿todo el mundo sabe de dónde sale esta fórmula?

Probablemente a todos nos lo hayan dicho en su momento pero tengo

comprobado que mucha gente acaba por memorizar la fórmula sin más

y olvida de dónde sale. Aunque la cosa no tiene demasiado misterio creo que

merece la pena dedicarle un post para que todos recordemos este tema. Ahí va:


Partimos de la ecuación poli nómica siguiente:

donde se supone para que la ecuación sea de verdad de segundo

grado.

Lo que vamos a hacer ahora es reescribirla como un binomio al cuadrado

más unas ciertas constantes, digamos . Como sabemos

que tenemos que:

1. El término del binomio que nos proporcionará (supongamos que es )

debe ser . Por tanto .

2. El término debe salir del doble producto . Como tenemos

que . Despejando obtenemos que .

3. Al realizar el cuadrado de ese binomio nos queda que , constante que antes no teníamos. Por tanto tendremos que restarla. Además debe

seguir estando. Por tanto .

Vamos, que la cosa queda como sigue:

Pasamos las constantes al otro lado:

Hacemos raíz cuadrada a ambos lados (en este paso es donde aparece el

):

Operamos dentro de la raíz del segundo miembro:

Pasamos la constante de la izquierda al otro lado y sacamos de la raíz:

Dividimos ambos miembros por (lo que comúnmente se diría como

pasamos al otro miembro) y sumamos las fracciones. La cosa queda:


que es lo que todos conocemos.

Aunque como dije antes la demostración no tiene demasiado misterio, es

bastante sencilla e intuitiva no viene mal de vez en cuando recordar ciertas cosas

relativamente sencilla que generalmente la gente no retiene en su memoria (el

cálculo de la raíz cuadrada es otro ejemplo sobre este tipo de temas).

Partimos de . Restamos a ambos lados. Queda:

Multiplicamos a ambos lados por . Queda:

Sumamos a ambos lados:

La parte izquierda se pone como el cuadrado de un binomio:

Hacemos raíz cuadrada a ambos lados:

Restamos a ambos lados:

Y para concluir dividimos por a ambos lados obteniendo lo que

queríamos:

1-3 conociendo un poco de la historia

Un poco de historia

Actualmente hay evidencias de que los babilonios, alrededor del año 1 600 a.C., ya

conocían un método para resolver ecuaciones de segundo grado, aunque no tenían una

notación algebraica para expresar la solución. Este conocimiento pasó a los egipcios,

que las usaban para redefinir los límites de las parcelas anegadas por el Nilo, en sus crecidas.

Posteriormente, los griegos, al menos a partir del año 100 a.C., resolvían las ecuaciones de segundo grado con métodos geométricos, métodos que también

http://gaussianos.com/calcular-la-raiz-cuadrada/

http://gaussianos.com/calcular-la-raiz-cuadrada/


utilizaban para resolver algunas ecuaciones de grado superior. Parece ser que fue Diofanto de Alejandría quien le dio un mayor impulso al tema. La solución de las ecuaciones de segundo grado fue introducida en Europa por el matemático judeoespañol Abraham bar Hiyya, en su “Liber Embadorum”.

Para resolver la ecuación x2 – 10x = –9, el matemático indio Brahmagupta (ca. 628 d. C.) propuso el siguiente procedimiento: Multiplica el número absoluto, –9, por el [coeficiente del] cuadrado, 1; el resultado es –9. El matemático árabe Mohamed ibn Musa al-Khowarizmi (s. IX) utilizó la siguiente estrategia para resolver la ecuación x2 + 10x = 39. Debes tomar la mitad del número de las raíces, que es 5, y multiplicarlo por sí mismo y obtienes 25 al que le sumas el número 39, con el resultado 64. Tomas la raíz cuadrada de este número, que es 8, y le restas la mitad de las raíces, 5, y obtienes 3, que es el valor buscado. La fórmula, tal y como la vamos a ver, parece ser obra del matemático hindú Bhaskara (1114-1185). Bhaskara escribe su famoso “Siddhanta Siroman” en el año 1150. Este libro se divide en 4 partes, Lilavati (aritmética), Vijaganita (álgebra), Goladhyaya (globo celestial), y Grahaganita (matemáticas de los planetas). La mayor parte del trabajo de Bhaskara en el Lilavati y Bijaganita procede de matemáticos anteriores, pero los sobrepasa sobre todo en la resolución de ecuaciones. Es aquí, donde aparecela fórmula general que permite resolver una ecuación de segundo grado.

Métodos para operar las ecuaciones de segundo grado

Método de factorización: 1.- Iguala a cero la ecuación. Reduce los términos semejantes ordenándolos en orden de creciente. 2.- Factoriza. a. Iguala a cero cada factor. b. Despeja la incógnita de cada factor y obtendrás la solución. Método de factorización: 1.- Iguala a cero la ecuación. Reduce los términos semejantes ordenándolos en orden de creciente. 2.- Factoriza. a. Iguala a cero cada factor. b. Despeja la incógnita de cada factor y obtendrás la solución.


Ejemplos

Ecuaciones de 2º grado

Ecuaciones de 2º

grado, fórmula para resolver ecuaciones de 2º grado completas

Ecuaciones de 2º grado completas Las ecuaciones de segundo grado deben tener

una x elevada al cuadrado.


Conclusión

Como pudimos notar, la matemática es esenciales en la vida de toda la población,

y no solamente de las personas, sino también de los animales.

Si bien, de las ecuaciones que hemos venido hablando a lo largo de todo el

trabajo, pueden resultar bastante complejas, es necesario mencionar que la

matemática no permite un margen de error, y primordialmente requiere de un alto

nivel de análisis personal, especialmente en temas en los cuales el analicis y la

lógica se encuentran fusionados.

Además, a aplicación de las ecuaciones de de segundo grado y operaciones entre

conjuntos , es una forma de que los estudiante puedan desarrollar las diferentes

fue importante por la posibilidad de compartir y apoyarse el uno con el otro así

mismo, la socialización del trabajo realizado fue clave para establecer

comparaciones y llegar a acuerdos entre todos, al momento de realizar la

grabación cada uno de los compañeros procedió dar lo mejor de cada uno, para

de esta manera generar un material que sea de ayuda para las personas que lo

jo en equipo fue clave ya que de esta manera logramos socializar

las debilidades y las destrezas que cada uno de los integrantes

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