Mov curvilineo

MOVIMIENTO CURVILÍNEO DE UNA PARTÍCULAMOVIMIENTO CURVILÍNEO DE UNA PARTÍCULA

Aplicar su conocimiento del movimiento unidimensional al movimiento no

rectilíneo.

Dadas las funciones X(t), Y(t) de una partícula, identificar la trayectoria

y calcular las componentes de los vectores velocidad y aceleración.

Al finalizar este capítulo el estudiante estará en capacidad de:

OBJETIVOS ESPECÍFICOSOBJETIVOS ESPECÍFICOS

Aplicación de los conceptos vectoriales al movimiento curvilíneo de una

partícula.

Movimiento de proyectiles.

Velocidad y aceleración en el movimiento circular.

CONTENIDOCONTENIDO

jyixr 000ˆˆ +=

VECTOR POSICIÓNVECTOR POSICIÓN VECTOR DESPLAZAMIENTOVECTOR DESPLAZAMIENTO

MAGNITUDES CINEMÁTICAS EN EL MOVIMIENTO MAGNITUDES CINEMÁTICAS EN EL MOVIMIENTO

0V

V

Y+

X+

jyixr ˆˆ += jyixrΔ ˆˆ +=or - rrΔ =


0r r

r

∆

0VVVΔ

−=jViVV yxˆˆ +=


VELOCIDADVELOCIDAD

X(+)

Y(+)


2V

1V

2V

2V-

3VVΔ


ACELERACIÓN ACELERACIÓN

tV

at ∆∆=

ACELERACIÓN RADIAL ACELERACIÓN RADIAL ACELERACIÓN TANGENCIAL ACELERACIÓN TANGENCIAL

( ) ( )2t

2r aaa

+=

Y(+)

X(+)

2V

ta

1V

ra

a

ra

3V

a

ta

RV

ar

2

=


ax= constanteVx= Vox + axt

X = Xo + Voxt + (axt2)/2

ay= constanteVy= Voy + ayt

Y = Yo + Voyt + (ayt2)/2

taVV 0

+=

jViVV yx

+= 2

21oo tatvrr ++=

jyixr ˆˆ +=

MOVIMIENTO EN EL PLANO CON ACELERACIÓN CONSTANTEMOVIMIENTO EN EL PLANO CON ACELERACIÓN CONSTANTE

jaiaa yxˆˆ +=


Es un caso particular de movimiento bidimensional con aceleración constante.

Se desprecia la curvatura terrestre.

Se desprecia la resistencia del aire.

ConsideracionesConsideraciones

MOVIMIENTO DE PROYECTILESMOVIMIENTO DE PROYECTILES

CaracterísticasCaracterísticas

Verticalmente el cuerpo se mueve bajo la acción de la

aceleración de la gravedad.

Horizontalmente el cuerpo se mueve a velocidad constante.

La trayectoria descrita por el cuerpo es una parábola.


θ

V0

Y

X

DEFINICIONES BÁSICASDEFINICIONES BÁSICAS

ALTURA MÁXIMAALTURA MÁXIMA

Es la máxima altura alcanzada por el móvil en su trayectoria (Ymáx). Se

considera VY=0.

TIEMPO DE VUELOTIEMPO DE VUELOEs el tiempo durante el cual la partícula estuvo en movimiento (tv).

ALCANCE MÁXIMOALCANCE MÁXIMO

Es la distancia máxima horizontal recorrida durante el tiempo de vuelo

(Xmáx).

Ymáx

Xmáx


ECUACIONES DEL MOVIMIENTO DE PROYECTILESECUACIONES DEL MOVIMIENTO DE PROYECTILES

Supongamos un lanzamiento desde el suelo con una V0

cosθVoVox ⋅=senθVoVoy ⋅=

cosθVoX

t⋅

=

Si despejamos t de la expresión de X

Y sustituyendo en Y2cosθVoX

g-

cosθVoX

senθVoY

2

⋅⋅

⋅⋅⋅=

tcosθVoX

cosθVoVoV

0a

xx

x

⋅⋅=⋅==

=Eje X

2tg

-tsenθVoY

tg-senθVo tg-VoV

-ga

2

yy

y

⋅⋅⋅=

⋅⋅=⋅==

Eje Y

2

220

Xθcos2V

g-tgθXY ⋅= Ecuación de la Trayectoria

Parabólicatenemos


V0

LANZAMIENTO HACIA ARRIBA DESDE UNA ALTURA YoLANZAMIENTO HACIA ARRIBA DESDE UNA ALTURA Yo

TIPOS DE LANZAMIENTO DE PROYECTILTIPOS DE LANZAMIENTO DE PROYECTIL

Y(+)

x

a = -g

Vx

Vox

VoyVo

θ

Vx

Vx

Vx

Vy

Vy

Vy

0

θ2

θ1

θ3X(+)

YO


LANZAMIENTO HACIA ABAJO DESDE UNA ALTURA YoLANZAMIENTO HACIA ABAJO DESDE UNA ALTURA Yo

Yo

X

a = g

X(+)

Y(+)

Vx

Vy

0

Vo

Vox

Voy

θ

θ1

V

Vx

Vy

V

θ2


LANZAMIENTO HORIZONTALLANZAMIENTO HORIZONTAL

y

Yo

x

a = g

X(+)

Y(+)

Vo = Vox

0

Y(+)

Vx

Vyθ1

Vy

Vxθ2


Y(+)

X(+)0

r1

∆r

V2

V1

V3

R

r2

∆θ

θ2

∆s

θ1

Es un movimiento donde la trayectoria descrita por el cuerpo es una circunferencia de radio R.

MOVIMIENTO CIRCULARMOVIMIENTO CIRCULAR

R : radio de la circunferencia.

V1, V2, V3 : vectores Velocidad.

r1, r2: vectores Posición.

∆r= r2-r1 : desplazamiento lineal


θ1, θ2 : posición angular.

∆ θ : desplazamiento angular.

∆S= ∆θ.R : Espacio Recorrido

COMPONENTES RADIALES Y TANGENCIALES DE LA ACELERACIÓNCOMPONENTES RADIALES Y TANGENCIALES DE LA ACELERACIÓN

vt

ar

at

a

Ut(+)Ur(+)

ttr UarUaa ±±=

GRÁFICA DE LA ACELERACIÓN TOTALGRÁFICA DE LA ACELERACIÓN TOTAL

Ur(+)

V2

ar

at

V1aUt(+)

ar

atV2 V1

aUt(+)

Ur(+)

Si V2 > V1 Si V2 < V1

RV

a2

r =ΔtΔV

at =cambio en dirección y sentido de V

cambio en la magnitud de V

( ) ( )2t

2r aaa

+−=


MOVIMIENTO CIRCULAR UNIFORMEMOVIMIENTO CIRCULAR UNIFORMEEn este movimiento la velocidad es constante en módulo y varía en dirección y sentido. Esta variación es producida por la aceleración radial.

321 VVV ==

ar

∆s

Y(+)

V2

X(+)0

V1

∆ θ

V3

∆rr2

r1

θ 1θ 2

raa

=

ar =v2 / R : aceleración radialat = ∆V/ ∆t = 0 : aceleración tangenciala: aceleración total

El Espacio Recorrido lo podemos calcular:∆S= ∆θ .RTambién, por analogía con el MRU:

t.VS =∆→+=∆2

2t.at.VS t

o


VELOCIDAD ANGULAR (VELOCIDAD ANGULAR (ωω ))

Es el desplazamiento angular entre el intervalo de tiempo.

PERÍODO ( T)PERÍODO ( T)

Es el tiempo que tarda la partícula en completar una vuelta.

FRECUENCIA (f)FRECUENCIA (f)

Representa el número de vueltas que efectúa la partícula por unidad de tiempo.

ΔtΔθ

ω =

srad

CONCEPTOS BÁSICOSCONCEPTOS BÁSICOS

ω2π

T = [ ]s

T1

f = [ ]1s−


MOVIMIENTO CIRCULAR CON MÓDULO DE VELOCIDAD VARIABLEMOVIMIENTO CIRCULAR CON MÓDULO DE VELOCIDAD VARIABLE

En este movimiento la velocidad varía en módulo, en dirección y sentido. Esta variación en el módulo es producida por una aceleración perpendicular a la radial denominada aceleración tangencial.

321 VVV ≠≠

Y(+)

X(+)

ar

ata

v2

v1

Ur(+)Ut(+)

v3

Velocidad en cualquier instante de la trayectoria:

.taVV to +=

at= ∆V/∆t : aceleración tangencialar= V2/R : aceleración radiala: aceleración total

( ) ( )2t

2r aa-a

+=

Espacio Recorrido: ∆S= ∆θ .RTambién, por analogía con el MRU:

2

2t.at.VS t

o +=∆


PARÁMETROS LINEALES Y ANGULARES EN EL MOVIMIENTO CIRCULARPARÁMETROS LINEALES Y ANGULARES EN EL MOVIMIENTO CIRCULAR

ESPACIO RECORRIDO:ESPACIO RECORRIDO:

ΔθRΔS ⋅= 2t2

1o tatVΔS ⋅+⋅=

VELOCIDAD:VELOCIDAD:

ACELERACIÓN:ACELERACIÓN:

Relación entre la aceleración tangencial (at) y la aceleración angular (α)

( )ΔtΔωR

ΔtωωR

ttRωωR

ttVV

a o

o

o

o

ot

⋅=−=−−=

−−=

Como R = constante

αα ⋅== Ra ΔtΔω

t

Como la aceleración angular es

sustituyendo

RωVΔtΔθ

RΔtΔS ⋅=⇒⋅=

Δt ΔθRΔS ⋅= dividimos entre


Education

Mov curvilineo