Instituto Universitario Politécnico

“Santiago Mariño”Extensión Maracay

Alumna: Anni Pineda

CI: 22.293.054Sección: “SL”

Maracay, Noviembre 2016

OPTIMIZACIÓN DE SISTEMAS Y FUNCIONES

OPTIMIZACIÓN

Optimización: La teoría de optimización clásica o programación matemática está constituida por un conjunto de resultados y métodos analíticos y numéricos enfocados a encontrar e identificar al mejor candidato de entre una colección de alternativas, sin tener que enumerar y evaluar explícitamente todas esas alternativas.

Optimización: Es la selección del mejor elemento (con respecto a algún criterio) de un conjunto de elementos disponibles.

Sistemas: es un conjunto de partes o elementos organizadas y relacionadas que interactúan entre sí para lograr un objetivo.

Funciones: Son entidades matemáticas que asignan valores de salida únicos a valores de entrada.

Un problema de optimización es, en general, un problema de decisión. Con el fin de ilustrar de forma adecuada la estructura y composición de un problema de optimización.

Un problema de optimización puede ser representado de la siguiente formaDada: una función f : A   R.Buscar: un elemento x0 en A tal que f(x0) ≤ f(x) para todo x en A ("minimización") o tal que f(x0)

≥ f(x) para todo x en A ("maximización").Tal formulación es llamada un problema de optimización o un problema de programación matemática (un término no directamente relacionado con la programación de computadoras pero todavía en uso, por ejemplo en la programación lineal. Muchos problemas teóricos y del mundo real pueden ser modelados mediante este esquema general. Problemas formulados usando esta técnica en los campos de física y visión por computadora se refieren a la técnica como minimización de la energía, hablando del valor de la función f representando la energía del sistema que está siendo modelado.

FORMULACIÓN DE UN PROBLEMA

Típicamente, A es algún subconjunto del espacio euclídeo Rn, con frecuencia delimitado por un conjunto de restricciones, igualdades o desigualdades que los elementos de Atienen que satisfacer. El dominio A de f es llamado el espacio de búsqueda o el conjunto de elección, mientras que los elementos de A son llamados soluciones candidatas o soluciones factibles.La función f es llamada, diversamente, función objetivo, función de costo (minimización), función de utilidad (maximización), función de utilidad indirecta(minimización),  o, en ciertos campos, función de energía, o energía funcional. Una solución factible que minimice (o maximice, si este es el propósito) la función objetivo, es llamada una solución óptima.

Por convenio, el formato estándar de un problema de optimización está declarado en términos de minimización. Generalmente, a menos que ambas, la función objetivo y la región factible sean convexas en un problema de minimización, puede haber varios mínimos locales, donde un mínimo local x* se define como un punto para el cual existe algún δ > 0, donde para todo x tal que a expresión es verdadera; es decir, en alguna región alrededor de x* todos los valores de la función son mayores que o iguales al valor en ese punto. El máximo local se define de modo similar.

FORMULACIÓN DE UN PROBLEMA

(Construcción de una caja con volumen máximo). Supongamos que queremos determinar las dimensiones de una caja rectangular de forma que contenga el mayor volumen posible, pero utilizando para ello una cantidad fija de material. El problema en forma abstracta se podría plantear en los siguientes términos

Con el fin de resolver este problema habrá que modelizarlo matemáticamente, es decir tendremos que expresarlo en términos matemáticos. El primer paso para modelizar un problema de optimización es identificar y definir las variables que están implicadas en dicho problema, en este caso y puesto que estamos tratando de determinar el tamaño de una caja rectangular, la opción más clara es considerar como variables sus tres dimensiones rectangulares usuales (ancho, largo, alto) y que representamos con X,Y,Z. Con estas variables, la función para la que tenemos que encontrar el mejor valor será el volumen de la caja que puede expresarse como:

V (x y z) = xyz

Ejemplo

Maximizar Volumen de la cajasujeto a Área lateral fija

A continuación debemos tener en cuenta las limitaciones existentes sobre el material. Como este material se utiliza para construir las paredes de la caja, necesitaremos considerar el área lateral de la misma, y si la caja tiene tapa, dicha área será (x y z)= 2(xy +yz + zx) Por último, teniendo en cuenta que las dimensiones de la caja no pueden ser negativas el problema puede expresarse matemáticamente como Maximizar xyz

Sujeto a 2 (xy + yz + zx) = X Y Z ≥ 0

En este ejemplo se distinguen tres elementos fundamentales: las variables del problema, una función de esas variables y un conjunto de relaciones que deben cumplir las variables del problema. Estos elementos se repetirán en todos los problemas de optimización.

Ejemplo

Función objetivo: también llamado índice de rendimiento o criterio de elección. Este es el elemento utilizado para decidir los valores adecuados de las variables de decisión que resuelven el problema de optimización. La función objetivo permite determinar los mejores valores para las variables de decisión. Independientemente del criterio seleccionado, dentro del contexto de la optimización matemática el adjetivo “mejor” siempre indica los valores de las variables de decisión que producen el mínimo o máximo valor (según el criterio utilizado) de la función objetivo elegida. Algunos de estos criterios pueden ser por ejemplo de tipo económico (coste total, beneficio), de tipo tecnológico (energía mínima, máxima capacidad de carga, máxima tasa de producción) o de tipo temporal (tiempo de producción mínimo) entre otros.

FUNCIÓN OBJETIVO

FUNCIÓN OBJETIVOLa función objetivo puede ser:

MAX!=

o

MIN!=

Donde: (Fi) = coeficientes son relativamente iguales a cero.

También usa técnicas de programación lineal o no lineal

MÉTODOS DE OPTIMIZACIÓN

Los métodos de optimización es una rama de las matemáticas que consistente en el uso de modelos matemáticos. Frecuentemente trata del estudio de complejos sistemas reales, con la finalidad de mejorar (u optimizar) su funcionamiento.

Métodos numéricos: los métodos numéricos son técnicas mediante las cuales es posible formular problemas de tal forma que sean resueltos con operaciones aritméticas.

MÉTODOS DE OPTIMIZACIÓN

Método de Lagrange: Llamados así en honor al matemático, físico y astrónomo Joseph Lagrange, son un procedimiento para encontrar el punto máximo y mínimo de una función de varias variables sujetas a restricciones. El método se reduce a un problema de restringido con una n cantidad de variables o a uno sin restricciones. Dichas variables son nombradas como multiplicadores de Lagrange.El método dice que: los puntos donde la función tiene un extremo condicionado con una cantidad de restricciones, se encuentran entre los puntos estacionarios de una nueva función sin restricciones como una combinación lineal de la función y las funciones implicadas en las restricciones, cuyos coeficientes son los multiplicadores.Este método hace uso de derivadas parciales y de la regla de la cadena para funciones de varias variables. En él se busca extraer una función implícita de las restricciones, y encontrar las condiciones para que las derivadas parciales con respecto a las variables independientesde la función sean iguales a cero

Uso del Método de Lagrange

Este método se puede utilizar para la solución de problemas en optimización dinámica, ya que se encuentra vinculado a la resolución de problemas de optimización de campos escalares sujetos a restricciones de las variables. Dentro de  la optimización de restricción es utilizada para resolver situaciones de complejidad mayor, restricciones de igualdad y desigualdad y transformación de situaciones. Así como también se pueden utilizar para resolver problemas no lineales.

MÉTODOS DE OPTIMIZACIÓN

MÉTODOS DE OPTIMIZACIÓNMétodo de Jacobi: es un método iterativo, usado para resolver

sistemas de ecuaciones lineales del tipo A x = b. El algoritmo toma su nombre del matemático alemán Carl Gustav Jakob Jacobi. El método de Jacobi consiste en usar fórmulas como iteración de punto fijo.

Matriz Jacobiana:

Estas Son matrices formadas por la derivada parcial de primer orden de una función. La matriz jacobiana representa la derivada de una función multivariable, pero hay que tener en cuenta que esta no siempre se establecerá como una matriz cuadrática. Su aplicación más resaltante es la de aproximar linealmente la función en un punto. También es utilizada para pasar de un sistema de coordenadas a otro.

MÉTODOS DE OPTIMIZACIÓNCondición Kuhn Tucker: El teorema que las soporta se basa en las

condiciones necesarias de optimalidad que constituyen la generalización de las funciones dadas por Lagrange para problemas con restricciones de desigualdad. Por lo tanto, para poder aplicarla este método será necesario en primer lugar que todas las funciones que intervengan en el problema admitan derivadas parciales de primer orden continuas.           En este método se tiene en cuenta el proceso de maximización por lo cual los resultados a considerar son aquellos diferentes de 0 o valores positivos, pero teniendo siempre en consideración que se deben conservar los valores negativos como referencia en las graficas. Ya que además dentro de este método se busca expresar los resultados mediante gráficas que puedan utilizarse para la interpretación de los resultados obtenidos. 

Dicho método fue creado con la finalidad de demostrar condiciones que no son sencillas de verificar pero que si es posible hacerlo mediante una serie de cálculos basados en hipótesis de restricciones

PROCEDIMIENTO GENERAL PARA RESOLVER UN PROBLEMA DE OPTIMIZACIÓN

Leer e Identificar el

problema

Identificar la función objetivo

Usar el método de optimización necesario

Resolver el problema.