Embed Size (px)
Citation preview
а 2
а2
а2
а
N
n є N
х
у
1,2,3,4,5...
Городоцька гімназія 2011
1
12
7 6
4
3
2
© Технічний редактор:
Коваленко Олена
Підготувала: Підготувала: вчитель математики Городоцької гімназії вчитель математики Городоцької гімназії
Станиця С.В.Станиця С.В. РецензентРецензент: методист районного відділу освіти Городоць-: методист районного відділу освіти Городоць-
кої райдержадміністрації кої райдержадміністрації
ФеренсФеренс Г.Г.Г.Г.
У посібнику викладено основні формули курсу У посібнику викладено основні формули курсу
математики у математики у 55--66--х та алгебри х та алгебри у основній школі.у основній школі.
Цей посібник стане у нагоді як учням так і вчи-Цей посібник стане у нагоді як учням так і вчи-
телям при вивченні математики.телям при вивченні математики.
Думай і роби, роби і думай І.А. Крилов
3
Зміст I. Формули скороченого множення ……………………………..……..4
II. Комбінаторика ……………………………………………………..…..5
III.Властивості степеня ……………………………………………..……6
IV.Властивості арифметичної прогресії ……………………………..…8
V. Дії зі звичайними дробами ………………………………………...…..9
VI.Подільність чисел ………………………………………………….…..10
VII.Модуль числа ……………………………………………………….…12
VIII.Квадратні рівняння ……………………………………………….…13
IX.Кубічні рівняння ………………………………………...………….….16
X. Властивості числових нерівностей ……………………………...…..17
XI.Арифметична прогресія …………………………………...………….18
XII.Геометрична прогресія ……………………………...……….……….19
XIII. Однорідні рівняння і ті, що зводяться до однорідних …………...21
XIV. Симетричні рівняння …………………………………………..……22
XV. Тригонометричні рівняння …………………………………..……...22
XVI. Обернені тригонометричні функції ……………………….………26
XVII.Тригонометричні нерівності …………………………………..…...30
XVIII.Тригонометрія ……………………………………………..………..31
XIX.Похідні тригонометричних функцій ………………………...……...37
XX.Похідні вищих порядків……………………………………..………...38
XXI.Властивості логарифмів……………………………………...……….39
XXII.Формули для знаходження границь функцій………………...…...41
XXIII.Похідні основних елементарних функцій………………………...42
XXIV.Приклади застосування похідної…………………………………..44
XXV.Первісна та інтеграл……………..…………………………………...45
4
Натуральні числа – числа, які використовуються при лічбі (N).
Цілі числа - натуральні, протилежні до них і число 0 (Z).
Прості числа – натуральні числа, які більші за 1 і мають два дільники:
одиницю і самого себе (2, 3, 5, 7, 11,…).
Складені числа - натуральні числа, які більші за 1 і мають більше двох
дільників (4, 6, 8, 9, 10 …)
Число 1 – ні просте, ні складене (має лише один дільник).
Раціональні числа – числа виду , де m є z, n є N; ці числа можна запи-
сати у вигляді нескінченного періодичного дробу (Q).
Ірраціональні числа – числа, які можна зобразити у вигляді нескінченно-
го неперіодичного десяткового дробу. (І)
Дійсні числа – це раціональні і ірраціональні разом (R).
Таблиця назв великих чисел:
І. Формули скороченого множення
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
n
m
Тисяча 103 Квадрильйон 1015
Мільйон 106 Квінтильйон 1018
Мільярд 109 Секстильйон 1021
Трильйон 1012 Септильйон 1024
2222 вавава
вавава 22
вааввавававава 332233
вааввавававава 332233
вааввававваава 333 3332233
всасавсвасва 2222222
всасавсвасваавссва 222333 3
5
(а + в)0 = 1
(а + в)1 = а + в
(а + в)2 = а2 + 2ав +в2
(а + в)3 = а3 + 3а2в + 3ав2 + в3
(а + в)4 = а4 + 4а3в + 6а2в2 + 4ав3 + в4
(а + в)5= а5+5а4в+10а3в2 +10а2в3
+5ав4+в5
8. Трикутник Паскаля
9. Біном Ньютона
, де
,
10.
11.
12.
13.
14. Якщо , то
ІІ. Комбінаторика
1. Перестановки – будь – яка впорядкована множина, яка складається з
n елементів, називається перестановкою з n елементів.
2. Розміщення - будь – яка впорядкована підмножина з m елементів даної
множини, яка містить n елементів, де m ≤ n, називається
nn
n
nn
n
mmnm
n
n
n
n
n
n bCabCbaCbaCaCва 11110 ......)(
!!
!
mnm
nC m
n
nn *...*3*2*1!
аввава 2222
22222222244 222 вааввававава
22224443223455 вавааввавававваваавава
42242266 вваавава
всасавсва 222 сва
nnРn *...*3*2*1!
6
розміщенням з n елементів по m: .
3. Комбінація – будь – яка підмножина з m елементів даної множини,
яка містить n елементів, називається комбінацією з n елементів по m:
Властивості:
1.
2.
3.
4.
5.
ІІІ. Властивості степеня
Властивості:
1. Якщо ах = ау, то х = у.
2. Якщо ах > ау, а > 1, то х > у.
3. Якщо ах > ау, то 0 < а < 1, то х < у.
4. Якщо ах = а, то х = 1.
5. Якщо ах=1, то х=0.
1...21 mnnnnАm
n
!!
!
mnm
nС m
n
n
m
n
m
n PCA
mn
n
m
n CC
m
n
m
n Cm
mnC
1
1
1
1
1
m
n
m
n
m
n CCC
nm
nnnn CCCC 2...210
;....1 n
n
аааа 1.2 0 а аа 1.3 n
n
aа
1.4
nn
a
b
b
a
.5mnmn aaa .6
mn
m
n
aa
a .7 ;.8 nnnbaав
nmmn aa .9 n
m
n m aa .10n
nn
b
a
b
a
.11
7
ст
еп
інь
чи
сло
2
3 4
5 6
7 8
9 10
2 4
8
1
6
32
64
12
8
25
6
51
2
10
24
3 9
2
7
81
24
3
72
9
21
87
65
61
19
68
3
59
04
9
4 1
6
64
25
6
10
24
40
96
16
38
4
65
53
6
26
21
44
10
48
57
6
5 2
5
12
5
62
5
31
25
15
62
5
78
12
5
39
06
25
19
53
12
5
97
65
62
5
6 3
6
21
6
12
96
77
76
46
65
6
27
99
36
16
79
61
6
10
07
76
96
60
46
61
76
7 4
9
34
3
24
01
16
80
7
17
76
49
82
35
43
57
64
80
1
40
35
36
07
28
24
75
24
9
8 6
4
51
2
40
96
32
76
8
26
21
44
20
97
15
2
16
77
72
16
13
42
17
72
8
10
73
74
18
24
9 8
1
72
9
65
61
59
04
9
53
14
41
47
82
96
9
43
04
67
21
38
74
20
48
9
34
86
78
44
01
10
10
0
10
00
10
00
0
10
00
00
10
00
00
0
10
00
00
00
10
00
00
00
0
10
00
00
00
00
10
00
00
00
00
0
Табл
иц
я с
теп
енів
Табл
иц
я с
теп
енів
8
IV.Властивості арифметичного кореня:
1.
2. (а ≥0, b≥0, якщо n є N,парне! )
3.
4.
5. , k>0
6. , k>0
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15. Формули складного радикала:
0,2 aaа kk
nnn baab *
knn k aa
.0, bb
a
b
an
n
n
nkn k aa
nk kn aa
0, aaan
n
парнеnaan n ,
;, непарнеnaa nn
baba nn 0,
.0,
;0,2
aa
aaaa
парнеnaan n ,
.0,
;0,
2
2
axa
axaxa
Rbabaab ,,*
9
16.
17.
V. Дії зі звичайними дробами
1. Додавання і віднімання дробів з однаковими знаменниками:
2. Додавання і віднімання дробів з різними знаменниками:
3. Множення дробів:
4. Перетворення мішаного дробу в неправильний:
5. Ділення дробів:
6. Властивості: якщо то
a.
b.
c.
;2;22
22
nmmnnmbaabaa
ba
0,;2
baabba
n
n aaan
aaa*....**
....21
21
.c
ba
c
b
c
a
.bd
bcad
d
c
b
a
.*bd
ac
d
c
b
a
.c
bac
c
ba
.*:bc
ad
c
d
b
a
d
c
b
a
,d
с
b
а
;d
dc
b
ba
;dc
c
ba
a
;dc
dc
ba
ba
10
VI. Подільність чисел
1. На 2 діляться всі парні (ті, які закінчуються цифрами 0, 2 , 4, 6, і
8) числа.
2. На 3 діляться, ті числа, сума цифр яких ділиться на 3. (78903:3,
бо 7+8+9+0+3=27, а 27:3)
3. На 4 ділиться число, якщо на 4 ділиться число, утворене двома
останніми цифрами. (9123748:4, бо 48:4).
4. На 5 діляться числа, запис яких закінчується цифрою 0 або циф-
рою 5. (29045:5; 71342100:5).
5. На 6 діляться числа, які діляться на 2 і на 3 одночасно, тобто пар-
ні і сума цифр якого ділиться на 3. (71292:6, бо парне і
7+1+2+9+2=21:3).
6. На 7,11 і 13 ділиться число, якщо на 7,11 і 13 ділиться число, яке
є різницею між числом, записаним з останніх трьох цифр, і чис-
лом, записаним рештою його цифр (у тому ж прядку).
7. На 8 і 125 діляться числа, якщо ділиться на 8 і 125 число, утворе-
не трьома останніми цифрами (2948794104:8, бо 104:8=13).
8. На 9 ділиться число, якщо сума цифр даного числа ділиться на 9.
(1705248:9, бо27:9).
9. На 10, 100, … діляться числа, якщо їх запис закінчується відпові-
дно одним, двома, … нулями.
10. На 15 діляться числа, запис яких закінчується цифрами 0 або 5 і
сума цифр якого ділиться на 3 (тобто ті, які діляться на 3 і на 5).
11. На 25 ділиться число, якщо на 25 ділиться число, утворене двома
останніми цифрами (794101775:25, бо 75 : 25).
12. На 11 ділиться число, коли різниця rn між сумою цифр у записі
даного числа, які стоять на непарних місцях, і сумою цифр, які
стоять на парних місцях, ділиться на 11 (6268141, r7=6-2+6-8+1-
4+1=0, та як 0:11, то і число :11).
13. Ознака подільності Рачинського. Натуральне число n =10а + в
ділиться на натуральне число n1 =10а1 + в1 (n > n1 ,а, в, а1, в1 є N,
причому а1 і в1 взаємнопрості) тоді, коли на n1 ділиться різниця
r1=ab1 –a1b.
Наприклад. n=12062, n1=37, n : n1?
n= 10*100+2062, n1=10*3+7, r1=100*7-3*2062=814:37, то і n:37.
АБО: n= 1206*10+2, n1=10*3+7,
r1= 1206*7-3*2=8436
11
r2=843*7-3*6=5883
r3=588*7-3*3=4107
r4=410*7-3*7=2849
r5=284*7-3*9=1961
r6=196*7-3*1=1369
r7=136*7-3*9=925
r8=92*7-3*5=629
r9=62*7-3*9=407
r10=40*7-3*7=259
r11=25*7-3*9=148
r12=14*7-3*8=74
r13=7*7-3*4=37 : 37, то n:37.
Властивості:
1. Якщо а : с і в : с, то (а ± в) : с;
2. Якщо ±а1, ±а2, ±а3,…, ±аn діляться на с, то і сума цих чисел ді-
литься на с;
3. Якщо а : с1 і в : с2, то (а * в) : (с1 * с2);
4. Якщо хоча б один з двох множників а чи в ділиться на с, то
(а * в) : с;
5. Якщо а : в, то аn : вn для n є N;
6. Якщо а : в і в = в1 * в2, то а : в1 і а : в2;
Основна теорема арифметики: Будь – яке складене натуральне чис-
ло можна розкласти у добуток простих множників. Цей розклад єди-
ний.
, де Р1, Р2, …, Рk – різні прості множники,
m1, m2, …, mk – кількість їх повторів;
Найбільший спільний дільник (НСД): це найбільше натуральне число,
на яке діляться дані числа.
НСД (28;48) = 22 =4; бо 28 = 22 * 7, 48 = 24 * 3.
Взаємно-прості числа: це числа, найбільшим спільним дільником
яких є число 1.
НСД (25;14) = 1; бо 25 = 52, 14 = 2 * 7.
Найменше спільне кратне (НСК): це найменше натуральне число,
яке націло ділиться на кожне із даних чисел.
НСК (24;90) = 23 * 32 * 5; бо 24 = 23 * 3, 90 = 2 * 32 * 5.
km
k
mmPPРN *...** 21
21
12
Число 1 (один) не є ні простим, ні складеним числом.
Два числа, добуток яких дорівнює 1, називаються взаємно оберненими.
Число 1 є оберненим до самого себе. Число 0 не має оберненого.
VII. Модуль числа
Модулем числа називається відстань від 0 до точки, яка позначає дане
число.
Властивості
.
.0.,
;0.,
аякщоа
аякщоаа
;.1 2 xx ;.2 2 2 xxn n ;*.3 ваав ;*.4 авва
;.5 22 аа
.
;;,.6
ах
ахахатоахЯкщо
.0
;0);()(,.7
в
аавхававхЯкщо
.
;,.8
ах
ахахЯкщо
.
;,.9
авх
авхавхЯкщо
.0;)(,,)(.10 2 аахаабоахахЯкщо
.
;,,.11 2
ах
ахахахЯкщо
.0,
;0,.12
xfxf
xfxfxf
.0,
;0,.13
xfxf
xfxfxf
;).14 вавaa ;) вавaб ;) вавaв
;) вавaг ;) вавaд ;) вавaе
;0.15 х ;.16 хх ..17 хх
13
VIII. Квадратні рівняння
Рівняння виду ах2+вх+с = 0, де а ≠ 0, а, в, с – взаємнопрості числа, на-
зивається квадратним.
І. Якщо в = 0 або с = 0, то рівняння називається неповним квадрат-
ним рівнянням.
1. в = 0, то ах2+с = 0, х2 = - . а) якщо - >0, то рівняння має два роз-
в’язки х1,2= ; б) якщо - <0, то рівняння розв’язків немає.
2. с = 0, то ах2+вх = 0, х(ах +в) = 0, х1=0 або х2 = - .
3. в = 0, с =0, то ах2 = 0, х =0.
ІІ. Якщо а, в, с ≠ 0, то рівняння називається повним квадратним
рівнянням.
1. D = в2 -4ас:
a. D >0, то
b. D = 0, то ;
c. D<0, то рівняння немає дійсних коренів, але має уявні
, де і2 = -1.
2. Якщо в – парне число, то
3. Якщо а + в + с = 0, то х1=1,
4. Якщо а – в + с =0, то х1=-1,
a
c
a
c
a
c
a
c
a
в
;2
2.1а
Dвx
а
вхх
221
а
Dівх
22,1
.2;2
1
2,1
2
1а
Dв
хасв
D
.2а
сх
.2а
сх
14
5. Теорема Вієта для квадратного рівняння: якщо х1, х2 – корені квад-
ратного рівняння ах2+вх+с=0, то
6. Обернена: якщо для деяких чисел виконується умова, що
, то ці числа є коренями квадратного рів-
няння
7. Корені квадратного тричлена та їх знаки:
8. корені дійсні, якщо D ≥0;
9. корені уявні, якщо D < 0, тоді
10. корені мають різні знаки, коли
11. корені мають однакові знаки, коли
12. корені додатні, якщо і обидва від’ємні, якщо
.
13. Розв’язування квадратного рівняння способом виділення повно-
го квадрата ах2+вх+с = 0;
14. Розклад квадратного тричлена на множники ах2+вх+с =
=а(х – х1)(х – х2), де х1, х2 – корені квадратного рівняння.
ІІІ. Зведене квадратне рівняння – це рівняння виду х2+p+q = 0,
p, q – деякі числа.
1. D = p2 -4q:
a. D >0, то
.*; 2121а
схх
а
вхх
.*; 2121а
схх
а
вхх
.02 а
сх
а
вх
;DіD
;0* 21 а
схх
;0* 21 а
схх
021 а
вхх
021 а
вхх
.4,042
2
2
асвDа
D
а
вха
;2
2.1
Dpx
15
b. D = 0, то ;
c. D<0, то рівняння немає дійсних коренів, але має уявні
, де і2 =-1.
2. Якщо p – парне число, то
3. Якщо p + q = 0, то х1=1,
4. Якщо – p + q =0, то х1=-1,
5. Теорема Вієта для зведеного квадратного рівняння: якщо х1, х2 –
корені рівняння х2+p+q = 0, то
6. Розв’язування квадратного рівняння способом виділення пов-
ного квадрата: х2+p+q = 0,
IV. Нехай х1 і х2 – корені квадратного рівняння ах2+вх+с = 0, тоді :
IX. Кубічні рівняння
1. Нехай числа х1, х2, х3 є коренями многочлена ах3 + вх2 + сх + d = 0,
а ≠ 0, тоді ах3 + вх2 + сх + d =а(х-х1)(х-х2)(х-х3), причому
221
pхх
22,1
Dіpх
.2
;2
12,1
2
1 Dp
хqp
D
.2 qх
.2 qх
.*; 2121 qххpхх
.4;042
2
2
qpDDp
x
;.1 21а
Dxx ;
2.2
2
22
2
2
1a
acвxx
;
*.3
2
2
2
2
1а
Dвхх
;
3.4
3
23
2
3
1а
асввxx
;
3.5
3
23
2
3
1а
асвDxx
;24
.64
22244
2
4
1а
сасаввхх
4
24
2
4
1
2.7
а
асвDвхх
16
формули Вієта
(числа х1, х2, х3 – дільники числа d , в випадку коли х1, х2, х3 , а, в, с, d – ці-
лі числа).
2. Теорема Вієта для рівнянь вищих степенів
Нехай х1, х2 …хn – корені рівняння a0xn + a1x
n-1 + … +an-ix + an =0, тоді
.1...
...
;...
;...
;...
0
21
0
3
12421321
0
213121
0
121
a
axxx
дті
a
axxxxxxxxx
a
axxxxxx
a
axxx
nn
n
nnn
nn
n
.
;
;
321
323121
321
a
dxxx
d
cxxxxxx
а
вxxx
17
X. Властивості числових нерівностей:
1. а>в, якщо а-в>0; а<в, якщо а-в<0.
2. Якщо а>в, то в<а (властивість антисиметричності).
3. Якщо а<в і в<с, то а<с (властивість транзитивності).
4. Якщо а<в і с- довільне число, то а±с < в±с.
5. Якщо 0<а<в і с- довільне додатнє число, то ас < вс і ; якщо с-
довільне від’ємне число, то ас>вс і .
6. Якщо 0<а<в, то
7. Якщо а<в і с<d, то а+с < в+d.
8. Якщо 0<а<в і 0<с<d, то ас < вd.
9. Якщо а>в>0 і 0<с<d, то .
10. Якщо 0<а<в, n є N, то аn<вn.
11. Якщо 0<а<в, n є N, то .
12. Якщо а≥0, в≥0, то
13. Якщо а і в – дійсні числа одного знаку, то
14. Нерівність Бернуллі: Якщо a > -1 і n є N, то
15. Нерівність Коші: Якщо a1, a2, a3, …, an - скінчена кількість невід’єм-
них чисел і n є N , то
16. Нерівності для середніх: Якщо задані n дійсних чисел a1, a2, a3, …, an ,
то число називається середнім квадратичним чисел
с
в
с
а
с
в
с
а
.11
ва
d
в
с
а
nn ва
.2
авва
.2а
в
в
а
.11 anаn
.......
321
321 nn
n ааааn
аааа
n
ааа n
22
2
2
1 ...
18
a1, a2, a3, …, an. Число називається середнім гар-
монічним чисел a1, a2, a3, …, an.
Гармонічне, геометричне, арифметичне та квадратичне середні пов’язані
нерівностями:
,
тут усі числа a1, a2, a3, …, an додатні.
XI. Арифметична прогресія:
(an) –арифметична прогресія, кожен член якої, починаючи з другого,
одержується з попереднього додаванням одного й того самого числа d (d -
різниця прогресії), тобто an=an-1+d.
Арифметична прогресія є монотонною послідовністю: зростаючою
при d>0, спадною при d<0, сталою при d=0.
1. Формула n–го члена арифметичної прогресії: an=a1+d(n-1).
2. Будь-яка арифметична прогресія може бути задана формулою виду
an= kn+b, де k і b- деякі числа, і навпаки, послідовність, яка задана
формулою виду an= kn+b , де k і b - деякі числа, є арифметичною
прогресією.
3. Характеристична властивість : кожний член арифметичної прогре-
сії, починаючи з другого, дорівнює середньому арифметичному його
сусідніх членів, тобто при k≥2 , або
, тобто кожний член арифметичної прогресії, почи-
наючи з другого, дорівнює середньому арифметичному рівновідда-
лених від нього членів.
4. У скінченої арифметичної прогресії a1, a2, a3, …, an сума крайніх
0,1
...11
21
i
n
a
aaa
n
nn
n
aaa
aaa
n...
1...
11 21
21
n
аааа n
...321
n
ааа n
22
2
2
1 ...
2
11 kk
k
aaa
2
mkmk
k
aaa
19
членів дорівнює сумі членів, рівновіддалених від її кінців, тобто
5. Формула суми n перших членів арифметичної прогресії:
або
XII. Геометрична прогресія
(bn) – геометрична прогресія, кожен член якої, починаючи з другого,
одержується з попереднього множенням на одне й те саме число q, не рів-
не нулю (q - знаменник прогресії), тобто bn= bn-1*q.
Якщо b1>0 і q>1, то геометрична прогресія є зростаючою послідовністю,
оскільки для будь-якого n маємо bn+1>bn ; якщо b1>0 і 0<q<1, то геомет-
рична прогресія спадна: bn+1 = bnq<bn.
Якщо b1<0, то геометрична прогресія спадна, якщо q>1, і зростаюча,
якщо 0<q<1.
Якщо q<0, то кожний член прогресії має знак, протилежний знаку
попереднього члена, тому така послідовність не може бути монотонною.
1. Формула n–го члена геометричної прогресії:
2. Характеристична властивість: кожний член геометричної прогре-
сії, починаючи з другого , дорівнює середньому геометричному йо-
го сусідніх членів, тобто при k≥2 або
для усіх m<k, тобто кожний член геометричної про-
гресії, починаючи з другого, дорівнює середньому геометричному
рівновіддалених від нього членів.
3. У скінченій геометричній прогресії добуток крайніх членів дорів-
нює добутку членів, рівновіддалених від її кінців, тобто
4. Формула суми n перших членів геометричної прогресії:
.,... 1121 nkaaaaaa knknn
;*2
1 naa
S n
n
.*
2
12 1 nnda
Sn
.* 1
1
n
n qbb
,11 kkk bbb
mkmkk bbb
.,*...** 12
11121 nkqbbbbbbb n
knknn
.1,
1
11
1
qbS
n
n
20
5.Сума членів нескінченної геометричної прогресії. Геометрична прогре-
сія (bn), n є N, знаменник якої задовольняє умові називається не-
скінченною спадною геометричною прогресією.
6. Сумою членів нескінченної послідовності
Якщо то нескінченна геометрична прогресія суми не має.
Приклад. Перетворити на звичайний дріб 0, (4).
Розв’язання.
Отже,
ВАРТО ПАМ”ЯТАТИ! Якщо в умові задачі фігурують обидві про-
гресії, то позначення потрібно вводити за допомогою членів геометрич-
ної прогресії.
,1q
nb.
1 q
bS n
,1q
;10
1
10
4100
4
...;1000
4
100
4
10
4)4(,0 q .
9
4
10
11
10
4
S
.9
4)4(,0
21
ХІІІ. Однорідні рівняння і ті, що зводяться до однорідних a f(x) + в g(x) = 0 – однорідне рівняння першого степеня відносно f i g.
a f2(x) + в g(x) f(x) + c g2(x) = 0, однорідне рівняння другого степеня.
a f3(x) + в g(x) f2(x) + c g2(x)f(x) +dg3(x) =0, однорідне рівняння третьо-
го степеня.
Умова: перший і останній коефіцієнт ≠ 0.
Розглянемо f(x)=0 або g(x) = 0 (одне з двох) і знаходимо корені цього
рівняння.
Перевіряємо, які з цих коренів є коренями вихідного рівняння.
Розв’язуємо вихідне рівняння на множині чисел, що не містить коренів
рівняння f(x)=0 ( чи g(x) = 0). Для цього: а) ділимо на f(x) (чи g(x));
б) ділимо на f2(x) (чи g2(x)); в) ділимо на f3(x) (чи g3(x)). Одержуємо
f(x) .
;
XIV. Симетричні рівняння (рівняння з симетричними коефіцієнтами – третього і четвертого сте-
пенів)
ах3 + вх2 + вх + а =0; (ах3 + а)(вх2 + вх) =0; а(х + 1)(х2 – х +1) +вх(х + 1)
=0; (х +1) (ах2 +х(в-а) + а)=0; х + 1=0, х = -1 або ах2 + х(в-а) + а=0.
ах4 + вх3 + сх2 +вх + а =0, а ≠0. х =0 не є коренем даного рівняння, то поді-
лимо дане рівняння на х2:
Нехай
0:)(
)(;0
)(
)() вta
xf
xgt
xf
xgвaa
;0;0)(
)(
)(
)() 2
2
ctвta
xf
xgc
xf
xgвaб
.0;0)(
)(
)(
)(
)(
)() 32
32
dtctвta
xf
xgd
xf
xgc
xf
xgвaв
;0;02
2
2
2
c
х
ввx
x
aax
x
a
x
вcвxax
;011
2
2
c
xxв
xxa ,
1,
1 2
2
tx
xтодіtx
x
22
отже .
Одержуємо рівняння:
XV. Тригонометричні рівняння 1) sin x = a, x = (-1)karcsin a + πk, k є z.
sin x = -a, x = (-1)k+1arcsin a + πk, k є z.
sin x = -1,
sin x = 0, x = πk, k є z.
sin x = 1,
2) cos x = a,
cos x = -a,
cos x = 1, x = 2πn, n є z.
cos x = 0,
cos x = -1,
3) tg x = a,
tg x = -a,
tg a = 1,
tg a = 0, x = πn, n є z.
tg a = -1,
4) ctg x =a,
.21 2
2
2 tx
x
.02;02 22 acвtatcвtta
.,22
zkkх
.,22
zkkх
.,2arccos znnaх
.,2)arccos(,2)arccos( znnaxnaх
.,2
znnх
.,2 znnх
., znnarctgaх
., znnarctgaх
.,4
znnх
.,4
znх
., znnarcctgaх
23
ctg x = -a,
ctg x = 1,
ctg x = 0,
ctg x = -1,
., znnaarcctgnarctgaх
.,4
znnх
.,2
znnх
.,4
3znnх
24
a 0
21
22
23
1
21
22
23
-1
arcs
in a
0
6
4
3
2
6
4
3
2
arcc
os a
2
3
4
6
0
32
45
65
a 0
33
1
3
33
-1
3
arct
g a
0
6
4
3
6
4
3
arcc
tg a
2
3
4
6
32
43
65
Зн
ач
енн
я о
бер
нен
их т
ри
гон
ом
етр
ич
ни
х ф
ун
кц
ій
25
ра
д.
ф -
ія
0
6
4
3
2
32
43
65
67
45
34
23
35
47
6
11
2
град
уси
0
30
0
45
0
60
0
9 0 0
12
0
13
5
15
0
18
0
21
0
22
5
24
0
27
0
30
0
31
5
33
0
36
0
sin α
0
21
22
23
1
23
22
21
0
-
21
22
-1
-
22
-
21
0
cos α
1
23
22
21
0
-
21
22
-1
22
-
21
0
21
22
23
1
tg α
0
31
1
3
-
3-1
31
0
31
1
3
-
3
-1
31
0
ctg α
-
31
31
0
31
-1
-
31
31
0
31
-1
3
-
Зн
ач
енн
я
тр
иго
ном
етр
ич
ни
х ф
ун
кц
ій д
ов
іль
ного
ку
та
23
23
23
23
3
26
XVI. Обернені тригонометричні функції 1. Означення. Нехай число m за модулем не перевищує одиницю. Аркси-
нусом числа m називається кут , синус якого дорівнює m.
Позначення. x=arccos m.
Наприклад.
2. Означення. Нехай m – число, яке за модулем не перевищує одиницю.
Арккосинусом числа m називається кут , косинус якого дорівнює
m. Позначення. x=arcsin m.
Наприклад.
3. Означення. Арктангенсом числа m називається кут , тан-
генс якого дорівнює m.
4. Означення. Арккотангенсом числа m називається кут , кота-
нгенс якого дорівнює m. Позначення. x=arctg m; x = arcctg m.
Наприклад.
5. За означенням обернених тригонометричних функцій:
1. Для будь – якого маємо:
2. Для будь – якого маємо:
3. Для будь – якого m маємо:
2;
2
x
.)1arcsin(;62
1arcsin;00arcsin
;0x
.3
2)
2
1arccos(;
32
1arccos;)1arccos(;01arccos;
20arccos
2;
2
x
;0x
.4
3)1(;
4)1(;
20;00
arcctgarctgarcctgarctg
1;1m
.2
arcsin2
,arcsinsin
mmm
1;1m
.arccos0,arccoscos mmm
.22
,
arctgmmarctgmtg
27
4. Для будь – якого m маємо:
5. Для будь – якого маємо:
6. Для будь – якого маємо:
7. Для будь – якого маємо:
8. Для будь – якого маємо:
9. Для будь – якого маємо:
10. Для будь – якого маємо:
6. Співвідношення між оберненими тригонометричними функціями:
а) Для всіх :
б) Для всіх :
.2
0,
arctgmmarcctgmctg
2;
2
m
.sinarcsin mm
;0m .cosarccos mm
2;
2
m
.mtgmarctg
;0m .mctgmarcctg
1;1m.
2arccosarcsin
mm
Rm.
2
arcctgmarctgm
1;1m
;arcsin)arcsin( mm
;arccos)arccos( mm
;)( arctgmmarctg
.)( arcctgmmarcctg
1;0m
;1arccosarcsin 2mm
.1arcsinarccos 2mm
28
в) Для всіх :
7. Інші формули:
;0m
;;
1
marcctgarctgm ;
1
marctgarcctgm
;1
arccos2
arcsin2m
marctgmm
;1
arcsin2
arccos2m
marcctgmm
;1
arcsin2 2m
marcctgmartgm
.1
arccos2 2m
marctgarcctgm
;
1112
arcsin2arcsinarcsin.122 yxxy
yxyx
;
1112
arccos2arccosarccos.222 yxxy
yxyx
;0,1
.3
xx
xarctgtg ;1,
11arccossin.4
2
x
x
x
x
;1,11
arcsincos.52
x
x
x
x ;1,
1arccos.6
2x
x
xxctg
;0,1
.7 xx
arctgxctg ;,arccossin.822
mnn
mn
n
m
.1,1sec.9 mmmarctg ;1,1arcsincos.10 2 xxx
29
;1,1arccossin.11 2 xxx .1,
1arcsin.12
2x
x
xxtg
;,1
sin.132
Rxx
xarctgx
.,
1
1sin.14
2Rx
xarcctgx
.,1
1cos.15
2Rx
xarctgx
;,
1cos.16
2Rx
x
xarcctgx
.1;00;1,1
arccos.172
xx
xxtg
.1;00;1,1
arcsin.182
xx
xxctg
30
XVII. Тригонометричні нерівності Найпростішими тригонометричними нерівностями називаються нері-
вності виду f(x) > a (f(x)<a, f(x)≥a, f(x) ≤a), де f(x) – одна з тригонометрич-
них функцій.
Вид нерівності Множини розв’язків
)( Zn
,sin mx
.1m nmnmx 2arcsin;2arcsin
,sin mx
.1m nmnmx 2arcsin;2arcsin
,cos mx
.1m nxnmx 2arccos;2arccos
,cos mx
.1m nmnmx 2arccos2;2arccos
mtgx
nnarctgmx
2;
mtgx
narcctgmnx
;
2
mctgx
nсtgmnx arg;
31
XVIII. Тригонометрія
1. Співвідношення між тригонометричними формулами одного аргу-
менту
2. Формули додавання і віднімання тригонометричних функцій
1. sin (α + β) = sinα cosβ + cosα sinβ
2. sin (α - β) = sinα cosβ - cosα sinβ
3. cos (α + β) = cosα cos β – sinα sinβ
4. cos (α - β) = cosα cos β + sinα sinβ
.4417571;01745,01 ///00 радрад
;11
1sin1cos.13
2
2
2
22
ctg
ctg
tg
;1
cos
cos1
sin1
sin.14
22
2
2
22
ctgtg
.1
cos1
cos
sin
sin1.15
22
2
2
22
tgctg
ec
ctgtg
ctg
tg
cossin
1.6
seccos
1.5
1*.4
sin
cos.3
cos
sin.2
1cossin.1 22
1cos*sin.11
1sec*cos.10
1.9
cossin
11.8
seccos
11.7
2
2
2
2
2
2
ec
tgctg
ecctg
tg
;1
1
1cos1sin.12
22
222
ctgtg
tg
32
3. Формули подвійного і потрійного аргументів
1. sin2α = 2 sinα cosα
2. cos2α = cos2α – sin2α
ctgctg
ctgctgctg
ctgctg
ctgctgctg
tgtg
tgtgtg
tgtg
tgtgtg
1*.8
1*.7
*1.6
*1.5
ctg
ctgctg
tg
tgtg
2
22.4
1
22.3
2
;60sin60sin*sin4sin4sin33sin.5 003
;60cos60cos*cos4cos3cos43cos.6 003
;1
22.7
2
tg
tgtg
;6060*31
33.8 00
2
2
tgtgtg
tg
tgtgtg
;2
1
2
12.9
2
tgсtg
ctg
ctgctg
;
13
33.10
2
2
ctg
ctgctgctg
;45sin45sin22cos.11 00
;1cos2sin212cos.12 22
.22cos.13 ctgctgec
33
4. Формули половинного аргументу
;2
cos1
2sin.1
;
2
cos1
2cos.2
;
21
22
sin.32
tg
tg
;
21
21
cos.42
2
tg
tg
;cos1
cos1
2.5
tg ;
sin
cos1
2.6
tg
;cos1
sin
2.7
tg
;
21
22
.82
tg
tg
tg
;sin
cos1
2.9
ctg
;2
cos2cos1.10 2 ;2
sin2cos1.11 2
;2
45cos22
45sin290cos1sin1.12 02020
;2
45sin22
45cos290cos1sin1.13 02020
.452cos
sin1.14 0
tg
;2
30cos
2
30sin2sin21.15
00
;28
cos28
cos22cos21.16
;3
sin3
sin43
2cos2cos2sin
4
34sin43.17 22
34
5. Формули перетворення суми або різниці тригонометричних функ-
цій у добуток:
якщо
;cos
4sin2
1.18
tg
;cos
3sin32
3333.19
tgtg
.24
cos2
cos22cossin1.20
.4
5118sin.21 0
;2
cos2
sin2sinsin.1
;2
cos2
sin2sinsin.2
;2
cos2
cos2coscos.3
;2
sin2
sin2coscos.4
;
coscos
sin.5
tgtg
;
coscos
sin.6
tgtg
;
sinsin
sin.7
ctgctg
;
sinsin
sin.8
ctgctg
;sinsincoscos.10 22
;coscoscossin.11 22
,sincossin).12 22 babaa
;sinsinsinsin.9 22
35
;cos,sin,02222
22
ba
a
ba
bbа
,coscos) 22 babаsіnб
.cos,sin,02222
22
ba
b
ba
abа
;2
90cos
2
90sin2cossin.13
00
;4
sin24
cos2sincos.16
;
sincos
cos.14
ctgtg
;4
cos24
sin2sincos.17
;2sin
2.18
ctgtg
;
coscos
sinsin.15
22
22
tgtg
;sin*sin.19 2222 tgtg
.cos*cos.20 2222 ctgctg
;
2sin
2
1sin
2sin
sin...2sinsin.21
kk
k
.
2sin
2
1cos
2sin
cos...2coscos.22
kk
k
36
6. Формули перетворення добутку тригонометричних функцій в суму
або різницю:
7. Формули пониження степеня тригонометричних функцій:
8. Знаки тригонометричних функцій
coscos2
1sinsin.1
sinsin2
1cossin.2
coscos2
1coscos.3
;2cos12
1sin.1 2 ;
2
2cos1sin 2
k
k
;2cos12
1cos.2 2 ;
2
2cos1cos 2
k
k
;4
3sinsin3sin.3 3
;4
3sinsin3sin 3
kk
k
.4
3coscos3cos.4 3
.4
3coscos3cos3
kk
k
37
9. Формули зведення
sin (-x)= -sin x; cos (-x) = cos x; tg (-x) = -tg x; ctg (-x) = -ctg x.
Варто пам'ятати!
1.
2.
3.
4.
5.
ХІХ. Похідні тригонометричних функцій
900+α
2
1800+α
π+α
2700+α
2
3 3600+α
2π+α
900-α
2
1800-α
π-α
2700-α
2
3 3600-α
2π-α
sin x cos α -sin α -cos α sin α cos α sin α -cos α -sin α
cos x -sin α -cos α sin α cos α sin α -cos α sin α cos α
tg x -ctg α tg α -ctg α tg α ctg α tg α ctg α -tg α
ctg x -tg α ctg α -tg α ctg α tg α -ctg α tg α -ctg α
;45cos45sin 00
;4545 00 ctgtg
;30cos60sin 00
;60cos30sin 00
.30cos150sin 00
;cosnsi.1 хх
;sinsco.2 хх
;seccos
1.3 2
2x
xxgt
;cossin
1.4 2
2xec
xxgct
;1,1
1arcsin.5
2x
xx
38
ХХ. Похідні вищих порядків:
;1,1
1arccos.6
2x
xx
;1
1.7
2xarctgx
;1
1.8
2xarcctgx
;1,1
1sec.9
2x
xxxarc
;1,1
1arccos.10
2x
xxecx
;.11 chxshx
;.12 shxchx
;1
.132 xch
thx
;1
.142 xsh
cthx
;1
1.15
2xArshx
;1,1
1.16
2x
xArchx
;1,1
1.17
2
x
xArthx
.1,1
1.18
2
x
xArcthx
;2
sin,sin.1
nxyxy n
39
ХХІ. Властивості логарифмів
2.Основною логарифмічною тотожністю називається рівність
;2
cos,cos.2
nxyxy n
;2
sin,sin.3
nkxkykxy nn
;2
cos,cos.4
nkxkykxy nn
;,
,,,.5
непарнеnchx
парнеnshxyshxy n
.,
,,,.6
непарнеnshx
парнеnchxychxy n
;0,,log.1 xNaxN x
a
;0,log NNa
Na
;0,0,logloglog.3 yxyxxy aaa
;0,0),(log)(loglog.4 yxyxxy aaa
;0,;logloglog.5 xyyxxy aaa
;0,0,logloglog.6 yxyxy
xaaa
;0,0),(log)(loglog.7 yxyxy
xaaa
;0,logloglog.8 xyyxy
xaaa
;,0,loglog.9 Rpxxpx a
P
a
;,0,log12log.10 12 Nnxxnx a
n
a
40
Варто пам’ятати!
;,0,log2log.11 2 Nnxxnx a
n
a
;0,,0,loglog.12 kRkxxx a
k
ak
;1,1,0,0,0,log
loglog.13 baabx
a
xx
b
b
a
;1,1,0,0,0,log
1log.14 baabx
ab
b
a
;0,0,1,0,.15loglog yxaayx
xy aa
;1log.16 aa
;01log.17 a
;log1
log.18 bm
b aam
;loglog.19 bm
nb a
n
am
;loglog.20 bb a
m
am
.log
log.21n
bb an
a
);(lglog10 десятковийaa ).(lnlog йнатуральниaae
41
ХХІІ. Формули для знаходження границь функцій:
Правила знаходження границь
;1sin
lim.10
x
x
x
;1
1lim.2 ex
x
x
;1lim.3
0
x
tgx
x;1
arcsinlim.4
0
x
x
x
;1lim.50
x
arctgx
x
;1lim.6 kn
nx
xe
x
k
;1lim.71
0ex x
x
;1sin
lim.8
x
xx
x
;11
1lim.9
x
x x;0sin
!
1lim.10 2
n
nn;1lim.11
1
x
xa
;01
lim.12 xx
;0!
1lim.13
nn;1lim.14
1
x
xa ;1
sinlim.15
0
x
x
x
;02
1lim.16
nn.1
2
12lim.17
n
n
n
;limlimlim.1000
xxfxxfxxxxxx
;lim*lim*lim.2000
xxfxxfxxxxxx
;
lim
lim
lim.3 0
0 x
xf
x
xf
xx
xx
xx
.lim**lim.400
xcxcxxxx
42
ХХІІІ. Похідні основних елементарних функцій
Правила диференціювання. Нехай и=и(х), v=v(x) – диференційовані
функції. Похідні суми (різниці), добутку та частки двох диференційо-
);(0.1 constcc
;,.2 constbkkbkx
;.3 1 Qnnxx nn
;1.4 x
;2
1.5
xx
;11
.62xx
;.7 xx ee
;ln.8 aaa xx
.1
ln.9x
x
;ln.10 aaa xx
;10ln
1lg.11
xx
;ln
1log.12
axxa
;1ln.13
xxх xх
;.141
nn x
an
х
а
;1
.151
1
nn xn
x
43
ваних функцій u i v дорівнюють відповідно:
Оскільки похідна сталої дорівнює нулю (с/=0), то сталий множник мо-
жна виносити за знак похідної: (с*и)/ =с * и/.
Похідна складеної функції обчислюється так. Нехай y=f(φ(x)) – склад-
на функція, причому функція
и =φ(х) диференційована в точці х, а функція y=f(и) диференційована у
відповідній точці и. тоді функція y=f(φ(x)) диференційована в точці х,
причому
Запис y=f(φ(x)) означає, що похідна обчислюється за формулою для
f/(х) але замість х підставляється φ(x). Тому часто використовують ско-
рочений запис цієї похідної: тоді формула запишеться
так: Наприклад, знайдемо похідну від функції
Дотична до графіка функції. Рівняння дотичної до графіка функції
y=f(x) в точці х=х0 має вигляд:
В рівнянні прямої y=kx+b де α – кут між дотич-
ною і додатнім напрямком осі Ох.
Нормаль до графіка функції. Називатимемо нормаллю до графіка фу-
нкції y=f(x) у точці х=х0 пряму, перпендикулярну до дотичної, що
проходить через точку дотику – M(x0; f(x0)) . Рівняння нормалі до гра-
фіка функції:
.0;
;*
;
2v
v
vuvu
v
u
vuvuvu
vuvu
.* xxfy
; fxf
.* xfy
.cos2*cos;sin 2222 xxxxyxy
.000 xxxfxfy
.0xftgy
.0;1
00
0
0
xfxxxf
xfy
44
ХХІV. Приклади застосування похідної Похідна в фізиці. За допомогою похідних функцій, що характери-
зують фізичні явища, задають й інші фізичні величини. Наприклад, швид-
кість матеріальної точки в момент t є похідна від шляху по часу, а похідна
від швидкості по часу є прискорення. Наведемо ще декілька прикладів:
1. Потужність, за означенням, є похідною роботи A(t) за часом,
тобто N(t) = A/(t).
2. Сила струму, за означенням, є похідною від заряду (кількості
електрики) Q=Q(t), де t – час, тобто I(t) = Q/(t).
Наближене обчислення значення функції. Одним із застосувань
похідної є наближене обчислення значення функції. Значення функції y=f
(x) у точці х можна наближено обчислити за значенням цієї функції та її
похідної в точці х0, що лежить «поблизу» точки х і є більш зручною для
обчислення:
Деякі формули наближеного обчислення значення функції. Якщо
х-х0=Δх для Δх≤1 можна отримати такі формули:
Схема дослідження функції:
1.Знайти область визначення функції.
2.Дослідити функцію на неперервність
3.Дослідити функцію на періодичність, на парність та не парність.
4.Знайти похідну і критичні точки функції.
5.З’ясувати проміжки зростання та спадання функції.
6.Обчислити екстремуми функції.
7.Побудувати графік.
.000 xxxfxfy
.2
111.1 xx
.,0,*.2 0
0
0
0
0
0
00 xfnx
xxx
nx
xxxx
nn
nn
.11.3 xnxn
..4 1 Nnxnxxxx nnn
45
XXV. Первісна та інтеграл:
№ п/
п
Функція Первісна
1
)(числоk
ckx
2 х
cx
2
2
3 хn
cn
x n
1
1
4
x
cx
3
2 3
5
x
1
cx ln
6 ex ex+c
7 ax
ca
a x
ln
8 sin x - cos x +c
9 cos x sin x + c
10 tg x
cx cosln
11 ctg x
cx sinln
12
x2sin
1-ctg x + c
13
x2cos
1tg x + c
14
21
1
xarcsin x + c
15
21
1
xarctg x + c
46
Формула Ньютона – Лейбніца
де f(x) – функція неперервна на відрізку
довільна первісна для f(x) на . Цю формулу можна
записати у вигляді
Властивості інтеграла
,aFbFdxxf
b
a
xaFba ,; ba;
b
a
b
a
xFdxxf
b
a
b
a
b
a
dxxgdxxfdxxgxf ..1
b
a
b
a
Rkdxxfkdxxkf .,.2
b
a
c
a
b
c
bacdxxfdxxfdxxf .;,.3
b
a
pkb
pka
RkRpdttfk
dxpkxf .,,1
.4
16
2
1
x
x
1
17
nx
1
11
1
nxn
18
x
1
x2
47
Інтеграли від раціональних функцій
48
Інтеграли від ірраціональних функцій
49
50
Інтеграли від трансцендентних функцій
51
52
n!=1*2*…*n
11
10
4
8
1
5 2
22
15
