statistik dasar1

Modul Teori dan Latihan Statistika

2. Ukuran – Ukuran Dalam Statistika

2.1 Ukuran Pemusatan

I. Data adalah sesuatu yang dapat memberikan gambaran tentang suatu keadaan atau persoalan. Berdasarkan pengumpulannya, ada dua cara yaitu cara sensus (data populasi, dikenal juga sebagai parameter), dan cara sampling, (data sampel dari suatu populasi dikenal juga sebagai statistik).

II. Rata-rata adalah nilai yang mewakili suatu himpunan atau sekelompok data. Nilai rata – rata pada umumnya mempunyai kecenderungan terletak ditengah-tengah dalam suatu kelompok data, yang disusun berdasarkan besar kecilnya nilai. Sehingga sering juga disebut ukuran kecenderungan memusat.

III. Jenis rata-rata yang sering dipergunakan adalah rata–rata hitung (arithmetic mean atau mean),

median, modus, rata–rata ukur (geometric mean), dan rata–rata harmonis (harmonic mean).

IV. Dalam penggunaan yang dimaksud dengan rata–rata adalah rata-rata hitung (kecuali adalah penjelasan lain). Jika kita mempunyai nilai variabel X, sebagai hasil pengamatan atau observasi sebanyak N kali yaitu X1, X2, …, Xi, …, XN, maka– Rata-rata sebenarnya berdasarkan populasi data adalah :

, (2. 1)

– Rata-rata perkiraan berdasarkan sampel data adalah :

. (2. 2)

Contoh 1:1. Hitunglah rata – rata data, 2, 3, 4, 6, 10, 7

Penyelesaian :

= (2 + 3 + 4 + 6 + 10 + 7) = 5, 33

2. Diketahui Data, [1] berikut ini :

Tabel 1. 1. Harga Eceran Bahan Pokok di Jakarta (dalam Rp/satuan, 1984)

Nama Barang

Satuan Januari Februari Maret April Mei Juni Juli Agust. Sept Okt Nop Des

(1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) (8) (9) (10) (11) (12) (13) (14)BerasIkan Asin No.2Minyak GorengGula PasirGaram BataanMinyak TanahSabun Cuci B29Tetoron PolosBatik Kasar

KgKg

BotolKg

BataLiter

BatangMeter

Lembar

2641.715

85357344

118192619

1.427

2981.742

85057744

134200619

1.427

2951.742

79657744

132200619

1.427

2761.742

79257544

132200619

1.427

2841.742

80059844

132200619

1.427

2851.742

80060044

132200619

1.427

2851.742

80061544

188200619

1.427

2851.742

80064644

188200619

1.427

2851.742

80064644

188200619

1.427

2821.742

77864644

188200619

1.427

2801.742

76964644

188200619

1.427

2861.742

76964644

188200619

1.427

Berdasarkan tabel tersebut di atas, hitunglah rata-rata harga perbulan untuk Beras, Minyak goreng, Gula pasir, dan batik kasar ?

Penyelesaian :

(1). Rata – rata harga Beras per kg per bulan :

= = = 283, 75 (Rupiah)

(2). Rata – rata harga Minyak Goreng per botol per bulan :

= = = 800,58 (Rupiah)

(3). Rata – rata harga Gula pasir per kg per bulan :

= = = 612,82 (Rupiah)

(4). Rata – rata harga Batik per meter per bulan :

= = = 1.427 (Rupiah)

V. Median adalah nilai tengah dari suatu data yang diurutkan dari yang terkecil ke yang terbesar.

– Untuk data n ganjil maka berlaku :

Median = Xk+1, dengan , n = banyaknya data. (2. 3)

Contoh 2:Carilah median dari data, 90, 70, 60, 75, 65, 80, 40, 45, 50.Penyelesain :Data disusun dari yang terkecil ke besar menjadi :X1= 40, X2 = 45, X3 = 50, X4 = 60, X5 = 65, X6 = 70, X7 = 75, X8 = 80, X9 = 90.

= = 4, Median = X4+1 = X5 = 65

– Untuk data n genap maka berlaku :

Median = , dengan (2. 4)

Contoh 3:Carilah median dari data, 20, 80, 75, 60, 50, 85, 45, 90.Penyelesain :Data disusun dari yang terkecil ke besar menjadi :X1= 20, X2 = 45, X3 = 50, X4 = 60, X5 = 75, X6 = 80, X7 = 85, X8 = 90.

= 4, Median = , = = 67,5.

VI. Modus adalah nilai dari suatu kelompok data yang mempunyai frekuensi tertinggi atau data yang paling sering muncul. Contoh 4:

Carilah modus dari data berikut : a. 2, 2, 5, 7, 9, 9, 9, 10, 10, 11, 12, 18b. 3, 5, 8, 10, 12, 15, 16c. 2, 3, 4, 4, 5, 5, 6, 6, 6, 7, 7, 9, 9, 9. Penyelesain :a.

x 2 5 9 10 11 12 18f 2 1 3 2 1 1 1

Modusnya adalah 9

b. x 3 5 8 10 12 15 16f 1 1 1 1 1 1 1

Tidak memiliki modus.

2

c. x 2 3 4 5 6 7 9f 1 1 2 2 3 2 3

Modusnya adalah 6 dan 9.

VII. Pada Contoh 4, jika ingin dihitung rata – ratanya dapat juga digunakan cara berikut : (cara ini dikenal dengan sistem pengelompokan data).

a. (2. 5)

= =

b.

= =

c.

= =

VIII. Contoh berikut menunjukkan bahwa pengelompokkan data sangat bermanfaat untuk menghitung rata – rata, median maupun modus dari kumpulan data. Contoh 5:Sebuah perusahaan pengepakan barang, mempunyai karyawan 40 orang. Setiap karyawan mempunyai target harian dengan kemampuan mengepak barang sebanyak (dalam dos) sebagai berikut :

146 147 147 148 149 150 150 152 152 154 156 157 158 161 163 164 165 168 173 176119 125 126 128 132 135 135 135 136 138138 140 140 142 142 144 144 145 145 146

Hitunglah :a. Rata-rata kemampuan karyawan mengepak barang dalam sehari ?b. Median dan Modusnya ?

Penyelesaian :

Untuk menyelesaikan masalah ini data harus dikelompokan sehingga lebih mempermudah dalam penyelesaiannya.

Upah Sistem Tally FrekuensiTitik Tengah

(Xmi)118 – 126127 – 135136 – 144145 – 153154 – 162163 – 171172 - 180

IIIIIIIIIII IIIIIIII IIII II IIIIIIIIII

35912542

122131140149158167176

Jumlah fi = 40 fiXmi = 5. 879

3

a. Rata – rata (Mean) = = = 146, 775

b. Median = L0 + c (2. 6)

Diketahui bahwa : L0 = nilai batas bawah dari kelas yang mengandung atau memuat nilai median.c = besarnya kelas interval (selang interval).n = banyaknya data(fi)0= jumlah freukensi dari semua kelas dibawah kelas yang mengandung median.fm = Freukensi dari kelas yang mengandung mediansehingga, L0 = 144,5 (nilai batas bawah).c = (153, 5 – 144,5) = 9.n = 40 (fi)0= f1 + f2 + f3 = 17

fm = 12

Median = 144, 5 + 9 = 147, 01

c. Modus = L0 + c (2. 7)

Diketahui bahwa : L0 = nilai batas bawah dari kelas yang mengandung Modus.c = besarnya kelas interval (selang interval).n = banyaknya data(f1)0 = selisih frekuensi kelas yang memuat modus dengan frekuensi kelas sebelumnya.(f2)0 = selisih frekuensi kelas yang memuat modus dengan frekuensi kelas sesudahnya.sehingga, L0 = 144,5 (nilai batas bawah).c = (153, 5 – 144,5) = 9.n = 40 (f1)0 = 12 – 9 = 3(f2)0 = 12 – 5 = 7

Median = 144, 5 + 9 = 147, 2

IX. Untuk menghitung rata – rata ukur maka digunakan rumus berikut ini :

d. = (2. 8)

Contoh 6:

Carilah rata – rata ukur dari data berikut :

(a). X1= 2, X2 = 4, X3 = 8

(b). X1= 10, X2 = 12, X3 = 16

(c). X1= 10, X2 = 8, X3 = 12, X4 = 15

Penyelesaian :

4

(a). = = = atau

log = (log 2 + log 4 + log 8) = (0, 3010 + 0, 6021 + 0, 9031) = 0, 6021

= antilog 0, 6021 = 4

(b). = = = atau

log = (log 10 + log 12 + log 16) = (1, 000 + 1, 0792 + 1, 2041) = 1, 0944

= antilog 1, 0944 = 12, 4

(c). = = = atau

log = (log 10 + log 8 + log 12 + log 15) = (1, 000 + 0, 9031 + 1, 0792 + 1, 1761)

= 1, 0396

= antilog 1, 0396 = 14, 5

X. Untuk rata – rata harmonik digunakan rumus berikut ini

= (2. 9)

Contoh 7: Seorang pedagang batik memperoleh hasil penjualan sebesar Rp. 1.000. 000 per minggu,Minggu pertama : dapat menjual 10 helai seharga Rp. 100. 000/helaiMinggu kedua : dapat menjual 25 helai seharga Rp. 40. 000/helai Minggu ketiga : dapat menjual 20 helai seharga Rp. 50. 000/helai Minggu keempat : dapat menjual 40 helai seharga Rp. 25. 000/helai Berapa harga rata – rata kain tersebut perhelai ?

Penyelesaian :

Untuk menghitung rata – rata harga batik per helai dapat digunakan rumus rata – rata harmonik sebagai berikut :

=

=

=

= 42. 125, 00

5

2. 2 Ukuran Letak

XI. KuartilKuartil adalah suatu cara membagi kelompok data menjadi 4 bagian yang sama.

Q2 = Median

Dapat dirumuskan sebagai berikut :

Qi = nilai yang ke , i = 1, 2, 3 (2. 10)

Contoh 8:Berikut adalah data upah bulanan dari 13 karyawan dalam ribuan rupiah yaitu : 40, 30, 50,65, 45, 55, 70, 60, 80, 35, 85, 95, 100. carilah nilai dari Q1, Q2, Q3.

Penyelesaian Data tersebut di atas di urutkan dari yang terkecil ke yang terbesar, menjadi X1= 30, X2 = 35, X3 = 40, X4 = 45, X5 = 50, X6 = 55, X7 = 60, X8 = 65, X9 = 70, X10 = 80, X11 = 85, X12 = 95, X13 = 100.

Q1 = nilai yang ke = =

= nilai ke , berarti rata – rata dari X3 dan X4.

Jadi Q1 = = = 42, 5

Q2 = nilai yang ke = = 7

Jadi Q2 = X7 = 60

Q3 = nilai yang ke = =

= nilai ke , berarti rata – rata dari X10 dan X11.

Jadi Q3 = = = 82, 5

(Catatan : Nilai kuartil ini tidak perlu sama dengan nilai aslinya)

XII. DesilDesil adalah suatu cara, membagi kelompok data menjadi 10 bagian yang sama. Sehingga, yang terjadi adalah urutan data, D1, D2, …, D9.Dengan perumusan sebagai berikut :

Di = nilai yang ke , i = 1, 2, …, 9 (2. 11)

Contoh 9:Berikut adalah data upah bulanan dari 13 karyawan dalam ribuan rupiah yaitu : 40, 30, 50,65, 45, 55, 70, 60, 80, 35, 85, 95, 100. carilah nilai dari D1, D2,dan D9.

Data terurut :X1= 30, X2 = 35, X3 = 40, X4 = 45, X5 = 50, X6 = 55, X7 = 60, X8 = 65, X9 = 70, X10 = 80, X11 = 85, X12 = 95, X13 = 100.Penyelesaian

D1 = nilai yang ke = =

= nilai yang ke , berarti X1 + (X2 – X1).

6

Q1 Q2 Q3

= 30 + (35 – 30) = 31.



= 35 + (40 – 35) = 39.



= 95 + (100 – 95) = 98.

XIII. Persentil

Persentil adalah suatu cara membagi kelompok data menjadi 100 bagian yang sama. Sehingga, urutan data, menjadi P1, P2, …, P99.Dengan perumusan sebagai berikut :

Pi = nilai yang ke , i = 1, 2, …, 99 (2. 12)

Contoh 10:Berikut adalah data upah bulanan dari 13 karyawan dalam ribuan rupiah yaitu : 40, 30, 50,65, 45, 55, 70, 60, 80, 35, 85, 95, 100. carilah nilai dari P1, P10,dan P99.

X1= 30, X2 = 35, X3 = 40, X4 = 45, X5 = 50, X6 = 55, X7 = 60, X8 = 65, X9 = 70, X10 = 80, X11 = 85, X12 = 95, X13 = 100.Penyelesaian

P1 = nilai yang ke =


= 30 + (35 – 30) = 30, 7.

P10 = nilai yang ke = =


= 35 + (40 – 35) = 37.

P99 = nilai yang ke = =


= 95 + (100 – 95) = 99, 35.

Untuk membandingkan rumus ini dengan rumus metode pengelompokan maka,

digunakan rumus data berkelompok sebagai berikut :

7

No. Urut

Nilai Kelas

f

12345678910111213

30 35 40 45 50 55 60 65 70 80 85 95100

1111111111111

Jumlah fi = 13

P99 = L0 + c = 99,5 + 1 = 99, 56.

XIV. Kuartil, Desil dan Persentil untuk Data Berkelompok

a. Kuartil

Qi = L0 + c (2. 13)

Diketahui : L0 = nilai batas bawah dari kelas yang mengandung atau memuat kuartil ke - i.c = besarnya kelas interval (selang interval).n = banyaknya data(fi)0= jumlah frekuensi dari semua kelas dibawah kelas yang mengandung kuartil ke - i.fq = frekuensi dari kelas yang mengandung kuartil ke - i.i = 1, 2, dan 3.i n = i dikali n .

b. Desil

Di = L0 + c (2. 14)

Diketahui : L0 = nilai batas bawah dari kelas yang mengandung atau memuat Desil ke - i.c = besarnya kelas interval (selang interval).n = banyaknya data(fi)0= jumlah frekuensi dari semua kelas dibawah kelas yang mengandung Desil ke - i.fd = frekuensi dari kelas yang mengandung Desil ke - i.i = 1, 2, …, 9.i n = i dikali n .

c. Persentil

8

Diketahui,L0 = Batas bawah terkecil dari kelas yang

mengandung persentil = 99, 5 i = 99 n = 13 c = 1(fi)0 = 12 fp = 13

Pi = L0 + c (2. 15)

Diketahui : L0 = nilai batas bawah dari kelas yang mengandung atau memuat Persentil ke - i.c = besarnya kelas interval (selang interval).n = banyaknya data(fi)0= jumlah frekuensi dari semua kelas dibawah kelas yang mengandung Persentil ke - i.fp = frekuensi dari kelas yang mengandung Persentil ke - i.i = 1, 2, …, 99.i n = i dikali n .

Contoh 11:

Berdasarkan data berikut hitunglah, Q1, Q3, D6 dan P50.

Nilai Kelas f(1) (2)

72, 2 – 72, 472, 5 – 72, 772, 8 – 73, 073, 1 – 73, 373, 4 – 73, 673, 7 – 73, 974, 0 – 74, 274, 3 – 74, 5

2510132723164

Jumlah fi = n = 100

Penyelesaian :

Q1 = L0 + c

Diketahui Q1 berada pada jumlah 25% dari keseluruhan frekuensi terkecil atau frekuensi

yang ke – 25. Sehingga frekuensi itu berada pada f1 + f2 + f3 = 17, jadi berada pada

kelas ke – 4, memuat Q1.

(f1)0 = 17, n = 100, fq = 13

Nilai batas bawah dari kelas yang memuat Q1 adalah L0 = 73, 05

c = (nilai batas atas kelas ke – i) – (nilai batas bawah kelas ke i) = 73, 35 – 73, 05 = 0, 3

Q1 = L0 + c = 73, 05 + 0, 3 = 73, 05 + 0, 18 = 73, 2.

Diketahui Q3 berada pada jumlah 75% dari keseluruhan frekuensi terkecil atau frekuensi

yang ke – 75. Sehingga frekuensi itu berada pada f1 + f2 + f3 + f4 + f5 = 57, jadi berada

pada kelas ke – 6, memuat Q3.

(f1)0 = 57, n = 100, fq = 23

Nilai batas bawah dari kelas yang memuat Q3 adalah L0 = 73, 65

9

c = (nilai batas atas kelas ke - i) – (nilai batas bawah kelas ke - i) = 73, 95 – 73, 65 = 0, 3

Q3 = L0 + c

= 73, 65 + 0, 3 = 73, 65 + 0, 23 = 73, 88.

Diketahui D6 berada pada jumlah 60% dari keseluruhan frekuensi terkecil atau frekuensi

yang ke – 60. Sehingga frekuensi itu berada pada f1 + f2 + f3 + f4 + f5 = 57, jadi berada

pada kelas ke – 6, memuat Q3.

(f1)0 = 57, n = 100, fq = 23

Nilai batas bawah dari kelas yang memuat D6 adalah L0 = 73, 65


D6 = L0 + c

= 73, 65 + 0,3 = 73, 65 + 0, 23 = 73, 69.

Diketahui P50 berada pada jumlah 50% dari keseluruhan frekuensi terkecil atau frekuensi

yang ke – 50. Sehingga frekuensi itu berada pada f1 + f2 + f3 + f4 = 30, jadi berada pada

kelas ke – 5, memuat Q3.

(f1)0 = 30, n = 100, fq = 27

Nilai batas bawah dari kelas yang memuat P50 adalah L0 = 73, 35


P50 = L0+c

= 73, 35+ 0,3 = 73, 35 + 0, 22 = 73, 57.

10

2. 3 Ukuran Variasi Atau Dispersi

Berikut contoh yang mengambarkan 3 kelompok data dengan variasi cukup beraneka ragam (lihat hal.120.[1]):(1) 50 50 50 50 50 Rata – rata hitung = 50(2) 50 40 30 60 70 Rata – rata hitung = 50(3) 100 40 80 20 10 Rata – rata hitung = 50

XV. Nilai Jarak (rentang), Rata – Rata Simpangan, Simpangan Baku dan Koefisisen Variasi

a. Nilai Jarak (Rentang)Nilai Jarak adalah nilai data kelompok setelah disusun menurut ukuran terkecil sampai terbesar (data maksimum dikurangi nilai data minimum).

Nilai Jarak = Nilai Maksimum – Nilai Minimum (2. 16)

Contoh 12 : Carilah jarak dari data berikut : (a). 50 60 30 40 70

(b). 100 40 80 20 10 Penyelesaian :(a). Disusun terurut dari yang terkecil ke yang terbesar, X1= 30, X2 = 40, X3 = 50, X4 = 60, X5 = 70

Nilai Jarak = 70 – 30 = 40

(b). X1= 10, X2 = 20, X3 = 40, X4 = 80, X5 = 100Nilai Jarak = 100 – 10 = 90

Untuk data berkelompok dapat dihitung dengan 2 cara :

NJ = Nilai Tengah kelas terakhir – Nilai tengah kelas pertama NJ = Batas atas kelas terakhir – Batas bawah kelas pertama

11

10

20

30

40

50

60

70

80

90

100

X1 X2 X3 X4 X5

10

20

30

40

50

60

70

80

90

100

X1

X2

X3

X4

X5

10

20

30

40

50

60

70

80

90

100X1

X2

X3

X4

X5

Contoh 13:Hitunglah nilai jarak dari data berikut :

Nilai Kelas F

(1) (2)72, 2 – 72, 472, 5 – 72, 772, 8 – 73, 073, 1 – 73, 373, 4 – 73, 673, 7 – 73, 974, 0 – 74, 274, 3 – 74, 5

2510132723164

Jumlah fi = n = 100

Penyelesaian:Cara 1:

Nilai Tengah kelas terakhir = =74, 4

Nilai Tengah kelas pertama = = 72, 3 NJ = 74, 4 – 72, 3 = 2,1

Cara 2: NJ = 74, 55 – 72, 15 = 2, 4

Catatan :Perbedaan ini dikarenakan cara 2 menghilangkan perbedaan data yang cukup besar (lihat frekuensinya ditengah kelas).

a. Rata – Rata Simpangan

Diketahui data : X1 , X2 , … , Xi , … , Xn.

Rata – Rata hitungnya adalah : . (2. 17)

Simpangan terhadap rata – rata hitungnya adalah :

, , …, , … . (2. 18)

Rata – Rata Simpangannya = RS = , . disebut harga mutlak. (2.

19) Simpangan terhadap mediannya adalah :

, , …, , … . (2. 20)

Rata – Rata Simpangannya = RS = . (2. 21)

Contoh 13:

Carilah rata – rata simpangan (biasanya dihubungkan dengan rata – rata hitung atau

Median) dari data kelompok berikut ini :

(a). 50 60 30 40 70 (b). 100 40 80 20 10

12

Penyelesaian

(a). Diketahui :

= 50, dan Med = 50

RS = = = 12

RS = = = 12

(b). Diketahui :

= 50, dan Med = 40

RS = = = 32

RS= =

= = 30.

b. Simpangan Baku

Jika suatu Populasi beranggotakan sebanyak N dan sampel sebanyak n elemen, maka nilai

suatu karakteristik tertentu (Misalnya, umur orang, hasil penjualan perusahaan, harga

barang, produksi barang, nilai ujian),akan diperoleh suatu pengamatan sebagai berikut :

Populasi : X1 , X2 , … , Xi , … , XN.

= = rata – rata sebenarnya dari X. (2. 22)

Sampel : X1 , X2 , … , Xi , … , Xn.

= rata – rata perkiraan (taksiran) dari X. (2. 23)

adalah Perkiraan dari

Sehingga,

2 = , ( 2, dibaca sigma kuadrat). (2. 24)

= variansi sebenarnya dari X

= Simpangan (deviasi) dari pengamatan terhadap rata – rata sebenarnya.

Atau dapat juga ditulis,

= atau (2. 25)

13

= , (2. 26)

= simpangan baku sebenarnya dari X.

Dalam prakteknya, pengumpulan data hanya didasarkan pada sampel, sehingga

simpangan bakunya dirumuskan sebagai berikut :

S = atau (2. 27)

S = (2. 28)

Rumus ini dapat juga ditulis sebagai,

S = , (2. 29)

S = simpangan baku perkiraan dari X.

Untuk data Berkelompok dan sudah disajikan dalam tabel frekuensi, rumus Variansi (2) adalah :

= (2. 30)

Xmi = nilai tengah kelas ke – i, i = 1, 2, …, k

Untuk kelas interval yang sama :

= c , (2. 31)

c = besar kelas intervalfi = frekuensi kelas ke idi = deviasi atau simpangan dari kelasi ke – i terhadap titik asumsi awal

Untuk kelas interval yang tidak sama :

14

= , (2. 32)

Xmi = nilai tengah kelas ke – i, i = 1, 2, …, k fi = frekuensi kelas ke i

Untuk, sampel diganti dengan S dan N diganti n.

Contoh 14:

Hitunglah simpangan baku dari data berikut ini :

X = upah bulanan karyawan sebuah perusahaan, dalam ribuan rupiah.

(1). 50 50 50 50 50 (kelompok karyawan 1)(2). 50 40 30 60 70 (kelompok karyawan 2) (3). 100 40 80 20 10 (kelompok karyawan 3)Penyelesaian :

Dari hasil perhitungan, menunjukkan bahwa kelompok data yang heterogen, mempunyai nilai simpangan baku yang besar.

1 < 2 < 3

0 < 14, 14 < 34, 64.

15

Kelompok 1X X2

(1) (2)X1 = 50X2 = 50X3 = 50X4 = 50X5 = 50

2.5002.5002.5002.5002.500

Xi=250 X2i=12.500

Kelompok 2X X2

(1) (2)X1 = 50X2 = 40X3 = 30X4 = 60X5 = 70

2.5001.600 9003.6004.900

Xi=250 X2i=13.500

Kelompok 3X X2

(1) (2)X1 = 100X2 = 40X3 = 80X4 = 20X5 = 10

10.500 1.600 6.400 400 100

Xi=250 X2i=18.500

1 =

=

=

= 0.karena simpangan bakunya sama dengan nol, maka upah bulanan karyawan kelompok 1, homogen atau tidak bervariasi.

2 =

=

= 14, 14Simpangan baku karyawan kelompok 2 sebesar Rp. 14, 14

3 =

=

= 34, 64Simpangan baku karyawan kelompok 3 sebesar Rp. 34, 64

Contoh 15:

Gaji 40 Guru Honor SMK setelah potong pajak, diambil secara acak (dalam ribuan rupiah), sebagai berikut :

138 164 150 132 144 125 149 157146 158 140 147 136 148 152 144168 126 138 176 163 119 154 165146 173 142 147 135 153 140 135161 145 135 142 150 156 145 128

Hitunglah simpangan baku dari gaji honor guru tersebut diatas ?

Penyelesaian :

Syarat – syarat membuat Tabel frekuensi adalah :

Diketahui :

Data terbesar (Xn) = 176

Data terkecil (X1) = 119

Banyaknya kelas dapat dicari dengan rumus Kriteria Sturges :

K = 1 + 3, 322 log n Sehingga,

K = 1 + 3, 4 log 40

= 6, 44 6 atau 7.

C = lebar kelas (panjang atau interval kelas )

= = = 9, 5 10

Xm1 = = 123, Xm2 = = 132, …

16

10

20

30

40

50

60

70

80

90

100

X1 X2 X3 X4 X5

10

20

30

40

50

60

70

80

90

100

X1

X2

X3

X4

X5

10

20

30

40

50

60

70

80

90

100X1

X2

X3

X4

X5

Tabel frekuensinya adalah :

No GajiNilaiTengah

(Xmi)Sistem Tally f

1234567

119 – 127128 – 136137 – 145146 – 154155 – 163164 – 172173 – 181

123132141150159168177

III IIII IIIII IIII IIII IIII I IIII IIIII

361011532

Jumlah 40

Simpangan Baku dapat dihitung secara langsung (data tidak berkelompok) :

=

=

=

= = = 13, 00.

2 = 169 (variansi)

Simpangan Baku untuk interval yang sama (data berkelompok) :

Gaji f d d2 fd fd2

(1) (2) (3) (4) (5) (6)119 – 127128 – 136137 – 145146 – 154155 – 163164 – 172173 – 181

361011532

c.3

d.2

e.1

0123

9410149

91210 0 5 6 6

272410051218

Jumlah 40 0 32 fidi= – 14 fidi2= 96

= c = = = 13, 58.

Simpangan Baku dapat juga dicari dengan menggunakan rumus 2. 32 (data berkelompok) :

17

Xmi f Xmi2 f Xmi f Xmi

2

(1) (2) (3) (4) (1x2) (5) (2x3)123132141150159168177

36

1011532

15.12917.42419.88122.50025.28128.22431.329

369792

1.4101.650

795504354

45.387104.544198.810247.500126.40584.67262.658

Jumlah 40 fi Xmi = 5.874 fi Xmi2 = 869.976

=

=

=

= 13. 58

Jadi variansi gaji guru honor adalah : 2 = 184, 42

d. Bilangan Baku

Variabel X, mempunyai rata – rata dan simpangan baku .

, adalah nilai baku dari Xi.

Z = , adalah nilai simpangan (deviasi) yang dibakukan atau distandarisasi.

Contoh 16 :

Diketahui data umur anak (dalam tahun) yang mengalami kekerasan dalam rumah tangga sebagai berikut :X1= 2, X2 = 8, X3 = 10, X4 = 4, X5 = 1 (N = 5)

i. Hitunglah , , dan

ii. Jika Zi = , Hitunglah Zi, i= 1, 2, …, 5.

iii. Hitunglah z, dan z

Penyelesaian :

i. = = = = = 5

18

= = = 3, 46

= = 0, 577, = = 2, 312, = 2, 89, = 1, 156

dan = 0, 289

ii. Zi = Z1 = = – 0,86, Z2 = = 0,86,

Z3 = 1, 445, Z4 = – 0, 289 dan Z5 = –1 ,156

iii. z = = = = 0

Rata – rata simpangan yang dibakukan adalah 0

z =

=

= = 1

Simpangan bakunya adalah 1, sehingga N (0, 1)

e. Koefisien Variansi

Koefisien variansi adalah nilai perbandingan dua kelompok data yang bebas dari satuan

data asli.

Dirumuskan sebagai :

KV = , untuk Populasi

Kv = , untuk Sampel.

Dua kelompok data dengan KV1 > KV2 maka, kelompok pertama lebih bervariasi atau

lebih heterogen dari pada kelompok dua.

19

2. 4 Latihan Soal :

1. Diketahui 30 orang ibu rumah tangga, ditanya tentang pengeluaran sebulan (dalam ribuan rupiah) untuk keperluan hidup sehari – hari. Hasilnya sebagai berikut :

30 40 35 25 35 5040 45 40 20 45 4520 35 45 25 40 3025 33 20 20 20 4535 34 15 30 25 40

a). Buatlah Tabel Frekuensi ?b). Gambar grafik histogramnya ?c). Hitunglah rata – rata pengeluaran ibu rumah tangga itu perkeluarga tersebut ?d). Berapa besar mediannya ?e). Berapa besar modusnya ?

2. Hitunglah rata – rata ukur (geometrik mean) dari data berikut :107, 132, 120, 110, 130, 126, 116, 123.

3. Dengan menggunakan rumus :

, i = 1, 2, …, k dimana, k = banyaknya kelas

Mi = nilai tengah kelas ke – iHitunglah rata – rata dari data berikut :

Konsumsi beras selama satu bulan dari 75 Rumah Tangga,

Konsumsi Beras (Kg) Banyaknya Keluarga(1) (2)

5 – 2425 – 4445 – 6465 – 84

85 – 104105 – 124125 – 144145 – 164

46142314572

4. Dari nomor 3, hitunglah median dan Modus konsumsi beras dengan menggunakan rumus :

Med = L0 + c dan Mod = L0 + c

5. Diketahui hasil ujian dari 120 mahasiswa FE. UT :

Nilai Ujian f(1) (2)

30 – 3940 – 4950 – 5960 – 6970 – 7980 – 8990 – 100

93243211131

a). Hitunglah kuartil pertama, ketiga, (Q1 dan Q3) b). Hitunglah desil pertama, kelima dan ketujuh (D1, D5 dan D7)

20

c). Hitunglah persentil pertama, keduapuluh lima, kelima puluh, dan ketujuh puluh lima (P1, P25, P50, dan P75)

6. Dari Data Nomor 1, a). Hitunglah nilai jarak (range) = NJb). Hitunglah rata – rata simpangan = RS. Anggap sebagai sampel n = 30.c). Hitunglah simpangan baku perkiraan, dengan rumus :

S = dan

d). Hitung koefisien variasi kv =

7. Dari data nomor 5,

Hitung S = c

8. Prosentase penduduk berumur 10 tahun keatas yang bekerja menurut jam kerja selama seminggu.

Jam Kerja Prosentase0 – 9

10 – 1920 – 2930 – 3940 – 4950 – 5960 – 69

26222723155

a). Buat grafiknyab). Cari rata – rata, median, dan modus jam kerjanyac). Hitung Kuartil kedua, Desil kelima dan Persentil kelima puluhd). Hitunglah Simpangan Bakunya e). Hitunglah Koefisien Variasinya

9. Nilai hasil ujian Matematika SMU Raksa Maju kelas 1dikelompokkan sebagai berikut :

Kelas Nilai f30 – 3940 – 4950 – 5960 – 6970 – 7980 – 8990 – 99

25815201610

a). Cari rata – rata, median, dan modus.c). Hitung Kuartil ketiga, Desil ketujuh dan Persentil kelima limad). Hitunglah Simpangan Bakunya e). Hitunglah Koefisien Variasinya

21

17.5 23.5 29.5 35.5 41.5 47.50

1

2

3

4

5

6

7

Penyelesaian :1. Diketahui :

Setelah data disusun maka : Banyaknya data (n) = 30 Data tertinggi (Xn) = 50 Data terrendah (X1) = 15 Banyaknya kelas (k) = 1 + 3, 322 log n = 1 + 3, 322 log 30 = 5, 907 6.

Lebar kelas atau Selang (c) = = = 5, 833 6

a. Tabel Frekuensi Data 30 orang Orang ibu Rumah Tangga :

KelasLebarKelas

Nilai Tengah(Xt)

Sistem Tally f

123456

15 – 2021 – 2627 – 3233 – 3839 – 4445 – 50

17,523,529,535,541,547,5

IIII IIIII III IIII I IIII IIII I

643656

Jumlah 30

b. Grafik Histogramnya

c. Rata – rata pengeluaran ibu rumah tangga

- = = 32, 9.

Menggunakan Kalkulator : Pilih, Shift Mode (Pilih 3) Membersihkan Layar Kalkulator Tekan, Mode 2x (Pilih 1) SD (Standard Deviasi) untuk Statitika satu variabel. Input data : 30 DT (tekan M+), 40 DT, 35 DT, …, 40 DT. Untuk mengecek Banyaknya Data (n), Tekan Shift S-Sum (atau tekan angka 1) Pilih Nomor

3 dan tekan tanda ”=”.

22

Untuk mengecek Rata – rata , Tekan Shift S-Var (atau tekan angka 2) Pilih Nomor 1 dan tekan tanda ”=”.

Jadi Rata – rata pengeluaran ibu rumah tangga itu = 32, 9.- Rata – rata pengeluaran itu, dapat juga dicari dengan menggunakan rumus :

= = 33, 1 (lihat perhitungan menggunakan tabel) :

d. Besar Median dapat dicari dengan menggunakan rumus (lihat Tabel) :

Med = L0 + c

Diketahui,- n = 30 {banyaknya data (f)}- L0 = 32, 5 (Batas bawah terkecil)

- fi = (jumlah frekuensi sebelum median)- fm = 16 (frekuensi median berada)- c = 6 (lebar selang data = 21 – 15 = 6)

- Med = 32, 5 + 6 = 34. 5

e. Besar Modus dapat dicari dengan menggunakan rumus (lihat Tabel) :

Mod = L0 + c

- L0 = 32, 5- c = 6- (f1)0 = 6 – 3 = 3- (f2)0 = 6 – 5 = 1

Mod = 32, 5 + 6

= 37.2. Diketahui :

Dengan menggunakan rumus :

=

maka rata – rata ukur (geometrik mean) data tersebut : =

= = = 120, 198

23

PengeluaranNilai Tengah

(Xt)fi fiXti

15 – 2021 – 2627 – 3233 – 3839 – 4445 – 50

17,523,529,535,541,547,5

643656

105 94 88, 5213207, 5285

Jumlah 30 993

KelasPengeluaranfi12345

615 – 2021 – 2627 – 3233 – 3839 – 4445 – 506

4365

6Jumlah30

13

13

Kelas Pengeluaran fi

123456

15 – 2021 – 2627 – 3233 – 3839 – 4445 – 50

643656

Jumlah 30

3. Diketahui :

Konsumsi beras selama satu bulan dari 75 Rumah Tangga,

Konsumsi Beras (Kg) Mi atau Xti fi fiXi

5 – 2425 – 4445 – 6465 – 84

85 – 104105 – 124125 – 144145 – 164

14,5 34,5 54,5 74,5 94,5114,5134,5154,5

4 6142314 5 7 2

58 207 763

1.715, 3 1.323, 0 572, 5 941, 5

309Jumlah 75 5.889, 3

= 78, 524

Jadi Rata – rata konsumsi beras selama satu bulan dari 75 Rumah Tangga = 78, 524 Kg.

4. Diketahui data dari nomor 3 :

Dapat dicari Mediannya dengan menggunakan rumus berikut (lihat Tabel) :

Med = L0 + c


5 – 24 25 – 44 45 – 64

65 – 84 85 – 104 105 – 124 125 – 144 145 – 164

14,5 34,5 54,5 74,5 94,5114,5134,5154,5

4 6142314 5 7 2

58 207 763

1.715, 3 1.323, 0 572, 5 941, 5

309

Jumlah 75 5.889, 3

- L0 = 64, 5- c = 20- n = 75- fi = 24- fm = 23

Med = 64, 5 + 20 = 64, 5 + 20(0, 587) = 76, 24

Dapat dicari Modusnya dengan menggunakan rumus berikut (lihat Tabel) :

Mod = L0 + c


24

5 – 24 25 – 44 45 – 64

65 – 84 85 – 104 105 – 124 125 – 144 145 – 164

14,5 34,5 54,5 74,5 94,5114,5134,5154,5

4 6142314 5 7 2

58 207 763

1.715, 3 1.323, 0 572, 5 941, 5

309

Jumlah 75 5.889, 3

- L0 = 64, 5- c = 20- n = 75- ( f1)0 = 23 – 14 = 9- ( f2)0 = 23 – 14 = 9

Mod = 64, 5 + 20 = 74, 5.

5. Diketahui hasil ujian dari 120 mahasiswa FE. UT :

Nilai Ujian f30 – 3940 – 4950 – 5960 – 6970 – 7980 – 8990 – 100

932

432111 3 1

Jumlah 120

a. Kuartil pertama dan ketiga, (Q1 & Q3)

Kuartil ke – 1 :

Qi = L0 + c

- Pertama yang harus dilakukan adalah mengecek keberadaan kuartil yang akan dicari, dengan membagi empat bagian jumlah data, misalkan yang akan dicari adalah Kaurtil ke – 1, maka

, berarti data ada pada frekuensi sama dengan 30.

- L0 = 39, 5 (batas bawah kuartil yang ditaksir/diperkiran)- c = 10 (selang interval = 40 – 30 = 50 – 40 = … = 90 – 80)- i = 1- n = 120- fi = 9- fq = 32

Q1 = 39, 5 + 10 = 46, 062.

Kuartil ke – 3 :

25

Q1

Q3

- Pengecekan dimulai keberadaan Kaurtil ke – 3, dengan , berarti data ada pada

frekuensi sekitar 90.- L0 = 49, 5 (batas bawah kuartil yang ditaksir/diperkiran)- c = 10 (selang interval = 40 – 30 = 50 – 40 = … = 90 – 80)- i = 1- n = 120- fi = 41- fq = 43

Q3 = 49, 5 + 10 = 60, 895

b. Diketahui Rumus Desil :

Di = L0 + c

- Pertama yang harus dilakukan adalah mengecek keberadaan Desil yang akan dicari, dengan membagi sepuluh bagian jumlah data, misalkan yang akan dicari adalah Desil ke – 1,

maka , berarti data ada pada frekuensi sama dengan 12 atau dekat dengan 12 .

- L0 = 39, 5- c = 10- n = 120- (fi)0 = 9- fd = 32

D1 = 39, 5 + 10 = 39, 5 + 10.(0, 094) = 40, 44 Jadi

Desil Ke – 1 adalah 40, 44.

Dengan cara yang sama, maka dapat langsung dihitung Desil ke – 5 dan Desil ke – 7 :

Nilai Ujian f30 – 3940 – 4950 – 5960 – 6970 – 7980 – 8990 – 100

932432111 3 1

Jumlah 120

D5 = 49, 5 + 10 = 49, 5 + 10.(0, 442) = 53, 92

D7 = 49, 5 + 10 = 49, 5 + 10(1) = 59, 5

26

D5, D7

c. Diketahui Rumus Persentil :

Pi = L0 + c

Nilai Ujian f30 – 3940 – 4950 – 5960 – 6970 – 7980 – 89

90 – 100

93243

2111 3 1

Jumlah 120

Sehingga :

- P1 = 29, 5 + 10 = 29, 5 + 10 (0, 133) = 30, 83

- P25 = 39, 5 + 10 = 39, 5 + 10 (0, 656) = 46, 063

- P50 = 49, 5 + 10 = 49, 5 + 10 (0, 442) = 53, 919

- P75 = 59, 5 + 10 = 59, 5 + 10 (0, 286) = 62, 357

27

P1 P25

P50

P75

6. Diketahui data dari Nomor 1 :

a. Nilai Jarak (NJ) =

Nilai Tengah kelas terakhir = = 47, 5

Nilai Tengah kelas pertama = = 17, 5 NJ = 47, 5 – 17, 5 = 30

b. Rata – rata simpangan (RS) = , Misalkan sampel n = 30.

= , dari nomor 1, diketahui

=

= 8, 193c. Simpangan baku perkiraan, dengan rumus :

S =

= = 9, 527

dan, jika digunakan rumus berikut maka,

S =

= = 9, 689

d. Koefisien variasi (kv) = =

7. Diketahui,

S = c

Dimana,Nilai Ujian f d d2 fd fd2

30 – 3940 – 49

932

-2-1

41

-18-32

3632

28

Kelas Pengeluaran fi

123456

15 – 2021 – 2627 – 3233 – 3839 – 4445 – 50

643656

Jumlah 30

50 – 5960 – 6970 – 7980 – 8990 – 100

432111 3 1

01234

014916

0212294

021442716

Jumlah 120 - - 6 176

- c = 10- n = 12

- S = 10 = 12, 08

8. Diketahui Prosentase penduduk berumur 10 tahun keatas yang bekerja menurut jam kerja selama seminggu adalah :

Jam Kerja

Prosentase

0 – 910 – 1920 – 2930 – 3940 – 4950 – 5960 – 69

26222723155

a. Grafiknya

Prosentasi Usia Kerja

6

22

27

23

15

5

2

0

5

10

15

20

25

30

Ja

m K

erj

a

b. rata – rata, median, dan modus jam kerjanya Diketahui :

-

Jam Kerja Xti fi Xti fi

0 – 910 – 1920 – 29

4, 514, 524, 5

2 622

9 87 539

29

30 – 3940 – 4950 – 5960 – 69

34, 544, 555, 564, 5

2723

155

931, 51.023, 5

832, 5 322, 5

Jumlah 100 3.745

= = 37, 45

- Med = L0 + c = 29, 5 + 10 = 36, 907.

- Mod = L0 + c = 29, 5 + 10 = 35, 056

c. Kuartil kedua, Desil kelima dan Persentil kelima puluhJam Kerja Xti fi Xti fi di fidi di

2 fidi2

0 – 910 – 1920 – 2930 – 3940 – 4950 – 5960 – 69

4, 514, 524, 534, 544, 555, 564, 5

2 6222723

15 5

9 87 539 931, 51.023, 5

832, 5 322, 5

- 3 - 2- 10123

- 6 - 12 - 22

02315 5

9410149

1824220236045

Jumlah 100 3.745 - 3 - 192

- Q2 = L0 + c = 29, 5 + 10 = 36, 907

- D5 = L0 + c = 29, 5 + 10 = 36, 907

- P50 = L0 + c = 29, 5 + 10 = 36, 907

d. Simpangan Bakunya

S = c = 10 = 13, 853

e. Koefisien Variasinya =

9. Diketahui :

Nilai hasil ujian Matematika SMU Raksa Maju kelas 1dikelompokkan sebagai berikut :

Kelas Nilai Xti fi Xtifi di fidi di2 fidi

2

30 – 3940 – 49

34, 544, 5

25

69 222, 5

-4-3

-8-15

169

3245

30

50 – 5960 – 6970 – 7980 – 8990 – 99

54, 564, 574, 584, 594, 5

815201610

436 967, 5

1.4901.352 945

-2-1012

-16-1501620

41014

321501640

76 5482 - -18 - 180

a. Rata – rata, median, dan modus.

- = = 72, 13

- Med = L0 + c = 69, 5 + 10 = 73, 5.

- Mod = L0 + c = 69, 5 + 10 = 75, 05

c. Kuartil ketiga, Desil ketujuh dan Persentil kelima lima

- Q3 = L0 + c = 89, 5 + 10 = 98,5

- D7 = L0 + c = 89, 5 + 10 = 93,5

- P55 = L0 + c = 79, 5 + 10 = 82, 625

d. Simpangan Bakunya

S = c = 10 = 14, 829

e. Koefisien Variasinya =

31

Education

statistik dasar1