Teori Pappus

(i) Jika suatu luasan datar diputar keliling suatu sumbu pada bidangnya dan sumbu putar tidak memotong luasan tersebut, maka isi benda (v) yang terjadi sama dengan hasil ganda luas bidang datar tersebut dasn keliling lingkaran yang jari jarinya adalah jarak dari titik berat luasan terhadap sumbu putarPerhatikan gambar dibawah!Luasan datar yang dibatasi oleh y1 = f1 (x), y2 = f2 (x) dan x dari x = a sampai x = b dengan luas S. Titik berat luasan S terhadap sumbu x (sebagai sumbu putar) yaitu titik z dengan koordinat ӯJadi secara matematis teori diatas dapat ditulis:

Bukti:

V=π∫a

b

( y12− y2

2) dx

S=∫a

b

( y1− y2 )dx danӯ=

12∫ab

( y12− y2

2 )dx

∫a

b

( y1− y2 )dx

Maka :

V=2π

12∫ab

( y12− y2

2) dx

∫a

b

( y1− y2 )dx.∫a

b

( y1− y2 )dx=2π ӯ S

(ii) Jika suatu busur datar diputar keliling suatu sumbu pada bidangnya dan sumbu putar tidak memotong garis lengkung tersebut, maka luas permukaan (0) yang terjadi sama dengan hasil ganda panjang busur dan keliling lingkaran yang jari-jarinya adalah jarak dari titik berat busur terhadap sumbu putar

V = 2 π ӯ S

0

S

yy1 = f1 x

y2 = f2 x

x

Secara matematis dapat ditulis:

Dimana, ӯ = jarak titik berat busur terhadap sumbu putarL = panjang busur

L=∫x=a

x=b

ds

ӯ=∫x=a

x=b

y ds

∫x=a

x=b

ds

0=2π ∫x=a

x=b

yds=2 π∫x=a

x=b

yds

∫x=a

x=b

ds.∫x=a

x=b

ds=2π . ӯ .L

Contoh soal:1) Tentukan luas permukaan benda putaran, bila busur (pertama) dari cycloid:

X = a (t – sin t)Y = a (1 – cos t)Diputar keliling sumbu xPenyelesaian:Dari penjelasan contoh contoh soal dimuka telah diperoleh (lihat contoh 3 bagian 10.3 dan contoh 2 bagian 10.7)Panjang busur cycloid L = 8a

Titik berat busur ¿43a

Jadi teori pappus (ii) memberikan luas permukaan:

0 = 2 π . ӯ. L

y = f (x)

a b

y

O x=2π . ӯ .L=2π . 43a.8a=64

3π a2

2) Suatu bujur sangkar dengan sisi 2a diputar terhadap sumbu pada bidangnya yang tegak lurus pada salah satu diagonalnya dengan jarak 3a dari pusat. Tentukan isi dan luas permukaan benda putar yang terjadi

Penyelesaian:V = 2π.ӯ. SDimana: ӯ = 3a dan S = 4a²Isi benda putaran:V = 2π. 3a. 4a² - 24πa³ Panjang busur = keliling bujur sangkar = 8aJadi luas permukaan yang terjadi ialah: 0 = 2π.3a. 8a = 48πa²

2a

3a