Tootson bodoh matematic lekts

Тооцон бодох математик хичээлийн лекцийн хураангуй

Боловсруулсан багш: Т.Уламбаяр

Page 1

1. Алдааны тухай мэдэгдэхүүн 1.1 Алдааны онолын мэдэгдэхүүн.

Аливаа хэмжигдэхүүн нь нөгөө хувьсагчаас хамааран хувьсана. Энэхүү хамааралд

математик томъёо болон илэрхийлэл харгалзуулж болно. Хэмжигдэхүүний тоон утгыг бодож

гаргахад жинхэнэ утгаас ихэвчлэн зөрөөтэй байдаг. Энэ зөрөөг алдаа гэж нэрлэнэ.

Алдааны сурвалж:

• Хэмжигдэхүүнд харгалзсан математик илэрхийлэл буюу тооцооллын арга согогтой

байх, эсвэл уг хэмжигдэхүүнийг тооцоолоход авсан гарааны утга нь буруу байх.

• Хэмжигдэхүүнийг тооцоолоход хэрэглэж буй математик аргын доголдол, тухайлбал

уг хэмжигдэхүүний жинхэнэ утгыг олоход асар олон үйлдэл давтах шаардлагатай

байх атал аргагүйн эрхэнд төгсөглөг үйлдлээр хязгаарлах

Алдаа дээрх болон бусад шалтгаанаас үүснэ. Нийт алдаа нь олон алдааны нийлбэрээр

тодорхойлогдоно.

Үнэмлэхүй ба харьцангуй алдаа

Нэгэн хэмжигдэхүүний жинхэнэ утгыг P гэе. n үйлдлийн дараа Pn ойролцоо утга гарсан гэе.

Тэгвэл nPP − хэмжигдэхүүнийг үнэмлэхүй алдаа гэнэ. Үнэмлэхүй алдаа утгаас хамаарна.

Иймд

nP

nn PPP −≥Δ )( (1.1)

шаардлагыг хангах ёстой. Харьцангуй алдаа нь

PPP

P nn

−≥)(δ (1.2)

илэрхийллээр тодорхойлогдоно.

нь nP P хэмжигдэхүүний ) алдаатай ойролцоо утга учраас ( nPΔ

)( nn PPP Δ±= (1.3)

байдалтай бичдэг. Харин болон ) тооны таслалаас хойших оронг ямагт ижил тоотой

авдаг. Тухайлбал

nP ( nPΔ

100.4000.4 == nPP бол 025.0100.0 ==Δ δ

nP болон P хоёр ) хамааралтайг тооцвол: ( nn PPP Δ±=

))(1( nn PPP δ±=

өмнөх тохиолдолд P хэмжигдэхүүний утга )025.01(000.4)025.01(000.4 +≤≤− P завсарт

оршино.

1.2 Тооцооны алдаа.



Page 2

Товчийг бодож x тооны үнэмлэхүй ба харьцангуй алдааг xΔ болон xδ гэж тэмдэглэе.

1. Нийлбэрийн алдаа. : )()( yx yx Δ±+Δ±

• Үнэмлэхүй алдаа

)yx()()()( yx yxyxz Δ+Δ±+=Δ±+Δ±=

• Харьцангуй алдаа:

yxyxyx

z xyxx

yy

yxxx

yxyxΔ+Δ⋅

+=⋅

+

Δ+⋅

+Δ

=+

Δ+Δ=δ

()( xx

yy

⋅+

2. Ялгаврын алдаа: )yy Δ±−Δ±

()()()( yx yxyxz

• Үнэмлэхүй алдаа:

)yx Δ+Δ±−=Δ±−Δ±=


yxyxyx

z xy

yxx

yy

yxxx

yxyxδδ +⋅

−=⋅

−

Δ+⋅

−Δ

=−

Δ+Δ=

)( xx

yδ⋅

−

3. Үржигдэхүүний алдаа: )( yy Δ±⋅Δ±

yxyxyx yxyxyxyyxz ΔΔ±


yx x±≈Δ⋅Δ+Δ±Δ±=Δ±⋅Δ±= )()(


yxyxyx

z yxxyxy

δδδ +=Δ

+Δ

=Δ+Δ

=

4. Ноогдворын алдаа: ))

yx±Δ±

((

y

x

Δ


2yyx

)()()()(

)()( xy

yx

yyyx

yx

zyy

yx

y

x Δ+Δ⋅±≈

Δ±⋅Δ±

Δ±⋅Δ±=⋅

Δ±Δ±

=

yxΔΔ yy

Энд хүртвэрт , хуваарьт Δ2 болон бага хэмжигдэхүүнийг орхив. 2yΔ


yxyxyx

z yxy

yx

xyδδδ +=

Δ+

Δ=

⋅

Δ+Δ=

2

5. Нэг хувьсагчаас хамаарсан функцийн алдаа:




Page 3

xx

xx

xfxfxffxfxfxf

Δ=−Δ±=ΔΔ±≈Δ±

)(')()()(')()(

Энд хүртвэрт , хуваарьт yxΔΔ yyΔ2 болон бага хэмжигдэхүүнийг орхив. 2yΔ


[ [xxf

xfff

Δ⋅=Δ

)()('

)(xf

0)(

Олон хувьсагчийн функцийн үнэмлэхүй болон харьцангуй алдааны томъёог мөн ийм аргаар

гаргаж болно.

2.Нэг хувьсагчтай алгебрийн тэгшитгэлийг шийдэх нь. 2.1 Таллан хуваах арга.(Bisection method )

Тэгшитгэлийн язгуур олох асуудал бол ойролцоо тооллын нэг гол бодлого нь мөн. Тухайн

функц байлаа гэхэд түүнээс үүдсэн

=xf

(xf

(xf )(af )(bf

)()( <⋅ bfaf (xf 0

)( 0 =xf

)(xf

)(xf

0x

a aa

(2.1)

тэгшитгэлийн язгуур буюу шийдийг олъё. Эл тэгшитгэлийн язгуур бол )функцийн “тэг”

утгад харгалзаж байна.

Функц ) [a,b] завсарт тасралтгүй бөгөөд хоёр зах дахь , утга нь эсрэг

тэмдэгтэй ( 0 ) байг. Тэгэхлээр ) функц Х тэнхлэгийг хаа нэгтээ x цэгээр

огтлон гарах буюу 0 (Больцано-Кошийн теорем) болно. Хялбарыг бодож функц [a,b]

завсарт ганц удаа дайран гарсан гэе.

Төсөөлөн бодохуй: Завсрыг таллан хуваахад хоёр дотоод завсар гарна. Үзүүрт нь

функцийн утга ижил тэмдэгтэй завсрыг орхино. Харин нөгөө завсрынх нь хоёр захад

функц заавал эсрэг утгатай байж таарна. Тиймээс энэхүү завсраа таллан хуваана. Энэ

үйлдлийг давтаад байвал завсар “шахагдсаар” өнөөх язгуур руу төгсгөлгүй ойртоно.

Ингэж ойролцоо язгуурыг олно.

Математик томъёолол: Эхлээд захыг =1 bb, нөгөөг нь =1

дунд

гэе. Энэ хоёрын тэхий

21111

11baabax +

=−

+= (2.2)

в энэ цэ

2

цэг оршино. Хэрэ гт 0)( 1 =xf байх юм бол 10 xx = буюу бид шийдээ шуудхан

олчихн рин (xf бол дээр хэлсэнээр завсрын дад функцийн утгыг

Хэрэв )( 1xf болон )( 1af ижил тэмдэгтэй ]; 1x завсар харин ];[ 11 bx

о. Ха 0)1 ≠ захуу шалгана.

бол функц [ 1a т биш

завсарт эсрэг тэмдэгтэй байх нь мэдээж. 1212 bbxa == болгоод ];[ 22 ba завсрыг авна. Энэ


Боловсруулсан багш: Т.Уламбаяр Page 4

үйлдлийг n дахин давтвал ] завсарт язгуур оршино. (зураг 2,1) Язгуурыг Δ алдааны

завсарт олъё гэвэл

;[ nn xa

Δ=− ab

n2 буюу

20 Ln

abLnN

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

Δ−

=

0xxn

(2.3)

Дахин давтал үйлдэх болно. Ингэхэд ≈ буюу − Δ ≤ ≤ + Δnn xxx 0

nxx ≈0

завсарт орших тул

шийд болно.

(Зураг 2,1)

Алгоритм.2.1

];[ ba )(xf 0)( =xf

0nn ≤

завсарт тасралтгүй бөгөөд хоёр захад нь эсрэг тэмдэгтэй функцийн

тэгшитгэлийн шийдийг ойролцоолон олох програмыг бичих алгоритмыг доор өгөв.

INPUT Захын цэг a,b, давталтын хамгийн их тоо N0

OUTPUT Ойролцоо шийд xn эсвэл бүтэлгүй хариу.

Step1. n=1; FA=f(a)

Step2. While do steps 3-6.

Step3. x=a+(b-a)/2; Fx=f(x)

Step4. if Fx=0 or (b-a)/2 <Δ then

OUTPUT x ;

STOP. Үйлдэл бүрэн төгсөнө.

Step5. n=n+1;

Step6. if FA*Fx>0 then set a=x

FA*Fx else set b=x



Step7. OUTPUT N0 давтлын дараа тооцоо бүтсэнгүй.

STOP.

Алдаа

n

nn

xxx 1−−

=δ

1≥n

Үнэмлэхүй алдаа: 1−−=Δ nn xx , харьцангуй алдаа.: ;

Ихэвчлэн уул бодлогын шинж чанараас алдааг сонгоно. Дээр (2.2) томъёог эргэн харъя.

үед 2

nnn

bax

+= байх учир

nnnnababxx

221

0− (2.4) =−≤−

буюу

nnabxx

20− (2.5) ≤−

0104)( 23 =−+= xxxf 11Жишээлбэл, =a 21, =b завсарт 10-3 нарийвчлалтай шийдэхэд

330 10210

212

0

00

−−− <<−

≤− N

NxxN

Эндээс

96.9....32

1030 ≈⋅=⋅>LnLnN (2.6)

буюу 10 доошгүй давталтаар шийдэд дөхөж очно.

Дасгал.

1. 0)1)(21)(1(3)( =−−+= xxxxf

06147 23 =−+− xxx

02)2cos( =+−− xx ee

]1;0[02 ∈=− − xx x

]1;0[0232 ∈=−+− xxxe x

]0;1[],2;3[,0)1(2cos2 2 −∈−−∈=+−⋅ xxxxx

3)( 2 −= xxf

тэгшитгэлийн шийдийг А. [0;1] Б. [1; 3.2] В. [3.2; 4]

завсарт 10-3 нарийвчлалтай ол.

2. тэгшитгэлийн шийдийг А. [-2;1.5] Б. [-1.25; 2.5] завсарт 10-2

нарийвчлалтай ол.

3. тэгшитгэлийн шийдийг [0,5;1.5] завсарт 10-3 нарийвчлалтай ол.

4. Дараах тэгшитгэлүүдийн шийдийг 10-5 нарийвчлалтай ол.

a.

б.

в.

г. тэгшитгэлийг ашиглан 3 тоог 10-4 нарийвчлалтай тооцоол.

тоог 10-4 нарийвчлалтай тооцоол. 3 25д.

2.2 Нэг хувьсагчтай алгебрийн тэгшитгэлийг Ньютоны аргаар шийдэх нь.



Ньютоны арга бол тэгшитгэлийн язгуурыг өндөр нарийвчлалтай тооцоолон олох шилдэг

аргын нэг мөн. Ньютоны аргын математик үндэслэлийг олон арга замаар гаргаж болно.

Эхлээд Тэйлорын цуваанд задлахад тулгуурлан давтлын математик томъёолол гаргая.

];[ ba )(xf )('' Cxf = ];[ ba завсарт 2 дахин интегралчлагдах өгөгдсөн буюу байг.

Тэгшитгэлийн

2

1<<− xξxξ жинхэнэ шийдэд дөхүү ойролцоо шийд ( ) дээр 0)( ≠xf

)(xf

байг.

x цэгийн орчинд Тэйлорын цуваанд задлая. функцийг

2)()('')()(')()(

2xxxfxxxfxfxf −⋅+−⋅+= (2.1)

ξ=x 0)( = цэгт ξf тул

2)()('')()(')(0

2xxfxxfxf −⋅+−⋅+=ξξ (2.2)

Энд 2

x−ξ1<<− xξ үед нь бүр бага хэмжигдэхүүн болохыг тооцвол:

)()(')(0 xxfxf −⋅+≈ ξ (2.3)

Энэ тэгшитгэлээс

)(')(

xfxfx −=ξ

0x nxxx ,.....,, 21

(2.4)

Энэ бол Ньютоны аргын үндэс болдог. гарааны цэг бол давтлын замаар

гэсэн ойролцоо утгын цуваа гарах юм.

)(')(

1

11

−

−− −=

n

nnn xf

xfxx

];ba (xf 0)()( <⋅ bfaf

0)('')( 00 >

, n=1,2,3,... (2.5)

Теорем: [ завсарт 2 дахин диференциалчлагдах ) функц нь бөгөөд

түүний 1, 2-р эрэмбийн уламжлалууд тэмдгээ хадгалж байвал ⋅ xfxf

0x nxxx ,.....,, 21

тэнцэл

бишийг хангах гарааны ямар ч цэгээс эхэлсэн цуваа нь жинхэнэ ξ шийдрүү

нийлнэ.

Эл теоремын баталгааг орхиж алдааг үнэлэх жорыг үзэе.

Алдааг үнэлэх.

n давтлын дараах ойролцоо язгуурын алдааг үнэлэхийн тулд nx

21

1

2

2 −−≤− nnn xxq

Pxξ

2P

(2.6)

тэнцэл бишийг ашиглана. бол )('' xf 1q уламжлалын [a,b] завсар дахь хамгийн их утга,

бол )(' xf уламжлалын [a,b] завсар дахь хамгийн бага утга. Тэгэхээр Δ<− −1nn xx байгаа



бол 1

22

2qPxn

Δ⋅≤−ξ байх юм. Үүнээс дараагийн дөхөлтийг сайтар сонгож ( )('' 0xf болон

)(' 0xf ) чадвал давтал бүрт нийлэлт квадрат хуулиар сайжирна. (2,6) томъёоноос давтлыг

12

12−−>

Δ⋅=Δ nn xx

Pq (2.7)

алдааны хүрээнд тооцвол

Δ=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ Δ⋅≤−

2

2

1

1

2 22 P

qq

Pxnξ (2.8)

буюу язгуур нь nx ξ шийд рүү урьдаас өгсөн Δ нарийвчлалтай бодогдох юм. (2.7)

томъёоноос харвал язгуурт дөхөж очиход ) уламжлал бага утгатай байвал тооцоо удаан

явагдах юм.

(' nxf

Геометр тайлал.

Ньютоны арга нь хялбар геометр дүрслэлтэй. цэгийг дайруулан

муруйд татсан шүргэгчийн Х тэнхлэгийг огтолсон цэг нь

))(,( nn xfx

1+nx

)(xfy =

0)( =xf тэгшитгэлийн ξ

язгуур тийш очих дараагийн дөхөлт нь болно. (Зураг 2,2)

Зураг2,2

Алгоритм

Input - гарааны цэг, - нарийвчлал, - давталтын тоо 0x Δ 0n

Output Ойролцоо шийд х, эсвэл бүтээгүй хариу

Step1. n=1

Step2. while do Steps 3-6. 0nn ≤

Step3. (xn-ийг тооцоолно.) )('/)( 000 xfxfxx −=



f Step4. i Δ<− 0xx then

n=n+1

давталтын дараа тооцоо бүтсэнгүй

өвчийн .

шитгэлийн шийдийг олох шилдэг бас сул талтай. Дээр

д ал

Output x;

Stop.

Step5.

Step6. xx =0

Step7. Output n0

арга

.

арга боловч

Stop.

2.3. Х

Ньютоны арга нь тэг

урьдсанаар давтлын алхам бүрт f(x) функцийн уламжлалыг мэдэх хэрэгтэй. f’(xn) уламжл

байвал тооцооны үйлдэл удааширахыг дээр бид үзсэн. Дурьдсан бэрхшээлийг давахын тулд

Ньютоны аргын яльгүй өөр хувилбарыг хэрэглэх болжээ.

1−nx цэг дээрх уламжлалыг ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎛ −

= −−

11

)()()(' lim n

nxftf

xf⎝ −→ −1xt xtn

тодорхойлж болно.

−1n

байдлаар

21

21

12

121

)()

−−

−

−()()(

)('−−

−−−

− −Хэрэв 2−= nxt гэвэл =

−−

≈nn

nnn

fxx

xfxfxf

лалын ойролцоо илэрхийллийг тавьбал

n

n

x

Ньютоны (2.5)

n

n

xx xf

Энэ )f уламж томъёонд(' 1−nx

)()())(( 211

1−−−

−21 −− −

−−= nnn

nnxxxf

xx (2.9) nn xfxf

болно. Энэ илэрхийлэлд тулгуурласан ар эмээнэ.

х2 цэгээр

дайрч

ойролцоо

,2

,3x

x ,...,2

гы

г хөвчийн арга х

Гарааны 0x ойролцоо утгыг сонгоно. Анхны дөхөлтөд хөвч Х тэнхлэгийг

муруйг ))(( 2xfx цэгт огтолно. Дараах давталт ))(,( 11 xfx цэгээс Х тэнхлэгийг х3

дайрч муруйг цэгт огтолно. Ийнхүү ямагт (x гээс гарсан хөвч Х

тэнхлэгийг x ,1 гээр дайрч муруйг огтолсоор

))(( 3xf

xx цэ

))(, 11 xf цэ

∞→n хязгаарт )0)(,( =ξξ f

тэгшитгэлий язгуурын цэг рүү нийлнэ. (Зурагн жинхэнэ 2,3)



Зураг 2,3

Алгоритм

Input 1- гарааны цэг, - нарийвчлал, - давталтын тоо 0x , x Δ 0n

Output Ойролцоо шийд х, эсвэл бүтээгүй хариу

Step1. n=2, )(),( 1100 xfpxfp ==

Step2. while do Steps 3-6. 0nn ≤

Step3. (xn-ийг тооцоолно.) )/()( 010111 ppxxpxx −−−=

Step4. if Δ<− 0xx then

Output x; үйлдэл бүрэн төгсөнө.

Stop.

Step5. n=n+1

Step6. xx =0

Step7. Output n0 давталтын дараа тооцоо бүтсэнгүй.

Stop.

Дасгал

1. Дараах тэгшитгэлүүдийг Ньютоны аргаар 10-4 нарийвчлалтай бод.

А. Б. ]4,1[,052 23 =−− xx ]2,3[,013 23 −−=−+ xx

В. ]2

,0[,0cos π=− xx В. ]

2,0[,0sin2.08.0 π

=−− xx

2. Дараах бодлогуудыг Ньютоны арга хэрэглэн 10-5 нарийвчлалтай тооцоол.

a. e ]2,1[,06cos22 =−++ − xxx

b. ]2;3.1[,0)1cos()1ln( =−+− xx



c. ба [3;4] ]3;2[,0)2(2cos2 2 =−− xxx

d. ба [e;4] ]2;1[,0ln)2( 2 =−− xx

e. ба [3;5] ]1;0[,03 2 =− xe x

f. ба [6;7] ]4;3[],1;0[,0sin =− −xex

3. Нэгдүгээр дасгалд өгсөн бодлогуудыг хөвчийн аргаар 10-4 нарийвчлалтай шийд.

4. Хоёрдугаар дасгалд өгсөн бодлогуудыг хөвчийн аргаар 10-5 нарийвчлалтай шийд.

5. 2

,2cos21sin

41

210 0

2 π=−−+= xxxxx тэгшитгэлийг Ньютоны аргаар 10-5

нарийвчлалтай тооцоол. Ингэхэд энэ бодлогод Ньютоны арга тохирохгүй байгааг тайлбарла.

6. Дараах 4-р зэргийн олон гишүүнт

9221918230)( 234 −−++= xxxxxf

нь [-1;0] болон [0;1] завсарт тэг утгатай. Тэр язгууруудыг Ньютоны болон хөвчийн аргыг

хэрэглэн 10-6 нарийвчлалтай ол.

7. Ньютоны аргаар тэгшитгэлийн язгуурыг 10-16 нарийвчлалтай ол. Мөн

алгебрийн аргаар жинхэнэ шийдийг олж жиш.

xxxf 213 573)( ⋅−= +

8. функцийн тохиолдолд өмнөх дасгалыг давтан хий. 1732)(2 +⋅−= xxxf

9. Хөвчийн аргыг ашиглан функцийг гарааны xxxf cos)( 3 −−= 10 −=x , ба цэг авч

дөхөлтийг ол.

01 =x

432 ,, xxx

2.4. Эгэл давтлын арга

Эгэл давтлын аргад (2.1) тэгшитгэлийг эн тэнцүү

)(xϕ (2.7) x=

тэгшитгэлээр сольж дараалан дөхөх замаар шийддэг. Тэгшитгэлийн жинхэнэ шийд гэе. (2.7)

тэгшитгэлийг шийдэхийн тулд 0ξ ийнд оронд x0-тойм тоо авбал x1= )( 0xϕ . Цааш нь давтлыг

x2= )( 1xϕ …….. xn= )( 1+nxϕ … мэтээр үргэлжлүүлж болно. Ингэснээр

x0,x1, ...xn,... (2,8)

Теором: [a,b] завсарт )(xϕ функц тасаралтгүй бас диференциалчлагдаж байхын зэрэгцээ (2,8)

цуваа хязгаартай байвал (2,5) дарааллын хязгаар нь (2,7) тэгшитгэлийн язгуур байна.

Үнэхээр ξ =limx байгаа бол xn n= )( 1−nxϕ тэнцэтгэл хязгаар нь:

)()lim()(limlim 11 ξfxfxfxn

nnn ===∞→−− (2.9)

байх буюу үнэхээр {xn} дарааллын хязгаар нь (2.7) тэгшитгэлийн язгуур болж байна.



x= )(xϕ тэгшитгэл [a,b] завсарт ганц шийдтэй бөгөөд )(xϕ функц нь

1. [a,b] завсарт )(xϕ функц нь диференциалчлагдаж байвал

2. Бүх x∈[a,b] цэгт ],[ ba байх буюу бүх утга нь энэ завсарт харъяаллалдаж байвал

3. Бүх ],[ bax∈ цэгт { [ ]1)(' <≤ qxϕ (2.10)} шинэ мөр нөхцөл хангасан бодит тоо q

олдож байвал \xn= )( 1−nxϕ (n=1,2,...) ;дараалаланхны гарааны ямарч x0 утгатай байхад

нийлнэ.

Харин [a,b] завсарт ) уламжлал эсрэг бол (' xϕ

[ ] [ 11 −−−

<− nnn xxq

qxξ ]

]

(2.11)

сөрөг бол

[ ] [ 1−−<− nnn xxxξ (2.12)

Эндээс харвал n￫∞ [ ] 01 →− −nn xx бөгөөд )(lim ξξ fxnx

n ==∞→

хязгаарт нийлэх юм.

Алдаа:

0)(' >xϕ байхад n давтлын дараа [ ] Δ<− −1nn xx байгаа бол тооцоогоор шийдийг

q/(1-q) алдаатай олно. Харин 0 бол алдаа Δ )(' <xϕ Δ -аас хэтрэхгүй

Тэгшитгэлийг давталтын хэлбэрт оруулах нь

0)( =xf тэгшитгэлийг давтал үйлдэхэд тохирсон хэлбэрт оруулахын тулд

)(xfxx α−=

функц байдалтай бичие. Энэ тохиолдолд

)()( xfxx αφ −= (2,13)

α -тогтмол тоо

Энэ функц дээрх теорем болон дараалал нийлэлтийн (2,10) нөхцлийг хангаж байх ёстой.

(2.13) функцийг диференциалчлая:

)('1)(' xfx αφ −= (2.14)

Энд α тогтмолыг бүх ],[ bax∈ цэгт дараалал нийлэх (2.10) нөхцөл биелж байхаар сонговол

1)(' x

1 ≤− fα

Энэ нөхцлөөс α тогтмолын утгыг олно.

Шийдийн геометр тайлал. (2.7) тэгшитгэлийг )(, xyxy φ== байдалтай бичиж график

байгуулая. (Зураг 2,2). )(xx φ= тэгшитгэлийн ξ язгуур нь )(xy φ= муруй ба xy = шулууны

огтолцлын цэгийн абцисс нь юм.



(Зураг2,4)

Энэхүү )(xy φ= муруйд тулсан сумны абцисс нь ξ шийдрүү ойртож буй дараалсан дөхөлт

юм. (зураг 2,4 а,б)

Алгоритм )(xx φ= тэгшитгэлийг шийдэхийн тулд гарааны цэг сонгоно. 0x

Input -гарааны цэг, 0x Δ,ε - нарийвчлал, - давталтын хамгийн их тоо 0n

Output Ойролцоо шийд x буюу бүтээгүйн хариу.

Step1. n=1

Step2. while n<= do steps 3-6. 0n

Step3. (xx φ= (xn –ийг тооцоолно.) )0

Step4. if Δ<− 0xx then

Output x. Үйлдэл бүрэн төгсөнө.

Stop.

Step5. n=n+1

Step6. ( -г шинээр авна.) xx =0 0x

Step7. n давталтын дараа тооцоо бүтсэнгүй. 0

)(xx

Дасгал. [1;2] завсарт тодорхойлогдсон тэгшитгэл ганц x= 1.365230013

шийдтэй. Түүнийг

0104 23 =−+ xx

φ= хэлбэрт алгебрийн олон хялбар аргаар оруулж болно.

Тэгшитгэлийг дараах байдлаар хувиргая.

)10(41,104 3232 xxxx −=−=

эндээс



31021 xx −±=

Үүнээс

А. 21

31 )10(

21)( xxx −== φ хялбар бусад аргуудыг хэрэглэвэл

Б. 104)( 232 +−−== xxxxx φ

В. )410()( 23 x

xxx −== φ

10)4(2 =+xx гэдгийг анхаарвал

Г. 21

4 410)( ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

+==

xxx φ

104)()( 23 +−−⋅=⋅ xxxxxx φφ гэж бичээд )(xφ функцийг олон янзаар олж болно. Тухайлбал:

гэж сонговол xxx 83)( 2 +=φ

Д. xx

xxxxx83

104)( 2

23

5 +−+

−== φ

Тооцоо: Эдгээр тэгшитгэлийг гарааны 5.10 =x утгаас эхлүүлэн нарийвчлалтай давтан

тооцоолж шийдийг дараах хүснэгтэд өрж жинхэнэ шийдтэй жишиж дүгнэлт хийгээрэй.

310−

Хүснэгт 1,1

n А Б В Г Д

0 1,5 1,5 1,5 1,5 1,5

1

2

Бие даах бодлогууд:

1. [1.2] завсарт өгөгдсөн 03 тэгшитгэлийн шийдийг 10 =x гараанаас эхлэн

210− нарийвчлалтай ол.

3 24 =−− xx

2. 3 функцтэй тэгшитгэлийн 0)(2)( 24 −−+= xxxxf =ξf шийдийг олохын тулд

алгебрийн арга хэрэглэн

а. 41

21 )23()( xxx −+=φ б. 4

14

2 )2

3()( xxx −+=φ

г. 21

23 23)( ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

++

=xxxφ д.

144323)( 3

24

4 −+++

=xx

xxxφ хэлбэрт оруулж бод.



3. [1.2] завсарт өгөгдсөн 01 тэгшитгэлийн шийдийг 10 =x гараанаас эхлэн


3 =−− xx

4. 3 тэгшитгэлийг ашиглан )( 2 −= xxf 3 тоог 10-4 нарийвчлалтай тооцоол.

5. [1.2] завсарт өгөгдсөн 0sin2 =+ xxπ тэгшитгэлийн шийдийг 10 =x гараанаас эхлэн


3.Шугаман алгерын систем тэгштгэл

3.1.Мэдэгдэхүүн ба гол тодорхойлолтууд.

n хувьсагчтай n шугаман тэгшитгэлийг авч үзэе:

nnnnnnn

nn

nn

bxaxaxaE

bxaxaxaEbxaxaxaE

=+++

=+++=+++

,,,...............................

,,,,,,

2211

222221212

112121111

(3.1)

Энэ систем тэгшитгэлийг хураангуйлан

XA ˆˆ ⋅ B=

⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

=

nn aa

aaaa

A

...............

.....

.....

ˆ

21

2221

1211

(3.2)

байдаптий бичдэг. Энд

nn

n

n

a

aa

...2

1

(3.3)

бол хэмжээстэй квадрат матриц. nn× X нь n байгуулагчтай вектор:

⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

nx

xx

....2

1

⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

=X (3.4)

B нь n байгуулагчтай вектор:



⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

nb

bb

....2

1

⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

=B (3.5)

Шугаман алгебрийн (3.1) системийн шийд болон түүнийг тооцоолон олох аргатай товч

танилцъя.

1. Шийд: (3.1) системийн бүх тэгшитгэлүүдийг нэгэн зэрэг адилтгал болгож байгаа

хувьсагчдын nn cxcxcx === ....,,, 2211 тодорхой тоон утгуудыг түүний шийд гэнэ.

2. Шууд арга: Төгсөглөг тооны арифметик үйлдлээр шуудхан шийдийг олдог аргыг систем

тэгшитгэлийг бодох шууд арга гэдэг. Зориуд ойролцоолол хийгээгүй бол ямагт жинхэнэ

шийдийг олдог.

3 . Нийтлэг жорын дагуу дараалсан олон дөхөлтийн хязгаар байдлаар систем тэгшитгэлийн

шийдийг олдог аргыг систем тэгшитгэлийг шийдэх давтлын арга хэмээнэ.

3,2 Тодорхойлогчийг тооцоолох нь.

(3.1) систем тэгшитгэлийн матриц хэлбэр (3.2) нь ганц шийдтэй байхын тулд тодорхойлогч

нь зайлшгүй тэгээс ялгаатай байх учиртай. Иймд систем тэгшитгэлийг шийдэхийн тулд

тодорхойлогчийг нь эхлээд бодох хэрэгтэй. Тодорхойлогчийг нь бодох нэг арга нь түүний

матрицыг гурвалжин матрицад хувиргахад тулгуурлана. Гурвалжин матрицын тодорхойлогч

нь диагоналийн элементүүдийн үржвэртэй тэнцүү байна.

???????????????

Шугаман систем тэгшитгэлийг бодох аргууд

Гауссын арга

(3.1) тэгшитгэл дэх A матрицыг өргөтгөж дараах байдлаар бичье.

[ ]⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

==

1

1

1

21

22221

11211

..................

.....

.....

ˆˆ~

nnnn

n

n

a

a

aaa

aaaaaa

BAA

+

+

+

,

,2

,1

.....

nn

n

na

(3.*)

Энд A бол (3.2) тэгшитгэл дэх матриц бөгөөд B багана матрицын элементүүдийг 1, += nii ab

болгон тэмдэглэв.



Гауссын зайлуулах арга

Энэ арга нь системийн 2 –р тэгшитгэлээс эхлэн хувьсагчдын өмнөх коэфициентүүдээс нэг

нэгээр зайлуулсаар хамгийн сүүлийн тэгшитгэл нэг хувьсагчтай тэгшитгэл болно. Энэ үед

тэр хувьсагчийн утгыг олж дараа нь бусад хувьсагчдыг олно. Ингэхдээ бол дараачийн

бүх тэгшитгэл дэх

011 ≠a

niai ,....,3,21, = коэфициентүүдийг -д харьцуулаад түүгээр 1

тэгшитгэлийг үржүүлээд (

11a E

111

1, Eaai ⋅ ) бусад тэгшитгэлүүдээс харгалзуулан хасвал ( 1

11

1, Eaa

Ei −i ⋅ )

-ээс бусад бүх тэгшитгэлийн 1 хувьсагч зайлна. Өөрөөр хэлбэл тэдгээрийн өмнөх

коэфициент 0 болно. Шинээр гарсан

1E x

niEi ,...,3,2= гэсэн 1−n тэгшитгэлийн системд

бол өмнөх үйлдлийг давтсаж, гэх мэтчилэн хамгийн сүүлд гэсэн нэг хувьсагчтай

тэгшитгэлд хүрнэ.

0≠22a nx

3,2 Шугаман тэгшитгэлийг бодох Жакобын давтлын арга.

Өмнөх (3.1) буюу (3.2) шугаман тэгшитгэлийг энэ аргаар бодохдоо дараах үйлдлийг хийнэ.

I. Тэгшитгэлийг давтал гүйцэтгэх хэлбэрт хөрвүүлнэ. Ингэхийн тулд (3.2)

тэгшитгэлийг түүн лугаа эн тэнцүү

CXTX ˆˆˆ +⋅= (3.6)

матриц байдалтай болгоно. T бол тодорхой тоон матриц, C тоон вектор. ˆ

II. Гарааны ойролцоо 0X векторыг сонгоно.

III. Дараалсан ( ∞→k ) давтлаар

CXTX kk ˆˆˆˆ )1()( +⋅= − (3.7)

ойролцоо шийдийг үүсгэнэ.

Математик илэрхийлэл. Сая өгүүлсний дагуу (3.1) тэгшитгэлийг (3.6) хэлбэрт оруулъя.

Тэгшитгэлээс элемент нь тэгээс ялгаатай ( 0iia ≠iia ) бол i хувьсагчийг x

niab

axa

xii

in

ijj ii

jjii ,....,2,1,

1

, =+⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛= ∑

≠=

(3.8)

байдлаар тодорхойлъё. Энэхүү (3.8) тэгшитгэл давтал үйлдэхэд тохиромжтой. Гарааны

утгуудыг ойролцоо сонгож к давтал үйлдвэл: 002

01 ,.....,, nxxx

( )

nia

bxa

xii

i

n

ijj

kjji

ki ,....,2,1,

1

)1(,

)( =

+−

=

∑≠=

−

(3.9)



ойролцоо шийд олдоно. Энэ аргыг Жакобын давтлын арга гэнэ.

Нийлэлт ба алдааг үнэлэх.

Бид олон хэмжээст огторгуйд ажиллаж байгаа учраас дарааллын хязгаар болон ойролцоо

шийд жинхэнэ шийдрүү нийлэх явцыг үнэлэх арга нэг хэмжээст тохиолдлоос өөр болно.

Векторын норм: (3.4) томъёогоор өгөгдсөн векторын X норм нь n хэмжээст огторгуй

дахь координатын 0 эхээс X векторын үзүүр хүртэлх зайгаар тодорхойлогдоно. Иймд

21

1

2⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡= ∑

=

n

iixX (3.10)

k,k-1 давтлаар олдсон )(ˆ kX ба )1(ˆ −kX векторын хувьд бол нь координатуудын

ялгавар тул хоёр векторын үзүүрийн хоорондох зай нь

)1()( −− ki

ki xx

)1()( ˆ −− kk XX болно. Энэ зай нь

ойролцооллын абсолют алдааг тодорхойлох бөгөөд харин

δ=− −

)(

)1()(

ˆ

ˆˆ

k

kk

X

XX (3.11)

харьцаа нь харьцангуй алдааг илэрхийлнэ.

Алгоритм

3,2 Шугаман тэгшитгэлийг бодох Гаусс-Зейдлийн арга.

Гаусс-Зейдлийн арга нь Жакобын аргыг сайжруулсан хувилбар юм. Үүний математик

гаргалгааг орхиж гол санааг нь хэлбэл )1(ˆ −kX векторын байгуулагчуудыг тоог

тооцоолоход хэрэглэнэ. Тооцоонд байгуулагчууд дэс дараалан олдоно.

Харин энэхүү шинээр олдсон бэлэн тоог түүнээс хойших байгуулагчийг

тооцоолоход ашиглах нь илүү нарийвчлалд хүргэдэг. Тиймээс Гаусс-Зейдлийн аргаар

шийдийг тооцоолохдоо (3.9) илэрхийллийн оронд

)(kix

)(1

)(1

ki

k xx −)(

2 ,.....,, kx

)(1

kix −

)(kix

( ) ( )

nia

bxaxax

ii

i

n

ij

kjji

i

j

kjji

ki ,....,2,1,1

)1(,

1

1

)(,

)( =+−−

=∑∑

+=

−−

= (3.12)

давтлын томъёог хэрэглэнэ.

Алгоритм

Дасгал.



1. Шугаман тэгшитгэлийн систем нь ганц T

шийдтэй. Энэ тэгшитгэлийг давтлын хэлбэрт бичээд Жакобын аргаар T)0,0,

гарааны утгаас эхлэн )(4

)(3 ойролцоо шийд үүсгэн дээрх жинхэнэ утгад

410− нарийвчлалтай нийлэх хүртэл давтал үйлдэж үр дүнг дараах хүснэгтэд бөглө.

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

=+−−=−+−=+−+−

=+−

15831110225311

0210

432

4321

4321

321

xxxxxxx

xxxxxxx

, kk xx

X )1,1,2,1(ˆ −=

X 0,0(ˆ =

)(2

)(1 ,, kk xx

К 0 1 2 3 4 .......... )(

1kx

)(2kx

)(3

kx

)(4kx

2. Өмнөх бодлогод харьцангуй алдааг )10(

)9()10(

ˆ

ˆˆ

X

XX − гэж үнэл.

3. Дараах шугаман тэгшитгэлийн системийг Жакобын аргаар 0ˆ )0( =X гараанаас эхлэн

эхний гурван давтлаар шийдийг ол.

4. Өмнөх дасгалыг Гаусс-Зейдлийн аргаар давтан үйлд.

5. Шугаман тэгшитгэлийн систем нь T жинхэнэ

шийдтэй. Гаусс-Зейдлийн аргаар T ойролцооллоос эхлэн шийдийг 7

⎪⎩

⎪⎨

⎧

−=+−=−+=+

24430432434

32

321

21

xxxxx

xx

X )1,1,1(ˆ )0( =

X )5,4,3(ˆ −=

=k

давтлаар олж үр дүнг хүснэгтэнд өр.

Шугаман систем тэгшитгэл ба матриц

Дараах алгебрийн шугаман систем

nnnnnn

nn

nn

bxaxaxa

bxaxaxabxaxaxa

=+++

=+++=+++

,,,...............................

,,,,,,

2211

22222121

11212111

(МД1)

тэгшитгэлийг

A X Bˆˆ ⋅ = (МД3)



матриц байдаптий бичдэг. Энд

⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

=

nnnn

n

n

aaa

aaaaaa

A

..................

.....

.....

ˆ

21

22221

11211

, , (МД3)

⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

=

nx

xx

X....

ˆ 2

1

⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

=

nb

bb

B....

ˆ 2

1

A бол хэмжээстэй квадрат матриц. nn× X , B нь n байгуулагчтай вектор буюу багана

матриц.

Нэгж матриц: эрэмбэтэй, гол диагоналийн дагуух элемент нь “1”, гол диагоналийн

гаднах элементүүд нь “0” утгатай буюу

nn×

⎩⎨⎧

≠=

=jiji

I ji ,0,1

, (МД4)

нөхцөлд таарах I матрицыг нэгж матриц гэнэ.

Урвуу матриц: хэмжээстэй матриц байж. Мөнхүү эрэмбэтэй бөгөөд nn× A IBA ˆˆˆ =⋅

нөхцөлд таарах B матрицыг A матрицын урвуу матриц гэдэг бөгөөд 1ˆˆ −= AB гэж

тэмдэглэнэ. Тэгэхлээр IAA ˆˆˆ ⋅ −1 = байна. Урвуу матрицгүй бол матрицыг үл хөрвөх

(сингуляр) матриц гэнэ.

A

Шинж чанар

А. Хэрэв А матриц урвуутай бол тэр нь цор ганц байна.

Б. хөрвөх матриц бол байна. 1ˆ −A AA ˆ)ˆ( 11 =−−

В. Хэрэв B нь хэмжээстэй хөрвөх матриц бол байна. nn× 111 ˆˆ)ˆˆ( −−− ⋅=⋅ ABBA

Жишээ1.

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

−

−=

211012121

A ба

⎟⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

−

−

−−

=

31

31

31

92

91

94

91

95

92

B хоёр матриц өгөгджээ. Энэ хоёр матрицын

үржвэр нь

IBA ˆ

100010001

31

31

31

92

91

94

91

95

92

211012121

ˆˆ =⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛=

⎟⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

−

−

−−

⋅⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

−

−=⋅



Бас IAB ˆˆˆ =⋅ болохыг ч үзүүлэхэд төвөггүй. Тэгэхлээр дээрх шинж ёсоор ба A B хоёр нь

хөрвөх матриц бөгөөд 1ˆˆ −= AB мөн ялгаагүй 1ˆˆ −= BA байж болно.

Д2. Систем тэгшитгэл ба урвуу матриц

Урвуу матрицыг нь олсноор (МД2) матриц тэгшитгэлийн шийдийг шууд олно. (МД2) матриц

тэгшитгэлийг зүүн гар талаас нь 1ˆ −A матрицаар үржүүлэе.

XXIIAA ˆˆˆ,ˆˆˆ 1 =⋅=⋅− болохыг анхаарвал

BAXAA ˆˆˆˆˆ 11 ⋅=⋅⋅ −− буюу BAX ˆˆˆ 1 ⋅= − (МД5)

Эндээс (МД3) томъёог анхаарвал шийдийг шууд олно. ix

Жишээ2.Дараах шугаман тэгшитгэлийг шийдэе.

⎪⎩

⎪⎨

⎧

=−+−=+=−+

423222

321

21

321

xxxxx

xxx

тэгшитгэлийг матриц хэлбэрт бичвэл:

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡=

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡⋅

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

−

−

432

211012121

3

2

1

xxx

(МД6)

Энэ матриц нь өмнөх Жишээ1 – д үзсэн A матриц юм. Түүний урвуу матриц нь B илэрхий

тул (МД6) тэгшитгэлийн хоёр талыг B матрицаар үржүүлж, жишээг анхаарвал

⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡⋅

⎥⎥⎥

⎦

⎤

−

−

⎟⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

−

−

−−

359

1397

432

31

31

31

92

91

94

91

95

92

211012121

31

31

31

92

91

94

91

95

92

3

2

1

xxx

⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

=⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡⋅

⎟⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

−

−

−−

=⎜⎜⎜

⎝

⎛

⎢⎢⎢

⎣

⎡⋅ буюу

⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

=⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

359

1397

3

2

1

xxx

байна. Ийнхүү

35,

913,

97

321 === xxx

МД3. Матрицын тодорхойлогч

Тэгшитгэл болон үл мэдэгдэгчдийн тоо нь ижилхэн шугаман систем тэгшитгэл нэгэн утгатай

шийдтэйг детерминант тодорхойлно. Дээрх (МД2) тэгшитгэлийн матрицын

детерминантыг detA буюу

A

A гэж тэмдэглэнэ.



Детерминантын шинж:

1. Хэрэв A матриц нь 1х1 эрэмбэтэй бол тодорхойлогч нь тэр элементтэйгээ тэнцүү

байна.

2. Минор. nn× эрэмбийн A матрицын i дэх мөр болон j дэх баганыг нь зайлуулахад

үүсэх )1(( )1 −× n эрэмбийн дэд матрицын детерминантыг A матрицын jiM , минор

гэнэ.

−n

3. jiM , минортой jiji илэрхийллээр холбоотой jiA , хэмжигдүүнийг

алгебрийн гүйцээлт гэнэ.

ji MA ,, )1( ⋅−= +

4. Хэрэв 1>n бол nn× эрэмбэтэй A матрицын детерминантыг

4. Интерполяци гэж юу вэ?

Функц хэдэн янзаар өгөгдөх вэ? Томъёогоор, графикаар, хүснэгтээр өгөгдөж болно.

Судлаач хүн туршилтын явцад нэг хэмжигдэхүүний утгуудад нөгөө

хэмжигдэхүүний утгууд харгалзаж байгааг хэмжилтээр тогтоосон юм гэж саная.

Энэ утгуудаар хүснэгт зохиовол нэгэн функц өгөгдлөө гэж үзнэ. Функцийн энэ илэрхий

утгыг хэрэглэн хувьсагчийн бүхий л ]

nxxx ,..,, 10

nyyy ,..,, 10

;[ 0 nxxx∈ цэгт функцийн утгыг олох асуудал амьдралд

олон тохиолдоно. Энэ асуудлыг шийдэхийн тулд f(x) функцэд сайтар дүйсэн бас тодорхой

томъёон хэлбэртэй F(x) дөхүүр функцийг хайж олдог. Дөхүүр функцийг байгуулах асуудлыг

шийдэхдээ ) цэгт f(x) болон F(x) функцийн утгууд хоорондоо яг давхцаж байх

шаардлагад тулгуурладаг. Иймд

,..,2,1 n=(ixi

nn yxFyxFyxF

=== )(,.....,)(,)( 1100 (4.1)

байх ёстой. Дөхүүр функцийг ингэж олохыг интерполяци ( хэлхэлт ) хэмээн нэрлэнэ. Харин

цэгүүдийг хэлхэлтийн зангилаа гэнэ. nxxx ,..,, 10

Жишээ нь: бидэнд үл мэдэгдэх f функцийн зарим нэг утгууд дараах хүснэгтээр өгөгдсөн гэж

саная.

x 0 1 2 3 4 5 6

f(x) 0 0.08415 0.9093 0.1411 -0.7568 -09589 -0.2794



Эдгээрээс өөр цэг дээр тухайлбал x=2.5 цэг дээр ямар

утгатай бол оо гэсэн асуулт гарч ирнэ. F дөхүүр

функцийг олох яг точны арга байгаа юу? Хичнээн цэг

өгөгдөж байж олох боломжтой вэ? гэх мэт асуудлууд

гарч ирнэ.

4,1 Linear interpolation

Хялбар аргуудын нэг бол шугаман интерполяци юм. Өмнөх жишээн дэх f функцийн 2,5 цэг

дээрх утгыг энэ аргаар тооцоолбол 2,5 нь 2 ба 3 ын дундаж цэг учраас f(2.5) утга нь

f(2)=0.9093 ба f(3)=0.1411 утгуудын дундаж утга байх бөгөөд 0,5252 байна.

Ер нь шугаман интерполяци нь хүснэгтэнд өгөгдсөн дараалсан 2 цэгийг шулуунаар холбодог

бөгөөд тэр шулууных нь тэгшитгэл:

ii

iiii xx

yyxxyy

−−−

+=+

+

1

1 ))((

байна. Шугаман интерполяци нь хурдан бөгөөд хялбар боловч нарийн, алдаа багатай

тооцоолж чадахгүй. Өөр нэг дутагдалтай тал нь nixi ,...,1,0= цэгүүд дээр

диференциалчлагддаггүй. Шугаман интерполяци маш нарийн тооцоолж чадахгүй учраас

дараах алдаа гарна.



21 )()()( ii xxCxgxf −≤− + энд )(''max

81

],[ 1

ygCii xxy +∈

= байна.

4,2 Олон гишүүнтээр дөхөх нь (Polynomial interpolation)

Өмнө нь өгөгдсөн цэгүүдийг хооронд нь шугаман функцээр сольж байсан бол одоо n

зэргийн олон гишүүнтээр солих арга бодоё.

Жишээ нь өмнөх жишээнд өгөгдсөн 7 цэгийг дараах олон гишүүнтээр дөхөж болно.

xxxxxxxf 9038.02255.03577.007321.0003130.00001521.0)( 23456 ++−+−−=

Энд байна. 5965.0)5.2( =f

∑=

−− =++++=

n

k

kk

nn

nnn xaaxaxaxaxp

001

11 ,....,)( (4.2)

Энэхүү олон гишүүнтийг (4.1) нөхцөлд тохируулснаар коэффициентүүдийг нь

бүрэн тодорхойлно. олон гишүүнтийг (4.1) нөхцөлд тохируулвал

naaa ,....,, 10

)(xpn

(4.3)

n+1 шугаман систем тэгшитгэл болно.

(4.3) системийг бодож үл мэдэгдэгчийголно. Эдгээр коэффициентүүдийг (4.2)

илэрхийлэлд орлуулж дөхүүр функцийн томъёо илэрхийллийг гаргана.

naaa ,....,, 10

Хэрэв дээрх системийн үндсэн тодорхойлогч:



(4.4)

тэгээс ялгаатай байвал систем тэгшитгэл ганц шийдтэй байдаг. Иймээс мөн хэлхэлтийн олон

гишүүнт ганцхан байна.

. Алдаа нь:

4,3 Лагранжийн олон гишүүнтээр дөхөх

4,4 Гурван диагоналт матрицыг үржигдэхүүнд задлах

. 5 Функцийн тооцоон диференциалчлал

Функцийн диференциалыг тооцоон дунд авах хэрэгцээ олонтоо тохиодог. Тооцоон

диференциалыг авахад түүнийг өндөр нарийвчлалд хүргэх асуудал чухал болдог юм.

5,1 Тооцоон диференциалчлалын тухай ойлголт

)(xf функцийн уламжлалыг

xxfxxfxf

x Δ+ Δ −

=→Δ

)()()(' lim0

(5.1)

дүрмээр тодорхойлдог. Тооцоон диференциалчлалд (5.1)-ээр илэрхийлэгдэх төгсгөлгүй бага

хэмжигдэхүүний харьцааг

xxfxxfxf

Δ−Δ+

≈)()()(' (5.2)

төгсөглөг илэрхийллээр солино. (Зураг 5,1). Энэ томъёог хэрэглэн х цэг дэх уламжлалыг

тооцоолохдоо

1. Уламжлалыг олох х цэгийг өгнө.

2. Хувьсагчийн xΔ өөрчлөлт өгнө.

3. (5.2) томъёогоор уламжлалыг тооцоолно.



Зураг 5,1

Төгсгөлгүй бага (5.1) өөрчлөлтийг төгсөглөг (5.2) өөрчлөлтөөр солиход тооцоон

диференциалчлалын гол алдаа үүсдэг. Энэ алдааг үнэлэхийн тулд (5.2) томъёон дахь

функцийг Тэйлорын цуваанд задлая. )( xxf Δ+

nn

xn

xfxxfxxfxfxxf Δ++Δ+Δ+≈Δ+!

)(,,,!2

)(''!1

)(')()( 2 (5.3)

Энэ томъёог (5.2) илэрхийлэлд орлуулбал

!3)(''' 2Δxx

!2)('')(' +Δ+

fxxfxf ,,,,+)(' ≈xf

)

(5.4)

Эндээс үзвэл баруун гар дахь функцийн ойролцоо уламжлал ) нь зүүн гар дахь

уламжлалаас ялгаатай буюу алдаа агуулж байна. Хэрэв

(' xf (' xf

xΔ бага бол алдааны цуваан дахь

голлох хувь нь xxfΔ

!2)('' гишүүнд оногдоно. Үүнээс үзвэл алдаа нь хувьсагчийн

ялгаврын нэгдүгээр зэрэгтэй шууд хамааралтай байна. (Зураг 5,1)

xΔ

Иймд тооцоон диференциалчлалыг

)ξ(''2

fx)()()x

xfxxfx('f Δ+

Δ−Δ+

= (5.5)

байдалтай бичъе. Энд xxx Δ+<< ξ завсрын цэг.

Жишээ1. функцийн уламжлалын 8Lnxxf =)( .10 =x цэг дэх утгыг 001.0,01.0,1.0=Δx

алхмаар ойролцоо утгыг x

fxffΔ

+ Δ −≈

)8.1()8.1()8.1(' томъёогоор тооцоолж алдааг үнэл.

Гарах алдаа нь: 22 )8.1(222)(' xxfx Δ

≤Δ

=⋅Δ

ξξ

байна. Энд xΔ+<< 8.18.1 ξ



)8.1( xf Δ+ xΔ

fx

fxΔ

+ Δ − )8.1()8.1(2)8.1(2

xΔ

0,1 0,64185389 0,5406722 0,0154321

0,01 0,59332685 0,5540180 0,0015432

0,001 0,58834207 0,5554013 0,0001543

Хүснэгт 5,1

5,2 Нарийвчлалыг сайжруулах арга зам.

Тооцоон диференциалчлалын алдааг багасгахын тулд xxx Δ+, дэх ) функцийн утгын

оронд цэг дэх утгуудынх нь ялгаврыг хэрэглэдэг. (Зураг 5,2) Иймд

(xf

xxxx Δ+Δ− ,

xxxfxxfxf

ΔΔ−−Δ+

≈2

)()()(' (5.6)

Зураг 5,2

(5.5) томъёогоор диференциалчлалын гарах алдааг үнэлэхийн тулд

функцийг Тэйлорын цуваанд задалж эхний дөрвөн гишүүнийг тооцъё.

)(),( xxfxxf Δ−Δ+

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

Δ−

Δ+

Δ−

Δ−

⎜⎜⎝

⎛+

Δ+

Δ+

Δ+

Δ≈

...!3

)('''!2

)(''!1

)(')(2

1

...!3

)('''!2

)(''!1

)(')(2

1)('

32

32

xxfxxfxxfxfx

xxfxxfxxfxfx

xf ⎟⎟⎠

⎞

(5.7)

Энд хаалтыг нээж эмхэтгэвэл:

...!3

)(''')(')('2

+Δ

+≈xxfxfxf (5.8)



Үүнээс алдааны гол гишүүн нь !3

)('''2xxf Δ буюу xΔ шилжилтийн хувьд хоёрдугаар

эрэмбийн бага хэмжигдэхүүн байх юм. Тийнхүү тооцоон диференциалчлалыг сайн

нарийвчлалтай олохын тулд

Δ

ε+Δ− − Δ+

=x

xxfxxfx2

)()()('f (5.9)

томъёог ашиглана. (Зураг 5,2) Энд

!3)(''' xxf Δ

=ε2

(5.10)

Жишээ2 функцийн уламжлалын 8Lnxxf =)( .10 =x цэг дэх утгыг 001.0,01.0,1.0=Δx

алхмаар ойролцоо утгыг xf

Δxxff Δ−−Δ+

≈8.1()8.1('

глө.

)8.1( xf Δ+

28.1() ) томъёогоор тооцоолж алдааг

үнэл. Дараах хүснэгтийг бө

xΔ xfx

Δxf −−Δ+

28.1() Δ )8.1(

!'

2

f=ε3

)('' xx Δ

0,1

0,01

0,001

Хүснэгт 5,2

5,3 Функцийн тоон утгуудаас диференциал авах

Функцийн тоон утгаас диференциал авах нь практик бодлогод тохиолдож байдаг.

функцийн утга ] завсарт дараах хүснэгтээр өгөгдсөн байг. (Хүснэгт 5,3)

)(xf

,[ bax∈

x 0x 1x 2x nx ……….

)(xf )( 0xf )( 1xf )( 2xf )( nxf …………….

Хүснэгт 5,3

Хүснэгтэд тоон утгыг нь өрсөн ) функцийг дурын ](xf ,[ bax∈ цэгт диференциалчлахын

тулд эхлээд энэ функцийн хэлхэлтийн ) олон гишүүнтийг байгуулна. Энэхүү ) олон

гишүүнтээс авсан уламжлал нь ) функцийн уламжлал болох буюу

(xPn (xPn

)(')(' xPxf n

(xf

(5.11) ≠

Алдаа нь ε гэвэл

≠ )(')(' xPxf n ε (5.12) +

болно.



6. Диференциал тэгшитгэл юу вэ?

Үл мэдэгдэх функц болон түүний нэг буюу түүнээс дээш эрэмбийн уламжлалыг агуулсан

тэгшитгэлийг диференциал тэгшитгэл гэнэ. Тухайлбал n эрэмбийн диференциал


0),...,'',',,( )( =nyyyyxF (6.1)

хэлбэртэй бичиж болно. Энд x нь үл хамааран хувьсагч, )(xy ϕ= бол үл мэдэгдэх фунзц,

нь эл функцийн n эрэмбийн уламжлал. бол дээрх

хэмжигдэхүүнийг агуулсан алгебрийн илэрхийлэл.

)()( xy n )',,( yyxF ,...,'', )(nyy

Дээрх (6.1) тэгшитгэл нэг утгатай шийдтэй нь тодорхой байх ёстой. Тэр шийдийг олохын

тулд захын буюу гарааны нөхцөлд тааруулдаг. Энэ нь цэгт 0x )(xy ϕ= болон бүх

уламжлалын дараах тодорхой утгаас эхлүүлэн (6.1) тэгшитгэлийг шийднэ гэсэн үг.

)()( xy n

)(00

)(0000 )(.....,,')(',)( nn yxyyxyyxy === (6.2)

Математик хэлээр бол гарааны нөхцөлд тохируулснаар интегралчлалын тогтмолыг

тодорхойлно. Тухайлбал

],[)(),(' 00 baxyxyxfy ∈== (6.3)

бол

∫ +=x

x

Cdxxfxy0

)()( бөгөөд Cxy =)( 0 (6.3а)

)()( xy n уламжлал агуулсан диференциал тэгшитгэлийг n ширхэг 1-р эрэмбийн диференциал

тэгшитгэлд хувиргасаар шийдэх болон компьютер тооцоонд эвтэй хэлбэрт оруулдаг юм.

Жишээлбэл:

),(2

2

yxfdx

xd= (6.4)


),(')('

yxfvxvy

==

(6.5)

хэлбэрт оруулна.

Диференциал тэгшитгэлийг шийдэх аргуудыг томъёон, график бас тооцооны гэсэн 3 үндсэн

бүлэгт хамааруулна.

6,2 Пикарын арга

Пикарын аргыг хэрэглэн (6.3) төрлийн тэгшитгэлийн шийдийг томъёон функцээр ойролцоо

илэрхийлж болдог. Функц f(x) нь ],[ bax∈ мужид тасралтгүй тодорхойлогдсон бол )(xy

шийд нэгэн утгатай байх тухай теорем бий. (6.3) тэгшитгэлийг



dxyxfdy ),(= (6.6)

байдалтай бичиж хоёр талыг нь -оос 0x x хүртэл интегралчилбал

∫ ∫=x

x

x

x

dxyxfdydx0 0

),( (6.7)

Баруун талыг нь интегралчилбал

∫+=x

x

dxyxfyxy0

),()( 0 (6.8)

(6.8) функцийг (6.3) тэгшитгэд орлуулж гарааны 00 )( yxy = нөхцөлд тааруулбал

000

0

0

),()( ydxyxfyxyx

x

=+= ∫ (6.9)

болж (6.9) шийд (6.3) тэгшитгэлд таарч байгааг илтгэж байна. Интеграл тэгшитгэл (6.8) –ыг

хэрэглэн y шийдийг дараалан дөхөх аргаар олж болно. Гараанд 0yy = сонговол

∫+=0

0

),()( 001

x

x

dxyxfyxy (6.10)

Сүүлчийн илэрхийлэл дэх интеграл зөвхөн x хувьсагч агуулах учраас интегралыг бодож x -

ээс хамаарсан ойролцоо томъёон илэрхийлэл -ийг олно. Тэгээд -г түрүүчийн адил

хэрэглэн

1y 1y

∫+=0

0

),()( 102

x

x

dxyxfyxy (6.11)

ойролцоо функц олно. Энэ үйлдлийг n дахин давтвал,

∫ −

0

10x

nn +=0

),()(x

dxyxfyxy ,...2,1=n (6.12)

Ийнхүү дараалан дөхөх аргыг хэрэглэснээр

)(),.....,(),( 21 xyxyxy n (6.13)

ойролцоо шийдийн дараалал олдоно.

Алдааг үнэлэх нь:

Дээрх (6.13) дарааллын хязгаар нь (6.8) интеграл тэгшитгэл улмаар (6.3)

тэгшитгэлийн жинхэнэ шийдрүү тодорхой нарийвчлалын хүрээнд дөхөж болно. Тиймээс i-р

гишүүн дэх алдааг

∞→n

ε≤− )()( xyxy i (6.14)

томъёогоор үнэлж болно. Алдаа



)!1( +=

+

iNM ii δε

1

(6.15)

Энд 0,),(,)('max xxyxfNxfM −≥≥= δ

Дасгал: Дараах тэгшитгэлийн ойролцоо шийдийг ол.

1. 5.0)0(201)()(' 2 =≤≤+−= yxxxyxy

2. 1)0(10cos)()(' =≤≤⋅= yxxxyxy

3. .0)1(21)(2)(' 2 =≤≤+= yxexxyx

xy x

4. eyxexxyx

xy x ⋅=≤≤+−= 2)1(21)(2)(' 2

8,3 Эйлерийн арга

Дифереенциал тэгшитгэлийн шийдийг графикаар дүрслэн босгох нь Эйлерийн аргын үндэс

мөн. Өмнөх (6.3) тэгшитгэлийн шийдийг энэ аргаар хэрхэн олохыг үзье.

Эхлээд [a,b] завсрыг n тэнцүү h алхамтай завсарт хуваая.

niihaxi ,...2,1,0=+= (6.16)

Энд n

abh −=

Тооцооны томъёог гаргахын тулд (6.6) тэгшитгэлийг ] завсарт интегралчилъя: ,[ 1+ii xx

∫+

=−+

1

),(1

i

i

x

xiii dxyxfyy (6.17)

Энэ (6.17) томъёоны баруун талын интегралыг янз бүрийн утга чанараар ойролцоолон авахад

Кошийн бодлогыг тооцоолон шийдэх өөр өөр жор боловсордог. Дээрх (6.17) томъёонд

интегралыг ойролцоо тооцоолох тэгш өнцөгтийн аргыг хэрэглэх буюу constxi =)(ϕ утгатай

авбал

∫+

−≅ +

1

))(,(),( 1

i

i

x

xiiii xxyxfdxyxf (6.18)

(6.18) илэрхийллийг (6.17) –д орлуулбал:

,...2,1),(1 =+=+ iyxhfyy iiii (6.19)

Энэ бол (6.3) маягийн тэгшитгэлийг ойролцоолон шийдэх Эйлерийн аргын жор мөн.

Эйлерийн аргын нарийвчлалыг тодруулахын тулд (6.3a) дахь функцийг цэгийн орчимд

Тейлорын цуваанд задлая.

ix



)(''2

)()()(2

1 iiii xyhxyhxyxy +⋅+=+ (6.20)

)( ixy функц (6.20) тэгшитгэлд таарч байгаа учраас ))(,()(' iii xyxfxy = болохыг тооцвол

,...2,1,0)(''2

))(,()()(2

1 =+⋅+=+ ixyhxyxfhxyxy iiiii (6.21)

Эндээс харвал эхний хоёр гишүүн нь (6.19) томъёонд таарч байна. Харин (6.21) томъёон дахь

гурав дахь гишүүн нь тухайн алхам дахь алдааг илэрхийлж байна.

)(''2

2

ii xyh=Δ (6.22)

Алхам дахь алдаа алхмын квадратад ) шууд хамааралтай юм. Харин алхам бүр дэх бүх

алдааны нийлбэр нь ) байна. Нөгөөтэйгүүр

( 2h

( 2hON ⋅h

N 1= учир )(hO=Δ буюу алхмын

нэгдүгээр зэрэгт шууд хамааралтай байна. Тэгэхлээр Эйлерийн аргаар (6.3) маягийн

тэгшитгэлийг шийдэхэд алдаа байна. h≅Δ

6,4 Шийдийн график дүрслэл

Гарааны цэгт шийд утгатай. Аль болох бага алхам h авъя. 0x 0y hxx += 01 цэгт (6.18) ёсоор

),()()( 0001 yxfhxyxy ⋅+≈

],[ 10 xx

1x

. Энэ бол ) цэг дэх шүргэгчийн тэгшитгэл мөн. Тэгэхлээр

завсарт хайж буй жинхэнэ шийдийн муруй ) цэг дэх шүргэгчийн хэрчмээр

солих юм. Үзтэл цэгт энэ шүргэгч жинхэнэ муруй ( ) )-гаас илт зөрж байна. (Зураг 6,1)

,( 00 yx

,( 00 yx

(xy

1x цэгт ),( 00011 yxfhyyy ⋅=−=Δ .

Дээрх үйлдлийг цэгт давтвал ),( 11 yx ))(,()( 1111 xxyxfyxy −+≈ шүргэгчийн тэгшитгэл

2xx = цэгт энэ шү ),( 11 yxргэгчгарна. 2y 1 fhy ⋅+= . Тэгэ ],[ 21 xx завсарт эл шүргэг

хэрчим нь жинхэнэ шийдээс зөрж байна. Иймд

хлээр

),( 111 yxfhy

чийн

⋅=Δ хэмжээгээр ялгаатай. (Зураг

6,1)

Дээрх үйлдлийг давтан хийвэл алхам дээрх ойролцоо функцийн утгыг kx 1+ky

kkk yyy Δ+=+1 (6.23)

байдлаар олно. Энд (6.24) ,( kkk yxfhy ⋅=Δ )

,..,...,, 21 kyyyДээр өгүүлснээс үзвэл гарааны утгаас бусад бол бүгд жинхэнэ

утгуудаас зөрөөтэй ойролцоо утга. Эдгээрийг хэрэглэн олж байгаа

0y

),..(),...,(),( 21 kxyxyxy

,..,...,, 21 kxxx цэг дээрх kyΔ өөрчлөлтүүд алдааг илэрхийлж байна. Иймээс жинхэнэ шийд

функцээс илт зөрөөтэй. (Зураг 6,1) )(xy



(Зураг 8,1)

Алгоритм

0],,[),(' yybaxyxfy =∈= тэгшитгэлийн шийдийг ] муж дахь N+1 завсарт

ойролцоолон олох нь:

,[ ba

Input. Үзүүрийн цэг a,b; гарааны нөхцөл 0y

Output. x хувьсагчийн N+1 цэгт y шийдийн ойролцоо утгыг ойролцоо утгыг олно.

Step1. N

abh −= , 000 )( yxyax ==

Step2. For i=1,2,...N do Step3,4

Step3. y=y0+h*f(x0,y0) x=x0+ih

Step4. output (x,y)

Step5. Stop

Дасгал

5.0)0(201)()(' 2 =≤≤+−= yxxxyxy

xxy −+= 5.0)1()( 2

тэгшитгэлийг N=10 хуваалтаар ойролцоолон

шийд. Жинхэнэ шийд нь: . Ойролцоо ба жинхэнэ шийдийг графикаар

жишиж, дараах хүснэгтэд тоон утгыг өрж дүгнэлт хий.

xe⋅

i iy )( ixyx 1)( yxy i −

Хүснэгт 8,1

8,5 Эйлер Кошийн арга

Эйлерийн аргыг практик тооцоонд төдийл хэрэглэдэггүй. Ойролцоо шийдийн алдаа нь h

алхмын нэгдүгээр зэрэгт шууд хамааралтайг дээр ярилцсан. Гэвч эл аргын математик

гаргалгаа хялбар бөгөөд шийдийн утгыг дүрслэн тодруулахад дөт учраас түүнийг илүү

нарийвчлалтай арга боловсруулахад суурь болгон ашигладаг аж. Дээр Эйлерийн аргын

жорыг гаргахдаа (6.18) томъёонд тэгш өнцөгтийн нарийвчлал хэрэглэсэн. завсарт

функцийг тогтмол хэмээн үзэх нь бүдүүн бараг болох нь илт. завсарт функц

],[ 1+ii xx

]1+ix),( yxf ,[ ix



тогтмол бус. Завсрыг таллан хувааж тус бүрт нь тэгш өнцөгтийн аргыг хэрэглэж хоёр үзүүрт

нь функцийн утга ялгаатай тооцвол:

∫+

+≅ ++

i

i

x

xiiii yxfyxfhdxyxf

1

)),(),((2

),( 11 (6.25)

Үүнийг (6.17) томъёонд тавьбал:

2,(),( *

111

iiiiii

yxfyxfhyy

+⋅+= ++

+

)

)

)( ixy

iy

(6.26)

Геометр дүрслэлийн үүднээс энэ жорыг дараах байдлаар төсөөлж болно. утгыг

цэгт тооцоолоод дараачийн гогцоонд цэгт энэхүү утгыг ашиглан (6.26) томъёогоор

тоог дээрх хоёрын дундаж утга байдлаар тооцоолно. Ингэхэд алдааг эрс багасгадаг

бөгөөд алхам дахь алдаа нь: байдаг.

*1+iy ,( ii yx

1+ix *1+iy

1+iy

3hi ≈Δ

Дасгал

1. тэгшитгэлийг Эйлерийн болон Эйлер Кошийн

аргаар ойролцоолон шийдэж, шийд болон алдааг Хүснэгт 6,2 хүснэгтэд тоон утгыг өрж

жинхэнэ шийдийн утгатай. жишиж, дүгнэлт хий.

5)0(201)()(' 2 =≤≤+−= yxxxyxy

xexxy ⋅−+= 5.0)1()( 2

ix

Жинхэнэ утга

Эйлерийн

арга

Алдаа

ii yxy −)(

iy

Эйлер

Кошийн арга

Алдаа

ii yxy −)(

Хүснэгт 6,2

2. Дараах тэгшитгэлүүдийг өмнөх Эйлер, Эйлер Кошийн аргаар шийд.

А. 5.00)0(]1;0[2' 3 ==∈−= hyxyxey x

Б. 5.01)2(]3;2[)(1' 2 ==∈−+= hyxyxy

В. 25.01)0(]1;0[3sin2cos' ==∈+= hyxxxy

Г. 5.02)1(]2;1[1' ==∈+= hyxxyy



3. Өмнөх дасгал дахь тэгшитгэлүүдийн жинхэнэ шийд нь

А. xx exexy 23

251

51)( −− −= Б.

xxxy

−+=

11)(

В. Г. xxxxy 2ln)( +=343cos

312sin

21)( +−= xxxy

Функцууд бол шийд болон алдааг тоцооны алхам бүрт 1-р дасгалд хийсний адилаар үнэл.

4. Дараах тэгшитгэлүүдийг өмнөх Эйлер, Эйлер Кошийн аргаар шийд.

А. 1.01)1(]2;1['2

==∈⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−= hyx

xy

xyy

Б. 2.00)1(]3;1[1'2

==∈⎟⎠⎞

⎜⎝⎛++= hyx

xy

xyy

В. 2.02)0(]2;0[)3)(1(' =−=∈++−= hyxyyy

Г. 1.031)0(]1;0[255' 2 ==∈++−= hyxxxyy

5. Өмнөх 4-р дасгал дахь тэгшитгэлүүдийн жинхэнэ шийд нь

А. x

xyln11)(

+= Б. )(ln)( xxtgxy =

В. xexy 21

23)( −+−= Г. xexxy 52

31)( −+=

Функцууд бол шийд болон алдааг тоцооны алхам бүрт 1-р дасгалд хийсний адилаар үнэл

8,6 Рунге-Куттагийн арга

Ердийн диференциал тэгшитгэлийг ойролцоо шийдэхэд гарах алдааг багасгах аргын үндсийг

Рунге, Кутта нар боловсруулжээ. Эйлерийн болон Эйлер Кошийн арга эл бүгд хамаарна.

Практик тооцоонд олонтоо хэрэглэдэг Рунг?-Куттагийн PK4 аргын математик жортой

танилцъя.

Зангилааны цэгт функцийн ойролцоо утгыг тооцоолон гаргана.

Гарааны цэгт . Алхам . Ингэхдээ утгыг

nxxx ,...,, 21

00 )( yxy =

nyyy ,...,, 21

y0>h 1+i

)22(6 43211 kkkkhyy ii ++++=+ (6.27)



томъёогоор тооцоолно. Үүнд:

,(),,(

)2

,2

(),,(

2

12

yhxfkkhyhxf

khyhxfkyxf iiii

+=++

++=

3

1

k

k

=

= (6.28)

)3hk+22 4 iiii

Алдаа:

Эдгээр томъёоноос харвал Рунге-Куттагийн аргаар ];[ hxx ii + завсарт функцийн ойролцоо

утгыг олохдоо 2hxi + болон зангилаан дахь функцийн утгад -аас хамаарсан

тоон засварыг тооцож байна. Ингэснээр алдаа

hxi + 321 ,, kkk

5hM ⋅≅Δ (6.29)

жишигт хүрдэг. М үржигдэхүүнд тоон үнэлэлт хийх нь амаргүй учраас Рунгегийн дүрмийг

хэрэглэдэг. Эл дүрэм ёсоор тооцоог эхлээд h алхамтай, дараа нь2h алхамтай үйлдэнэ. Бүтэн

ба тал алхамтай утгыг болон )(hiy )

2( h

iy гэж тэмдэглэвэл алдааг

( )hi

h

ii

h

i yyxyy −≤− ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

221516)( (6.30)

томёогоор үнэлнэ. бол жинхэнэ утга. )( ixy

Алгоритм

Алгоритм

0],,[),(' yybaxyxfy =∈= тэгшитгэлийн шийдийг ] муж дахь N+1 завсарт

ойролцоолон олох нь:

,[ ba

Input. Үзүүрийн цэг a,b; гарааны нөхцөл 0y

Output. x хувьсагчийн N+1 цэгт y шийдийн ойролцоо утгыг олно.

Step1. N

abh −= , 000 )( yxyax ==

Step2. For i=0,1,...N-1 do Step3,4

),(),2

,2

(

)2

,2

(),,(

342

3

121

hkyhxfkkhyhxfk

khyhxfkyxfk

iiii

iiii

++=++=

++==Step3.

)22(6 43211 kkkkhyy ii ++++=+

x=x0+ih

Step4. output (x,y)



Step5. Stop

Дасгал

1. тэгшитгэлийг Рунге Кутта болон Эйлер Кошийн

аргаар ойролцоолон шийдэж, шийд болон алдааг Хүснэгт 6,3 хүснэгтэд тоон утгыг өрж

жинхэнэ шийдийн утгатай. жишиж, дүгнэлт хий.

5)0(201)()(' 2 =≤≤+−= yxxxyxy

xexxy ⋅−+= 5.0)1()( 2

утга

)( ixy

ix

Жинхэнэ Эйлерийн

Кошийн арга

Алдаа

iyi

iy

Рунге

Куттагийн

арга

Алдаа

i yxy −)( ( )hi

h

i yy −⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

21516

Хүснэгт 6,3

2. Дараах тэгшитгэлүүдийг Эйлер Кошийн болон Рунге Куттагийн аргаар шийд.

А. 1.01)1(]2;1['2

==∈⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−= hyx

xy

xyy

Б. 2.00)1(]3;1[1'2

==∈⎟⎠⎞

⎜⎝⎛++= hyx

xy

xyy

В. 2.02)0(]2;0[)3)(1(' =−=∈++−= hyxyyy

Г. 1.031)0(]1;0[255' 2 ==∈++−= hyxxxyy

3. Өмнөх 2-р дасгал дахь тэгшитгэлүүдийн жинхэнэ шийд нь

А. x

xyln11)(

+= Б. )(ln)( xxtgxy =

В. xexy 21

23)( −+−= Г. xexxy 52

31)( −+=

Функцууд бол шийд болон алдааг тоцооны алхам бүрт 1-р дасгалд хийсний адилаар үнэл



6,7. Систем диференциал тэгшитгэлийг бодоход

Рунге-Куттагийн аргыг хэрэглэх нь

бичээгүй

7. Интегралыг ойролцоолон шийдэх нь.

)(xf функцээс [a,b] завсарт авсан тодорхой интеграл

∫=b

a

dxxfS )( (7.1)

Энэхүү интеграл нь f(x) муруй, Х тэнхлэг дээр [a.b] хэрчим, мөн x=a болон x=b

шугамуудаар хязгаарлагдсан дүрсийн талбайг тодорхойлно. (Зураг 7,1)

Амьдралд тохиолдох f(x) муруй ихээхэн нарийн ярвигтай учир интегралыг шууд томъёон

хэлбэрт гаргах нь төвөгтэй. Иймд интегралыг ойролцоолон тооцоолох аргаар бодох хэрэгтэй

болдог.

7,1 Тэгш өнцөгтийн арга.

Зураг 7,1а,б –д үзүүлсэн f(x) функцээс [a.b] завсарт интегралыг ойролцоо тооцоолох

математик илэрхийлэл гаргая.

Зураг 7,1а

f(x) нь алгуур хувьсдаг гөлгөр функц байг. Энэ нөхцөлд интегралыг тэгш өнцөгтийн аргаар

бодох нь тохиромжтой. [a;b] завсрыг ижилхэн h урттай n завсарт хувааж хуваалтын

цэгүүдийг хэмээн тэмдэглэе. Завсрын урт nxxxx ,...,,, 210 nabh −

= болох нь илэрхий. Харин

хуваалтын цэгүүдэд функц bxx n =,...2xax = ,, 10 )(),....,(),( 1100 nn xfyxfyxfy ===



Зураг 7,1.б

утгатай. Хэрэв завсар хүрэлцээтэй хавчиг бол түүнд харгалзах муруйг бараг шулуун гэж

үзэж болно. Тэгэхлээр муруйгаар хашигдсан талбайг ойролцоолон ( Зураг3,1.б)

буюу эсвэл (Зураг 3,1.а) өндөр бүхий тэгш өнцөгтөөр сольж болох юм. Иймд

интегралыг

nyyy ,...,, 21

110 ,...,, −nyyy

),...,()( 110 −++−

≈= ∫ n

b

an yyy

nabdxxfS буюу ),...,()( 21 n

b

an yyy

nabdxxfS ++

−≈= ∫ (3.2)

ойролцоо илэрхийллээр сольж болно. Хуваалтын тоог олшруулвал ойролцоо утга

интегралын жинхэнэ S утга руу тэмүүлнэ.

∞→n

nS

Алдаа:

Δ≤− nSS буюу Δ+≤≤Δ− SSS n (7.3)

Алгоритм:

Input a, b-завсрын төгсгөлийн цэгүүд, -хуваалтын тоо 0n

Output Ойролцоо интеграл S;

Step1. n=0, )(,,,00

afyaxn

abhS ==− ==

yhSS ⋅+=

);(xfy =

Step2. while do Steps 3-6. 10 −≤ nn

Step3.

Step4. ;hxx +=

Step5.

Step6. n=n+1;



Step7. Output S;

Stop.

7,2 Трапецийн арга

Өмнөх аргад h завсар дахь муруйн нумыг шулуун гэж үзэх нь ихэнх тохиолдолд үнэнд үл

нийцнэ. Иймд нумыг түүнд илүү дөхсөн хэрчмээр солих хэрэгтэй. Завсарт харгалзаж буй

муруй шугаман трапецийг трапецаар сольвол нарийвчлал сайжирна. ( зураг 3,2)

зураг 7,2

Зурагт үзүүлсэн трапецүүдийн талбай:

hyy

S ⋅+

=2

100 , hyyS ⋅

+=

221

1 , hyy

S ⋅+

=2

322 ,....., h

yyS nn

n ⋅+

= −− 2

11 байна.

Иймд

∫ ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +

+++

++

++−

=≈ −b

a

nnn

yyyyyyyyn

abSdxxf2

,...,222

)( 1322110 буюу

∫ ⎟⎠⎞+++≈ −

b

ann yySdxxf 12 ,...,)( ⎜

⎝⎛ +

+−= n y

yyn

ab1

0

2 (7.4)

Алдаа:

Δ≤− nSS буюу Δ ≤ ≤ + Δ− SSS n (7.5)

Алгоритм:



Step1. n=0, )(,,,00

afyaxn

abhS ==− ==




Step3. 2

)()( hxfxfhSS ++⋅+=

Step4. ;hxx +=

Step5. n=n+1;

Step6. Output S;

Stop.

7.3 Симпсоны арга

Өмнөх 2 аргад завсар дахь муруйг шулуун хэрчмээр, мөн нумын хөвчөөр солих замаар

интегралыг ойролцоолон тооцоолсон. Харин муруй хэрчмийг муруй шугамаар ойролцоолбол

тооцооны нарийвчлал илүү сайжрах нь мэдээж. Симпсоны аргад завсар дахь муруйд хоёр

үзүүрийнх нь дунд нэг цэг авч гурван цэгийг дайрсан параболоор холбож дөхдөг юм.

nn xx ,1− завсарт дөхөлтийн томъёо нь

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ +

+−

≈ −−

−∫−

)(2

4)(6

)( 11

1

1

nnn

n

x

x

nn xfxx

fxfxx

dxxfn

n

(7.6)

Зураг 7,3

Завсрын урт багасахад Симпсоны аргын нарийвчлал ер нь түргэн буурдаг. Нарийвчлалыг

сайжруулахын тулд Симпсоны нийлбэрт томъёог хэрэглэнэ. Энэ томъёо гаргахын тулд [a;b]



завсрыг 2m буюу тэгш тооны, m

ab2− урттай завсарт хуваая. Ингэхэд цэгт

утгатай,

khaxk +=

)( kk xfy = mk 2,...,2,1,0=

Симпсоны (7.6) томъёог 2h урт бүхий завсар бүрт хэрэглэе.

Эдгээр завсар бүрийн дунд буюу сондгой дугаартай зангилаа байгааг

анхаарч Симпсоны томъёог

];[],...,;[],;[ 2224220 mm xxxxxx −

12 −mx

mk 2,..,2,0

531 ,...,,, xxx

xx kk ],;[ 222 =+ завсарт хэрэглэж нийлбэр авъя.

∫ ∑−

=+

+⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ +

+−

≈b

a

m

kk

kkk xf

xxfxfabdxxf

1

022

2222 )(

24)(

6)(

( ) =++++++++++++−

= −− mmm yyyyyyyyyyyyab21222654432210 4,...,444

6

( ) =+++++++++++−

= −− mmm yyyyyyyyyyab212531226420 ),...,(4),...,(2

6

( ) =+++++++++++−

= −− mmm yyyyyyyyyyab212531226420 ),...,(4),...,(2

6

⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛+++

−= ∑ ∑

= =−−

m

k

m

kkkm yyyy

nab

2 1122220 42

6 (7.7)

Симпсоны (3.7) нийлбэрийг бодохдоо нарийвчлалыг тооцох дүрмийг Рунге боловсруулжээ.

Энэ дүрэм ёсоор нэгдүгээрт: тэгш тоо n авч (3.7) томъёогоор интегралыг n

abh −= алхамтай

тооцоолно. Үүнийг гэж тэмдэглэе. Дараа нь nInabh

22−

= алхмыг сонгож мөн (7.7)

томъёогоор интегралыг тооцоолж гэе. Рунгегийн завсрыг оролцуулан Симпсоны

томъёогоор тооцоолсон утгыг

nI 2

∫b

a

dxxf )( I гэвэл

152

2n

nII

II n−+= (7.8)

Алдаа: Симпсоны аргаар интегралыг тооцоолоход гарах алдааг

152 nn II −

=Δ

томъёогоор үнэлнэ.

Алгоритм:





Step1. n=0, )(,,,00

afyaxn

abhS ==−

==


Step3. )2()(4)( hxfhxfxfSS +++++=

Step4. ;2hxx +=

Step5. n=n+2;

Step6. Output S;

Stop.

7.4 Монте-Карлогийн арга бичээгүй

8. Фурье хувиргалт

8.1 Фурьегийн хувиргалт

Физик техник болон шинжлэх ухаан техналогийн олон салбарт тохиолддон нэг чухал

асуудал бол ярвигтай функцийг хувиргаж үзэгдэлийн далд мөн чанарийг нь бодох харагдах

боломжыг шинжлэх нь чухал байдаг, Тийм асуудалыг шийдэх математик хэрэглүүр бол

фурье хувиргалт юм, Энэ хувиргалт нь өнөөх ярвигтай f(x) функцээс фурье төлөөлөлд

( ) ∫ ⋅⋅−=T

xr dxexff0

)( ϖϖ (8.1)

хувиргалт эсвэл түүний дискрет төлөөлөлд

∫ ⋅⋅⋅−=T

xnrn dxexf

Tf

0

)(1 ϖ n=1,..N (8.2)

томёогоор шилжинэ. Энд f(x) функц нь Т үетэй буюу

f(x)=f(x+tn), n=1,2,3..N (8.3)

шинжтэй ϖ ба ϖ⋅n бол гармоник буюу функцын хувьсалын тойрох давталин xre ϖ− nxre ϖ−

T/2πϖ = Тийнхү фурье хувиргалт нь яривагтай функц болон туршилтийн тоон

баримтыг тооцооны аргаар хувиргаж судлахад дот хэлбэр бүхий F(ϖ ) функцийн бүтэц буюу

тасанги Fn тоон түгэлд шилжүүлэх болгож олгоно.

Фурье хувиргалтыг товчхон f(x) F(ϖ ) буюу f(x) fn бичэж болох бөгөөд бас фурье

төлөөллөөс нь эх функцд шилжих урвуу F(ϖ ) f(x), Fn f(x) хувиргалтыг ч хийдэг. Энэ

тухай доор ярилцана.

Жишээ болгож дараах бодлогыг mathcad багц программ хэрэглэн судлая. [0..2] завсарт.

f(x)=A1sin(ϖ x)+A2sin(ϖ x) (8.4)



функц өгөгдөжээ. Энэ нийлбэр хэлбэлзэл A1=0.8 A2=0.4 амплитудад ϖ 1=245,6гц

ϖ 2=565.2гц тойрох давтамжтай хувьсана, f(x) функцийн N=8192 цэг дэхь салагнгад утгаас fn

фурье төлөөлөийг ол. Зураг 8,1 ба 8,2

(зураг байна.)

8.2 Функцийг бүрэн багц дээр дэлгэх нь

f(x) функцийн томъёолсон хэлбэрээр ойролцоолон тодорхойлох хэрэгцээ олон тохиолдоно.

Жишжжлбэл эл f(x) функцээс интегралыг томъёон хэлбэрээр авах шаардлага гардаг. Гэтэл уг

интеграл нь шууд авагдахгүй байж болно. Бас хүснэгтээр тодорхойлсон функцийг томъёо

хэлбэрт оруулах шаардлага гарна.

А векторыг 3 нэгж суурь вектороор задалж zzyyxx eAeAeAA rrrr++= хэлбэртэй байгуулдаг.

Суурь вектор zyx eee rrr ,, нь ортигналь нормчилсон буюу нөхцөлийг

хангана. Аi байгуулагчийг Аi = томъёогоор олдог.

zyxkikk

,,, =≠i

iee ki 0

1,

⎩⎨⎧ =

=rr

Aei

rr⋅

Математикт f(x) функцийг түүн луугаа ижил тодорхойлотийн муж бүхий бүрэн багц, суурь

функц дээр дэлгэснээр томъёон хэлбжртэй босгох арга бас бий.

Бүрэн багц функцийг {ФК(x)} k=1,..n гэж тэмдэглэе. Бүрэн багц функц нь тодорхой мужид

ортогналь бас норамчлалын нөхцөлд таардаг буюу

∫⎩⎨⎧

≠=

==T

кiк ii

бdxxфxфi

0 10

)()(kk

)(x

x)(

(8.5)

Энд ФК(x) комплекс хосмог функц.

Хэрэв Ф(x) функц I мужид тодорхойлогдсон бол түүнийг ФК(x) бүрэн багц функц дээр

дэлгэвэл

∑∞

=

=1

)(i

iicxf ϕ (8.6)

Дэлгэлтийн Сi кофнциентийг олохийн тулд (8.6) илэрхийлэлийг баруун гар талаас нь Ф*К(x)

функцээр интегралчилж (8.5) нөхцөлийг анхаарвал

∫ ∑ ∫∞

=

⋅=⋅=l

i

l

kkikk dxxxcdxxfxc0 1 0

** )(*)()()( ϕϕϕ (8.7)

Энэхүү (8.7) илэрхийлэлийг хэрхэн Ск кофнциентийг олсноор функцийг (8.6) төгсгөлгүй

нийлбэрийг хэрэглэх боломжгүй. Тиймээс нийлбэрийг төгсөглөг n гишүүнээр тасалбал

∑=

⋅=n

iiin cxf

1)( ϕ (8.8)



ойролцоо илэрхийлэлийг гаргана. fn(k) функц жинхэнэ f(x) функц руугаа хэрхэн нийлэх буюу

n үед | f(x)-fn(x)|< (7.7) ∞ Δ

Байх нөхцөлийг хангахын тулд n ийн утга бүрийг шалгана. Энд Δ бол утагаас сонгосон нэн

бага тоо.

8.3 Фурьегийн цуваа

өмнөх зүйлд өгүүлсэн аргад нийцүүлэн f(x)=f(x+n*t) n=1,2.. (8.8) үет функцийг мөн Т үетэй

тригонометрийн ф(x) (математикт к нь 0-оос ∞ хооронд бодомны учир {Фк}нь төгсгөлгүй

хэмжээст огторгуйн суурь функц болно) бүрэн багц функц дээр дэлэгвэл цуваа үүснэ.

Тригонометрийн бүрэн багц {Ф2*и} нь T

x 1)(0 =φ )cos(

2

)( kxTTxФк ϖ⋅= энд к=1,2,..n

)sin(2 kxT

Ф ки ϖ=+ k=1,2..n (8.8) илэрхийлэл бүрдэнэ. Ф0,Ф1,Ф2 ,, Ф2*n функц нь дараах

ортогналь, нормчлалын нөхцөлд таарна.

⎩⎨⎧

≠=

==∫ mm

бxфxф ikиm 10

)()(2

0

π

nn

)(x

(8.9)

f(x) функцийг {Ф2*и} багц функц дээр дэлгэе.

∑∞

=

=0

)(k

kkфcxf (8.10)

энэхүү 8.10 илэрхийлэлийг ерөнхий цуваа гэж нэрэлдэг. Цаашид үндсэн ϖ =2*π /T тойрох

давтамжыг оруулвал (8.6) томъёог хэрэглэн (8.9) нөхцөлийг анхааран (8.10) аi

кофнциентуудийг тодорхойлоё.

∫∫ ==TT

dxxfT

dxxfxT

a00

00 )(2)()(2 ϕ (8.11)

∫∫ ⋅==π

ϖπ

ϕ2

00

)cos()(1)()(2 dxkxxfdxxfxT

aT

kkk (8.12)

∫∫ ⋅== +

π

ϖπ

ϕ2

00

)sin()(2)()(2 dxkxxfdxxfxT

bT

kknk (8.13)

эдгээр кофнциентуудийг оруулбал фурьегийн (8.10) цувааг

∑∞

+

+⋅+=1

0 ))sin()cos((2

)(k

kk kxbkxaa

xf ϖϖ (8.14)

Энэ цувааг төгсөглөг n гишүүнээр тайрч f(x) функцийн ойролцоо fn(x) утагыг босгоно.



(8.12) томъёоноос харвал f(x) функцийг ϖ =2*π /Т ϖ =n*ϖ 0 гармоник давталт бүхий

төгсгөлгүй тооны гармоник функцийн нийлбэрэр илэрхийлж байна. Түүнчлэн гармоник бүр

нь нийлбэртээ аn bn тогтмол кофнциент буюу хувийн нэмэртэй оролцох юм.

8.4 Төгсөглөг цуваа

Төгсөглөг цувааг судлахын өмнө нэгэн зүйлд анхаарая. Нэгж хувьсалын хугцаа нь Т юм.

Тухайлбал хэлбэлзэлийн хувьд боп Т хугцаанд бүтэн хэлэлзэж , эсвэл Т зайнд бүтэн долгио

багтана гэсэн үг ϖ 0=2*π /Т бол 2π хуцаанд эсвэл 2π зайнд багтах хэлбэлзэлийн тоо болон

болгионы тоо болно.

f(x+nt)=f(x) жамаар үелэн хувирах функцийг Т үетэй гармоник функцээр задалхад төгсгөлгүй

цуваа (8.14) гарсан. Практикт төгсгөлгүй үйлдэл хийх боломжгүй. Иймд төгсөглөг k=N

гишүүнээр таслан ойролцоолон хийдэг. Дээрх (8.11)-(8.14) илэрхийлэлд тойрохϖ =2*π /Т

давтамжийг хэргэлсэн юм. Математикт фурьегийн цувааг T=2π үетэй функц хэрэглэн

байгуулдаг. Энэ тохиолдолд ϖ =1 болохыг анхаарч

∑=

++≅N

kkkn kxbkxa

axf

1

0 sin()cos((2

)( )) (8.15)

Энд ∫∫ ⋅==π

ϖπ

ϕ2

00

)cos()(1)()(2 dxkxxfdxxfxT

aT

kkk

∫∫ ⋅== +

π

ϖπ

ϕ2

00

)sin()(2)()(2 dxkxxfdxxfxT

bT

kknk (8.16)

Сүүлийн илэрхийлэлүүдээс аживал ак ба бк кофнциентуудийг тооцоолж

∑=

++≅N

kkkn kxbkxa

axf

1

0 ))sin()cos((2

)(

функцийг олох хэрэгтэй.

9. Туршилтын баримтыг боловсруулах арга

бичээгүй

10. Ортогнал олон гишүүнт хэрэглэн

хамгийн бага кавдратийн аргаар дөхөх нь

Байгаль нийгэмийн үзэгдэл хувьсалын судалгаанд төвийн цацалдал бүхий [(xi,yi ), i=1,2,..n]

хэлхэлтийн баримтыг боловсруулахад шугман регресийн арга хангалтгүй. Энэ тохиолдолд

шугман (p(x)=a0+ax) функцээр дөхөхийг n зэрэгийн олон гишүүнтээр хэлхэлтийн функцналь

хамаарлыг босгодог. Дээрх дурьдсан хэлхэлт yi=f(xi),i=1,2,..n байсан бол f(x) функцийг

босгоно. Функц ]тодорхойлогдсон байж. Энэ дөхөлтийг гүйцэтгэхийн тулд ,[)( bacxf ∈



1. (10.1) олон гишүүнтийг байгуулна. Энд a0,..an үл

мэдэх праметр байна.

∑=

=++++=n

k

kk

nnn xaxaxaxaaxp

1

2210 ..)(

2. хамгийн бага кавдратын арагыг хэрэглэхийн тулд

∫ ∫ ∑−=−=b

a

b

a

kknn dxxaxfdxxpxfaaaE 22

10 ])([)]()([),..,( (10.2)

функцналь байгуулна.

3. функцналь нь эсрэг хэмжигдэхүүн учираас naaaE 10 ),..,(

nkaE

k

,..2,1,0,0 ==∂∂ (10.3)

байх цэгт хамгийн бага утгандаа хүрнэ. Иймд Pn(x) олон гишүүнт f(x) функцэд

хамгийн ойрхон дөт очно. Энд өгүүлснийг үйлдэж ковцентүүдийг олно.

naaa 10 ),..,(

naaa 10 ),..,(

(10.2) илэрхийлэлэийг

∫ ∑∫∑==

+−=b

a

b

a

n

ok

kk

b

a

kn

okk

i dxxadxxfxadxxfxE 2)()(2)( ∫ (10.4)

Эндээс (10.3) томёо ёсоор уламжлала авбал

∫∑∫ +

=

+−=∂∂ b

a

kjn

kk

b

a

j

j

xadxxfxaE

02)(2 dx

n..

(10.5)

Сүүлийн илэрхийлэлийг 0 байх нөхцөлөөс

jdxxfxdxxab

a

ib

a

kjn

kk 2,1,0__)(

0=≈ ∫∫∑ +

=

(10.6)

(10.6)-аас (n+1) тоотой aj үл мэдэгдэгчийг олно. Энэ систем шугман тэгштгэл ганц шийдтэй.

Жишээ №1:

f(x)=siиπ x , x.[0,1] бол P2=a0+a1x+a2x2 олон гишүүнтээр хамгийн бага кавдратийн арга

хэрэглэн дөх.

(10.6) тэгштгэлийг



∫ ∫∫∫

∫ ∫∫∫

∫ ∫∫∫

⋅⋅=+⋅+⋅

⋅⋅=+⋅+⋅

⋅=+⋅+⋅

1

0

1

0

242

1

0

31

1

0

20

1

0

1

0

32

1

0

21

1

00

1

0

1

0

22

1

01

1

00

sin

sin

sin1

dxxxdxxadxxadxxa

dxxxdxxadxxadxxa

dxxdxxadxxadxa

π

π

π

Интегралийг авахад

3

2

210

210210

451

41

31

141

31

21;2

31

21

ππ

ππ−

=++

=++=++

aaa

aaaaaa

Энэ шугман тэгштгэлийг шийдэж

050465.01225.41225.4)()(

12251.460720

050465.012012

22

3

2

21

3

2

0

−⋅+⋅−=≈

≈−

=−=

−≈−

=

xxxPxf

aa

a

ππ

ππ

Зураг байгаа

11. Ортогналь багц функцийг хамгийн бага

завдратийн аргийг хослуулах нь.

Олон гишүүнтийг хэрэглэн хамгийн бага кавдратийн аргаар функцийг босгоход (10.6)

алгебрийн систем тэгштгэл бодох хэрэгтэй. Шугман тэгштгэлийн томоохон матрицыг

тооцоолоход алдаа гардаг. Бас алдааг багасгахын тулд Pn(x) олон гишүүнтийн дээд зэргийг

тооцох шаардлагтай Ингэснээр тооцоо хүндрэлтэй болдог. Энэ бэрхшээлийг давахын тулд

f(x) функцийг ортогналь багц функцээр дээр дэлгэж n гишүүнээр нь

тасалбал

=k nk ),..2,1},({φ

∑=

==n

kkknn xaxfxP

0)()()( φ> (10.7)



ойлоцоо Pn(x) олон гишүүнт үүснэ. Ск кофициент гарч байна. Харин k }φ багц функц нь a ба

b завсарт W(x) жинхэнэ функцтай хамт ортогналь суурь функц үүсгэнэ. Иймд

(10.8) ∫⎩⎨⎧

=≠

=kjx

kjdxxxxw

jjk ,

,0)()()( φφ

⎭⎬⎫

(10.7)илэрхийлэлийг дээрх (10.2) томъёонд тавьж w(x) жинхэнэ функцийг тодорхойлно.

dxxaxfxwaaaE kk

b

an

210 ])()([)(),..,( ∑∫ −= φ (10.9)

(10.9) илэрхийллийг aj праметертэй барагцаалбал

[ ]∑∫ ⋅−=∂∂

= jkk

b

aj

dxxaxfxwaE )()()(20 φφ (10.10)

болно.

Сүүлчийн тэгштгэлийг ∫ ∑ ∫=

=>b

a

n

k

b

ajkkj dxxxxwadxxxfxw

0)()()()()()( φφφ (10.10) => nj ,..1,0 хэлбэрт бичие.

Энэ бол үл мэдэгчидийг агуулсан n+1 тооны алгебрын систем тэгштгэл

мөн.(10.10)тэгштгэлд баруун талд ортогналын нөхцөлийг тооцвол

naaa 10 ),..,(

dx)xxfxwx

ab

aj

jj ∫= ()()(1 φ (10.11)

үл мэдэгдэх аj кофициентийг (10.11) дахь интегралыг тооцоолон шууд олно. Тиймэрхүү

ортогналь багц функц ашигласнаар (10.6) систем тэгштгэл бодох ажилыг хөнгөлсбн нь

илэрхий байна.

7.5 Тригнометрийн хэлхэлт

Хүснэгтээр өгөгдсөн функцийн утагуудын хооронд хэлхэх үйлдлийг өмнө зүйлд үзсэн

төгсгөлөг фурье цуваагаар гүйцэтгэж болно. [0,2π ] завсарт ижил зайд

)12,..2,1(,12)1(2

+=+−

= NiN

ixiπ

зангилаанд xi өгөгдсөн байг. Дээрх цэгүүдийг хэлхвэл

∑=

++=N

kkkN kxbkxaaxp

1

0 ))sin()cos((2

)( (7.18)

буюу бүх х цэгтэй N зэргийн олон гишүүнт үүснэ. Тодорхойлолт ёсоор зангилаанд

байна. )()( iiN xfxp =



(7.18) дахь ак ,вк кофициент нь (7.17) кофициентүүдээс ялгаатай нь эхний зангилаанд нь нэг

дугаар өгч байгаа юм. Иймд:

∑

∑

∑

+

=

+

=

+

=

⋅+

⋅+

=

⋅+

⋅+

=

+=

12

1

12

1

12

10

)12

2sin()(12

1

)12

2cos()(12

1

)(12

1

N

iik

N

iik

N

ii

iN

kxfN

b

iN

kxfN

a

xfN

a

π

π (7.19)

Алдааг үнлэх нь :

Фурьегийн төгсөглөг цуваа болон тригнометрийн хэлхэлтээр функцийг ойролцоо босгон

байгуулахад цлах алдааг тооцооны алхам бүрт үнэлэх ёстой. Нийлбэрийн тоо N ихэсхэд

алдаа [0,2π ] завсарын цэг бүрт алдаа

0)()(sup →− xfxf N (7.20) ∞→N

]2,0[ π∈x

0)()(sup →− xfxf N (7.21) ∞→N

]2,0[ π∈x

Жамаар буурахыг шалгана.

Кофициентийг тооцооолох цизарам бичнэ. Хавсралтийн текстийг хорвүүл:

Жишээ 2

Дараах хүснэгтийн )21,..2,1(,21

)1(2 =−

⋅= iixi π цэгт функцийн утагаар хэлхэлтийн тригнометр

олон гишүүнтийг байгуулж график зур.

xi X1 X2 X3 X4 X5 X6

F(xi) -5 -4.88554 -4.47372 -3.76908 -2.92406 -2.15783

X7 X8 X9 X10 X11 X12 X13

-1.62831 -1.35048 -1.11638 -1.01903 -1.21193 -1.02565 -1.27974

X14 X15 X16 X17 X18 X19 X20

-1.84857 -2.64954 -3.48161 -4.14109 -4.53731 -4.72488 -4.83123

Xi=2π (i-1)/2N+1 i=(1,2,..2N) томъёонд тааруулан бод

1).1.00, 1.803, 3.085, 4.776, 6.43.4, 7.347, 7.029, 5.652, 3.897, 2.381, 1.347, 7.422, 0.419, 0256,

0.176, 0.142, 0.136, 0.155, 0.209, 0.324, 0.554;

2). 7.38, 6.76, 5.22, 3.47, 2.07, 1.16, 0.64, 0.36, 0.23, 0.16, 0.13, 0.13, 0.16, 0.23, 0.37, 0.64, 1.16,

2.08, 3.48, 5.22, 6.76;



3). -1.24, --1.17, -1.08, -0.96, -0.84, -0,79, -0.8, -0.9, -1.1, -1.21, -1.02, -1.28,

-1.32, -1.34, -1.36, -1.37, -1.37, -1.36, -1.35, -1.33, -130;

4). -3.0, -3.58, -4.12, -4.56, -4.86, -4.99, -4.94, -4.73, -4.36, -3.86, -3.30, -2.7,

-2.13, -1.64, -1.26, -1.05, -1.00, -1.13, -1.43, -1.87, -2.43;

5). 1.0, 1.05, 90.6, 520.4, 1714.7, 2915.0, 2439.2, 1020.6, 230.7, 32.17, 3.29,

0.3, 0.03, 0.004, 0.001, 0.0003, 0.0006, 0.002, 0.01;

6). 2980.1, 2089.3, 742.4, 146.6, 18.6, 1.8, 016, 0.02, 0.003, 0.001, 0.001, 0.001,

0.002, 0.003, 0.018, 0.9, 1.22, 18.6, 146.6, 742.5, 2089.7;

7). 1.0, 1.34, 1.75, 2.18, 2.53, 2.71, 2.65, 2.37, 1.97, 1.54, 1.16, 0.86, 0.64, 0.5,

0.42, 0.37, 0.36, 0.39, 0.45, 0.56, 0.74;

8). 2.71, 2.6, 2.28, 1.86, 1.44, 1.07, 0.8, 0.46, 0.42, 0.4, 0.37, 0.37, 0.4, 0.48, 0.6,

0.8, 1.07, 1.44, 1.86, 2.28, 2.6;

9). -1.32, -1.28, 1.26, -1.24, -1.25, -1.25, -1.25, -1.26, -1.27, -1.27, -1.29, -1.33, -

1.34, -1.37, -1.37, -1.37, -1.37, -1.36, -1.35, -1.36;

10). -4.0, -4.2, -4.5, -4.7, -4.9, -5.0, -4.9, -4.8, -4.6, -4.4, -4.1, -3.8, -3.5, -3.1, -3.0,

-3.0, -3.1, -3.2, -3.4, -3.7;

11). -2.0, -2.8, -3.7, -4.3, -4.7, -4.9, -4.8, -4.6, -4.4, -4.1, -3.8, -3.5, -3.1, -3.0, -3.0,

-3.0, -3.1, -3.2, -3.4, -3.7;

1.2). 1.1, 3.2, 9.5, 22.8, 41.4, 53.9, 49.4, 31.9, 15.2, 5.7, 1.8, 0.55, 0.17, 0.06,

0.03, 0.02, 0.01, 0.02, 0.04, 0.1, 0.3;

Фурьегийн цувааны комплекс хэлбэр

Бичээгүй

Фурьегийн түргэн хувиргалт

Бичээгүй

Education

Tootson bodoh matematic lekts