Trap math kat_b_full

Περιεχόμενα

Κεφάλαιο 1 Διανύσματα Σελίδες

1.3 Πολλαπλασιασμός αριθμού με διάνυσμα 1 - 3

1.4 Συντεταγμένες στο επίπεδο 4 - 8

1.5 Εσωτερικό γινόμενο διανυσμάτων 9 - 20

Κεφάλαιο 2 Ευθεία

2.1 Εξίσωση ευθείας 21 - 30

2.2 Γενική εξίσωση ευθείας 31 - 43

2.3 Εμβαδόν τριγώνου 44 - 54

ΠΡΟΛΟΓΟΣ

Ομάδα μαθηματικών,

φίλων και μελών της ιστοσελίδας του Μαθηματικού και Φυσικού κόσμου,

μοιράστηκε την ευθύνη,

να παρουσιάσει στους μαθητές και στην μαθηματική κοινότητα

τις λύσεις των ασκήσεων,

της τράπεζας Θεμάτων της Β Λυκείου.

Όποιες αβλεψίες εμφανιστούν θα διορθωθούν στην επόμενη έκδοση της προσπάθειάς μας.

Ο τρόπος λύσης

είναι λογικό να μην είναι ομοιόμορφος,

μια που οι λύτες είναι διαφορετικοί

και ο καθένας έχει την δικιά του άποψη παρουσίασης.

Σας παρουσιάζουμε τις λύσεις και περιμένουμε τις παρατηρήσεις σας.

Τέλος

Ευχαριστούμε τους υπεύθυνους

της ιστοσελίδας του Μαθηματικού και Φυσικού κόσμου,

για την φιλοξενία της προσπάθειας μας στον χώρο του.

Για τις λύσεις συνεργάστηκαν

Άγγελος Παπαϊωάννου

Άννα - Τάσια Ανδριοπούλου

Άρης Χατζηγρίβας

Βασίλης Μαυροφρύδης

Γιάννης Στάμου

Δημήτρης Κοντοκώστας

Δημήτρης Μυρογιάννης

Δημήτρης Τσορτανίδης

Ζωή Πετρά

Θωμάς Ραϊκόφτσαλης

Κωνσταντία Κιουρτίδου

Λάζαρος Σανδαλίδης

Μαργαρίτα Βαρελά

Μιχάλης Σουλάνης

Νίκος Γκόλφης

Νίκος Ζανταρίδης,

Νίκος Παπαγγελής

Σαββούλα Ουσταμπασίδου

Στέλλα - Ιλιάνα Καρδαμίτση

Συντονισμός Ομάδας

Βασίλης Μαυροφρύδης

Γραφιστική επιμέλεια, σελιδοποίηση, διαμόρφωση

Θωμάς Ραϊκόφτσαλης

Σχεδίαση εξωφύλλου

Φωτεινή Μακρή ‐ Graphic and web designer

http://fotinimakri.wordpress.com,

https://fotinimakri.see.me,

https://twitter.com/fotinimakri_art

Τράπεζα Θεμάτων Β Λυκείου

1

Κεφάλαιο 1

Διάνυσμα

1.3 Πολλαπλασιασμός αριθμού με διάνυσμα

Δεύτερο Θέμα

18603

Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ και σημεία Δ και Ε του επιπέδου τέτοια, ώστε 2 5

και 5 2 .

α) Να γράψετε το διάνυσμα

ως γραμμικό συνδυασμό των

και .

(Μονάδες 13)

β) Να δείξετε ότι τα διανύσματα

και

είναι παράλληλα. (Μονάδες 12)

Λύση

α) Θεωρούμε σαν σημείο αναφοράς το Α και έχουμε:

5 2 (2 5 ) 5 2 2 5

3 3 .

β) Από το προηγούμενο ερώτημα, έχουμε:

3 3 3 3 ,

άρα .

18604

Δίνεται παραλληλόγραμμο ΑΒΓΔ και Ε, Ζ σημεία τέτοια ώστε:

2 2, .

5 7

α) Να γράψετε τα διανύσματα

και

ως γραμμικό συνδυασμό των

και

.

(Μονάδες 13)

β) Να δείξετε ότι τα σημεία Β, Ζ, και Ε είναι συνευθειακά. (Μονάδες 12)

Λύση

α) Ισχύει: : E

(κανόνας του παραλληλογράμμου).

Είναι: 2 2

7 5

2 2

7 5

Μαθηματικά Κατεύθυνσης

2

2 2 2 2 2 2

7 7 5 7 7 5

2 10 14

7 35 35

2 4

.7 35

Ισχύει ότι

λόγω του κανόνα του παραλληλογράμμου.

Είναι:

2 2 2 2

7 7 7 7

2 2 5 2

1- ΑΒ - ΑΔ = ΑΒ - ΑΔ.7 7 7 7

β) Είναι:

2 4 10 4

7 35 35 35

Αρκεί να αποδείξουμε ότι

υπάρχει : ΖΒ = λ ΕΖ.

25 2 ,

35

5 2 1 55 2 .

7 7 7 2

Άρα, / / ,

συνεπώς τα σημεία Β, Ζ και Ε είναι συνευθειακά.

20054

Θεωρούμε τα σημεία Ρ,Λ, Κ και Μ του επιπέδου για τα οποία ισχύει η σχέση:

5 2 3 .

Α) Να αποδείξετε ότι τα σημεία Κ,Λ και Μ είναι συνευθειακά. (Μονάδες 10)

Β) Για τα παραπάνω σημεία Κ, Λ και Μ να δείξετε ότι ισχύει:

2 3 2 ,

όπου Α και Β είναι σημεία του επιπέδου. (Μονάδες 15)

Λύση

Α) 5 2 3 2 3 2 3

2 33

2 2 3 3 K / /2

και επειδή


3

τα διανύσματα ,

έχουν κοινό σημείο το Λ, τα Λ,Κ,Μ είναι συνευθειακά.

Β) 2 3 2

2 3 2 2

2 2 2 2

32 2 3 2 ,

2

που ισχύει από το

προηγούμενο ερώτημα.


4

1.4 Συντεταγμένες στο επίπεδο


18605

Δίνονται τα διανύσματα: OA 2i 4j,

OB 3i j,

O 5i 5j,

όπου i

και j

είναι τα

μοναδιαία διανύσματα των αξόνων x x και y y αντίστοιχα.

Α) Να βρείτε τις συντεταγμένες των AB

και B .

(Μονάδες:12)

Β) Να εξετάσετε αν τα Α, Β, Γ μπορούν να είναι κορυφές τριγώνου. (Μονάδες:13)

Λύση

Α) Έχουμε:

3i j 2i 4j 3i j 2ΑΒ B i 4j i 3j,

άρα ΑΒ 1, 3 .

5i 5j 3i j, 5i 5j 3iΒ B j 2i 6j,

άρα Β .2, 6

Β) Για να αποτελούν τα σημεία , , κορυφές τριγώνου, αρκεί τα διανύσματα

,ΑΒ ΒΓ

να μην είναι παράλληλα, δηλαδή αρκεί να ισχύει: det AB, 0.

Έχουμε:

1 3

det AB, 1 6 3 2 6 6 0,2 6

άρα / /ΑΒ Β .Γ

Επομένως,

τα σημεία , , αφού είναι συνευθειακά, δεν μπορούν να αποτελούν κορυφές

τριγώνου.

20055

Θεωρούμε τα σημεία 1,3 , , 4 και 4,5 4 , .

α) Να βρείτε τα διανύσματα ,

.

(Μονάδες 8)

β) Να βρείτε για ποια τιμή του , τα , , είναι συνευθειακά. (Μονάδες 10)

γ) Αν 1, να βρείτε αριθμό ώστε .

(Μονάδες 7)

Λύση

α) Το διάνυσμα

έχει συντεταγμένες:

, 1 , 4 3 1,1 .


5

Το διάνυσμα

έχει συντεταγμένες:

, 4 , 5 4 4 4 , 5 .

β) Τα σημεία , , είναι συνευθειακά, αν και μόνο αν, τα διανύσματα

,

είναι παράλληλα, δηλαδή, αν και μόνο αν, det AB, 0.

Έχουμε: 1 1

det AB, 0 0 1 5 1 4 04 5

5 4 0 4 4 1.

γ) Αν 1 τότε τα σημεία είναι: 2,3 , 1,4 και 4,9 .

Οι συντεταγμένες του

είναι: , 4 2, 9 3 6, 6 .

Είναι:

ώ 6 16, 6 1,1 6.

6 1

20061

Δίνεται παραλληλόγραμμο ΑΒΓΔ με τρεις κορυφές τα σημεία 1,1 , 4,3 , 2,3 .

α) Να υπολογίσετε τα μήκη των πλευρών του . (Μονάδες 9) β) Να υπολογίσετε τις συντεταγμένες του σημείου τομής Κ των διαγωνίων ΑΓ και ΒΔ,

καθώς και τις συντεταγμένες της κορυφής Β. (Μονάδες 16)

Λύση

α) 2 2 2 22 1 3 1 1 2 1 4 5.

2 2 2 22 4 3 3 2 0 4 2.

β) Το σημείο Κ είναι μέσο του ΑΓ, άρα 1 4 1 3 5

, , 2 .2 2 2

Έστω x, y . Το σημείο Κ είναι μέσο και του ΒΔ, αφού οι διαγώνιοι του

παραλληλογράμμου ΑΒΓΔ διχοτομούνται.

Οπότε:

5 x 25 x 2 x 32 2 ,

y 3 4 y 3 y 12

2

άρα 3,1 .

20071

Θεωρούμε τα σημεία 1 2 , 4 2 και 5 1, , .

α) Να γράψετε το AB

συναρτήσει του α και να βρείτε το α ώστε AB 10.

(Μονάδες 12)

β) Έστω 2. Να βρείτε σημείο Μ του άξονα x x ώστε το τρίγωνο να είναι ισοσκελές με βάση την . (Μονάδες 13)

Λύση

α) Έχουμε:

AB 5 1 1 2 , 4 2 5 1 1 2 , 4 2


6

3 , 5 2 , οπότε: AB 3 , 5 2 .

Αφού AB 3 , 5 2 ,

έχουμε:

2 2 2 2 2AB 3 5 2 9 25 20 4 34 20 4 : 1 .

Είναι: 1

2 2 2AB 10 34 20 4 10 34 20 4 100 34 20 96 0

217 10 48 0 : E .

Η είναι εξίσωση δευτέρου βαθμού με άγνωστο το .

Έχει:

διακρίνουσα 210 4 17 48 100 3264 3364,

ρίζες

1

2

10 58 682

34 34ή ,

10 58 48 24

34 34 17

επομένως: 2.

β) Έστω x,0 σημείο του άξονα x x.

Για 2, είναι:

5,6 , 11, 2 ,

5 x,6 0 5 x,6 ,

2 2 2 25 x 6 x 10x 25 36 x 10x 61,

B 11 x, 2 0 11 x, 2 ,

2 2 2 2B 11 x 2 x 22x 121 4 x 22x 125,

5 x 6det MA, MB 10 2x 66 6x 8x 76.

11 x 2

Το τρίγωνο είναι ισοσκελές με βάση την , επομένως ισχύει:

/ /

2 2

8x 76 0det MA, MB 0

x 10x 61 x 22x 125

2 2

192x 194 2x 19 0 x

210x 22x 125 61x 10x 61 x 22x 125

12x 64

19

x16 192 x ,

64 16 3 2x

12 3

άρα 16

, 0 .3


7

20073

Δίνονται τα σημεία 2,3 , 1,5 και 2, 4 .

Α) Να αποδείξετε ότι σχηματίζουν τρίγωνο. (Μονάδες 8)

β) Να βρείτε το συμμετρικό του ως προς το μέσο της . (Μονάδες 10)

γ) Τι σχήμα είναι το ΑΒΓΔ; Να αιτιολογήσετε τον ισχυρισμό σας. (Μονάδες 7)

Λύση

α) Βρίσκουμε τα διανύσματα AB

και A .

Είναι:

AB (x x , y y ) ( 1 2,5 3) ( 3,2),

A (x x , y y ) ( 2 2, 4 3) ( 4, 7),

οπότε: 3 2det AB,A 21 8 29 0

4 7

.

Άρα τα AB

και A

είναι μη συγγραμμικά και επομένως τα , , σχηματίζουν

τρίγωνο.

β) Το σημείο Μ είναι μέσο της ΑΓ άρα

x x 2 2x 0 x x

2 21

y y 3 4 yyy 2

22

Επομένως 1

0,2

.

Έστω (x , y ) το συμμετρικό του Β ως προς το Μ.

Το σημείο Μ είναι μέσο και της ΔΒ, οπότε:

x xx x x 2x x 2x x2

y y 2y y 2y yy yy

2

x 2 0 1x 1

.1y 2 5 y 6

2

Άρα 1, 6 .

γ) 1ος τρόπος:

Παρατηρούμε ότι στο τετράπλευρο ΑΒΓΔ οι διαγώνιες διχοτομούνται, εφόσον το Μ


8

είναι μέσο της ΑΓ και ΒΔ , άρα παραλληλόγραμμο.

2ος τρόπος:

Υπολογίζουμε το διάνυσμα :

(x x , y y ) ( 2 1, 4 6) ( 3,2).

Παρατηρούμε ότι ( ) ( )

/ /

ΑΒΓΔ παραλληλόγραμμο.

20148

Δίνονται τα διανύσματα i 2 j

, 2i 5j

και 7,3

.

α) Να αποδείξετε ότι τα διανύσματα

,

,

είναι μη συγγραμμικά ανά δύο.

(Μονάδες 10)

β) Να γραφεί το διάνυσμα

ως γραμμικός συνδυασμός των διανυσμάτων και

.

(Μονάδες 15)

Λύση

α) Είναι :

i 2 j 1, 2

, 2i 5j 2, 5

και 7,3

με αντίστοιχους συντελεστές διεύθυνσης:

2 2

1

,

5 5

2 2

και

3.

7

Οι συντελεστές διεύθυνσης είναι ανά δύο διαφορετικοί, οπότε τα διανύσματα

,

,

είναι μη συγγραμμικά ανά δύο.

β) Αρκεί να προσδιορίσουμε πραγματικούς αριθμούς , ώστε να είναι: .

Είναι:

7,3 1, 2 2, 5 7,3 , 2 2 , 5

2 7 2 2 4 14

7,3 2 , 2 52 5 3 2 5 3

2 4 2 5 14 3 17

2 5 3 2 5 3

17 17 17 17

.2 5 17 3 2 85 3 2 82 41

Επομένως 41 17 .


9

1.5 Εσωτερικό γινόμενο διανυσμάτων


18556

Δίνονται τα διανύσματα

και

με ^

,3

και 2

, 2 2

.

α) Να βρείτε το εσωτερικό γινόμενο .

(Μονάδες 8)

β) Αν τα διανύσματα 2

και

είναι κάθετα να βρείτε την τιμή του κ.

(Μονάδες 10)

γ) Να βρείτε το μέτρο του διανύσματος 2 .

(Μονάδες 7)

Λύση

α) Ισχύει: ^ 1, 2 2 2 4 2.

3 2

β) Αν τα διανύσματα 2

και

είναι κάθετα,

τότε το εσωτερικό τους γινόμενο είναι ίσο με μηδέν, δηλαδή:

2 22 0 2 2 0

2, 2 22 22 2

22 2 0 2 2 2 2 2 2 0

2 2 2 2 8 0 4 2 4 8 0 6 12 2.

γ) 22 2 22 22 2 4 4 4 4 2 4 2 8 8 24.

Επομένως 2 24 2 6.

18558

Σε τρίγωνο ΑΒΓ είναι: ΑΒ

=(-4,-6) και ΑΓ

=(2,-8).

α) Να βρείτε τις συντεταγμένες του διανύσματος ΑΜ

, όπου ΑΜ είναι η διάμεσος του τριγώνου ΑΒΓ. (Μονάδες 7)

β) Να αποδείξετε ότι η γωνία ̂ είναι οξεία. (Μονάδες 10)

γ) Αν στο τρίγωνο ΑΒΓ επιπλέον ισχύει Α(3,1), να βρείτε τις συντεταγμένες των κορυφών του Β και Γ. (Μονάδες 8)

Λύση


10

α) ΑΜ διάμεσος επομένως, 4 2, 6 8 11

, 72

.2

β) συν ̂ =4 2 6 8 40

0,16 36 4 64 52 68

άρα η γωνία Α είναι οξεία.

γ) B4, 6 x 3, y 1) 4, 6( B

B B

B B

x - 3 -4 x -1,

y -1 -6 y -5

άρα B 1, 5 .

2, 8 x 3, y 1 2, 8

Γ Γ

Γ Γ

x -3=2 x =5,

y -1=-8 y =-7

άρα 5, 7 .

18581

Έστω τα διανύσματα ,

για τα οποία ισχύουν: 2 2 2

και ^

, 60 .

α) Να αποδείξετε ότι 2.

(Μονάδες 10)

β) Να υπολογίσετε τα μέτρα των διανυσμάτων και .

(Μονάδες 15)

Λύση

α) Έχουμε:

22 2 2 ,

2 2

επομένως:

1

60 2 2 2 2.2

β) Είναι:

2 2222 222

2 2 2 2 4 2 2 14.

Επομένως 14.

Είναι:

2 2 2222 2 22 2 2 2 4 2 2 6.

Επομένως 6.

18598

Δίνονται τα διανύσματα 2AB 6 9, 3

και 1,6 ,

όπου .

α) Να βρείτε το εσωτερικό γινόμενο .

(Μονάδες 8)


11

β) Να βρείτε τις τιμές του κ, ώστε τα διανύσματα

και

να είναι κάθετα.

(Μονάδες 9)

γ) Για κ = 1, να βρείτε το διάνυσμα .

(Μονάδες 8)

Λύση

α) Θα υπολογισθεί το ,

σε συνάρτηση του .

Από την αναλυτική έκφραση του εσωτερικού γινομένου διανυσμάτων έχουμε:

x x y y

2 2 26 9 1 3 6 6 9 6 18 9.

β) Αν τα διανύσματα

και

είναι κάθετα, το εσωτερικό τους γινόμενο θα είναι

ίσο με μηδέν, δηλαδή:

( )2 20 9 0 9 3 ή 3.

γ) Για κ = 1 το διάνυσμα

γίνεται: 4, 2 .

Επίσης 1,6 4, 2 3,8 .

20050

Δίνονται τα διανύσματα (1,7)

και (2,4).

α) Να βρεθεί η προβολή του

πάνω στο

. (Μονάδες 10)

β) Να αναλύσετε το

σε δύο κάθετες μεταξύ τους συνιστώσες, από τις οποίες, η μία να

είναι παράλληλη στο .

(Μονάδες 15)

Λύση

α) Η προβολή του

πάνω στο 0

είναι ένα διάνυσμα παράλληλο με το

.

Έτσι, έχουμε:

/ / , : 1 .

(1) 2

: 2 .

Όμως,

(1,7) (2,4) 1 2 7 4 2 28 30 : 3

και d

222 2 22 4 4 16 20 : 4 .

Οπότε, από τη σχέση 2 , λόγω των 3 και 4 , έχουμε: 3

30 20 .2


12

Τελικά από τη σχέση (1) συμπεραίνουμε ότι: 3

(2,4) (3,6).2

β) Έστω η ευθεία η παράλληλη στη διεύθυνση

του

.

Από το πέρας του

φέρνουμε τις κάθετες

1 και 2 στη διεύθυνση του

και στην

αντίστοιχα και έστω 1 1

και 2 2

. Από τη διανυσματική πρόσθεση έχουμε:

1 2 .

Επειδή 1 / /

, υπάρχει , τέτοιο ώστε: 1 .

Έχουμε:

11 2 2 1 2

1 1 1

1 2 1 2 0 0

2 2 2 23 , 4

1 1 1 1

2 22 30 20 0 10 3 2 00 0

2

1

30 ή

2

1 1

22

3

203

0 0 ή2

3

2

1 1

2 2

3

203

0,0 ή (2,4) 3,62

(1,7) (1,7) 3,6 2,1

.

20052

Δίνονται τα διανύσματα ,

με 1, 2 7

και 1.

α) Να υπολογίσετε τα 2

και .

(Μονάδες 6)

β) Να υπολογίσετε το μέτρο του διανύσματος 2 .

(Μονάδες 9)

γ) Να βρείτε την προβολή του 2

στο διάνυσμα .

(Μονάδες 10)


13

Λύση

α) Είναι:

22 21 1.

1

2 22 7 2 7 1 2 7

22 22 8 4 4 2.

β) Είναι: 22

2 22 2 4 4 1 4 ( 1) 4 4 1 4 16 13,

άρα

22 13 2 13.

γ) Επειδή προβ 2 / /

και 0,

υπάρχει ώστε, προβ 2 .

Τότε: 2 4

2 72 προβ 2 7 7 4 7 .

4

Επομένως 7προβ 2 .

4

20053

Δίνονται τα διανύσματα α , β

με β 2 α 4

και α β 8.

α) Να υπολογίσετε τη γωνία α , β .

(Μονάδες 10)

β) Να αποδείξετε ότι β 2 α 0.

(Μονάδες 15)

Λύση

α) Έστω α , β

και β 4

β 2 α 4 .α 2

Έχουμε ότι:

8

0

4, 2α β α β συνφ 8 2 4συνφ συνφ 1 α , . β 180

α β

β α

β) Αφού τα διανύσματα α ,β

είναι αντίρροπα, θα υπάρχει 0 τέτοιος ώστε: β λ α,

επομένως τα διανύσματα β, λ α,

θα έχουν ίσα μέτρα, οπότε έχουμε:

β 2 α 0 λ 0

β λ α 2 α λ α 2 λ λ 2 λ 2.

Άρα,

β 2 α β 2 α 0.


14

20056

Έστω

και

δύο διανύσματα με 2,

2,

5,

6

και u 2 .

α) Να υπολογίσετε τα εσωτερικά γινόμενα

και u


β) Να βρείτε το μέτρο του διανύσματος u


Λύση

α) Είναι:

5, 2 2 2 2

6 6

32 2 2 6.

6 2

22u 2 2 2 2

6 2 2 4 6.

β) Είναι

2 22 22 2 2u u 2 2 2 4 4 4

222 4 6 4 2 4 4 6 8 12 4 6 4 3 6

u 4 3 6 2 3 6 .

20057

Δίνονται τα διανύσματα , , | | 1, | | 2 , .3

Να υπολογίσετε τα εξής:

α) Το εσωτερικό γινόμενο των διανυσμάτων ,

και κατόπιν την τιμή της

παράστασης 2

(2 ).

(Μονάδες 10)

β) Το συνημίτονο της γωνίας των διανυσμάτων 2

και 2 .

(Μονάδες 15)

Λύση

α) Είναι: | | 1, | | 2, , , ό :3

1

, 1 2 1,2

22 2(2 ) 2 1 2 1 3.

β) Έχουμε:

22 2 22 2 2 22 2 4 4 4 1 4 1 4 4 2 13


15

2 13.

22 2 22 2 2 22 2 4 4 4 1 4 2 4 4 1 12

2 2 3.

2 22 22 2 2 2 4 2 3 2

2 22 1 3 1 2 2 9 , ό ί :

2 2 9 9 9 39 3 392 , 2 .

2 39 2613 2 3 2 392 2

20058

Δίνονται τα διανύσματα ( 1, 3)

και ( 3,3).

Να υπολογίσετε:

Α) Τη γωνία ( , ).

(Μονάδες 10)

Β) Το διάνυσμα 2 2u ( ) . (Μονάδες 15)

Λύση

Α) Είναι:

22( 1) 3 1 3 4 2,

223 3 3 9 12 2 3,

1 3 3 3 2 3.

Επομένως: 2 3 1( , )

22 2 3

0( , ) 60 .

Β) Είναι:

22 2 2u ( ) ( )

2 22 (2 3) 4 12 4( 3,3) 12( 1, 3) (4 3,12) (12, 12 3)

(4 3 12,12 12 3).


16

20059

Δίνονται τα διανύσματα ( 1, 3)

και 1

2, .2

α) Να βρείτε τις συντεταγμένες του διανύσματος u 2 .

(μονάδες 10)

β) Να βρείτε τον θετικό αριθμό x για τον οποίο τα διανύσματα u

και 2v x , x 1

είναι κάθετα. (μονάδες 15)

Λύση

α) 1u 2 1, 3 2 2, 1, 3 4, 1 3, 4

2

.

β) Είναι: 64

2 2u v u v 0 3 x 4 x 1 0 3x 4x 4 0

4 64 4 8 4 8 2 4 8x x ή x 2.

2 3 6 6 3 6

Συνεπώς ο θετικός αριθμός x που ζητάμε είναι ο 2

x .3

20069

Δίνονται τα διανύσματα 2, 3

και 1

1, .2

α) Να βρείτε την προβολή του

πάνω στο .

(Μονάδες 10)

β) Να αναλύσετε το

σε δυο κάθετες συνιστώσες από τις οποίες η μία να είναι

παράλληλη με το .

(Μονάδες 15)

Λύση

α) Είναι 0,β

οπότε ισχύει ότι : 1 .β = β προββ

Το διάνυσμα προβ αβ

είναι συγγραμμικό του β,

άρα υπάρχει λ τέτοιο ώστε:

11, , : 2 .

2 2προβ

β

Από την αναλυτική έκφραση του εσωτερικού γινομένου έχουμε:

2

1 3 4 3 1= 2 : 3 .

2 2 2 21 4 5

1 : 4 .2 2 4 4

β = 2 1+ 3

β προββ

Από την 1 λόγω των 3 και 4 έχουμε: 1 5 4 2

10 4 .2 4 10 5


17

Οπότε, αφού 2

,5

από τη σχέση 2 έχουμε: β

προβ α = 2 1

, .5 5

β) Από την αρχή του διανύσματος

φέρουμε: την ευθεία παράλληλη προς το διάνυσμα ,

την ευθεία κάθετη προς την (ευθεία) .

Από το πέρας του

φέρνουμε:

και .

Έστω 1

και 2 .

Από τη διανυσματική πρόσθεση

έχουμε: 1 2 .

Επειδή 1 / /

, υπάρχει , τέτοιο ώστε: 1 .

Έχουμε:

1 2 2 1 2 1

1 1 1

1 21 2

0 0

2 2 23 , 4

1 1 1

2 22 1 50 0 02 4

2 2

1 1

22 5 0 0 ή

4 5

1 1

2

2

2

502

0 0 ή5

(2, 3) 2

5

1 1 1 1

2 2

2 2

2 2

5 50 02 1 2 1

0,0 ή 1, 0,0 ή , .5 2 5 5

(2, 3) (2, 3)2 1 8 16

2, 3 , ,5 5 5 5

20070

Έστω ,

δυο διανύσματα του επιπέδου για τα οποία ισχύουν:

3 9,

2 1

και , .

3

α) Να βρείτε το μέτρο των διανυσμάτων ,

και το εσωτερικό γινόμενο .


18

(Μονάδες 12)

β) Να υπολογίσετε το μέτρο του διανύσματος u 2 3 .

(Μονάδες 15)

Λύση

α) Για τον υπολογισμό των μέτρων των διανυσμάτων

,

, επιλύουμε το σύστημα:

3 9

: .2 1

Είναι:

3 9 3 2 9 1 5 10 2.

2 1 2 1 2 1 2 2 1 3

Επομένως το εσωτερικό γινόμενο είναι ίσο με:

1( , ) 2 3 2 3 3.

3 2

β) Για το μέτρο του διανύσματος u 2 3 ,

έχουμε:

2 2 2 22 22u 2 3 (2 3 ) 4 12 9 4 12 9

2 24 2 12 3 9 3 4 4 36 9 9 16 36 81 61.

Επομένως u 61.

Τέταρτο Θέμα

18616

Δίνονται τα διανύσματα , ,

για τα οποία ισχύουν:

2 , 1, , 60

και , .2

α) Να υπολογίσετε το εσωτερικό γινόμενο .

(Μονάδες 3)

β) Αν ισχύει: ,

τότε:

i. Να αποδείξετε ότι 2. (Μονάδες 6)

ii. Να υπολογίσετε το μέτρο του .

(Μονάδες 8)

iii. Να αποδείξετε ότι τα διανύσματα: 3 2

είναι κάθετα. (Μονάδες 8)

Λύση


19

α) Είναι: 0 1, 60 2 1 1.

2

β) i) Έχουμε: 22

2 2 2

21 1 2 2 2.2

ii) Για κ=-2 έχουμε: .

Είναι:

2 22 2 2 22

2 22 21

2 60 2 2 2 1 7.2

Άρα 7.

iii) Έχουμε:

223 2 3 3 2 2 3 3 2 2

2 2 23 1 3 2 2 7 3 3 3 2 2 14

2 22 23 3 2 14 3 3 2 1 2 1 14 0.

Οπότε τα διανύσματα: 3 2

είναι κάθετα.

18618

α) Να εξετάσετε πότε ισχύει καθεμιά από τις ισότητες:

u v u v

και u v u v .

(Μονάδες 10)

β) Δίνονται τα διανύσματα , ,

για τα οποία ισχύουν:

0

και .3 4 7

i) Να αποδείξετε ότι

και .

(Μονάδες 8)

ii) Να αποδείξετε ότι: 7 3 0.

(Μονάδες 7)

Λύση

α) 22 2 22u v u v u v u v u v u 2 u v v

2 2 2 2u 2uv v u 2 u v v uv u v u v.

Άρα η ισότητα u v u v

ισχύει όταν τα διανύσματα u v

είναι ομόρροπα.


20

22 2 22u v u v u v u v u v u 2 u v v

2 2 2 2u 2uv v u 2 u v v uv u v u v.

Άρα η ισότητα u v u v

ισχύει όταν τα διανύσματα u v

είναι αντίρροπα.

β) Έστω 0, τέτοιος ώστε:

3

4 .3 4 7

7

i. Είναι: 2 2 2 2 20 2

2 2 2 2 29 2 16 49 2 24 12 3 4

,

άρα .

Είναι: 2 2 2 2 20 2

2 2 2 2 249 2 16 9 2 56 28 7 4

,

άρα .

ii. Είναι: 3

3 4 4

και ,

επομένως υπάρχει 0, ώστε:

03 3 30

4 4 4

3ή 0.

4

Είναι: 7

4 7 4

και ,

επομένως υπάρχει 0, ώστε:

07 7 70

4 4 4

7ή 0.

4

Αν 0,

τότε από τη σχέση: 3 4 7

συμπεραίνουμε ότι: 0,

οπότε 0,

συνεπώς 7 3 0.

Αν 0,

τότε: 3

,4

οπότε: 3

4

και 7

,4

οπότε: 7

,4

συνεπώς:

3 7 21 217 3 7 3 0.

4 4 4 4


21

Κεφάλαιο 2

Ευθεία

2.1 Εξίσωση Ευθείας

Το Δεύτερο Θέμα

18575

Δίνονται τα σημεία A 1,2 και B 5,6 .

α) Να βρείτε την εξίσωση της ευθείας που διέρχεται από τα σημεία A και B.

(Μονάδες 10)

β) Να αποδείξετε ότι η μεσοκάθετος του ευθυγράμμου τμήματος έχει εξίσωση την y x 7. (Μονάδες 15)

Λύση

α) Η ευθεία που διέρχεται από τα σημεία A 1,2 και B 5,6 έχει συντελεστή

διεύθυνσης: B A

B A

y y 6 2 41,

x x 5 1 4

διότι B Ax x και αφού διέρχεται από το

σημείο A 1,2 έχει εξίσωση:

A AB Ay y x x y 2 1 x 1 y x 1 2

y x 1, x .

β) Αν M MM x , y το μέσο του AB γνωρίζουμε ότι:

A BM

x x 1 5x 3

2 2

και A B

M

y y 2 6y 4,

2 2

οπότε: M 3, 4 .

Είναι και επειδή 1 0, ορίζεται ο συντελεστής διεύθυνσης της

και ισχύει: 1 1 1 1.

Η μεσοκάθετη του ευθυγράμμου τμήματος , αφού:

διέρχεται από το σημείο M 3, 4 ,

έχει συντελεστή διεύθυνσης 1,

έχει εξίσωση:

M My y x x y 4 1 x 3 y 4 x 3 4 y x 7.


22

18600

Θεωρούμε την ευθεία 1 που τέμνει τους άξονες x x και y y στα σημεία A 3,0 και

B 0,6 αντίστοιχα.

α) Να βρείτε την εξίσωση της ευθείας 1. (Μονάδες 8)

β) Αν 2 είναι η ευθεία που διέρχεται από την αρχή των αξόνων και είναι κάθετη

στην 1 τότε να βρείτε:

i) Την εξίσωση της ευθείας 2. (Μονάδες 9)

ii) Τις συντεταγμένες του σημείου τομής των ευθειών 1 και 2. (Μονάδες 8)

Λύση

α) Η ευθεία 1, εφόσον διέρχεται από τα σημεία A 3,0 , B 0,6 και

B Ax 0 3 x , έχει συντελεστή διεύθυνσης B1

A

B A

6 02 0 :

y

x x

y1

0 3

και

αφού διέρχεται από το σημείο A 3,0 έχει εξίσωση:

A 1 Ay y x x y 0 2 x 3 y 2x 6, : 2 .

β) i) Η ευθεία 2 :

αφού είναι κάθετη στην 1 και λόγω της 1 είναι 1 2 0, συμπεραίνουμε ότι

ορίζεται ο συντελεστής διεύθυνσής της 2 και ισχύει:

1 2 2 2 2

11 2 1 2 1 ,

2

αφού διέρχεται από την αρχή των αξόνων 0,0 και έχει συντελεστή διεύθυνσης

2

1,

2 έχει εξίσωση: 1 1

y 0 x 0 y x, : 3 .2 2

ii) Για να βρούμε τις συντεταγμένες του σημείου τομής των ευθειών 1 και 2 , επιλύουμε το σύστημα των εξισώσεών τους.

Από τις σχέσεις 2 και 3 , έχουμε:

1212x xy 2x 6 x 4x 12 5x 12 x2x 6 552 .x x x 12

x 6y y yy y52 2 2 y2 5

2

Αν M MM x , y το σημείο τομής των ευθειών 1 και 2 , είναι 12 6

M , .5 5

οπότε:

η τετμημένη του Μ είναι M

12x

5 και η τεταγμένη του Μ είναι η M

6y .

5


23

18601

Έστω M 3, 5 το μέσο του ευθύγραμμου τμήματος AB με A 1,1 .

Α) Να βρείτε:

i) Τις συντεταγμένες του σημείου B. (Μονάδες 6)

ii) Την εξίσωση της ευθείας που διέρχεται από τα σημεία A και B. (Μονάδες 7)

Β) Να βρείτε τις συντεταγμένες του σημείου Κ του άξονα x x έτσι ώστε να ισχύει:


Λύση

Α) i) Για τις συντεταγμένες του μέσου M MM x , y ενός ευθυγράμμου τμήματος με

άκρα τα σημεία A AA x , y και B BB x , y γνωρίζουμε ότι: A BM

x xx

2

και

A BM

y yy ,

2

οπότε για το μέσο M 3, 5 του ευθύγραμμου τμήματος AB με

A 1,1 και B BB x , y έχουμε:

B

B B

2 22

1 x3 1 x 6 x 52 ,

1 y 10 y 91 y5

2

άρα B 5, 9 .

ii) Επειδή B Ax x 5 1 4 0, ορίζεται ο συντελεστής διεύθυνσης της ευθείας

που διέρχεται από τα σημεία A 1,1 και B 5, 9 και ισχύει:

y y 9 1 8

2.x x 5 1 4

Επειδή η ευθεία :

διέρχεται από το σημείο A 1,1 ,


έπεται ότι έχει εξίσωση:

A Ay y x x y 1 2 x 1 y 2x 1, x, y .

Β) Έστω K x, y x, y , το ζητούμενο σημείο. Επειδή το K x, y ανήκει στον

άξονα x x θα έχει τεταγμένη y 0, οπότε K x, 0 , x, y .

Ισχύει: 22 2 2(1 x) 1 0 (5 x) (9 0)

2 22 2 2 2(1 x) 1 (5 x) 81 1 2x x 1 25 10x x 81

104

8x 104 x x 13.8

Άρα K 13, 0 .


24

20060

Δίνονται τα διανύσματα 1, 1

και 3,0 .

α) Να βρείτε τις συντεταγμένες του διανύσματος 1

u 4 .3

(Μονάδες 10)

β) Να βρείτε την εξίσωση της ευθείας που έχει συντελεστή διεύθυνσης

2u

5

και

διέρχεται από το σημείο A 1, 2 .

(Μονάδες 15)

Λύση

α) Έστω u x, y , x, y .

Έχουμε: 1 1u 4 4 1, 1 3,0 4, 4 1,0

3 3

3, 4 , επομένως είναι:

u x, y 3, 4 , x, y x 3 y 4.

β) Ο συντελεστής διεύθυνσης της ζητούμενης ευθείας είναι:

2 222 u 3 4u 9 16 255.

5 5 5 5 5

Γνωρίζουμε ότι A 1, 2 .

Είναι: 1 3 1 0 3,

συνεπώς έχουμε:

2 3 2 5,

οπότε 1, 5 ,

Επομένως η ζητούμενη ευθεία, αφού: έχει συντελεστή διεύθυνσης 5,

διέρχεται από το σημείο 1, 5 ,

έχει εξίσωση: y 5 5 x 1 y 5x 5 5 y 5x, x, y .

20063

Θεωρούμε το ευθύγραμμο τμήμα με μέσο M και A 1, 2 , M 2,5 .

α) Να βρείτε τις συντεταγμένες του σημείου . (Μονάδες 10) β) Να βρείτε την εξίσωση της μεσοκάθετης του ευθυγράμμου τμήματος ΑΒ, καθώς

και τα κοινά σημεία αυτής με τους άξονες x 'x και y 'y. (Μονάδες 15)

Λύση

α) Επειδή το σημείο Μ είναι το μέσο του ευθυγράμμου τμήματος ΑΒ, έχουμε:

A BM

M A B B M A

M A B B M AA BM

x xx 2x x x x 2x x2

2y y y y 2y yy yy

2

B

B

x 2 2 1

y 2 5 2

B

B

x 5.

y 12

Άρα B 5,12 .

β) Είναι: A Bx x 1 5 1 5 6 0, οπότε ο συντελεστής διεύθυνσης της ευθείας

που διέρχεται από τα Α και Β είναι: A B

A B

y y 2 12 14 70 : 1 .

x x 1 5 6 3

Η μεσοκάθετος του ευθυγράμμου τμήματος ΑΒ:

είναι κάθετη στο και επειδή 7

0,3 ορίζεται ο συντελεστής διεύθυνσης


25

της και ισχύει: 7 3

1 1 .3 7

διέρχεται από το μέσο M 2,5 του ΑΒ.

Οπότε η εξίσωση της μεσοκάθετης του ευθυγράμμου τμήματος AB, είναι:

M M

3y y x x y 5 x 2

7

3 6x 5 y 0 3x 7y 6 35 0 3x 7y 41 0 : .

7 7

Επειδή όλα τα σημεία του άξονα x 'x έχουν τεταγμένη 0, η : 3x 7y 41 0

τέμνει τον x 'x σε ένα σημείο K x ,0 , οπότε, ισχύει:

K K K

413x 7 0 41 0 3x 41 x ,

3 επομένως η (ε) τέμνει τον άξονα x 'x

στο σημείο 41

K ,0 .3

Επειδή όλα τα σημεία του άξονα y y έχουν τετμημένη 0, η τέμνει τον y y σε

ένα σημείο 0, y , οπότε, ισχύει:

413 0 7y 41 0 7y 41 y ,

7 επομένως η (ε) τέμνει τον άξονα y ' y

στο σημείο 41

0, .7

20066

Δίνεται τρίγωνο με κορυφές τα σημεία 3,1 , 1,1 2,4 .

α) Να βρείτε την εξίσωση της πλευράς . (Μονάδες 7)

β) Να βρείτε τις εξισώσεις του ύψους και της διαμέσου . (Μονάδες 18)

Λύση

α) Είναι x x 2 3 1 0, οπότε ο συντελεστής διεύθυνσης της πλευράς ,

είναι: A

A

y y 4 1 33

x x 2 3 1

, συνεπώς η πλευρά έχει εξίσωση:

y 1 3 x 3 y 1 3x 9 3x y 10 0.

β) Επειδή και 3 0, ισοδύναμα έχουμε:

11 3 1 .

3

Αφού το ύψος ΒΔ:

διέρχεται από το σημείο 1,1 ,

έχει συντελεστή διεύθυνσης 1

,3


26

έχει εξίσωση: 1y 1 x 1 3y 3 x 1 x 3y 4 0,

3 x, y .

Το Μ είναι μέσο του , οπότε:

x x 1 2 1x x x

2 2 2 .y y 1 4 5

y yy2 22

Άρα 1 5

, .2 2

Είναι

5 31 3 2 32 2

1 5 5 2 532 2

, οπότε η διάμεσος θα έχει εξίσωση:

3y 1 x 3 5y 5 3x 9 3x 5y 14 0,

5 x, y .

20068

Δίνεται τρίγωνο

με 5,4 , 1,6 , 4,1 και σημείο της πλευράς

για το οποίο ισχύει: 1

4

.

α) Να βρείτε τις συντεταγμένες του διανύσματος .

(Μονάδες 6)

β) Να βρείτε τις συντεταγμένες του σημείου . (Μονάδες 9)

γ) Αν το σημείο έχει συντεταγμένες 9

4, ,2

να υπολογίσετε την εξίσωση της

ευθείας που διέρχεται από τα σημεία , . (Μονάδες 10)

Λύση

α) Είναι: 1 5 , 6 4 4,2 .

β) Αν x,y , x,y , θα είναι:

M A M Ax x , y y x 5 , y 4 x 6, y 4 ,

οπότε από τη δεδομένη

σχέση 1

4,

διαδοχικά και ισοδύναμα έχουμε:

1 1 1 x 5, y 4 4,2 x 5, y 4 1,

4 4 2


27

x 5 1 x 4

.

1 9y 4 y

2 2

Άρα 9

4, .2

γ) Είναι 9

4,2

και 4,1 , οπότε η κλίση της ευθείας εκφράζεται από τον

αριθμό: M M M

9 71 72 2 .

4 4 8 16

Η εξίσωση της ευθείας M είναι:

M

7 7 7 7 11y y x x y 1 x 4 y 1 x y x .

16 16 4 16 4

Σχόλιο

Στην εκφώνηση του γ ερωτήματος αντί της έκφρασης «να υπολογίσετε την εξίσωση της ευθείας που διέρχεται από τα σημεία Μ,Γ», θα ήταν προτιμότερη η έκφραση: «να βρεθεί η εξίσωση της ευθείας που διέρχεται από τα σημεία Μ,Γ».

20072

Θεωρούμε μια ευθεία και ένα σημείο Α(6, -1) εκτός της .

Έστω 2,1 η προβολή του Α στην . Να βρείτε:

α) Την εξίσωση της ευθείας . (Μονάδες 13)

β) Το συμμετρικό του Α ως προς την . (Μονάδες 12)

Λύση

α) Είναι: 1 1 2 1

.2 6 4 2

Επειδή το σημείο Μ είναι η προβολή του Α στην ευθεία (ε) είναι: , οπότε:

11 1 2.

2

Συνεπώς, αφού η ευθεία διέρχεται από το σημείο 2,1 και έχει συντελεστή

διεύθυνσης 2, έχει εξίσωση: y 1 2 x 2 y 2x 4 1 y 2x 3.

β) Αν x, y το συμμετρικό του ως προς την ευθεία , είναι:

2 6,1 1 x 2, y 1 4, 2 x 2, y 1

x 2 4 x 2.

y 1 2 y 3


28

Επομένως: 2,3 .


29

Το Τέταρτο Θέμα

18606

Δίνονται τα διανύσματα ΟΑ = 4, 2

και ΟΒ = 1,2 ,

όπου Ο είναι η αρχή των αξόνων.

α) Να αποδείξετε ότι τα διανύσματα ΟΑ

και ΟΒ

είναι κάθετα. (Μονάδες 4)

β) Αν , είναι σημείο της ευθείας που διέρχεται από τα σημεία Α και Β, τότε:

i. Nα αποδείξετε ότι: 3,4

και 4, 2 .

(Μονάδες 5)

ii. Nα αποδείξετε ότι: 4 3 10. (Μονάδες 6)

iii. Aν επιπλέον, τα διανύσματα

και

είναι κάθετα, να βρείτε τις συντεταγμένες του σημείου Γ. (Μονάδες 10)

Λύση

α) Είναι: 4 1 2 2 4 4 0,

οπότε, αφού 0,

έπεται ότι:

.

β) i) Είναι: (4,-2),

επομένως 4, 2 .

(1,2)

επομένως 1,2 .

Άρα: B A Ax x ,y y 1( 4,2 2 3) ,4 . B

A Ax x , y y 4,) 2( .

ii) Είναι B Ax x 1 4 3 0, οπότε: B A

B A

2 2y y 4 4.

x x 1 4 3 3

Σχόλιο:

Μας ζητείται να αποδείξουμε ότι 4 3 10, οπότε αρκεί να εργασθούμε με

συνεπαγωγές, όμως για τις ανάγκες του υποερωτήματος iii θα εργασθούμε με ισοδυναμίες.

Αφού η ευθεία AB διέρχεται από το σημείο 4, 2 και έχει συντελεστή

διεύθυνσης 4

,3 έχει εξίσωση:

A AB A

4y y x x y 2 x 4 3y 6 4x 16 4x 3y 10 0.

3

Επειδή , σημείο της ευθείας AB ισχύει:

:4 3 10 0 4 3 E10 .

iii) Είναι: ,

και επειδή

ισοδύναμα έχουμε:

0 : 3 4 0 .


30

Επιλύουμε το σύστημα των και και έχουμε:

4 3 10 12 9 30 12 9 -12 16 30 0

-3 4 0 -12 16 0 -3 4 0

30 6 6 625 30 25 5 5 5 .-3 4 0 6 24 8

-3 4 0 -35 5 5

Άρα: 8 6

, .5 5

20147

Δίνονται τα σημεία 1, 1 , 2, 2 και 4,6 , .

α) Να βρείτε την μεσοκάθετη του τμήματος ΒΓ. (Μονάδες 7)

β) Αν το σημείο ισαπέχει από τα σημεία και , να βρείτε την τιμή του λ. (Μονάδες 8)

γ) Για 4 , να βρείτε σημείο ώστε το τετράπλευρο να είναι ρόμβος.

Μονάδες 10)

Λύση

α) Έστω M Mx , y το μέσο του , οπότε διαδοχικά έχουμε ότι:

BM M

BMM

x x 2 4x x 3

2 2 ,y y 2 6

y 4y22

άρα .3,4

Επειδή x x 2 4 2 0, ο συντελεστής διεύθυνσης της είναι:

y y 2 6 42 0.

x x 2 4 2

Έστω η μεσοκάθετος του τμήματος . Επειδή και 2 0, ορίζεται

ο συντελεστής διεύθυνσης της μεσοκάθετης και ισχύει:

11 2 1

2 .

Οπότε η εξίσωση της μεσοκάθετης , είναι: M My y x x

1 1 3y 4 x 3 y 4 x 2y 8 x 3 x 2y 11 0.

2 2 2


31

β) Το ισαπέχει από τα άκρα του , αν και μόνο αν, ανήκει στη μεσοκάθετη μ του

ευθυγράμμου τμήματος . Αυτό συμβαίνει, όταν και μόνο όταν, οι συντεταγμένες

του επαληθεύουν την εξίσωσή της , δηλαδή: A Ax 2y 11 0

1 2 1 11 0 3 12 0 3 12 4. + -

γ) Για 4 έχουμε 5,3 .

Αφού το τετράπλευρο είναι ρόμβος, οι διαγώνιοί του και

διχοτομούνται και είναι κάθετες.

Αφού οι διαγώνιοι διχοτομούνται, το σημείο M είναι μέσο του , οπότε

διαδοχικά έχουμε: M

M

x x 5 xx 3 x 3 5 x2 2 ,

y 4 3

2 1

2 yy y 3 y4

5y

22

άρα .1,5

Για να είναι αποδεκτό ότι ,1,5 αρκεί

οι διαγώνιοι του να τέμνονται

κάθετα, δηλαδή αρκεί οι συντεταγμένες

του να επαληθεύουν την εξίσωση της

ευθείας .

Έχουμε: x 2y 11 0

1 2 5 11 0 11 11 0, - που ισχύει.

Σχόλιο 1

Το δεδομένο, ότι το τετράπλευρο ΑΒΔΓ είναι ρόμβος, μπορούσε να αντικατασταθεί με το ΑΒΔΓ είναι παραλληλόγραμμο και να ζητείται να αποδειχθεί ότι είναι ρόμβος.

Σχόλιο 2

Μπορούμε εύκολα να αποδείξουμε ότι το τετράπλευρο ΑΒΔΓ είναι τετράγωνο.


32

2.2 Γενική Εξίσωση Ευθείας

Το Δεύτερο Θέμα

18584

Δίνονται οι παράλληλες ευθείες 1 : x 2y 8 0, , 2 : 2x 4y 10 0 και το σημείο Α

της 1 που έχει τετμημένη το 4. α) Να βρείτε τις συντεταγμένες του σημείου Α. (Μονάδες 5)

β) Να βρείτε την εξίσωση της ευθείας η οποία διέρχεται από το σημείο Α και είναι

κάθετη στην ευθεία 1. (Μονάδες 10)

γ) Αν Β είναι το σημείο τομής των ευθειών 2 και , να βρείτε τις συντεταγμένες του Β. (Μονάδες 10)

Λύση

α) Αν , η τεταγμένη του σημείου Α, θα έχουμε .4,

Αφού το 4, είναι σημείο της 1 : x 2y 8 0, οι συντεταγμένες του

επαληθεύουν την εξίσωση της 1, συνεπώς ισχύει:

4 2 8 0 2 4 2, άρα 4, 2 .

β) Ο συντελεστής διεύθυνσης της 1 :x 2y 8 0 είναι 1

1 1.

2 2

Αν λ ο συντελεστής διεύθυνσης της , επειδή 1, ισχύει:

1

11 1 2.

2 Άρα η ευθεία ε αφού:



έχει εξίσωση: A Ay y x x y 2 2 x 4 y 2 2x 8 2x y 6 0.

γ) Για να βρούμε τις συντεταγμένες του σημείου τομής B των ευθειών 2 και , θα

επιλύσουμε το σύστημα των εξισώσεών τους, : 2x y 6 0 και

2 :2x 4y 10 0.

Έχουμε: 2x y 6 0 2x y 6 2x y 6 2x y 6

2x 4y 10 0 2x 4y 10 2x y 2x 4y 10 6 5y 16

16 14 72x y 6 10x 16 30 10x 142x 6 x

5 10 5 ,16 16 1616 16y y y

y y5 5 55 5


33

επομένως 7 16

B , .5 5

18587

Δίνονται οι ευθείες 1 : x 8y 16 0 και 2 : 2x y 15 0 οι οποίες τέμνονται στο

σημείο Μ. Αν οι ευθείες 1 και 2 τέμνουν τον άξονα y y στα σημεία Α και B αντίστοιχα, τότε: α) Να βρείτε τις συντεταγμένες των σημείων Μ, A και B. (Μονάδες 10)

β) Αν Κ είναι το μέσο του τμήματος ΑΒ, να βρείτε τον συντελεστή διεύθυνσης του

διανύσματος MK.

(Μονάδες 15)

Λύση

α) Εύρεση του σημείου Μ:

Το Μ είναι το σημείο τομής των ευθειών 1 2, , οπότε επιλύουμε το σύστημα των

δυο εξισώσεών τους x 8y 16 0

: .2x y 15 0

Έχουμε:

x 8y 16 0 x 8y 16 2x 16y 32

2x y 15 2x y 152x y 15 0

2x 16y 2x y 32 15 17y 17 y 1 y 1

2x y 15 2x y 15 2x 1 15 2x 16

y 1,

x 8

άρα: M 8,1 .

Εύρεση των συντεταγμένων των σημείων Α, Β:

Κάθε σημείο M x, y του άξονα yy έχει τετμημένη x 0, οπότε έχουμε:

AA 0, y και BB 0, y .

Επειδή το σημείο AA 0, y ανήκει στην ευθεία 1 : x 8y 16 0, ισχύει:

A A A0 8y 16 0 8y 16 y 2, άρα A 0,2 .

Επειδή το σημείο BB 0, y ανήκει στην ευθεία 2 : 2x y 15 0 ισχύει:

B B2 0 y 15 0 y 15, άρα B 0, 15 .

β) Επειδή το σημείο Κ είναι το μέσο του τμήματος ΑΒ, έχει συντεταγμένες:

A BK

x x 0 0x 0,

2 2

A BK

2 15y y 2 15 13y ,

2 2 2 2

άρα:

13K 0, .

2

Οπότε ο συντελεστής διεύθυνσης λ του MK,

είναι:


34

MK K M

K MMK

13 13 21y y y 152 2 2 .

x x x 0 8 8 16

18589

Δίνονται οι ευθείες: 1 2:8x y 28 0 :x y 1 0, οι οποίες τέμνονται στο σημείο Μ.

α) Να βρείτε τις συντεταγμένες του σημείου Μ και στη συνέχεια να βρείτε την εξίσωση

της ευθείας που διέρχεται από το Μ και είναι κάθετη στον άξονα x x. (Μονάδες 10)

β) Να αποδείξετε ότι οι ευθείες που διέρχονται από το Μ και έχουν συντελεστή

διεύθυνσης λ έχουν εξίσωση: x y 3 4 0, . (Μονάδες 15)

Λύση

α) Επειδή το Μ είναι το σημείο τομής των ευθειών 1 και 2 , επιλύνοντας το σύστημα

των εξισώσεών τους, υπολογίζουμε τις συντεταγμένες του Μ.

Διαδοχικά και ισοδύναμα έχουμε:

8x y 28 0 8x y 28 8x x 1 28 9x 27 x 3,

x y 1 0 y x 1 y x 1 y x 1 y 4

επομένως: 3,4 .

Η ευθεία που διέρχεται από το σημείο 3, 4 και είναι κάθετη στον άξονα x x

έχει εξίσωση: x 3, x .

β) Η εξίσωση της ευθείας που διέρχεται από το σημείο 3, 4 και έχει συντελεστή

διεύθυνσης , είναι:

M My y x x y 4 x 3 x y 3 4 0, x, y, .

18592

Δίνονται οι ευθείες 1 : x 3y 5 0 και 2 :3x y 5 0.

α) Να αποδείξετε ότι οι ευθείες 1 και 2 είναι κάθετες μεταξύ τους. (Μονάδες 9)

β) Να βρείτε τις συντεταγμένες του σημείου τομής Α των ευθειών 1 και 2 . (Μονάδες 9)

γ) Να βρείτε την εξίσωση της ευθείας που διέρχεται από το σημείο Α και την αρχή Ο

των αξόνων. (Μονάδες 7)

Λύση

α) Κάθε εξίσωση της μορφής: Ax By 0, x, y , με πραγματικούς


35

συντελεστές A,B, και 0, έχει συντελεστή διεύθυνσης: .

Είναι:

1 : x 3y 5 0, οπότε ο συντελεστής διεύθυνσης της 1 είναι 1

1.

3

2 :3x y 5 0, οπότε ο συντελεστής διεύθυνσης της 2 είναι 2 3.

Έχουμε: 1 2

13 1,

3 οπότε 1 2.

β) Για να βρούμε τις συντεταγμένες του σημείου τομής Α, των ευθειών 1 και 2 , επιλύνουμε το σύστημα των εξισώσεων τους. Διαδοχικά και ισοδύναμα έχουμε:

x 3y 5x 3y 5 0 x 3y 5 x 3 2 5 x 1

.3 3y 5 y 53x y 5 0 10y 20 y 2 y 2

Άρα, 1,2 .

γ) Επειδή η ζητούμενη ευθεία διέρχεται:

από την αρχή 0, 0 των αξόνων,

από το σημείο A 1, 2 ,

έχει συντελεστή διεύθυνσης: A O

A O

y y 2 02

x x 1 0

και εξίσωση:

y x y 2x, x .

18595

Δίνονται οι ευθείες 1 :3 3 0 και 2 : 2 4 0.

α) Να βρείτε τις συντεταγμένες του σημείου τομής των ευθειών 1 και 2 .

(Μονάδες 8)

β) Αν η ευθεία 1 τέμνει τον άξονα στο σημείο B και η ευθεία 2 τέμνει τον

άξονα στο σημείο , τότε:

i) Να βρείτε τις συντεταγμένες των σημείων B και . (Μονάδες 8)

ii) Να αποδείξετε ότι η ευθεία που διέρχεται από τα σημεία B και έχει εξίσωση

την 3 4 12 0. (Μονάδες 9)

Λύση

α) Οι συντεταγμένες του σημείου τομής , των ευθειών 1 και 2 αποτελούν τη λύση

του συστήματος των εξισώσεων τους: 3 3 0

: .2 4 0

Διαδοχικά και ισοδύναμα έχουμε:

3 3 0 3 3 ( 2) 6 2 6 5 10

2 4 0 2 4 2 4 2 4


36

2 2

.2 2 4 3

Επομένως: 3 .2,

β) i) Για 0 στην εξίσωση της 1 έχουμε: 3 0 3 0 3, άρα

0, 3 .

Για 0 στην εξίσωση της 2 έχουμε: 2 0 4 0 4, άρα .4, 0

ii) Η ευθεία που διέρχεται από τα σημεία B και έχει συντελεστή διεύθυνσης:

0 ( 3) 3

.4 0 4

Η εξίσωση της ευθείας είναι η , οπότε:

30 ( 4) 4 3 ( 4) 4 3 12

4

3 4 12 0.

18602

Δίνεται η ευθεία ε : y x 1 και το σημείο A 2, 4 .

α) Να βρείτε την εξίσωση της ευθείας που διέρχεται από το Α και είναι κάθετη στην (ε).

(Μονάδες 10)

β) Να βρείτε την προβολή του σημείου Α πάνω στην ευθεία . (Μονάδες 15)

Λύση

α) Η ευθεία ε : y x 1 ισοδύναμα γράφεται ε : y x 1, επομένως έχει

συντελεστή διεύθυνσης 1 0.

Η ευθεία ε της οποίας αναζητάμε την εξίσωση, αφού:

είναι κάθετη στην ε θα έχει συντελεστή διεύθυνσης, έστω , για τον οποίο ισχύει:

1 1 1 1,

διέρχεται από το σημείο A 2, ,4

έχει εξίσωση:

: y y λ΄ χ χ y 4 =1 x 2 y+4 x 2 y x 2 4 y x 6, x, y .

β) Η προβολή Β του σημείου Α πάνω στην ευθεία είναι

το σημείο τομής των ευθειών ε , . Για να βρούμε

τις συντεταγμένες του Β, λύνουμε το σύστημα: y x 1 x 6 x 1 2x 7

y x 6 y x 6 y x 6


37

7 7x x

2 2 .7 5

y 6 y2 2

Άρα η προβολή του σημείου Α πάνω στην ευθεία είναι το σημείο 7 5

, .2 2

20062

Δίνονται τα σημεία 1, 2 και 2,3 .

α) Να βρείτε την εξίσωση της ευθείας ε που διέρχεται από τα σημεία Α, Β.

(Μονάδες 11)

β) Να υπολογίσετε το εμβαδόν του τριγώνου ΟΚΛ, όπου Ο είναι η αρχή των αξόνων και Κ, Λ είναι τα σημεία τομής της ε με τους άξονες x x και y y αντίστοιχα.

(Μονάδες 14)

Λύση

α) Η ευθεία ε:

έχει συντελεστή διεύθυνσης: B A

B A

3 2y y 55,

x x 2 1 1


οπότε η εξίσωση της ευθείας είναι:

A Ay y x x y 2 5 x 1 y 2 5x 5 5x y 7 0 : .

β) Η ευθεία ε τέμνει τον άξονα x x στο σημείο K x, 0 ,

οπότε από την E έχουμε:

75x 0 7 0 5x 7 x ,

5

άρα στο 7

K ,05

.

Η ευθεία ε τέμνει τον άξονα y y στο σημείο 0, y ,

οπότε από την E έχουμε:

5 0 y 7 0 y 7, άρα στο 0, 7 .

Είναι: 7

K ,05

και 0, 7 ,

επομένως:

7

0 49det OK,O .5

50 7

Το τρίγωνο ΟΚΛ έχει εμβαδόν:

1det OK,O

2

1 49 494,9

2 5 10 τ.μ.


38

2ος τρόπος

(ΟΚΛ)=1

2(ΟΚ)(ΟΛ)=

1 7 497

2 5 10 τ.μ.

20065

Δίνεται η ευθεία ε: x y 2 0 και το σημείο A 5,1 .

α) Να βρείτε την εξίσωση της ευθείας 1, η οποία διέρχεται από το Α και είναι κάθετη

προς την ευθεία . (Μονάδες 9)

β) Να βρείτε την εξίσωση της ευθείας 2 , που διέρχεται από το Α και είναι παράλληλη

προς τον άξονα x΄x. (Μονάδες 7)

γ) Να βρείτε το σημείο τομής των ευθειών 1 και 2 και την απόστασή του από την

αρχή των αξόνων. (Μονάδες 9)

Λύση

α) Γνωρίζουμε ότι ο συντελεστής διεύθυνσης της ευθείας x By 0, 0, είναι:

,

άρα ο συντελεστής διεύθυνσης της ευθείας ε είναι:

1 –1 0.

1

Αφού η ευθεία 1 είναι κάθετη στην και –1 0, ορίζεται ο συντελεστής

διεύθυνσής 1

και ισχύει: 1 1

1 1.

Η ευθεία 1, εφόσον:

διέρχεται από το σημείο A 5,1 και έχει συντελεστή διεύθυνσης 1

1, έχει

εξίσωση: 1Ay – y x – x y –1 1 x – 5 y –1 x – 5 x – y – 4 0.

β) Η ευθεία 2 , η οποία διέρχεται από το και είναι παράλληλη προς τον άξονα x΄x,

είναι της μορφής: 2 : y y y 1.

γ) Είναι: 1

1 2

2

1,

0

οπότε οι

ευθείες 1, 2 τέμνονται και έχουν

μοναδικό σημείο τομής, που είναι το . Η απόσταση του σημείου από

την αρχή των αξόνων είναι:

2 2 2 2A AOA x y 5 1 26.


39

20140

Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ με κορυφές τα σημεία Α(3,2), Β(-3,1) και Γ(4,0 ).

Α) Να βρείτε την εξίσωση της πλευράς ΑΒ. (Μονάδες 9)

Β) Να υπολογίσετε το μήκος του ύψους ΓΔ καθώς και την εξίσωση της ευθείας πάνω στην οποία βρίσκεται αυτό. (Μονάδες 16)

Λύση

Α) Έχουμε εξίσωση ευθείας που ορίζεται από δύο σημεία και επειδή x x , θα

πάρουμε: y y 1 2 1 1

x x 3 3 6 6

, οπότε έχουμε:

1( ) :y y x x y 2 x 3 6y 12 x 3 x 6y 9 0.

6

Β) Το μήκος (ΓΔ) είναι η απόσταση του σημείου Γ από την ευθεία ΑΒ, οπότε:

2 2

4 1 6 0 9 13 13 37( ) d( , ) .

37371 ( 6)

Για την εξίσωση της ευθείας ΓΔ έχουμε:

11 1 6.

6

Επομένως η ευθεία ΓΔ έχει εξίσωση: y y (x x ) y 0 6(x 4) y 6x 24.


18612

Δίνεται η εξίσωση: 2 22 6 6 8 0.

α) Να αποδείξετε ότι η εξίσωση παριστάνει γεωμετρικά δύο ευθείες γραμμές ε1 και ε2 οι οποίες είναι παράλληλες μεταξύ τους. (Μονάδες 7)

β) Αν ε1 : 2 0 και ε2 : 4 0 , να βρείτε την εξίσωση της μεσοπαράλληλης των ε1 και ε2. (Μονάδες 8)

γ) Αν Α είναι σημείο της ευθείας ε1 με τεταγμένη 2 και Β σημείο της ευθείας ε2 με τετμημένη το 1, τότε :

i) Να βρείτε τις συντεταγμένες των σημείων Α και Β. (Μονάδες 2)

ii) Να βρείτε τις συντεταγμένες δύο σημείων Γ και Δ της ευθείας ε έτσι, ώστε το

τετράπλευρο ΑΓΒΔ να είναι τετράγωνο (Μονάδες 8)


40

Λύση

α) Έστω 0 0 0M x , y σημείο του επιπέδου που οι συντεταγμένες του ικανοποιούν την

εξίσωση: 2 22 6 6 8 0 : E , επομένως έχουμε:

22 20 0 0 0 0 0 0 0 0 02 6 6 8 0 6 8 0

2

0 0 0 0 0 04 2 8 0

0 0 0 0 0 04 2 4 0

0 0 0 0 0 0 0 04 2 0 4 0 ή 2 0.

Συνεπώς:

κάθε σημείο M x, y του επιπέδου που οι συντεταγμένες ικανοποιεί την E είναι

σημείο που ανήκει:

στην ευθεία 1, με εξίσωση 1 4: 0 που έχει συντελεστή διεύθυνσης

1

11,

1

ή στην ευθεία 2 , με εξίσωση 2 2: 0 που έχει συντελεστή

διεύθυνσης 2

11

1

και αντίστροφα,

κάθε σημείο M x, y του επιπέδου που οι συντεταγμένες ικανοποιούν είτε την

1 4: 0 είτε την 2 0: 2 , ικανοποιεί και την

2 2E : 2 6 6 8 0.

Επειδή είναι: 1 2 1, οι ευθείες 1 και 2 είναι παράλληλες.

Επομένως η εξίσωση: 2 22 6 6 8 0 παριστάνει γεωμετρικά δύο

ευθείες γραμμές οι οποίες είναι παράλληλες μεταξύ τους.

β) Έστω 0 0, σημείο της μεσοπα-

ράλληλης ευθείας των ε1 και ε2 .

Είναι : 1 2d(M, ) d(M, )

2 4

2 2

2 4

2 4

2 4, ύ

2 2 6 0

3 0.


41

Επομένως η μεσοπαράλληλη ευθεία των ε1 και ε2 έχει εξίσωση: 3 0.

γ) i) Το σημείο Α ανήκει στην ε1 και έχει τεταγμένη: 2,= οπότε:

2 0 0 2 0 0, άρα .0,2

Το σημείο Β ανήκει στην ε2 και έχει τετμημένη: 1, οπότε:

4 0 1 4 0 3, άρα 1,3 .

ii) Τα ζητούμενα σημεία Γ και Δ βρίσκονται στην ευθεία : 3 0, οπότε:

3 0 3 , επομένως είναι: , 3 ,

3 0 3 , επομένως είναι: , 3 .

Αναγκαία και ικανή συνθήκη για να είναι το τετράπλευρο ΑΓΒΔ τετράγωνο είναι:

B παραλληλόγραμμο

ορθογώνιο .

ρόμβος

Η ισοδύναμα γράφεται:

, ,

0, 3 2 1 ,3 3 , 1 1 ,

1

1 : 1 .1

Η ισοδύναμα γράφεται:

22 2 23 3 1 0 3 2

2 2 2 22 23 3 1 1 2

2 2 22 2 2 2 1

1 : 2 ή 1 : 3 .

Από τις σχέσεις 1 και 2 ισοδύναμα έχουμε:

1 1 1 2 2 1,

1 1 1 1 1 0

επομένως 1, 2 , 0,3 .

Από τις σχέσεις 1 και 2 ισοδύναμα έχουμε:

1 1 1 2 0 0,

1 1 1 1 0 1

επομένως 0,3 , 1,2 .

Αν 1,2 είναι: 1 0,2 2 1,0

και 1 1,2 3 0, 1

, οπότε


42

2 2

22

1 0 1 1,

0 1 1 1

οπότε 1.

Άρα το τετράπλευρο ΑΓΒΔ είναι τετράγωνο.

Αν 0, 3 είναι: 0 0,3 2 0,1

και 0 1,3 3 1,0

, οπότε

2 2

2 2

0 1 1 1,

1 0 1 1

οπότε 1.

Άρα το τετράπλευρο ΑΓΒΔ είναι τετράγωνο.

18617

Δίνονται τα διανύσματα a, b

με αντίστοιχα μέτρα 2 , 6 και 0, η μεταξύ τους

γωνία.

Επίσης δίνεται η εξίσωση a b 12 x a b 12 y 5 0 : 1 .

α) Να αποδείξετε ότι η 1 παριστάνει ευθεία για κάθε 0, . (Μονάδες 3)

β) Αν η παραπάνω ευθεία είναι παράλληλη στον άξονα y y, να αποδείξετε ότι b 3a.

(Μονάδες 7)

γ) Αν η παραπάνω ευθεία είναι παράλληλη στον άξονα x x, να αποδείξετε ότι

b 3a.

(Μονάδες 7)

δ) Αν η παραπάνω ευθεία είναι παράλληλη στην διχοτόμο πρώτης και τρίτης γωνίας

των αξόνων, να αποδείξετε ότι τα b a.

(Μονάδες 8)

Λύση

α) Η εξίσωση a b 12 x a b 12 y 5 0 : 1

είναι της μορφής

x y 0, με a b 12

και a b 12

.

Έστω ότι υπάρχει κάποια γωνία 0 0, για την οποία η 1 δεν παριστάνει

ευθεία, οπότε ισοδύναμα θα έχουμε:

0 a b 12 0 a b 12,

0 a b 12 0 a b 12

άτοπο, οπότε η 1 παριστάνει ευθεία για

κάθε 0, .

β) Η ευθεία 1 είναι παράλληλη στον άξονα y y μόνο όταν δεν ορίζεται ο

συντελεστής διεύθυνσής της, δηλαδή μόνο όταν: 0 a b 12 0 a b a,b 12 2 6 a,b 12 a,b 1,

οπότε, αφού 0 a, b ,

συμπεραίνουμε ότι a, b 0,

συνεπώς τα a,b

είναι

ομόρροπα, άρα υπάρχει , με 0, ώστε: b a : 2 .


43

Από την 2 προκύπτει ότι:

a 2, b 6

0b a b a 6 2 3,

επομένως από την 2 έχουμε: b 3a.

γ) Η ευθεία 1 είναι παράλληλη στον άξονα x x όταν και μόνο όταν: ο συντελεστής

διεύθυνσής της ισούται με το μηδένA

0 A 0 a b 12 0B

a b 12 a b a, b 12 2 6 a, b 12 a, b 1,

οπότε, αφού 0 a, b ,

συμπεραίνουμε ότι a, b ,

συνεπώς τα a,b

είναι

αντίρροπα, άρα υπάρχει , με 0, ώστε: b a : 3 .

Από την 3 προκύπτει ότι:

a 2, b 6

0b a b a 6 2 3,

επομένως από την 3 έχουμε: b 3a.

δ) Αν η ευθεία 1 είναι παράλληλη στην διχοτόμο πρώτης και τρίτης γωνίας των

αξόνων που έχει εξίσωση, y x, τότε θα είναι: 0, 0 και θα έχει συντελεστή διεύθυνσης:

a b 121 1 1 a b 12 a b 12 2a b 0 a b 0,

a b 12

άρα τα a,b

είναι κάθετα.

18621

Δίνονται οι ευθείες:

0: 2 x 1 1 3 και 1 3 x 1 6 ,: 2 0 όπου .

α) Να εξετάσετε αν υπάρχει τιμή του , ώστε οι ευθείες να είναι παράλληλες.

(Μονάδες 10)

β) Να βρείτε την αμβλεία γωνία που σχηματίζουν οι ευθείες και . (Μονάδες

15)

Λύση

α) Γνωρίζουμε ότι κάθε ευθεία με εξίσωση της μορφής: L : Ax By 0, με

A 0 ή B 0, είναι παράλληλη στο διάνυσμα v B, A .

Επομένως:

η ευθεία 2 x 1 0: 1 3 , που είναι της μορφής L , με A 2 και

B 1 1 , είναι παράλληλη στο διάνυσμα , 1 , 2 .

η ευθεία 1 3 x 1 6 ,: 2 0 που είναι της μορφής L , με

A 1 3 και B 1, είναι παράλληλη στο διάνυσμα


44

, 1, 1 3 .

Αν υποθέσουμε ότι υπάρχει κάποια τιμή του , έστω η 0 , ώστε οι ευθείες

και να είναι παράλληλες, τότε θα έχουμε:

0 0

0 0

1 2/ / det , 0 0

1 1 3/ /

0 0 0 01 1 3 2 1 0 2 2

0 0 0 0 01 3 3 2 2 0

2

0 05 2 1 0, η οποία είναι αδύνατη, αφού έχει διακρίνουσα 16 0, επομένως καταλήγουμε σε άτοπο.

Άρα δεν υπάρχει τιμή του για την οποία οι ευθείες να είναι παράλληλες.

β) Η αμβλεία γωνία των ευθειών και είναι ίση ή παραπληρωματική της

γωνίας των διανυσμάτων

και .

Όμως είναι:

2 2 22

1 1 2 ( 1 3 )

1 4 1 1 3

2 2 2

2 2 2 2 2 2

1 2 6 5 2 1

2 1 4 2 1 9 6 1 5 2 1 2 (5 2 1)

1 2.

22

Επομένως 45 και η θα είναι η παραπληρωματική της, άρα 135 .


45

2.3 Εμβαδόν τριγώνου


18609

Σε τρίγωνο ΑΒΓ είναι AB λ, λ 1 ,

ΑΓ 3λ,λ 1 ,

όπου 0 και 2 και Μ

είναι το μέσο της πλευράς ΒΓ.

α) Να αποδείξετε ότι AM 2λ, λ . (Μονάδες 7)

β) Να βρείτε την τιμή του λ για την οποία το διάνυσμα ΑΜ είναι κάθετο στο διάνυσμα 2

α ,λ .λ

(Μονάδες 8)

γ) Για την τιμή του λ που βρήκατε στο ερώτημα β, να υπολογίσετε το εμβαδόν του τριγώνου ΑΒΓ. (Μονάδες 10)

Λύση

α) Αν θεωρήσουμε το Α ως σημείο αναφοράς, γνωρίζουμε ότι η διανυσματική ακτίνα

του μέσου τμήματος, είναι: ΑΒ ΑΓ 1ΑΜ 4λ, 2λ 2λ,λ .

2 2

β) Οι συντελεστές διεύθυνσης των διανυσμάτων

και

είναι:

2

α

λ λλ

2 2λ

και

ΑΜ

λ 1λ .

2λ 2

Έχουμε:

22

α ΑΜ

λ 1λ 41

ΑΜ α λ λ 1 2 20, 2

0, 2

λ 2 ή λ 22.

0, 2

γ) Για 2 έχουμε:

ΑΒ 2,3 ,

ΑΓ 6,1 ,

2 3det AB,ΑΓ 2 18 16.

6 1

Άρα 1 1ΑΒΓ det AB,ΑΓ 16 8

2 2

τ.μ.


46

18610

Δίνονται οι ευθείες:

1 : 2 10 16 0 και 2 :10 2 4 0, όπου .

α) Να αποδείξετε ότι για κάθε τιμή της παραμέτρου οι ευθείες 1 2, τέμνονται και να βρείτε τις συντεταγμένες του σημείου τομής τους M. (Μονάδες 7)

β) Να αποδείξετε ότι για κάθε τιμή της παραμέτρου το σημείο M ανήκει στην ευθεία :8 6 0. (Μονάδες 7)

γ) Αν η ευθεία τέμνει τους άξονες , στα σημεία A και B αντίστοιχα, τότε:

i. Να βρείτε την εξίσωση της ευθείας που διέρχεται από την αρχή O των αξόνων και είναι παράλληλη προς την ευθεία AB. (Μονάδες 5)

ii. Αν K είναι τυχαίο σημείο της ευθείας , να αποδείξετε ότι 9KAB .

4

(Μονάδες 6)

Λύση

α) Επιλύουμε το γραμμικό σύστημα των εξισώσεων των δύο ευθειών και έχουμε:

2 10 16 0 2 10 16

: 10 2 4 0 10 2 10 16 2 4 0

2 10 16 2 10 16 2 1 10 16

12 12 12 1 1

2 2 10 16 8 14, .

1 1

Αφού για κάθε , το σύστημα έχει μοναδική λύση, συμπεραίνουμε ότι οι ευθείες

τέμνονται για κάθε τιμή του και έχουν σημείο τομής το M 1, 8 14 ,

.

Σχόλιο: Το σύστημα θα μπορούσε να λυθεί και με τη μέθοδο των οριζουσών.

β) Αρκεί να αποδείξουμε ότι για κάθε τιμή της παραμέτρου οι συντεταγμένες του

σημείου M 1, 8 14 , επαληθεύουν την εξίσωση :8 6 0.

Είναι: 8 1 8 14 6 8 8 8 14 6 0, επομένως για κάθε τιμή της

παραμέτρου το σημείο M ανήκει στην ευθεία :8 6 0.

γ) Βρίσκουμε τα σημεία τομής της με τους άξονες, , .

Για 0, από την έχουμε: 8 0 6 0 6, άρα: A 0, 6 .

Για 0, από την έχουμε: 6 3

8 0 6 0 8 6 ,8 4

άρα:

3B ,0 .

4


47

i. Είναι: AB AB

6 0 248,

3 304

οπότε η ζητούμενη εξίσωση της ευθείας

είναι: AB0 0 8 .

ii. Αφού η ευθεία ζ έχει εξίσωση 8 , το τυχαίο σημείο της είναι το

K , 8 , .

Το τρίγωνο KAB έχει κορυφές: 3K , 8 , A ,0 , B 0, 6 ,

4

οπότε:

3

AK , 8 , 4

3AB ,6 ,

4

3

83 3 18 94det AK AB 6 8 6 6 .

3 4 4 4 26

4

,

Επομένως το ζητούμενο εμβαδόν είναι:

,1 1 9 9

KAB det AK AB2 2 2 4

τετραγωνικές μονάδες.

18611

Δίνονται:

η ευθεία: : x 4y 7 0,

τα σημεία: A 2, 4 , B 2, 6 .

α. Να βρεθούν οι συντεταγμένες του σημείου M της ευθείας το οποίο ισαπέχει από

τα σημεία A,B. (Μονάδες 7)

β. Να υπολογισθεί το εμβαδόν του τριγώνου MAB. (Μονάδες 8)

γ. Nα αποδειχθεί ότι τα σημεία K x, y για τα οποία ισχύει: KAB MAB , ανήκουν

στις ευθείες 1 : x 2y 5 0 και 2 : x 2y 25 0. (Μονάδες 10)

Λύση

α. Έστω M , για το οποίο ισχύει: . Διαδοχικά ισχύουν:

2 2 2 2

4 7 0

2 4 2 6

2 2 2 2

4 7

2 4 7 4 2 4 7 6


48

2 2 2 2

4 7

9 4 4 5 4 6

2 2 2 2

4 7

81 72 16 16 8 25 40 16 36 12

4 7 4 7 3,

36 36 1 1

άρα 3, 1 .

β.

MA 2 3, 4 1 5, 5,

MB 2 3, 6 1 1, 7

οπότε:

5 5

det MA, MB 5 7 5 1 35 5 30,1 7

άρα:

1 1MAB det MA, MB 30 15

2 2


γ. Έστω K x, y για το οποίο ισχύει: KAB MAB .

Είναι: AK x 2 , y 4 x 2, y 4 ,

BK x 2, y 6 .

x 2 y 4

det AK, BK x 2 y 6 y 4 x 2x 2 y 6

xy 6x 2y 12 yx 2y 4x 8 2x 4y 20 : 2 .

Ισχύει:

KAB MAB

KAB 15

21

det AK, BK =152

1

2x 4y 20 =152

2x 4y 20 30

2x 4y 20 30 ή 2x 4y 20 30

2x 4y 50 0 ή 2x 4y 10 0

x 2y 25 0 ή x 2y 5 0.

Άρα, τα σημεία K x, y για τα οποία ισχύει: KAB MAB , ανήκουν στις

ευθείες: 1 : x 2y 5 0, 2 : x 2y 25 0.


49

18613

Δίνεται η εξίσωση: 2 2 2x y 2xy 3 x 3 y 2 0, με 0.

Α) Να αποδείξετε ότι η παραπάνω εξίσωση παριστάνει στο επίπεδο δύο ευθείες παράλληλες μεταξύ τους, καθεμιά από τις οποίες έχει κλίση ίση με 1. (Μονάδες 12)

Β) Αν το εμβαδό του τετραγώνου του οποίου οι δύο πλευρές βρίσκονται πάνω στις δύο

ευθείες του ερωτήματος A είναι ίσο με 2, να βρείτε την τιμή του λ. (Μονάδες 13)

Λύση

Α) Διαδοχικά έχουμε: 2 2x y 2xy 3 x 3 y 0

2 2 2y 3 2x y x 3 x 2 0 : E .

Η E είναι της μορφής: 2y y 0, με 1, 2 ,3 x 2 22 ,x 3 x ,x , 0, οπότε έχει:

Διακρίνουσα: 2 2 23 2x 4 1 x 3 x 2

02 2 2 2 29 12 x 4x 4x 12 x 8 0.

Λύσεις:

2

2x 3 2x 2x2 23 2x

y ή ή ή .2 1

2x 3 2x 4 x 2

2 2

Άρα η αρχική εξίσωση, 2 2x y 2xy 3 x 3 y 0, παριστάνει στο επίπεδο τις

ευθείες:

1

2

: y x ,,

: y x 2 ,

που η κάθε μία έχει κλίση: 1 2 1, επομένως

είναι παράλληλες.

Β) Επειδή οι πλευρές του τετραγώνου βρίσκονται πάνω στις παράλληλες ευθείες 1

και 2 , το μήκος , κάθε πλευράς του θα ισούται με την απόσταση των δύο

ευθειών, οπότε: 1 2 2 2

| 2 | | 2 | | |d , .

2 21 1

Το εμβαδόν του τετραγώνου ισούται με 2, επομένως έχουμε: 2 2

2 2| |2 2 2 2 4 2 ή 2.

22


50

18614

Δίνονται οι ευθείες 1 ε : 3χ ψ 3 0 και 2ε : χ 2ψ 4 0.

α) Να βρείτε τις συντεταγμένες του σημείου τομής Α των ευθειών ε και ε . (Μονάδες 5)

β) Αν η ευθεία ε τέμνει τον άξονα y′y στο σημείο B και η ευθεία ( ε τέμνει τον άξονα x′x στο σημείο Γ, τότε:

i. Να βρείτε την εξίσωση της ευθείας που διέρχεται από τα σημείαB και Γ.

(Μονάδες 5)

ii. Να βρείτε το εμβαδόν του τριγώνουΑΒΓ. (Μονάδες 5)

iii. Να αποδείξετε ότι τα σημεία Κ χ,ψ για τα οποία ισχύει ΚΒΓ ΑΒΓ ανήκουν σε δυο ευθείες, των οποίων να βρείτε τις εξισώσεις. (Μονάδες 10)

Λύση

α) Επιλύουμε το σύστημα των εξισώσεων των δύο ευθειών και έχουμε:

3 3 0 3 3 3 3

:2 4 0 2 4 3 6 12

3 3 3 3 3 3 3 3 6

3 3 6 12 3 5 12 3 3

2,

3

οπότε το ζητούμενο σημείο τομής είναι: Α 2,3 .

β) Η ευθεία 1 ε : 3χ ψ 3 0 για 0 μας δίνει: 3 0 3, άρα τέμνει τον

άξονα ψ ψ στο σημείο B 0, 3 .

Η ευθεία 2ε : χ 2ψ 4 0 για 0 μας δίνει: 4 0 4, άρα τέμνει τον

άξονα χ χ στο σημείο Γ 4,0 .

i. Είναι

ΒΓ ΒΓ

0 3 3λ λ

4 0 4

και η εξίσωση της ΒΓ είναι:

3 3ΒΓ : ψ 0 χ 4 ψ χ 3

4.

4

ii. Από τα σημεία Α 2,3 , Β 0, 3 και Γ 4,0 έχουμε τα διανύσματα:

ΒΑ 2,6 , ΒΓ 4,3 .

Το ζητούμενο εμβαδόν είναι:

2 61 1ΑΒΓ det BA,ΒΓ 15

4 32 2


γ) Όμοια με το προηγούμενο ερώτημα υπολογίζουμε το εμβαδόν του τριγώνου ΚΒΓ


51

όπου Κ χ, ψ .

Από τα σημείαΚ χ, ψ ,Β 0, 3 και Γ 4,0 δημιουργούμε τα διανύσματα:

ΒΚ χ, ψ 3 , ΒΓ 4,3 και υπολογίζουμε:

ΚΒΓ det BK , ΒΓ χ ψ 34 3

|3χ 4ψ 12|.

Είναι:

ΚΒΓ ΑΒΓ ⇒ |3χ 4ψ 12| 30 ⇒

3χ 4ψ 42 0 ή 3χ 4ψ 18 0.

Είναι προφανές ότι οι δυο προηγούμενες εξισώσεις περιγράφουν παράλληλες ευθείες

που έχουν συντελεστή διεύθυνσης: 3

λ .4

18615

Θεωρούμε ευθύγραμμο τμήμα ΑΒ που είναι παράλληλο προς την ευθεία : , με

Α(χ1,ψ1), Β(χ2,ψ2) και χ1<χ2.

Αν το σημείο Μ(3,5) είναι το μέσο του ευθυγράμμου τμήματος ΑΒ και το γινόμενο των τετμημένων των σημείων Α και Β ισούται με 5, τότε:

α) Να υπολογίσετε τις συντεταγμένες των σημείων Α και Β. (Μονάδες 13)

β) Να αποδείξετε ότι (ΟΑΒ) = 4 , όπου Ο είναι η αρχή των αξόνων. (Μονάδες 5)

γ) Να αποδείξετε ότι τα σημεία Κ (χ, ψ) για τα οποία ισχύει (ΚΑΒ) = 2(ΟΑΒ) ανήκουν στις ευθείες με εξισώσεις τις: χ −ψ−2 = 0 και χ −ψ+ 6 = 0. (Μονάδες 7)

Λύση

α) Εφόσον το Μ είναι το μέσο του ΑΒ ισχύει ότι:

1 2 1 2Μ

1 2

1 2 1 2 1 2M

χ + χ χ + χχ = 3 = χ + χ = 62 2 .

y + y y + y y + y = 10y = 5 =

2 2

Επίσης ισχύει 1 2χ .χ = 5, άρα οι τετμημένες των Α και Β είναι οι ρίζες της εξίσωσης 2χ - 6χ + 5 = 0 και επειδή 1 2 1 2χ < χ έχουμε ότι χ = 1 και χ, = 5.

Ακόμα έχουμε: ελ =1, 2 1 2 1 2 1ΑΒ

2 1

y - y y - y y - yλ = = = .

χ - χ 5 -1 4

Είναι: / / 2 1

ΑΒ 2 1ε

y - yλ = λ =1 y - y = 4.

4

Επιλύουμε το σύστημα :

2 1 2 1 1 2 2 2 2

1 2 1 2 1 2 1 1

y - y = 4 y - y y + y = 4 +10 2y =14 y = 7 y = 7 .

y + y =10 y + y =10 y 10- y y

+

= =10 - 7 y = 3


52

Άρα τα σημεία είναι τα Α(1,3 ) και Β(5,7).

β) Ισχύει ότι ΟΑ = 1,3 και ΟΒ= 5,7 .

Είναι: 1 3det OA,OB 7 15 8.

5 7

Άρα για το εμβαδόν του τριγώνου έχουμε:

1 1OAB det OA,OB 8 4 τ.μ.

2 2

γ) Έστω , , .( ,) Είναι: ΑΒ = 5-1,7 - 3 = 4,4 και ΑΚ = χ -1, y - 3 .

Aπό την υπόθεση έχουμε

(ΚΑΒ) = 2 (ΟΑΒ) δηλαδή (ΚΑΒ)=8.

Οπότε 4 41 18 det AB,AK 8 | | 8

χ -1 y - 32 2

y - χ - 2 = 4

4 y - 3 - 4 χ -1 16 y - 3 - χ +1 4 ή

y - χ - 2 = -4

χ - y + 6 = 0

ή

χ - y - 2 = 0

.

Άρα τα σημεία , , ,( ,) για τα οποία ισχύει (ΚΑΒ) = 2(ΟΑΒ) ανήκουν

στις ευθείες με εξισώσεις τις: χ −ψ−2 = 0 και χ −ψ+ 6 = 0.

18620

Δίνονται οι ευθείες 1 2 1 x y 0: 5 , 22 : ( )3 x y 15 0 με και

το σημείο 2, 1 .

α) Να αποδείξετε ότι, για κάθε τιμή του , οι ευθείες τέμνονται. (Μονάδες 7)

β) Αν οι ευθείες τέμνονται στο σημείοA, να βρείτε την τιμή του . (Μονάδες 10)

γ) Έστω 2 και , τα σημεία που οι 1 και 2 τέμνουν τον άξονα y ' y. Να βρείτε

το εμβαδόν του τριγώνου . (Μονάδες 8)

Λύση

α) Για να τέμνονται οι ευθείες, αρκεί να δείξουμε ότι το σύστημά τους

2

2 1 x y 5

3 x y 15:

( )

έχει λύση για κάθε λŒ, δηλαδή αρκεί να δείξουμε ότι για

την ορίζουσα του συστήματος D, ισχύει D 0.

Είναι:

2 22

2 1 1D (2 1) ( 3) 2 2

3 1

2 2 2( 2 2) ( 2 1 1) 1 1 0.


53

Επομένως D 0, άρα για κάθε τιμή του , οι ευθείες 1 και 2 τέμνονται.

β) Το Α είναι το σημείο τομής των ευθειών 1 , 2 αν και μόνο αν οι συντεταγμένες του

επαληθεύουν τις εξισώσεις των 1 , 2 .

(2 1)2 1 5 0 4 8 2. 1ε

2 2 22 ( 3)2 1 15 0 2( 3) 14 3 7 ε

2

2

4 ή .

2

Δεκτή είναι η κοινή λύση άρα 2.

γ) Για 2 έχουμε:

1

2

:3x y 5 0

:7x y 15 0

H 1 τέμνει τον y ' y στο 0,( .y )

Έχουμε: 1 B 5,0 5 y y 0 άρα B 0,5 .

H 2 τέμνει τον y ' y στο 0,( .y )

Έχουμε: 2 0 y 15 0 y 15, άρα 0, 5 .1

Είναι:

B Bx x , y y 0 2,5 1 2,6 ,

x x , y y 0 2, 15 1 2, 14 ,

2 6

det( , ) 2 14 2 6 28 12 40.2 14

Επομένως έχουμε: 1 1 1

( ) det( , ) 40 40 20 . .2 2 2

18622

Δίνονται τα σημεία 3

A 1 , ,2

B 2, 1 και 4

, ,2

όπου .

α) Να βρείτε τις συντεταγμένες των διανυσμάτων ΑΒκαιΒΓ. (Μονάδες 8)

β) Να αποδείξετε ότι για κάθε , το σημείο Γ ανήκει στην ευθεία που διέρχεται από τα σημεία Α και Β. (Μονάδες 8)

γ) Να βρείτε την τιμή του μ έτσι, ώστε μΒΓ ΑΒ. (Μονάδες 6)

δ) Για την τιμή του μ που βρήκατε στο ερώτημα γ), να αποδείξετε ότι (ΟΒΓ ) =1, όπου O είναι η αρχή των αξόνων. (Μονάδες 3)

Λύση


54

α) Για το διάνυσμα

έχουμε B A

3 1( ,y y ) (2 1, 1 ) (1, ).

2 2

Για το διάνυσμα

έχουμε 4 2

( ,y y ) ( 2, 1) ( 2, ).2 2

β) Παρατηρώ ότι για κάθε , είναι:

11

2 22det( , ) 0.2 2 2

22

Άρα ΑΒ//ΒΓ και επειδή τα διανύσματα ΑΒ, ΒΓ,

έχουν κοινό άκρο το σημείο Β, τα σημεία Α,Β,Γ είναι συνευθειακά.

Άρα για κάθε το σημείο Γ ανήκει στην ευθεία που διέρχεται από τα σημεία Α και Β.

γ) Έχουμε:

2

22 1 2 1( 2, ) 1, ( 2 , ) ( 1, )

2 2 2 2

22

2 222

2 12 1 0

2 1 0 ( 1) 02 1 2 1 02 2

1 0 1.

δ) Είναι (2, 1)

και 4

,2

. Για μ=1 είναι

31, .

2

Άρα: 2 1

1 1 1 1 2det , 3 1 2 1 . .3

2 2 2 2 212

18623

Δίνονται τα σημεία Α(3,4), Β(5,7) και Γ(2μ+1 , 3μ-2) όπου μ ∈

α) Να βρείτε τις συντεταγμένες των διανυσμάτων ΑΒ και ΑΓ και, στη συνέχεια, να αποδείξετε ότι τα σημεία Α, Β και Γ δεν είναι συνευθειακά για κάθε τιμή του μ.

(Μονάδες 8)

β) Να αποδείξετε ότι:

i) το εμβαδόν του τριγώνου ΑΒΓ δεν εξαρτάται από το μ. (Μονάδες 5)

ii) για κάθε τιμή του μ το σημείο Γ ανήκει σε ευθεία (ε) , της οποίας να βρείτε την εξίσωση. (Μονάδες 7)

γ) Να ερμηνεύσετε γεωμετρικά γιατί το εμβαδόν του τριγώνου ΑΒΓ παραμένει σταθερό, ανεξάρτητα από την τιμή του μ; (Μονάδες 5)


55

Λύση

α) ΑΒ χΒ χΑ, y y 2,3 και ΑΓ χΓ χΑ, yΓ y 2μ 2,3μ 6

Είναι: det AB ,ΑΓ2 3

2μ 2 3μ 6 2 3μ 6 3 2μ 2

6μ 12 6μ 6 6, άρα det AB ,ΑΓ 0, οπότε τα Α, Β, Γ δεν είναι

συνευθειακά σημεία.

β) i) Ισχύει : ΑΒΓ det AB ,ΑΓ , όμως από το (α) ερώτημα έχουμε

det AB ,ΑΓ 6, άρα ΑΒΓ | 6| 3 τ.μ.

ii) Έστω Γ(x,y) άρα ισχύει:

x = 2μ+1 : 1 και y = 3μ-2 : 2 .

x 1

1 2μ x 1 μ ,2

αντικαθιστώντας το μ στην 2 προκύπτει:

χ 1y 3 2 2y 3x 3 4 3x 2y 7 0.

2

Άρα για κάθε τιμή του μ το Γ ανήκει στην ευθεία (ε)∶ 3x 2y 7 0.

γ) Είναι: εΑΒ

3 3λ και λ

2 2 , άρα ΑΒ ∥ ε .

Επειδή το Γ κινείται σε μια ευθεία παράλληλη προς την πλευρά ΑΒ, το ύψος του τριγώνου ΑΒΓ από τη κορυφή Γ παραμένει σταθερό. Το μήκος της βάσης ΑΒ είναι κι αυτό ανεξάρτητο του μ, άρα το εμβαδό του τριγώνου ΑΒΓ είναι σταθερό.

Education

Trap math kat_b_full