TÜREV KAVRAMI

TÜREV ALMA KURALLARI

TÜREVİN GEOMETRİK YORUMU

TÜREVİN FİZİKSEL YORUMU

BİLEŞKE FONKSİYONUN TÜREVİ

TRİGONOMETRİK FONKSİYONLARIN TÜREVİ

ÖZEL TANIMLI FONKSİYONLARIN TÜREVİ

KAPALI FONKSİYONLARIN TÜREVİ

RASYONEL ÜSLÜ FONKSİYONLARIN TÜREVİ

TERS FONKSİYONLARIN TÜREVİ

TERS TRİGONOMETRİK FONKSİYONLARIN TÜREVİ

LOGARİTMA FONKSİYONLARIN TÜREVİ

ÜSTEL FONKSİYONLARIN TÜREVİ

YÜKSEK MERTEBEDEN TÜREVLER

DİFERANSİYEL KAVRAMI

ARTAN VE AZALAN FONKSİYONLAR

EXTREMUM NOKTALAR VE EXTREMUM DEĞERLER

İKİNCİ TÜREVİN YEREL EXTREMUM NOKTALARIYLA İLŞKİSİ

İKİNCİ TÜREVİN GEOMETRİK ANLAMI

L’’HOSPİTAL KURALI

FONKSİYONLARIN GRAFİKLERİ

TÜREV KAVRAMITANIM: f : A R , y=f(x) fonksiyonu ve a ∈ A da sürekli olmak üzere

limiti bir reel sayı ise bu değere f fonksiyonunun

x=a noktasındaki türevi denir. f’(a) veya sembolleri ile gösterilir.

h > 0 olmak üzere, x=a+h ise x - a =h dır.

= olur.

ax

afxf

ax −−

→

)()(lim

)(adx

df

0)( →−⇔→ axax0→⇔ h

ax

afxf

ax −−

→

)()(lim

h

afhaf

h

)()(lim

0

−+→

ÖRNEK: f: R R , f(x)=x2 fonksiyonunun x=2 noktasındaki türevini bulalım.

ÇÖZÜM= f(x)=x2 fonksiyonu x=2 de süreklidir

→

2

)2()(lim)2( 2 −

−=′ → x

fxff x

42

)2)(2(lim

2

4lim)2( 2

2

2 =−

+−=−−=′ →→ x

xx

x

xf xx

SOLDAN SAĞDAN TÜREV

TANIM:

1. Limitinin bir reel sayıdeğeri varsa

bu değere f fonksiyonunun a noktasındaki soldan türevi denir ve f’(a-) şeklinde gösterilir.

2. Limitinin bir reel sayı değeri

varsa bu değere f fonksiyonu, a noktasındaki sağdan türevi denir ve f’(a+) şeklinde gösterilir.

AaRA ∈⊂ ,

ax

afxfax

−−

→)()(

lim _

ax

afxfax

−−+

→)()(

lim

f’(a-)= f’(a+) ise , f fonksiyonu a noktasında türevlidir. Bu durumda f’(a-) = f’(a+) = f’(a) dır.

f’(a-) f’(a+) ise fonksiyonun a noktasında türev yoktur.

ÖRNEK: f: R R , f(x)= a)f’(2-)=?

b)f’(2+)=?

ÇÖZÜM: f(2) = 6 olduğundan fonksiyon x=2 de süreklidir.

a ) = = = 4

b) = =

≠

+

≥−

isexx

isexx

2,2

2,242 <

2

)2()(lim 2

−−−

→x

fxfx

2

4lim

2

2−−−

→x

xx )2(lim 2 +→ xx

2

)2()(lim 2

−−+

→x

fxfx 2

84lim 2

−−+

→x

xx 44lim =

TÜREVİN SÜREKLİLİKLE İLİŞKİSİ

Teorem: olmak üzere; fonksiyonu a

noktasında türevli ise bu noktada süreklidir.

1. y=f(x) a A , da türevli ise x=a da süreklidir.2.f '(a) =f(a) ve f(x) x=a da sürekli olmalıdır ki f(x) , x =a da türevli olsun3.Bir fonksiyonun kritik noktalarında türevi araştırılırken bu noktalarda süreksiz ise türevsizdir. Sürekliyse sağdan ve soldan türevlerini eşitliğine bakılır.

AaRA ∈⊂ , RAf →:

Örnek: hangi noktalarda türevsizdir?

Çözüm: f fonksiyonu paydanın 0 olduğu noktalarda tanımsız dolayısıyla süreksizdir.

x=-1 ve x=2 noktalarında

süreksiz dolayısıyla türevsizdir.

22

2)(

2

2

−−−=

x

xxf

22

2)(

2

2

−−−=

x

xxf

BİR ARALIKTA TÜREVLENEBİLMETANIM: a,b olmak üzere fonksiyonunun (a,b) aralığının her noktasında türev varsa f fonksiyonu (a,b) aralığında türevlidir. olmak üzere

fonksiyonu A tanım kümesinin her noktasında türevli ise f fonksiyonu tanımlı kümesinde türevlidir.

∈ Rbaf →),(:R A⊂

RAf →:

TÜREV ALMA KURALLARI1) f(x)= c f’(x) = 0

2) f(x) = xn f’(x) = n . xn-1

3) (c . f (x) )’ = c . f’(x)

4)

5)

6)

[ ] )()()()( xgxfxgxf ′+′=′+

[ ] )().()().()().( xfxgxgxfxgxf ′+′=′

[ ]2)()().()().(

)(

)(

xg

xfxgxgxf

xg

xf ′−′=

′

TÜREVİN GEOMETRİK YORUMU

teğetkesen

Y=f(x)

α

F(a+h)

F(a)

a a+h

=−+−+aha

afhaf

)(

)()(

h

afhaf )()( −+=AC

BCmAB=tan = α

AB kirişinin eğimi h 0 için AT teğetinin eğimine eşit olacağından→

=−+−+aha

afhaf

)(

)()(0lim →hmAT = )(' af

O halde y= f(x) fonksiyonunun grafiğini x=a noktasındaki teğetinin eğimi f fonksiyonunun x=a noktasındaki türevine eşittir. B noktası, B(a-h , f(a-h)) şeklinde alınarak da yukarıdaki yorum yapılabilir.

TEĞET VE NORMAL DENKLEMLERİ

.f(a)

y

xa

n

t

Y=f(x)

A (a, f(a)) noktasından çizilen teğet denkleminibulmak için önce eğim bulunur. Fonksiyonun bunoktadaki türevi eğimi vereceğindeny-f(a) =f'(a) . (x- a) teğet denklemi bulunur.

1m.m nt −=)a('f

1

m

1m

tn −=−=

A noktasındaki normal denklemi ise şöyle olur:

)a('f

1)a(fy −=− . (x-a)

Örnek: f(x) -x2 +2x -3 parabolünün x=3 apsisli noktasındaki teğetinin ve normalinin denklemini bulalım.

Çözüm: x=3, y=-6 olur. f '(x)= -2x +2 olduğundan

teğetin eğimi: mı =f'(3)=-2 . 3+2 =-4

normalin eğimi : mn =

teğet denklemi: y-(6)=-4(x-3) y=-4x +6

normal denklemi : y-(6)=1/4(x-3) y=x/4- 27/4

4

1

)3('

11 =−=−fmt

TRİGONOMETRİK FONKSİYONLARIN TÜREVİ

f(x) =sinx , f'(u)=cosu . (u')f(x) =cosx , f'(u) = -sinu . (u')f(x) =tan u , f'(u)=u’ / cos 2u = u' . Sec 2u =u ' . (tan 2u +1)f(x) =cot u , f'(u)= -u’ / sin 2u = -u' . Cosec 2u = -u ' . (cot 2u +1)

ÖZEL TANIMLI FONKSİYONLARIN TÜREVİMUTLAK DEĞER FONKSİYONUNUN TÜREVİ g(x), g(x)>0

y=|g(x)|= 0 , g(x)=0 -g(x) , g(x)<0

g'(x) , g(x)>0 y'= araştırılır , g(x)=0 -g'(x) , g(x)<0

{{

ÖRNEK:|x2-9| x=3 deki türevi nedir?

ÇÖZÜM: -3 +3 + | - | + x2-9 | 9-x2 | x2 -9 türevi 2x | -2x | 2x

x= 3 de sürekli f'(3) =6 f'(3)=-6 türevsiz.Kritik noktayı araştıdık ve sağdan türevinin soldan türevine eşit olmadığını dolayısıyla x=3 de tüğrevsiz olduğunu gördük.

TAM KISIM FONKSİYONUN TÜREVİ

f: A R y=||f(x)|| fonksiyonu için ;sürekli olduğu noktalarda sonucu sayı çıktığından türevi 0 dır.Süreksiz olduğu noktalarda ise türevsizdir.

ÖRNEK: f(x)=||x/ 2 -3|| fonksiyonunda f '(1) değerini bulalım.

ÇÖZÜM: x=1 için tamdeğerin içi -5/2 çıkar. Bu da dışarı -3 olarak çıkar. Bu da bir tamsayı olduğu için türevi 0 dır. Yani f '(1)=0 olur. Eğer sonuç tamsayı çıksaydı. Türevsiz olurdu, çünkü sağdan ve soldan türevleri birbirine eşit olmazdı.

İŞARET FONKSİYONUNUN TÜREVİf: A R , y=sgn (f(x) )fonksiyonunda içini 0 yapan değerler türevsizdir. (soldan (+) sağdan (-) çıkar.) diğer durumlarda tamsayı çıkacağından türevin sonucu 0 olur.

ÖRNEK: f(x)=sgn ( x2-x-6) fonksiyonunun türevsiz olduğu değerleri bulun.

ÇÖZÜM: Türevsiz olduğu noktalar içini 0 yapan değerler olduğu için, içinin kökleri bulunur.

(x2-x-6)=(x-3)(x+2) , olduğundan cevap : x1=3 , x2=-2 dir.

→

KAPALI FONKSİYONLARIN TÜREVİ

TANIM:x ve y değişken olmak üzere F(x,y)=0 denklemiyle verilen bağıntılara kapalı fonksiyon denir.

1. YÖNTEM: örnek olarak F(x,y)=x2+y2-2x-24=0 ise dy/dx=?

2x+2y(dy / dx)-2-0=0 Buradan y'= bulunur.

II.YÖNTEM: y'= förmülü ile soınuca gidilir.

ÖRNEK: 3xy-x+y-5=0 ise dy/dx=?

ÇÖZÜM:

y

x

y

x

dx

dy −=+−= 1

2

22

),('

),('

yxF

yxF

dx

dy

y

x−=

),('

),('

yxF

yxF

dx

dy

y

x−=

13

31

+−−=x

y

RASYONEL ÜSLÜ FONKSİYONLARIN TÜREVİ

TEOREM: x R ve n N+ olmak üzere y=

fonksiyonunun türevi

PARAMETRİK FONKSİYONLARIN TÜREVİy=f(x) fonksiyonunda x ve y değişkenleri t R olmak üzere t parametresine bağlı olarak x=h(t) biçiminde tanımlanırsa y=g(t) bu fonksiyona parametrik fonksiyon denir.

∈ ∈ nx1

111

'−

= nxn

y

)('

)('.

th

tg

dx

dt

dt

dy

dx

dy ==

ÖRNEK: x=t-2 parametrik fonlksiyonu veriliyor. y'=? y=t2 -t +3

ÇÖZÜM

x=t-2 ise t=x+2 olur ve y'=2(x+2) -1 =2x+3 olur.

}

121

12' −=−=== t

t

dtdxdtdy

dx

dyy

TERS FONKSİYONUN TÜREVİ

KURAL:f’(x) 0 ise

ÖRNEK: f(x)=x3-1 , (f-1)’(-9)=?

ÇÖZÜM: y=-9 , x=-2

≠))(('

1

)('

11 yffxf −=

12

1

3

1

)2('

12

==− xf

TERS TRİGONOMETRİK FONKSİYONLARIN TÜREVİ

1.(arcsinu)'=

2.(arccosu)'=

3.(arctanu)'=

4.(arccotu)'=

21

'

u

u

−

21

'

u

u

−−

21

'

u

u

+

21

'

u

u

+−

LOGARİTMA FONKSİYONUNUN TÜREVİ

1.f(u)=logau , f’(u) logae

2.f(u)=ınu , f’(u)

u

u'=

u

u'=

ÜSTEL FONKSİYONUN TÜREVİ

1.f(x)=au , f’(x)=au . u’ . lna

2.f(x)=eu , f’(x)=eu . u’

LOGARİTMİK TÜREV ALMA y=xx ıny=ınxx

ıny= x . Inx

y’= (lnx+1).y y’= (lnx+1).xx

xx

xy

y.1

ln' +=

YÜKSEK MERTEBEDEN TÜREVLER

y=x -x+4y'=2x-1 (1.Mertebeden türev)y''=2 (2.Mertebeden türev)y'''=0 (3.Mertebeden türev)

n

n

n

nnn

dx

fd

dx

ydxfy === )()()( Fonksiyonunun n.

Mertebeden türevi

DİFERANSİYEL KAVRAMI

TEOREM: A R , f: A R , y=f(x) fonksiyonu A da türevlenebilen bir fonksiyon olsun. X deki değişimi x buna karşılık gelen y deki değişimi y ile gösterelim. X in diferansiyeli dx= x olmak üzere y nin diferansiyeli

dy= f’(x).dx

⊂∆

∆∆

ARTAN VE AZALAN FONKSİYONLAR

a a ab b b

azalan artan sabit

f(a,b) fonksiyonu sürekli ve türevli ise

f’(x)>0 f(x) , (a,b) aralığında artandır.

f’(x)<0 f(x) , (a,b) aralığında azalandır.

f’(x)=0 f(x) , (a,b) aralığında sabit fonksiyondur.

⇔

⇔

⇔

⇔

ÖRNEK f(x)=x3-9x2+24x-7 fonksiyonunun artan veya azalan olup olmadığını inceleyelim.

ÇÖZÜM:f’(x)=3x2-18x+24 f’(x)=0 , x1=2 x2=4

x - 2 4

f’(x) + - +

f(x) f(2) f(4)

artan azalan artan

∞

∞ ∞

EXTREMUM NOKTALAR VE EXTREMUM DEĞERLERMutlak Extremum Noktası ve Değeri

TANIM(a,b) aralığında f(b) f(x) ise f(b) mutlak maximum veya en büyük değerdir.

(a,b) aralığında f(b) f(x) ise f(b) mutlak minumum veya en küçük değerdir.

)('

)('lim

)(

)(lim

1lim

0

0

)1(1

11..

lim 11 xg

xf

xg

xf

ınx

ınx

xx

ınx

xxınxx

axaxxx →→→→ =⇒−+

==−+

−+

≥

≤

a c b

a,c mutlak min

b, mutlak max

YEREL EXT NOKTASI VE DEĞERİ

Yerel min

Yerel max

Yerel min

Yerel max

Mutlak max

Yerel min

Mutlak min

Şekilde görüldüğü gibi artandan azalana geçen noktalar yerel max veya min dir

EXT NOKTASI İLE TÜREVİN İLİŞKİSİTANIM: Yerel ext noktalarında f’(x)=0 dır.fakat türevi 0 olan her nokta ext noktası değildir;olması için f’(x) in işaret değiştirmesi(artandan azalana geçmesi) gerekir. Fonksiyonun türevinin 0 olduğu veya türevinin olmadığı noktalara kritik noktalar denir. Yerel ext değerleri k.n.ların içindedir.

∞

∞ ∞X 0 1

f’(x) - - +

f(x)

Yerel min

TÜREVİN EXT İLE İLİŞKİSİ

İKİNCİ TÜREVİN GEOMETRİK ANLAMI

DÖNÜM (BÜKÜM) NOKTASI

KONVEKS KONKAV

(DIŞBÜKEY) (İÇBÜKEY)

f’’(x)=0 ın dönüm noktası olması için

Konveks

konkav

Geçiş

Max (f’)

min (f’)

d.n

MAX MİN PROBLEMLERİProblemin denklemi kurulur.türevi 0 a eşitlenir. Çıkan kök f(x) de yerine konulur. İstenilen değer bulunur.

Örnek: 3X +6 MAX ALAN?

6-X

ÇÖZÜM:A(x)=(3x +6 ) (6-x) A’(x)=12-6x

A(x)=18x+36-3x2-6x x=2

A(2)=48

L’ HOSPİTAL KURALI

0. Veya - belirsizlikleri veya a çevrilir.

Örnek :

)('

)('lim

)(

)(lim

0

0.0)().(lim

xg

xf

xg

xfveyaxgxf axaxax →→→ =⇒

∞∞==∞=

∞ ∞ ∞0

0

∞∞

41

2lim 2 =→

xx 4

1

2lim 2 =→

xx

0. BELİRSİZLİĞİ

veya a çevrilir.

∞∞=→ .0)().(lim xgxfax ∞

∞0

0

Örnek :

2

5

/1

2/5sinlim)

2

5sin(.lim == ∞→∞→ x

x

xx xx

∞ ∞ - BELİRSİZLİĞİ

veya a çevrilir.∞∞

0

0

0

0

)1(

1.lim

1

1lim 11 =

−

+−=

−

− →→ ınxx

xınxx

ınxx

xxxÖrnek :

2

1

/1/1

/1lim

0

01

1lim

0

0

)1(1

11..

lim2111 =

+⇒=

−+⇒=

−+

−+→→→ xx

x

xınx

ınx

xx

ınx

xxınxx

xxx

FONKSİYONLARIN GRAFİKLERİ

Bir fonksiyonunun grafiği, bir doğru veya eğridir. Bir fonksiyonun grafiği, fonksiyonun kuralını sağlayan bütün noktaların koordinat düzlemine işaretlenmesiyle elde edilir. Fakat bir fonksiyon sonsuz çoklukta noktadan oluşabilir. Bu sonsuz boşluktaki noktanın koordinat düzleminde işaretlenmesi mümkün değildir. Bu nedenle eğrinin karakterini belirten bazı özel noktalarını ve bazı özelliklerini bulursak, bunlardan faydalanarak eğriyi aslına uygun bir biçimde çizebiliriz.. Grafiğe ait özel noktalar; grafiğin eksenleri kestiği noktalar, ekstremum noktaları ve dönüm noktalarıdır. Grafiiğn karakterini belirleyen özellikler ise; artan ya da azalan olması, çukurluğun yönü, sonsuza uzanabilen kolunun bir doğru ya da eğriye asimptot olmasıdır.

2

43)(

−−=

x

xxf

Örnek: fonksiyonunun düşey asimptotunun x=2 doğrusu olduğunu

gösterelim.

Çözüm: −∞==−−

−→ 0

2

2

43lim 2 x

xx

Düşey Asimptot

Tanım: y=f(x) fonksiyonunun x=a noktasındaki soldan ya da sağdan limitlerinde en az biri + ya da - ise , x=a doğrusuna, y=f(x) fonksiyonunun bir düşey asimptotudur.

∞ ∞

HP

y=f(x)

x

y

a

Yatay Asimptot

Tanım: y=f(x) fonksiyonu için veya ise

y=b doğrusuna, y=f(x) fonksiyonunun yatay asimptotu denir.

bxfx =−∞→ )(lim bxfx =+∞→ )(lim

y=f(x)

b

x

y

P

H

Örnek: fonksiyonunun yatay asimptotunun y=3 doğrusu olduğunu

gösterelim.

Çözüm: veya olduğundan,

y=3 doğrusu yatay asimptottur.

1

23

+−=x

xy

31

23lim =

+−=−∞→ x

xx 3

1

23lim =

+−=+∞→ x

xx

Eğik ve Eğri Asimptot

Tanım: y=f(x) eğrisi ve y=g(x) doğrusu verilsin. Veya

ise, y=g(x) doğrusuna, eğrinin eğik asimptotu denir.( )[ ] 0)(lim =−+ ∞→ xgxfx

( )[ ] 0)(lim =−− ∞→ xgxfx

)(xgy =

) (x f y=)(xgy =

) (x f y=

Eğer, y=g(x) in grafiği bir eğri ise; buna, eğrinin eğri asimptotu denir.

)(

)()(

xQ

xPxfy == biçiminde rasyonel fonksiyon verilsin. (P(x) ve Q(x) polinom

fonksiyonudur.)

1. Payın derecesi paydanın derecesinden 1 fazla ise; y=f(x)=mx+n+

biçiminde yazılabilir. Bu durumda,

olacağından, y=mx+n doğrusu fonksiyonun eğik asimptotu olur.

2. Payın derecesi paydanın derecesinden 2 fazla ise;

der[K(x)]<der[Q(x)] şeklinde yazılabilir.

Olacağından, y=a + bx+c fonksiyonunun grafiği eğri asimptotu olur.

O halde, eğik veya eğri asimptotları bulmak için; pay, paydaya bölünür ve bölüm O halde, eğik veya eğri asimptotları bulmak için; pay, paydaya bölünür ve bölüm asimptot denklemi olarak alınır.asimptot denklemi olarak alınır.

)(xQ

C

( )[ ] 0)(

lim)(lim ==+− ∞→−∞→ xQ

Cnmxxf xx

( ))(

)(2

xQ

xKcbxaxxf +++=

( ) ( )[ ] 0)(

)(limlim 2 ==++− ∞→∞→ xQ

xKcbxaxxf xx 2x

POLİNOM FONKSİYONLARIN GRAFİKLERİ

1. f(x)=x3-12x ‘i inceleyelim.2. Tanm kümesi: R

3.

4.x=0, y=0 y=0, x1= x2= -

5.f’’(x)=6x, (0,0) d.n

32 +∞=+∞→ )(lim xfx32 32

x - - -2 0 2

f’(x) + + - - + + +

f’’(x) - - - + + + +

f(x)

32 32 ∞∞

Pol. Fonk. Larda

asimptot yoktur.per

iyodik değildir.

≥

++−==+−

−= )2

()0342

42' 22 a

bxavey

xx

xy

3− 3

2

0

-2

-1 1

RASYONEL FONKSİYONLARIN GRAFİKLERİDÜŞEY ASİMTOTLARI VARDIR, YATAY ASİMPTOT

OLMAYABİLİR.PERİYODİK DEĞİLDİR.

1. f(x)=

2. T . K. =R- (-2)

3.pay için. (D. A.) , x-2=0 x=2

4.payda için (Y. A. ) ,paydanın derecesi payın derecesinden büyük eşit olduğu için Y.A. vardır. Dereceler eşit olduğu için YA=katsayılar oranı=1 der(payda) > der(pay) olduğu durumlarda ise YA=0 olur.

5.(0,-1/2) , (-1,0)

2

1

−+x

x

x -1 0 2

f’(x) - - - -

f(x) 1 0 -1/2 ∞∞

-1 -1/22

1

İRRASYONEL FONKSİYONLARIN GRAFİĞİ

f(x)= a<0, asimptot yok

a>0 , asimptot var ve eğik

1.y=

2.y1=x-2(EA) y2=2-x(EA)

3x2-4x +3 0 T=R-(1,3)

+ - +

3.(0, ) , (1,0) . (3, 0)

4, x=2 tanım kümesinin

elemanı olmadığı için

bu noktada ext yoktur.

cbxax ++2

)2

()2

( 21 a

bxavey

a

bxay ++−=++=

342 +− xx

≥ 1 3

3

0342

42'

2=

+−−=xx

xy

X 1 2 3

Y’ - + - +

Y 0 0

1 2 3

TRİGONOMETRİK FONKSİYONLARIN GRAFİĞİ1.y=sinx+3

2.T . R. = R

3.periyodu(T)=2 olduğu için fonksiyonu (0, )aralığıda inceleyelim.

4. Asimptot yok.

5.f’(x)=cosx =0 için (x 1= , y1=4 ) (x2= ,y2=2)

6.f(0)=3 , f( 2 )=3

7. F’’(x)=-sinx=0 için DN ları (0,3) , ( ,3)

∏ ∏

2∏

∏

2

3∏

∏

X 0 /2

f’(x) + + - - + +

f’’(x)

f(x) 3 4 3 2 3

DN yer DN yerel DN

max min

∏ ∏ ∏ 3 /2 ∏ 2