Algebra vectorial

SANDRA ELISA REYES VELÁZQUEZ.

¿Cuál es una magnitud escalar?Una cantidad escalar queda descrita completamente por su magnitud, es decir por un número y una unidad de medida.

¿Cuál es una magnitud vectorial?Una cantidad vectorial requiere, para ser descrita completamente,de una magnitud, de una dirección y de un sentido, es decir, de unnúmero con su unidad de medida, de un ángulo y de su orientación.

Diferencias entre un escalar y un vector.

Escalar Vector

NOTA: Una cantidad escalar no modifica sus efectos aun que cambie de posición o forma,

mientras que en la vectorial toda alteración es importante.

Ejemplos de un Vector

UN

IDA

DES

Masa

Tiempo

Longitud

Temperatura

Densidad

Área

Volumen

Potencia

Etcétera

EJEM

PLO

20 Kg.

2 horas

10 metros

30° centígrados

2 kg/m2

50 m2

70 cm3

5 w

30 calorías

Ejemplos de un escalarU

NID

AD

ESFuerza

Velocidad

Desplazamiento

Aceleración

Etcétera

EJEM

PLO

5 N a 30 °

30 m/s al sur

30 m hacia el norte

10 m/s2 hacia el este

Vector UnitarioConcepto:

Cualquier vector distinto de cero puede dar lugar a un vector unitario umultiplicado por el reciproco de su magnitud. Los vectores unitarios apuntanen las direcciones x, y y z son convenientes para expresar los vectores enfunción de sus componentes rectangulares. Usualmente se escriben i, j y k,respectivamente.

EjerciciosEfectúa las siguientes operaciones con los vectores siguientes:

a) 5, 6, 1 Operaciones:

b) -6, 6, -1 1.- a+b+c

c) 1, -6, -7 2.-a-b

3.- axc

4.- a∙b

5.-axb

Operación 1: a+b+ca) 5i, 6j, k b) -6i, 6j, -k c) i, -6j, -7k

(5i +6j + k )+(−6i+6j −k)+(i -6j -7k )=

6j,-7k

Procedimiento:

1. Se agregan las literales i, j, k según corresponda.

2. Se agrupan los términos semejantes y se suman o restan según sea el caso.

-

Operación 2: a-b a) 5i, 6j, k b) -6i, 6j, -k

(5i, 6j, k)-(-6i, 6j, -k)=

5i+6j+k+6i-6j+k=

11i+2k

Procedimiento:

1. Se agregan las literales i, j, k según corresponda.

2. En la resta el signo negativo cambia los signos de los números que se encuentran a la derecha del signo.

3. Se agrupan los términos semejantes y se suman o restan según sea el caso.

Operación 3: axc

a) 5i, 6j, k c) i, -6j, -7k

axc Matriz

https://youtu.be/fmAhi1N-uL8 Explicación.

i j k

5 6 1

1 -6 -7

6 1 5 1 5 6

-6 -7 1 -7 1 -6i- j+ k

[ -42 - -6 ]i - [ -35 - 1 ]j + [ -30 - 6 ] k

[ -42 + 6 ]i - [ -35 -1 ]j + [ -30 -6 ] k

-36 i + 36 j -36 k

Resultado

Operación 4: a∙ba) 5i, 6j, k b) -6i, 6j, -k

Operaciones

< 5, 6, 1 >< −6, 6, −1 >

5 −6 + 6 6 + 1 −1 =

−30 + 36 − 1 = 5

Resultado

5

Operación 5: axb

i j k

5 6 1

-6 6 -1

Matriz6 1 5 1 5 6

6 -1 -6 -1 -6 6i- j+ k

Determinantes

[ -6 - 6 ]i - [ -5 - -6 ]j + [ 30 - -36 ] k

[ -6 -6 ]i - [ -5 + 6 ]j + [ 30 + 36 ] k

Operaciones

-12 i -1 j + 66 k

Resultado

a) 5i, 6j, k b) -6i, 6j, -k

https://youtu.be/fmAhi1N-uL8 Explicación

Procedimiento del Producto cruz

1.- Se hace una matriz donde de ponen los valores de i,j y k

2.- Hacen tres determinantes una por cada literal y se excluyen los valores la misma.

3.- Se hacen multiplicaciones cruzadas en cada determinante.

4.- El resultado de las flechas rojas se le resta al de las flechas azules.

5.- Se efectúan operaciones, respetando signos y términos semejantes.

i j k

5 6 1

-6 6 -1

Matriz

6 1 5 1 5 6

6 -1 -6 -1 -6 6i- j+ k

Determinantes

6 1 5 1 5 6

6 -1 -6 -1 -6 6i- j+ k

Determinantes

[ -6 - 6 ]i - [ -5 - -6 ]j + [ 30 - -36 ] k

[ -6 -6 ]i - [ -5 + 6 ]j + [ 30 + 36 ] k

Operaciones

Procedimiento del Producto Punto.1.- Se eliminan las literales i, j y k

< 5, 6, 1 >< −6, 6, −1 >

2.- Se multiplican los eficientes de i entre si, después los de j y al final las de k.5 −6 + 6 6 + 1 −1

3.- Se efectúan operaciones y suman los resultados.−30 + 36 − 1 = 5

Método gráfico.Resuelve por el método gráfico las siguientes operaciones con los vectores indicados.

Vectores. Operaciones:

a) 6,-12 1.- a+b

b) 6,-1 2.- a+b-c

c) -6, 1 3.- a-b+c

4.- -a+b+c

Vectores de forma gráfica

Operación 1: a+ba) 6,-12 b) 6,-1

Operación 2a) 6,-12 b) 6,-1 c) -6, 1

Operación 3a) 6,-12 b) 6,-1 c) -6, 1

Operación 4: a) 6,-12 b) 6,-1 c) -6, 1

Procedimiento del método gráfico1.- Se gráfica en primer vector partiendo del origen del plano cartesiano.

2.- El segundo vector de grafica partiendo de donde se termino el vector anterior y así sucesivamente, hasta graficar todos.

3.- Para terminar unimos el punto final del último vector graficado con el origen.

4.- El vector que resultará de dicha unión se conoce como resultante y es el resultado de la suma o resta que se efectua.

Problema.Determina cuales de los siguientes vectores tiene la misma dirección.

a) 6,5

b) -12, 10

c) 18, -15

d) -24,-20

Grafica

Los vectores que tienen la misma dirección son el b con el d y el a con el c.

ProblemaEl modulo del vector a es igual a 35, determina el valor de x si el vector a es igual a x, -6. Represéntalo gráficamente.

𝑥 = (35)2 − (−6)2= 1225 − 36

𝑥 = 1189

𝑥 = 34.48

Grafica