Webhelp Fisica prima superiore

1

SOLUZIONI COMMENTATE AL 50% DEI TEST E DEI PROBLEMIPROPOSTI AL TERMINE DELLE UNITÀ

1

008_risposte x WEB 6-05-2010 11:08 Pagina 1

Web HELP SOLUZIONI COMMENTATE2

TEMA 1UNITÀ 1TEST

La risposta corretta è la d.La risposta corretta è la b.Il numero 7,238 ⋅ 107 è scritto con quattro cifre significa-

tive. Per scriverlo con due sole cifre occorre considerare se laterza cifra è compresa fra 0 e 4 o fra 5 e 9. Nel primo caso siarrotonda per difetto, nel secondo per eccesso. Quindi si avrà:7,2 ⋅ 107.

1 nm = 10–9 m = 10–7 cm. La risposta corretta è la a.La risposta corretta è la b.La risposta corretta è la d.Il numero di secondi corrispondenti a 1 mese di 30 d (d è il

simbolo dell’unità di tempo giorno) si calcola considerando:1 d = 24 h1 h = 3600 sSi ha perciò:1 mese = 30 d = 30 ⋅ 24 ⋅ 3600 s = 2,592 ⋅ 106 sL’ordine di grandezza del numero ora ottenuto è espressodalla sua potenza 106 e quindi la risposta corretta è la a.

La risposta corretta è la d.La risposta corretta è la d.Quando si passa dalle dimensioni lineari a quelle volumi-

che si deve elevare alla terza potenza il valore che esprime ledimensioni lineari. Dalle equivalenze:1 m = 109 nm1 m = 102 cm1 m = 10–3 kmsi ottiene quindi:1 m3 = 1027 nm3

1 m3 = 106 cm3

1 m3 = 10–9 km3

La risposta corretta è la b.Il volume di una sfera di raggio 1 m vale (4/3) π (1 m)3.

D’altra parte, il volume di un cubo di lato l è dato da l3.Ponendo quindi:l3 = (4/3) π (1 m)3

si ottiene:

La risposta corretta è la c.La risposta corretta è la d.La risposta corretta è la b.La somma di due lunghezze o di due tempi fornisce anco-

ra una lunghezza o un tempo; il rapporto fra una lunghezzae un tempo definisce invece il valore di una grandezza deri-vata; la risposta corretta è quindi la b. Attenzione all’opera-zione indicata in d: essa non ha senso in quanto non si pos-sono sommare due grandezze diverse.

14

13

12

l = =43

1 143

33 3π π( )m m

11

10

9

8

7

6

5

4

3

2

1

La risposta corretta è la a.Poiché i lati del rettangolo sono espressi rispettivamente

con 3 e con 4 cifre significative, il loro prodotto deve essereespresso con 3 cifre significative. Usando una calcolatrice a10 cifre si ottiene:5,38 cm ⋅ 12,84 cm = 69,0792 cm2

e quindi il risultato sarà 69,1 cm2. La risposta corretta è la c.La risposta corretta è la b.Le due lunghezze espresse in millimetri risultano:

252 mm e 2,45 mm e perciò la loro somma sarebbe pari a254,45 mm. Poiché però il primo dei due valori è caratteriz-zato dalla precisione del millimetro, il risultato andrà tronca-to ai millimetri.Tenendo conto che, dopo il numero 254, segue un 4, si dovràapprossimare per difetto ottenendo così 254 mm. La rispostacorretta è la a.

La risposta corretta è la b.La risposta corretta è la d.Il volume V di una sfera di diametro d è espresso dalla

relazione:

Operando con una calcolatrice a 10 cifre si ottiene:

Il risultato va però espresso con lo stesso numero di cifresignificative che caratterizzano la misura di d (3 cifre) e quin-di:V = 11500 mm3 = 1,15 ⋅ 104 mm3

La risposta corretta è la b.La risposta corretta è la d.La risposta corretta è la c.Il numero 3,57 ⋅ 104 può essere riscritto modificando l’e-

sponente della potenza in base 10 e spostando in modocoerente la virgola. Tutti i numeri scritti di seguito sono quin-di equivalenti:………...

357 ⋅ 102

35,7 ⋅ 103

3,57 ⋅ 104

0,357 ⋅ 105

0,0357 ⋅ 106

…………La risposta corretta è quindi la d.

La risposta corretta è la c.Prima di eseguire la differenza devi esprimere i due nume-

ri con la medesima potenza in base 10 e quindi:7,0 ⋅ 105 – 7,0 ⋅ 106 = 0,70 ⋅ 106 – 7,0 ⋅ 106 = – 6,3 ⋅ 106

ovvero7,0 ⋅ 105 – 7,0 ⋅ 106 = 7,0 ⋅ 105 – 70 ⋅ 105 = – 63 ⋅ 105 =– 6,3 ⋅ 106

La riposta corretta è quindi la c.

26

25

24

23

22

V = ⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

=43

28 02

11494 040323

3π ,,

mmmm

Vd= ⎛

⎝⎜⎞⎠⎟

43 2

3

π

21

20

19

18

17

16

15

P. Marazzini M.E. Bergamaschini L. Mazzoni Fenomeni, Leggi, Esperimenti ©2010 by Mondadori Education


SOLU

ZIO

NI

COM

MEN

TATE

Tema 1 – Unità 1

La risposta corretta è la b.Tutti i numeri coinvolti nell’operazione sono espressi con

una sola cifra significativa. Anche il risultato andrà quindiespresso con una cifra significativa. Perciò:

La risposta corretta è la a.

PROBLEMILa situazione vista da un osservatore terrestre è schema-

tizzata nella figura seguente (nella quale, però, per motivigrafici, non è stato rispettato il rapporto reale fra la distanzaTerra-Sole e la distanza Terra-Luna).

In base alla similitudine dei triangoli OAB, OCD si può porre:dS : dL = lTS : lTLDa questa:

3,75 ⋅ 103 m = 3,75 ⋅ 103 (103 mm) = 3,75 ⋅ 106 mm2,8 ⋅ 10–4 km = 2,8 ⋅ 10–4 (103 m) = 2,8 ⋅ 10–1 m2 m = 2 (106 μm) = 2 ⋅ 106 μm 4,7 dm = 4,7 (10–4 km) = 4,7 ⋅ 10–4 km 5 μm = 5 (10–6 m) = 5 ⋅ 10–6 m7,4 mm = 7,4 (10–6 km) = 7,4 ⋅ 10–6 km

3,6 h = 3,6 (3,6 ⋅ 103 s) = 1,3 ⋅ 104 sEssendo:1 min = 60 s 1 h = 60 min = 60 ⋅ 60 s = 3,6 ⋅ 103 s1 d = 24 h = 24 ⋅ 3,6 ⋅ 103 s = 8,64 ⋅ 104 ssi ottiene:2 d = 2 ⋅ 8,64 ⋅ 104 s = 1,728 ⋅ 105 s4 h = 4 ⋅ 3,6 ⋅ 103 s = 1,44 ⋅ 104 s30 min = 30 ⋅ 60 s = 1,8 ⋅ 103 se quindi1,728 ⋅ 105 s + 1,44 ⋅ 104 s + 1,8 ⋅ 103 s = 172,8 ⋅ 103 s + 14,4⋅ 103 s + 1,8 ⋅ 103 s = 189 ⋅ 103 s = 1,89 ⋅ 105 s

L’area A della lamina si ottiene moltiplicando la sua lun-ghezza per la sua larghezza. Poiché il valore di questi para-metri è espresso con tre cifre significative, anche il valore del-l’area andrà espresso con tre cifre significative. Usando unacalcolatrice a dieci cifre si ottiene:A = 2,15 cm ⋅ 9,51 cm = 20,4465 cm2

11

7

5

Rd

d

l

lS

L

TS

TL

= = = ⋅⋅

=1 50 103 80 10

3958

5

,,

kmkm

2

( ) ( )( )

3 10 4 106 10

2 10 2 105 3

45 3 4 4⋅ ⋅ ⋅

⋅= ⋅ = ⋅+ −

28

27 e arrotondando a tre cifre significative:A = (20,4 ± 0,1) cm2

Poiché 1 min = 60 s, si ha:50 min = 50 ⋅ 60 s = 3,0 ⋅ 103 s Nota che il risultato è espresso con due sole cifre significativeperché il valore del tempo, 50 min, è espresso con due solecifre significative. L’altro addendo, 3500 s, è espresso conquattro cifre significative ma la precisione del risultato devecorrispondere a quella dell’addendo meno preciso. Quindi:3,0 ⋅ 103 s + 3,500 ⋅ 103 s = 6,5 ⋅ 103 s

7,5 m2 = 7,5 (103 mm)2 = 7,5 ⋅ 106 mm2

5 Mm2 = 5 (106 m)2 = 5 ⋅ 1012 m2

3 mm2 = 3 (10–6 km)2 = 3 ⋅ 10–12 km2

0,74 m2 = 0,74 (102 cm)2 = 7,4 ⋅ 103 cm2

2,2 μm2 = 2,2 (10–4 cm)2 = 2,2 ⋅ 10–8 cm2

0,6 Gm2 = 0,6 (106 km)2 = 6 ⋅ 1011 km2

3,3 dm2 = 3,3 (10–7 Mm)2 = 3,3 ⋅ 10–14 Mm2

2 Gm3 = 2 (1011 cm)3 = 2 ⋅ 1033 cm3

7,8 m3 = 7,8 (1012 pm)3 = 7,8 ⋅ 1036 pm3

2,7 nm3 = 2,7 (10–6 mm)3 = 2,7 ⋅ 10–18 mm3

0,83 mm3 = 0,83 (10–9 Mm)3 = 8,3 ⋅ 10–28 Mm3

9,2 km3 = 9,2 (103 m)3 = 9,2 ⋅ 109 m3

0,5 mm3 = 0,5 (103 μm)3 = 5 ⋅ 108 μm3

6,3 dm3 = 6,3 (10–4 km)3 = 6,3 ⋅ 10–12 km3

Il volume totale delle quattro sferette è dato dalla diffe-renza fra il volume indicato dal livello superiore dell’acquadopo l’introduzione delle quattro sferette 25,3 cm3 e il volu-me indicato dal livello superiore dell’acqua prima dell’in-troduzione delle quattro sferette 20,0 cm3. Perciò:ΔV = 25,3 cm3 – 20,0 cm3 = 5,3 cm3

Da questa si ottiene:

Per il calcolo del raggio R di ciascuna sferetta devi applicarela relazione:

dalla quale:

Il volume V di una sfera di raggio R si calcola con la rela-zione:23

RV= = ⋅ =3

43 1 3

40 683

33

π π,

,cm

cm

V R= 43

3π

V = =5 34

1 33

3,,

cmcm

20

15

14

13

3


lTL

lTS

dSdL

C

D

A

B

O


Web HELP SOLUZIONI COMMENTATE

Poiché R è espresso con tre cifre significative, anche V andràespresso con tre cifre significative, quindi:

Il triangolo di vertici ABP è rettangolo in A e l’ipotenusaPB forma con il cateto AB, base della triangolazione, unangolo di 60,0° (osserva la figura seguente).

Poiché la distanza d di P dalla base è misurata dal cateto AP,si ha:

Essendo però ––AB = (1/2) ––PB, si ha infine:

382000 = 3,82 ⋅ 105

28300000 = 2,83 ⋅ 107

0,024 = 2,4 ⋅ 10–2

0,0000732 = 7,32 ⋅ 10–5

UNITÀ 2TEST

Normalmente, la misura della lunghezza di un tavolo siesegue per confronto con un campione di lunghezza ed èquindi una misura diretta.La misura dell’area si determina applicando una operazionematematica ai valori dei lati del campo, valori ottenuti conmetodo diretto mediante la fettuccia centimetrata. Si trattaperciò di una misura indiretta.L’orologio è uno strumento tarato e quindi la misura di unintervallo di tempo eseguita con il suo ausilio non è di tipoindiretto.In conclusione, delle tre affermazioni, è vera solo la 1) e quin-di la risposta corretta è la a.

1

29

AP AB AB AB= ( ) − = = ⋅ =2 3 3 10 0 17 32 2

, ,m m

d AP PB AB= = −2 2

25

V = =43

5 00 5243 3π( , )cm cm

V R= 43

3πSe l’orologio va avanti è difettoso e questo comporta erro-

ri sistematici in ogni misura che si effettua mediante esso; aquesto tipo di errori si sovrappongono però anche errori acci-dentali di vario tipo. La risposta corretta è la c.

La risposta corretta è la c.La risposta corretta è la b.Le vibrazioni del tavolo sul quale si sta eseguendo una

misura sono casuali e potranno eventualmente determinareil prodursi di errori accidentali; la a è quindi errata.Ogni misura è caratterizzata da incertezza e non può maiesprimere il valore “vero” della grandezza misurata; c e dsono quindi errate.La b è corretta, perché una elevata temperatura dilaterà lariga metallica e questa sottovaluterà perciò i valori di tutte lemisure effettuate in quelle condizioni.

La risposta corretta è la c.Quando la misura di una grandezza si ottiene mediante

una serie di misurazioni, l’incertezza assoluta corrisponde almaggiore fra il valore della sensibilità dello strumento concui sono state eseguite le misurazioni e la semidispersionedella serie; in questo caso, quindi, l’incertezza assoluta vale0,05 mm e la risposta corretta è la a.

la risposta corretta è la a.La semidispersione, arrotondata a una sola cifra signifi-

cativa, vale 0,2 mm ed è quindi maggiore della sensibilitàdello strumento. Il suo valore verrà quindi assunto comeespressione dell’incertezza della misura e imporrà l’arroton-damento del valore che esprime la media alla prima cifradecimale (media = 25,4 mm). Il risultato della misura sarà quindi dato da: (25,4 ± 0,2)mm. La risposta corretta è la a.

La risposta corretta è la b.

PROBLEMIll valore medio della serie di misure si ottiene sommando

i valori delle 10 misure e dividendo il risultato ottenuto per10. Con la calcolatrice si ottiene:media = 22,28 cmLa semidispersione vale invece:

Il valore ora ottenuto è maggiore della sensibilità dello stru-mento utilizzato per la misura e quindi verrà assunto comeespressione dell’incertezza assoluta.Il risultato della misura sarà quindi:(22,3 ± 0,2 cm)e l’incertezza relativa espressa con una sola cifra significativa:

L’identità dell’incertezza relativa delle due misure con-sente di scrivere la seguente uguaglianza:

7

0 222 3

0 009,,

,cmcm

=

22 5 22 12

0 2, ,

,cm cm

cm− =

4

10

9

8

7

6

5

4

3

2

4


90° 60°

P

A B


SOLU

ZIO

NI

COM

MEN

TATE

5Tema 1 – Unità 3

da questa si ottiene

In base ai dati del problema:Δa1 = 0,5 kg; aM1 = 258,2 kg; aM2 = 2580 msostituendo i valori numerici si ottiene Δa2 = 5 m

Il valore dell’area A della lamina si ottiene moltiplicandotra loro lunghezza e larghezza della lamina. Con una calcola-trice a 10 cifre si ottiene:A = 2,15 cm ⋅ 9,51 cm = 20,4465 cm2

Per determinare l’incertezza assoluta ΔA dell’area devi appli-care la relazione:

Arrotondando a una sola cifra significativa:ΔA = 0,2 cm2

e quindi: A = (20,4 ± 0,2) cm2

UNITÀ 3TEST

La risposta corretta è la d.La risposta corretta è la c.Considerando che la relazione fra la forza F applicata alla

molla e il suo allungamento Δl è:F = k Δlcon k costante elastica della molla, possiamo scrivere:15 gp = k ⋅ 2,5 cm [a](15 gp + 30 gp) = k ⋅ x [b]ove x indica l’allungamento prodotto dal peso totale di 45 gp.Dividendo [a] per [b] si ottiene:x = 7,5 cmLa lunghezza totale della molla vale quindi:20 cm + 7,5 cm = 27,5 cmLa risposta corretta è la d.

Il grafico indica che una forza di 10 N allunga la molla di20 cm. In base alla relazione:F = k Δlsi ottiene allora:

La risposta corretta è la b.La risposta corretta è la c.Ricorda che:

1,00 kgp = 9,81 N6

5

kF

lN N

N= = = =Δ

1020

100 20

50cm m

m,

/

4

3

2

1

ΔA = +⎛⎝⎜

⎞⎠

20 44650 012 15

0 039 51

2,,,

,,

cmcmcm

cmcm ⎟⎟ = 0 1596 2, cm

10

Δ Δaa

aa2 1= M2

M1

Δ Δa

a

a

a1 2

M1 M2

=1,00 N = 0,102 kgpQuindi:2,50 N = 2,50 ⋅ 0,102 kgp = 0,255 kgpLa risposta corretta è la a.

La risposta corretta è la d.Forza e spostamento sono grandezze di tipo diverso (si

dice anche, non omogenee) e perciò le loro intensità nonsono confrontabili, come non sono confrontabili i valori diuna lunghezza e di una superficie o i valori di una lunghezzae di un tempo. La risposta corretta è la d.

La risposta corretta è la c.La risposta corretta è la a.Dato che un segmento lungo 7 mm rappresenta la forza di

50 N, la forza di 200 N sarà rappresentata da un segmentolungo 28 m. Questo esclude le risposta b). Poiché, inoltre, ladirezione della forza è perpendicolare a una parete verticale,essa dovrà essere orizzontale e ciò esclude la risposta d). Inbase al testo, infine, si sa che la forza è orientata da sinistra adestra e quindi la risposta corretta è la c.

La risposta corretta è la d.La risposta corretta è la a.La risposta corretta è la b.I quattro grafici rappresentano le relazioni seguenti:

1) A = k B con k = 12) A = k B + h con k = 1 e h = 13) A = k B con k = 14) A = k B con k = 2La coppia corretta è quindi quella costituita dai grafici 1 e 3,anche se la pendenza della retta che rappresenta la dipen-denza fra A e B è graficamente diversa a causa della diversascala assunta per i valori di A. La risposta corretta è la c.

La risposta corretta è la c.Dalla relazione A = k B2 si ha:

D’altra parte, per avere A’ = 4 A si deve assegnare a B unvalore B' calcolabile con la relazione:4 A = k B'2

da questa:

La risposta corretta è la c.La risposta corretta è la c.I valori dello spazio percorso e del tempo impiegato a per-

correrlo consentono di trovare il valore della costante k:k = s/t2 = 40 cm/(2 s)2 = 10 cm/s2

Si ha perciò: s = 10 cm/s2 (6 s)2 = 360 cmLa risposta corretta è quindi la c.

La risposta corretta è la c.Rilevando sul grafico, entro l’incertezza della misura, le

coppie di valori di p (pressione) e V (volume), puoi giungerealla seguente tabella:

21

20

19

18

′ = = =BA

kAk

B4

2 2

BAk

=

17

16

15

14

13

12

11

10

9

8

7




p (⋅ 105 Pa) V (m3) p V (⋅ 105 Pa m3)

10 0,10 1,08,0 0,12 0,966,0 0,16 0,964,0 0,26 1,02,0 0,50 1,01,0 1,0 1,0

Il valore approssimativo del prodotto p V è dunque 1,0 ⋅ 105 Pa m3; la risposta corretta è la b.

PROBLEMIIn base alla relazione F/Δl = k e ai dati forniti dal testo del

Problema, la costante elastica k risulta espressa dalla relazio-ne k = P/(6 cm). Per la seconda molla si può perciò porre k' = 3 k = P/(2 cm). L’allungamento Δl prodotto dal corpo dipeso P quando viene appeso alla seconda molla vale allora:

La lunghezza totale delle due molle sotto l’azione dellaforza peso P

�è data da:

lA,tot = lA + ΔlA = 40 cm + ΔlAlB,tot = lB + ΔlB = 50 cm + ΔlBI valori degli allungamenti ΔlA e ΔlB si calcolano a partiredalla relazioneF = k Δlche, per le due molle, si scrive nel modo seguente:P = kA ΔlAP = kB ΔlBTenendo allora conto del fatto che le lunghezze totali dellemolle devono essere uguali, si può porre:

ovvero, usando le unità del S.I.:

Da questa si ottiene P = 60 N

Se indichiamo con V0 il volume di acqua presente inizial-mente nella vasca e con k il volume di acqua che defluiscedalla vasca in 1 min, il volume V di acqua presente nellavasca dopo t minuti è dato da:V = V0 – k t [a]con k = 20 dm3/min.Questa equazione è rappresentata in un grafico V, t dallasemiretta che compare nella figura seguente.

14

40 cm200N/m

0,50 m +300N/m

+ =P P

40 50cm cm+ = +Pk

PkA B

7

Δ ′ = =lP

P/(2cm)2cm

4

Per rispondere alla seconda domanda, traccia dal punto diordinata 200 dm3 una parallela all’asse dei tempi fino a inter-secare in A la semiretta che esprime la dipendenza (V, t). Da Atraccia poi una perpendicolare all’asse dei tempi e rileva il valo-re dell’ascissa: t = 40 min. Questo stesso valore può esseredeterminato ponendo nella relazione [a]: V = 200 dm3, V0 =1000 dm3, k = 20 dm3/min. Si ottiene allora:200 dm3 = 1000 dm3 – 20 dm3/min ⋅ tDa questa si ottiene: t = 40 min

Il 20% di 100 euro equivale a 20 euro e quindi, dopo ilprimo mese, Lorenzo possiede 120 euro.Il 20% di 120 euro equivale a: 120 euro ⋅ 0,20 = 24 euroDopo il secondo mese Lorenzo possiede quindi 144 euro.Procedendo in modo analogo puoi stabilire che:dopo il terzo mese Lorenzo possiede 173 euro;dopo il quarto mese Lorenzo possiede 208 euro;dopo il quinto mese Lorenzo possiede 250 euro.I punti corrispondenti alle 5 coppie di valori sono riportatinel grafico S (somma totale), M (numero mesi) seguente:

16

6


1000

800

600

400

200

10 20 30 40 50

V (dm3)

t (min)

A

250

200

150

100

50

1 2 3 4 5

S

M


SOLU

ZIO

NI

COM

MEN

TATE


Come puoi constatare, i punti non sono allineati su una retta eda ciò consegue che la dipendenza (S, M) non è di tipo lineare.

Il volume V di un cilindro di altezza h e diametro di baseD è espresso dalla relazione:

Riscrivendo questa relazione nella forma:

puoi constatare che l’altezza h dei cilindri può essere determi-nata a partire dal valore della costante k che correla V a D2.Questa costante, a sua volta, si può determinare sulla basedel grafico utilizzando le coppie di valori corrispondenti aqualche punto appartenente alla curva in colore. Ad esem-pio, per il punto di ascissa D = 1,0 m si trova V = 8,0 m3 equindi:

UNITÀ 4TEST

La risposta corretta è la c.5 kg = 5 ⋅ 103 g

3,8 μg = 3,8 ⋅ 10–9 kg25 Mg = 25 ⋅ 10–3 Gg = 0,25 ⋅ 10–1 Gg2,7 Mg = 2,7 ⋅ 103 kgLa risposta corretta è quindi la d.

La risposta corretta è la b.La risposta corretta è la d.la relazione tra il peso P e la massa m di un corpo è data

da:P = m gDa questa

La risposta corretta è la b.La risposta corretta è la b.Dalla relazione:

P = m gsi ottiene

mPg

=

7

6

mPg

= = =3010

3 0N

N/kgkg,

5

4

3

2

1

hk= = ⋅ =4 4 8 0

10π π

, mm

kVD

= = =2

38 08 0

,,

m(1,0 m)

m2

Vh

D k D= ⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

=π4

2 2

VD

h= ⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

π2

2

19

x 0 1 2 3 4 5

y 100 120 144 173 208 250

con P espresso in newton e g pari a 9,81 N/kg.Poiché 5,5 kgp = 5,5 ⋅ 9,81 N/kg = 54 Nsi ha:

La risposta corretta è la c.La risposta corretta è la b.Tenendo presente che:

1 m3 = 103 dm3

si ha:

La risposta corretta è la d.La risposta corretta è la a.

Applicando la relazione si ottiene:

Tenendo poi conto che 10–3 m3 = 1 dm3, si ha infine V = 2 dm3. La risposta corretta è quindi la d.

La risposta corretta è la c.La densità relativa e il peso specifico relativo di uno stes-

so corpo sono espressi dallo stesso numero in quanto:

Poiché

si ricavaγC = γr γH2Oda cuiγC = 6 ⋅ 10000 N/m3 = 60000 N/m3

La risposta corretta è quindi la d.La risposta corretta è la c.

PROBLEMI5 kg = 5 (106 mg) = 5 ⋅ 106 mg

3,2 ng = 3,2 (10–9 g) = 3,2 ⋅ 10–9 g8,3 Mg = 8,3 (10–12 μg) = 8,3 ⋅ 1012 μg6,2 μg = 6,2 (10–9 kg) = 6,2 ⋅ 10–9 kg3 ng = 3 (10–6 mg) = 3 ⋅ 10–6 mg2,5 pg = 2,5 (10–21 Gg) = 2,5 ⋅ 10–21 Gg

Dalla relazione P = m g si ottiene:

Applicando il metodo delle cifre significative si ha:

gPm

=

4

1

14

γγ

γrC

H O2

=

δδ

δγr

m

m

m g

m g

P

P= = = = = =C

H O

C

H O

C

H O

C

H Or

2 2 2 2

6

13

12

Vm= = = ⋅ −δ

2 kg

kg/mm

33

1000 2 10 3

d = mv

11

10

5000500010

53 3 3

3kgm

kgdm

kg/dm= =

9

8

m = =549 81

5 5N

N/kgkg

,,




e quindi g = (6,250 ± 0,001) N/kgApplicando il metodo della propagazione delle incertezze siha:

Arrotondando a una sola cifra significativa:Δg = 0,008 N/kgSi ha perciò: g = (6,250 ± 0,008) N/kg

L’ipotesi implicita del testo del Problema è che il solleva-tore sviluppi la stessa forza F sia sulla Terra che sul pianeta.In base alla relazione P = m g si può allora scrivere:

F = PTerra = m gTerra e F = Ppianeta = M gpianeta

Poiché gpianeta = 0,5 gTerra, ne deriva che la massa M del bilan-ciere che viene sollevato con l’identica forza F sul pianetaavrà un valore pari a 2 m.Quindi: M = 2 m = 260 kg.

Quando la bilancia è in equilibrio, le masse situate suisuoi due piatti devono essere identiche. indicate quindi conMC e MS le masse del cubo e della sfera, si deve avere:MC = MS + M [a]D’altra parte, ricordando che, in generale:massa = densità assoluta ⋅ volumesi ha:MC = 4,00 kg/dm3 ⋅ (1,00 dm)3 = 4,00 kg

Quindi, dalla [a], si ottiene:M = MC – MS = 4,00 kg – 2,09 kg = 1,91 kg

In base alla relazione:

si può porre:

[a]

La densità assoluta del corpo è data dal testo del Problema;per determinare la massa, tieni presente che:P = m gdalla quale:

[b]

Sostituendo la [b] nella [a] si ottiene:

mPg

=

Vm=δ

δ = mV

11

MS = ⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

⎛

⎝⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟

=4 0043

1 002

2 0933

,,

,kg/dmdmπ kkg

8

6

0 008125, N/kg⎞⎠⎟

=

Δ = Δ + Δ⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

= +gPm

PP

mm

125 020 00

0 1,,

,Nkg

N125,0 N

00 0120 00

,,

kgkg

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

=

g = =125 020 00

6 250,

,,

Nkg

N/kg

In base alla definizione di densità assoluta:

per risolvere il Problema devi dividere la massa per il volume.Il risultato andrà poi espresso con due sole cifre significative,perché questo è il numero di cifre significative più basso conil quale sono espressi i valori di massa e volume. Quindi, conuna calcolatrice a 10 cifre:

e in definitiva:δ = (2,1 ± 0,1) g/cm3

A partire dalla relazione δ = M/V possiamo scrivere: M = V δ. Per determinare M è quindi necessario conoscere ilvalore di V.Poiché il volume di una colonna è dato dal prodotto dellaarea di base per la sua altezza, porremo:

V = π h = π ⋅ 10,25 m = 9,216824162 m3

Tenendo conto che d è espresso con tre cifre significativee h con quattro, mentre π è stato espresso con le 10 cifresignificative fornite dalla calcolatrice utilizzata per ese-guire l’operazione, esprimeremo il risultato con tre cifresignificative, approssimando la terza cifra per eccesso inquanto la quarta è un 6.Si ottiene perciò:V = 9,22 m3

La massa M sarà quindi data da:9,22 m3 ⋅ 2580 kg/m3 = 23787,6 kg/m3

Poiché il volume è espresso con tre cifre significative e lamassa con quattro, esprimeremo il risultato con tre cifresignificative, approssimando la terza per eccesso in quanto laquarta è un 8. Si ottiene perciò:M = (23800 ± 100) kg = (2,38 ± 0,01) ⋅ 104 kg/m3

In base alla serie di uguaglianze:

la densità relativa vale 5.Per calcolare la densità assoluta tieni presente che:

Da questaδC = δr δH2O = 5 ⋅ 1000 kg/m3 = 5 ⋅ 103 kg/m3

δδ

δr = C

H O2

γ δrH O H O H O

r2 2 2

= = = =P

P

m g

m g

m

mC C C

19

1,07 m2

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

2d2

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

2

17

δ = = =mV

75 22735

2 1493428573

3,,

gcm

g/cm

δ = mV

13

VPg

= =⋅ ⋅

= ⋅ −δ

1001 00 10 9 81

1 02 104 3

3Nkg/m N/kg

m, ,

, 33

8



SOLU

ZIO

NI

COM

MEN

TATE


TEMA 2UNITÀ 1

TESTLa risposta corretta è la a.La direzione e il verso delle due forze F

�1 e F

�2 e del loro

risultante F�

sono indicati nella figura seguente.

L’intensità di F�

si ottiene applicando il teorema di Pitagora:

La risposta corretta è la c.La risposta corretta è la b.

Le tre forze applicate all’anellino sono rappresentabilicome indicato dalla figura seguente.

La somma vettoriale di F�

1 e F�

2 è la forza F�

la cui direzionecoincide con quella della bisettrice dell’angolo definito dalledirezioni di F

�1 e F

�2 e la cui intensità, uguale a F1 e F2, vale

20 N. Tale dovrà essere l’intensità della forza equilibrante F�

3.La risposta corretta è la c.

Il vettore somma, disegnato nella figura seguente, corri-sponde alla diagonale del parallelogramma di lati vv

�1 e vv

�2.

5

4

3

F F F= + = + =12

22 2 250 70 86( ) ( )N N N

2

1

Poiché i due triangoli ABC e ACD sono equilateri, l’intensità divv�

è uguale all’intensità di vv�

1 e vv�

2. La risposta corretta è la c.

La risposta corretta è la b.Il componente di un vettore secondo una certa direzione

è rappresentato dalla proiezione del vettore sulla direzionestessa. Nel caso proposto dal Test il componente del vettore F

�

è il vettore F�'. Tenendo conto che F

�' è uno dei due cateti del

triangolo isoscele ABC di cui il vettore F�

è l’ipotenusa, si ottie-ne: intensità di F′ = 7,07 N.La risposta corretta è quindi la d.

La risposta corretta è la a.In questo caso la forza di attrito massima è espressa dalla

relazione:FA = k Pessendo P = m g.Quindi:FA = k m g = 0,4 ⋅ 2 kg ⋅ 9,81 N/kg ⋅ = 8 NLa risposta corretta è la d.

La risposta corretta è la c.La forza F

�1 ha verso opposto al peso della valigia e quindi:

la forza di attrito massima F�

A ha intensità:FA = kS (P – F1) = 0,50 (200 N – 80 N) = 60 NLa risposta corretta è la d.

PROBLEMIIndicata con Fx e Fy la somma delle componenti secondo

la direzione orizzontale e verticale dei tre vettori si ottiene: Fx = 10,0 N + 0 – 7,07 N = 2,9 NFy = 0 + 10,0 N + 7,07 N = 17,1 NPoiché l’intensità del vettore risultante F

� dei tre vettori è data da:

si ottiene

F 2 22 9 17 1 17 3= + =( , ) ( , ) ,N N N.

F Fx y2 2+ ,

4

11

10

9

8

7

6


v2

v1

v

D C

BA

60°

A

B

C

a

b30°

45°

90°15°

a

b

yxF1

F2 F

120° F2

F3

F1

F




Rappresenta anzitutto in scala le tre forze in un sistema diassi cartesiani come indicato dalla figura seguente:

Affinché la somma vettoriale delle tre forze sia nulla, è neces-sario che si annullino le somme vettoriali dei componentidelle tre forze determinati rispetto alle direzioni degli assi x ey; si ha perciò:F1x = F2xF1y + F2y = F3yTenendo conto delle relazioni che legano fra loro i cateti e l’i-potenusa dei triangoli rettangoli di angoli acuti 30° e 60°, ledue relazioni precedenti si traducono nelle seguenti:

[a]

[b]

Risolvendo il sistema di equazioni [a] e [b] si ottiene:

e quindi, essendo F3 = 10 N:F1 = 8,66 NF2 = 5,00 N

La forza orizzontale di intensità 24 N con la quale si riescea spostare la cassa vuota può essere assunta come misuradella forza di attrito massima che si sviluppa tra il fondo dellacassa e il suo piano di appoggio. A partire da questa conside-razione e applicando la relazione: FAmax = k P si ottiene per-ciò il coefficiente di attrito k:

Se, dopo il riempimento della cassa, è necessario applicareuna forza orizzontale di intensità 80 N per spostarla, signifi-

kF

P= = =A N

Nmax ,

2460

0 40

9

FF

23

2=

F F1 31 5

3= ,

32 21

23F

FF+ =

FF1

223

2=

6 ca che il peso della cassa e del contenuto è dato da:

Il peso del contenuto della cassa vale quindi:PC = 200 N – 60 N = 140 N

La lastra non cade se il suo peso viene equilibrato dallaforza di attrito che si sviluppa fra la lastra e la parete. Questaforza è prodotta dalla forza F

�la cui intensità minima si cal-

cola quindi con la relazione:FA = kS Fmin = PSi ottiene:

UNITÀ 2TEST

La risposta corretta è la d.La condizione di equilibrio per la rotazione dell’asta si tra-

duce, in questo caso, nell’uguaglianza dei momenti dei pesi diC1 e C2:20 N ⋅ 30 cm = P2 ⋅ 20 cmDa questa: P2 = 30 NLa risposta corretta è la b.

La risposta corretta è la b.La risposta corretta è la d.Il momento della forza F

�ha valore massimo quando è

massimo il braccio della forza. Nei casi A e B il braccio di F�

rispetto al punto O è nullo, nei casi C e D vale rispettivamen-te (figure seguenti):

bC = ––OB ( /2) = 0,866 ––OB

bD = ––OB (1/ ) = 0,707 ––OB

La risposta corretta è la c.La risposta corretta è la c.Il momento di una forza è dato dal prodotto dell’intensità

della forza per il suo braccio. Nel caso in esame il braccio dellaforza applicata nei diversi punti dell’asta secondo la direzione

7

6

2

3

5

4

3

2

1

FPkmin ,

= = =s

NN

1000 60

170

12

PF

k= = =tot

A

S

NN

max

,80

0 40

'

2200 N

30°60°

F2

F1

F3 F3y

F1x F2x

F1y

F2y

60°

30°

45° 45°

F

F

A

A

B

B

O

O

bC

bD


SOLU

ZIO

NI

COM

MEN

TATE

11


Tema 2 – Unità 3

orizzontale è dato dalla altezza h del punto di applicazionedella forza rispetto alla base dell’asta. Quindi il momento Mdella forza è direttamente proporzionale ad h e, conseguente-mente, il grafico che meglio rappresenta la dipendenza (M, h)è dato dalla figura c).

La risposta corretta è la c.Il peso dell’asta si deve considerare applicato nel suo cen-

tro geometrico, mentre il peso P�

del carico C è applicato nelsuo estremo destro e ha direzione perpendicolare a quella del-l’asta.Rispetto all’estremo sinistro dell’asta, che costituisce l’assedella sua possibile rotazione, il braccio del peso dell’asta valel/2 (con l = lunghezza dell’asta) e il braccio del peso del cari-co C vale l. Quindi, all’equilibrio:

l2 N ⋅ ——– = P l

2Da questa, P = 1 NLa risposta corretta è la a.

La risposta corretta è la c.

PROBLEMILa figura che segue mette in evidenza che il braccio della

forza F�

è dato dal segmento OA il quale, in base alle relazioninumeriche che legano i cateti e l’ipotenusa di un triangolorettangolo di angoli acuti 30° e 60°, misura:

Il momento della forza F�

vale perciò: 0,15 m ⋅ 50 N = 7,5 N m

Il valore del momento M1 della forza P�

1 applicata a sini-stra dell’asse di rotazione vale 40 N ⋅ 20 cm = 800 N cm. Ilvalore del momento M2 della forza P

�2 applicata a destra del-

l’asse di rotazione vale 20 N ⋅ 20 cm = 400 N cm. L’asta ten-derà quindi a ruotare in senso antiorario. Per mantenerla inequilibrio con un carico appeso all’asta di peso P

�3 pari a 10 N

(orientato verso il basso) questo va applicato a destra dell’as-se di rotazione, a una distanza tale da creare un momento M3che, sommato a M2, dia il valore di M1. Quindi:M3 = 800 N cm – 400 N cm = 400 N cmNe consegue che il braccio della forza P

�3 vale:

40010

40N cm

Ncm=

5

OAOP= =2

15cm = 0,15 m

2

10

9

8

La forza F�

2 ha un componente perpendicolare all’asta lacui intensità, in base alle relazioni numeriche che legano icateti e l’ipotenusa di un triangolo rettangolo di angoli acuti30° e 60°, misura 250 N/2 = 125 N. Il momento associato atale componente vale quindi:M2 = 125 N ⋅ 1,20 m = 150 N m. Questo momento è responsabile di una rotazione oraria del-l’asta; ad esso si contrappone però l’effetto del momento M1della forza F

�1 che, in base alla figura e ai valori del testo del

Problema, vale: 200 N ⋅ 0,40 m = 80 N m. Dunque la forza F

�3 dovrà essere orientata verso l’alto in

modo che il suo momento M3 sia anch’esso antiorario.L’intensità di questo momento vale quindi:M3 = M2 – M1 = 150 N m – 80 N m = 70 N mTenendo presente che M3 = F3 d e che d = 70 cm = 0,70 m, sideduce che F3 = 100 N.

Il momento della forza applicata alla pinza deve esseremaggiore o uguale al momento della forza di attrito che si svi-luppa fra la superficie esterna del cilindro e il blocco di legno.Tenendo conto che il braccio della forza F

�vale 20 cm, men-

tre quello della forza di attrito vale 1,0 cm, si può scrivere:80 N ⋅ 20 cm ≥ FA ⋅ 1,0 cmDa questa si ottiene: FA ≤ 1600 N.

UNITÀ 3TEST

Tieni presente che la pressione in ogni punto del liquido èidentica; conseguentemente:pA = pBEssendo però pA = FA/SA e pB = FB/SB si ottiene:

Da questa si ha:

La risposta corretta è quindi la d.La risposta corretta è la b.La relazione p = δ g h non contiene alcun riferimento né

alla forma del recipiente che contiene il liquido né alla quan-tità di liquido in esso contenuta. Poiché h e g sono identici neitre casi, sarà solo il valore della densità a determinare il mag-giore o minore valore della pressione. La risposta corretta èquindi la c.

La risposta corretta è la d.La pressione del mercurio contenuto nel tubo torricellia-

no è controbilanciata dall’atmosfera in cui l’esperimentoviene eseguito. Si tenga poi conto che in prossimità dellasuperficie del mare l’altezza della colonna di mercurio valecirca 76 cm, quindi la a è errata e, a maggior ragione, è erra-ta la b in quanto il Mar Morto si trova sotto il livello deglioceani di qualche centinaio di metri e quindi sulla sua super-

5

4

3

2

F FS

S

S

SA BA

B

B

B

N N= = =104

40

F

S

F

SA

A

B

B

=

1

10

7

A P

O

90°30°

60°




ficie la pressione atmosferica sarà un po’ più elevata di quel-la normale. Su una montagna piuttosto elevata la pressioneatmosferica risulta invece decisamente più bassa e quindi la cè corretta. La d risulta errata, perché effettivamente al Polo,a causa della bassa temperatura, si produce una contrazionedella colonna di mercurio ma la sua entità, per una colonnaalta circa 1 m, è sicuramente inferiore a 1 mm.

I due dischi metallici creano una pressione sulla superfi-cie dell’acqua sottostante che è espressa rispettivamente da:pA = δ g hApB = δ g hBIn queste espressioni sono presenti i parametri δ (densitàassoluta del materiale con cui sono fatti i dischi) e g (9,81N/kg) che sono identici e l’altezza hA e hB dei due dischi. Nonè invece presente la sezione dei dischi che, quindi, può essereignorata nella risposta al Test.Poiché hB > hA, si ha pB > pA e quindi, all’equilibrio, SA e SBnon si trovano allo stesso livello ma il primo sarà un po’ piùin alto del secondo. La risposta corretta è la b.

La risposta corretta è la cIn condizioni di equilibrio la spinta archimedea agente

sulla sfera, espressa dalla relazione:

δH2O g VIM = 1000 kg/m3 ⋅ g VIM

deve eguagliare il peso della sfera:

500 kg/m3 ⋅ g (VEM + VIM)

Porremo quindi:

1000 kg/m3 ⋅ g VIM = 500 kg/m3 ⋅ g (VEM + VIM)

Da questa, con qualche passaggio:

VIM = VEM

ovvero:

La risposta corretta è la c.Quando il ghiaccio viene messo nell’acqua, esso sposta

un volume V di acqua che è un po’ più piccolo del volume delghiaccio ma, per il principio di Archimede, la massa delghiaccio deve essere uguale alla massa del volume V diacqua. La successiva fusione del ghiaccio creerà perciò unvolume di acqua pari a quello V spostato inizialmente e quin-di il livello dell’acqua non subirà variazioni. La risposta cor-retta è la d.

La risposta corretta è la d.La risposta corretta è la a.Indicati con V il volume delle due sfere, con VIM1 e VIM2 il

volume delle due sfere immerso nel liquido, con δL la densitàassoluta del liquido, con δ1 e δ2 le densità assolute delle duesfere, le condizioni di galleggiamento, che corrispondonoall’uguaglianza fra la spinta archimedea sulla sfera e il pesodella sfera, si traducono nelle due relazioni.δL g VIM1 = δ1 g VδL g VIM2 = δ2 g V

12

11

10

9

V

VIM

EM

= 1

8

7

6

Da queste:

Dividendo membro a membro:

e quindi:


PROBLEMILa disposizione dei livelli dei due liquidi all’equilibrio è

mostrata nella figura seguente.

Tenendo conto che sulle sezioni S1 e S2 la pressione è identi-ca, si può stabilire che deve valere la seguente uguaglianza:δ g ⋅ 20 cm = 1000 kg/m3 ⋅ g ⋅ 24 cmDa questa si ottiene: δ = 1200 kg/m3

Il peso P del corpo in aria è indicato dal dinamometro evale quindi 100,0 N. Se con mC e V si indicano rispettiva-mente la massa e il volume del corpo e con δ si indica la suadensità assoluta, si può porre:P = 100,0 N = δ g V [a]Quando il corpo è immerso in acqua, agiscono su di esso ilpeso P

�e la spinta archimedea S

�di uguale direzione a quella

di P�

ma di verso opposto. La differenza di queste due forze èdata dall’indicazione del dinamometro e vale 75,5 N.Dunque si può porre:

75,5 N = P – S [b]

da cui:

S = 100,0 N – 75,5 N = 24,5 N

9

5

V

V

V

VIM2 IM1 kg/m

kg/m= = =

δδ

2

1

3

30 7

900700

0 9, ,

V V

V VIM2

IM1

2

1

/

/=

δδ

V

VIM2 2

L

=δδ

V

VIM1

L

=δδ

1

20 cm

4 cm

S1 S2


SOLU

ZIO

NI

COM

MEN

TATE

13


Tema 3 – Unità 1

ovvero, considerando che S = δH2O g V:

δH2O g V = 24,5 N


Sostituendo questo valore nella [a] si può ora ricavare il valo-re della densità del corpo:

Indicati con δ la densità assoluta del liquido in cui èimmerso il cilindro, con h e A l’altezza e l’area della sezionetrasversale del cilindro, l’intensità S della spinta archimedeasi calcola con la relazione:S = δ g V = δ g h ASostituendo i valori numerici si ottiene:S = 1500 kg/m3 ⋅ 9,81 N/kg ⋅ 10,0 ⋅ 10–2 m ⋅ 5,00 ⋅ 10–4 m2 =0,736 N

In base alla relazione:

è possibile determinare il volume immerso del cubo pur diconoscere i valori della densità del cubo e del liquido in cui èimmerso (l’acqua, di densità 1000 kg/m3) e il valore del suovolume V. Quest’ultimo valore si determina utilizzando i datidel testo del Problema:V = (20 cm)3 = 8,0 ⋅ 103 cm3 = 8,0 ⋅ 10−3 m3

mentre la densità del cubo si calcola con la relazione:

Si ha perciò:

Il volume emergente vale perciò:8,0 ⋅ 10−3 m3 – 6,0 ⋅ 10−3 m3 = 2,0 ⋅ 10−3 m3 = 2,0 dm3

Tieni ora presente che, trattandosi di un cubo, il rapportofra il volume emergente e il volume totale è uguale al rap-porto fra la parte emergente (che indicheremo con hE) diuno spigolo del cubo e lo spigolo stesso (che indicheremocon h). Dunque si ha:

D’altra parte:

e quindi.hE = 20 cm ⋅ 0,25 = 5,0 cm

h = = =8 0 2 0 203 , ,dm dm cm3

h

hE = =2 0

8 00 25

,,

,dmdm

3

3

VIM3

3

338,0 10 m

kg/mkg/m

10 m= ⋅ = ⋅ =− −3 37501000

6 0, 66 0, dm3

dS 336,0 kg

8,0 10 mkg/m=

⋅=−3

750

V VIMS

L

=dd

15

11

δ = =⋅ ⋅

= ⋅−100 100

9 81 2 50 104 08 10

3 33N N

N/kg mk

g V , ,, gg/m3

V =⋅

= ⋅ =−24 51000 9 81

2 50 10 2 503

3 3,,

, ,N

kg/m N/kgm dmm3

TEMA 3UNITÀ 1TEST

A causa della distanza Terra-Luna considerata nello sche-ma a, i raggi di luce provenienti dal Sole e diretti verso laLuna vengono intercettati solo parzialmente dalla Terra equindi una parte della Luna resta sempre illuminata; a èerrata.La parte della Luna illuminata tende a diventare più ampiaquanto più aumenta la distanza Terra-Luna; c è errata.Nell’allineamento b, i raggi di luce provenienti dal Sole ediretti verso la Terra vengono intercettati solo parzialmentedalla Luna e quindi solo per gli osservatori che stanno nelcono d’ombra creato dalla Luna si può avere una eclissi tota-le di Sole; b è errata e d è corretta.

La risposta corretta è la c.La legge di rifrazione applicata ai due mezzi è espressa

dalle relazioni:

Da queste:

Perciò se i1 = i2, si ha:

Da questa segue:sin r1 = 0,5 sin r2Se, ad esempio, r2 = 60°, si ottiene:r1 = sin–1 (0,5 sin 60°) = 26°Dunque: a è corretta, b è errata, c è errata perché 0,5 ⋅ 60° =30°; d è errata.

La risposta corretta è la a.In base alla relazione:

se nB > nA, consegue i > r e viceversa.Nel caso rappresentato in figura si ha r > i e quindi nB < nA. Ilmezzo A ha allora un indice di rifrazione assoluto maggioredi quello di B (d è errata) ed è più rifrangente del mezzo B (bè corretta mentre a è errata). La trasparenza non ha nulla ache fare con la rifrangenza e quindi c è errata.

La risposta corretta è la b.Per il principio di invertibilità del cammino di un raggio di7

6

sinsin

ir

nn

n= =A,B

B

A

5

4

sin

sin,

r

r1

2

0 5=

sin

sin

sin

sin

i

r

i

r1

1

2

2

2=

sin

sin,

i

r2

2

1 5=

sin

sin

i

r1

1

3=

3

2

1




dal mezzo meno rifrangente e quindi l’aria si trova a sinistradella linea s. L’indice di rifrazione assoluto n del mezzo soli-do trasparente si calcola con la relazione:

Da questa serie di uguaglianze si ottiene n = 1,4.Tenendo conto della legge di rifrazione, del valore dell’in-

dice di rifrazione assoluto dell’acqua e del fatto che l’angolo dirifrazione è il complementare di 40°, ovvero 50°, si può scri-vere:

da questa si ottiene i = 35,2°. Dunque la direzione del raggiodi luce proveniente dal sasso ora determinata indica che ilsasso deve trovarsi sotto la sua immagine. Si può dimostrareche esso non si trova sulla perpendicolare alla superficie del-l’acqua passante per la sua immagine.

Se l’indice di rifrazione del diamante relativo all’acquavale 1,85, possiamo porre:

Sapendo che nacqua = 1,33, si ha allora:

ndiamante = 1,33 ⋅ 1,85 = 2,46

e quindi dalla relazione:

si ottiene iL = 24,0°

Osservando la figura riportata nel testo del Problema equella che segue, si può stabilire che l’angolo di rifrazionerelativo alla rifrazione aria-faccia AC vale 25°. Perciò, in basealla legge di rifrazione:

si ottiene: i = 36°. Poiché il raggio di luce incide sulla facciaCB con un angolo di incidenza che vale 25°, l’angolo di emer-genza dovrà valere ancora 36°. In base alla relazione δ = i + e – α si ottiene perciò: δ = 23°.

sinsin

,i

251 4

°=

12

sin

sin ,

i190

12 46°

=

nn

nacqua,diamantediamante

acqua

= = 1 85,

10

sinsin

sinsin ,

ir

i=°

=50

11 33

7

sinsin

sinsin

,ir

n= °°

= =4530

1 41

luce, il raggio riemerge dall’acqua seguendo il cammino b. Larisposta corretta è la b.

La risposta corretta è la c.Quando l’angolo di incidenza coincide con l’angolo limite,

l’angolo di rifrazione vale 90°, indipendentemente dall’indicedi rifrazione del mezzo A; la risposta corretta è quindi la c.

La risposta corretta è la b.Nelle condizioni indicate dalla figura, l’angolo di inciden-

za i2 del raggio di luce sulla seconda faccia del prisma è ugua-le all’angolo di rifrazione r1 del raggio di luce che incide sullaprima faccia del prisma. Poiché per la rifrazione sulla primafaccia si ha:

e per la rifrazione sulla seconda faccia del prisma si ha:

moltiplicando membro a membro si ha:

Essendo i2 = r1 si ha

da cui r2 = 60°L’angolo di deviazione δ vale perciò:δ = i + e – α = i1 + r2 – α = 60° + 60° – 30° = 90°La risposta corretta è la c.


PROBLEMIIl disegno che segue convalida quanto affermato nel testo

del Problema.

L’osservazione della figura consente di stabilire che l’an-golo di incidenza del raggio di luce vale 45° mentre l’angolodi rifrazione vale 30°. Il raggio di luce deve quindi provenire

5

3

12

sinsin

601

2

° =r

sinsin

sin

sin60 1

11

2

2

° = =r

i

rn

n

sin

sin

i

r n2

2

1=

sinsin

60

1

° =r

n

11

10

9

8

d/2

l/2

d

l

d/2

50°

65° 65°ei

25° 25°


SOLU

ZIO

NI

COM

MEN

TATE

15


La risposta corretta è la a.Se il raggio dello specchio misura 100 cm, la distanza foca-

le misura 50 cm. L’oggetto si trova quindi fra il fuoco e il centrodello specchio e produce una immagine reale, capovolta,ingrandita (vedi la figura seguente). La risposta corretta è la b.

La risposta corretta è la c.La risposta corretta è la d.Osserva che nei tre schemi, per costruire l’immagine, viene

utilizzato anche il raggio che incide sul centro dello specchio(casi 2 e 3). A parte ciò, le immagini vengono correttamentecostruite sfruttando le proprietà del raggio di luce passante per ilfuoco dello specchio e del raggio di luce che incide sullo specchioparallelamente all’asse ottico. La risposta corretta è quindi la d.

La risposta corretta è la a.Il numero di diottrie D si determina esprimendo la distan-

za focale f in metri e calcolando poi il rapporto:

Essendo f = – 25 cm = – 0,25 m (tieni presente che la distan-za focale di una lente divergente ha segno negativo), si ha:


D = = −10 25

4,

Df

= 1

9

8

7

6

5

4

3

Tema 3 – Unità 2

Dal momento che l’angolo di incidenza del fascio di lucesulla prima faccia del prisma vale 0°, il fascio procede inde-viato e giunge sulla seconda faccia del prisma formando conessa un angolo di 60,0°. L’angolo di incidenza del fascio suquesta stessa faccia vale quindi 30,0° e perciò gli angoli dirifrazione per i tre raggi assumono il valore seguente:

In base alla figura seguente gli angoli che i tre raggi formanocon la direzione AB valgono rispettivamente:αR = 58,2° – 30,0° = 28,2°αG = 59,3° – 30,0° = 29,3°αB = 61,0° – 30,0° = 31,0°

Utilizzando un goniometro, disegna ora i tre raggi. La distan-za d del punto di intersezione di questi con lo schermo dalpunto B, espressa con due sole cifre significative per tenereconto dell’approssimazione del disegno, risulta rispettiva-mente: dR = 27 cm, dG = 28 cm, dB = 30 cm.

UNITÀ 2TEST

La risposta corretta è la c.Come si può vedere dalla figura che segue, un osservato-

re situato in O intercetta i raggi riflessi di tre diversi fascidivergenti. Due di questi fasci (raggi 1, 1 e 2, 2) provengonodirettamente dalla riflessione sui due specchi 1 e 2 dei raggiprovenienti da P, il terzo (raggi 3, 3) è prodotto da due rifles-sioni in successione sui due specchi. L’osservatore in O loca-lizza quindi le tre immagini virtuali S1, S2, S3. La risposta cor-retta è perciò la c.

2

1

sin ,sin ,

sin ( , sin , )30 0 1

1 751 75 30 01° = = ⋅ ° =−

rr

BB 661 0, °

sin ,sin ,

sin ( , sin , )30 0 1

1 721 72 30 01° = = ⋅ ° =−

rr

GG 559 3, °

sin ,sin ,

sin ( , sin , )30 0 1

1 701 70 30 01° = = ⋅ ° =−

rr

RR 558 2, °

14

60°

30°

30°

30°

�AB

schermo

r

S2

S3S1

1

1 1

2 2

2

3

3

P

O

FC




La risposta corretta è la d.Lo schema 1 è errato, perché il raggio che dal punto supe-

riore dell’oggetto passa per il centro C della lente deve proce-dere indeviato.Anche lo schema 2 è errato, perché il raggio di luce emessodal punto superiore dell’oggetto che viaggia parallelamenteall’asse ottico principale della lente deve rifrangersi in modoche il suo prolungamento all’indietro passi per il fuoco vir-tuale F situato a sinistra della lente. Lo schema 3 è invece corretto e quindi la risposta corretta è la c.

PROBLEMIUtilizzando la legge dei punti coniugati:

e ponendo in essa q = 75 cm e f = R/2 = 50 cm, si ottiene:p = 150 cm. Per l’ingrandimento si applica la relazione I = q/pe si ottiene: I = 0,50. Essendo q positivo e I < 1, l’immaginerisulta capovolta e rimpicciolita.

Il fatto che su uno schermo posto a distanza di 1,5 mdallo specchio si formi una immagine reale ci consente di sta-bilire che q = 1,5 m. D’altra parte si sa anche che I = q/p = 2 equindi: p = 1,5 m/2 = 0,75 m. Applicando ora la legge deipunti coniugati nella forma:

si ottiene:

da questa si ottiene: R = 1,0 m.Tenendo conto della relazione:

e dei segni da attribuire a R1 e R2 (paragrafo 4 dell’unità 2),si ottiene:

Da questa, eseguendo gli opportuni calcoli, si ottiene n = 1,67.L’ingrandimento lineare dell’oggetto I = q/p è dato da

Da questa, tenendo conto che q = 30,1 m, si ottiene:

Utilizzando ora la legge dei punti coniugati si ottiene:

Da questa, infine: f = 10,3 cm.

10,10033 m

130,1 m

1= =f

pq= = =

30030,1 m

3000,10033 m

== 300

5,4 m18 mm

7,2 m24 mm

5,4 m18 m

7,2 m24 m

= =⋅

=⋅− −10 103 3

==

13

− = −−

−⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

11

1 150 cm 200 40 m

( )nm

11

1 1

1 2fn

R R= − −

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

( )

9

10 75

11 5

2, ,m m

+ =R

1 1 2p q R

+ =

5

1 1 1p q f

+ =

2

11

10 TEMA 4UNITÀ 1TEST

Le traiettorie di un corpo in moto possono definire unaretta o possono svilupparsi anche nello spazio. L’afferma-zione a è quindi errata. Non c’è relazione fra traiettoria elegge oraria, nel senso che, ad esempio, un corpo può muo-versi con la legge oraria s = v t sia su una traiettoria rettilineache su una traiettoria curvilinea. L’affermazione b è quindierrata. L’affermazione corretta è la d, in quanto un corponon deve necessariamente muoversi in modo che le sue posi-zioni rispetto all’origine della traiettoria siano sempre carat-terizzate da valori positivi.

La risposta corretta è la d.Poiché 1 km = 103 m e 1 h = 3,6 ⋅ 103 s, si ha:

La risposta corretta è la c.La risposta corretta è la cIl punto è fermo quando, al trascorrere del tempo, lo spa-

zio percorso rimane immutato. Questa situazione caratteriz-za gli istanti b e d e quindi la risposta corretta è la b.

La risposta corretta è la c.Applicando la definizione di accelerazione media si ottie-

ne:

La risposta corretta è la c.Tieni presente che, in base alla relazione:

l’accelerazione è maggiore quando, a parità di valore del-l’intervallo di tempo considerato, la variazione della veloci-tà è maggiore. In un grafico velocità-tempo, quanto oraaffermato si traduce nel fatto che l’accelerazione è maggio-re in corrispondenza dei segmenti che hanno maggior pen-denza rispetto all’asse dei tempi. In particolare, se la rap-presentazione velocità-tempo in un certo intervallo ditempo è un segmento parallelo all’asse dei tempi, l’accele-razione è zero (e quindi l’affermazione 1 è errata). Osservache nell’intervallo di tempo (6 s; 8 s) la velocità diminuisceal passare del tempo; da ciò deriva che l’accelerazionemedia è negativa (e quindi la 3 è corretta) ma la minor pen-denza del segmento DE rispetto al segmento BC, consente distabilire che il valore assoluto dell’accelerazione in questointervallo di tempo è minore di quella relativa all’intervallo(2 s; 4 s). Anche l’affermazione c è quindi vera. La rispostacorretta al Test è la 2.

La risposta corretta è la d.9

av v

t tm =−−

2

1

1

2

8

av v

t tMm/s m/s

s sm/s=

−−

= −−

=2 1

2 1

220 1060 20

0 25,

7

6

5

4

108 10810

303

kmh

10 m3,6

m/s3

=⋅

=s

3

2

1


SOLU

ZIO

NI

COM

MEN

TATE

17


Tema 4 – Unità 1

La conoscenza dell’accelerazione di A e della velocità di Bin un certo istante del loro movimento non consente di stabi-lire né la velocità di A né l’accelerazione di B. Ne consegueche le affermazioni a, b, c) sono errate e che le accelerazionidei due punti, nell’istante considerato, potrebbero essereuguali. L’affermazione d) è quindi corretta.


PROBLEMIApplicando la relazione che esprime la velocità media si

ottiene:

La velocità media vM relativa all’intero percorso dell’au-tomobile si ottiene valutando lo spazio totale s da essa per-corso e dividendo poi tale spazio per l’intervallo di tempo di60 s.Poiché gli spazi s1 e s2 percorsi nei due intervalli di 30 s val-gono:s1 = 20 m/s ⋅ 30 s = 600 ms2 = 40 m/s ⋅ 30 s = 1200 msi ottiene

In questo caso, poiché gli intervalli di tempo considerati sonoidentici, vM coincide con la media delle velocità v1 e v2. Ingenerale, però, quando gli intervalli di tempo rispetto ai qualisi calcolano le velocità v1 e v2 sono diversi, la velocità mediasull’intero intervallo è diversa dalla media di v1 e v2.

Applicando la definizione di accelerazione media si ottie-ne:

Applicando la relazione:

nei due casi si ottiene:

e quindi:

Applica la relazione:

rilevando sul grafico i valori di v2, v1, t2, t1. Si ottiene allora:

av v

t tm =−−

2 1

2 2

10

a

a

v v

v v1

2

1 1

2 2

=′ −

′ −=

−−

30,0 m/s 10,0 m/s60,0 m/s 5,00 m/s

= 0 364,

av v

t21 1=′ −

Δ

av v

t11 1=′ −

Δ

av v

t tm =−−

2 1

2 1

8

av v

t tM2m/s m/s

s sm/s= = −

−=2 1

2 1

100 5030 20

5 0–

–,

6

vs s

M sm

sm/s=

+= =1 2

601800

6030

4

vs s

t tmm 20 m

s 10 sm/s=

+−

=−−

=2 1

2 1

5025

2 0,

2

11

10

UNITÀ 2TEST

All’istante zero, il punto P1 si trova nell’origine dellatraiettoria e quindi, in un grafico (s, t) la retta che rappre-senta la sua legge oraria deve passare per l’origine del grafi-co. Questo implica che i grafici B e D siano errati. Sempre all’istante zero, P2 si trova a 10 m dall’origine e quin-di in un grafico (s, t) la retta che rappresenta la sua legge ora-ria deve passare per il punto caratterizzato dalle coordinate t = 0, s = 10 m. Il grafico A è quindi sicuramente errato men-tre può essere corretto il grafico C.Considera ora che, osservando tale grafico, puoi stabilire chein 5 s il punto P1 percorre 20 m e il punto P2 percorre 10 m.Quindi:

Il grafico C è quindi corretto e perciò la risposta corretta è la c.La risposta corretta è la b.Nel tempo t1 lo spazio percorso vale v1 t1; nel tempo t2 lo

spazio percorso vale v2 t2. Perciò, nel tempo t1 + t2 lo spaziototale percorso vale v1 t1 + v2 t2. La velocità media risultaallora uguale a:

La risposta corretta è quindi la d.La risposta corretta è la c.I segmenti AB e BC rappresentano la dipendenza spazio-

tempo e non una traiettoria; a è quindi errata. Anche b èerrata, perché, riferendosi al tratto AB della legge oraria, sipuò stabilire che 50 m vengono percorsi in 10 s. La velocitàè quindi di 5 m/s e non di 1 m/s.c è errata perché il grafico indica che nei primi 10 s il puntopercorre 50 m e nei successivi 10 s ne percorre altrettanti,tornando al punto di partenza. Lo spazio totale percorso èquindi, in valore assoluto, pari a 100 m.La risposta d è corretta, anche se si riferisce a un moto idea-le per il quale si suppone che le variazioni della velocitàavvengano istantaneamente.

5

4

v t v t

t t1 1 2 2

1 2

++

3

2

v2ms

m/s= =105

2

v1m

mm/s= =20

54

1

intervallo (0 s; 6 s),0 m/s 0 m/s

6 s 0 s0,0m/s2am =

−−

=


6 s 5 s3,0 m/sam =

−−

= − 22


5 s 2 s0 m/s2am =

−−

=

intervallo (0 s; 2 s),3 m/s m/s

2 s s1,5 m/am = −

−=0

0ss2




La risposta corretta è la d.In un grafico velocità-tempo, lo spazio percorso è misura-

to dall’area definita dalla linea che rappresenta la dipenden-za velocità-tempo e dalle due perpendicolari all’asse dei tempicondotte a partire dai due punti che individuano gli estremidell’intervallo di tempo considerato. Nel caso della figurariportata nel testo del Test, la gradinata definisce un’area cor-rispondente a uno spazio totale così calcolabile:2 m/s ⋅ 1 s + 4 m/s ⋅ 1 s + 6 m/s ⋅ 1 s + 8 m/s ⋅ 1 s = 20 mLa proposizione 1) è quindi vera. Osservando il grafico, si puòstabilire che, ad ogni intervallo di tempo di 1 s, la velocitàmedia aumenta di 2 m/s. L’accelerazione media può quindiessere considerata costante e pari a 2 m/s2. La proposizione2) è quindi vera. La proposizione 3) è errata perché se la velo-cità media nell’intervallo (0 s; 1 s) è di 2 m/s, nell’istante 0 ilpunto in moto sarà dotato di una velocità minore di 2 m/s(nel caso in esame il suo valore è zero). La risposta corretta èquindi la b.

La risposta corretta è la d.La legge oraria del moto di caduta in verticale è espressa

dalla relazione:

Da questa relazione si ottiene:

La risposta corretta è la a.La risposta corretta è la c.La risposta corretta è la c.In un grafico velocità-tempo il valore dell’accelerazione è

associato alla pendenza della retta che rappresenta la dipen-denza velocità-tempo. Poiché la decelerazione dei due punti èidentica, la dipendenza velocità-tempo è rappresentata comeindicato dalla figura seguente.

12

11

10

s = =12

10 1 0 5 02 2m/s s m( , ) ,

s g t= 12

2

9

8

7

6 Il parallelismo delle rette passanti per A, B e per C, D implicache se ––OA = (1/2) ––OC, anche ––OB = (1/2) ––OD. Quindi la rispo-sta corretta è la b.

PROBLEMILa prima automobile percorre lo spazio di 2,0 km =

2,0 ⋅ 103 m in un tempo t1 così calcolabile:

In questo tempo, la seconda automobile percorre uno spaziodi 1,5 ⋅ 103m. Pertanto la sua velocità deve valere:

Indicando con l1 e l2 le lunghezze dei due tratti e con Δt1e Δt2 i tempi impiegati a percorrerli, si può porre:3500 m = l1 + l2

e poiché , vale anche la relazione:

Ricavando l2 dalla prima relazione (l2 = 3500 m – l1) e sosti-tuendo nella seconda si ottiene:

Da questa, con qualche passaggio, si ottiene l1 = 1750 m equindi l2 = 3500 m – 1750 m = 1750 m.

Il segmento che rappresenta la dipendenza spazio−temponell’intervallo di tempo (0 s; 3 s) parte dal punto di coordina-te 3 m e 0 s. Quindi nell’istante t1 = 0 s il punto si trova a 3 mdall’origine. Sempre sulla base del grafico si può stabilire chenell’istante 3 s il punto si trova a 6 m dall’origine e che nell’i-stante 6 s il punto si trova a 3 m dall’origine. Per il calcolodelle velocità medie nei tre intervalli di tempo indicati daltesto del Problema, applica la relazione:

Nei tre casi si ottiene:

intervallo (0 s; 3 s),



La legge oraria del moto è la seguente:

Da questa:

s a t= 12

2

10

vm = −−

3 m 3s

mm / s

6 00=

vm = −−

= −3 m 6 ms s

m/s6 3

1

vm = −−

=6 m 3 ms

m/s3 0

1

vs s

t tm =−−

2 1

2 1

7

120 s25 m/s

3500 m

35 m/s 25 m/s100 s

31 1 1 1= +

−= + −

l l l l

55 m/s

120 s25 m/s 35 m/s

1 2= +l l

Δ Δtl

vt

l

v1 2= =1

1

2

2

e

5

v = ⋅ =1 5 1015

3, m100 s

m/s

t1

31020

100=2,0 m

m/ss

⋅ =

3

tempo

velocità

t 2t

v

2v C

A

B DO


SOLU

ZIO

NI

COM

MEN

TATE

19


Tema 4 – Unità 3

Nota l’accelerazione, si può determinare la velocità con larelazione:v = a t = 8 m/s2 ⋅ 5 s = 40 m/s

L’area del grafico riportato nel testo del Problema sotto-stante il segmento che rappresenta la dipendenza velocità-tempo rappresenta lo spazio percorso nell’intervallo di tempo(0; 10 s). Tenendo quindi presente la formula dell’area di untrapezio, lo spazio s può essere espresso nel modo seguente:

e tenendo conto che vf = 3vi:


Conseguentemente: vf = 3 vi = 30 m/sPer determinare l’accelerazione basta ora applicare la relazione:

Le leggi orarie del moto delle due mele sono rispettiva-mente:

Eguagliando le due espressioni di s si ottiene:

Da questa:

Il valore dell’accelerazione si ottiene applicando la rela-zione:

relativamente all’intervallo di tempo (0 s, 5 s).Il grafico indica che per t1 = 0 s si ha v1 = 25,0 m/s e per t2 = 5,00 s si ha v2 = 10,0 m/s Perciò:

Lo spazio percorso si può ottenere applicando l’espressionedella legge oraria del moto uniformemente decelerato in cui

a = −−

= −10 0 25 00

3 00, ,

,m/s m/s

5,00 sm/s2

s

av v

t t=

−−

2 1

2 1

19

t

tT

L

= =16

0 408,

t tT L2 21

6=

sulla Luna Lsg

t= ⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

12 6

2

sulla Terra s g t= 12

2T

17

av v

t tf i

f i

=−−

= −−

=30 m/s 10 m/ss 0 s

2 m/s2

10

vsti

ms

10 m/s= =⋅

=2

2002 10

sv v t v t

=+

=( )i i i3

2

4

2

sv v t

=+( )i f

2

13

as

t= = ⋅ =2 2 100

58

2 22m

sm/s

( )

si sostituisce ad a il suo valore assoluto 3 m/s2:

oppure calcolando l’area sottostante il segmento che rappre-senta la dipendenza velocità-tempo relativo all’intervallo (0s; 5,00 s). Si ottiene:

UNITÀ 3TEST

La risposta corretta è la d.Il moto prodotto dall’azione della forza sulle due sfere è

uniformemente accelerato per entrambe (c è errata). Poichéle due sfere hanno massa diversa, l’accelerazione impressadovrà essere diversa (d è errata) e precisamente, maggioreper la sfera di massa minore (cioè per la a). Il grafico correttoè quindi il b.

La risposta corretta è la c.La forza di 30 N accelera il sistema dei due corpi. La

massa totale di questo sistema è 3 kg e quindi l’accelerazionevale:

La risposta corretta è la a.La risposta corretta è la a.La risposta corretta è la d.In assenza di attrito, l’accelerazione con la quale i due

blocchi scivolano lungo il piano inclinato è data dal compo-nente della accelerazione di gravità parallelo al piano stesso.Essa è quindi identica per i due blocchi e, in base alla figuraseguente, risulta uguale alla metà della accelerazione di gra-vità cioè uguale a 5 m/s2. La risposta corretta è la c.

Tieni presente che i due corpi si muovono solidalmente e,quindi, con la stessa accelerazione. Sarà quindi sufficiente

8

7

6

5

a = =303

10 2Nkg

m/s

4

3

2

1

s = + =( , ,,

25 0 10 087 5

m/s m/s)5,00 s2

m

m= 87 5,

s v t a t= − = ⋅ −i2m/s s m/s s)

12

25 0 5 0012

3 00 5 002 , , , ( , 22 =

30°

g/2

g/2

g

g

m1

m2

30°

30°




saper valutare quella di uno qualunque dei due.La forza F

�ha intensità ignota e quindi non si potrà determi-

nare l’accelerazione del corpo di massa 2 kg. Sappiamo peròche il corpo di massa 1 kg è trascinato dalla molla che svi-luppa su di esso una forza di intensità F′ data da:F′ = k Δl = 100 N/m ⋅ 0,1 m = 10 NPerciò:

La risposta corretta è quindi la c.La risposta corretta è la d.La forza di attrito dinamico agente sul blocco è data da:

FA = kD m gQuesta si oppone alla forza F

� e conseguentemente l’intensità

della forza totale F�

T agente sul blocco durante il moto è datada:FT = F – FA = F – kD m gL’accelerazione del blocco vale perciò:

La dipendenza di a da kD è quindi di tipo lineare, rappresenta-bile nel grafico con una retta; a è massima per kD = 0 (atten-zione al segno negativo anteposto al prodotto kD g) fino a rag-giungere il valore 0 quando:

Il grafico corretto è quindi il c.

PROBLEMIPer il calcolo dell’intensità della forza F

�accelerante, la

relazione che esprime il secondo principio della dinamica (F= m a) richiede la conoscenza della massa del carrello. Questasi calcola mediante la relazione:

e quindi, infine:

Per le relazioni che legano i cateti e l’ipotenusa di untriangolo rettangolo isoscele, il componente del peso delcorpo A lungo il piano inclinato ha intensità pari a:0,707 mA g = 0,707 ⋅ 4,00 kg ⋅ 9,81 m/s2 = 27,7 NIl peso del corpo B vale invece:mB g = 2,00 kg ⋅ 9,81 m/s2 = 19,6 NIl corpo A scende quindi lungo il piano inclinato.

Il carrello e i due corpi di massa m1 e m2 si muovono soli-dalmente per effetto del risultante

�R delle due forze peso P

�1 e P

�2

dei due corpi (forze che hanno effetti contrastanti) e quindi:R = P2 – P1 = (m2 – m1) gIl valore della massa in moto Mtot si ottiene sommando le tremasse e quindi:

9

7

FPg

a= = =1979 81

5 00 100N

m/sm/s N

22

,,

mPg

=

2

Fm

k g kF

m gD D= → =

aF

mFm

k gTD= = −

10

9

a = =101

10 2Nkg

m/s

Mtot = M + m1 + m2In definitiva:

Per le relazioni che legano i cateti all’ipotenusa di untriangolo rettangolo di angoli acuti 30° e 60°, il componen-te della forza peso del cubo parallelo al piano inclinato (chedetermina il moto di scivolamento del cubo lungo il piano)ha intensità pari alla metà della forza peso del cubo stesso,mentre il componente perpendicolare al piano (che determi-na la forza di attrito) ha intensità pari a 0,866 della forzapeso del cubo. Si avrà quindi:forza parallela al piano inclinato = (1/2) m gforza di attrito radente dinamico = 0,20 ⋅ 0,866 m gL’accelerazione con la quale il cubo scivola lungo il piano valeperciò:

Per determinare la velocità dopo 3,0 m di discesa applica lerelazioni del moto uniformemente accelerato:

Ricavando t dalla prima e sostituendo la sua espressionenella seconda, con qualche passaggio algebrico, si ottiene:

UNITÀ 4TEST

La risposta corretta è la c.Il componente della forza F

�lungo lo spostamento s

�ha

intensità F′ data da:F’ = F ( /2) = 10 N ⋅ 0,866 = 8,66 NQuindi:L = F′ s = 8,66 N ⋅ 100 m = 866 JLa risposta corretta è la c.

La risposta corretta è la d.La forza F

�1, avente identica direzione e identico verso di

s�, compie un lavoro:

L1 = F1 s = 10 N ⋅ 20 m = 200 JPer il calcolo del lavoro della forza F

�2 è necessario determina-

re prima l’intensità del suo componente F�2′ nella direzione di

s�. Si ottiene:

F2′ = F ( /2)e quindi, tenendo conto che F

�2’ ha verso opposto a quello di s

�:

3

4

3

3

2

1

v s a= = ⋅ ⋅ =2 2 3 0 3 2 4 42, , ,m/s m/s

v a t s a t= = 12

2

g⋅ , )0 866 == 3 2 2, m/s

am g m g

m= − ⋅ = − ⋅( / ) , ,

(( / ) ,1 2 0 20 0 866

1 2 0 20

12

= −kg kg( , , ) ,0 400 0 200 9 8812 00 0 200

0 7552

2m/skg kg 0,400 kg

m/s, ,

,+ +

=

aR

M

m m g

M m m= =

−+ +

=tot

( )2 1

1 2


SOLU

ZIO

NI

COM

MEN

TATE

21


Tema 4 – Unità 4

L2 = – F2′ s = – F ( /2) s = – 11,55 N ( /2) 20 m =– 200 J

Il lavoro totale delle due forze è 0 J e la risposta corretta è la a.La risposta corretta è la a.Applicando la relazione:

si ottiene:

La risposta corretta è la c.La risposta corretta è la d.Il testo non precisa il livello di riferimento per l’energia

potenziale gravitazionale. Se questo coincidesse con la super-ficie del terreno si avrebbe:Ep = m g h = 10,0 kg ⋅ 9,81 m/s2 ⋅ 10,0 m = 981 Je la c sarebbe corretta.Anche la a potrebbe essere corretta, pur di assumere comelivello di riferimento un piano che si trova 10 m sopra ilmodellino. Così pure la d, pur di assumere come livello di rife-rimento il fondo della buca; infatti, in tal caso:Ep = m g h = 10,0 kg ⋅ 9,81 m/s2 ⋅ 15,0 m = 1470 JL’affermazione sicuramente errata è quindi la b.

La risposta corretta è la b.Per definizione, la potenza esprime il rapporto fra il lavo-

ro compiuto e il tempo impiegato a compierlo, ma il lavoropuò essere di qualunque tipo e non necessariamente quelloche si compie per sollevare un corpo; a è errata.b è errata, perché il sollevamento dei pesi per tratti di lun-ghezza identica comporta lavori diversi ma, se vengonoeffettuati in tempi opportuni, potrebbero non comportarel’impiego di potenze diverse.Anche c è errata, perché qualche centinaio di chilometripuò essere percorso anche in bicicletta. In tale caso lapotenza impiegata sarà minore e il tempo per percorrerlimaggiore.d è corretta, perché lavoro e potenza sono direttamenteproporzionali solo se il tempo impiegato per compiere illavoro rimane invariato.

La risposta corretta è la a.Dal momento che la velocità dell’automobile non varia,

la potenza da essa sviluppata deve essere tutta impegnata pervincere la forza di attrito che si oppone al suo movimento.Dalla relazione generale:P = F vassegnando a F il ruolo della forza di attrito FA si ottiene:

La risposta corretta è la b.La risposta corretta è la c.13

FPvA

3W25 m/s

2,00 10 N= = ⋅ = ⋅5 00 104,

12

11

10

9

8

7

Ec210 kg (10 m/s) = 500 J= 1

2

E m vc = 12

2

6

5

33 In base al principio di conservazione dell’energia, ilvalore dell’energia meccanica del corpo deve rimanereinvariato in tutti i punti della sua traiettoria. In base a que-sta considerazione è possibile escludere subito il disegno Aperché nel punto più elevato della traiettoria da esso effet-tuata dopo la partenza (punto K) esso non possiede energiacinetica e possiede una energia potenziale gravitazionaleinferiore a quella posseduta nel punto H. I disegni B e Csono invece errati per il motivo opposto, in quanto per poterabbandonare la guida con una certa velocità (anche moltopiccola, come nel caso del disegno C il corpo, che in K pos-siede la stessa energia potenziale gravitazionale possedutain H, dovrà avere anche energia cinetica e ciò contrasta conil principio di conservazione dell’energia. Il disegno corret-to è quindi quello indicato con D ove è rappresentata lasituazione nella quale il corpo, giunto in K, si ferma per unistante e ritorna poi verso H con un movimento di avanti eindietro che, nel caso ideale di totale assenza di attriti diogni tipo, non si esaurisce mai. La risposta corretta è la d.

La risposta corretta è la a.Se la velocità del corpo rimane costante durante la

discesa lungo il piano, anche l’energia cinetica del corporimane costante. L’energia potenziale gravitazionale dimi-nuisce invece con la quota. Ne consegue che la somma del-l’energia cinetica e dell’energia potenziale gravitazionaledeve diminuire linearmente con la quota. Tenendo presen-te che il punto di partenza del corpo corrisponde alla quotamassima e cioè al massimo valore di h, la risposta correttaè la a.

PROBLEMIPer determinare il lavoro della forza F

�occorre valutare

l’intensità F′ del suo componente nella direzione dello spo-stamento. Essendo:

F′ = F ( /2) = 100 N ( /2) = 86,6 Nsi ottiene:LF = 86,6 N ⋅ 10 m = 866 JIl peso del blocco è perpendicolare allo spostamento; il suocomponente lungo la direzione dello spostamento è nullo equindi è nullo il lavoro da esso compiuto.La forza di attrito dinamico F

�A ha intensità calcolabile con la

relazione:FA = kD (m g – (1/2) F) = 0,400 (20,0 kg ⋅ 9,81 m/s2 – (1/2)100 N) = 58,4 Ne quindi, tenendo conto che questa forza ha la stessa direzio-ne dello spostamento ma verso opposto, si ha:LFA = – 58,4 N ⋅ 10 m =–584 J

La variazione di velocità del corpo è associate alla varia-zione della sua energia cinetica e questa, a sua volta, è pro-dotta dal lavoro della forza agente sul corpo. La relazione checonnette il lavoro con la variazione dell’energia cinetica è laseguente:

7

33

4

16

15

14




Da questa

Per determinare l’intervallo di tempo richiesto per produrrela variazione di velocità puoi calcolare l’accelerazione delcorpo:

e applicare la relazione:v2 = v1 + a tda cui:

Il lavoro della forza frenante deve essere uguale all’ener-gia cinetica del proiettile. Supponendo che la forza frenanteabbia mediamente intensità F scriveremo:

F s = m v2

Essendo s = 10 cm = 0,10 m; m = 10 g = 0,010 kg; v = 1000m/s si ottiene F = 5,0 ⋅ 104 N.

L’energia potenziale gravitazionale nelle due posizioni èespresso dalle relazioni:Ep1 = m g h1Ep2 = m g h2essendo h1 e h2 le quote del corpo rispetto a un prefissato (enon definito) livello di riferimento. La variazione dell’energiapotenziale gravitazionale sarà allora data da:Ep2 – Ep1 = m g (h2 – h1)e quindi:–1500 J = m ⋅ 10 m/s2 (– 5 m – 20 m) Da questa si ottiene: m = 6,0 kg

Rispetto al primo livello di riferimento la quota h delcorpo è positiva e perciò:EP1 = 10 kg ⋅ 9,8 m/s2 ⋅ 5,0 m = 490 JRispetto al secondo livello di riferimento la quota h del corpoè negativa e perciò:EP2 = 10 kg ⋅ 9,8 m/s2 ⋅ (−10 m) = − 980 J

Tenendo presente la relazione PW = F v e considerandoche 108 km/h = 30 m/s, si ottiene:PW = 1000 N ⋅ 30 m/s = 3,0 ⋅ 104 W = 30 kW

18

16

13

12

11

tv v

a=

−= − =1 2 25 15

400 25

m/s m/sm/s

s2

,

aFm

= = =8002

40N

0 kgm/s2

Fm v v

s=

−= −

⋅( ) )2

21

2 2 2

220 kg ((25m/s) (15m/s)

2 5,0 mmN= 800

L F s m v m v= = −12

122

21

2Un istante prima del rimbalzo, la palla possiede solo

energia cinetica Ec data dalla somma dell’energia cineticainiziale:

e dell’energia potenziale gravitazionale iniziale:m g hi con hi = 8,00 mQuindi:

Dopo il rimbalzo, questa energia cinetica si trasforma in ener-gia potenziale gravitazionale della palla corrispondente allaquota h′ da essa raggiunta. Possiamo quindi porre:43,2 J = m g h′dalla quale h′ = 8,82 J.Più rapidamente, avremmo potuto considerare che la diffe-renza fra l’energia potenziale gravitazionale finale e l’energiapotenziale gravitazionale iniziale della palla è uguale all’e-nergia cinetica iniziale della palla, e avremmo quindi potutoporre:

dalla quale:

e quindi:

L’energia cinetica che il cubetto possiede in quel puntodeve essere uguale alla differenza fra l’energia potenziale gra-vitazionale del cubetto nella sua posizione iniziale e l’energiapotenziale gravitazionale del cubetto nel punto B.Assumendo come livello di riferimento la linea orizzontaleche compare nella figura del testo del Problema, la quota delcubetto nel punto B vale 0,700 m ⋅ 2 = 1,40 m. Perciò:

Da questa uguaglianza si ottiene:

v = ⋅ ⋅ =2 9 81 0 60 3 43. , ,m/s m m/s2

12

2m v m g= −(2,00 m 1,40 m)

24

′ = + = +⋅

=h hv

gii 8,00 m

m/sm/s

2 2

224 00

2 9 818 82

( , ),

, mm

′ − =h hv

gii2

2

m g h h m v( ' )− =i12

2i

9 81 2m/s+ ⋅, 88 00 43 2, ,m J⎤⎦⎥

=

12

12

2m v m g hi i2= 0,500 kg (4,00 m/s)+ +⎡

⎣⎢

12

4 002m v vi icon m/s= ,

23


SOLU

ZIO

NI

COM

MEN

TATE

23


Tema 5 – Unità 1-2

TEMA 5UNITÀ 1TEST

La risposta corretta è la d.Tenendo presente che lo zero della scala centigrada corri-

sponde a 273,15 K, la temperatura di – 173,00 °C corri-sponde a (– 173,00 + 273,15) K = 100,15 KLa risposta corretta è la c.

La risposta corretta è la b.La dilatazione delle dimensioni lineari caratterizza ogni

parte della lamina, incluso il bordo del foro. La risposta cor-retta è quindi la c.

La risposta corretta è la a.In base alla relazione:

lt°C = l0°C (1 + λ t)si può porre: l100°C – l0°C = l0°C λ tDa questa:

Si può ora calcolare l–100°C:l–100°C = 1000 mm (1 – 1,0 ⋅ 10–4 °C–1 ⋅ 100 °C) = 990 mmLa risposta corretta è la b.

La risposta corretta è la a.Il calore sviluppato è prodotto dal lavoro della forza di

attrito. Poiché il punto di applicazione di questa forza esegueuno spostamento lungo il piano dello scivolo pari a:2 ⋅ 2,00 m = 4,00 me quindi:LA = – FA s = – 125 N ⋅ 4,00 m = – 500 JLa risposta corretta è la c.

La risposta corretta è la d.La relazione:

Q = C m Δtconsente di valutare solo il salto termico e quindi, se non ènoto il valore della temperatura iniziale del corpo, non è pos-sibile stabilire il valore della sua temperatura finale. La rispo-sta corretta è la a.

La risposta corretta è la a.In base alla relazione: Q = C m Δt, se Q e Δt sono costan-

ti, si può scrivere: C m = costante. Dunque le grandezze C e msono inversamente proporzionali. La risposta corretta è quin-di la d.

La risposta corretta è la a.Applicando la condizione:

calore ceduto = calore assorbitosi ottiene:CH2O ⋅ 100 g (80 °C – teq) = CH2O ⋅ 100 g (teq – 20 °C)Da questa si ottiene teq = 50 °C. La risposta corretta è la c.

La risposta corretta è la c.15

14

13

12

11

10

9

8

7

λ =−

= −⋅

l l

l t100°C 0°C

0°C

1010 mm 1000 mm1000 mm 100 °°C

° C= ⋅ − −1 0 10 4 1,

6

5

4

3

2

1

PROBLEMIConsiderando che la temperatura di 0 °C corrisponde a

273,15 K, la temperatura di – 50,0 °C corrisponde a(– 50,0 + 273,15) K = 223,15 K = 223 K

Poiché il carico scende con velocità costante, la sua ener-gia cinetica non varia. La variazione di energia potenzialegravitazionale del carico si deve perciò considerare completa-mente trasformata in calore. Si può porre perciò:Q = m g hLo svolgimento di 10 giri di corda corrisponde a un valore dih così calcolabile:h = 10 (2 π ⋅ 5,00 cm) = 314 cm = 3,14 mQuindi:Q = 5,00 kg ⋅ 9,81 m/s2 ⋅ 3,14 m = 154 JConsiderando che 1 cal corrisponde a 4,19 J, il numero dicalorie è dato da:

Applicando la relazione:Q = C m Δtsi ottiene:Q = 1,00 J/(g °C) ⋅ 500 g ⋅ 50,0 °C ++ 1,50 J/(g °C) ⋅ 750 g ⋅ 50,0 °C = 8,13 ⋅ 104 J

Per il primo corpo si può scrivere:Q = 3,30 J/(g °C) ⋅ 200 g ⋅ 25,0 °CPer il secondo:Q = 1,65 J/(g °C) ⋅ 300 g ⋅ ΔtEguagliando i termini di destra delle due espressioni e rica-vando Δt si ottiene Δt = 33,3 °C.

Applicando l’equazione della calorimetria si ottiene:4,19 J/(g °C) ⋅ 250 g (teq – 20,0 °C) + 0,800 J/(g °C) ⋅ 400 g (teq– 100 °C) = 0Da questa si ha teq = 38,7 °C.

UNITÀ 2TEST

La risposta corretta è la c.Per fondere i 100 g di sostanza occorre una quantità di

calore:Q1 = 100 g ⋅ 200 J/g = 2 ⋅ 104 JPer aumentare la temperatura della sostanza di 100 °Coccorre una quantità di calore:Q2 = 2,0 J/(g °C) ⋅ 100 g ⋅ 100 °C = 2 ⋅ 104 JLa somma di Q1 e di Q2 supera la quantità di calore fornita, sideve quindi ipotizzare che la sostanza si sia portata a 300 °Cassorbendo 2 ⋅ 104 J di calore e che poi 50 g di essa siano fusiassorbendo ancora 1 ⋅ 104 J di calore. In definitiva la rispostacorretta è la c.

La risposta corretta è la b.Per fondere 200 g di ghiaccio occorre una quantità Q di

calore pari a:4

3

2

1

19

14

11

154 J4,19 J/cal

cal= 36 8,

9

2




Q = 200 g ⋅ 334 J/g = 6,68 ⋅ 104 JI 100 g di acqua a 12 °C possono cedere al massimo unaquantità di calore Q′ pari a:Q′ = 4,19 J/(g °C) ⋅ 100 g (12,0 °C – 0 °C) = 5,03 ⋅ 104 JQuindi si realizza solo una parziale fusione del ghiaccio etutto il sistema si porta a 0 °C. La risposta corretta è la a.

La risposta corretta è la b.Il brinamento consiste nel passaggio di una sostanza

dallo stato di gas a quello di solido; comporta sviluppo di calo-re nell’ambiente e, per l’acqua, avviene al di sotto della tem-peratura di circa 0°C. La risposta corretta è quindi la b.

La risposta corretta è la c.La risposta corretta è la c.Il fenomeno della invarianza della temperatura nel passag-

gio solido-liquido avviene per tutte le sostanze solide cristalline;dunque l’affermazione a è errata. Un liquido evapora a qua-lunque temperatura superiore a quella di solidificazione; la b,quindi, è errata. È corretta invece la c, perché il processo diebollizione avviene a una temperatura definita (per una datapressione dell’ambiente) e costante. Anche la d è errata per-ché, come dimostrano i valori del calore relativo ai passaggi distato, per una certa sostanza, il calore relativo al passaggioliquido-gas è più alto del calore relativo al passaggio solido-liquido.

PROBLEMIIl bilancio termico:

calore ceduto = calore assorbitosi traduce in questo caso nella relazione seguente:4,19 J/(g °C) ⋅ 500 g (40,0 °C – tf) == 2,09 J/(g °C) ⋅ 60,0 g (0 °C – (- 20,0 °C)) + 334 J/g ⋅ 60,0 g ++ 4,19 J/(g °C) ⋅ 60,0 g (tf – 0 °C)Risolvendo si ottiene tf = 26,1 °C.

4

9

8

7

6

5

Per la fase di aumento della temperatura fino a 80 °C:Q1 = 2,80 J/(g °C) ⋅ 1,00 ⋅ 104 g (80,0 °C – 20,0 °C) == 1,68 ⋅ 106 JPer la fase di ebollizione:Q2 = 1,20 ⋅ 103 J/g ⋅ 1,00 ⋅ 104 g = 1,20 ⋅ 107 JIn definitiva: Q = Q1 + Q2 = 1,37 ⋅ 107 J

Conoscendo il valore del calore di fusione della sostanza(160 J/g), si può stabilire che, per fonderne 100g, è necessariauna quantità di calore Qf pari a:Qf = 160 J/g ⋅ 100 g = 1,6 ⋅ 104 JIl grafico indica che tale quantità di calore viene fornita in 10min e quindi il flusso φ di calore fornito dalla sorgente vale:

Considera ora che la fase di riscaldamento che porta la tem-peratura della sostanza da 50 °C a 150 °C dura 5,0 min. Inquesta fase viene quindi fornita una quantità di calore QRdata da:QR = φ ⋅ 5,0 min = 1,6 ⋅ 103 J/min ⋅ 5,0 min = 8,0 ⋅ 103 JD’altra parte si può porre:8,0 ⋅ 103 J = C ⋅ 100 g (150 °C – 50 °C)e, quindi, da questa:

Sempre in base al grafico, puoi stabilire che, per la ebollizionecompleta del liquido, si richiedono 30 min e ciò corrispondea un rifornimento di calore QE pari a:QE = φ ⋅ 30 min = 1,6 ⋅ 103 J/min ⋅ 30 min = 4,8 ⋅ 104 JIl calore di ebollizione cE vale perciò:

cE

4210 J

100 g10 J/g= 4 8

4 8,

,⋅ = ⋅

C10 J

100 g (150 °C 50 °C)J/(g °C)

3= 8 0

0 80,

,⋅

−=

φ = 1,6 10 J10 min

1,6 10 J/min4

3⋅ = ⋅

9

6
