28 1

THEORY

ทฤษฏ ของสามเหลยม

โดย นายพฒพงศ วนภงา

563050119-7

2

ค าน า หนงสอเลมน เปนสวนหนงของภาควชาคอมพวเตอรและ

เทคโนโลย ทผเขยนไดรวบรวมเอาเนอหาทเกยวกบทฤษฏ

พนฐานของสามเหลยมไว และผเขยนหวงวาจะเปนประโยชน

ส าหรบผทสนใจเกยวกบเรองนเปนอยางยง

ขาพเจาขอขอบพระคณ ทกๆทานทไดใหความชวยเหลอ ให

ค าแนะน า และรวบรวมขอมล ในการท าหนงสอเลนน เปนอยาง

ยง ถามขอผดพลาดประการใดกขออภยไว ณ ทน

นายพฒพงศ วนภงา

ผเขยน

27

26

5. รปสามเหลยมทไมอยบนระนาบ รปสามเหลยมทไมอยบนระนาบ หมายถงรปสามเหลยมทไมไดถก

วาดขนบนพนผวทแบนราบ ตวอยางรปสามเหลยมทไมอยบน

ระนาบเชน รปสามเหลยมบนทรงกลมในเรขาคณตทรงกลม และ

รปสามเหลยมเชงไฮเพอรโบลาในเรขาคณตเชงไฮเพอรโบลา ซง

ไมไดเปนสวนหนงของเรขาคณตแบบยคลด

ในขณะทรปสามเหลยมธรรมดา (สองมต) มมภายในรป

สามเหลยมจะรวมกนได 180° แตรปสามเหลยมทไมอยบนระนาบ

มมภายในอาจรวมกนไดมากกวาหรอนอยกวานน บนพนผวทม

ความโคงเปนลบ (บมลงไป) จะบวกกนไดนอยกวา 180° และบน

พนผวทมความโคงเปนบวก (นนขนมา) จะบวกกนไดมากกวา

180° นนหมายความวา ถาเราวาดรปสามเหลยมขนาดใหญมาก

บนพนผวโลก มมภายในจะรวมกนไดมากกวา 180°

3

สารบญ

บทท หนา ค าน า 2 สารบญ 3 1. เราเรยกมนวาอะไร 4 1.1 แบงตามความยาวของดาน 6 1.2 แบงตามมม 7 2. รไวใชวา ใสบาฝกฝน 8 3. จด เสนตรง วงกลม สามเหลยม 12 4. พนท 5 แบบ 16 4.1 สตรทวไป 18 4.2 ใชเวกเตอร 19 4.3 ใชพกด 20 4.4 ใชสตรของเฮรอน 21 4.5 ใชตรโกณมต 22 5. รปสามเหลยมทไมอยบนระนาบ 24

4

บทท 1 เราเรยกมนวาอะไร

25

รปสามเหลยมทไมอยบน

ระนาบ

24

บทท 5 รปสามเหลยมทไมอยบนระนาบ

5

ประเภทของรปสามเหลยม

แบงตามความยาวของดาน

แบงตามมมภายใน

6

1. เราเรยกมนวาอะไร? การเรยกชอหรอประเภทของสามเหลยม จะถก

1.1 แบงตามความยาวของดาน

รปสามเหลยมหนาจว (isosceles) ม

รปสามเหลยมดานไมเทา (scalene)

รปสามเหลยมดานเทา (equilateral)

23

22

ใชตรโกณมตหาสวนสง h

4.5 ใชตรโกณมต

สวนสงของรปสามเหลยมหาไดดวยตรโกณมต จากรปทางซาย

สวนสงจะเทากบ h = a sin γ น าไปแทนในสตร S = ½bh ทได

จาก ขางตน

พนท ของรป

สามเหลยมจงแสดงไดเปน

นอกจากนน เมอ sin α = sin (π - α) = sin (β + γ) และเปน

เชนนเหมอนกนกบอกสองมมทเหลอ จะไดสตร

7

1.2 แบงตามมม

รปสามเหลยมมมฉาก (right, right-

angled, rectangled) มมมภายในมม

รปสามเหลยมมมปาน (obtuse) ม

รปสามเหลยมมมแหลม (acute) มม

8

บทท 2 รไวใชวา ใสบาฝกฝน

21

4.4 ใชสตรของเฮรอน

อกวธทใช

ค านวณ S ไดคอใช

สตรของเฮรอน

เมอ s=(a+b+c)/2 คอครงหนงของเสนรอบรปของรป

สามเหลยม

นอกจากนกมสตรอนทเทยบเคยงกบสตรของเฮรอน

20

4.3 ใชพกด

ถาจดยอด A อยทจดก าเนด (0, 0) ในระบบพกดคารทเซยน และ

ก าหนดใหพกดของอกสองจดยอดอยท B = (xB,yB) ,

C = (xC,yC) แลวพนท S จะค านวณไดจาก ½ เทาของคา

สมบรณของดเทอรมแนนต

ส าหรบจดยอดสามจดใดๆ สมการคอ 121.12-

74258/4561*754120+54851

ในสามมต พนทของรปสามเหลยม A = (xA,yA,zA) ,

B=(xB,yB,zB) , C = (xC,yC,zC) คอผลบวกพทาโกรสของพนท

9

ขอเทจจรงพนฐานของสามเหลยม

10

2. รไวใชวา ใสบาฝกฝน ในหนงสอชอ Elements เลม 1-4 เมอประมาณ 300 ปกอน

ครสตกาล รปสามเหลยมเปนรปหลายเหลยมชนดหนง และเปน

2-ซมเพลกซ (2-simplex) รปสามเหลยมทกรปเปนรปสองมต

ผลบวกของความยาวของสองดานใดๆ ในรปสามเหลยม จะ

มากกวาความยาวของดานทสามเสมอ สงนเรยกวาอสมการองรป

สามเหลยม

รปสามเหลยมสองรปจะเรยกวา คลายกน กตอเมอทกมมของรป

หนง มขนาดเทากบมมทสมนยกนของอกรปหนง ซงในกรณน

ดานทสมนยกนจะเปนสดสวน (proportional) ตอกน

ถาดานทสมนยกนสองดานเปนสดสวนตอกน และมมทดานทง

สองประกอบอยสมภาค (congruent) ตอกน แลวรปสามเหลยม

สองรปนนจะคลายกน

ถาดานทงสามของรปสามเหลยมสองรปเปนสดสวนตอกน แลวรป

สามเหลยมสองรปนนจะคลายกน

การใชรปสามเหลยมมมฉากและแนวคดเรองความคลาย ฟงกชน

19

4.2 ใชเวกเตอร

พนทของรปสเหลยมดานขนานสามารถค านวณไดดวย

เวกเตอร ก าหนดให AB และ AC เปนเวกเตอรทช

จาก A ไป B และ A ไป C ตามล าดบ พนทของรปสเหลยมดาน

ขนาน ABCD คอ |AB×AC| ซงเปนขนาดของผลคณไขวระหวาง

เวกเตอร AB กบ AC และ |AB×AC| มคา

เทากบ |h×AC| เมอ h แทนสวนสงทเปนเวกเตอร

พนทของรปสามเหลยม ABC เปนครงหนงของพนทของรป

สเหลยมดานขนานรปน หรอ S = 12|AB×AC|

พนทของรปสามเหลยม ABC กยงสามารถเขยนไดดวยรปแบบของ

ผลคณจดดงน

18

4. พนท 5 แบบ 4.1 สตรทวไป

พนทของรปสามเหลยม สามารถแสดงไดเปนครงหนงของพนทของรป

การค านวณพนทของรปสามเหลยมเปนปญหาพนฐานทมกจะพบ

ในสถานการณทแตกตางกน สตรทงายและเปนทรจกมากทสดคอ

S = 1/2bh

เมอ S หมายถงพนท b คอความยาวของฐาน และ h คอความสง

หรอสวนสงของรปสามเหลยม ค าวาฐานในทนสามารถหมายถง

ดานในดานหนงของรปสามเหลยม และสวนสงคอระยะทวดจากมม

ทอยตรงขามดานนนตงฉากไปยงฐาน

ถงแมวาสตรนจะงาย แตกใชประโยชนไดเฉพาะเมอสามารถหา

ความสงของรปสามเหลยมไดโดยงาย ตวอยางเชนการรงวดทดนท

มลกษณะเปนรปสามเหลยม จะวดความยาวของดานทงสามแลว

11

ทฤษฎบทพทาโกรส (Pythagorean theorem) เปนอกทฤษฎ

บทหนงทส าคญ กลาววาในรปสามเหลยมมมฉากใดๆ ก าลงสอง

ของความยาวของดานตรงขามมมฉาก จะเทากบผลรวมของก าลง

สองของความยาวของทงสองดานทเหลอ ถาดานตรงขามมมฉาก

ยาว c หนวย และดานประกอบมมฉากยาว a และ b หนวย

ดงนนทฤษฎบทนจงใหความหมายวา A2 + b2 = c2

มมแหลมสองมมในรปสามเหลยมมมฉากเปนมมประกอบมมฉาก

(complementary angles) a + b + 90o = 180o => a + b

= 90o => a = 90o − b

ถาหากดานประกอบมมฉากมขนาดเทากน มมแหลมสองมมกจะ

มขนาดเทากนดวยคอ 45° และจากทฤษฎบทพทาโกรส ความ

ยาวของดานตรงขามมมฉากจะมขนาดเปน √2 เทาของดาน

ประกอบมมฉาก

ถาหากมมแหลมสองมมมขนาด 30° และ 60° ความยาวของดาน

ตรงขามมมฉากจะมขนาดเปน 2 เทาของดานประกอบมมฉากท

สนกวา

ส าหรบรปสามเหลยมทกรป ขนาดของดานและมมม

12

บทท 3 จด เสนตรง วงกลม สามเหลยม

17

การหาพนทของรป

สามเหลยม

สตรทวไป

ใชเวกเตอร ใชพกด

ใชสตรของเฮรอน ใชตรโกณมต

16

บทท 4 พนท 5 แบบ

13

จด เสนตรง และรปวงกลมทเกยวของกบ

รปสามเหลยม

14

3. จด เสนตรง

จดตดของสวนสงคอ จดออรโทเซนเตอร

ศนยกลางวงลอม คอจดศนยกลาง

ของวงกลมทลากผานจดยอดทง

สามของรปสามเหลยม

จดตดของเสนแบงครงมม ใชหาจด

15

เซนทรอยด เปนศนยถวง

วงกลมเกาจด แสดงความสมมาตรทจด

หกจดอยบนวงกลมเดยวกน

เสนออยเลอร คอเสนทลากผาน เซนทรอยด

(สเหลอง) , จดออรโทเซนเตอร (สน าเงน) ,

ศนยกลางวงลอม (สเขยว) และจดศนยกลางของ

วงกลมเกาจด (สแดง)