1.- El objeto mostrado descansa sobre una superficie horizontal sometida a las fuerzas que se indican, hallar la deformación de longitud en cada tramo.

2𝑐𝑚2 8𝑐𝑚2

600 0𝑁400 0𝑁

10000𝑁

10𝑚 5𝑚

𝐸1=5 ×1010 𝑁 /𝑚2 𝐸2=10 ×1010𝑁 /𝑚2

2.- Un bloque de 5kg cuelga de un hilo de acero de 60 cm de longitud y 0,625 mm2 de sección; de él cuelga un hilo de acero como el anterior que soporta un peso de 2.5kg. Calcular el alargamiento de cada hilo (considerar el peso de los hilos despreciable) EAcero = 2x1011N/m2.

5𝑘𝑔

2. 5𝑘𝑔

𝐻𝑖𝑙𝑜1

𝐻𝑖𝑙𝑜2

𝐿1=60𝑐𝑚

𝐿2=60𝑐𝑚

3.- Se tiene una barra rígida OC, suspendida por dos cables ubicados en A y B, con los datos indicados. Hallar el máximo peso vertical que se puede colocar en C.

𝐿1=1 m 𝐿2=2m2 𝐴2=5𝑐𝑚2

𝜎 2𝑀𝑎𝑥=5×106𝑘𝑔 /𝑐𝑚2

𝑊𝑚𝑎𝑥

1𝑚 1𝑚 1𝑚

𝐸2=53 𝐸1

𝐶𝐴 𝐵𝑂

4.- Al levantar una jaula que pesa 10Tn con un cable que tiene 200m de longitud y área de sección recta 1,000mm2, este se estira 170mm. Hallar la aceleración de la jaula despreciando el peso del cable que es de acero y su modulo vale 2x106 Kgf/cm2.

5.- Calcular el incremento de longitud que tendrá un pilar de hormigón de 50 x 50 cm2 de sección y de 3 m de longitud, que se encuentra apoyado en su base inferior, debido a su propio peso. (E= 25Gpa, 24KN/m3.)

5.- A dos caras opuestas de un bloque cubico de acero de 25cm de lado se aplican sendas fuerzas de extensión opuestas de 200Kgf c/u. Hallar el ángulo de cizalla y el desplazamiento relativo. El modulo de rigidez del acero vale 8.4 x 105 Kgf/cm2.

6.- Una barra de acero (G = 12 x 106 lb/plg2) de una pulgada de diámetro sobresale 1.5 pulgadas fuera de la pared. Si en el extremo de la barra se aplica un esfuerzo cortante de 8000 libras, calcular la deflexión hacia abajo.

7.- Una esfera sólida de latón cuyo módulo volumétrico es B,( B = 6.1 x 1010 N/m2) inicialmente está rodeada de aire, y la presión del aire ejercida sobre ella es igual a 1 x 105 N/m2 (Presión atmosférica). La esfera se sumerge en el océano a una profundidad a la cual la presión es 2 x 107 N/m2. EL volumen de la esfera en el aire es de 0.5 m3. ¿ En cuánto cambiará este volumen una vez que la esfera este sumergida?

8.- El módulo volumétrico para el agua es 2.1 GPa. Calcule la contracción volumétrica de 100 ml de agua cuando se someten a una presión de 1.5 MPa.

9.- Una barra de 10 mm de diámetro de un aluminio (E = 70 x 109 Pa) es sometida a una carga de tracción de 6 kN. a) Calcule el diámetro final de la barra. b) calcule de diámetro final de la barra si se somete a una carga de compresión de 6 kN. Relación de Poisson = 0.33.

7.- Una carga de 100Kgf esta colgada de un alambre de acero de 1m de longitud y 1mm de radio ¿A que es igual el trabajo de tracción del alambre?.

7.- Una barra prismática de longitud L(m) y sección transversal rectangular A(m2), esta soldada a un techo rígido, si el peso especifico de la barra es (kg/m3). Hallar el alargamiento de la barra, debido a su propio peso.

8.- Un alambre de acero cuya densidad es 7,8 g/cm3, pesa 16gr y tiene 250 cm de longitud, Si se estira 1,2mm cuando es traccionado por una fuerza de 8kg. Hallar:a) El modulo de Youngb) La energía almacenada en el alambre.

9.- El limite elástico de un cable de acero es 2,4x108 N/m2, el área de su sección transversal es 4cm2. Si el cable debe sostener un ascensor de 800kg que se desplaza hacia arriba. Calcular la aceleración máxima que se puede dar al ascensor sin que el esfuerzo en el cable exceda la mitad del limite elástico dado.

EjemploUna barra de acero uniforme está suspendida verticalmente y soporta una carga de 2 500 kg en su extremo inferior como se indica en la figura. Si la sección recta de la barra es 6 cm², el módulo de elasticidad E=2,1x106 kg/cm2. Determinarel alargamiento total de la barra.

DSLR=5 000 kg

La barra está afectada en tres porciones: superior, media e inferior; la deformación de cada porción se calcula con la relación:

AEFLL

Solución

Las tres porciones de la barra se alargan, entonces el alargamiento total es:

imsT LLLL

)/101,2(6)25(2500)50(4000)75(5000

262 cmkgxcmcmkgcmkgcmkg

TL

cmLT 0506,0

EjemploDos barras prismáticas están unidas rígidamente y soportan una carga de 5 000 kg como se indica en la figura. La barra superior es de acero con una densidad de 0,0078 kg/cm³, una longitud de 10 m y una sección recta de 60 cm². La barra inferior es de bronce de densidad 0,0080 kg/cm³, una longitud de 6 m y una sección de 50 cm². Para el acero E=2,1x106 kg/cm2 y para el bronce E=9x105 kg/cm2. Determinar los esfuerzos máximos en cada material.

Solución:Se debe calcular primero el peso de cada parte de la barra.

Peso = (peso específico)(volumen)

El peso de la barra de bronce es:Wb=0,008 kg/cm³(50 cm²)(600 cm)=240 kgEl peso de la barra de acero es:Wa=0,0078 kg/cm³(60 cm²)(1000 cm)=468 kgEl máximo esfuerzo en la barra de bronce ocurre inmediatamente debajo de la sección BB.

22 /105

50)2405000( cmkg

cmkg

b

El máximo esfuerzo en la barra de acero tendrá lugar inmediatamente por debajo de la sección AA.

22 /95

60)4682405000( cmkg

cmkg

a

Ejemplo 2. - Una grua esta alzando un objecto de 20,000 N. - Caracteristicas del cable diámetro=1.0 m, longitud previa al alzado =50 m

) 785.0) (0.5 r (A

a 478,25 785.0 000,20

222

2

mm

PmN

AF

1) ¡Esfuerzo Normal en el cable?

2) ¿Deformación?

000728.0a 1035a 478,25

6

PP

E

Pa 1035

Pa 000,70

Pa 000,60

6

UT

E

y

Ejemplo 3

F = 30.0 kg * 9.81 m/s2

= 294 NA = ( /4)*(5.00mm)2

= 19.6 mm^2

= F/A = 294 N / 19.6 mm2

= 15.0 N/mm2

= 1.5 x 107 Pa = 15 MPa

2.50 m

30.0 kg

5.00 mm

Ejemplo 4

= 15.0 MPa

= /E = 15.0 MPa/210000 MPa = 7.14 x 10^-5 mm/mm = 0.0000714 mm/mm = 0.0000714 m/m

L = L = (0.0000714 m/m) * 2.50 m = 0.000178 m = 0.178 mmE = 21 x 10^4 MPa

(varilla de acero)

2.50 m

30.0 kg

5.00 mm

Ejemplo 5

Una barra de 10 mm de diámetro de un acero al carbono 1040 (E = 200 x 109 Pa) es sometida a una carga de tracción de 50 000 N. Calcule la recuperación elástica que tendría lugar tras retirar la carga de tracción.Datos: E = 200 x 109 Pa; o= 10 mm; T = 50 000 N

Fórmulas: = F/A; = /E

Desarrollo:

= F/A = 50 000N/ ((5x10-3 m)2)= 6.37 x 106 N/m2= 6.37 MPa

= /E = 6.37 x106 Pa/(200x 109 Pa) = 3.18 x 10 -3

TT

Ejemplo 6Una barra de 10 mm de diámetro de un aluminio (E = 70 x 109 Pa) es sometida a una carga de tracción de 6 kN. a) Calcule el diámetro final de la barra. b) calcule de diámetro final de la barra si se somete a una carga de compresión de 6 kN. Relación de Poisson = 0.33.

Datos: E = 70 x 109 Pa; o= 10 mm; T = 6 kN

Fórmulas: = F/A; = /E; = (df – do)/do

Desarrollo:

a) = F/A = 6 000N/ ((5x10-3 m)2)= 76.4 x 106 N/m2= 76.4 MPa

= /E = 76.4 x106 Pa/(70x 109 Pa) = 1.09 x 10 -3

= –z= – 0.33(1.09 x 10-3) = – 3.6 x 10 -4. = (df – do)/do df= do( +1)=10mm( -3.6 x 10-3 +1)= 9.9964 mm

b) = + 3.6 x 10-4

df= do( +1)=10mm( +3.6 x 10-3 +1)= 10.0036 mm

Ejemplo 7

Una barra de 10 mm de diámetro de un acero al carbono 1040 (E = 200 x 109 Pa) es sometida a una carga de tracción de 50 000 N. Calcule la recuperación elástica que tendría lugar tras retirar la carga de tracción.Datos: E = 200 x 109 Pa; o= 10 mm; T = 50 000 N

Fórmulas: = F/A; = /E

Desarrollo:

= F/A = 50 000N/ ((5x10-3 m)2)= 6.37 x 106 N/m2= 6.37 MPa

= /E = 6.37 x106 Pa/(200x 109 Pa) = 3.18 x 10 -3

T T

Ejemplo 8Una pelota de 15 kg y de 4 cm de radio está suspendida de un punto localizado a 2.94 m sobre el piso por medio de un alambre de hierro cuya longitud es de 2.85 m y de diámetro de 0.090 cm, siendo su módulo de Young de 180 GPa. Si la pelota se pone a oscilar de tal manera que su centro pase por el punto más bajo de su trayectoria a 5 m/s, ¿a qué distancia del piso pasará la pelota?

Datos: Alambre E= 180 GPa, = 0.09 cm, Lo = 2.85 m

pelota m= 15 kg, r = 4 cm; Altura del piso = 2.94 m.

Fórmulas: Fc= T – mg T = Fc+mg = mg + mv2/R

R = Lo+r+L = 2.85+0.04 + L= 2.89 + L L 0

R

= E= E L/L L= Lo /E= LoT/EA T= 15(9.81+52/2.89) =277 N

L= (277x2.85)/(x(4.5x10-4)2x(180x 109)= 6.9x10-3 m

h = 2.94-(2.85+0.08+6.9x10-3)=0.0031 m

h

Ejemplo 9

Un alambre vertical de 5 m de largo y 0.0088 cm2 de área de sección transversal, tiene un módulo de Young E=200 GPa. Un objeto de 2 kg se sujeta a su extremo y alarga el alambre elásticamente. Si ahora se tira de objeto hacia abajo un poco y se suelta, el objeto experimentará un MAS vertical. Encuentre el periodo de vibración.

Datos: alambre Lo= 5 m, A= 0.088 cm2, E = 200GPa.; masa m= 2 kg

Formulas: Ley de Hooke F = k.L k= F/ L y = E F/A =E (L /L)

k= AE/Lo= (8.8x10-7 m2)(2x1011Pa)/(5 m) = 35 kN/m

T= 2 (m/k)½ = 2(2/35000) ½ = 0.047 s

Ejemplo 10La placa de acero que se muestra en la figura tiene 12 mm de espesor, su ancho varía uniformemente desde 50 mm en el lado izquierdo hasta 100mm en el lado derecho, la longitud de la placa es de 450 mm. Si se aplica en cada extremo una fuerza axial de tracción de 5 000 kg, determinar el alargamiento de la placa. Considerar el módulo de elasticidad del acero

26 /101,2 mkgxE

Solución:Datos: carga aplicada P= 5 000 kg (tracción), espesor e= 12 mm, longitud L=450 mm, ancho menor 50 mm, ancho mayor 100 mmFórmula: Solución: teniendo en cuenta la fórmula dada y expresándola en forma diferencial se tendrá: , entonces;

Luego: para expresar de forma explícita la integral anterior y poderla integrar debemos expresar el área del elemento diferencial en función de la variable x, entonces, si “e” es el espesor “y” la altura, el área del elemento diferencial será: A=ey=

Donde “a” es el ancho menor y A el ancho mayor, simplificando y reemplazando en la expresión integral tenemos:

AEPLL

)()(AEPLdLd )()(

0

L

AEPLdLdL

])2

(22

)[(LxaAae

L

eLxaAaE

PdxL0 ])(

2[

Reemplazando los datos queda: la misma que

integrando ( ) y reemplazando valores

resulta: ∆L=0,0124 cm.

Resultado: el alargamiento de la placa por acción de las cargas de tracción es: ∆L=0,0124 cm.

45

0 459

xdx

EePL

Cbxabbxa

dx

)ln(1

∆L=0,0124 cm

Módulo de Corte: G ó S

Esfuerzo cortante = Fuerza tangencial/ área que se corta

S = Ft/ADeformación cortante = distancia que se corta/distancia entre las superficies

S=x/h

S = G S

Ejemplo 10

Una barra de acero (G = 12 x 106 lb/plg2) de una pulgada de diámetro sobresale 1.5 pulgadas fuera de la pared. Si en el extremo de la barra se aplica un esfuerzo cortante de 8000 libras, calcular la deflexión hacia abajo.

Datos: F= 8000 lb, = 1 plg, l = 1.5 plg

Formula: G = (F/A)/(d/l) d=Fl/AG

d = [(8000lb)(1.5 plg)]/[((1plg)2x12x106 lb/plg2]

d = 1.27 x 10-3 plg.

Ejemplo 11

Una gelatina con forma de caja tiene un área en su base de 15 cm2 y una altura de 3 cm. Cuando se aplica una fuerza cortante de 0.5 N en la cara superior, ésta se desplaza 4 mm en relación a la cara inferior. ¿ Cuáles son el esfuerzo cortante, la deformación al corte y el módulo de corte para la gelatina?

Datos: F= 0.5 N, A= 15 cm2, h = 3 cm, x= 4 mm

Formulas: τ = Ft/A ; γ=S=x/h; G = τ /S

τ=S = 0.5 N/(15 x 10 -4 m2)= 0.33 kPa

γ=S= 0.4 cm/0.3 cm = 0.13

G = 330 Pa/0.13 = 2.5 kPa

Ejemplo 12En la figura se muestra un punzón para perforar placas de acero, suponga que se usa un punzón con diámetro de 0.75 plg para perforar un agujero en una placa de ¼ plg como muestra la vista de perfil. Si se requiere una fuerza P = 28000 lb ¿cuál es el esfuerzo cortante promedio en la placa y el esfuerzo de compresión promedio en el punzón?

Datos: d= 0.75 plg, P= 28000 lb, t = ¼ plg

Formula: AS= 2rt= dt = (0.75 plg)(0.25 plg)= 0.589 plg2

S = P/AS= 28000lb/0.589 plg2 = 47500 lb/plg2

C = P/AC= P/(d2/4)= 28000lb/ ((0.75 plg)2/4)= 63400 lb/plg2

Módulo volumétrico: elasticidad de volumen

B = esfuerzo de volumen/deformación de volumen

B = - (F/A)/ (V/V)

B = - P/ (V/V)

Ejemplo 13

Una esfera sólida de latón cuyo módulo volumétrico es B,( B = 6.1 x 1010 N/m2) inicialmente está rodeada de aire, y la presión del aire ejercida sobre ella es igual a 1 x 105 N/m2 (Presión atmosférica). La esfera se sumerge en el océano a una profundidad a la cual la presión es 2 x 107 N/m2. EL volumen de la esfera en el aire es de 0.5 m3. ¿ En cuánto cambiará este volumen una vez que la esfera este sumergida?

B = - P/ (V/V) V= - P V/B = - (2 x 10 7 N/m2)(0.5 m3)/ (6.1x 10 10 N/m2)

V= -1.6 x 10 -4 m3

Ejemplo 14

El módulo volumétrico para el agua es 2.1 GPa. Calcule la contracción volumétrica de 100 ml de agua cuando se someten a una presión de 1.5 MPa.

B = - P/ (V/V) V= - P V/B = - (1.5 x 10 6 N/m2)(100 ml)/ (2.1x 10 9 N/m2)

V= -0.071 ml

SISTEMAS HIPERESTÁTICOS O ESTÁTICAMENTE INDETERMINADOS

Un sistema se dice que es hiperestático cuando las fuerzas que actúan sobre un cuerpo no pueden determinarse solo por las ecuaciones de la estática, porque hay mas fuerzas desconocidas que ecuaciones de equilibrio.Para solucionar los sistemas hiperestáticos es necesario suplementar las ecuaciones del equilibrio con ecuaciones de las deformaciones; esto es, debemos disponer de n ecuaciones independientes para hallar los valores de n incógnitas.En los ejemplos siguientes se ilustra la forma de solucionar problemas hiperestáticos o estáticamente indeterminados. Los sistemas anteriormente estudiados, se denominan sistemas Isostáticos o estáticamente determinados.

Ejemplo

Una barra de sección recta cuadrada de 5 cm de lado, está sujeta rígidamente entre dos muros indeformables y cargada con una fuerza axial de 20 000 kg como se ve en la figura. Determinar las reacciones en los extremos de la barra y el alargamiento de la parte derecha. Considerar E=2,1x106 kg/cm2

DSL de la barra

Ra+Rb=20 000 kg

Como la barra está fija a muros indeformables, entonces la deformación de la porción izquierda de la barra será igual a la deformación de la porción derecha; entonces:

di

di

di

RRx

Rx

RLL

5,1)101,2)(25(

)15()101,2)(25(

)10(66

Entonces:

)/101,2)(25()15(

262 cmkgxcmcmRL d

d

amientoalcmLd arg0023,0

kgRkgR

d

i

800012000

Luego:

Ejemplo:

Considerar la barra AB de la figura, absolutamente rígida y horizontal antes de aplicar la carga de 20 000 kg, articulada en A y soportada por la varilla de acero EB y por la varilla de cobre CD. La longitud de CD es 90 cm y la de EB es 150 cm. Si la sección de CD es de 5 cm² y la de EB 3 cm², determinar el esfuerzo en cada varilla vertical y el alargamiento de la de acero. Despreciar el peso de AB y considerar para el cobre E=1,2x106 kg/cm2 y para el acero E=2,1x106 kg/cm2

DSL de la barra AB:

0)180(20000)240()120(0

0200000

00

acCuA

acCuyy

xx

FFM

FFAF

AF

Como se puede ver las ecuaciones del equilibrio del sistema no son suficientes para solucionar el problema; debemos entonces suplementar estas ecuaciones con otras provenientes de la deformación ocurrida en el sistema.

El efecto de la carga aplicada deformará las barras verticales por lo que la barra AB dejará la posición horizontal y aparecerá inclinada como el esquema de la figura:

CuAcCuAc 2120240

Teniendo en cuenta que:

AEFLL

)102,1)(5()90(2

)101,2)(3()150(

66 xF

xF CuAc

CuAc FF 26,1Resolviendo el sistema de ecuaciones tenemos:

2

2

/17005800

/360010700

cmkgkgF

cmkgkgF

CuCu

AcAc

Ejemplo:

Se tienen 3 cables trenzados iguales de 500 m de longitud, a los cuales se le amarra una rejilla que pesa 2000 kg, este sistema se usa para subir y bajar sacos de cemento en una construcción, la rejilla se carga con 100 sacos de 50 kg cada uno. Calcule el diámetro de los alambres para que el sistema no falle. Cual es su deformación total.

Densidad del cable = 8.5 ton/m3

fluencia del cable = 3000 kg/cm2

E = 2.1*106 kg/cm2

n = 3

Ejemplo:

Una barra cilíndrica, como la mostrada en la figura esta sometida a una fuerza de tracción.

a) Calcule el coeficiente se seguridad de cada barra, ¿El sistema falla? explique.

b) Calcule la fuerza máxima y el alargamiento total del sistema.

Fluencia acero = 50 kg/mm2

Fluencia cobre = 25 kg/mm2

E Acero = 2,1*106 kg/cm2

E Cobre = 9,1*105 kg/cm2

Diámetro barra = 4 cm

Ejemplo: Se tiene un sistema formado por unas barras cilíndricas metálicas, como el mostrado en la figura, la barra de acero tiene un diámetro de 80 mm y la barra de plomo de 50 mm.

a) Calcule la fuerza Q que le debe aplicar al sistema para que su

alargamiento total sea de 0,1 mm.

b) Calcule los coeficientes de seguridad de cada barra.

c) Si el sistema esta a una temperatura de 25ºC, ¿a que temperatura

se tendría que llevar el sistema para que el alargamiento total del

sistema se duplique?

ACEROFLUENCIA = 50 MPaE = 210 GPa = 1,2 x 10-5 (1/ºC)Peso específico = 77 KN/m3

Una barra de acero de 6 mm de diámetro, cuelga dentro de una torre y sostiene un peso de 900 N en su extremo inferior, como se muestra en figura. a) Calcular el largo de la barra si se fabrica con un coeficiente de seguridad igual a 1,5 b) Determine el alargamiento total de la barra si la temperatura del sistema sube de

17 ºC a 45 ºC.

Ejemplo:

ACERO LATÓNFLUENCIA = 7000 Kg/cm2 FLUENCIA = 3300 Kg/cm2

E = 2,1x 106 Kg/cm2 E = 1x 106 Kg/cm2

= 1,2 x 10-5 (1/ºC) = 1,8 x 10-5 (1/ºC)Sección = 8 cm2 Sección = 20 cm2

Largo = Largo = Peso específico = 8.5 ton/m3 Peso específico = 7 ton/m3

Se tiene el sistema mostrado en la figura, el cual esta soportando una carga de 68 toneladas:

1.Calcule el alargamiento total del sistema. 2.Si el sistema se encuentra inicialmente a temperatura ambiente

(25ºC), ¿Cuál debe ser el aumento de temperatura que debe experimentar el sistema para que el alargamiento total sea cero.

3.¿El sistema falla? Explique.

Ejemplo:

Ejemplo

La densidad del agua líquida a 100°C y 1 atm de presión es 958.4 kg/m3, mientras que el vapor de agua en las mismas condiciones es 0.598 kg/m3. ¿Cuál es la relación del espaciamiento promedio intermolecular en el agua en estado líquido y el agua en estado gaseoso?

Ejemplo

Júpiter tiene un radio de R = 7.14 x 104 km, y la aceleración debida a la gravedad en su superficie es de gj = 22.9 m/s2. Use estos datos para calcular la densidad promedio de Júpiter.

2rmMGmg La fuerza sobre un cuerpo en la superficie es:

Despejando M GgrM

2

La densidad es

rGg

rG

gr

VMd

43

34 3

2

= 1,145 kg/m3

Tarea

Calcule la densidad del Sol si su radio es de R = 6.96 x 108 m y g = 274 m/s2. Calcule la densidad de la Tierra, R = 6,374 km y g = 9.8 m/s2.

Ejemplo

Suponga que el módulo de Young para un hueso es de 1.5 X 1010 N/m2, y que un hueso se fractura si se ejerce más de 1.50 x 108 N/m2. a) ¿Cuál es la fuerza máxima que puede ejercerse sobre el hueso fémur en la pierna si este tiene un diámetro efectivo mínimo de 2.50 cm? b) si la fuerza de esta magnitud se aplica compresivamente, ¿cuánto se acorta un hueso de 25.0 cm de largo?

0 tensiónden deformaciótensión deesfuerzoY

LLAF

Ejemplo

Si el esfuerzo del corte en el acero excede aproximadamente 4.00 x 108 N/m2 el acero se rompe. Determine la fuerza de corte necesaria para: a) cortar un perno de acero de 1.00 cm de diámetro, y b) hacer un hoyo de 1.00 cm de diámetro en una placa de acero de 0.500 cm de espesor.

F perno1 cm

N10105.0104 4428

SAFAFS

Cuando el acero se rompe, el esfuerzo es igual al módulo de corte, entonces

N102105.00.1104 448

SAFAFS

Cuando el acero es penetrado, el esfuerzo es igual al módulo de corte pero el área es la lateral del corte, entonces

1 cm

0.5 cm

Ejemplo

Calcule la densidad del agua del mar a una profundidad de 1000 m, donde la presión hidráulica es aproximadamente de 1.00 x 107 N/m2. (La densidad del agua de mar en la superficie es de 1.030 x 103 kg/m3. El módulo volumétrico del agua es 0.21 x 1010)

1m3 agua pesa 1030 kg, el cambio en el volumen es

V = –P V/B = – 4.75 x 10–3

La densidad cambia a

r = 1030/(1 – 4.75 x 10–3) = 1034.9 kg/m3

Tarea

Una carga de 200 kg cuelga de un alambre de 4.00 m de largo, con 0.200 x 10-4 m2 de área de sección transversal y módulo de Young de 8.00 x 1010 N/m2. ¿Cuánto aumenta su longitud?

Un cubo de gelatina de 3 cm de altura se somete a una fuerza cortante de 0.5 N en la parte superior y hace que esta se desplace 2.5 mm en la dirección de la fuerza. Encuentre el módulo de corte de la gelatina.

¿A que presión deberá someterse el agua para que su densidad aumente 0.01%?

Tarea

Un niño se desliza a través de un pisó en un par de zapatos con suela de goma. La fuerza friccionante que actúa sobre cada pie es de 20.0 N. El área de la huella de cada suela del zapato es de 14.0 cm2, y el grosor de cada suela es de 5.00 mm. Encuentre la distancia horizontal que se desplazan las partes superior e inferior de la suela. El módulo de corte del hule es de 3.00 x 106 N/m2.

F

Área = 14 cm

5 mm

F

Tarea

Piense en un ejemplo de la vida diaria en el que se presente cada una de las deformaciones de longitud, corte y volumen.

EJEMPLO 01

• La viga rígida es soportada por un pasador en A y los alambres BD y CE. (a) Si la aplicación de la carga P produce un desplazamiento de 10 mm hacia abajo, determine la deformación normal e los alambres CD y DE. (b) si la máxima deformación normal en cada alambre es 0,02. Determine el máximo desplazamiento vertical de la carga P.

Solución 01

• Por semejanza de triángulos

• Definición de deformación unitaria

Solución 01• Usando ambos elementos alcanzan la deformación máxima se

tiene

• Como 1 > 2; el elemento BD falla primero, entonces es el elemento CE el que controla la deformación

EJEMPLO 02

• Los desplazamientos en la dirección x de las placas rígidas debido a set de fuerzas aplicadas esta dado por:

Determine las deformaciones axiales en las barras AB, BC y CD

EJEMPLO 05

• Antes de aplicar la carga P en el sistema de la figura, el espacio entre la placa rígida y la barra B es de 0,18 mm. Una vez aplicada la carga P, la deformación axial en la barra B es de -2500 m/m. Determine la deformación axial en la barra A

Solución 05

• Antes de aplicar la carga P en el sistema de la figura, el espacio entre la placa rígida y la barra B es de 0,18 mm. Una vez aplicada la carga P, la deformación axial en la barra B es de -2500 m/m. Determine la deformación axial en la barra A

Solución 05

• Teniendo en cuenta la deformación de la barra B, su cambio dimensional será

• Los puntos D y E de la placa después de la carga se desplazan a D1 y E1 como se muestra en la figura

Solución 05

• Debido a que la aplicación de la carga produce un desplazamiento vertical de la placa. El desplazamiento de E será.

• Como la placa rígida se mueve sin rotación se tiene

• El desplazamiento de A es

• La deformación unitaria será

EJEMPLO 06• La placa es deformada y adquiere la forma mostrada con líneas

punteadas en la figura. Si en esta configuración horizontal, las líneas horizontales sobre la placa permanecen horizontales. Determine: (a) la deformación unitaria normal promedio a lo largo del lado AC y BD y (b) la deformación unitaria cortante promedio de la placa relativa a los ejes x e y en A, B, C y D

Solución 06

• Las longitudes iniciales y finales de AC y BD

Solución 06

• Las deformaciones unitarias de AC y BD serán y las correspondientes deformaciones angulares serán

Ejemplo 07• Parte del varillaje de mando de

un avión consiste en un miembro rígido CBD y en un cable flexible AB. Si se aplica una fuerza al extremo D del miembro y ocasiona una rotación del elemento de = 0,3 °deformación unitaria normal en el cable 0,0035 mm/mm. Determine el esfuerzo normal medio en el cable. Originalmente el cable no se encuentra estirado

SOLUCIÓN 07

Ejemplo 08• La barra rígida CD de la figura es horizontal cuando no está

sometida a carga, mientras que las barras A y B no están sujetas a deformación. Cuando se aplica la carga P, se encuentra que la deformación unitaria axial en la barra B es de 0,0015 pulg/pulg. Determine: (a) La deformación unitaria axial en la barra A y (b) La deformación unitaria axial en la barra A si hay un espacio libre de 0,005 pulg en la conexión entre las barras A y B.

Ejemplo 09• Una barra rígida AD está sostenida por dos varillas, como se

muestra en la Fig. No hay deformación unitaria en las barras verticales antes de aplicar la carga P. Después de aplicar la carga P, la deformación unitaria axial en la varilla BF es de 400 μm/m. Determine: (a) la deformación unitaria axial en la varilla CE; (b) la deformación unitaria axial en la varilla CE si hay un espacio libre de 0,25 mm en la conexión del seguro C antes de aplicar la carga.

•

Ejemplo 10

• La carga P produce una deformación unitaria axial en el poste de latón B de la figura de 0,0014 pulg/pulg. Determine: (a) La deformación unitaria axial en la varilla A de aleación de aluminio. (b) La deformación unitaria axial en la varilla A de aleación de aluminio si hay un espacio libre de 0,005 pulg en la conexión entre A y C, además del espacio libre de 0,009 pulg entre B y C.

Ejemplo 08

• La carga P produce una deformación unitaria axial en el poste de acero D de la figura de 0,0075 m/m. Determine: (a) La deformación unitaria axial en la varilla de aluminio C. (b) La deformación unitaria axial en la varilla C de aleación de aluminio si existe un espacio libre de 0,10 mm en la conexión en E, además del espacio libre de 0,09 mm en la conexión en E, además del espacio libre de 0,09 mm entre B y D antes de aplicar la carga P

Ejemplo 1. Un alambre de acero de 10 m de largo y 2 mm de diámetro se une al techo y a su extremo se une un peso de 200 N. ¿Cuál es el esfuerzo aplicado?

L

L

AA

F

Primero encuentre el área del alambre:

2 2(0.002 m)4 4DA

A = 3.14 x 10-6 m2

Esfuerzo

6.37 x 107 Pa26 m 10 x 3.14N 200

AFEsfuerzo

Ejemplo 1 (Cont.) Un alambre de acero de 10 m se estira 3.08 mm debido a la carga de 200 N. ¿Cuál es la deformación longitudinal?

L

L

Dado: L = 10 m; L = 3.08 mm

Deformación longitudinal

3.08 x 10-4

m 10m 0.00308

LLnDeformació

Ejemplo 2. El límite elástico para el acero es 2.48 x 108 Pa. ¿Cuál es el peso máximo que puede soportar sin superar el límite elástico?

L

L

AA

F

Recuerde: A = 3.14 x 10-6 m2

F = (2.48 x 108 Pa) A

F = (2.48 x 108 Pa)(3.14 x 10-6 m2) F = 779 N

Pa 10 x 2.48 8AFEsfuerzo

Ejemplo 2 (Cont.) La resistencia a la rotura para el acero es 4089 x 108 Pa. ¿Cuál es el peso máximo que puede soportar sin romper el alambre?

L

L

AA

F

Recuerde: A = 3.14 x 10-6 m2

F = (4.89 x 108 Pa) A

F = (4.89 x 108 Pa)(3.14 x 10-6 m2) F = 1536 N

Pa 10 4.89 8AFEsfuerzo

Ejemplo 3. En el ejemplo anterior, el esfuerzo aplicado al alambre de acero fue 6.37 x 107 Pa y la deformación fue 3.08 x 10-4. Encuentre el módulo de elasticidad para el acero.

L

L

Módulo = 207 x 109 Pa

Este módulo de elasticidad longitudinal se llama módulo de Young y se denota con el símbolo Y.

4

7

1008.3Pa106.37

ndeformació

esfuerzoMódulo

Ejemplo 4: El módulo de Young para el latón es 8.96 x 1011 Pa. Un peso de 120 N se une a un alambre de latón de 8 m de largo; encuentre el aumento en longitud. El diámetro es 1.5 mm.

8 m

L120 N

Primero encuentre el área del alambre:2 2(0.0015 m)

4 4DA

A = 1.77 x 10-6 m2

or FL FLY LA L AY

Ejemplo 4: (continuación)

8 m

L120 N

Y = 8.96 x 1011 Pa; F = 120 N;

L = 8 m; A = 1.77 x 10-6 m2

F = 120 N; L = ?

or FL FLY LA L AY

-6 2 11

(120 N)(8.00 m)(1.77 x 10 m )(8.96 x 10 Pa)

FLLAY

L = 0.605 mm

Aumento en longitud:

Ejemplo 5. Un perno de acero (S = 8.27 x 1010 Pa) de 1 cm de diámetro se proyecta 4 cm desde la pared. Al extremo se aplica una fuerza cortante de 36,000 N. ¿Cuál es la desviación d del perno?

d

l

F

2 2(0.01 m)4 4DA

Área: A = 7.85 x 10-5 m2

; F A F A Fl FlS dd l Ad AS

-5 2 10

(36,000 N)(0.04 m)(7.85 x 10 m )(8.27 x 10 Pa)

d d = 0.222 mm

Ejemplo 7. Una prensa hidrostática contiene 5 litros de aceite. Encuentre la disminución en volumen del aceite si se sujeta a una presión de 3000 kPa. (Suponga que B = 1700 MPa.)

/P PVB

V V V

6

9

(3 x 10 Pa)(5 L)(1.70 x 10 Pa)

PVVB

V = -8.82 mLDisminución en V; mililitros (mL):