UNIVERSIDAD DE PAMPLONA Teoría Electromagnética

Fundamentos de electromagnetismo para ingeniería - David K. Cheng Pág 71

Elaborado por: Díaz Martin Mauro Fernando y Jiménez Solano Erwin José

SOLUCIÓN AL PROBLEMA 2-30 DEL CAPITULO 2 DEL LIBRO Fundamentos de electromagnetismo para ingeniería - David K. Cheng

P 2-30 Dada una función vectorial:

�⃗� = 𝑎𝑥(𝑥 + 3𝑦 − 𝑐1𝑧) + 𝑎𝑦(𝑐2𝑥 + 5𝑧) + 𝑎𝑧(2𝑥 − 𝑐3𝑦 + 𝑐4𝑧)

a) Determine 𝑐1, 𝑐2 y 𝑐3 si �⃗� es irrotacional

b) Determine 𝑐4 si �⃗� también es selenoidal

SOLUCIÓN

a) �⃗� es irrotacional si su rotacional es cero o nulo:

∇⃗⃗⃗ × �⃗� = 0

∇⃗⃗⃗= �̂�𝜕

𝜕𝑥+ 𝑗̂

𝜕

𝜕𝑦+ �̂�

𝜕

𝜕𝑧

�⃗� = �̂�𝐹𝑥 + 𝑗̂𝐹𝑦 + �̂�𝐹𝑧

𝐹𝑥 = 𝑥 + 3𝑦 − 𝑐1𝑧

𝐹𝑦 = 𝑐2𝑥 + 5𝑧

𝐹𝑧 = 2𝑥 − 𝑐3𝑦 + 𝑐4𝑧

∇⃗⃗⃗ × �⃗� = ||

�̂� 𝑗 𝑘𝜕

𝜕𝑥

𝜕

𝜕𝑦

𝜕

𝜕𝑧𝐹𝑥 𝐹𝑦 𝐹𝑧

|| = 0

∇⃗⃗⃗ × �⃗� = 𝑎𝑥 (𝜕

𝜕𝑦𝐹𝑧 −

𝜕

𝜕𝑧𝐹𝑦) + 𝑎𝑦 (

𝜕

𝜕𝑧𝐹𝑥 −

𝜕

𝜕𝑥𝐹𝑧) + 𝑎𝑧 (

𝜕

𝜕𝑥𝐹𝑦 −

𝜕

𝜕𝑦𝐹𝑥) = 0

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Fundamentos de electromagnetismo para ingeniería - David K. Cheng Pág 71

Elaborado por: Díaz Martin Mauro Fernando y Jiménez Solano Erwin José

Para que ∇⃗⃗⃗ × �⃗� = 0 entonces:

(𝜕

𝜕𝑦𝐹𝑧 −

𝜕

𝜕𝑧𝐹𝑦) = 0; (

𝜕

𝜕𝑧𝐹𝑥 −

𝜕

𝜕𝑥𝐹𝑧) = 0; (

𝜕

𝜕𝑥𝐹𝑦 −

𝜕

𝜕𝑦𝐹𝑥) = 0;

Sustituyendo y despejando tenemos:

(𝜕

𝜕𝑦(2𝑥− 𝑐3𝑦+ 𝑐4𝑧) −

𝜕

𝜕𝑧(𝑐2𝑥+ 5𝑧)) = 0

−𝑐3 − 5 = 0, entonces: 𝑐3 = −5

(𝜕

𝜕𝑧(𝑥+ 3𝑦− 𝑐1𝑧) −

𝜕

𝜕𝑥(2𝑥− 𝑐3𝑦+ 𝑐4𝑧)) = 0

−𝑐1 − 2 = 0, entonces: 𝑐1 = −2

(𝜕

𝜕𝑥(𝑐2𝑥+ 5𝑧) −

𝜕

𝜕𝑦(𝑥+ 3𝑦− 𝑐1𝑧)) = 0

𝑐2 − 3 = 0, entonces: 𝑐2 = 3

b) �⃗� es selenoidal si su divergencia es cero o nula:

∇⃗⃗⃗. �⃗� = 0

∇⃗⃗⃗. �⃗� =𝜕

𝜕𝑧𝐹𝑥 +

𝜕

𝜕𝑦𝐹𝑦 +

𝜕

𝜕𝑧𝐹𝑧 = 0

𝜕

𝜕𝑧(𝑥 + 3𝑦 − 𝑐1𝑧) +

𝜕

𝜕𝑦(𝑐2𝑥 + 5𝑧) +

𝜕

𝜕𝑧(2𝑥 − 𝑐3𝑦 + 𝑐4𝑧) = 0

1 + 0 + 𝑐4 = 0, entonces: 𝑐4 = −1