Электронный адрес для связи с автором: ereshko@ccas.ru

РОССИЙСКАЯ АКАДЕМИЯ НАУКВЫЧИСЛИТЕЛЬНЫЙ ЦЕНТР

_____________________________________________СООБЩЕНИЯ ПО ПРИКЛАДНОЙ МАТЕМАТИКЕ

А.Ф. ЕРЕШКО

МЕТОДЫ ДЕКОМПОЗИЦИИ И ЛОКАЛЬНО � ОПТИМАЛЬНЫЕСТРАТЕГИИ В ЗАДАЧАХ УПРАВЛЕНИЯ ПОРТФЕЛЕМ ЦЕН-

НЫХ БУМАГ

ВЫЧИСЛИТЕЛЬНЫЙ ЦЕНТР РАНМОСКВА 2002

УДК 519.865Ответственный редактор

доктор физ. - мат. наук Г.А.Агасандян

Рассматриваются задачи управления портфелем финансовыхинструментов (активов и пассивов финансовых институтов, ценныхбумаг) в динамической постановке. Работа состоит из двух частей.

В первой части содержится обзор развитой на Западе методо-логии для выработки подходов к задаче управления портфелем фи-нансовых инструментов, выбору критериев, генерированию сцена-риев для случайных величин, выбору алгоритмов решения полу-чающихся задач стохастического динамического управления.

Во второй части работы излагаются оригинальные результатыавтора. Сформулирована двухкритериальная задача об управлениипортфелем в динамике с целью максимизации ожидаемого дохода вконце процесса от вложенного капитала в начале и минимизациикритерия допустимых потерь. Динамика портфеля записывается впеременных � количествах ценных бумаг в портфеле. Основные ре-зультаты относятся к динамической задаче при наличии неопреде-ленных факторов в виде марковского процесса. В такой постановкедля решения задачи по выбору одной из паретовских точек в про-странстве двух критериев применим формализм динамического про-граммирования. Удается установить принцип линейного разложенияоптимального результата текущей оптимальной оценки конечногорезультата и как следствие установить оптимальность простых стра-тегий для задачи максимизации математического ожидания конеч-ного результата. Предложены вычислительные процедуры прогонки,которые основываются на декомпозиции исходной задачи на слу-чайный процесс и детерминированный.Рецензенты: В.А. Ириков,

В.В. Дикусар

Научное издание

� Вычислительный центр им. А.А. Дородницына РАН, 2002

3

Введение

Проблема управления портфелем ценных бумаг, активов ипассивов, финансовых инструментов является фундаментальной вфинансовой теории и практике. По этой причине к ней было привле-чено большое внимание в RAND Corporation, которая специализиро-валась на стратегических исследованиях Западных экономик [1]. Вто же время эта проблема как задача управления в условиях неопре-деленности также относится и к фундаментальным проблемам втеории принятия решений [2, 3].

Исследования в этой области проводились такими крупнымиученым как Р. Беллман, Дж. Данциг, Р. Мертон. Ученик Дж. Данци-га � Г. Марковиц � исторически первым сформулировал задачууправления портфелем в статическом случае как задачу исследова-ния операций и теории игр, основываясь на описании неопределен-ности как случайного процесса и рассмотрев двухкритериальнуюзадачу с критериями математического ожидания и дисперсии [4].

И для финансовой теории и для теории принятия решений ба-зовой является ссылка авторов работ [5 � 10] на публикацию [4].

Первые публикации Г. Марковица вызвали большой поток ра-бот как в финансовой литературе, так и в литературе по теории ис-следования операций (см. рис. 1).

Исследования финансистов � экономистов были направленына изучение различных содержательных интерпретаций и обобще-ний. Так, в статическом случае были получены принципиальные ре-зультаты, имевшие широкое практическое применение, напримерустановлено свойство разложения оптимального портфеля на без-рисковую и рисковую составляющие для важного частного случаяналичия на рынке безрискового актива, исследованы фундаменталь-ные свойства равновесного рынка оптимальных портфелей и т.д.

Усилия в исследовании операций, естественно, были направ-лены на рассмотрение многокритериальных задач с большим числомкритериев, на изучение и использование задач в динамической по-становке, способах адекватного описания случайных процессов из-менения цен, на разработку практически применимых численных

4

методов для решения возникающих задач оптимизации большойразмерности (см. работы [6 � 10]).

Несмотря на широкий фронт проведенных работ в этом на-правлении, в портфельной теории остались неизученными некото-рые аспекты моделирования процесса принятия решений, особенносвязанные с оценкой риска в динамическом случае [10 � 12].

Настоящая работа относится к последнему направлению.Цель работы состоит в использовании методов теории управ-

ления для решения динамических стохастических задач в дискрет-ном времени, для исследования стратегий управления портфелемактивов и пассивов и вообще финансовых инструментов в динами-ческом случае. Основные результаты относятся к динамической за-даче при наличии неопределенных факторов в виде марковскогопроцесса и двухкритериальной задаче при учете риска в виде крите-рия допустимых потерь и ожидаемом доходе как математическоможидании. В такой постановке для решения задачи по выбору однойиз паретовских точек применим формализм динамического про-граммирования. Удается установить принцип линейного разложенияоптимального результата текущей оптимальной оценки конечногорезультата и как следствие установить оптимальность простых стра-тегий для задачи максимизации математического ожидания конеч-ного результата.

Как известно [10], существует два подхода к задачам управле-ния портфелем ценных бумаг: технический анализ и фундаменталь-ный. Первый характеризуется тем, что реакции лица, принимающегорешения, на меняющуюся обстановку � динамику цен � основыва-ются на формальном или неформальном анализе и обработке исто-рических рядов наблюдения. Второй подход при выработке рацио-нального решения базируется на макроэкономическом анализе фак-торов, определяющих развитие рынка, и уже на основе экономиче-ского анализа формулируется стратегия поведения финансовогоучастника операции. По этой финансовой классификации работаотносится скорее к техническому анализу. Применение данного тех-нического подхода имеет большую литературу на Западе и большоеполе для применения, особенно в современных условиях быстрогоразвития вычислительных мощностей и алгоритмов, позволяющих

5

решать задачи большой размерности. Вычислительные аспекты со-временного состояния теории управления портфелем в случае ста-тических задач большой размерности содержатся в обзоре Г. Марко-вица [13].

Основные проблемы, которые возникают в процессе исполь-зования динамических моделей управления портфелем ценных бу-маг, весьма подробно описаны в книге [14].

Настоящая работа состоит из двух частей.В первой части (гл. 1) приведен (с отдельными комментария-

ми) обзор существующего состояния дел в этой области, опираю-щийся на статьи [15, 16] и статьи отечественных авторов.

Во второй части (гл. 2) приводятся оригинальные результатыавтора, развивающие результаты работы [17]. Основное вниманиеуделяется постановке задачи управления с двумя критериями (мате-матическим ожиданием и критерием допустимых потерь) и вопросуэффективного решения задачи в случае одного критерия � матема-тического ожидания конечного результата. Последняя задача харак-терна для случая управления портфелем дисконтных облигаций.

Глава 1.Обзор достигнутых результатов в сфере применения сис-

тем управления активами и пассивами

§1. Обзор Западного опыта

1.1. Общие замечанияДинамические модели управления активами и обязательства-

ми (ALM) нашли свое наиболее успешное применение в сфере дол-госрочного финансового планирования, где необходимость неодно-кратного принятия решений определяется существом процесса.

Примеры работы методики ALM включают такие реализован-ные модели, как модель Frank Russel Company для �Мицубиси� [18],модели для Швейцарского банка, для пенсионных фондов, страхо-вых компаний и ряд других применений, описанных в литературе.

Данный краткий обзор посвящен использованию математиче-ских моделей и соответствующих вычислительных комплексов для

6

выбора оптимальной инвестиционной политики долгосрочных инве-сторов. При этом учитывается, что ограничения институционально-го характера, финансовые потоки со своими неопределенностями,операционные издержки, налогообложение и тому подобное явля-ются главными моментами в практическом финансовом планирова-нии.

ПользователиОписываемые далее области применений включают в себя

пенсионные программы, страховые компании, инвестиционныеконгломераты, банки, университетские фонды, сбережения состоя-тельных физических лиц и простых граждан. Эти инвесторы имеютразличные собственные цели и обязательства. В процессе принятияинвестиционных решений возникают риски, которые должны изме-ряться в контексте той финансовой ситуации, в которой оказаласьорганизация или физическое лицо.

Трудности внедренияНесмотря на очевидность того, что решения о распределении

и перераспределении активов имеют существенное значение для ин-весторов с диверсифицированными портфелями, многие инвесторыне проводят управление путем активного комбинирования своихстратегических активов. Почему же эти инвесторы игнорируютстратегическое планирование? Причина в следующем.

Имеются лишь немногие компьютерные системы для оценкирешений по размещению активов. Для анализа необходимо учиты-вать единственный в своем роде многочисленный набор преходящихобстоятельств инвестора, и существующие системы не позволяютохватить все это разнообразие. Так, для каждого инвестора долженбыть построен уникальный сценарий развития событий, которыйдолжен быть логически непротиворечивым и основываться на здра-вых экономических принципах. Параметры генератора сценариевдолжны подгоняться к архивной базе данных и к опыту прошлогоразвития. Стохастическая модель должна принимать в расчет из-менчивость экономических условий, например изменение процент-ных ставок и валютное регулирование. Поведение конкретного ин-вестора и расположенность его к риску тоже должны приниматься врасчет. Оптимизационная модель должна учитывать управление ак-

7

тивами, обязательствами и целевыми выплатами, растянутыми вовремени. Все это представляет собой сложную техническую задачуобъединения всех перечисленных элементов в единую систему сто-хастической оптимизации.

Практические приемыУ крупных инвесторов управление активами, т.е. перераспре-

деление их между различными инвестиционными инструментами,обычно состоит из двух шагов. Сначала задаются гарантированныеконтрольные величины для главных категорий активов (крупныевложения в акционерный капитал, активы, приравненные к налич-ности, облигации, ценные бумаги обращающиеся на международ-ных рынках и т.д.). После того как такие контрольные значения ус-тановлены, инвестор (или инвестиционный комитет) нанимает ме-неджеров, которые пытаются �превзойти индексы�. Они могут, на-пример, покупать бумаги индексных фондов. (Индексный фонд �взаимный инвестиционный фонд, портфель которого привязан к оп-ределенному фондовому индексу, и капиталовложения делаются вценные бумаги, входящие в данный индекс.) Обычно около однойчетверти активных менеджеров �побивали опорные ставки�, но на-пример с 1996 г. по 1998 г. в игре на широко распространенный ин-декс S&P 500 таких менеджеров было намного меньше. (Составнойиндекс S&P 500 из 500 акций, рассчитываемый и публикуемыйагентством �Стандард энд Пурз�, � один из важнейших фондовыхиндексов США: 80 % стоимости ценных бумаг на Нью-йоркскойбирже; включает акции 400 промышленных, 20 транспортных, 40финансовых, 40 коммунальных компаний; цены взвешиваются в со-ответствии с количеством акций каждой компании, т.е. влияние ка-ждой акции пропорционально капитализации компании; индекс рас-считывается непрерывно; базовый период 1941�1943 гг.; базовоезначение � 10.) Активным менеджерам надлежит достигнуть илипревзойти свой индекс, в противным случае они окажутся перед ли-цом увольнения. Портфельному менеджеру обычно дается несколь-ко лет работы, чтобы убедиться в его профессиональной квалифика-ции и снизить шансы на наличие случайной удачи в результатах егоуправления.

8

Периодически к вопросу стратегического размещения ценныхбумаг возвращаются снова. Как правило, оценка качества решенийпо размещению финансовых средств дается, по крайней мере, раз вгод на заседании совета директоров компании. В частности, этот во-прос исследуется в [19]. Рассматривается семь репрезентативныхамериканских клиентов компании �Фрэнк Рассел�, которые дли-тельное время использовали профессиональных финансовых менед-жеров, чьей целью было �побить опорные ставки с уменьшенным(пониженным) риском� на протяжении 16 кварталов, начиная с ян-варя 1985 г. и кончая декабрем 1988 г. Определенный набор ценныхбумаг с фиксированной структурой включал в себя: 50% обыкно-венных акций американских компаний, 5% обыкновенных акцийнеамериканских компаний, 30% бумаг с фиксированным доходом(облигации и привилегированные акции, которые приносят фикси-рованную ставку процента или дивиденда; они более привлекатель-ны в период низкой инфляции), 5% бумаг от вложений в недвижи-мость и 10% активов, приравненных к наличности. Набор формиро-вался заново ежеквартально. Результаты, полученные исследовате-лями, показывают, что такая �наивная политика� размещениясредств сопровождается большой волатильностью (дисперсия целе-вой функции к году).

Оценки погрешностейСтатьи [20 � 22] касаются статических задач выбора портфеля

при целевой функции в виде линейной комбинации среднего и дис-персии. В [20] показывается, что ошибки в оценке среднего значенияоказывают решающее воздействие на точность формирования порт-феля. При этом погрешности в оценке средних оказываются прибли-зительно в десять раз более существеннее, чем погрешности в оцен-ке дисперсии. В [21] проводится дальнейшее изучение этой темы,рассматриваются способы отбора входной и выходной информациис целью получения лучших инвестиционных решений. В [22] разра-ботана модель, которая позволяет проследить по истечении некото-рого времени за воздействием различных источников на �результатработы� данного портфеля. А именно, капитал распределяется меж-ду разными портфелями: ранее предполагавшихся оптимальными,портфелями, интуитивно предпочитаемыми экспертами � менедже-

9

рами, портфелями, находящимися под воздействием юридических,политических, диверсификационных и иных ограничений.

РискиРазвитие стохастических моделей многошагового управления

активами приводит к улучшению статических стратегий. Вместопрежнего, пассивного управления в интервале времени между засе-даниями инвестиционного комитета методы динамического пере-распределения активов позволяют постоянно держать портфель со-ответствующий изменяющимся внешним условиям. Во многихстатьях указанного сборника работ [14] демонстрируется превосход-ство стохастических динамических моделей над стратегиями с фик-сированной структурой портфеля, стратегиями купли � владения ит.п. (Стратегия купли � владения � инвестиционная стратегия, за-ключающаяся в покупке и владении акциями определенной компа-нии на протяжении длительного срока.) Динамические стратегииформально устанавливают взаимоотношение между рисками, кото-рым подвергнуты активы и обязательства, и достижением финансо-вых целей.

Необходимо установить различие между внутренним и ситуа-тивным риском. Внутренний риск относится к отдельно взятой раз-новидности ценных бумаг, например к акциям �Майкрософта�. Ценаэтих акций может увеличиваться или уменьшаться вслед за движе-нием рынка. Такой риск не может быть устранен с помощью дивер-сификационных стратегий инвесторов, вкладывающих средстватолько в покупку активов. В противоположность этому риски, неимеющие отношения к движениям рынка, а именно несистемныериски (называемые также нерыночными), могут быть уменьшены спомощью диверсификации. Для инвесторов, имеющих долгосроч-ные финансовые обязательства, рыночные риски могут быть умень-шены, поскольку финансовое благополучие долгосрочных инвесто-ров является функцией не только лишь активов, но также и другихфакторов, среди которых находятся пассивы, процентные ставки(через посредство дисконтирования), целевые выплаты, возможнаяинфляция.

Классическая общепринятая формула для определения финан-сового благополучия выглядит следующим образом:

10

Богатство (Wealth) = Активы � Пассивы.Мы определим альтернативную меру финансовой устойчиво-

сти под названием �избыточное богатство�, которая показывает фи-нансовое положение данного инвестора по отношению к своим фи-нансовым обязательствам и своим целевым задачам.

Избыточное Богатство = Активы � Пассивы (задолженность) �Пассивы (целевое финансирование).

Положительный избыток (положительное сальдо) показывает,что данный инвестор, вероятно, справится с будущими финансовы-ми обязательствами наряду с финансированием своих целевых за-дач. А отрицательное сальдо предвещает противоположное, и инве-стору следовало бы переоценить свое финансовое положение.

Приведем схему оценки рисков.Чтобы рассчитать избыточное богатство, мы должны расши-

рить рамки традиционных понятий активов и пассивов. Должныбыть построены модели целевых � выплат. Замысел заключается ввосхождении по ступеням �эскалации риска� (показанном на схеме),в процессе которого система управления активами и пассивами ох-ватывает все больше и больше деталей, чтобы более репрезентатив-но отображать финансовые условия инвестора. На верхней ступень-ке �лестницы риска� избыточное богатство оценивается по методике�Совокупного интегрированного управления риском� TIRM [23]:

Ступень 5: Тотально-интегральное управления рисками.Ступень 4: Динамическое управление активами и пассивами.Ступень 3: Динамическое распределение активов.Ступень 2: Статические портфели активов.Ступень 1: Калькуляция цены на отдельную разновидность

ценной бумаги.Области примененияЗаслуживают внимания следующие области применения:� Пенсионные программы.Специалисты по актуарным расчетам делают оценку пенсион-

ных планов в долгосрочном аспекте с точки зрения будущих взносовв пенсионные фонды, предполагаемых выплат выгодоприобретате-лям и других будущих неопределенностей.

� Страховые компании.

11

Аналогично деятельности администрации пенсионных про-грамм, деятельность страховых компаний требует активной полити-ки управления при жестком государственном регулировании. При-меры методики ALM в области страхового дела широко представле-ны в [14].

� Банки.Банки медленно реализуют на стратегическом уровне интег-

рированные системы управления рисками, несмотря на тяжелыепроблемы, возникшие вследствие кризиса ссудно � сберегательнойсистемы в США в 1980 гг. и банковский кризис в Японии в 1990 гг.Последний был вызван сильным спадом на земельном и фондовомрынках из-за завышенных оценок недвижимости и высоких про-центных ставок. Первый кризис вызвали те аспекты государственно-го регулирования, что касались взаимоотношений фиксированных иплавающих процентных ставок. По поводу анализа этих кризисныхситуации см. соответственно [24 � 26]. Размещение финансовыхсредств все чаще основывают на показателе риска, носящего назва-ние �стоимость, подвергнутая риску, Value at Risk (VaR)�, или кри-терий допустимых потерь.

� Управление портфелями ценных бумаг и взаимными фонда-ми.

Взаимный фонд � паевой инвестиционный фонд открытоготипа, дающий инвесторам доступ к более высоким рыночным про-центным ставкам, возможность диверсифицировать риск и эконо-мить на брокерских комиссионных. Многие фондовые менеджерытаких фондов стремятся превзойти какой-нибудь специфическийиндекс типа упомянутого выше S&P 500 или �Рассел 2000�. (Индек-сы Рассела � взвешенные индексы рыночной капитализации, кото-рые публикуются компанией Франка Рассела в США. Существуютиндексы 3000, 2500, 2000, 1000, 500 и т.д. акций)

� Физические лица.Отдельные лица могут извлекать выгоду, осуществляя управ-

ление активами и используя при этом динамические стратегии. Встатье [27] описана система многошагового управления активами ипассивами, предназначенная для отдельных лиц, которые произво-дят выбор оптимальных решений. В работе [28] описывается реали-

12

зованная система, применявшаяся для индивидуальных клиентовкрупного итальянского Банка Фидеурам в Риме, где использовалосьмногопериодное стохастическое программирование.

� Университетские фонды.По самой своей природе университеты должны рассматривать

долгосрочную перспективу, когда им приходится управлять актива-ми собственных фондов. Это обсуждается в статье Р. Мертона [29].Основная идея статьи: нужно размещать активы таким образом, что-бы использовать благоприятные инвестиционные возможности, ко-торое тесно связаны с платежными обязательствами и финансовымицелями, уменьшая при этом риски. Примером здесь может послу-жить вложение средств в недвижимость для обеспечения жильемпрофессорско-преподавательского состава университета в окрестно-сти, окружающей университет. Подобное инвестирование служитдвум целям. Во-первых, оно сохраняет территориальную целост-ность � это достойная цель. Во-вторых, оно помогает компенсиро-вать расходы на жилье преподавателям. Иначе говоря, в качестведобавки к их жалованию субсидируются их жилищные расходы.

� Страхование в промышленности.Еще одна область применения связана со страхованием про-

мышленных и других крупных предприятий, имеющих�катастрофные� риски потери собственности. В этом случае актива-ми являются главные составные части работающего капитала ком-пании. Выплаты задолженности относятся к решениям по заимство-ванию. Целевыми выплатами могут быть выплата дивидендов, по-купка других компаний и т.д. В результате появляется обширнаясистема управления риском предприятия, выстроенная вокруг гене-ратора сценариев и многошаговой оптимизационной модели. Черезпосредство управления риском решения по страхованию делаютсяна самом высоком корпоративном уровне. Страхование в этом слу-чае позволяет прогнозировать будущие прибыли более определенно.Решения такого рода является примером финансовой инженерии[30].

1.2. Структура модели

13

Процесс инвестирования состоит из Tt ,,2,1 �� временныхшагов. Первый начинается с текущей даты. Конец периода планиро-вания T называют горизонтом планирования. Обычно он отражаетнекую точку, в которой инвестор имеет определенный конечныйзамысел планирования. Например, это может быть дата погашениякакого-то значительного долга.

В некоторых моделях учитываются краевые эффекты, связан-ные с финансовой деятельностью в моменты �,1�T ; см. [31, 32]об общей методике и [33] о применении этой методики в моделиRussell-Yasuda Kasai, обсуждаемой в статье [34]. Например, при оп-тимизационном подходе в некоторых задачах предполагают, чтодвойственные цены в моменты �,1�T за горизонтом планирова-ния возрастают по отношению к процентной ставке. Это добавляетеще одно ограничение в модели для финансовых переменных.

В начале каждого шага инвестор выбирает решение, принимаяво внимание совокупность активов, пассивов и целевых финансовыхвыплат. Кроме того, требуется учитывать неопределенные факторыи связи между ними. Например, состояние фондового рынка и до-ходность облигаций коррелированны.

При (количественном) анализе можно использовать системустохастических дифференциальных уравнений для моделированияизменений стохастических параметров как функции времени в мо-делях установления цен на активы. Тем самым набор ключевых эко-номических факторов соотносится с остальными переменными мо-дели, такими как показатели доходности активов и пассивов (см.,например, систему Тауэра � Перрина под названием �CAP:Link�,обсуждаемую в работах [35 � 37]).

Основными переменными при принятии решений являются:s

tjx , � инвестиция в актив, stky , � долговая выплата, s

tlu , � целевойплатеж. Эти величины соответствуют моменту времени t по сцена-рию s .

В каждый момент времени в модели состояние оцениваетсянекоторой целевой функцией, а управление осуществляется путемперераспределения между категориями активов, корректировки вы-плат задолженности и осуществления заданных целевых выплат.

14

Выбор целевой функции представляет особый интерес (см. соответ-ствующий раздел).

Кроме того, налагаются ограничения на динамический про-цесс: это задание предельных долей заемных средств, указание опе-рационных издержек при купле/продаже ценных бумаг и финансо-вых инструментов, иные ограничения. Имеются несколько подходовк включению ограничений в состав модели. Указанные ограничениясоздают новые предпочтения в дополнение к целевой функции. На-пример, возникает полезность от ограничений на выплату задол-женностей. Эти ограничения также изменяют вид целевой функции,которая во многих случаях, скажем, как в моделях Frank RussellCompany, является просто максимальным значением ожидаемогоконечного богатства (имеется в виду богатство за вычетом выпла-ченных неустоек и издержек связанных с прохождением текущихплатежей и поступлений и т.д.).

Наша цель состоит в отыскании допустимой точки, где дости-гает максимального значения целевая функция, рассматриваемая какфункция времени. Поскольку мы имеем дело с неопределенностямиво времени, оптимальное решение будет выбираться из множествапутей изменения богатства инвестора (вместо последнего можнопользоваться другими показателями, например упомянутым выше�избыточным богатством�).

Уравнения для финансовых потоковИмеется два основных уравнения для финансовых потоков.Для активов j -й категории

)1()1()( ,,,,1,�

������� j

stjj

stj

ssj

stj

stj tqtprxx ,

где j � актив, t � время, s � сценарий, ssjr , � прибыль от актива j ,

stjp , � объем продаж актива j , s

tjq , � объем покупок актива j , jt �издержки по купле-продаже актива j для момента времени t посценарию s .

Для потока платежей и поступлений

15

���� ���������

�

l

stl

k

stk

st

jj

stj

j

stj

ssl

stl

stl uyWtpqrxx ,,,,,,1, )1()( ,

где stW � приток поступлений в момент t по сценарию s , и поступ-

ление образует актив категории l .

Принципиально для многошаговой модели ограничение вида21,,

stj

stj xx � для всех сценариев 1s и 2s , унаследовавших общее про-

шлое вплоть до момента t . Иначе говоря, все сравниваемые вариан-ты должны иметь одинаковые предыдущие решения [38].

Целевые функцииВажным составным элементом управления активами и пасси-

вами является нахождение компромисса между риском и денежнымвыигрышем (в случае принятия уровня риска).

Общепринятая теория размещения активов основывается натеории установления цен на капитальные активы (CAPM) или наарбитражной теории ценообразования, о которых говорится в стать-ях [39 � 41]. В работе [40] утверждается, что шесть фундаменталь-ных факторов риска � четыре для акций и два для облигаций � объ-ясняют собой большую долю обычной волатильности отдельно взя-тых международных акций и облигаций. Транснациональные со-ставляющие факторов риска действуют сильнее в странах Европей-ского союза, чем где бы то ни было. В работе [41] приводится обзормоделей образования цен на активы с учетом факторов риска.

Существуют многочисленные способы оценки финансовыхрисков, точно так же как существуют альтернативные способы из-мерения прибыльности.

Расчет кривых распределения связывает вместе главные неоп-ределенности в любой финансовой организации. Имея в рукахфункции распределения, мы сможем оценивать не только риски, нои потенциал денежных вознаграждений за их принятие. Обычно мыоцениваем вознаграждение как его ожидаемое значение. Тогда, при-быль или убытки в следующем году: �

�Ss

ss zp , где Sp � вероятность

16

реализации сценария s , sz � прибыль или убытки по сценарию s ,а S � множество репрезентативных сценариев.

Имеются два базовых подхода к выбору целевой функции.Во-первых, мы можем применить классическую теорию фон

Неймана-Моргенштерна.В соответствии с постулатами этой теории в условиях неопре-

деленности модель оптимизации имеет вид

��s

ss wupwvE )())((max ,

где )( swu � функция предпочтения фон Неймана � Моргенштерна,sw � богатство инвестора по сценарию s , а sp � вероятность реа-

лизации сценария s .

Во-вторых, мы можем подогнать параметры классическойфункции полезности под характеристики выходных переменных мо-дели. Общепринятый подход состоит в выборе набора показателей,отражающих степень удовлетворения пожеланий инвестора. Напри-мер, можно определить риск как волатильность капиталоотдачипортфеля ценных бумаг, можно налагать штрафы на отклонения вы-бранных характеристик капитала в некоторые моменты времени отзаданных величин и т.д. Штрафам можно приписывать определен-ные веса, чтобы отразить их относительную важность. Тем целевымвыплатам и выплатам задолженностей, которые более�чувствительны� ко времени выплаты, может быть назначен болеевысокий приоритет, чем менее критичным целевым выплатам. Це-левая функция в этом случае будет иметь вид

)}()()(max{)(max 2211 xgxgxgxf kk��� ���� � ,где )(xgi показатель, относящийся к i -й выплате, а i� � коэффи-циент относительной важности для i -й цели.

17

Выбор целей и установка приоритетов являются сложной за-дачей удовлетворения привычек, склонностей, меняющихся во вре-мени вкусов и мотивов.

У каждой теории имеются многочисленные варианты, которыемогут использоваться в конкретных прикладных задачах в зависи-мости от особенностей ситуации.

1.3. Основные подходы к решению задачДля решения задач управления общей является последова-

тельность шагов: генерирование стохастических параметров, выра-ботка целевых установок на весь плановый период, выбор алгоритмарешения сформулированной задачи, содержательный анализ полу-ченных результатов.

В рассматриваемых работах для решения задач управления ак-тивами и пассивами широко используется четыре основных подхо-да: решающие правила, наращивание капитала, стохастическоеуправление, стохастическое программирование.

Решающие правилаРешающим правилом выбора стратегий является функция для

расчета значений инвестиций, выплат и других финансовых показа-телей в каждый элементарный период времени t . Рассматриваютсяуправляющие функции вида

),,( ,,, �s

tjs

tjtj bahx � ,где a , b � параметры, описывающие развитие процесса. Перемен-ные проиндексированы моментом времени и номером характери-стики, но необязательно индексом сценария.

Простым примером служат стратегии с фиксированной струк-турой активов. В конце каждого периода времени инвестор продаетпереоцененные активы и покупает недооцененные активы, сохраняяпри этом целевой уровень соотношения категорий активов, напри-мер 60 % акций � 40 % облигаций. Правило фиксированной струк-туры записывается следующим образом

18

��

js

tj

stj

j xxe

,

, ,

где je � фиксированная доля актива j .

Решающие правила в таком виде легко реализуемы и удобныдля использования. В работе [14] отмечено, что стратегии с фикси-рованной структурой снижают риск и улучшают капиталоотдачу посравнению с пассивной стратегией купли � владения. Имея несколь-ко решающих правил, инвестор в состоянии построить многопери-одную модель управления активами и пассивами для оптимизациинекоторой целевой функции. Однако такие оптимизационные задачи(сравнительно небольшие по объему вычислений) зачастую приво-дят к невыпуклым моделям и к необходимости решения глобально-оптимальных задач.

Наращивание капиталаДанная стратегия определяется как локально � оптимальная

стратегия, когда потенциальный инвестор, стремясь максимизиро-вать долгосрочный рост активов, оптимизирует активное богатствошаг за шагом, принимая некоторую функцию полезности. В работе[42] показано, что при определенных допущениях это достигаетсяпутем максимизации ожидаемого значения логарифма активногобогатства. В работе показано, что такая стратегия на самом делеасимптотически максимизирует долгосрочное активное богатство иминимизирует время достижения одной специфической цели дляцелевых выплат. При всех своих достоинствах крупным недостат-ком данного подхода является тот факт, что стремление к локально-му наивысшему темпу роста капитала сопровождается колебаниямбогатства с большой волатильностью. К настоящему времени разра-ботаны различные модификации данного подхода, что позволилополучить неплохие результаты долгосрочного инвестирования наоснове архивных данных для США в период с 1934г. по 1988 г. [43].Как показал анализ рынка, эти стратегии помогли сделать множест-во больших личных состояний для лиц, которые не побоялись при-нять на себя значительный риск.

Стохастическое управление

19

Данный подход восходит к работам [44 � 46]. Ключевая идеяподхода состоит в использовании уравнений в непрерывном време-ни для описания динамики изменения финансовых переменных: ценна активы, потока платежей и т.д. В качестве критерия оптимально-сти рассматривается интегральный показатель математическогоожидания функции полезности в полном соответствии с классиче-скими аксиомами фон Неймана � Моргенштерна. В работе [15] от-мечаются классы задач, для которых применение данного подходаоказывается успешным. В частности, в статье [47, 48] используетсямодель с непрерывным временем мертоновского типа, где капитало-отдача активов зависит от таких фундаментальных факторов, какпроцентные ставки, дивидендный доход, отношение EP / цены ак-ции к ее доходу и т.п. Показывается, что высокодоходные активы сповышенным риском представляются более безопасными, если го-ризонт управления более удаленный.

Стохастическое программированиеЗадачи стохастического программирования возникают при ис-

пользовании процессов с дискретным временем для описания изме-нений финансовых переменных в динамике. Ключевая идея состоитв генерировании множества сценариев реализации случайных пара-метров в виде дерева и выборе управлений в вершинах дерева. Это-му подходу будет уделено основное внимание в настоящей работе.Практическое использование подхода стохастического программи-рования позволяет учитывать в моделях разнообразные обстоятель-ства.

В работе [15], опираясь на опыт коллектива исследователейFrank Russell Company, приводится перечень тех возможных харак-теристик, которые могут быть учтены в многошаговых моделях сто-хастического программирования:

� Наличие многих периодов принятия решений; краевые эф-фекты задаются в виде наступления некоторого стационарного со-стояния за горизонтом планирования.

� Согласованность с экономической и финансовой теорией.� Дискретные сценарии для случайных переменных: капитало-

отдачи, стоимости задолженности, динамики валютных курсов и т.д.� Учет дополнительных стохастических характеристик.

20

� Институциональные, юридические и политические ограни-чения.

� Наложение штрафов за нарушение целевых ограничений.� Компромисс между краткосрочными, среднесрочными и

долгосрочными целями.� Моделирование производных финансовых инструментов и

неликвидных активов.� Моделирование операционных издержек, налогов и т.д.� Разнообразное описание риска в терминах, понятных для

лиц, принимающих решения.� Максимизация ожидаемой полезности финального богатства

за вычетом стоимости штрафов и неустоек.Приобретенный к настоящему времени опыт позволяет решать

весьма реалистичные многопериодные задачи на рабочих станциях сиспользованием алгоритмов математического программирования. В[34, 49 � 52] приводятся примеры успешного применения модели.Так, в работе [34] на простой трехпериодной модели, использовав-шейся на протяжении пяти лет, демонстрируется, каким образомпретерпевает изменения стратегия с течением времени и в процессевыявления характеристик неопределенности.

Плюсы и минусы четырех подходовКаждый из четырех подходов к динамическому инвестирова-

нию имеет в себе нечто привлекательное. Решающие правила гораз-до проще для реализации, а соответствующие оптимизационные за-дачи не заставляют нас прибегать к крупномасштабным процедурамлинейного и нелинейного программирования. Они могут быть безтруда протестированы на выбранных сценариях (путем имитации) иобеспечивают приемлемые доверительные интервалы для рекомен-даций. Они интуитивно ясны для большинства профессиональныхинвесторов. Однако они способны привести к невыпуклым моделямоптимизации, которые требуют интенсивных расчетов для нахожде-ния глобально-оптимального решения. Кроме того, правила, естест-венно, могут привести к субоптимальному поведению. Стохастиче-ское программирование дает основу для построения моделей общегоназначения, которые могут принимать во внимание особенности ре-ального мира, такие как ограничения на оборотные средства опера-

21

ционные издержки, неприятие риска, налоги, предельные ограниче-ния на группы активов и иные соображения. Оно требует высокоэф-фективных алгоритмов для решения задач из-за огромного числапеременных, участвующих в решении, особенно в многошаговыхзадачах с четырьмя и более этапами. Типичные прикладные моделиисследовательской группы компании Фрэнка Рассела [14] являютсяпятиэтапными. Рекомендации группы могут подвергаться практиче-ской проверке, однако вычислительные издержки здесь настольковысоки, что он оказывается практически неприемлемым для многихпользователей. Лимитирующим фактором является и выбор сцена-риев на основе стохастической модели.

Модели наращивания капитала приводят к высокому росту ак-тивов, однако, при наличии значительного риска. Когда контрольполитики наращивания капитала производится посредством моди-фицированных стратегий, такая политика приводит к выбору междупотерей на одной ценной бумаге и приобретением на другой ценнойбумаге, что в итоге обеспечивает повышенный рост капитала. Одна-ко процесс генерирования активов в модели должен быть простым, спростыми соображениями в отношении пассивов. Здесь сравнитель-но нетрудно получать решения, если данные имеются в наличии.Политика выбора имеет тенденцию концентрироваться на неболь-шом числе лучших активов и, следовательно, может быть недоста-точно диверсифицирована. Кроме того, как и при стохастическомуправлении, политика распределения капитала по активам здесьвесьма чувствительна к входным параметрам.

Стохастическое управление � это еще одна общая схема длярешения задач общего характера. Он применим к тем задачам, гдеможно реально оперировать в пространстве состояний, т.е. к задачамс тремя или четырьмя (самое большое) переменными. Как и пристохастическом программировании, трудно сгенерировать довери-тельные пределы. Ошибки моделирования могут также возникатьиз-за аппроксимации в пространстве состояний. Трудность в точномопределении общих ограничений на процесс сужает область прило-жений метода стохастического контроля. Однако метод имеет кон-цептуальное превосходство над стохастическим программированием(в тех случаях, когда метод может быть реализован на практике),

22

потому что здесь нет необходимости в выборочных сценариях. Тре-буется многое сделать, чтобы воплотить в жизнь лишь только моде-ли для одних активов на базе существующей теории, в частности дляслучая ограничений на веса активов, � не говоря уже о разработкетеории и приложений для управления активами и пассивами.

Подводя итог, мы констатируем, что среди четырех кандида-тов нет явно выраженного победителя. Мы предлагаем, чтобы инве-сторы начинали свои расчеты сразу на нескольких конкурирующихмоделях и правилах принятия решений. Их можно без труда реали-зовать и оптимизировать. Избранные решающие правила могут слу-жить отправными точками и ориентирами для более сложных моде-лей стохастического программирования и стохастического контроля.Можно также сочетать модели стохастического программирования ирешающие правила для получения оценок доверительных интерва-лов при выдаче рекомендаций после моделирования. Желательнытакже и модели, комбинирующие элементы всех четырех описанныхвыше подходов.

1.4. Генерирование сценариевРешающий аспект использования систем управления активами

и пассивами связан с моделированием базовых стохастических па-раметров, таких как процентные ставки, показатели инфляции и до-ходности ценных бумаг. Любой сценарий описывает отдельно взя-тый, логически последовательный набор значений параметров напротяжении всего планового периода. Коэффициенты должны бытьвнутренне согласованы в рамках единого сценария. Например, до-ходы на облигацию должны соответствовать изменениям процент-ных ставок. (См. статью [53] по поводу однофакторной модели про-центной ставки, которая была использована в многопериодном сто-хастическом программировании.) Барицентрическая аппроксимацияэтого процесса порождает дерево сценариев, где по каждому сцена-рию принимают в расчет разнообразные подвижки временнойструктуры. (Временная структура процентных ставок � системавзаимосвязей между процентными ставками по определенному фи-нансовому инструменту на разные сроки.) Эмпирические результатыустановлены для шести � и восьмипериодных моделей (см. также

23

[51, 52] по поводу подходов к генерированию дискретных сценариевна основе многомерных логарифмически-нормальных распределе-ний). Доходы по валютным активам должны генерироваться с по-мощью динамики валютного рынка (см., например, статьи [54 � 57]).Принцип адекватности модели требует, чтобы небольшая совокуп-ность экономических факторов определяла последующие результа-ты, как это записано ниже.

Экономические факторы (например, процентные ставки) � до-ходы по активам, поток платежей по задолженностям, учетные став-ки и приведенная стоимость обязательств.

Поскольку подсчет избыточного богатства требует одновре-менного вычисления значения стоимости активов за вычетом теку-щей стоимости обязательств по какому-то заданному сценарию, не-обходимо описать такое движение процентных ставок, какое напря-мую связано с доходностью активов, включая сюда государственныеи корпоративные облигации. В общем случае предполагается, чтопроцентные ставки отслеживаются и контролируются центральнымибанками, по крайней мере, стран Большой семерки.

Другая проблема, возникающая при выборе сценариев, состо-ит в необходимости строить дерево сценариев, когда речь идет обиспользовании моделей стохастического программирования. Такойпроблемы нет при использовании решающих правил.

Оценивание �тяжелых хвостов� распределений, характерныхдля рынка активов, может быть проделано несколькими способами.Например, обработка статистических данных за 105 лет функциони-рования фондового рынка показала, что такие �хвосты� лучше всегоописываются распределением Фреше [58]. Метод, использующийразличие в ценах исполнения на опционы колл и пут в один и тот жемомент времени, показал, что �хвосты� стали �тяжелее� после бир-жевого краха 1987 г. [59].

Существенное значение для постоптимального анализа имеетоценка чувствительности оптимальных значений критериев эффек-тивности к параметрам сценариев, что может выполняться, напри-мер, с путем варьирования сценариев в моделях стохастическогопрограммирования.

24

Корреляции играют существенную роль в построении дивер-сифицированных портфелей. Оценивание этих характеристик обыч-но проделывают, используя исторические ряды прошлых данных.Когда наступают экстремальные события, здесь возникают пробле-мы, поскольку корреляции возникают именно во время напряжен-ных периодов. Например, за семь лет вплоть до биржевого краха воктябре 1987 г. любая выборка из двадцати трех наиболее важныхстран никогда не имела все показатели капиталоотдачи положитель-но коррелированными за любой отдельно взятый месяц. Однако этопроизошло в октябре 1987 г.

Наконец, агрегирование переменных и представление сцена-риев являются важнейшими частями работы при построении моде-ли.

1.5. Алгоритмы решенияСтохастическое программированиеВычислительные трудности возникают из-за свойств дерева

сценариев, лежащего в основе подхода стохастического программи-рования. Число переменных, участвующих в решении, нарастаетэкспоненциально. В большинстве случаев можно обрезать дерево,намеренно сокращая число ветвей, исходящих из вершин, особеннодля вершин, расположенных ближе к горизонту планирования.

Основные алгоритмы для получения решений в стохастиче-ском программировании распадаются на три группы: прямые мето-ды, прежде всего методы внутренней точки, методы декомпозицииБандерса и методы декомпозиции на основе модифицированныхфункций Лагранжа. Эти методы высокоэффективны и используютспецифику древовидной структуры множества сценариев. В настоя-щее время возможно решать задачи нелинейного стохастическогопрограммирования с числом сценариев свыше 10000. И что болееважно, время счета по программе является линейной функцией чис-ла сценариев. Таким образом, учитывая рост быстродействия ком-пьютеров на 40 � 50 % в год, можно наращивать размерность задачстохастического программирования аналогичным образом. В то жевремя отметим, что необходим компромисс между реалистичностьюмодели и удобством ее использования.

25

Оптимальные решающие правилаГлавная вычислительная трудность при решении оптимизаци-

онных задач в моделях на основе решающих правил вызвана невы-пуклостью. Затруднительно напрямую использовать стандартныеалгоритмы нелинейного программирования, поскольку они ориен-тированы на поиск только точек локального оптимума. Обычно по-вторно запускают алгоритм из множества случайно выбранных то-чек и сравнивают полученные оптимальные значения. В качествеальтернативы можно пытаться использовать любые методы гло-бальной оптимизации, ограничиваясь решением задач с умереннымчислом переменных.

Наращивание капиталаЭтими моделями описываются набор однопериодных статиче-

ских представлений о выборе из одних активов, меняющихся с тече-нием времени. В этих случаях оптимизация связана с нахождениемоптимума вогнутой функции на выпуклом многограннике или в об-щем случае на выпуклом множестве, а следовательно, могут привле-каться стандартные программы нелинейного программирования.

Стохастическое управлениеПосле того как пространство переменных определено (как

правило, не более четырех), непрерывная задача разрешается с по-мощью стандартных подходов, таких как метод динамического про-граммирования или метод конечных разностей. Варианты инвести-ционной политики, получаемые из этих моделей, выражаются в видедолей активов, входящих в портфель, которые резко меняются вовремени, что очень сильно влияет на оценки среднего значения, ко-торые модель и пытается предсказать. Тем не менее модели стохас-тического управления обеспечивают обоснование для некоторыхклассов решающих правил.

1.6. Перспективы на будущееИтак, приведен обзор сферы применения систем динамическо-

го стохастического управления активами и пассивами. Предложеночетыре альтернативных подхода к моделированию: многошаговыерешающие правила, стохастическое программирование, наращива-ние капитала и стохастическое управление. Каждый подход имеет

26

свои преимущества над другими, и ясно, что среди них нет наилуч-шего. Кроме того, на практике широко применяются имитационноемоделирование и варианты модели �среднего � дисперсии� (типаМарковица). Весьма значительные суммы ставятся на карту, когдаразрабатываются стратегические планы для инвесторов с портфеля-ми ценных бумаг, стоящих миллиарды долларов. Малый процент-ный доход, накапливаясь в течение ряда лет в виде сложных процен-тов, дает в результате большую прибыль. Таким образом, для мно-гих организаций возможные доходы от систематического инвести-рования перевешивают сомнения по поводу проблем, связанных среализацией динамической стратегии инвестирования.

Каковы возможные направления будущих исследований?Во-первых, существует логически обоснованная потребность в

оценках робастности (таких, как доверительные интервалы) предла-гаемых рекомендаций определенной модели управления активами ипассивами. И стохастическое программирование, и стохастическоеуправление испытывают недостаток в этом. Многообещающее на-правление связано с комбинированием решающих правил и стохас-тического программирования, которое выполняется при помощитехники уменьшения дисперсии [60]. Могут оказаться возможнымии другие гибридные подходы.

Во-вторых, для успеха долгосрочного планирования будетиметь решающее значение общепринятое определение риска с уче-том факторов времени. Необходимо стремиться к компромиссу ме-жду кратковременным страданием и долговременным процветани-ем. Трудно принимать компромиссное решение, не имея ориентирана жизнеспособные позиции в будущем. Теория многоцелевой оп-тимизации владеет рядом многообещающих технических приемовдля оказания помощи инвесторам при анализе их будущих возмож-ностей.

В-третьих, сейчас имеется подходящая возможность оформ-лять ценные бумаги по индивидуальному заказу, чтобы приспосо-бить их к окружающей обстановке для отдельного инвестора. На-пример, активное сальдо у инвестора могло бы быть восприимчиво квнезапному скачку вверх процентных ставок, а также к падениюамериканского доллара. Хотя такое сочетание событий могло бы

27

оказаться сравнительно редким, (потому что процентные ставки ивалютные курсы в принципе положительно коррелированны), ноинституциональный инвестор не должен целиком игнорировать этотсценарий. Система управления активами и пассивами может сфор-мировать оценку относительно привлекательности любой ценнойбумаги, оформленной по индивидуальному заказу. Система управ-ления активами и пассивами способна также формировать основудля ценообразования на упомянутые индивидуализированные цен-ные бумаги, скажем, с помощью двойственных переменных из задачнелинейного оптимального программирования. В будущем инвесто-ры окажутся в состоянии конструировать ценные бумаги со специ-фицированной схемой доходов (капиталоотдачи), разумеется, в за-данных пределах. Финансовая инженерия создает все возрастаю-щие возможности для управления риском, причем упор здесь дела-ется на учет временного фактора. [10, 61]. Таким образом, мы смог-ли бы покупать ценную бумагу, которая приводила бы в исполнениеособую стратегию динамического инвестирования. Системы дина-мического управления активами и пассивами идеальны для оцени-вания этих новых, комплексных финансовых возможностей.

Самые изощренные модели управления активами и пассивамиразработаны североамериканскими и британскими исследователями,которые хорошо представлены в [14]. Но, быть может, более про-двинутое использование таких моделей осуществлено голландцами,в значительной степени благодаря традиции, а также из-за ситуациис регулированием фондового рынка в Голландии.

1.7. Исторический экскурсТри концентрических круга на рисунке показывают, хотя и

схематично, развитие событий на рассматриваемом поле деятельно-сти, начиная от основания Данцигом, Беллманом, Марковитцем,Мертоном стохастической оптимизации в 1950 гг. и 1960 гг. Далееидут ранние модели Бредли и Крэйна, Чарнеса и его учеников, Зи-ембы и его учеников в 1970 гг. и 1980 гг. Затем имело место значи-тельное продвижение в развитии подобных моделей многими иссле-дователями в 1990 г., чему содействовали новые вычислительныевозможности и огромные суммы ресурсов, которыми нужно было

28

управлять в остро конкурентной обстановке. Поле исследований бы-стро расширяется, однако их приложения все еще пребывают в мла-денческом состоянии. Потенциальные возможности моделей стохас-тического программирования по улучшению результатов деятельно-сти инвесторов и избежанию финансовых бедствий, несомненно,значительно возрастут в будущем. Большие конференции, такая каксостоявшаяся в августе 1998 г. [ALM meeting in Vancouver], обсуж-дали и документально подтвердили достижения теории и практикииспользования моделей управления активами и пассивами.

29

§2. Пример задачи стохастического программирования

2.1. Многошаговая модель динамического управленияпортфелем ценных бумаг CALM [16]

Многошаговое стохастическое программирование находитширокое применение при постановке и решении финансовых задач,характеризующихся большим числом переменных состояния и, какправило, небольшим числом этапов принятия решения. Литература

30

по применению многошагового рекуррентного моделирования дляформализации сложных задач оптимизации портфелей ценных бу-маг восходит к началу 1970 гг. ХХ в., когда были впервые взяты навооружение финансистов методы решения проблемы портфеля цен-ных бумаг с фиксированной доходностью. Здесь описывается мо-дель CALM, которая была разработана для учета влияния неопреде-ленностей как на активы (и в самом портфеле, и на рынке), так и напассивы (в форме зависящих от сценария платежей или стоимостизаймов). Портфельный менеджер, у которого имеется первоначаль-ное богатство (Wealth), изыскивает способы максимизации конечно-го богатства на горизонте планирования, причем доходы от инве-стирования моделируются как случайные векторы в дискретныхточках пространства состояний. Векторы решений представляют изсебя возможные инвестиции в рыночные активы или продажу по-следних из портфеля, а также владение ими (на протяжении какого-то времени). Другими компонентами вектора решений являются ре-шения о заимствовании средств по какой-либо кредитной линии илис депозита в банке. В работе [16] результаты вычислительных экспе-риментов представлены для серии 10 шаговых портфельных задач,при решения которых использовались различные методы и библио-теки программ (OSL, CPLEX, OBI). Задача о портфеле на основеслучайного векторного процесса, допускающего вплоть до 2688 реа-лизаций на протяжении 10 летнего планового периода, была решенана IBM 6000/590. Получены решения 24 тестовых задач большойразмерности с помощью программ симплекс-метода и барьерныхметодов из библиотеки CPLEX (последние для линейных или квад-ратичных целевых функций); метод внутренней точки с предикто-ром � корректором из библиотеки OBI; симплекс-метод из OSL;MSLiP � OSL � метод декомпозиции Бандерса с решением подзадачпри помощи симплекс-метода OSL и нынешней версии MSLiP.

Описываемая далее вычислительная технология обеспечиваетоснову для рационального корпоративного финансового планирова-ния на базе моделей, охватывавшего сроки порядка десятилетия.Подобное планирование становится возможным благодаря реали-стическому характеру моделей этого типа, быстрому прогрессу впрограммном обеспечении и аппаратных средствах для повышения

31

производительности компьютеров, благодаря наличию всеобщейпотребности в моделировании, и ужесточению контроля за финан-совыми рисками в современных глобальных корпорациях, начинаяот банков и кончая производственными подразделениями, с исполь-зованием широкого набора технических приемов от самых простыхдо самых сложных.

Модель CALM выросла из исследований по стохастическомудинамическому программированию, которые начались свыше двухдесятилетий тому назад вместе с появлением работ [72, 73]. Пере-чень последующих работ, связанных с данным предметом исследо-ваний, изложен в публикациях [50, 74 � 77].

Быть может, самой важной из этих публикации является ста-тья Бредли и Крейна [72], которые впервые предложили�инвентаризационный� подход к моделированию финансовых реше-ний, где каждый актив или пассив в модели имеет на каждый (эле-ментарный) период времени свой �приход�, �расход� и �наличныйзапас�, описываемые соответствующими переменными; статья Дем-пстера и Айерленда [75], которые исследовали неотъемлемые от та-ких моделей связи с информационными системами; статья [74], гдеразработано первое подлинно коммерческое приложение динамиче-ского стохастического программирования. Несмотря на тот факт,что до них существовало множество предшественников в разныхфинансовых учреждениях, но предшествующие работы можно рас-сматривать в лучшем случае как прототипы предложенной системы.

Многошаговые модели приводят к задачам большой размер-ности, весьма сложным, хотя и обладающим линейными ограниче-ниями, причем структура ограничений линейно нарастает по разме-рам вместе с числом траекторий прохождения информации, илисценариев, которые представляют совокупность неопределенностей,возникающих у лиц, принимающих решение. Отсюда следует, чтопрактические модели должны осуществлять свою работу с помощьютаких средств программного обеспечения, которые обобщают и ис-пользуют языки моделирования для линейного программирования(ЛП) вроде GAMS и MODLER (последний используется в даннойработе).

32

2.2. Формулировка задачиРассматривается задача стохастического программирования в

форме многошаговой рекуррентной задачи [78 � 81]:

)])]}(min[)((min[)({min 12

211

2211 TTxxRxxfExfExf

TT

Tn �

����

���

� ,

при условии

���

�

���

�

�

��

��

��

�

�

,

,,

,

1

33323

22212

111

TTTTT bxAxB

bxAxBbxAxB

bxA

�

111 uxl �� , ttt uxl �� , Tt ,,2 �� ,в этой записи слагаемые функционалы tf определяются для элемен-тарных периодов, начиная с 1�t вплоть до горизонта планированияT ; матрица 11,

1nmRA � и вектор 1

1mRb � определяют детерминиро-

ванные ограничения на первом шаге решения, а для Tt ,,2 �� ,матрицы tt nm

t RA ,: �� , матрицы tt nmt RB 11,: ���� и вектора

tmt Rb ��: определяют области стохастических ограничений дляпоследовательно выбираемых решений nxx ,,2 � . Через

1�ttE

�� обо-

значаются условные математические ожидания функций от случай-ного вектора t� информационного процесса � в момент времени tпри заданной истории 1�t� процесса до момента времени t . Из при-веденной рекуррентной записи явно следует зависимость оптималь-ной политики, ),,,( 00

20

10

Txxxx �� от реализаций векторного ин-формационного процесса ),,( 2 T��� �� .

Данная модель является стандартной задачей принятия реше-ний в условиях неопределенности.

33

� Достижение цели при таком блочном представлении форма-лизуется в виде последовательности оптимизационных задач, соот-ветствующих различным шагам: в момент времени 1 лицо, прини-мающее решение, должно выбирать некое решение, последствиякоторого полностью зависят от будущих реализаций заданного мно-гомерного стохастического информационного процесса.

� Соответственно для каждой реализации истории t� инфор-

мационного процесса вплоть до времени t рассматривается рекур-рентная задача, в которой искомым решениям является ),( 1 ttx �

� .На каждом шаге предыдущие решения воздействуют на текущуюзадачу посредством матриц tB , Tt ,,2 �� , вместе с последова-тельностью решений: решение � наблюдение, наблюдение � реше-ние TT xx ���� �� �21 .

� Информационный процесс � определен как векторный сто-хастический процесс с дискретным временем. Конечная выборка изего траекторий удобно представляется в виде дерева сценариев: ка-ждый сценарий соответствует траектории процесса

),,,( 21 TT

���� �� на горизонте T .� В сформулированной задаче, как и вообще в задачах финан-

сового планирования, ограничения сверху и снизу, зависят от сцена-риев. Корректное генерирование выборочных траекторий информа-ционного процесса для данной задачи является решающим факто-ром надлежащей формулировки задачи стохастической оптимиза-ции.

Динамические задачи управления портфелем ценных бумаглегко формулируются в виде динамических рекуррентных соотно-шений. Впервые этот подход был применен к управлению портфе-лем [72] ценных бумаг с фиксированной доходностью. О другихприложениях схемы рекуррентного принятия решений к финансо-вому планированию можно прочитать в перечисленных выше рабо-тах. Во многих из приведенных работ неопределенность проявляетсяв форме неизвестных будущих ставок дохода рыночных инвестицийи источников денежных потоков, равно как и в форме разбалансиро-ванности поступлений и платежей, а целевая функция обычно опре-

34

деляется в виде математического ожидания линейной или нелиней-ной функции полезности на горизонте планирования (иногда за го-ризонтом планирования).

Исходной задаче может быть придано более компактное пред-ставление с использованием схемы динамического программирова-ния, которая применима вследствие принятой структуры матрицыограничений.

Для каждого момента времени 1,,1 �� Tt � нам нужно найти

)],()([min 1tt

tttxxxf

t

���

� .

При этом ttttt bxAxB ���1 , где 1�t� выражает оптимальное

ожидаемое значение критерия для шага 1�t при наличии историирешений ),,( 1 t

t xxx �� и реализованной истории случайного про-

цесса ),,( 1 tt

��� �� . А именно,

))]((min)((min[),( 111

11 TTxtx

ttt xfExfEx

TT

Ttt

t�

��

�����

����

�� � .

Здесь минимизация проводится с учетом соответствующих ог-раничений, которые будут обсуждаться ниже при преобразованииисходной задачи к детерминированному варианту.

Соответственно портфельный менеджер в конце каждого(элементарного) периода времени на основе текущей информациивыбирает оптимальное решение при наличии неопределенностей намомент принятия решения. Это решение должно быть допустимымрешением по отношению к тем ограничениям, которые индуцирова-ны будущими значениями случайного информационного процесса итекущим состоянием портфеля.

Благодаря выпуклости функции ),(1tt

t x���

по переменнойtx , рекуррентная задача может быть также сформулирована сле-дующим образом:

35

найти tttxxf

t

��)(min

при наличии условий ttttt bxAxB ���1 ,. t

ttt x ��� ��

),(1 .

Применение алгоритма секущей плоскости для решения этойзадачи основано на простой декомпозиции путем аппроксимациицелевой функции в момент времени 1�t множеством сечений вида

ttxd ��� , [79, 82 � 84]. Сечения также используются, чтобы нало-жить ограничения на текущие решения, которые обеспечивают до-пустимость последующих рекуррентных решений.

2.3. Стандартные методы решения задач стохастическогопрограммирования

Возможны две процедуры получения решений для детермини-рованного эквивалента исходной динамической портфельной зада-чи.

� Прямое решение задачи детерминированного эквивалента, вкотором условные вероятности повторно вычисляются на каждомшаге для всех информационных траекторий. Программы для реше-ния задач линейного и квадратичного программирования оченьбольшой размерности имеются в наличии и способны решать зада-чи, используя соответственно стандартные алгоритмы линейногопрограммирования (т.е. симплекс-метод и метод внутренней точки)и квадратичного программирования (итеративный алгоритм, или наоснове метода внутренней точки).

� Или в качестве альтернативы первоначальная задача можетбыть подвергнута разложению в последовательность подзадач, ко-торые с вычислительной точки зрения связаны пошагово, а затемможет быть применен метод блочной декомпозиции Бандерса.

Приведем подробное описание для первого представления.Предположим для простоты, что из каждой вершины дерева

решений выходит одинаковое число ветвей в один элементарныйпериод времени, а соответствующие условные вероятности обозна-чим через tkkk

tp ,,, 32 � , Tt ,,2 �� . Эти допущения позволяют сфор-мулировать детерминированный эквивалент исходной задачи в виде

36

�)(min{ 11 xf

})]]]()([)([2

2

3

3

22323222

1 1 1

,,,,33

,3222� � �

� � �

����

K

k

K

k

K

k

kkTT

kkT

kkkkkkT

T

TT xfpxfpxfp ���

где

���

�

���

�

�

����

����

���

�

�

�,,,2,,,1,

,3,2,,,1,

,,,1,

,

,,,,,,,,1

,,

,3

,3

,32

,3

2222212

111

222122

323232232

2222

TtKkbxAxB

tKkbxAxB

KkbxAxB

bxA

ttkk

Tkk

Tkk

Tkk

Tkk

T

ttkkkkkkkkk

kkkk

TTTTT ��

�����

�

�

�����

111 uxl �� , tkk

tt uxl T��

,,2 � , Tt ,,2 �� ,здесь вектор переменных решения соответствует каждой вершинедерева решений.

В матричных обозначениях многошаговая линейная задача за-писывается следующим образом:

найти xcx

��min�

� при условии, что bxA ��� � , 0� �x ,

где ,,)(,)(,,)(,(� 1,13

1,1322

12

121

22 �� ����� cpcpcpcc KK

))(,,)(,,)(,, ,,,,1,,11,,1,3

,3

223232 ���� TT KKT

KKTTT

KKKK cpcpcp ������� ,

),,,,,,,(� ,,1,,12

121

22 ������� TKKTT

K xxxxxx ����� ,

),,,,,,,(� ,,1,,12

121

22 ������� TKKTT

K bbbbbb ����� .

37

�����������������

�

�

�����������������

�

�

TT KKT

KKT

KK

KKKK

K

KK

AB

B

ABB

ABAB

ABA

,,,,

,,4

,3

,3

,13

1,13

1,13

22

12

12

1

22

42

3232

3

22

00

0000000000

0000

��

�

��

��

��

��

�

�

��

��

��

��

В общей T � шаговой задаче, где число локальных задач привершине на шаге t равно�

�

t

s sK2

, а размерность матрицы ограни-

чений равна ),( tt nm , мы имеем nRc ��� , nRx �� � , mRb ��� , nmRA ��� � ,где

))((� 33221 TT nKnKnKnn ����� � ,))((� 33221 TT mKmKmKmm ����� � ,

что порождает в конечном счете задачи весьма большой раз-мерности по мере нарастания числа сценариев.

Прямая задача линейного программирования:

найти }0�,�����{min�

��� xbxAxcx

Двойственная задача линейного программирования:

38

найти }�����{min�

cAb ���� ��

�

.

Эти задачи решаются с помощью симплекс � метода или ме-тода внутренней точки. Главные проблемы, возникающие при реше-нии этих задач, связаны с чрезвычайно большой размерностью, ко-торой достигают подобные задачи линейного программирования.

§3. Примеры из отечественной практики

Отметим, что качественный уровень решения задач оптималь-ного управления активами и пассивами в отечественной практикевполне соответствует мировому уровню. Достаточно привести при-мер работы, в которой непосредственно принимал участие автор[17]. В этой работе использованы все известные подходы в исследо-вании операций и системном анализе, которые были накоплены впрактике решения задач рационального выбора управлений в усло-виях неопределенности для различных сфер экономики [1 � 3].

Кроме того, можно привести примеры построения имитацион-ных моделей, моделей пассивного управления банком в период егопассивной эволюции и выбора оптимальной политики погашенияобязательств при неопределенном спросе на депозиты, моделиуправления ресурсами финансовых институтов в виде задач опти-мального управления и т.д. [62 � 70].

Большой информационный материал по управлению портфе-лем содержится в Интернете [71].

39

Глава 2.Задача управления портфелем ценных бумаг в стохастике

§1. Формальная постановка двухкритериальной задачи приуправления портфелем в многошаговом случае

В настоящей работе рассматривается двухкритериальная зада-ча об управлении портфелем в динамике с целью максимизацииожидаемого дохода от вложенного капитала в начале и максимиза-ции критерия допустимых потерь в конце процесса. Содержательнопостановка аналогична рассмотренной в предшествующей работе, вкоторой принимал участие автор [17], но в отличие от прежней за-писи динамика портфеля записывается в переменных � количествахценных бумагах.

Дальнейшее развитие получает анализ уравнений Беллмана[85]. Предложены вычислительные процедуры прогонки, которыеосновываются на декомпозиции исходной задачи на случайный про-цесс и детерминированный.

Часть результатов описанных ниже опубликована в работахавтора [86 � 92].

Рассмотрим управление портфелем ценных бумаг на интерва-ле времени ],0[ T , где индекс ],0[ Tt � соответствует номеру тор-говой сессии.

Будем считать, что в период времени ],[ Tp� , 0�p на рынкепредставлены N видов бумаг.

Каждой бумаге i в день t будем сопоставлять значение цены

itc , . Величины itc , принимают дискретные значения в промежут-

ке ],0[ maxc с шагом c� . Вектор цен в день t будем обозначать tc .За рассматриваемый в модели период времени часть находя-

щихся в обороте ценных бумаг может погашаться, может происхо-дить размещение новых выпусков. Из соображений формализациибудет удобным считать, что в любой момент времени ],[ Tpt ��

участнику рынка доступны все N видов бумаг. При этом, если не-которая бумага i впервые появилась на вторичных торгах в сессию

40

t , то определим ее цену для всех сессий tt �� (предшествующих t ),как 0, �

� itc ; если t � последняя из торговых сессий, предшествую-

щих погашению бумаги i , то для всех tt �� положим 0, �� itc .

Будем считать, что бумаги i могут быть в день t проданы иликуплены по цене itc , . (Как правило, цену последней сделки можно судовлетворительной точностью реализовать на практике, что важнодля адекватности рассматриваемой модели действительности.)

Текущее состояние находящегося в управлении портфеля цен-ных бумаг будем моделировать вектором ),,,( ,2,1, Nttt hhh � , где ith ,

� количество бумаг i � го вида в портфеле в момент времени t .Обозначим itS , � стоимость входящих в портфель бумаг i � го вида

в момент времени t : ititit hcS ,,, � .Будем считать, что любая денежная сумма может быть цели-

ком конвертирована в облигации произвольного вида i без остаткаи величины ith , могут принимать произвольные дробные значения.На практике при операциях с облигациями в силу их дискретности,как правило, возникают денежные остатки. Это приводит к тому, чтодоходность операций оказывается несколько ниже, чем она была быв непрерывном случае. Однако при достаточно крупных объемахвложенного капитала влияние �неработающих� остатков на общийдоход столь невелико, что им можно пренебречь без особого ущербадля результатов.

Для произвольной сессии t обозначим через �

ith , количество

(по цене itc , ) бумаг вида i , находящихся в портфеле до операций

купли-продажи, а через �

ith , � стоимость бумаг этого вида в портфе-

ле, после указанных операций. Отметим, что 0,0 ,, ����

itit hh и�

�

�

� itit hh ,1, .При операциях с ценными бумагами инвестор выплачивает

бирже комиссионные сборы. Комиссия взимается с каждого акта,

41

будь то продажа или покупка. Мы будем рассматривать несколькотипов поведения инвестора в расчетах с биржей.

Основная задача, случай G.Если инвестор в день t проводит операции с некоторым ви-

дом бумаг i , то с данным видом бумаг это только одна операция:либо продажа (части) бумаг i , либо покупка (дополнительная) бу-маг вида i .

В этом случае динамика изменения количества бумаг в порт-феле (из �

th в �

th ) удовлетворяют соотношению

��

����

���

N

iitititittttt hchckhchc

1,,,, )(),()( .

Вспомогательная задача, случай EВ начале сессии инвестор продает все бумаги и на полученный

капитал закупает в конце сессии новый набор облигаций.В этом случае динамика портфеля описывается соотношением

���

�

�

���

���

N

iitit

N

iitittttt hkchkchchc

1,,

1,, )()(),()( .

Вспомогательная задача, случай OИнвестор не выплачивает комиссию.В этом случае динамика портфеля описывается соотношением

),()( ��

� tttt hchc .

Через �

tS , �

tS обозначим стоимость портфеля до и послеуправления в день t , соответственно

��

��

�

N

iitt SS

1, , �

�

��

�

N

iitt SS

1, .

42

Целью управления будет максимизация за период ],0[ T дохо-да �

TS от вложенного в ценные бумаги в первый день управлениякапитала и минимизация риска.

Изменение цен от сессии к сессии будем описывать в видемарковского процесса с дискретным временем и глубиной p , т.е.вектор цен в день t � это случайный вектор tc с распределением

),()( ,,21 ptttttt CCCcFcF���

��

, Tt �,2,1,0� .

В дальнейшем управление в день t в рассматриваемой моделиотождествим с выбором �

th .

Набор таких функций TtthH 0)}({�

��

�� назовем стратегиейуправления, а множество подобных стратегий обозначим � . Любаястратегия ��

�H и матрица 01 )( pttcA

��� полностью определяют

вероятностное распределение на траекториях

),,,,,,,,,( 11121110 TTTT chhcchhch �

�

�

��

���

� ,

которое индуцирует распределение �

TS как случайной вели-чины.

Рассмотрим для этой операции инвестора два критерия: кри-терий, описывающий ожидаемый результат, и критерий, описываю-щий риск операции.

Критерий математическое ожиданиеСтавится задача максимизировать математическое ожидание

трансформации �

TS в классе стратегий � :

max)( ��

TSM ,или ),(max 1,,,

,,, 21110

�

��

�

��TTccc

hhhhcM

TT

��

,

43

при ограничениях на динамику портфеля и некоторых ограниченияхна переменные процесса.

Критерий допустимых потерьКак отмечается в [10, 93], в последнее время в задачах управ-

ления портфелем все большую популярность приобретает критерийVaR (Value at Risk), отражающий вероятность превышения (или не-достижения) заданного уровня некоторым избранным показателемкачества управления и состояния процесса.

Определим в нашем случае при каждой заданной стратегииуправления �H этот критерий в виде

)),(()(2 KhcPW TTcF t�� , Tt ,,1,0 �� ,

где )( tcF � определенное выше распределение для случайного век-тора цен, а K � заданный уровень конечного результата.

Перепишем это определение, используя операцию осредненияи характеристическую функцию:

)),(,( 00,,,2 21hcHMW

Tccc�

� ��

,где характеристическая функция имеет вид

���

�

���

.,0,,1

)),(,( 00 KhcеслиKhcесли

hcHTT

TTT�

Как следует из приведенной записи, при управлении портфе-лем инвестору желательно стремиться к увеличению показателя ка-чества 2W .

Парето-оптимальные решенияВведенные таким образом критерии позволяют сформулиро-

вать двухкритериальную задачу управления портфелем: ),( 21 WWпри ограничениях, описывающих динамику изменения состоянияпортфеля, и при управлении в широком классе управлений, какфункций от состояния портфеля и процесса изменения цен. Отдель-

44

ные постановки задач в зависимости от информированности инве-стора приводятся ниже.

Как и в общем случае, в данной постановке можно строить от-дельные точки паретовского множества введенных критериев, решаязадачи

max2211 �� WW ��

при фиксированных 0, 21 ��� и 121 �� �� .

Замечания1. Как следует из определения ),( 21 WW и свойств операции

осреднения, для решения сформулированной задачи

)),(,(),((max 0021,,1hcHhcM TTTcc T

�� ���

�

допустимо использование формализма динамического про-граммирования и, следовательно, возможно выписать уравненияБеллмана.

2. В то же время, если в качестве оценки риска принимаетсядисперсия конечного состояния портфеля по аналогии с классиче-ским случаем задачи Марковица в одношаговом случае, то уравне-ния Беллмана не приводят к решению задачи, как показывает сле-дующий пример.

Рассмотрим динамический процесс управления ценными бу-магами в исходной постановке. Пусть задана некоторая стратегияповедения. Поставим вопрос: можно ли, двигаясь справа налево иотслеживая для состояний системы только дисперсию, просчитатьдисперсию результата для всех состояний. Отрицательный ответследует из примера.

Шаги 3,2,1�t ; одна бумага в портфеле в единственном числе;состояния 3231222111 ,,,, sssss � первый индекс � шаг, второй индекснумерует состояния на шаге; управление в каждом состоянии одно,безальтернативное.

45

После первого шага с равной вероятностью система попадаетлибо в состояние 21s , либо в состояние 22s . Из любого из этих со-стояний на третьем шаге система детерминированно попадает в со-стояние с тем же вторым индексом.

Цены на бумагу: bccaccc ����� 3222312111 ,,1 .Отсюда дисперсия результата (конечного капитала) для со-

стояний 21s и 22s в силу дальнейшей детерминированности процес-са равна нулю.

Результирующий капитал после состояния 11s примет с рав-ной вероятностью или значение a , или b . Поэтому дисперсия ре-зультата равна

4)()

2(*5.0)

2(*5.0

222 baabba ��

��

�,

т.е. является функцией разности ba � , что не соответствуетпредыдущей нулевой оценке.

3. На практике [16] при решении динамических задач исполь-зуется следующая модификация критерия типа дисперсии:

2,,2 )),((

1KhcMW TTcc T

���

.

§2. Постановки задач при критерии математического ожидания

Во всем дальнейшем тексте рассматривается однокритериаль-ная задача при критерии математического ожидания.

В зависимости от информированности инвестора и соответст-венно класса стратегий могут быть сформулированы различные за-дачи управления процессом трансформации портфеля.

Программные стратегии (функции времени)а) Если инвестор будет располагать информацией о реализации

случайного процесса цен на весь рассматриваемый интервал и вы-бирать управления в виде �

th как функции времени, т.е. как функ-

46

ции только номера шага, то его наибольший результат запишется ввиде:

��

��

�

�

��11

,,,,,, ),(max

11021

WhcM TThhh

cccT

T�

�.

б) Если оставаясь в рамках программных стратегий инвесторне будет располагать никакой информацией о реализациях случай-ного процесса, то его наибольший результат запишется в виде

��

��

�

�

��11,,,

,,,),(max

21110

WhcM TTccchhh T

T�

�

,

и решение задачи фактически сведется к детерминированномуслучаю.

Стратегии � политики (класс синтезов)в) Если управление в день t разыскивается в виде функции от

истории, т.е.

),,,,,,;,,,( 1221111����

�

�

�

�

���� hhhhhhccchh tttpttttt �� ,

1,2,1 �� Tt � ,

что предполагает, что инвестор будет постепенно шаг за ша-гом получать информацию о ценах, то его наибольший результатзапишется в виде

��

��

�

�

��21)(maxmaxmax

12

11

0

WhcMMM TTch

ch

ch T

T

� .

г) Если инвестор будет располагать информацией на шаг впе-ред, во всем оставаясь в рамках предыдущей постановки, то его наи-больший результат запишется в виде

��

��

�

�

��21)(maxmaxmax

112

01

WhcMMM TTh

ch

ch

cT

T� .

47

Во всех перечисленных выше постановках учитываются огра-ничения на динамику портфеля в одной из записей G, E, O.

Теорема 1. Верны следующие соотношения:���� ��� 1221 WWWW .

ДоказательствоДанный факт следует из того, что в каждой последующей за-

даче по сравнению с предыдущей рассматривается более широкийкласс управлений, содержащий в себе и управления предшествую-щей задачи.

Теорема 2. )()()( 222 EWGWOW �� .ДоказательствоЭтот факт следует из монотонной зависимости конечного до-

хода от комиссионных изъятий: наибольшее изъятие � в случае E,наименьшее изъятие � в случае O, промежуточное � в случае G.

Все дальнейшее рассмотрение в данной работе относится кслучаю в), как наиболее реалистичному случаю, и в смысле получе-ния информации, и в смысле содержания задачи управления порт-фелем ценных бумаг.

Постановка задачи в модели CALM [16] также относится кданному классу.

§3. Стохастическая задача в классе синтеза без комиссии

Рассмотрим вспомогательную стохастическую задачу без ко-миссии (случай O) в постановке в). Обращение к этой задаче опре-деляется оценкой по теореме 2 интересующей нас задачи в) в поста-новке случая G и простотой выкладок.

Как следует из изложенного выше, в этом случае процесс из-менения портфеля имеет вид ),(),( ��

� tttt hchc , где th� , 1th�

� � векто-

ры, компоненты которых есть количества облигаций номеров j ,Nj ,,2,1 �� , в портфеле после акта принятия решения на сессиях

номеров t , 1�t соответственно.Управление ищем в виде ),()( 1

�

�

��

�� tttt hchh .

48

Функционал имеет вид ),( 1�

�TT hc .Оптимальная задача в этом случае, в силу Марковости процес-

са цен и типа ограничений, будет иметь вид

�

�����

�

�

�����

�

�

�

�

�

�

�

�

��

2

01

11

11

000

0

),(),(

:),(

:maxmax c

hchc

hc

Shch

MM

� �

�����

�

�

�����

�

�

����

�

�

����

�

�

����

�

�

����

�

�

�

�

�

�

�

�

�

��

�

��

�

�

�

�

��

�

��

�

�

1

),(),(

:

),(),(

:,maxmax

21

11

11

32

22

2TTc

hchc

hc

hchc

hhcMM

T

TT

TT

TT

TT

TT

T

� .

Определим ),(),( 11�

�

�

�� TTTTT hMchcW и выпишем последова-

тельно для этой задачи уравнения Беллмана [86].Шаг 1. При выборе �

�1Th на сессии 1�T для каждой пары

1�Tc , �

�2Th решаем задачу линейного программирования

),(max),( 12111

�

�

�

����

�

� TTch

TTT hcMhcWT

T

,

при ограничении ),(),( 2111�

��

�

��� TTTT hchc .

Решение данной задачи находится в одной из вершин, найдемнекоторую 1�Tj -ю:

1

111,1

21,121,1,1

),(),(�

���

�

�

���

�

�

��

�

�����

T

TTTjT

TTjTTTjTjT c

hchhchc .

49

Подставим это соотношение в функционал рассматриваемойна этом шаге задачи и получим выражение для оценки оптимальногозначения функционала общей задачи, если процесс начинается сточки �

�2Th при цене 1�Tc :

���

�

�

��

�

��

�

��

�

�

�

���

���

1

11,1 ,1

21,211

),(max),(T

TTjTT jT

TTjTcjTTT c

hccMhcW

��

�

�

��

�

�

��

�

�

��

�

�� �

��

��

�

�

21,1

, ,max1

1

1TT

jT

jT

jhc

cMc

T

T

T

.

Наряду с этой прямой задачей линейного программированиярассмотрим двойственную ей задачу. Она имеет вид

� �121 ),(min1

�

�

��

�

TTT hcT

��

при условии TTT Mcc ��� 11� , где 1�T� � двойственная скалярная пе-

ременная.

Отсюда следует, что решение двойственной задачи достигает-

ся при 1

1

1 ,1

,1 max

�

�

�

�

�

�

T

T

T jT

jT

jT cMc

� .

В силу определения процесса изменения цен видно, что двой-ственная переменная 1�T� зависит только от 1�Tc , т.е.

)( 111 ���

� TTT c�� .

Шаг 2. Теперь на сессии 2�T , для каждой пары 2�Tc , �

�3Thмы решаем задачу

),(max),( 2113222

�

���

�

����

�

� TTThTTT hcMWhcWT

50

при ограничении ),(),( 3222�

��

�

��� TTTT hchc .

В силу предшествующего замечания относительно 1�T� этазадача также есть задача линейного программирования:

���

�

�

��

�

�

��

�

�

��

�

��

��

��

�

�

��

�

21,1

, ,maxmax1

1

11

2TT

jT

jT

jch

hccMc

MT

T

TT

T

� ��

������

�

� 2111 ,)(max1

2TTTTc

hhccM

TT

�

при ограничении ),(),( 3222�

��

�

��� TTTT hchc .

Вершина 2�Tj , где достигается решение этой задачи, находит-ся из соотношения

2

222,2

32,232,2,2

),(),(�

���

�

�

���

�

�

��

�

�����

T

TTTjT

TTjTTTjTjT c

hchhchc .

Оптимальное значение оценки функционала общей задачи длясостояния 2�Tc , �

�3Th запишется в виде

������

�

�

������

�

�

������

�

�

������

�

�

��

�

�

��

�

�

��

�

�

��

�

�

� �

��

�

�

��

���

�

�

�

�

�

�

32,2

1,1

,

322 ,

max

max),(2

1

1

11

2TT

jT

TjT

jT

jc

jTTT hcc

ccMc

M

hcWT

T

T

TT

T

.

Выпишем здесь двойственную задачу

� �232 ),(min2

�

�

��

�

TTT hcT

��

51

при условии � �11122 )(1 �����

�

� TTTcTT ccMcT

�� .

Решение этой задачи имеет вид

� �

2

2

2 ,2

,1112

)(max

�

�

�

�

���

�

�

T

T

T jT

jTTT

jT cccM �

� .

Заметим, что ).( 222 ���

� TTT c��

Шаг 3. Теперь на сессии 3�T для каждой пары 3�Tc , �

�4Thрешаем задачу

),(max),( 2124333

�

���

�

����

�

� TTThTTT hcMWhcWT

при ограничении ),(),( 4333�

��

�

��� TTTT hchc .

В силу предшествующего замечания относительно 2�T� этотакже задача линейного программирования

� ��

����

�

�����

�

� 3222433 ,)(max),(2

3TTTTc

hTTT hccMhcW

TT

�

при ограничении ),(),( 4333�

��

�

��� TTTT hchc .

Вершина 3�Tj находится из соотношения

3

333,3

43,343,3,3

),(),(�

���

�

�

���

�

�

��

�

�����

T

TTTjT

TTjTTTjTjT c

hchhchc .

Оптимальное значение оценки конечного функционала задачизапишется в виде

52

��

���),( 433 TTT hcW

��������������

�

�

��������������

�

�

��������������

�

�

��������������

�

�

������

�

�

������

�

�

������

�

�

������

�

�

��

�

�

��

�

�

��

�

�

��

�

�

� �

��

�

�

�

�

�

�

�

�

�

�

�

43,3

2,2

1,1

,

,

max

max

max3

2

1

22

3TT

jT

TjT

TjT

jTc

jc

jhc

c

cc

ccMc

M

M

T

T

T

TT

T

.

Решение двойственной к этой задачи будет:� �

3

3

3 ,3

,22233

)(max)(

�

�

�

�

���

��

�

T

T

T jT

jTTT

jTT cccM

c�

� .

Рекуррентные соотношения для коэффициентов в функциона-лах прямых задач или оптимальные значения двойственных пере-менных запишутся так:

1

1

1 ,1

,11 max)(

�

�

�

�

��

�

T

T

T jT

jT

jTT cMc

c�

� �

2

2

2 ,2

,11122

)(max)(

�

�

�

�

���

��

�

T

T

T jT

jTTT

jTT cccM

c�

�

� �

3

3

3 ,3

,22233

)(max)(

�

�

�

�

���

��

�

T

T

T jT

jTTT

jTT cccM

c�

�

��������

53

� �

t

t

t jt

jttt

jtt cccM

c,

,111 )(max)( ���

�

�� .

Шаг T. На сесии 0 решаем задачу

� � ���

�

�

��

�

���

�

0

10

10 ,0

01110111 ,)(max,)(max

jcjc

h cS

ccMhccM ��

� �

0

0

0 ,0

,1110

)(max

j

j

j cccM

S�

� , где � �

1

1

1 ,1

,22211

)(max)(

j

j

j cccM

c�

� � ,

0,0,0 00Shc jj �

� ,0

0,0

0,0

jj c

Sh �� , и 0S � начальное значение капитала.

Теорема 3. )(11)( 22 OW

kkEW

T

��

���

�

�

� .

ДоказательствоУтверждение следует непосредственно из уравнений Беллмана

в случаях E и O, поскольку в случае O ограничения имеет вид),(),( ��

� TTTT hchc , а в случае E � имеет вид

��

���

�

�

� ��

TTTT hckkhc ,

11),( .

Также из приведенных выше соотношений следует справедли-вость утверждения.

Теорема 4. Локально-оптимальная задача, т.е. случай, когдана каждом шаге решается задача оптимизации стоимости порт-феля только на шаг вперед, близка к исходной задаче в точной по-становке, если все t� близки к константам (в тривиальном случае кединице).

54

Заметим, что рассматриваемая задача, несмотря на простуюзапись, содержит в себе все трудности изучаемого нами класса задачуправления. Приведем примеры того, что промежуточные цели

),( 1�

�tt hcW могут быть нелинейными функциями, а решение много-шаговой задачи не совпадает с серией последовательно решаемыхлокальных задач с прогнозом на шаг вперед.

Замечание 1. Пример нелинейности промежуточных целей.Пусть на рынке, на каждой торговой сессии представлены два

вида бумаг (бумага 1 и бумага 2). Рассмотрим три последовательныеторговые сессии (три шага управления: шаг 1, шаг 2 и шаг 3). На-чальный капитал 1S =1. Векторы цен на шаге 1: 1C (1,1); на шаге 2:

2c ( 1,2c ,1), где 1,2c - случайная величина с известным распределени-

ем, принимающая значения в интервале [2,4]; на шаге 3: 3c ( 1,3c ,2),

где 1,3c = 1,2C , т.е. реализация случайной величины 1,2c на шаге 1.

Критерий управления таков, как и для общей задачи: ),( 23�hcM , в

нашем случае )2( 2,21,21,3��

� hhcM . Комиссия (плата за каждый шаг)полагается равной нулю, следовательно, на шаге 2,1�i :

),(),( ��

� iiii hChC , а так как �

�

�

� 1ii hh , то ),(),( 1�

�

�

� iiii hChC . Най-

ти управления �

1h , �

2h , доставляющие максимум критерию, т.е.

)2(maxmax 2,21,21,3,,

0 1,32,21,2

22,11,1

��

������

hhcMMW chh

chh

.

Решим задачу последовательно шагом назад, на каждой сессиимаксимизируя текущие оценки критерия ),( 1

�

�tt hcW .Рассмотрим шаг 2.На шаге 2 цена бумаги 1 (реализация случайной величины 1,2c )

]4,2[1,2 �C . Вектор �

1h фиксирован и возможные значения опреде-ляются из начальных условий. Необходимо найти

)2(max 2,21,21,2,

12,21,2

��

����

hhCWhh

55

при ограничительном условии ����

��� 2,22,21,21,22,12,21,11,2 hChChChC .

По условию задачи 12,2 �C , 11,1 �C , 12,1 �C ,

12,12,11,11,11 ����� hChCS , отсюда ��

�� 1,12,1 1 hh и ограничительное

условие принимает вид 11,11,11,12,21,21,2 �������� hhChhC , заметим, что

при ]4,2[1,2 �C и ]1,0[1,1 ��h , 011,11,11,2 ���

�� hhC .Максимизируемый критерий и ограничительное условие есть

линейные формы, множество ограничений есть выпуклый много-гранник. Поэтому на шаге 2 решается классическая задача линейно-го программирования

max2 2,21,21,2 ���� hhC ,

11,11,11,22,21,21,2 �������� hhChhC , 0, 2,21,2 �

�� hh , ]4,2[1,2 �C ,

]1,0[1,1 ��h .

Решение задачи находится в вершинах многогранника линей-ных ограничений, т.е. в нашем случае в одной из двух точек:

(1,2

1,11,11,2 1C

hhC ����

,0) или (0, 11,11,11,2 ���� hhC ). Очевидно, что макси-

мум ��

� 2,21,21,2 2hhC достигается в точке (0, 11,11,11,2 ���� hhC ) и равен

)1(2 1,11,11,22 ����� hhCW . Это означает, что на шаге 2 весь капитал

вкладывается в бумагу 2, вне зависимости от структуры портфеля вначале (до принятия решения) на шаге 2.

Рассмотрим шаг 1.Необходимо найти

))1(2(maxmax 1,11,11,2,

2,

1 22,11,1

22,11,1

������

����

hhcMWMW chh

chh

при условии ]1,0[1,1 ��h .

56

Решение задачи находится при 11,1 ��h в точке (1,0) и

1,21 2McW � . Весь капитал на шаге 1 вкладывается в бумагу 1.

Итак, решением всей задачи являются управления �

1h (1,0) и�

2h (0,1), при которых

1,22,21,21,3,,

1 2)2(maxmax1,3

2,21,22

2,11,1

MchhcMMW chh

chh

�����

����

.

Теперь рассмотрим предложенную выше задачу с одним до-полнительным ограничением на управление: 31,2 �

�h .Также решим задачу последовательно шагом назад, на каждой

сессии максимизировав критерий ),( 1�

�tt hcW .Шаг 2.Решим задачу линейного программирования

max2 2,21,21,2 ���� hhC ,

11,11,11,12,21,21,2 �������� hhChhC , 01,2 �

�h , ]3,0[2,2 ��h ,

]4,2[1,2 �C , ]1,0[1,1 ��h .

В этом случае при условии 311,11,11,2 ����� hhC решение дос-

тигается в одной из вершин многогранника ограничений в точке)1,0( 1,11,11,2 ��

�� hhC . При условии, когда 311,11,11,2 ����� hhC , реше-

ние достигается в вершине нового многогранника ограничений

)3,2

(1,2

1,11,11,2

ChhC ��

��

, но не в крайней точке первичного многогран-

ника. Это приводит к тому, что текущая оценка критерия имеет двеветви:

57

��

���

�����

�����

����

����

.31,4

,31),1(2

1,11,11,21,11,11,2

1,11,11,21,11,11,2

hhchhc

hhchhcW

Если изобразить графически в координатах 1,2c , �

1,1h кривуюперехода от одной ветви к другой, то эта гипербола

311,11,11,2 ����� hhC на интервале ]

32,0[1,1 �

�h проходит выше

41,2 �c , а при ]1,32[1,1 �

�h располагается в интервале ]4,2[ .

Отсюда мы получаем, что при ]32,0[1,1 �

�h необходимо решить

задачу 011

1,1

max MMh

��

, где математическое ожидание

WMMc ]4,2[1

11�� , а при ]1,

32[1,1 �

�h необходимо решить задачу

022

1,1

max MMh

��

, где математическое ожидание 2M вычисляется как

сумма математических ожиданий на двух отрезках:

)).1(2()4( 1,11,11,2]4,[1,11,11,2],2[2 1,21,2������

��

�

��

�hhcMhhcMM HcHc

Оптимальное значение критерия определится как],max[ 0

201 MM .

Замечание 2. Пример несовпадения локальной и многошаговойоптимизации

Сессий � три, бумаг � две, комиссии нет. На нулевой сессиицена обеих бумаг 1. Инвестор на нулевой сессии платит единицу ипо выбору получает или бумагу 1, или бумагу 2.

На первой сессии два равновероятных варианта цен.Вариант 1: (4,1).Вариант 2: (0,1).

58

На второй сессии цены бумаг зависят от того, какой вариантреализовался на первой сессии.

Если реализовался первый вариант, то цены (0,0).Если реализовался второй вариант, то цены (4,4).Критерий � математическое ожидание конечного капитала.Проведем анализ операции. Если инвестор на первой сессии

выбирает бумагу 1, то его ожидаемый капитал после этого шага ра-вен 2. Однако после второго шага он гарантировано разорен. Еслиигрок выбирает на первом шаге бумагу 2, то после этого шага егокапитал равен 1. После второго шага с равной вероятностью его ре-зультат равен либо 0, либо 4, т.е. математическое ожидание резуль-тата равно 2. Таким образом, локально оптимальным на первом шагеявляется выбор бумаги 1, а оптимальным � выбор бумаги 2.

Локально оптимальная стратегия является оптимальной, еслифазовое состояние системы полностью определяется случайнымфактором и не зависит от выбора управлений (от них может зависетьтекущий доход). Если �почти�не зависит, то локально оптимальная�почти� оптимальна, т.е. может идти речь о приближенном решении.В рассматриваемом случае это так, если после каждой операциивзимается комиссия и затем текущий доход изымается из оборота.

Если фазовое состояние зависит от управления, то�расстояние� между локально оптимальной и оптимальной страте-гиями может быть сколь угодно велико, вне зависимости, детерми-нированный это вариант или случайный.

§4. О разложимости исходного портфеляна элементарные (простые) портфели

Рассмотрим задачу в постановке в) при комиссии в форме G ипри критерии математическом ожидании конечного капитала.

Определим портфель как набор из ценных бумаг),,,( ,1,0, Ntttt hhhh �� , где ith , � количество бумаг i -го вида в

портфеле в момент времени t . 0,th � количество текущих денежных

средств. В каждый момент t будем рассматривать �

ith , , �

ith , количе-

59

ство бумаг вида i , находящихся в портфеле до операции купли-продажи и после соответственно.

Пусть it ,� � количество купленных бумаг вида i в день t , а

it ,� � количество проданных бумаг вида i в день t .

itc , � цены в момент времени t , описываются марковскимпроцессом с глубиной p .

Предполагается, что биржа за каждую операцию с портфелемвзимает плату пропорционально объему капитала, задействованно-го в операции. Коэффициент пропорциональности будем называтькомиссией.

Ограничения на количество бумаг:

�

�

�

� itit hh ,1, и 0, ��

ith , 0, ��

ith ,

itititit hh ,,,, �� ����� и 0, �it� , 0, �it� .

Ограничения на капитал:

�������

�

�

�

���

N

iitit

N

iitit

N

iitit

N

iitit ckckhchc

0,,

0,,

0,,

0,, �� ;

учитывая itititit hh ,,,, �� ����� ,

получим ���

��

�

�����

N

iiTiT

N

iiTiT ckck

0,1,1

0,1,1 )1()1( �� .

Заметим, что если каждый вид бумаги i в день t только поку-пается или только продается т.е. 0,, �itit �� , то ограничение на ка-питал запишется в виде задачи G.

��

����

���

N

iitititittttt hchckhchc

1,,,, )(),(),( .

60

Тогда после операций купли-продажи в момент t , перед но-вым актом принятия решений в момент 1�t , оценка капитала имеет

вид ��

�

��

N

iitit hc

0,1,1 .

Под трансформацией капитала понимается переход от

��

�

N

iitit hc

0,, к �

�

�

��

N

iitit hc

0,1,1 , под управлением в день t � м выбор it ,� ,

it ,� и соответственно �

th , Tt ,,0 �� .Определим цель управления портфелем как стремление к мак-

симальному увеличению математического ожидания конечной

стоимости портфеля ��

�

N

iiTiT hc

0,, , или, поскольку по условию задачи

��

�� tt hh 1 , к величине �

�

�

�

N

iiTiT hc

0,1, .

Рассмотрим оптимизационную задачу в постановке в) §2.

��

��

�

�

��21)(maxmaxmax

12

11

0

WhcMMM TTch

ch

ch T

T

� .

Для этого случая справедливы следующие уравнения Беллма-на.

При Tt � определим оценку ��

��

�

N

iiTiTTTT hchcO

0,,

* ),( .

При 1�� Tt определим оптимальную оценку для портфеля�

�1Th при ценах 1�Tc

61

,)(maxmax

max),(max),(

0,1,1,1,,0

,1,

0,1,

*

:11*

1

111

1

1

1

��

�

�

��

�

�

�

�

�

�

�

�

�

�

�

���

����

���

��

�

�

�

�

��

�

�

�

N

iiTiTiTiT

N

iiTiTh

N

iiTiTchTTTc

hhhTTT

hMchMc

hcMhcOMhcO

TTT

TT

T

TT

T

����

���

��

�

�����

N

iiTiT

N

iiTiT ckck

0,1,1

0,1,1 )1()1( �� ,

0,1 ��

� iT� , 0,1 �� iT� ,

0,1,1,1 �����

�

� iTiTiTh �� .

При 2�� Tt определим оптимальную оценку для портфеля�

�2Th при ценах 2�Tc :

),(max),( 11*

1:22*

2 1

12

2

�

���

�

�

����

�

�

�

�

�

�

� TTTc

hhhTTT hcOMhcO

T

TT

T

,

���

��

�

�����

N

iiTiT

N

iiTiT ckck

0,2,2

0,2,2 )1()1( �� ,

0,2 ��

� iT� , 0,2 �� iT� ,

0,2,2,2 �����

�

� iTiTiTh �� .

Соответственно для текущего t определим оптимальнуюоценку для портфеля �

th при ценах tc :

),(max),( 11*

1:

*1

1

�

���

�

�

�

�

�

�

�

� tttc

hhh

ttt hcOMhcOt

tt

t

,

����

���

N

iitit

N

iitit ckck

0,,

0,, )1()1( �� ,

0, ��

it� , 0, �it� ,

62

0,,, ����

ititith �� .

Указанные соотношения прямо следует из определения и по-становки задачи, реализуя принцип оптимальности Беллмана. Те-перь для данного процесса установим справедливость принципа раз-ложения

Оптимальная оценка суммарного портфеля равна суммеоптимальных оценок слагаемых портфелей.

Действительно, проведем рассуждения по индукции, двигаясьсправа налево.

1. При Tt � справедливость разложения следует из свойствлинейной формы - скалярного произведения.

2. При 1�� Tt рассмотрим три портфеля �

�1Th , �

�1�Th , �

�1��Th ,

таких что �

�

�

�

�

�

�� 111���

TTT hhh , и установим соответствие между опти-мальными оценками этих портфелей.

��

��

�

�

�

������

��

N

iiTiTiTiTTTT hMchcO

TT 0,1,1,1,,11

*1 )(max),(

11

����

,

���

��

�

�����

N

iiTiT

N

iiTiT ckck

0,1,1

0,1,1 )1()1( �� ,

0,1 ��

� iT� , 0,1 �� iT� ,

0,1,1,1 �����

�

� iTiTiTh �� .

��

��

�

�

�

������

��

N

iiTiTiTiTTTT hMchcO

TT 0,1,1,1,,11

*1 )���(max)�,(

11

����

,

���

��

�

�����

N

iiTiT

N

iiTiT ckck

0,1,1

0,1,1 �)1(�)1( �� ,

0�,1 �

�

� iT� , 0� ,1 �� iT� ,

0���,1,1,1 ���

��

�

� iTiTiTh �� .

63

��

��

�

�

�

������

��

N

iiTiTiTiTTTT hMchcO

TT 0,1,1,1,,11

*1 )������(max)��,(

11

����

,

���

��

�

�����

N

iiTiT

N

iiTiT ckck

0,1,1

0,1,1 ��)1(��)1( �� ,

0��,1 �

�

� iT� , 0�� ,1 �� iT� ,

0������,1,1,1 ���

��

�

� iTiTiTh �� .

Как следует из линейности оптимизируемой функции в приве-денных выше записях, она может быть представлена в виде суммы

��

�

�

��

�

�

�

��

�

�

�

��

�

�

������

���

N

iiTiTiTiT

N

iiTiTiTiT

N

iiTiTiTiT

hMchMc

hMc

0,1,1,1,

0,1,1,1,

0,1,1,1,

),������()���(

)(

����

��

так как�

�

�

�

�

�

�� iTiTiT hhh ,1,1,1��� ,

iTiTiT ,1,1,1���

���

�� ��� ,

iTiTiT ,1,1,1 ������

�� ��� ,

и, следовательно, общая оптимальная задача раскладываетсяна сумму двух задач, так что:

)��,()�,(),( 11*

111*

111*

1�

���

�

���

�

���

�� TTTTTTTTT hcOhcOhcO .

3. Рассмотрим теперь текущий шаг t и соответственно тризадачи на этом шаге:

64

),(max),( 11*

1:

*1

1

�

���

�

�

�

�

�

�

�

� tttc

hhh

ttt hcOMhcOt

tt

t

,

����

���

N

iitit

N

iitit ckck

0,,

0,, )1()1( �� ,

0, ��

it� , 0, �it� ,

0,,, ����

ititith �� .

)�,(max)�,( 11*

1:

*1

1

�

���

�

�

�

�

�

�

�

� tttc

hhh

ttt hcOMhcOt

tt

t

,

����

���

N

iitit

N

iitit ckck

0,,

0,, �)1(�)1( �� ,

0�, ��

it� , 0� , �it� ,

0���,,, ���

�

ititith �� .

)��,(max)��,( 11*

1:

*1

1

�

���

�

�

�

�

�

�

�

� tttc

hhh

ttt hcOMhcOt

tt

t

,

����

���

N

iitit

N

iitit ckck

0,,

0,, ��)1(��)1( �� ,

0��, ��

it� , 0�� , �it� ,

0������,,, ���

�

ititith �� .

Если для момента 1�t справедливо)��,()�,(),( 11

*111

*111

*1

�

���

�

���

�

����� ttttttttt hcOhcOhcO для любых разложе-

ний �

�

�

�

�

��� 111

���ttt hhh , то тогда для задачи (5) можно записать сле-

дующие эквивалентные преобразования:

65

),��()�,(

)��,(max)�,(max

))��,()�,((max

),(max),(

**

11*

1

����:��11

*1

��:�

11*

111*

1

����,��

:��,�

11*

1:

*

1

1

1

1

11

1

1

1

1

��

�

���

�

�

���

�

�

���

�

���

�

�

�

���

�

�

��

���

���

��

�

�

�

�

��

�

�

�

�

��

�

�

�

�

�

�

��

�

�

�

�

�

tttttt

tttc

hhh

tttc

hhh

tttctttc

hhhh

hh

tttc

hhh

ttt

hcOhcO

hcOMhcOM

hcOMhcOM

hcOMhcO

t

tt

tt

tt

t

tt

tt

tt

tt

t

tt

t

так как ����

�����

N

iititit

N

iititit ckck

0,,,

0,,, )���()1()���()1( ���� и

0�, ��

ith , 0��, ��

ith , 0�, �it� , 0��

, �it� , 0� , �it� , 0�� , �it� ,

0���������,,,,,, ������

��

itititititit hh ���� .

Следствие. (Вытекает из доказанного Принципа Разложения.)Для любого портфеля ),,,( ,1,0,

����

� Ntttt hhhh � допустимо разложениена простые (элементарные) портфели, т.е.

�

�

��

�� it

N

itttttt hihcOhcO ,

1

** ))(,(),( ,

где )(iht� - простой портфель состоящий только из одной бумаги

вида i , т.е. 1)(, �� ih it ,. 0)(, �

� ih jt , iNj ��� ],0[ .

Теорема 5. Если �

th � простой портфель, то оптимальноеповедение на шаге t реализуется путем перехода в простой порт-фель на шаге 1�t .

Доказательство. (Непосредственно следует из предыдущегоутверждения.) Рассмотрим уравнение Беллмана на шаге t . Пусть

66

)(rht� � простое состояние. Тогда задача оптимизации записывается

в виде

�� ��

��

���

�

����

N

iititittc

httt hihcOMhcO

tt 0

,,1,1*

111* ))((max),(

1

,))(,(

))(,())(,(max

,11*

1

,11*

1,11*

1

1

11

��

���

�

���

�

�

���

�

���

�

��� �

rttttc

rttttcri

ittttch

hrhcOM

rhcOMihcOM

t

ttt

��

при ограничениях ����

���

riitit

riitit ckck ,,,, )1()1( �� , 0,, �itit �� ,

0,,, ����

ititith �� .

Решение реализуется в одной из вершин многогранника огра-ничений:

1) если 0, �rt� , то 0, �rt� ;

2) если �

� rtrt h ,,� , то вершина определяется из условий

�

�

�� rt

it

rtrt h

cc

kk

,,

,, 1

1� .

Оптимальная оценка в этом случае определяется в виде

�

�

���

�

�

����

�

��

�rtrt

it

tttc

ritttc hcc

ihcOMkkrhcOM t

t ,,,

11*

111

*1 ]

))(,(11max));(,(max[ 1

1,

т.е. путем перехода в одно из простых состояний на 1�t шаге.

Теорема 6. Поскольку стартовое положение портфеля про-стое )0,,0,( 00 �Sh �

� , то оптимальная стратегия в полной задачереализуется в последовательном переходе из простого состояния впростое.

67

§5. Две принципиальные схемы метода размытых целей

Опираясь на формулировки соотношений для коэффициентов)( tt c� , опишем две принципиальные схемы алгоритмов для вычис-

ления приближенных стратегий в постановке задачи в) при ограни-чениях O и критерии математическом ожидании конечного капитала

��

��

�

�

��21)(maxmaxmax

12

11

0

WhcMMM TTch

ch

ch T

T

�

в рамках применения одного из классических подходов: мето-да последовательных приближений [94]. Данный метод предполага-ет выбор на первом шаге рационального приближения к искомойстратегии и последующего последовательного улучшения стратегий(политик). С вычислительной точки зрения очень важно правильновыбрать начальное приближение. Выбор первого промежуточногокритерия в виде ),( 1

�

� tt hMc «хорош» своей непосредственностью:улучшать ожидаемую стоимость портфеля на следующем шаге, неотягощаясь прогнозом на последующие шаги. Видимо, это вполнеестественно выглядит, если рассмотреть управление бесконечно-шаговым процессом.

Далее используются те же самые исходные посылки: процессизменения портфеля описывается ),()( 1

�

�

�

� tttt hchc ,1,,1,0 �� Tt � , заданы все функции распределения для цен tc , за-

дан критерий ),( 1�

�TT hc . Управление в виде политик выбирается впространстве синтезов: ),()( 1

�

�

��

�� tttt hchh .Метод улучшения размытых целей при движении слева � на-

правоИдея принципиального алгоритма состоит в том, чтобы по-

строить последовательность улучшений промежуточных критериев,которые образуются путем �размытия� первого приближенного кри-терия.

68

Траекторию изменения портфеля будем выбирать, принимая вкачестве правила выбора управления (политики) решение на каждомшаге задачи.

Найти

max),(1

,,1, ���

�

�

N

iititit hMc�

при ограничении ),()( 1�

�

�

� tttt hchc , 1,,1,0 �� Tt � ,

где весовые коэффициенты it ,� характеризуют «размытость» техпростых политик, которые следуют из решения задач:

для каждого i найти),max( ,,1

�

� itit hMc

при ограничении ),()( 1�

�

�

� tttt hchc , 1,,1,0 �� Tt � .

Шаг 1. Построим процесс трансформации портфеля, исходя изправила выбора синтеза путем решения задачи

��

�

��

N

iitit hMc

1,,1 max),( ,

при ограничении ),()( 1�

�

�

� tttt hchc , 1,,1,0 �� Tt � .

Это будет начальным состоянием (положением) в процессеулучшения политик для данного класса управлений, - данная задача

соответствует случаю Nit1

, �� .

Шаг 2. Рассчитаем, двигаясь слева направо, 001 ),( TTT ShMc �

�

�.

Шаг 3. Варьируем 002

01 ,,, T��� � , т.е. от одного набора коэф-

фициентов «размытия» 002

01 ,,, T��� � переходим к другому набору.

69

Процедуры «размытия», т.е. выбора различных наборов весовых ко-эффициентов }{ 0

t� ,могут быть разными.

Если варьируется только 0t� , при фиксированных остальных

значениях 001

01

02

01 ,,,,,, Ttt ����� ��

�� будем говорить о локальном

варьировании (размытии) промежуточных целей.Если варьируются все компоненты набора векторов

002

01 ,,, T��� � , то будем говорить о полном многошаговом измене-

нии (размытии) весовых коэффициентов.Шаг 4. При новом наборе коэффициентов 11

211 ,,, T��� � вы-

числяем 111 ),( TTT ShMc �

�

�, решая последовательно 1,,1,0 �� Tt �

задачи:Найти

max),(1

,,1, ���

�

�

N

iititit hMc� ,

при ограничении ),()( 1�

�

�

� tttt hchc .

Шаг 5. По изменению критерия 1TS определяем направление

изменения }{ 0t� , формируем новый «размытый» образ системы це-

лей 002

01 ,,, T��� � , и переходим к шагу 3. Если изменений критерия

задачи не последовало, переходим к шагу 6.Шаг 6. Изменяется либо начальное состояние, либо принцип

выбора весовых коэффициентов на шаге 5 (после чего переход нашаг 3), либо процесс вычислений завершается.

Метод улучшения размытых целей при движении справа � на-лево

Как видно из формул определения в §3, коэффициенты )( tt c�

зависят только от текущих значений случайных параметров. Еслибы мы располагали возможностью вычисления вероятностей дис-кретных значений itc , в виде матрицы � размерности

70

)( max

c

CTN�

�� , то затем расчетом справа � налево по этим форму-

лам мы могли бы рассчитать весь массив необходимых значений)( tt c� и затем, двигаясь слева � направо, рассчитать оптимальную

политику. Однако в силу большой размерности этого массива исложной зависимости цен данная перспектива представляется маловозможной.

В излагаемом здесь методе предлагается «огрубить» вероятно-стный процесс до размеров, доступных для вычислений и, осущест-вляя описанные выше действия, постепенно улучшать качество пра-вил управления (политики) в смысле критерия исходной задачи.Приближенное представление процесса изменения цен можно осу-ществить либо путем аппроксимации функций распределения цен,либо ограничиваясь несколькими значениями цен.

В одной из возможных редакций принципиальная схема алго-ритма выглядит следующим образом

Шаг 1. Сформируем приближенное представление о случай-ном процессе 0� , которое позволит (в смысле вычислительных воз-можностей ЭВМ) провести расчеты, двигаясь справа � налево, ирассчитаем массив )( tt c� .

Шаг 2.Рассчитаем трансформацию портфеля, двигаясь слева �направо, используя на каждом шаге выбор правил управления путемрешения задачи:

Найти

),)(max( 111�

��� tttt hccM�

при ограничении ),()( 1�

�

�

� tttt hchc , 1,,1,0 �� Tt � .

Шаг 3. Вычислим значение критерия задачи �

TS : конечнуюстоимость портфеля ),( 1

�

�TT hMc .

71

Шаг 4. Если значение критерия не улучшилось, процедурарасчетов завершается, иначе формируем новую матрицу 1� , оцени-вая результаты шага 3, и возвращаемся на шаг 2.

Практические расчетыПри практическом решении задач оптимального управления в

стохастической постановке существует два крайних направлениядействий:

� при простой политике управления улучшать качество пред-ставлений о стохастическом процессе изменения цен,

� при простом (и не очень точном) описании стохастическогопроцесса улучшать, насколько это возможно, качество управления.

Принципы аппроксимации и последовательного приближенияв классе стохастических задач предоставляют широкое поле для ма-невра и выбора конкретного метода в конкретной задаче.

В работе [17] описан опыт в расчетах по управлению портфе-лем на рынке Государственных Краткосрочных Облигаций РФ (1994� 1997 гг.) на вторичном рынке, который был получен при использо-вании первого и второго подходов. Конкретные результаты былиболее чем приемлемыми.

Цены бумаг изменяются как во время торгов, так и от однойторговой сессии к другой. Проводя удачно операции купли и прода-жи облигаций, инвестор может заметно увеличить свой доход посравнению с пассивной тактикой ожидания их погашения.

Конкретный алгоритм, который был использован при управ-лении портфелем инвестора на вторичном рынке ГКО, позволил до-биться доходности, превышающей средние показатели рынка. Алго-ритм использовал прогноз изменения цен бумаг одних выпусков от-носительно других в некоторый, последующий моменту принятиярешения период времени. Данный прогноз строился на основе ин-формации об изменении цен облигаций в период, предшествующийпринятию решения. Алгоритм рассчитан на такое управление, прикотором решения об операциях купли-продажи принимаются раз всессию. Хотя тот же алгоритм может быть использован и для болеечастых операций, надо иметь в виду следующие обстоятельства.

Поведение цен внутри сессии существенно отличается от ихповедения от сессии к сессии, что не может не сказаться на эффек-

72

тивности алгоритма, верифицированного по динамике цен закрытия.(Цена закрытия данной облигации � это цена последней сделки со-вершенной с ней в течение сессии.) Масштаб изменения цен внутрисессии, вообще говоря, меньше, чем от сессии к сессии. В то жевремя операции купли-продажи требуют определенных издержек.Эти издержки складываются из комиссии биржи, комиссии дилера, атакже возможной разницы между ценой текущей сделки в моментпринятия решения участником рынка и той ценой, по которой онсможет совершить свою сделку. Данная разница возникает по при-чине некоторой временной задержки в исполнении трейдером заявокинвесторов и из-за спреда между ценой спроса и ценой предложе-ния. Хотя издержки не очень велики (обычно, 0.05% � 0.2% от объ-ема операции), при слишком частых трансформациях портфеля ониспособны превысить весь положительный эффект этих трансформа-ций.

Литература

1. Моисеев Н.Н. Математические задачи системного анализа.М.: Наука, 1981.

2. Гермейер Ю.Б. Введение в теорию исследования операций.М.: Наука, 1971.

3. Гермейер Ю.Б. Игры с непротивоположными интересами.М.: Наука, 1976.

4. Markowitz H. Portfolio Selection // Journal of Finance. 1952. 7March. P. 77 � 91.

5. Карлин С. Математические модели и методы в теории игр,программировании и экономике. М.: Мир, 1964.

6. Первозванский А.А., Первозванская Т.Ю. Финансовый ры-нок: расчет и риск. М.: Инфра-М, 1994.

7. Касимов Ю.Ф. Основы теории оптимального портфеля цен-ных бумаг. М: Филинъ, 1998.

8. Меньшиков И.С. Финансовый анализ ценных бумаг: Курслекций. М.: Финансы и статистика, 1998.

73

9. Шведов А.С. Теория эффективных портфелей ценных бумаг:Пособие для студентов, изучающих портфельную теорию и теориюфинансовых деривативов. М.: ГУ ВШЭ, 1999.

10. Маршалл Дж.Ф., Бансал В.К. Финансовая инженерия. Пол-ное руководство по финансовым нововведениям. М.: Инфра-М,1998.

11. Tobin J. The Theory of Portfolio Selection // Interest Rates /Hahn F., Breechling F. eds., London: Macmillan, 1965.

12. Агасандян Г.А. Элементы многопериодной портфельной мо-дели. М.: ВЦ РАН, 1997.

13. Markowitz H., Todd P., Ganlin Xu., Yamane Y. Fast Computa-tion of Mean � Variance Efficient Sets Using Historical Covariances //Journal of Financial Engineering. 1992. Vol. 1, N2, September. P. 117 �132.

14. Worldwide Asset and Liability Modeling / Ziemba W.T., MulveyJ.M. eds. Cambridge: University Press, 1998.

15. Ziemba W.T., Mulvey J.M. Asset and liabilities managementsystems for long-term investors: discussion of the issues // WorldwideAsset and Liability Modeling. Cambridge: University Press, 1998. P. 3 �38.

16. Consigli G. and Dempster M.A.H. The CALM Stochastic Pro-gramming Model for Dynamic Asset-Liability Management // WorldwideAsset and Liability Modeling / Ziemba W.T., Mulvey J.M. eds. Cam-bridge: University Press, 1998. P. 464 � 500.

17. Гасанов И.И. Ерешко А.Ф. Об одном подходе к управлениюпортфелем Государственных Краткосрочных Облигаций. М.: ВЦРАН, 1997.

18. Carino D.R., et al. MTB pension asset/liability managementmodel // Mimeo-graphed notes. Frank Russell Company, Tacoma,Washington. 1995.

19. Hensel C.R., Don Ezra D., Ilkiw J.H. The Importance of the As-set allocation decision // Worldwide Asset and Liability Modeling /Ziemba W.T., Mulvey J.M. eds. Cambridge: University Press, 1998. P.41 � 52.

20. Chopra V.K., Ziemba W.T. The Effect of Errors in Means, Vari-ance and Covariances On Optimal Portfolio Choice // Worldwide Asset

74

and Liability Modeling / Ziemba W.T., Mulvey J.M. eds. Cambridge:University Press, 1998. P. 53 � 61.

21. Hensel C.R., Turner A.L. The Making Superior Asset AllocationDecisions: a practitioner�s guide // Worldwide Asset and Liability Mod-eling / Ziemba W.T., Mulvey J.M. eds. Cambridge: University Press,1998. P. 62 � 83.

22. Grinold R.C., Kelly K.E., Attribution of Performance and Hold-ings // Worldwide Asset and Liability Modeling / Ziemba W.T., MulveyJ.M. eds. Cambridge: University Press, 1998. P. 87 � 113.

23. Mulvey J.M., Armstrong J., Rothberg E.T. Total integrative riskmanagement // Risk Special Supplement. 1995. June. P. 28 � 30.

24. Pyle D. The US Savings and Loan crisis // Finance / Jarrow R.A,Maksimovich V., ZiembaW.T. eds. North Holland, 1995. P. 1105 � 1125.

25. Shaw J., Thorp E.O., Ziemba W.T. Risk arbitrage in the Nikkeiput warrant market of 1989 � 90 // Applied Mathematical Finance. 1995.N2. P. 243 � 271.

26. Stone D. and Ziemba W.T. Land and stock prices in Japan //Journal of Economic Perspectives. 1993. N7. P. 149 � 165.

27. Berger A.L., Mulvey J.M., Rush R. Target-matching in financialscenario generation // Princeton University Report SOR � 97 � 15.Princeton University, 1997.

28. Fan Y., Murray S., Turner A. A retail level stochastic program-ming asset-liability management model for Italian investors // ReportFrank Russell Company. 1997.

29. Merton R.C. Optimal investment strstegies for university en-dowment funds // Worldwide Asset and Liability Modeling / ZiembaW.T., Mulvey J.M. eds. Cambridge: University Press, 1998. P. 371 � 396.

30. Correnti S., Nealon P., Sonlin S. Decomposing risk enhancingALM and business decision making for insurance companies // Transac-tions of the 6th AFIR International Colloquium. 1996 P. 443 � 472.

31. Grinold R.C. Time horizons in energy planning models // EnergyPolicy Modeling: United States and Canadian Experiences / ZiembaW.T., Schwartz S.L. eds. Boston Martinus Nijhoff, 1980. Vol. II. P. 216 �237.

75

32. Grinold R.C. Model building techniques for the correction of endeffects in multistage convex programs // Operations Research. 1983. N31.P. 407 � 431.

33. Carino D.R., Myers D.H., Ziemba W.T. Concepts, technical is-sues and uses of the Russell � Yasuda Kasai financial planning model //Report, Frank Russell Company, January, forthcoming Operations Re-search. 1998

34. Carino D.R., Turner A.L. Multiperiod Asset Allocation WithDerivative Assets // Worldwide Asset and Liability Modeling / ZiembaW.T., Mulvey J.M. eds. Cambridge: University Press, 1998. Р. 182 � 204.

35. Mulvey J.M. It always pays to look ahead // Balance Sheet.1996. N4. P. 23 � 27.

36. Mulvey J.M. Generating scenarios for the Towers Perrin invest-ment system // Interfaces. 1996. N26. P. 1 � 15.

37. Mulvey J.M., Thorlacius A.E. The Towers Perrin Global capitalMarket Scenario Generation System // Worldwide Asset and LiabilityModeling / Ziemba W.T., Mulvey J.M. eds. Cambridge: University Press,1998. P. 286 � 312.

38. Rockafellar R.T., Wets R.J. � B. Scenarios and policy aggrega-tion in optimization under uncertainty // Mathematics of Operations Re-search. 1991. N16. P. 119 � 147.

39. Beckers S., Connor G., Curds R. National versus global influenceson equity returns // Worldwide Asset and Liability Modeling / ZiembaW.T., Mulvey J.M. eds. Cambridge: University Press, 1998. P. 114 � 128.

40. Chaumeton L., Connor G., Curds R. A global stock and bondmodel // Worldwide Asset and Liability Modeling / Ziemba W.T., Mul-vey J.M. eds. Cambridge: University Press, 1998. P. 129 � 145.

41. Connor G., Korajczyk R.A. The arbitrage pricing theory andmulti-factor models of asset returns // Finance / Jarrow R.A., Maksimo-vich V., Ziemba W.T. eds. North Holland, 1995. P. 87 � 144.

42. Kelly J. A new interpretation of information rate // Bell SystemTechnology Journal. 1956. N35. P. 917 � 926.

43. Grauer R.R., Hakansson N. On timing the market: the empiricalprobability assessment approach with an inflation adapter // WorldwideAsset and Liability Modeling / Ziemba W.T., Mulvey J.M. eds. Cam-bridge: University Press, 1998. P. 149 � 181.

76

44. Merton R.C. Lifetime portfolio selection under uncertainty: thecontinuous time case // Review of Economics and Statistics. 1969. N3. P.373 � 413.

45. Merton R.C. Continuous-Time Finance. Blackwell Publishers,1990.

46. Samuelson P. Lifetime portfolio selection by dynamic stochasticprogramming // Review of Economics and Statistics. 1969. August. P.239 � 246.

47. Brennan M.J., Schwartz E.S., Lagnado R. Strategic asset alloca-tion // Journal of Economic Dynamics and Control. 1998.

48. Brennan M.J., Schwartz E.S. The use of Treasury bill futures instrategic asset allocation programs // Worldwide Asset and LiabilityModeling / Ziemba W.T., Mulvey J.M. eds. Cambridge: University Press,1998. P. 205 � 228.

49. Kallberg J.G., White R.W., Ziemba W.T. Short term financialplanning under uncertainty // Management Science. 1982. N28. P. 670 �682.

50. Kusy M.I., Ziemba W.T. A bank asset and liability managementmodel // Operations Research. 1986. N34. P. 356 � 376.

51. Carino D.R., Ziemba W.T. Formulation of the Russell � YasudaKasai financial planning // Report, Frank Russell Company, January,forthcoming Operations Research. 1998.

52. Carino D.R., Myers D.H., Ziemba W.T. Concepts, technical is-sues and uses of the Russell � Yasuda Kasai financial planning model //Report, Frank Russell Company, January, forthcoming Operations Re-search. 1998.

53. Frauendorfer K., Schurle M. Barycentric approximation of sto-chastic interest rate processes // Worldwide Asset and Liability Modeling/ Ziemba W.T., Mulvey J.M. eds. Cambridge: University Press, 1998. P.231 � 262.

54. Rudolf M., Zimmerman H. An algorithm for international portfolioselection and optimal currency hedging // Worldwide Asset and LiabilityModeling / Ziemba W.T., Mulvey J.M. eds. Cambridge: University Press,1998. P. 315 � 340.

55. Sweeney J.C., Sonlin S.M., Correnti S., Williams A.P. Optimalinsurance asset allocation in a multi-currency environment // Worldwide

77

Asset and Liability Modeling / Ziemba W.T., Mulvey J.M. eds. Cam-bridge: University Press, 1998. P. 341 � 368.

56. Gardner G.W., Stone D. Estimating currency hedge ratios for in-ternational portfolios // Financial Analysts Journal 1995. Novem-ber/December. P. 58 � 64.

57. Sorensen E., Mezrich E., Thadani D. Currency hedging throughportfolio optimization // Journal of Portfolio Management. 1993. SpringP. 78 � 85.

58. Longin P.M. The asymptotic distribution of extreme stock marketreturns // Journal of Business. 1996. N69. P. 383 � 408.

59. Jackwerth J.C. and Rubinstein M. Recovering probability distri-butions from option prices // Journal of Finance 1997. N51. P. 1611 �1631.

60. Mulvey J.M., Rush R., Mitchell J.E., Willemain T.R. Stratifiedfiltered sampling in stochastic optimization // Princeton University Re-port SOR � 97 � 7. To appear in European Journal of Operations Re-search. Princeton University, 1997.

61. Greenspan A. Financial innovations and the supervision of finan-cial institutions // Journal of Financial Engineering. 1995. N4. P. 299 �306.

62. Солянкин А.А. Компьютеризация финансового анализа ипрогнозирования в банке. М.: Финстатинформ, 1998.

63. Киселев В.В. Управление коммерческим банком в переход-ный период. М.: Издательская корпорация �Логос�, 1997.

64. Лаптырев Д.А., Батенко И.Г., Буковский А.В., МитрофановВ.И. Планирование финансовой деятельности банка: необходимость,возможность, эффективность. М.: АСА, 1995.

65. Екушов А.И. Модели учета и анализа в коммерческом банке.Калининград: Янтарный сказ, 1997.

66. Екушов А.И. Модель пассивной эволюции в задачах анализаи управления // Банковские технологии. 1995. №8.

67. Богарева Е., Эпов А. Моделирование пассивной эволюции вуправлении финансами // Банковские технологии. 1997. № 1.

68. Флеров Ю.А., Вышинский Л.Л., Гринев И.Л., Катунин В.П.,Широков Н.И. Банковские информационные технологии. ч. 1, 2. М.:ВЦ РАН, 1999.

78

69. Кульба В.В., Кузина В.В., Косяченко С.А., Шелков А.Б.Фундаментальный анализ в коммерческом банке. М.: ИПУ РАН,1999.

70. Ованесов А., Четвериков В. Поток платежей // Рынок ценныхбумаг. 1996. № 17, 19, 21.

71. Вестник Федеральной Комиссии по рынку ценных бумаг,www.financy.ru, www.finrisk.ru.

72. Bradley S.P., Crane D.B. A dynamic model for bond portfoliomanagement // Management Science. 1972. N19. P. 139 � 151.

73. Lane M., Hutchinson P. A model for managing a certificate ofdeposit portfolio under uncertainty // Stochastic Programming / DempsterM.A.H. ed. Academic Press, 1980. P. 473 � 493.

74. Carino D.R., Kent T., Myers D.H., Stacy C., Sylvanus M., TurnerA.L., Watan-abe K., Ziemba W.T. The Russell � Yasuda Kasai model:An asset/liability model for a Japanese insurance company using multi-stage stochastic programming // Interfaces. 1994. N24. P. 29 � 49.

75. Dempster M.A.H., Ireland A. Object oriented model integrationin a financial decision support system // Decision Support Systems. 1991. N7.P. 329 � 340.

76. Mulvey J.M., Vladimirou H. Stochastic network optimizationmodels for investment planning // Annals of Operations Research. 1989.N20. P. 187 � 217.

77. Zenios S. Asset-liability management under uncertainty: Thecase of mortgage-backed securities // Research Report, Hermes Lab forFinancial Modeling and Simulation. The Wharton School, University ofPennsylvania, 1992.

78. Stochastic Programming / Dempster M.A.H. ed. Academic Press,1980.

79. Ermoliev Yu., Wets R.J.B. eds. Numerical Techniques for Sto-chastic Optimization. Springer � Verlag. 1988.

80. Dupacova J. Stochastic Programming Models in Banking // WorkingPaper, International Institute for Applied Systems Analysis. Laxenburg,Austria, 1991.

81. Dupacova J. Multistage stochastic programs: The state of the artand selected bibliography // Kybernetika. 1995. N31. P. 151 � 174.

79

82. Birge J.R. Decomposition and partitioning methods for multi-stage stochastic linear programs // Operations Research. 1985. N33. P.989 � 1007.

83. Dempster M.A.H., Thompson R.T. Parallelization and aggregationof nested Benders decomposition // Proceedings APMOD95 Conference,Brunei University. To appear in Annals of Operations Research. 1996.

84. Dempster M.A.H., Thompson R.T. EVPI-based importance sam-pling solution procedures for multistage stochastic linear programmes on par-allel MIMD architectures. Proceedings of the POC96 Conference, Ver-sailles. To appear in Annals of Operations Research. 1996.

85. Беллман Р. Динамическое программирование. М.: ИЛ, 1960.86. Гасанов И.И., Ерешко А.Ф. Об одном подходе к управлению

портфелем Государственных Краткосрочных Облигаций // Трудыконференции. �Теория активных Систем�. Москва, ИПУ РАН, 1999.С. 207 � 208.

87. Agasandian G.A., Gasanov I.I., Ereshko F.I., Ereshko A.F.,Stolyarova E.M. The Models of Operations Research in Financial Engi-neering // World Conference on Computational Intelligence in FinancialEngineering. N.Y., 2000. www.iafe.org.

88. Агасандян Г.А., Гасанов И.И., Ерешко Ф.И., Ерешко А.Ф.,Охрименко В.В., Столярова Е.М., Столяров Л.Н. Модели принятиярешений в финансовой инженерии // Тезисы докладов научной сес-сии �Проблемы прикладной математики и информатики � 2000�, 6 �7 дек. 2000 г. Москва, ВЦ РАН, 2000. С. 21 � 22.

89. Гасанов И.И., Ерешко А.Ф. Оптимальное управление порт-фелем дисконтных облигаций // Рынок ценных бумаг. 2001. 14(197).С. 58 � 61.

90. Ерешко А.Ф. Локально-оптимальные стратегии в задачеуправления портфелем ценных бумаг // Тезисы доклада 3�ей Мос-ковской международной конференции по исследованию операций, 4� 6 апр. 2001 г. Москва, ВЦ РАН, 2001. С. 29 �30.

91. Ерешко А.Ф. Эффекты нелинейности при формированиипортфеля ценных бумаг и декомпозиция финансовых инструментов// Труды международной научно-практической конференции�Теория активных Систем�. Москва, ИПУ РАН, 2001. С. 28.

80

92. Ereshko A.F. Computational Method of the Fuzzy Goals at Man-agement of a Portfolio // World Conference on Computational Intelli-gence 2002 (IEEE International Conference on Fuzzy Systems). Hono-lulu, 2002. 12 p. www.wcci2002.org.

93. Агасандян Г.А. Финансовая инженерия и критерий допусти-мых потерь VaR. М.: ВЦ РАН, 2001.

94. Беллман Р., Калаба Р. Квазилинеаризация и нелинейныекраевые задачи. М.: Мир, 1968.