UNIDAD 5

DISTRIBUCIONES DISTRIBUCIONES MUESTRALES MUESTRALES

Antes de seguir adelante es Antes de seguir adelante es conveniente de que Usted tenga conveniente de que Usted tenga en claro lo que ya vio.-en claro lo que ya vio.-Si hacemos una recapitulación Si hacemos una recapitulación de lo que hemos visto hasta de lo que hemos visto hasta ahora podemos observar tres ahora podemos observar tres temas bien diferentes.-temas bien diferentes.-

El primero es la El primero es la Estadística Estadística DescriptivaDescriptiva y en ella se aprende y en ella se aprende

una serie de técnicas para una serie de técnicas para organizar, presentar, analizar e organizar, presentar, analizar e interpretar un conjunto finito de interpretar un conjunto finito de

observaciones, que según el observaciones, que según el objetivo del estudio pueden objetivo del estudio pueden

constituir una población o una constituir una población o una muestra.-muestra.-

El segundo tema fue El segundo tema fue el cálculo el cálculo de probabilidadesde probabilidades y en esta parte y en esta parte se define la probabilidad como se define la probabilidad como una medida de la posibilidad de una medida de la posibilidad de ocurrencia de un experimento ocurrencia de un experimento aleatorio, extendiendo la noción aleatorio, extendiendo la noción de frecuencia relativa a las de frecuencia relativa a las poblaciones finitas.-poblaciones finitas.-

Luego el tercer tema fue Luego el tercer tema fue las distribuciones de las distribuciones de probabilidadprobabilidad y a través de ellas se presentan y a través de ellas se presentan modelos matemáticos teóricos del modelos matemáticos teóricos del comportamiento (en términos probabilísticos) comportamiento (en términos probabilísticos) de las poblaciones.- Cada distribución surge de las poblaciones.- Cada distribución surge como consecuencia de hipótesis establecidas como consecuencia de hipótesis establecidas sobre el comportamiento del fenómeno aleatorio sobre el comportamiento del fenómeno aleatorio analizado.- Estas hipótesis son las que permiten analizado.- Estas hipótesis son las que permiten identificar una población con las identificar una población con las correspondientes distribuciones y a su vez cada correspondientes distribuciones y a su vez cada distribución depende de parámetros distribución depende de parámetros matemáticos cuyo valor hemos supuesto matemáticos cuyo valor hemos supuesto conocido.conocido.

A partir de este momento vamos a estudiar A partir de este momento vamos a estudiar métodos que nos permita obtener los valores de métodos que nos permita obtener los valores de los parámetros poblacionales basándonos en los los parámetros poblacionales basándonos en los resultados de la muestra, y se podrá ver la resultados de la muestra, y se podrá ver la integración de los tres grandes temas antes integración de los tres grandes temas antes mencionados.- mencionados.-

Los resultados que en el Los resultados que en el se expone se utilizarán se expone se utilizarán

una y otra vez en los una y otra vez en los métodos a desarrollar métodos a desarrollar

en las Unidades en las Unidades siguientes.- siguientes.-

Esta Unidad es Esta Unidad es necesariamente necesariamente

teórica.-teórica.-

Es necesario destacar la Es necesario destacar la importancia de un importancia de un

entendimiento claro de estas entendimiento claro de estas distribuciones muestrales ya distribuciones muestrales ya que este concepto es la clave que este concepto es la clave

para comprender la para comprender la Inferencia EstadísticaInferencia Estadística.-.-

MUESTREO DE UNA

POBLACION

A menudo utilizamos muestras en lugar de toda la población porque el costo y el tiempo necesario para medir todos los elementos de la población seria prohibitivos.- Además en algunos casos la medición requiere la destrucción de los elementos.- En general, se consigue una precisión mayor extrayendo con cuidado una muestra aleatoria de la población, que dedicando los recursos a medir todos sus elementos.- La precisión es mayor por dos razones:

En primer lugar, a menudo es muy difícil obtener y medir a todos los elementos de una población, e incluso cuando es posible, el costo es muy alto cuando la población es grande.-

En segundo lugar como veremos en esta Unidad, pueden utilizarse muestras bien seleccionadas para realizar estimaciones medidas de las característica de la población que son muy cercanas a los valores reales.-

La forma como se selecciona una muestra se llama Plan de Muestreo o Diseño Experimental y determina la cantidad de información en la muestra.-

Conocer el plan de muestreo usado en una situación particular le permitirá medir la confiabilidad o bondad de su inferencia.-

Las muestras ideales para este fin es la:

MUESTRA ALEATORIA SIMPLE.-

Muestra aleatoria simple.-

Supongamos que queremos seleccionar una muestra de n objetos de una población de N objetos.- Se selecciona una muestra aleatoria simple tal que todos los objetos tienen la misma probabilidad de ser seleccionados y se seleccionan independientemente, es decir, la selección de un objeto no altera la probabilidad de que sean seleccionados otros objetos.- Las muestras aleatorias simples son el ideal.- En algunos estudios por muestreo del mundo real, los analistas desarrollan métodos alternativos para reducir el costo del muestreo.- Pero la base para saber si estas estrategias alternativas son aceptables es el grado en que los resultados se aproximan a los de una muestra aleatoria.-

Es importante que una muestra represente al conjunto de la población.- Por ejemplo, si un director de marketing quiere evaluar las reacciones a un nuevo producto alimenticio, no muestrea únicamente a sus amigos y vecinos.- Es improbable que las opiniones de esos grupos representen las de toda la población y es probable que estén concentradas en un intervalo más reducido.- Para evitar estos problemas seleccionamos una muestra aleatoria simple.- El muestreo aleatorio es nuestra póliza de seguro contra la posibilidad de que los sesgos personales influyan en la selección.-

El muestreo aleatorio simple puede realizarse de varias manera, lo más común es poner en una bolsa papelitos con números de los N miembros de la población y luego mezclar bien y seleccionar papelitos sin mirar.- (Esto es poco posible si la población es muy grande).-

En la práctica, solemos utilizar números aleatorios para seleccionar objetos a los que podemos asignar un valor numérico.- Por ejemplo, los grupos de estudios de mercado pueden utilizar números aleatorios para seleccionar números de teléfonos a los que llamar y preguntar por las preferencias por un producto.-

Algunos paquetes estadísticos y hojas de cálculo tienen rutinas para obtener números aleatorios, que se utilizan generalmente en la mayoría de los estudios por muestreo.- Estos números aleatorios generados por ordenador tienen las propiedades necesarias para elaborar muestras aleatorias.- Las organizaciones que necesitan muestras aleatorias de grandes poblaciones humanas, por ejemplo los candidatos políticos que tratan de averiguar las preferencias de los votantes, recurren a empresas profesionales de muestreo, que se dedican a seleccionar y gestionar el proceso de muestreo.-

Un buen muestreo exige mucho trabajo y un elevado costo.-

Aquí centramos la atención en los métodos para analizar los resultados de muestras aleatorias simples con el fin de obtener información sobre la población.- Este proceso sobre el que nos extenderemos en las Unidades siguientes, se conoce con el nombre de Inferencia Clásica.- Sin embargo, existen otros métodos de muestreo, que es posible que en algunas circunstancias se prefieran a otros métodos de muestreo.-

Las muestras aleatorias protegen contra la posibilidad de que algún grupo de la población este subreprentado en la muestra.- Si una población se muestrea repetidamente utilizando métodos de muestreo aleatorio, ningún subgrupo específico esta sobrerepresentado o subrepresentado en la muestra.-

Además , el concepto de distribuciones en el muestreo me permite averiguar la probabilidad de obtener una determinada muestra.-

Utilizamos la información muestral para hacer inferencias sobre la población de la que procede la muestra.- La distribución de todos los valores de interés de esta población pueden representarse por medio de una variable aleatoria.- Sería demasiado ambicioso intentar describir toda la distribución poblacional basándonos en una pequeña muestra aleatoria de observaciones.-

Sin embargo, podemos muy bien hacer inferencias bastantes sólidas sobre importantes características de la distribución poblacional, como la media y la variancia poblacional.-

Por ejemplo, dada una muestra aleatoria del consumo de combustible de 20 automóviles de un determinado modelo, podemos utilizar la media y la variancia muestral para hacer inferencias sobre la media y variancia poblacional del consumo de combustible.- Esta inferencia se basará en la información muestral.-

Podemos hacernos preguntas como la siguiente:

“Si el consumo de combustible, en kilómetros por litro, de la población de todos los automóviles de un determinado modelo tiene una media de 25 litros y una desviación estándar de 2 litros”;

¿Cuál es la probabilidad de que el consumo medio muestral de combustible de los automóviles de una muestra aleatoria de 20 sea de menos de 24 kilómetros por litro?

A continuación veremos que podemos utilizar la distribución de la media muestral en el muestreo para

responder a esta pregunta.-

Necesitamos distinguir entre los atributos de la población y los atributos de la muestra aleatoria.- En el párrafo anterior, la población de mediciones del consumo de combustible de todos los automóviles de un determinado modelo, sigue una distribución que tiene una determinada media.- Esta media, un atributo de la población, es un número fijo (pero desconocido).- Hacemos inferencias sobre este atributo extrayendo una muestra aleatoria de la población y calculando la media muestral.- Cada muestra que extraigamos tendrá una media muestral distinta y la media muestral puede considerarse, como una variable aleatoria con una distribución de probabilidad .-

La distribución de las medias muestrales posibles constituye la base para realizar inferencias sobre la muestra.-

En esta Unidad se utiliza la En esta Unidad se utiliza la distribución distribución muestral o distribuciones en el muestreomuestral o distribuciones en el muestreo para contestar preguntas de probabilidad acerca para contestar preguntas de probabilidad acerca de los estadísticos muestrales.- Recordemos de los estadísticos muestrales.- Recordemos que vimos anteriormente que en la Estadística que vimos anteriormente que en la Estadística Descriptiva, la media, mediana, la variancia, el Descriptiva, la media, mediana, la variancia, el desvío estándar, son estadísticos que se desvío estándar, son estadísticos que se obtienen de la muestra.-obtienen de la muestra.-

Veamos entonces que es Veamos entonces que es una DISTRIBUCION una DISTRIBUCION

MUESTRALMUESTRAL

La distribución de todos los valores posibles La distribución de todos los valores posibles que puede asumir un estadístico calculado a que puede asumir un estadístico calculado a

partir de muestras del mismo tamaño, partir de muestras del mismo tamaño, seleccionado aleatoriamente de la población seleccionado aleatoriamente de la población se llama se llama DISTRIBUCION MUESTRAL DE DISTRIBUCION MUESTRAL DE

ESE ESTADISTICOESE ESTADISTICO.-.-

Las distribuciones muestrales pueden construirse Las distribuciones muestrales pueden construirse empíricamente a partir de poblaciones finitas.- Para empíricamente a partir de poblaciones finitas.- Para ello, se procede como sigue:ello, se procede como sigue:

DISTRIBUCIONES DISTRIBUCIONES MUESTRALES:MUESTRALES:ElaboraciónElaboración

1.- De una población finita de tamaño N, se extraen de manera 1.- De una población finita de tamaño N, se extraen de manera aleatorias todas las muestras posible de tamaño n.-aleatorias todas las muestras posible de tamaño n.-

2.- Se calcula el estadístico de interés para cada muestra.-2.- Se calcula el estadístico de interés para cada muestra.-

3.- Se ordena en una columna los distintos valores observados del 3.- Se ordena en una columna los distintos valores observados del estadístico y en otra columna, las frecuencias de ocurrencia estadístico y en otra columna, las frecuencias de ocurrencia correspondientes de cada valor observado.-correspondientes de cada valor observado.-

Elaborar la distribución muestral es Elaborar la distribución muestral es una tarea muy complicada si la una tarea muy complicada si la población es de un tamaño muy población es de un tamaño muy grande e imposible si la población grande e imposible si la población es infinita.- En último caso, es es infinita.- En último caso, es posible obtener aproximaciones de posible obtener aproximaciones de las distribuciones muestrales las distribuciones muestrales tomando un gran número de tomando un gran número de muestras de un tamaño dado.- muestras de un tamaño dado.-

DISTRIBUCIONES DISTRIBUCIONES MUESTRALES:MUESTRALES:

Características Características importantesimportantes::

Normalmente para una distribución muestral se tiene Normalmente para una distribución muestral se tiene interés en conocer tres cosas: interés en conocer tres cosas:

MediaMediaVarianciaVariancia

Forma funcionalForma funcional(grafica)(grafica)

Desviaciónestándar

DISTRIBUCION DE DISTRIBUCION DE LA MEDIA DE LA LA MEDIA DE LA

MUESTRAMUESTRA

A CONTINUACIÓN VEAMOS UN EJEMPLO DE A CONTINUACIÓN VEAMOS UN EJEMPLO DE CÓMO ELABORAR ESTA DISTRIBUCION CÓMO ELABORAR ESTA DISTRIBUCION

SIGUIENDO LOS PASOS ANTES MENCIONADOS:SIGUIENDO LOS PASOS ANTES MENCIONADOS:(en la practica profesional nunca puede hacer esto)(en la practica profesional nunca puede hacer esto)

Consideremos una población de tamaño N = 5, la cual Consideremos una población de tamaño N = 5, la cual se compone de los años de antigüedad en la empresa de se compone de los años de antigüedad en la empresa de cinco empleados.- Las antigüedades en años son las cinco empleados.- Las antigüedades en años son las siguientes; 6, 8, 10, 12, 14.- siguientes; 6, 8, 10, 12, 14.-

Calculemos la media y la variancia de la población Calculemos la media y la variancia de la población como sabemos:como sabemos:

μμ = = ΣΣxixi

NN= 10= 10 σσ² = ² =

ΣΣ (xi – (xi – μμ))²²

NN= 8= 8

Supongamos que elegimos todas las Supongamos que elegimos todas las posibles muestras de tamaño n = 2 de la posibles muestras de tamaño n = 2 de la población de tamaño N = 5 que población de tamaño N = 5 que determinamos antes.-determinamos antes.-

La tabla A muestra todas las posibles La tabla A muestra todas las posibles muestras de tamaño 2.-muestras de tamaño 2.-

Las muestra que están arriba y debajo de Las muestra que están arriba y debajo de la diagonal principal resultan cuando el la diagonal principal resultan cuando el muestreo es sin reemplazo.- Las medias muestreo es sin reemplazo.- Las medias de las muestras están entre paréntesis.-de las muestras están entre paréntesis.-

SEGUNDA SELECCIONSEGUNDA SELECCION

66 88 1010 1212 14141º1ºSSEELLEECCCCIIOONN

66 6;66;6(6)(6)

6,86,8(7)(7)

6;106;10(8)(8)

6;126;12(9)(9)

6;146;14(10)(10)

88 8;68;6(7)(7)

8,88,8(8)(8)

8;108;10(9)(9)

8;128;12(10)(10)

8;148;14(11)(11)

1010 10;610;6(8)(8)

10,810,8(9)(9)

10;1010;10(10)(10)

10;1210;12(11)(11)

10;1410;14(12)(12)

1212 12;612;6(9)(9)

12;812;8(10)(10)

12;1012;10(11)(11)

12;1212;12(12)(12)

12;1412;14(13)(13)

1414 14;614;6(10)(10)

14;814;8(11)(11)

14;1014;10(12)(12)

14;1214;12(13)(13)

14;1414;14(14)(14)

TABLA ATABLA A

En este ejemplo se observa que cuando el muestreo se hace con En este ejemplo se observa que cuando el muestreo se hace con reemplazos, hay 25 muestras posibles.- En general, cuando el reemplazos, hay 25 muestras posibles.- En general, cuando el muestreo se lleva a cabo con reemplazos, el número de muestras muestreo se lleva a cabo con reemplazos, el número de muestras posible es igual a Nposible es igual a N

Puede construirse la distribución muestral de media ordenando los Puede construirse la distribución muestral de media ordenando los diferentes valores de media en una columna y sus frecuencias de diferentes valores de media en una columna y sus frecuencias de ocurrencia en la otra, tal como mostramos a continuación: ocurrencia en la otra, tal como mostramos a continuación:

nn

MEDIASMEDIAS FRECUENCIAFRECUENCIA FREC. RELATIVAFREC. RELATIVA

66 11 1/251/25

77 22 2/252/25

88 33 3/253/25

99 44 4/254/25

1010 55 5/255/25

1111 44 4/254/25

1212 33 3/253/25

1313 22 2/252/25

1414 11 1/251/25

TOTALTOTAL 2525 1,001,00

En la tabla se aprecian los datos que satisfacen los En la tabla se aprecian los datos que satisfacen los requerimientos para la distribución de probabilidad.- Las requerimientos para la distribución de probabilidad.- Las probabilidades individuales todas son mayores de 0 y la probabilidades individuales todas son mayores de 0 y la suma de todas ellas me da 1,00.-suma de todas ellas me da 1,00.-

Se mencionó al principio que un interés principal radica Se mencionó al principio que un interés principal radica en la forma funcional de la distribución, su media y la en la forma funcional de la distribución, su media y la variancia.- variancia.-

66 88 1212 14141010 66 77 88 99 1010 12121111 1313 1414

fxfx

xx

11

Distribución de la población

Distribución muestral de x

fxfx

DISTRIBUCION MUESTRAL DE DISTRIBUCION MUESTRAL DE X: forma X: forma funcionalfuncional

En las figuras anteriores observamos que el gráfico en la población En las figuras anteriores observamos que el gráfico en la población esta distribuido uniformemente, en la distribución muestral va esta distribuido uniformemente, en la distribución muestral va tomando una forma cada vez más similar a la normal.-tomando una forma cada vez más similar a la normal.-

DISTRIBUCION MUESTRAL DE DISTRIBUCION MUESTRAL DE X: la mediaX: la media

El paso siguiente es calcular la media de la distribución muestral.-El paso siguiente es calcular la media de la distribución muestral.-

μμ = = = 10= = = 10

Observamos que la media de la distribución Observamos que la media de la distribución muestral me da igual a la media de la muestral me da igual a la media de la

población, esto no es casualidad, siempre es población, esto no es casualidad, siempre es así.-así.-

xΣΣ x

25 25250

DISTRIBUCION MUESTRAL DE DISTRIBUCION MUESTRAL DE X: variancia.-X: variancia.-

σσ²² = = 100/25 = 4 = = 100/25 = 4

También se puede advertir que la variancia de la También se puede advertir que la variancia de la distribución muestral no es igual a la variancia de la distribución muestral no es igual a la variancia de la población, sin embargo, es interesante observar que la población, sin embargo, es interesante observar que la variancia de la distribución muestral es igual a la variancia de la distribución muestral es igual a la variancia de la población dividida entre el tamaño de la variancia de la población dividida entre el tamaño de la muestra utilizada para obtener la distribución muestral.- muestra utilizada para obtener la distribución muestral.- Esto es:Esto es:

σσ² = = 8/2 = 4² = = 8/2 = 4

x

ΣΣ ( ( x - x - μμ ) )²²x

2525

x nnσσ²²

A la raíz cuadrada de la variancia de la distribución A la raíz cuadrada de la variancia de la distribución muestral, se le conoce como muestral, se le conoce como error estándar de la error estándar de la media.-media.-

Entonces: Entonces: σσ² = ² = σσxx = =

Estos resultados no son coincidencia sino Estos resultados no son coincidencia sino ejemplos de las características de las ejemplos de las características de las

distribuciones muestrales en general, cuando distribuciones muestrales en general, cuando el muestreo es con reemplazo o cuando se el muestreo es con reemplazo o cuando se

efectúan a partir de una población infinita.- efectúan a partir de una población infinita.-

xσσ

nn

σσ

nn

Para generalizar, se debe distinguir Para generalizar, se debe distinguir entre dos situaciones; entre dos situaciones;

Muestreo a partir de una población que Muestreo a partir de una población que sigue una distribución normalsigue una distribución normal

Muestreo a partir de una población que Muestreo a partir de una población que no sigue una distribución normal.-no sigue una distribución normal.-

DISTRIBUCION MUESTRAL DE DISTRIBUCION MUESTRAL DE X: X: muestreo a partir de poblaciones que muestreo a partir de poblaciones que

siguen una distribución normal.-siguen una distribución normal.-

Cuando el muestreo se realiza a partir de una población Cuando el muestreo se realiza a partir de una población que sigue una distribución normal, la distribución de la que sigue una distribución normal, la distribución de la media de la muestra tiene las siguientes propiedades:media de la muestra tiene las siguientes propiedades:

1.- La distribución de la media será normal.-1.- La distribución de la media será normal.-2.- La media de la media de la distribución muestral2.- La media de la media de la distribución muestral

será igual a la media de la población de laserá igual a la media de la población de la cual proviene la muestra.-cual proviene la muestra.-

3.- La variancia de la distribución muestral será igual3.- La variancia de la distribución muestral será igual a la variancia dea la variancia de

la población dividida entre el tamaño de la muestra.-la población dividida entre el tamaño de la muestra.-

DISTRIBUCION MUESTRAL DE DISTRIBUCION MUESTRAL DE X: muestreo a X: muestreo a partir de poblaciones que no siguen una partir de poblaciones que no siguen una

distribución normal.-distribución normal.-Cuando el muestreo se hace a partir de una población Cuando el muestreo se hace a partir de una población que no sigue una distribución normal, se utiliza un que no sigue una distribución normal, se utiliza un teorema matemático conocido como teorema matemático conocido como teorema central teorema central del límitedel límite.- .- La importancia de este teorema en la La importancia de este teorema en la inferencia estadística se resume en el siguiente párrafo:inferencia estadística se resume en el siguiente párrafo:

Dada una población de cualquier Dada una población de cualquier forma funcional no normal con una forma funcional no normal con una media media μ y variancia finita σ², la μ y variancia finita σ², la distribución muestral de la media distribución muestral de la media x, x, será casi normal con media será casi normal con media μμxx y y variancia σ²/n cuando la muestra es variancia σ²/n cuando la muestra es muy grande.-muy grande.-

Observamos que el Observamos que el Teorema Central del LimiteTeorema Central del Limite permite permite tomar muestras a partir de la poblaciones con distribución tomar muestras a partir de la poblaciones con distribución no normal y garantizar que se obtengan no normal y garantizar que se obtengan aproximadamente los mismos resultados que si la aproximadamente los mismos resultados que si la población tuviera una distribución normal, siempre que se población tuviera una distribución normal, siempre que se tome una muestra grande.- tome una muestra grande.-

La importancia de esto se demostrara más adelante al La importancia de esto se demostrara más adelante al estudiar que una distribución muestral con distribución estudiar que una distribución muestral con distribución normal es una herramienta importante en la inferencia normal es una herramienta importante en la inferencia

estadística.-estadística.-

En el caso de la media de la muestra, se tienen la En el caso de la media de la muestra, se tienen la seguridad de que la distribución muestral está seguridad de que la distribución muestral está

distribuida en forma al menos aproximadamente distribuida en forma al menos aproximadamente normal con tres condiciones: normal con tres condiciones:

1.- Cuando se hace el muestreo a partir de una población 1.- Cuando se hace el muestreo a partir de una población con distribución normal.-con distribución normal.-

2.- Cuando se hace el muestreo a partir de una población 2.- Cuando se hace el muestreo a partir de una población que no exhibe una distribución normal y la muestra es que no exhibe una distribución normal y la muestra es grande.-grande.-

3.- Cuando se hace el muestreo a partir de una 3.- Cuando se hace el muestreo a partir de una población cuya forma funcional se desconoce, siempre población cuya forma funcional se desconoce, siempre que el tamaño de la muestra sea grande.-que el tamaño de la muestra sea grande.-

Al llegar a este punto, nos surge una pregunta lógicaAl llegar a este punto, nos surge una pregunta lógica

¿Qué tan grande debe ser la ¿Qué tan grande debe ser la muestra para que el teorema muestra para que el teorema

central del límite sea aplicable?.-central del límite sea aplicable?.-

No existe una sola respuesta, pues el tamaño de No existe una sola respuesta, pues el tamaño de la muestra depende de la condición de no la muestra depende de la condición de no normalidad en la población.- Una regla empírica normalidad en la población.- Una regla empírica establece que, en la mayoría de las situaciones establece que, en la mayoría de las situaciones prácticas, una muestra de tamaño 30 es prácticas, una muestra de tamaño 30 es suficiente.- Es decir,suficiente.- Es decir,

n n ≥ 30 normalidad ≥ 30 normalidad

En general, la aproximación a la normalidad de la En general, la aproximación a la normalidad de la distribución muestral de distribución muestral de X llega a ser mucho X llega a ser mucho mejor a medida que crece el tamaño de la mejor a medida que crece el tamaño de la muestra.- muestra.-

MUESTREO SIN REEMPLAZO.-MUESTREO SIN REEMPLAZO.-

Los resultados anteriores se han dado con la premisa de Los resultados anteriores se han dado con la premisa de que el muestreo es con reemplazo o que la muestra fue que el muestreo es con reemplazo o que la muestra fue extraída de una población infinita.- En general, no se extraída de una población infinita.- En general, no se efectúan muestreo con reemplazo, y en muchos casos efectúan muestreo con reemplazo, y en muchos casos prácticos, el muestreo debe hacerse a partir de una prácticos, el muestreo debe hacerse a partir de una población finita; por lo tanto, es necesario conocer el población finita; por lo tanto, es necesario conocer el comportamiento de la distribución muestral de la media comportamiento de la distribución muestral de la media de la muestra con estas condiciones.- de la muestra con estas condiciones.-

Antes de hacer cualquier afirmación general, conviene Antes de hacer cualquier afirmación general, conviene revisar nuevamente los datos de la tabla que vimos al revisar nuevamente los datos de la tabla que vimos al comienzo.- Las media de la muestra que resulta cuando comienzo.- Las media de la muestra que resulta cuando el muestreo es sin reemplazo se presentan sobre la el muestreo es sin reemplazo se presentan sobre la diagonal principal que son las mismas que se presentan diagonal principal que son las mismas que se presentan por debajo de dicha diagonal, siempre y cuando se por debajo de dicha diagonal, siempre y cuando se ignore el orden en que se hicieron las observaciones.-ignore el orden en que se hicieron las observaciones.-

Se observa que hay 10 muestras posibles.- En general, Se observa que hay 10 muestras posibles.- En general, cuando se extraen sin reemplazo muestras de tamaño n a cuando se extraen sin reemplazo muestras de tamaño n a partir de una población finita de tamaño N y se ignora el partir de una población finita de tamaño N y se ignora el orden en que son extraídas las muestras, se obtiene el orden en que son extraídas las muestras, se obtiene el numero posible mediante la combinación de N casos numero posible mediante la combinación de N casos tomados de n a la vez.- El siguiente ejemplo se tiene que:tomados de n a la vez.- El siguiente ejemplo se tiene que:

nnCCNN = = = 10 = = = 10

La media de las 10 medias muestrales es:La media de las 10 medias muestrales es:

= 10 = 10

N!N!

(N-n)!(N-n)!n!n! 2!2!

5!5!

3!3!

μμx x = = ΣΣxx

1010==

7 + 8 + 9 + 10 + 9 + 10 + 11 + 11 + 12 7 + 8 + 9 + 10 + 9 + 10 + 11 + 11 + 12 +13+13

1010

Nuevamente se aprecia que la media de la distribución Nuevamente se aprecia que la media de la distribución muestral es igual a la media de la población.-muestral es igual a la media de la población.-

La variancia de la distribución muestral se calcula como La variancia de la distribución muestral se calcula como sigue;sigue;

σσ²²xx = = 30/10 = 3 = = 30/10 = 3

En esta ocasión se observa que la variancia de la En esta ocasión se observa que la variancia de la distribución muestral no es igual a la variancia de la distribución muestral no es igual a la variancia de la población dividida entre el tamaño de la muestra, sin población dividida entre el tamaño de la muestra, sin embargo, existe una relación interesante que se descubre embargo, existe una relación interesante que se descubre al multiplicar, al multiplicar,

= = 3= = 3

ΣΣ ( x ( xii - - μμxx))²²

1010

88

22

5 - 25 - 2

44N - nN - n

N - 1N - 1 nn

σσ²²

Este resultado indica que si se multiplica la variancia de la Este resultado indica que si se multiplica la variancia de la distribución muestral que se obtendrá si el muestreo fuese distribución muestral que se obtendrá si el muestreo fuese con reemplazo por el factor (N-n)/(N-1), se obtiene el valor con reemplazo por el factor (N-n)/(N-1), se obtiene el valor de la variancia de la distribución muestral que resulta de la variancia de la distribución muestral que resulta cuando el muestreo es sin reemplazo.- Es posible cuando el muestreo es sin reemplazo.- Es posible generalizar estos resultados con el siguiente enunciado:generalizar estos resultados con el siguiente enunciado:

Cuando el muestreo es sin Cuando el muestreo es sin reemplazo a partir de una reemplazo a partir de una población finita, la distribución población finita, la distribución muestral de muestral de x tendrá una media x tendrá una media μμ y una variancia;y una variancia;

N - nN - nN - 1N - 1

σσ²² nn

Si el tamaño de la muestra es muy grande, el teorema Si el tamaño de la muestra es muy grande, el teorema central del límite es aplicable y la distribución muestral de central del límite es aplicable y la distribución muestral de la media será aproximadamente normal.-la media será aproximadamente normal.-

Corrección por población finitaCorrección por población finita

Al factor (N-n) / (N-1) se le llama Al factor (N-n) / (N-1) se le llama factor de corrección factor de corrección por población finitapor población finita y se puede omitir cuando el y se puede omitir cuando el tamaño de la muestra es pequeño en comparación con el tamaño de la muestra es pequeño en comparación con el tamaño de la población.- Cuando la población es mucho tamaño de la población.- Cuando la población es mucho mayor que la muestra la diferencia entre usar o no el mayor que la muestra la diferencia entre usar o no el factor es insignificante.-factor es insignificante.-

La mayoría de los Estadísticos no usamos el factor a La mayoría de los Estadísticos no usamos el factor a menos que la muestra sea de más de 5% de la menos que la muestra sea de más de 5% de la población.- Es decir, la corrección por población finita población.- Es decir, la corrección por población finita generalmente se ignora cuando generalmente se ignora cuando n/N n/N ≤ 0,05.-≤ 0,05.-

APLICACIÓNAPLICACIÓN.-.- Como veremos en Como veremos en Unidades siguientes, el conocimiento Unidades siguientes, el conocimiento y la comprensión de las distribuciones y la comprensión de las distribuciones muestrales son necesarias para muestrales son necesarias para entender los conceptos de la entender los conceptos de la inferencia estadística.- La aplicación inferencia estadística.- La aplicación más sencilla para la distribución más sencilla para la distribución muestral de la media de la muestra es muestral de la media de la muestra es el cálculo de la probabilidad de el cálculo de la probabilidad de obtener una muestra con una media obtener una muestra con una media de alguna magnitud especificada.- de alguna magnitud especificada.-

USO DE LA USO DE LA DISTRIBUCION DISTRIBUCION

MUESTRAL MUESTRAL DE LA MEDIADE LA MEDIA

La importancia de lo que venimos discutiendo hasta ahora La importancia de lo que venimos discutiendo hasta ahora puede reconocerse solo si se recuerda que muchas de las puede reconocerse solo si se recuerda que muchas de las decisiones que tomamos se toman en base a los decisiones que tomamos se toman en base a los resultados muestrales.- resultados muestrales.- Por ejemplo, un gerente administrativo puede tomar una Por ejemplo, un gerente administrativo puede tomar una muestra de un producto para determinar si cumple o no muestra de un producto para determinar si cumple o no con ciertas especificaciones de producción.- Un agente de con ciertas especificaciones de producción.- Un agente de gobierno tomará una muestra de los residentes para gobierno tomará una muestra de los residentes para decidir si cierto plan tributario producirá el efecto decidir si cierto plan tributario producirá el efecto esperado; cierta empresa desea implementar un programa esperado; cierta empresa desea implementar un programa nuevo de trabajo y ver si producirá el efecto esperado en nuevo de trabajo y ver si producirá el efecto esperado en la producción, etc.-la producción, etc.-

Como se dijo, las muestras tienen un impacto muy directo Como se dijo, las muestras tienen un impacto muy directo y consecuencial en las decisiones que se toman.-y consecuencial en las decisiones que se toman.-

Por tanto, toda conclusión que se saque o todo conocimiento que se tenga respecto a una muestra es muy importante.- Una aplicación muy común y de gran utilidad en una distribución muestral es la de determinar la probabilidad de que una media muestral clasifique dentro de un cierto rango planteado.-

Dado que la distribución muestral estará Dado que la distribución muestral estará distribuida normalmente pues;distribuida normalmente pues;

a)a) La muestra se toma de una población que se La muestra se toma de una población que se distribuye como normal,distribuye como normal,

a)a) b) n b) n 30 y el teorema central del límite garantiza la 30 y el teorema central del límite garantiza la normalidad en el proceso de muestreo, la desviación normalidad en el proceso de muestreo, la desviación normal puede usarse para ganar información esencial normal puede usarse para ganar información esencial para el proceso de toma de decisiones.-para el proceso de toma de decisiones.-

Al desarrollar la Al desarrollar la distribución normal, distribución normal, vimos como usar la vimos como usar la normal estandarizada normal estandarizada (Z), en una distribución (Z), en una distribución muestral usamos el muestral usamos el mismo procedimiento, mismo procedimiento, pero modificamos el Z.-pero modificamos el Z.-

Muchas de las decisiones en las empresas Muchas de las decisiones en las empresas depende de una muestra completa, entonces la depende de una muestra completa, entonces la formula de reconversión estará dada por:formula de reconversión estará dada por:

x

x Z

El valor de interés en el numerador no es una El valor de interés en el numerador no es una observación única de X, sino la media de n observación única de X, sino la media de n observaciones.- Además, el denominador no es la observaciones.- Además, el denominador no es la desviación estándar poblacional desviación estándar poblacional , sino que el , sino que el error estándar de la distribución muestral error estándar de la distribución muestral xx.-.-

a) Este entre 145 y 150a) Este entre 145 y 150 b) Sea mayor que 145b) Sea mayor que 145 c) Sea menor que 155c) Sea menor que 155 d) Esté entre 145 y 155d) Esté entre 145 y 155 e) Sea mayor que 155 e) Sea mayor que 155

Telecom Satelital es una empresa de Telecomunicación que presta Telecom Satelital es una empresa de Telecomunicación que presta servicios en ciertas ciudades.- Los funcionarios de la empresa han servicios en ciertas ciudades.- Los funcionarios de la empresa han aprendido que la transmisión satelital promedio es de 150 aprendido que la transmisión satelital promedio es de 150 segundos con una desviación estándar de 15 segundos.- Los segundos con una desviación estándar de 15 segundos.- Los tiempos parecen estar distribuidos normalmente.- Plantea instalar tiempos parecen estar distribuidos normalmente.- Plantea instalar nuevos equipos que mejorarían la eficiencia de sus operaciones.- nuevos equipos que mejorarían la eficiencia de sus operaciones.- Sin embargo, antes que los ejecutivos puedan decidir si dicha Sin embargo, antes que los ejecutivos puedan decidir si dicha inversión será eficaz en función de los costos debe determinar la inversión será eficaz en función de los costos debe determinar la probabilidad de que la media de la muestra de n = 35, probabilidad de que la media de la muestra de n = 35,

SOLUCIONSOLUCION

VEAMOS ESTE EJEMPLO:VEAMOS ESTE EJEMPLO:

a)a) P(145 ≤ P(145 ≤ x ≤ 150).-x ≤ 150).-

Calculamos Calculamos

P(145 ≤ P(145 ≤ x ≤ 150) = 0.50 - F(-1,97) = 0.50 - 0.0244 x ≤ 150) = 0.50 - F(-1,97) = 0.50 - 0.0244 = 0,4756 = 0,4756

97.135/15150145

x

xZ

150150145145 XX

b) P(b) P(x x 145) 145)

97.135/15150145

x

xZCalculamosCalculamos

P ( P ( x x 145) = 1,00 - F (- 1,97) = 1,00 - 0,0244 = 0,9756 145) = 1,00 - F (- 1,97) = 1,00 - 0,0244 = 0,9756

150150145145 XX

Así, con el mismo criterio se Así, con el mismo criterio se seguirán calculando el resto de los seguirán calculando el resto de los incisos, quedando ellos para incisos, quedando ellos para ejercitación del alumno.-ejercitación del alumno.-

Lo importante que con esta Lo importante que con esta información Telecom puede tomar información Telecom puede tomar decisiones más inteligente decisiones más inteligente respecto a la necesidad de nuevos respecto a la necesidad de nuevos equipos.-equipos.-

Supongamos que la empresa que usted Supongamos que la empresa que usted asesora produce productos asesora produce productos manufacturados, las ventas mensuales manufacturados, las ventas mensuales sigue una distribución normal con media sigue una distribución normal con media de 186,6$ (en miles) y una desviación de 186,6$ (en miles) y una desviación estándar de 12,7$.- ¿Cuál es la estándar de 12,7$.- ¿Cuál es la probabilidad de que una muestra aleatoria probabilidad de que una muestra aleatoria de tamaño 10 meses de esta población de tamaño 10 meses de esta población tenga una media mayor que 190$ ?.-tenga una media mayor que 190$ ?.-

SoluciónSolución

Veamos otro ejemplo.-Veamos otro ejemplo.-

Se sabe que la muestra individual que se estudia es solo Se sabe que la muestra individual que se estudia es solo una de todas las muestras posibles de tamaño 10 que una de todas las muestras posibles de tamaño 10 que pueden ser extraídas de la población, de modo que la pueden ser extraídas de la población, de modo que la media a la que conduce es una de las media a la que conduce es una de las x que forman x que forman parte de la distribución muestral de parte de la distribución muestral de x, que , teóricamente x, que , teóricamente podría inferirse de esa población.- podría inferirse de esa población.-

Cuando se dice que la población tiene una distribución Cuando se dice que la población tiene una distribución aproximadamente normal, se supone que la distribución aproximadamente normal, se supone que la distribución muestral de muestral de x sigue para fines prácticos una distribución x sigue para fines prácticos una distribución normal.- También se sabe que la media y la desviación normal.- También se sabe que la media y la desviación estándar de la distribución muestral son iguales a 186,6 $ estándar de la distribución muestral son iguales a 186,6 $ y y σσ/ √n = 12,7 / √10 = 4,02 respectivamente.-/ √n = 12,7 / √10 = 4,02 respectivamente.-

Se supone que la población es grande con respecto a la Se supone que la población es grande con respecto a la muestra, de manera que el factor de corrección para muestra, de manera que el factor de corrección para población finita puede omitirse.-población finita puede omitirse.-

Hemos aprendido que siempre que se tenga una Hemos aprendido que siempre que se tenga una variable aleatoria con distribución normal esta variable aleatoria con distribución normal esta puede transformarse en una distribución normal puede transformarse en una distribución normal estandarizada.- Entonces debemos obtener estandarizada.- Entonces debemos obtener nuestra Z con las transformaciones antes nuestra Z con las transformaciones antes planteadas y luego realizar el cálculo como planteadas y luego realizar el cálculo como hemos visto oportunamente.-hemos visto oportunamente.-

Entonces,Entonces,x - x - μμxx

σσ / / √√nnZ =Z =

00 1,091,09 ZZ

P (P (x ≥ 190) = P ( Z ≥ 1,00) = 1 - F ( 1,09) =x ≥ 190) = P ( Z ≥ 1,00) = 1 - F ( 1,09) = = 1 - 0,8621 = 0,1379= 1 - 0,8621 = 0,1379 14 %14 %

xx185,6185,6 190190

Veamos otro ejemplo del valor práctico Veamos otro ejemplo del valor práctico de la distribución muestral de la de la distribución muestral de la

media.-media.--.Para que los alumnos discutan.--.Para que los alumnos discutan.-

Al director de personal de cierta empresa multinacional muy Al director de personal de cierta empresa multinacional muy importante se le ha asignado la tarea de elaborar un perfil de los 2500 importante se le ha asignado la tarea de elaborar un perfil de los 2500 gerentes de la empresa.- Las características por identificar son, entre gerentes de la empresa.- Las características por identificar son, entre otras, el sueldo anual promedio y la proporción de gerentes que otras, el sueldo anual promedio y la proporción de gerentes que terminaron el programa de adiestramiento de la empresa.-terminaron el programa de adiestramiento de la empresa.-

Si definimos a los 2500 gerentes como la población a estudiar, Si definimos a los 2500 gerentes como la población a estudiar, podemos determinar el salario anual y el estado de adiestramiento en podemos determinar el salario anual y el estado de adiestramiento en el programa para cada individuo, consultando los registros del el programa para cada individuo, consultando los registros del personal que tiene la empresa.- Supongamos que ya se hizo lo personal que tiene la empresa.- Supongamos que ya se hizo lo anterior y que contamos con información de todos los 2500 gerentes.-anterior y que contamos con información de todos los 2500 gerentes.-

Si empleamos las formulas que vimos en Unidades anteriores para Si empleamos las formulas que vimos en Unidades anteriores para calcular la media de la población y la desviación estándar poblacional, calcular la media de la población y la desviación estándar poblacional, que resultaron ser:que resultaron ser:

μμ = 51800 dólares y = 51800 dólares y σσ = 4000 dólares.- = 4000 dólares.-

Sabemos que tanto Sabemos que tanto μμ como como σσ , son parámetros (características de , son parámetros (características de la población).-la población).-

El asunto que deseamos considerar es como el director de personal El asunto que deseamos considerar es como el director de personal puede obtener estimados de esos parámetros poblacionales con una puede obtener estimados de esos parámetros poblacionales con una muestra de gerentes, en lugar de hacerlo con los 2500 individuos muestra de gerentes, en lugar de hacerlo con los 2500 individuos de la población.- Supongamos que se usara una muestra de 30 de la población.- Supongamos que se usara una muestra de 30 gerentes.- Es claro que el tiempo y el costo de desarrollar un perfil gerentes.- Es claro que el tiempo y el costo de desarrollar un perfil para 30 gerentes serían mucho menores que para toda la población.- para 30 gerentes serían mucho menores que para toda la población.- Si el director de personal pudiera estar seguro de que la nuestra de Si el director de personal pudiera estar seguro de que la nuestra de 30 gerentes suministra la información adecuada sobre la población 30 gerentes suministra la información adecuada sobre la población de 2500 gerentes, preferirá trabajar con la muestra que con toda la de 2500 gerentes, preferirá trabajar con la muestra que con toda la población.-población.-

Empezará su investigación obteniendo la muestra de los 30 Empezará su investigación obteniendo la muestra de los 30 gerentes, aplicando un muestreo simple aleatorio (como hemos gerentes, aplicando un muestreo simple aleatorio (como hemos visto).- Se calcula el valor de la media de la muestra para estimar visto).- Se calcula el valor de la media de la muestra para estimar , , la media de la población, no podemos esperar que la media de la la media de la población, no podemos esperar que la media de la muestra sea exactamente igual a la media de la población.-muestra sea exactamente igual a la media de la población.-

Vimos que el valor absoluto de la diferencia entre Vimos que el valor absoluto de la diferencia entre la media de la muestra y la media de la población la media de la muestra y la media de la población me daba el error muestral.- me daba el error muestral.- La razón práctica de que nos interesa la La razón práctica de que nos interesa la distribución muestral de distribución muestral de x es que la podemos x es que la podemos usar para determinar información probabilística usar para determinar información probabilística acerca del tamaño del error de muestreo, ya que acerca del tamaño del error de muestreo, ya que no lo podemos calcular porque desconocemos la no lo podemos calcular porque desconocemos la media de la población.-. media de la población.-. Supongamos que el director de personal cree Supongamos que el director de personal cree que la media de la muestra será un estimado que la media de la muestra será un estimado aceptable de la media de la población si el aceptable de la media de la población si el promedio muestral dista menos de 500$ del promedio muestral dista menos de 500$ del promedio poblacional.-promedio poblacional.-

En términos de probabilidad, lo En términos de probabilidad, lo que le preocupa en realidad al que le preocupa en realidad al director es la siguiente pregunta,director es la siguiente pregunta,

¿Cuál es la probabilidad de que la media ¿Cuál es la probabilidad de que la media de la muestra que obtengamos de una de la muestra que obtengamos de una muestra aleatoria simple de 30 gerentes muestra aleatoria simple de 30 gerentes esté dentro del intervalo de 500 dólares esté dentro del intervalo de 500 dólares alrededor de la media de la población?alrededor de la media de la población?

Como hemos identificado las propiedades de la Como hemos identificado las propiedades de la distribución muestral de distribución muestral de x, usaremos esa información x, usaremos esa información para contestar la pregunta.- La distribución muestral, para contestar la pregunta.- La distribución muestral, será;será;

μμX X = 51800 dól.- = 51800 dól.-30,73030

4000

nx

51800518005130051300 5230052300XX

El director de personal pregunta sobre la probabilidad de El director de personal pregunta sobre la probabilidad de que la media de la muestra sea entre 51300 y 52300 que la media de la muestra sea entre 51300 y 52300 dólares.- Si el valor de la media de la muestra de dólares.- Si el valor de la media de la muestra de X esta X esta en ese intervalo, se aproximará a 500 dólares de la media en ese intervalo, se aproximará a 500 dólares de la media poblacional.- La probabilidad correspondiente es el área poblacional.- La probabilidad correspondiente es el área de la distribución muestral que vimos en la figura de la distribución muestral que vimos en la figura anterior.-anterior.-

Como la distribución muestral es normal, con promedio Como la distribución muestral es normal, con promedio de 51800 y desviación estándar 730,30, podemos usar la de 51800 y desviación estándar 730,30, podemos usar la tabla de la distribución de probabilidad normal tabla de la distribución de probabilidad normal estandarizada, para calcular el área.-estandarizada, para calcular el área.-

Tendremos;Tendremos;

68,030,7305180051300

x

xZ

P( 51300 ≤ P( 51300 ≤ x ≤ 52300) = 0,7518 - 0,2482 = 0,5036x ≤ 52300) = 0,7518 - 0,2482 = 0,5036

Esto nos indica que una muestra aleatoria simple de 30 Esto nos indica que una muestra aleatoria simple de 30 gerentes de la multinacional tiene una probabilidad de gerentes de la multinacional tiene una probabilidad de 0,50 de dar como resultado una media de la muestra que 0,50 de dar como resultado una media de la muestra que quede a 500$ o menos de la media poblacional.-quede a 500$ o menos de la media poblacional.- En otras palabras, una muestra aleatoria simple de 30 En otras palabras, una muestra aleatoria simple de 30 gerentes tiene una probabilidad de 50 a 50 de quedar gerentes tiene una probabilidad de 50 a 50 de quedar dentro de los 500$ alrededor de la media poblacional.-dentro de los 500$ alrededor de la media poblacional.-Quizás deba tomar la decisión de aumentar el tamaño Quizás deba tomar la decisión de aumentar el tamaño de la muestra para lograr obtener datos para tomar de la muestra para lograr obtener datos para tomar decisiones más seguras.- decisiones más seguras.-

Seguramente al aumentar por ejemplo el tamaño de Seguramente al aumentar por ejemplo el tamaño de muestra n =100, la probabilidad de obtener una media de muestra n =100, la probabilidad de obtener una media de muestra dentro de los márgenes pedidos, respecto a la muestra dentro de los márgenes pedidos, respecto a la media de la población sea mayor.-media de la población sea mayor.-

EJERICICIO PARA HACER EN CLASE

Supóngase que los incrementos salariales porcentuales Supóngase que los incrementos salariales porcentuales anuales de los directores generales de todas las anuales de los directores generales de todas las empresas de tamaño medio siguen una distribución empresas de tamaño medio siguen una distribución normal que tiene una media de 12,2 por ciento y una normal que tiene una media de 12,2 por ciento y una desviación estándar de 3,6 por ciento.- Se extrae una desviación estándar de 3,6 por ciento.- Se extrae una muestra aleatoria de nueve observaciones de esa muestra aleatoria de nueve observaciones de esa población y se calcula la media muestral.- ¿Cuál es la población y se calcula la media muestral.- ¿Cuál es la probabilidad de que la media muestral sea inferior a un probabilidad de que la media muestral sea inferior a un 10 por ciento?.-10 por ciento?.-

SoluciónSolución

Resp: 0.0336 Resp: 0.0336

2.- Un fabricante de bujías sostiene que la duración de 2.- Un fabricante de bujías sostiene que la duración de sus bujías siguen una distribución normal que tiene una sus bujías siguen una distribución normal que tiene una media de 36000 kilómetros y una desviación estándar de media de 36000 kilómetros y una desviación estándar de 4000 kilómetros.- Una muestra aleatoria de 16 bujías 4000 kilómetros.- Una muestra aleatoria de 16 bujías tenía una duración media de 34500 kilómetros.- Si la tenía una duración media de 34500 kilómetros.- Si la afirmación del fabricante es correcta, ¿Cuál es la afirmación del fabricante es correcta, ¿Cuál es la probabilidad de obtener una media muestral de 34500 o probabilidad de obtener una media muestral de 34500 o menos kilómetros?.-menos kilómetros?.-

SoluciónSolución

Repta: 0,0668Repta: 0,0668

3.- La duración de la enfermedad de Alzheimer desde el 3.- La duración de la enfermedad de Alzheimer desde el inicio de los síntomas hasta la muerte varía de tres a inicio de los síntomas hasta la muerte varía de tres a 20 años; el promedio es ocho años con una 20 años; el promedio es ocho años con una desviación estándar de cuatro años.- El administrador desviación estándar de cuatro años.- El administrador de un centro médico selecciona al azar, de la base de de un centro médico selecciona al azar, de la base de datos del centro médico, los expedientes de 30 datos del centro médico, los expedientes de 30 pacientes que murieron de Aizheimer y anota la pacientes que murieron de Aizheimer y anota la duración media.-duración media.-

Encuentre las probabilidades aproximadas para estos Encuentre las probabilidades aproximadas para estos eventos:eventos:

a)a) La duración promedio es menor que 7 años.-La duración promedio es menor que 7 años.-

b)b) Excede 7 años.-Excede 7 años.-

c)c) La duración promedio queda dentro del intervalo de 1 La duración promedio queda dentro del intervalo de 1 año de la media poblacional 8.-año de la media poblacional 8.-

Rpta: a) 0.0853 b) 0.9147 c) 0.8294Rpta: a) 0.0853 b) 0.9147 c) 0.8294

4.- Para evitar dificultades con la Oficina de Protección al 4.- Para evitar dificultades con la Oficina de Protección al Consumidor, un embotellador debe asegurarse que las Consumidor, un embotellador debe asegurarse que las botellas de 12 onzas en realidad contenga esa cantidad botellas de 12 onzas en realidad contenga esa cantidad de bebida.- Para determinar si una máquina de bebida.- Para determinar si una máquina embotelladora está trabajando satisfactoriamente, el embotelladora está trabajando satisfactoriamente, el embotellador muestrea al azar 10 botellas por hora y embotellador muestrea al azar 10 botellas por hora y mide la cantidad de bebida en cada una.-La media mide la cantidad de bebida en cada una.-La media x de x de las 10 botellas de llenado se usa para decidir si se las 10 botellas de llenado se usa para decidir si se reajusta la cantidad de bebida con que la máquina llena reajusta la cantidad de bebida con que la máquina llena cada botella.- Si en los registros se observa que la cada botella.- Si en los registros se observa que la cantidad de llenado por botella tiene una distribución cantidad de llenado por botella tiene una distribución normal, con una desviación estándar de 0,2 onzas y si se normal, con una desviación estándar de 0,2 onzas y si se ajusta la embotelladora para producir un llenado medio ajusta la embotelladora para producir un llenado medio por botella de 12,1 onzas.-por botella de 12,1 onzas.-

¿Cuál es la probabilidad aproximada de que la media ¿Cuál es la probabilidad aproximada de que la media muestral de las 10 botellas de prueba sea menor que 12 muestral de las 10 botellas de prueba sea menor que 12 onzas?.-onzas?.-

LA DISTRIBUCION DE LAS

PROPORCIONES MUESTRALES

Hasta ahora la discusión se concentro exclusivamente en Hasta ahora la discusión se concentro exclusivamente en las media de los asuntos que se tratan en la las media de los asuntos que se tratan en la administración, negocios, economía, etc., muchas veces administración, negocios, economía, etc., muchas veces en ellos interesa la proporción “P” de la población.- en ellos interesa la proporción “P” de la población.-

Una firma de marketing puede querer averiguar si un Una firma de marketing puede querer averiguar si un cliente compra o no un producto, un banco puede estar cliente compra o no un producto, un banco puede estar interesado en determinar su un depositante pedirá o no un interesado en determinar su un depositante pedirá o no un crédito para auto, muchas firmas deben determinar la crédito para auto, muchas firmas deben determinar la probabilidad de que un proyecto para presupuestar probabilidad de que un proyecto para presupuestar capitales generará o no un rendimiento positivo, etc.-capitales generará o no un rendimiento positivo, etc.-

En todos estos casos se usa la proporción muestral En todos estos casos se usa la proporción muestral p p para hacer inferencias sobre la proporción poblacional. para hacer inferencias sobre la proporción poblacional. “P”.- Podemos predecir que en cada repetición del “P”.- Podemos predecir que en cada repetición del proceso obtendremos un valor distinto de la proporción proceso obtendremos un valor distinto de la proporción muestral muestral p.-p.-

La distribución de probabilidad de todos los valores La distribución de probabilidad de todos los valores posibles de esa proporción posibles de esa proporción p se llama p se llama distribución de distribución de la proporción muestral.-la proporción muestral.-La distribución de probabilidad binomial según vimos La distribución de probabilidad binomial según vimos implica determinar las probabilidades de diferentes implica determinar las probabilidades de diferentes números de éxitos en un experimento binomial.- La números de éxitos en un experimento binomial.- La distribución binomial es una distribución de probabilidad distribución binomial es una distribución de probabilidad discreta que indica la probabilidad de “x” éxitos en “n” discreta que indica la probabilidad de “x” éxitos en “n” pruebas de un experimento binomial, donde cada prueba pruebas de un experimento binomial, donde cada prueba tiene dos resultados posibles, éxitos y fracasos.- tiene dos resultados posibles, éxitos y fracasos.- xx p = -------p = ------- nnEsta fórmula nos muestra que para una muestra de n Esta fórmula nos muestra que para una muestra de n pruebas de un experimento binomial, la proporción de pruebas de un experimento binomial, la proporción de éxitos, el estadístico éxitos, el estadístico p, se calcula dividiendo el número p, se calcula dividiendo el número de éxitos “x” entre el número de pruebas “n”.-de éxitos “x” entre el número de pruebas “n”.-

Para determinar lo cercano que esta la proporción Para determinar lo cercano que esta la proporción muestral muestral p de la proporción poblacional “P” p de la proporción poblacional “P” necesitamos comprender necesitamos comprender las propiedades de la las propiedades de la distribución muestral de distribución muestral de p, su valor esperado, p, su valor esperado, su desviación estándar y la forma de la su desviación estándar y la forma de la distribución.-distribución.-El valor esperado de El valor esperado de p, la media de todos los valores p, la media de todos los valores posibles de posibles de p, se puede expresar como, p, se puede expresar como,

E (E (p) = Pp) = P

La ecuación anterior nos expresa que la media de todos La ecuación anterior nos expresa que la media de todos los valores posible de los valores posible de p es igual a la proporción P de la p es igual a la proporción P de la población y esto siempre es así.- población y esto siempre es así.- La desviación estándar de La desviación estándar de p se llama p se llama error estándar error estándar de la proporciónde la proporción.-.- Igual que en caso de las medias de la Igual que en caso de las medias de la muestra muestra x, el error estándar de la proporción depende si x, el error estándar de la proporción depende si la población es finita o infinita, entonces:la población es finita o infinita, entonces:

-infinitas. spoblacione para )1(

-finitas. spoblacione para 1

*)1(

p npp

NnN

npp

p

Al comparar estas dos fórmulas, vemos que la diferencia Al comparar estas dos fórmulas, vemos que la diferencia es el empleo del es el empleo del factor de corrección para factor de corrección para poblaciones finitas.-poblaciones finitas.-Como en el caso de la media de muestra Como en el caso de la media de muestra x, vemos que x, vemos que la diferencia entre las ecuaciones para poblaciones finitas la diferencia entre las ecuaciones para poblaciones finitas e infinita se hace despreciable si el tamaño de la e infinita se hace despreciable si el tamaño de la población finita es grande en comparación con el tamaño población finita es grande en comparación con el tamaño de la muestra.- Seguiremos la misma regla que de la muestra.- Seguiremos la misma regla que recomendamos antes.- recomendamos antes.-

Como ya conocemos el promedio y la Como ya conocemos el promedio y la desviación estándar de la proporción muestral desviación estándar de la proporción muestral p, debemos conocer ahora la forma de la p, debemos conocer ahora la forma de la distribución.- Al aplicar el Teorema Central del distribución.- Al aplicar el Teorema Central del Límite a Límite a p se tiene que la distribución p se tiene que la distribución muestral de muestral de p se puede aproximar con una p se puede aproximar con una distribución normal de probabilidad, siempre distribución normal de probabilidad, siempre que el tamaño de muestra sea grande.- En el que el tamaño de muestra sea grande.- En el caso de caso de p, se puede considerar que el tamaño p, se puede considerar que el tamaño de muestra es grande cuando se cumple las de muestra es grande cuando se cumple las dos siguientes condiciones:dos siguientes condiciones:

n P n P 5 y n (1- P) 5 y n (1- P) 5 5

Esto es, si la población es Esto es, si la población es infinita y n/N ≤ 0,05 usamos el infinita y n/N ≤ 0,05 usamos el error estándar de la proporción error estándar de la proporción sin el factor de corrección, sin sin el factor de corrección, sin embargo, si la población es finita embargo, si la población es finita y la relación es n/N y la relación es n/N 0,05, se 0,05, se debe usar el factor de debe usar el factor de corrección.-corrección.-

Sabemos que la aproximación Sabemos que la aproximación normal puede mejorar con normal puede mejorar con la la corrección por continuidadcorrección por continuidad, un , un mecanismo que hace un ajuste en el mecanismo que hace un ajuste en el caso de que una distribución caso de que una distribución continua se aproxime a una continua se aproxime a una distribución discreta.- En el caso de distribución discreta.- En el caso de estudio de proporción de una estudio de proporción de una población, estas son muy grandes y población, estas son muy grandes y la corrección no aporta diferencia y la corrección no aporta diferencia y por lo tanto la podemos obviar.- por lo tanto la podemos obviar.-

Veamos un ejemplo, con valores irreales solo para Veamos un ejemplo, con valores irreales solo para entender los conceptos elementales vistos.- Recuerde que entender los conceptos elementales vistos.- Recuerde que esto en la práctica profesional no se puede hacer.-esto en la práctica profesional no se puede hacer.-

Casa Garbarino pregunta a toda la población de Casa Garbarino pregunta a toda la población de clientes N = 4, si vieron el anuncio de ofertas, clientes N = 4, si vieron el anuncio de ofertas, publicitado en el diario del día.- Se registra una publicitado en el diario del día.- Se registra una respuesta de SI como éxito y de NO como respuesta de SI como éxito y de NO como fracaso.- Los cuatro clientes respondieron: Sfracaso.- Los cuatro clientes respondieron: S11 N N22 NN33 S S44.-.-

La proporción poblacional de éxito es P = 0.50.- Si La proporción poblacional de éxito es P = 0.50.- Si tomamos muestras de tamaño n = 2, la cantidad de tomamos muestras de tamaño n = 2, la cantidad de muestras será igual a las combinaciones de cuatro muestras será igual a las combinaciones de cuatro elementos tomados de a dos, que me da igual a 6, la elementos tomados de a dos, que me da igual a 6, la proporción de éxitos se registra como sigue en la proporción de éxitos se registra como sigue en la siguiente tabla:siguiente tabla:

XiXi Nº de éxitosNº de éxitos Proporción de éxitosProporción de éxitos

SS11NN22 11 0.500.50

SS11NN33 11 0.500.50

SS11SS44 22 1.001.00

NN22NN33 00 0.000.00

NN2 2 SS33 11 0.500.50

NN22 S S44 11 0.500.50

TotalTotal -------------------------------------------- 3.003.00

El valor esperado, media de distribución muestral de la El valor esperado, media de distribución muestral de la proporción muestral es;proporción muestral es;

p 3p 3 μμp p = = E(E(p) = ------------- = ------ = 0.50 = Pp) = ------------- = ------ = 0.50 = P K 6K 6

Tenemos que calcular ahora el error estándar de la Tenemos que calcular ahora el error estándar de la proporción muestral, que será;proporción muestral, que será;

nP)-1 ( P p

Observo si n / N Observo si n / N 0.05 es este caso no necesito el 0.05 es este caso no necesito el factor de corrección para poblaciones finitas, en factor de corrección para poblaciones finitas, en cambio si n / N cambio si n / N 0.05 si lo debo usar al calcular el error 0.05 si lo debo usar al calcular el error estándar de la proporción muestral.-estándar de la proporción muestral.-

En nuestro caso n / N = 2 / 4 = 0.50 En nuestro caso n / N = 2 / 4 = 0.50 0.05 0.05Luego:Luego:

2888.01424*

250.0*50.0

1-Nn-N

np)-1 ( p

p

Las herramientas recientemente desarrolladas Las herramientas recientemente desarrolladas para las proporciones muestrales permiten para las proporciones muestrales permiten determinar las probabilidades que pueden ser determinar las probabilidades que pueden ser muy útiles en la toma de decisiones muy útiles en la toma de decisiones importantes.- Esto se logra aplicando la importantes.- Esto se logra aplicando la distribución normal a la distribución muestral distribución normal a la distribución muestral de proporciones muestrales, como veremos en de proporciones muestrales, como veremos en el punto siguiente.-el punto siguiente.-

p - Pp - P Z = -----------------Z = ----------------- pp

VALOR PRÁCTICO DE VALOR PRÁCTICO DE LA DISTRIBUCION LA DISTRIBUCION MUESTRAL DE LA MUESTRAL DE LA

PROPORCIÓN PROPORCIÓN MUESTRAL.-MUESTRAL.-

Siempre que se selecciona una muestra aleatoria Siempre que se selecciona una muestra aleatoria simple y que el valor de la proporción de la simple y que el valor de la proporción de la muestra muestra p se usa para estimar el valor de la p se usa para estimar el valor de la proporción poblacional P, podemos predecir que proporción poblacional P, podemos predecir que hay cierto error de muestreo.- En este caso, el hay cierto error de muestreo.- En este caso, el error de muestreo es el valor absoluto de la error de muestreo es el valor absoluto de la diferencia entre el valor de la proporción diferencia entre el valor de la proporción muestral muestral p y la proporción poblacional P.- p y la proporción poblacional P.-

El valor práctico de la distribución muestral de El valor práctico de la distribución muestral de p p es que se puede usar para proporcionar es que se puede usar para proporcionar información probabilística acerca del error de información probabilística acerca del error de muestreo.-muestreo.-

Veamos un ejemplo.-Veamos un ejemplo.-El director de personal de cierta multinacional se le ha El director de personal de cierta multinacional se le ha asignado la tarea de elaborar un perfil de los 2500 asignado la tarea de elaborar un perfil de los 2500 gerentes de la empresa.- La característica por identificar gerentes de la empresa.- La característica por identificar es la proporción de gerentes que terminaron el programa es la proporción de gerentes que terminaron el programa de adiestramiento administrativo de la empresa.- Si de adiestramiento administrativo de la empresa.- Si definimos a los 2500 gerentes como la población a definimos a los 2500 gerentes como la población a estudiar y sabemos que 1500 han terminado el programa estudiar y sabemos que 1500 han terminado el programa de adiestramiento.- Se saca una muestra de 30 gerentes de adiestramiento.- Se saca una muestra de 30 gerentes y sabemos que de ellos 19 han terminado el programa de y sabemos que de ellos 19 han terminado el programa de adiestramiento.- adiestramiento.-

Supongamos que el director de personal desea conocer Supongamos que el director de personal desea conocer la probabilidad de obtener un valor de la probabilidad de obtener un valor de p que se acerque p que se acerque a 0,05 o más de la proporción poblacional de gerentes a 0,05 o más de la proporción poblacional de gerentes que participaron en el programa de adiestramiento.-que participaron en el programa de adiestramiento.-

Esto es, ¿Cuál es la probabilidad de obtener Esto es, ¿Cuál es la probabilidad de obtener una muestra con proporción muestral una muestra con proporción muestral p entre p entre 0,55 y 0,65?.- 0,55 y 0,65?.-

Usando el hecho de que la distribución Usando el hecho de que la distribución muestral muestral p se puede aproximar con una p se puede aproximar con una distribución normal de probabilidad con distribución normal de probabilidad con promedio P = 0.60 y promedio P = 0.60 y pp = 0,0894, entonces = 0,0894, entonces será:será:

56.00894.0

60.055.0

Zi

P( 0.55 P( 0.55 p p 0.65) = 0.7123 - 0.2877 0.65) = 0.7123 - 0.2877

= 0,4246 = 0,4246

La probabilidad de seleccionar una muestra que La probabilidad de seleccionar una muestra que de cómo resultado una proporción muestral de cómo resultado una proporción muestral más cercano que 0.05 a la proporción más cercano que 0.05 a la proporción poblacional P es del 42%.- poblacional P es del 42%.-

0,600,600,550,55 0,650,65 pp

Veamos otro ejemplo prácticoVeamos otro ejemplo práctico.- El 5% de los .- El 5% de los cinescopio que la compañía Audio Films hace para cinescopio que la compañía Audio Films hace para monitores de PC son devuelto por el fabricante de monitores de PC son devuelto por el fabricante de monitores como defectuosos.- Este hecho preocupa a monitores como defectuosos.- Este hecho preocupa a Audio Films, en especial después de leer un artículo en la Audio Films, en especial después de leer un artículo en la revista PC Word, sobre la guía a los compradores de revista PC Word, sobre la guía a los compradores de monitores súper VGA.- Audio Films considera que es monitores súper VGA.- Audio Films considera que es esencial mejorar su desempeño de calidad si quiere esencial mejorar su desempeño de calidad si quiere continuar suministrando cinescopios a la industria.- continuar suministrando cinescopios a la industria.- Después de iniciar su programa de mejora de calidad, Después de iniciar su programa de mejora de calidad, Audio Films obtendrá una muestra de cinescopios para Audio Films obtendrá una muestra de cinescopios para verificar si la calidad se ha elevado.- Se elegirá una verificar si la calidad se ha elevado.- Se elegirá una muestra de 125 cinescopios del almacén durante unos muestra de 125 cinescopios del almacén durante unos cuantos días.- ¿Cuál es la probabilidad de que más del cuantos días.- ¿Cuál es la probabilidad de que más del 8% sean defectuosos, suponiendo que la tasa global de 8% sean defectuosos, suponiendo que la tasa global de unidades defectuosas es todavía el 5%?.-unidades defectuosas es todavía el 5%?.-

SoluciónSolución

P( P( p p 0.08) = 1 - F(1,54) = 0.08) = 1 - F(1,54) = = 1 - 0.9382 = 0.0618= 1 - 0.9382 = 0.0618

Hay una probabilidad de alrededor del 6% de que Hay una probabilidad de alrededor del 6% de que el 8% de los cinescopios o más sean el 8% de los cinescopios o más sean defectuosos, suponiendo que la tasa de defectos defectuosos, suponiendo que la tasa de defectos de la población es del 5%.-de la población es del 5%.-

54,10195.0

05.008.0p Z

0.05 P donde 0195.0125

95.0*05.0

p

p

P

EJEMPLO 3.- Rosales SRL, adquiere componentes para EJEMPLO 3.- Rosales SRL, adquiere componentes para sus teléfonos celulares en lotes de 200 de una firma en sus teléfonos celulares en lotes de 200 de una firma en Buenos Aires.- El componente tiene una tasa de defectos Buenos Aires.- El componente tiene una tasa de defectos del 10%.- Una política establecida recientemente por del 10%.- Una política establecida recientemente por Rosales SRL establece que si el siguiente envió tiene:Rosales SRL establece que si el siguiente envió tiene:

a) Más del 12 % de defectos, definitivamente buscará un a) Más del 12 % de defectos, definitivamente buscará un nuevo proveedor.-nuevo proveedor.-

b) Entre el 10 y el 12 % de defectos (inclusive), b) Entre el 10 y el 12 % de defectos (inclusive), considerará un nuevo proveedor.-considerará un nuevo proveedor.-

c) Entre el 5 y el 10% de defectos (inclusive), c) Entre el 5 y el 10% de defectos (inclusive), definitivamente no conseguirá un nuevo proveedor.-definitivamente no conseguirá un nuevo proveedor.-

d) Menos del 5 % de defectos, incrementará sus d) Menos del 5 % de defectos, incrementará sus pedidos.-pedidos.-

¿ Cual decisión es más probable que tome Rosales ¿ Cual decisión es más probable que tome Rosales SRL?.-SRL?.-

Debido a que el tamaño de la población no se suministra, Debido a que el tamaño de la población no se suministra, se asume que Rosales SRL compra muchos componentes se asume que Rosales SRL compra muchos componentes y el tamaño de la muestra de n = 200 es menor que 0,05 N y el tamaño de la muestra de n = 200 es menor que 0,05 N y por lo tanto no se necesita el factor de corrección para y por lo tanto no se necesita el factor de corrección para poblaciones finitas.-poblaciones finitas.-

σσpp = =

a) P (a) P (p > 0,12) = 0,1711p > 0,12) = 0,1711

b) P ( 0,10 ≤ b) P ( 0,10 ≤ p ≤ 0,12) = 0,3289p ≤ 0,12) = 0,3289

c) P ( 0,05 c) P ( 0,05 ≤ ≤ p ≤p ≤ 0,10) = 0,4913 0,10) = 0,4913

d) P ( d) P ( p < 0,05) = 0,0087p < 0,05) = 0,0087

Como la parte c) tiene la probabilidad más alta. Rosales Como la parte c) tiene la probabilidad más alta. Rosales SRL se quedará con su proveedor actual.-SRL se quedará con su proveedor actual.-

0,1 0,90,1 0,9

200 200 = 0,021= 0,021

EJEMPLO 4.- En una encuesta se pregunto a 500 EJEMPLO 4.- En una encuesta se pregunto a 500 madres y padres acerca de la importancia de los madres y padres acerca de la importancia de los deportes para muchachos y chicas.- De los padres deportes para muchachos y chicas.- De los padres entrevistados, 60% estaba de acuerdo en que los entrevistados, 60% estaba de acuerdo en que los géneros son iguales y debían tener las mismas géneros son iguales y debían tener las mismas oportunidades para participar en los deportes.- oportunidades para participar en los deportes.- Describa la distribución muestral de la proporción P de Describa la distribución muestral de la proporción P de padres que están de acuerdo en que los géneros son padres que están de acuerdo en que los géneros son iguales y deberían tener las mismas oportunidades.- iguales y deberían tener las mismas oportunidades.- Suponga que la proporción P de padres e la población Suponga que la proporción P de padres e la población es en realidad 0.55.- ¿Cuál es la probabilidad de es en realidad 0.55.- ¿Cuál es la probabilidad de observar una proporción muestral tan grande como o observar una proporción muestral tan grande como o mayor que el valor observado mayor que el valor observado p = 0.60?.-p = 0.60?.-

ANEXO(PARA LEER)

TIPOS DE METODOS DE MUESTREOTIPOS DE METODOS DE MUESTREO

El proceso de muestreo comienza con localización de El proceso de muestreo comienza con localización de las fuentes adecuadas de datos, como listados de las fuentes adecuadas de datos, como listados de población, registros, directorios y otras fuentes población, registros, directorios y otras fuentes llamadas llamadas MARCOSMARCOS.-.- Las muestras se extraen de estos Las muestras se extraen de estos marcos.- Si el marco es inadecuado debido a que ciertos marcos.- Si el marco es inadecuado debido a que ciertos grupos de individuos o de objetos en la población no se grupos de individuos o de objetos en la población no se incluyeron de manera apropiada, entonces las muestras incluyeron de manera apropiada, entonces las muestras serán inexactas y sesgadas.- serán inexactas y sesgadas.-

Recordemos que las razones para obtener una muestra Recordemos que las razones para obtener una muestra son:son:

1.- Una muestra requiere menos tiempos que un censo.-1.- Una muestra requiere menos tiempos que un censo.-

2.- Cuesta menos administrar una muestra que un censo.-2.- Cuesta menos administrar una muestra que un censo.-

3.- Administrar una muestra es menos tedioso y más practico que 3.- Administrar una muestra es menos tedioso y más practico que administrar el censo de una población estadística determinada.-administrar el censo de una población estadística determinada.-

Tipos de muestras utilizadasTipos de muestras utilizadas

No ProbabilísticasNo Probabilísticas ProbabilísticasProbabilísticas

Muestra subjetivaMuestra subjetiva

Muestra por cuotaMuestra por cuota

Por grupo naturalesPor grupo naturales

Aleatoria simpleAleatoria simple

SistemáticaSistemática

EstratificadaEstratificada

Por Por conglomeradosconglomerados

Una muestra aleatoria simple, es aquella en la cual cada Una muestra aleatoria simple, es aquella en la cual cada individuo o elemento de una población tiene la misma individuo o elemento de una población tiene la misma oportunidad de ser elegido.- Además, cada muestra de oportunidad de ser elegido.- Además, cada muestra de un tamaño fijo tiene la misma probabilidad de ser un tamaño fijo tiene la misma probabilidad de ser elegida, que cualquier otra muestra del mismo tamaño.- elegida, que cualquier otra muestra del mismo tamaño.- El muestreo aleatorio simple, es la técnica de muestreo El muestreo aleatorio simple, es la técnica de muestreo aleatorio más elemental y constituye la base para otras aleatorio más elemental y constituye la base para otras técnicas.-técnicas.-

En el muestreo aleatorio simple, se usa n para En el muestreo aleatorio simple, se usa n para representar el tamaño de la muestra y N para representar representar el tamaño de la muestra y N para representar el tamaño de la población.- Cada persona o elemento en el tamaño de la población.- Cada persona o elemento en el marco se enumera de 1 a N.-el marco se enumera de 1 a N.-

La probabilidad de seleccionar a cualquier miembro en La probabilidad de seleccionar a cualquier miembro en particular de la población la primera vez es igual a 1/N.-particular de la población la primera vez es igual a 1/N.-

MUESTRA ALEATORIA SIMPLE.-

Existen dos métodos básicos para seleccionar muestras:Existen dos métodos básicos para seleccionar muestras:

ConConreemplazoreemplazo

SinSinreemplazoreemplazo

El El muestreo con reemplazomuestreo con reemplazo, implica que una vez , implica que una vez seleccionada una persona o elemento, se regresa al seleccionada una persona o elemento, se regresa al marco donde tiene la misma probabilidad de ser elegida marco donde tiene la misma probabilidad de ser elegida de nuevo.- Imagine que tiene una urna con 500 tarjetas de de nuevo.- Imagine que tiene una urna con 500 tarjetas de presentación.- Suponga que en el primer sorteo sale la presentación.- Suponga que en el primer sorteo sale la ficha de Juan Llanos.- La información pertinente se ficha de Juan Llanos.- La información pertinente se registra y se regresa la tarjeta a la urna.- Después se registra y se regresa la tarjeta a la urna.- Después se mezclan bien las tarjetas y se saca una segunda tarjeta,. mezclan bien las tarjetas y se saca una segunda tarjeta,. En esta segunda extracción Juan Llanos, tiene la misma En esta segunda extracción Juan Llanos, tiene la misma probabilidad de salir 1/N, de ser elegida de nuevo.- Se probabilidad de salir 1/N, de ser elegida de nuevo.- Se repite el procedimiento hasta alcanzar el tamaño muestra repite el procedimiento hasta alcanzar el tamaño muestra n deseado.- Sin embargo, suele considerarse más n deseado.- Sin embargo, suele considerarse más adecuado tener una muestra de personas o elementos adecuado tener una muestra de personas o elementos diferentes en lugar de permitir la repetición de diferentes en lugar de permitir la repetición de mediciones de la misma persona o elemento.-mediciones de la misma persona o elemento.-

En el En el muestreo sin reemplazomuestreo sin reemplazo, no se regresa la , no se regresa la persona o elemento al marco una vez seleccionado y por persona o elemento al marco una vez seleccionado y por lo tanto, no puede elegirse otra vez.- Como antes, en el lo tanto, no puede elegirse otra vez.- Como antes, en el muestreo sin reemplazo la probabilidad de que algún muestreo sin reemplazo la probabilidad de que algún miembro específico de la población, por ejemplo Juan miembro específico de la población, por ejemplo Juan Llanos, sea elegido en el primer intento es 1/N.- La Llanos, sea elegido en el primer intento es 1/N.- La probabilidad de que, cualquier individuo no probabilidad de que, cualquier individuo no seleccionado, salga elegido en el segundo intento será 1 / seleccionado, salga elegido en el segundo intento será 1 / N-1.- Este proceso continua hasta alcanzar el tamaño de N-1.- Este proceso continua hasta alcanzar el tamaño de muestra n deseado.-muestra n deseado.-

Sin importar si el muestreo es con o sin reemplazo, Sin importar si el muestreo es con o sin reemplazo, los métodos de urna para elegir una muestra tienen los métodos de urna para elegir una muestra tienen un gran inconveniente: la habilidad para revolver un gran inconveniente: la habilidad para revolver perfectamente las tarjetas y elegir la muestra en perfectamente las tarjetas y elegir la muestra en forma aleatoria.- Como resultado, los métodos de forma aleatoria.- Como resultado, los métodos de urna no son muy útiles.- Son preferibles otros urna no son muy útiles.- Son preferibles otros métodos de selección con menos problemas y métodos de selección con menos problemas y mejor base científica.- mejor base científica.-

Uno de estos métodos utiliza una Uno de estos métodos utiliza una TABLA DE TABLA DE NUMEROS ALEATORIOSNUMEROS ALEATORIOS, para obtener la , para obtener la muestra.- Una tabla de números aleatorios esta muestra.- Una tabla de números aleatorios esta formada por una serie de dígitos que se generan formada por una serie de dígitos que se generan en forma aleatoria y se colocan en la secuencia en forma aleatoria y se colocan en la secuencia en que se generaron.- Hay muchas tablas de en que se generaron.- Hay muchas tablas de números aleatorios, como la que veremos en números aleatorios, como la que veremos en práctica.- De hecho, lo normal es que los práctica.- De hecho, lo normal es que los investigadores antes de usar una tabla de investigadores antes de usar una tabla de números aleatorio verifiquen la aleatoriedad de números aleatorio verifiquen la aleatoriedad de los dígitos generados antes de emplearlos.- los dígitos generados antes de emplearlos.- Debido a que cada dígito o secuencia de dígitos Debido a que cada dígito o secuencia de dígitos de la tabla es aleatorio, se puede leer en sentido de la tabla es aleatorio, se puede leer en sentido horizontal o vertical.-horizontal o vertical.-

Para usar una tabla como la que vemos en práctica en Para usar una tabla como la que vemos en práctica en lugar de una urna para seleccionar una muestra, lugar de una urna para seleccionar una muestra, primero debemos asignar números de códigos a los primero debemos asignar números de códigos a los miembros individuales de la población.- Entonces se miembros individuales de la población.- Entonces se obtiene la muestra aleatoria leyendo la tabla y obtiene la muestra aleatoria leyendo la tabla y seleccionando los elementos del marco de población seleccionando los elementos del marco de población cuyos números de código coinciden con los dígitos cuyos números de código coinciden con los dígitos encontrados en la tabla.- encontrados en la tabla.- Para entender mejor, hagamos Para entender mejor, hagamos un ejemplo con el curso.-un ejemplo con el curso.-Hoy gracias a los avances de los paquetes estadísticos Hoy gracias a los avances de los paquetes estadísticos de PC, las tablas se usan menos.- Los programas tienen de PC, las tablas se usan menos.- Los programas tienen una secuencia para generar los números aleatorios que una secuencia para generar los números aleatorios que se necesita.-se necesita.-

En una muestra sistemática, se dividen N individuos o En una muestra sistemática, se dividen N individuos o elementos del marco poblacional en k grupos, dividiendo elementos del marco poblacional en k grupos, dividiendo el tamaño de la población N entre el tamaño de la muestra el tamaño de la población N entre el tamaño de la muestra deseado n.- Es decir, k = N / n donde k se deseado n.- Es decir, k = N / n donde k se redondea al entero más cercano.-redondea al entero más cercano.-

Para obtener una muestra sistemática, el primer individuo Para obtener una muestra sistemática, el primer individuo o elemento se selecciona al azar entre los k individuos o o elemento se selecciona al azar entre los k individuos o elementos del primer grupo del marco de población y, elementos del primer grupo del marco de población y, para el resto de la muestra se elige un individuo o para el resto de la muestra se elige un individuo o elemento cada k en la lista completa de la población.-elemento cada k en la lista completa de la población.-Cuando el marco de población consiste en listados Cuando el marco de población consiste en listados predeterminados es más rápido y fácil obtener una predeterminados es más rápido y fácil obtener una muestra sistemática que una muestra aleatoria simple.- muestra sistemática que una muestra aleatoria simple.- En estas situaciones la muestra sistemática es un En estas situaciones la muestra sistemática es un mecanismo conveniente para obtener los datos mecanismo conveniente para obtener los datos deseados.-deseados.-

MUESTRA SISTEMATICA.-MUESTRA SISTEMATICA.-

Aunque su aplicación es más sencilla, en general los métodos de Aunque su aplicación es más sencilla, en general los métodos de muestreo aleatorio simple y de muestreo sistemático son menos muestreo aleatorio simple y de muestreo sistemático son menos eficientes que otros métodos de muestreo probabilístico más eficientes que otros métodos de muestreo probabilístico más elaborado.- Es decir, para cualquier muestra que se adquiere elaborado.- Es decir, para cualquier muestra que se adquiere mediante muestra aleatorias simple o muestreo sistemático, los mediante muestra aleatorias simple o muestreo sistemático, los datos obtenidos pueden o no ser buena representación de las datos obtenidos pueden o no ser buena representación de las características fundamentales (parámetros) de la población.-características fundamentales (parámetros) de la población.-

Aunque la mayor parte de las muestras aleatorias simples son Aunque la mayor parte de las muestras aleatorias simples son representativas de la población correspondiente, no es posible saber representativas de la población correspondiente, no es posible saber si una muestra en particular es, de hecho representativa.-.-si una muestra en particular es, de hecho representativa.-.-

Se presentan posibilidades todavía mayores de un sesgo en la Se presentan posibilidades todavía mayores de un sesgo en la selección y una falta de representatividad de las características de la selección y una falta de representatividad de las características de la población, en el muestreo sistemático.- Si existiera un padrón en el población, en el muestreo sistemático.- Si existiera un padrón en el listado del marco de población, podría ocurrir errores de selección listado del marco de población, podría ocurrir errores de selección importantes.- Para evitar el problema potencial de la importantes.- Para evitar el problema potencial de la representatividad desproporcionada de grupos específicos en una representatividad desproporcionada de grupos específicos en una muestra, se pueden usar los métodos de muestreo estratificado o muestra, se pueden usar los métodos de muestreo estratificado o muestreo conglomerado.-muestreo conglomerado.-

En una muestra estratificada, primero se dividen los N individuos o En una muestra estratificada, primero se dividen los N individuos o elementos de la población en sub poblaciones separadas, o estratos, elementos de la población en sub poblaciones separadas, o estratos, de acuerdo con algunas característica común.- Se realiza un de acuerdo con algunas característica común.- Se realiza un muestreo aleatorio simple en cada estrato y después se combinan muestreo aleatorio simple en cada estrato y después se combinan los resultados de las muestras aleatorias simple.-los resultados de las muestras aleatorias simple.-

Estos métodos de muestreo son más eficientes Estos métodos de muestreo son más eficientes que el muestreo aleatorio simple o el sistemático, que el muestreo aleatorio simple o el sistemático, porque garantizan la representación de porque garantizan la representación de individuos o elementos de toda la población, lo individuos o elementos de toda la población, lo que asegura una mayor precisión en las que asegura una mayor precisión en las estimaciones de los parámetros poblacionales estimaciones de los parámetros poblacionales fundamentales.- Lo que proporciona la presición, fundamentales.- Lo que proporciona la presición, una vez combinados los estratos, es la una vez combinados los estratos, es la homogeneidad de individuos o elementos dentro homogeneidad de individuos o elementos dentro de cada estrato.-de cada estrato.-

MUESTRA ESTRATIFICADA.-MUESTRA ESTRATIFICADA.-

MUESTRA CONGLOMERADA.-MUESTRA CONGLOMERADA.-En una muestra conglomerada, se divide los N individuos o En una muestra conglomerada, se divide los N individuos o elementos de la población en varios conglomerados, de manera que elementos de la población en varios conglomerados, de manera que cada conglomerado sea representativo de la población completa.- cada conglomerado sea representativo de la población completa.- Después, se obtiene una muestra aleatoria de los conglomerados y Después, se obtiene una muestra aleatoria de los conglomerados y se estudian todos los individuos o elementos dentro de cada se estudian todos los individuos o elementos dentro de cada conglomerado seleccionado.- Los conglomerados pueden ser conglomerado seleccionado.- Los conglomerados pueden ser asignaciones naturales, como departamentos, ciudades, manzanas, asignaciones naturales, como departamentos, ciudades, manzanas, familias o edificio de departamento, etc.-familias o edificio de departamento, etc.-

Los métodos de muestreo conglomerados pueden ser más eficientes (con relación a su costo) que los métodos de muestreo aleatorio simple, sobre todo si la población en cuestión se encuentra esparcida en una vasta región geográfica.- Sin embargo, los métodos de muestreo conglomerado tienden a ser menos eficientes que los métodos de muestreo aleatorio simple o de muestreo estratificado, y necesitan una muestra total más grande para obtener resultados tan precisos como los que se obtienen con los procedimientos más eficientes.-

EVALUACION DEL VALOR DE UNA ENCUESTA.-EVALUACION DEL VALOR DE UNA ENCUESTA.-

Casi todos los días leemos o escuchamos hablar de resultados de Casi todos los días leemos o escuchamos hablar de resultados de una encuesta.- Es evidente que los avances tecnológicos de las una encuesta.- Es evidente que los avances tecnológicos de las comunicaciones han provocado una gran proliferación de comunicaciones han provocado una gran proliferación de investigaciones mediante encuestas, sin embargo, no todas son investigaciones mediante encuestas, sin embargo, no todas son aceptables significativas e importantes.-aceptables significativas e importantes.-

Para evitar encuestas carentes de objetividad o Para evitar encuestas carentes de objetividad o credibilidad, debe evaluarse con sentido crítico credibilidad, debe evaluarse con sentido crítico todo lo que se lee y escucha, además debe todo lo que se lee y escucha, además debe examinarse el valor de la encuesta.- En primer examinarse el valor de la encuesta.- En primer lugar se evalúa el propósito de la encuesta, por lugar se evalúa el propósito de la encuesta, por que y para quién se realiza.-que y para quién se realiza.-

En segundo lugar, se debe evaluar si esta basada En segundo lugar, se debe evaluar si esta basada en una muestra probabilística o no.- Recuerde que en una muestra probabilística o no.- Recuerde que el único medio disponible para hacer inferencia el único medio disponible para hacer inferencia estadística correcta a partir de una muestra es que estadística correcta a partir de una muestra es que esta sea probabilística.-esta sea probabilística.-

Las encuestas que emplean métodos no probabilísticos están Las encuestas que emplean métodos no probabilísticos están sujetas a errores importante, quizás no intencionales, que pueden sujetas a errores importante, quizás no intencionales, que pueden generar resultados sin sentido.-generar resultados sin sentido.-

ERRORES EN LAS ENCUESTASERRORES EN LAS ENCUESTAS

Aún cuando en las encuestas se utilicen Aún cuando en las encuestas se utilicen métodos de muestreo probabilístico están métodos de muestreo probabilístico están

sujetos a errores potenciales.- sujetos a errores potenciales.- Hay cuatro tipos de errores de encuestas.- Hay cuatro tipos de errores de encuestas.-

Con las encuestas correcta se diseñan Con las encuestas correcta se diseñan modelos para reducir o disminuir los modelos para reducir o disminuir los

diferentes errores de las encuestas, los diferentes errores de las encuestas, los cuales suelen tener un costo considerablecuales suelen tener un costo considerable

Los errores de las encuestan son:Los errores de las encuestan son:

1.- Errores de cobertura.-1.- Errores de cobertura.-2.- Errores o sesgos de no respuestas.-2.- Errores o sesgos de no respuestas.-3.- Errores de muestreo.-3.- Errores de muestreo.-4.- Errores de medición.-4.- Errores de medición.-

ERRORES DE COBERTURA.-ERRORES DE COBERTURA.-La clave para una selección apropiada en la muestra es un marco de La clave para una selección apropiada en la muestra es un marco de población adecuado o una lista actualizada, de todos los sujetos población adecuado o una lista actualizada, de todos los sujetos que participarán en el muestreo.- El error de cobertura ocurre si se que participarán en el muestreo.- El error de cobertura ocurre si se excluyen ciertos grupos de sujetos de las lista de población, de excluyen ciertos grupos de sujetos de las lista de población, de manera que no tienen oportunidad de ser seleccionado en la manera que no tienen oportunidad de ser seleccionado en la muestra.- El error de cobertura conduce a un muestra.- El error de cobertura conduce a un sesgo de selección.-sesgo de selección.-

Si el listado es inadecuado porque no se incluyeron algunos Si el listado es inadecuado porque no se incluyeron algunos grupos o sujetos de la población, cualquier muestra probabilística grupos o sujetos de la población, cualquier muestra probabilística aleatoria proporcionará una estimación de las características del aleatoria proporcionará una estimación de las características del marco, no de la población real.-marco, no de la población real.-

ERRORES DE NO RESPUESTA.-ERRORES DE NO RESPUESTA.- No todas las personas están dispuestas a contestar una encuesta.- No todas las personas están dispuestas a contestar una encuesta.- De hecho, la investigación indica que los individuos de las clases De hecho, la investigación indica que los individuos de las clases económicas alta y bajas tienden a responder con menos frecuencia económicas alta y bajas tienden a responder con menos frecuencia que los individuos de clase media.- El error de no respuesta surge que los individuos de clase media.- El error de no respuesta surge del fracaso al recopilar datos de todos los sujetos de la muestra y del fracaso al recopilar datos de todos los sujetos de la muestra y el resultado es un el resultado es un error de no respuestaerror de no respuesta.- Como el general, no se .- Como el general, no se puede suponer que las personas que no responden son semejantes puede suponer que las personas que no responden son semejantes a aquellas que si responden, es en extremo importante dar a aquellas que si responden, es en extremo importante dar seguimiento a las no respuestas después de un período específico.-seguimiento a las no respuestas después de un período específico.-

Deberán varios intentos, ya sea por correo, teléfono o con Deberán varios intentos, ya sea por correo, teléfono o con encuestador, para convencerlos y que cambien de opinión.- Con encuestador, para convencerlos y que cambien de opinión.- Con base a estos resultados, las estimaciones obtenidas con las base a estos resultados, las estimaciones obtenidas con las respuestas iniciales se combinan con las estimaciones obtenidas respuestas iniciales se combinan con las estimaciones obtenidas con el seguimiento, de manera que la inferencias hechas a partir de con el seguimiento, de manera que la inferencias hechas a partir de la encuesta sean válidas.- El modo de respuesta afecta la tasa de la encuesta sean válidas.- El modo de respuesta afecta la tasa de respuesta.- La entrevista personal y por teléfono casi siempre respuesta.- La entrevista personal y por teléfono casi siempre producen una respuesta más alta que la encuesta por correo, pero a producen una respuesta más alta que la encuesta por correo, pero a un costo más elevado.-un costo más elevado.-

ERRORES DE MUESTREO.-ERRORES DE MUESTREO.-Existen tres razones principales para extraer una Existen tres razones principales para extraer una muestra en lugar de hacer un censo completo: es más muestra en lugar de hacer un censo completo: es más rápido, menos costo y más eficientes.- Sin embargo, en rápido, menos costo y más eficientes.- Sin embargo, en el marco de la población el azar determina quién estará el marco de la población el azar determina quién estará o quién no estará incluido.- El o quién no estará incluido.- El error de muestreoerror de muestreo refleja refleja la heterogeneidad o las diferencias aleatorias, de una la heterogeneidad o las diferencias aleatorias, de una muestra a otra según la probabilidad de que individuos muestra a otra según la probabilidad de que individuos o elementos específicos sean seleccionados en una o elementos específicos sean seleccionados en una muestra determinadas.- Como se observa los resultados muestra determinadas.- Como se observa los resultados de sondeo que se publican en revistas y diarios, se de sondeo que se publican en revistas y diarios, se hacen referencia a un margen de error por ejemplo de hacen referencia a un margen de error por ejemplo de ± ± 4 porciento del valor real.- Este margen de error es el 4 porciento del valor real.- Este margen de error es el error de muestreo.- Este error se puede reducir con error de muestreo.- Este error se puede reducir con tamaños de muestras más grande, aunque esto tamaños de muestras más grande, aunque esto incrementa el costo de la encuesta.- incrementa el costo de la encuesta.-

EL ERROR DE MEDICIÓN.-EL ERROR DE MEDICIÓN.-Cuando se quiere realizar una buena investigación por Cuando se quiere realizar una buena investigación por medio de encuestas, se diseña un cuestionario que medio de encuestas, se diseña un cuestionario que permita reunir información importante.- Los datos permita reunir información importante.- Los datos obtenidos deben ser válidos; es decir, las respuestas obtenidos deben ser válidos; es decir, las respuestas correctas deben ser evaluadas y plantearse de manera correctas deben ser evaluadas y plantearse de manera que arrojen medidas significativas.-que arrojen medidas significativas.-

Pero existe un dilema, es más fácil decir que se obtienen Pero existe un dilema, es más fácil decir que se obtienen mediciones significativas que el simple hecho de mediciones significativas que el simple hecho de obtenerlas.- Por desgracia, las realizaciones de obtenerlas.- Por desgracia, las realizaciones de mediciones está gobernada por lo que es conveniente, mediciones está gobernada por lo que es conveniente, no por lo que se necesita.- Con bastante frecuencia, las no por lo que se necesita.- Con bastante frecuencia, las mediciones que se obtienen son solamente más mediciones que se obtienen son solamente más aproximadas de las mediciones que se desean en aproximadas de las mediciones que se desean en realidad.-realidad.-

El error de medición El error de medición se refiere a la falta de precisión se refiere a la falta de precisión en las respuestas registradas, debido a fallas en la en las respuestas registradas, debido a fallas en la redacción del enunciado de las preguntas, la influencia redacción del enunciado de las preguntas, la influencia del entrevistador en la persona que responde o por el del entrevistador en la persona que responde o por el esfuerzo que realiza la persona que responde.- Se le esfuerzo que realiza la persona que responde.- Se le ha dado mucha atención al error de medición que ha dado mucha atención al error de medición que ocurre por fallas de redacción en el enunciado de las ocurre por fallas de redacción en el enunciado de las preguntas.-preguntas.-

Una pregunta debe ser clara, no ambigua.- Debe Una pregunta debe ser clara, no ambigua.- Debe presentarse en forma objetiva y neutral, se debe evitar presentarse en forma objetiva y neutral, se debe evitar la pregunta guiada.-la pregunta guiada.-

Existe tres fuentes de errores en la medición: Existe tres fuentes de errores en la medición: redacción ambigua de la pregunta, efecto halo, y redacción ambigua de la pregunta, efecto halo, y errores de la persona que contesta.- errores de la persona que contesta.-

El efecto halo se presenta cuando la El efecto halo se presenta cuando la persona que responde se siente obligada persona que responde se siente obligada a complacer al entrevistador.- Este tipo de a complacer al entrevistador.- Este tipo de error puede minimizarse con la error puede minimizarse con la capacitación adecuada en la realización capacitación adecuada en la realización de entrevistas.-de entrevistas.-

El error que proviene de la persona que El error que proviene de la persona que responde se produce cuando ésta realiza responde se produce cuando ésta realiza un esfuerzo demasiado grande o un esfuerzo demasiado grande o demasiado pequeño.- Existen dos formas demasiado pequeño.- Existen dos formas para minimizar esta clase de error: 1) para minimizar esta clase de error: 1) mediante una revisión cuidadosa de los mediante una revisión cuidadosa de los datos y un nuevo o visita a aquellos datos y un nuevo o visita a aquellos individuos cuyas respuesta parecen raras individuos cuyas respuesta parecen raras y 2) al establecer un programa de y 2) al establecer un programa de llamadas aleatorias para verificar la llamadas aleatorias para verificar la confiabilidad de las respuestas.- confiabilidad de las respuestas.-

EJERCICIOS

Ejercicio 1.- Para estimar la edad media de una Ejercicio 1.- Para estimar la edad media de una población de 4000 empleados, se selecciona población de 4000 empleados, se selecciona una muestra aleatoria simple de 40 empleados.-una muestra aleatoria simple de 40 empleados.-

a)a)¿Usaría usted el factor de corrección por ¿Usaría usted el factor de corrección por población finita para calcular el error estándar población finita para calcular el error estándar de la media? Explique por qué.-de la media? Explique por qué.-

b)b)Si la desviación estándar de la población es Si la desviación estándar de la población es σ = σ = 8,2 años, calcule el error estándar, aplicando y 8,2 años, calcule el error estándar, aplicando y sin aplicar el factor de corrección por población sin aplicar el factor de corrección por población finita.- ¿Cuál es el criterio para no tomar en finita.- ¿Cuál es el criterio para no tomar en cuenta ese factor siempre que n/N ≤ 0,05?.-cuenta ese factor siempre que n/N ≤ 0,05?.-

Ejercicio 2.- Se informa en la revista Mercado que entre Ejercicio 2.- Se informa en la revista Mercado que entre sus suscriptores, los que planean comprar un sus suscriptores, los que planean comprar un automóvil nuevo durante los próximos 12 meses automóvil nuevo durante los próximos 12 meses pretenden gastar un promedio de 27100$.- Suponga pretenden gastar un promedio de 27100$.- Suponga que el precio del nuevo vehículo, para la población de que el precio del nuevo vehículo, para la población de suscriptores de Mercado tiene una media de suscriptores de Mercado tiene una media de μμ = = 27100$ y que su desviación estándar es de 27100$ y que su desviación estándar es de σσ = 5200$.- = 5200$.-

a)a) ¿Cuál es la probabilidad de que el precio de la media ¿Cuál es la probabilidad de que el precio de la media de la muestra del nuevo vehículo quede a 1000$ o de la muestra del nuevo vehículo quede a 1000$ o menos de la media de la población, simenos de la media de la población, si la muestra es de la muestra es de 30 suscriptores?.-30 suscriptores?.-

b)b) ¿Cuál es la probabilidad de que el precio de la media ¿Cuál es la probabilidad de que el precio de la media de la muestra del nuevo vehículo quede a 1000$ o de la muestra del nuevo vehículo quede a 1000$ o menos de la media de la población, si la muestra es de menos de la media de la población, si la muestra es de 50 suscriptores?.-50 suscriptores?.-

c) ¿Cuál es la probabilidad de que el precio de la media c) ¿Cuál es la probabilidad de que el precio de la media de la muestra del nuevo vehículo quede a 1000$ o de la muestra del nuevo vehículo quede a 1000$ o menos de la media de la población, si la muestra es menos de la media de la población, si la muestra es de 100 suscriptores?.-de 100 suscriptores?.-

d)d) ¿Recomendaría usted un tamaño muestral de 30, 50 ¿Recomendaría usted un tamaño muestral de 30, 50 o 100, si se desea tener una probabilidad mínima de o 100, si se desea tener una probabilidad mínima de 0,90 de que ese precio quede a 1000$ o menos de la 0,90 de que ese precio quede a 1000$ o menos de la media de la población?.-media de la población?.-

SoluciónSolución

Ejercicio 3.- La compañía de baterías B afirma que sus baterías tienen Ejercicio 3.- La compañía de baterías B afirma que sus baterías tienen una vida media de 60 meses y una desviación estándar de 9 una vida media de 60 meses y una desviación estándar de 9 meses.- Un grupo de consumidores que está poniendo a prueba meses.- Un grupo de consumidores que está poniendo a prueba esta afirmación compra 36 baterías y determina la vida media.-esta afirmación compra 36 baterías y determina la vida media.-

a)a) Calcule el error estándar de la media.-Calcule el error estándar de la media.-

b)b) Suponiendo que lo que afirma B es cierto.- ¿Cuál es la Suponiendo que lo que afirma B es cierto.- ¿Cuál es la probabilidad de que la vida media de la muestra sea menor que probabilidad de que la vida media de la muestra sea menor que 58?.-58?.-

c)c) Determine la probabilidad de que la vida media de la muestra esté Determine la probabilidad de que la vida media de la muestra esté entre 57 y 63.-entre 57 y 63.-

d)d) Suponga que la vida media de la población real de las baterías de Suponga que la vida media de la población real de las baterías de B es de 55 meses.- Averigüe la probabilidad de que la vida media B es de 55 meses.- Averigüe la probabilidad de que la vida media de la muestra sea por lo menos 60.- de la muestra sea por lo menos 60.-

e)e) Si la media muestral del grupo de consumidores es de 55.- ¿A que Si la media muestral del grupo de consumidores es de 55.- ¿A que conclusiones llegaría usted si fuera el analista?.-conclusiones llegaría usted si fuera el analista?.-

SoluciónSolución

Ejercicio 4.- Una población se compone de las siguientes unidades Ejercicio 4.- Una población se compone de las siguientes unidades producidas hoy por cuatro trabajadores:producidas hoy por cuatro trabajadores:

TrabajadoresTrabajadores AA BB CC DDUnidades producidasUnidades producidas 55 33 77 88

a)a) Calcule la media y la desviación estándar de la población.-Calcule la media y la desviación estándar de la población.-

b)b) Elabore una tabla que presente todas las muestras posibles de Elabore una tabla que presente todas las muestras posibles de dos elementos (muestreo con reemplazo).-dos elementos (muestreo con reemplazo).-

c)c) Calcule la media de cada una de las muestras de tamaño dos.-Calcule la media de cada una de las muestras de tamaño dos.-

d)d) Calcule la media de esta distribución muestral.- ¿Es igual esta Calcule la media de esta distribución muestral.- ¿Es igual esta media a la media de la población?.-media a la media de la población?.-

e)e) Calcule el error estándar de esta distribución muestral .-Calcule el error estándar de esta distribución muestral .-

f)f) Calcule la desviación estándar de la distribución muestral de las Calcule la desviación estándar de la distribución muestral de las medias.- ¿Es esta desviación estándar igual al error estándar de la medias.- ¿Es esta desviación estándar igual al error estándar de la media?.-media?.-

g)g) ¿Qué distribución tiene menor variabilidad, la distribución ¿Qué distribución tiene menor variabilidad, la distribución poblacional o la distribución muestral de las medias de la poblacional o la distribución muestral de las medias de la muestras?.-muestras?.-

Ejercicio 5Ejercicio 5.- La AFIP está considerando una campaña .- La AFIP está considerando una campaña publicitaria en el programa de televisión Noche de Goles, publicitaria en el programa de televisión Noche de Goles, que se transmite los días martes.- El martes pasado este que se transmite los días martes.- El martes pasado este programa tuvo un porcentaje de participación en el rating programa tuvo un porcentaje de participación en el rating global de 25.- Lucia Gómez, la directora de relaciones global de 25.- Lucia Gómez, la directora de relaciones públicas de la AFIP sospecha que el porcentaje real es públicas de la AFIP sospecha que el porcentaje real es menor que el 25%.- Contrata a una agencia de menor que el 25%.- Contrata a una agencia de investigación independiente para tomar una muestra investigación independiente para tomar una muestra aleatoria de 750 televidentes que estén viendo la aleatoria de 750 televidentes que estén viendo la televisión el martes pasado.- La agencia encuentra que televisión el martes pasado.- La agencia encuentra que 175 estaban viendo Noche de Goles.- ¿Presenta estos 175 estaban viendo Noche de Goles.- ¿Presenta estos datos suficiente evidencia para contradecir los rating datos suficiente evidencia para contradecir los rating dados por la empresa que los mide?.- dados por la empresa que los mide?.-

SoluciónSolución

Ejercicio 6.- Los registros de inversiones muestran que Ejercicio 6.- Los registros de inversiones muestran que la tasa promedio de rendimiento para las firmas que la tasa promedio de rendimiento para las firmas que están en la industria de consumo es del 30 %, con una están en la industria de consumo es del 30 %, con una desviación estándar del 12%.- Si se selecciona una desviación estándar del 12%.- Si se selecciona una muestra de 250 de tales firmas.- ¿Cuál es la probabilidad muestra de 250 de tales firmas.- ¿Cuál es la probabilidad de que la media de estas firmas exceda el 31%?.- de que la media de estas firmas exceda el 31%?.-

SoluciónSolución

Ejercicio 7.- Solo el 22% de todos las firmas en la Ejercicio 7.- Solo el 22% de todos las firmas en la industria de bienes de consumo comercializa sus industria de bienes de consumo comercializa sus productos directamente con el consumidor final.- Si una productos directamente con el consumidor final.- Si una muestra de 250 firmas revela una proporción de más del muestra de 250 firmas revela una proporción de más del 20% que se compromete en el mercadeo directo, usted 20% que se compromete en el mercadeo directo, usted planea hacer su siguiente compra a las firmas de esta planea hacer su siguiente compra a las firmas de esta industria.- ¿Qué tan probable es que usted gaste su industria.- ¿Qué tan probable es que usted gaste su dinero bien ganado en otras parte?.-dinero bien ganado en otras parte?.-

SoluciónSolución

8.- La Asociación de consumidores de productos 8.- La Asociación de consumidores de productos manufacturados, informa que el 76 % de los manufacturados, informa que el 76 % de los consumidores leen los ingredientes que aparecen en la consumidores leen los ingredientes que aparecen en la etiqueta de los productos que ofrecen.- etiqueta de los productos que ofrecen.-

Suponga que la proporción de población es P = 0,76 y que Suponga que la proporción de población es P = 0,76 y que de la población se selecciona una muestra de 400 de la población se selecciona una muestra de 400 consumidores.-consumidores.-

a)a) Describa la distribución de la proporción muestral Describa la distribución de la proporción muestral p., p., que es la proporción en la muestra de consumidores que es la proporción en la muestra de consumidores que leen la lista de ingredientes.-que leen la lista de ingredientes.-

b) ¿Cuál es la probabilidad de que la proporción muestral b) ¿Cuál es la probabilidad de que la proporción muestral este a este a 0,03 de la proporción poblacional?.- 0,03 de la proporción poblacional?.-

c) ¿Cuál es la probabilidad de que la proporción muestral c) ¿Cuál es la probabilidad de que la proporción muestral este a este a 0,03 de la proporción poblacional, pero para 0,03 de la proporción poblacional, pero para un tamaño de muestra n = 750 consumidores?.-un tamaño de muestra n = 750 consumidores?.-

9.- Carlos Toledo, presidente de cierta empresa 9.- Carlos Toledo, presidente de cierta empresa de telefonía , esta molesto por el número de de telefonía , esta molesto por el número de teléfonos producidos por su empresa que tienen teléfonos producidos por su empresa que tienen auriculares defectuosos.- En promedio, 110 auriculares defectuosos.- En promedio, 110 teléfonos al día son devueltos por este problema, teléfonos al día son devueltos por este problema, con una desviación estándar de 64.-El señor con una desviación estándar de 64.-El señor Toledo ha decidido que ordenará la cancelación Toledo ha decidido que ordenará la cancelación del proceso a menos que puedan estar 80% del proceso a menos que puedan estar 80% seguro de que en promedio, no se devolverán seguro de que en promedio, no se devolverán más de 120 teléfonos al día durante los más de 120 teléfonos al día durante los siguientes 48 días.- ¿Terminará ordenando la siguientes 48 días.- ¿Terminará ordenando la cancelación del proceso?.- cancelación del proceso?.-

10.- Para una población de N = 250 que sigue una 10.- Para una población de N = 250 que sigue una distribución normal con una media de 60 y una distribución normal con una media de 60 y una desviación estándar de 5,0, desviación estándar de 5,0, determine el error estándar determine el error estándar de la mediade la media de una distribución muestral basada en los de una distribución muestral basada en los siguientes tamaños de muestra, si el muestreo se hace siguientes tamaños de muestra, si el muestreo se hace sin reemplazo:sin reemplazo:

a) n = 10 b) n =50 c) n = 100a) n = 10 b) n =50 c) n = 100

11.- El salario por hora en la planta de Laboratorios Bagó 11.- El salario por hora en la planta de Laboratorios Bagó para los 500 empleados tiene un promedio de 8,50$ con para los 500 empleados tiene un promedio de 8,50$ con una desviación estándar de 2,20$.- Determine la una desviación estándar de 2,20$.- Determine la probabilidad de que el salario medio de una muestra de probabilidad de que el salario medio de una muestra de 100 trabajadores sea:100 trabajadores sea:

a) Más de 9,00$.- a) Más de 9,00$.- b) Entre 8,15 y 8,40$.- b) Entre 8,15 y 8,40$.-

12.- Un investigador informa que los resultados de una 12.- Un investigador informa que los resultados de una encuesta diciendo que el error estándar de la media es encuesta diciendo que el error estándar de la media es igual a 20.- La desviación estándar de la población es igual a 20.- La desviación estándar de la población es de 500.-de 500.-

a) De que tamaño fue la muestra que se uso en esta a) De que tamaño fue la muestra que se uso en esta encuesta.-encuesta.-

b) ¿Cuál es la probabilidad de que el estimado quede a b) ¿Cuál es la probabilidad de que el estimado quede a ± ± 25 de la media poblacional?.-25 de la media poblacional?.-

SoluciónSolución

Repta: a) 625 b= 0,7888 Repta: a) 625 b= 0,7888

13.- Café La Virginia SA, está considerando la posibilidad 13.- Café La Virginia SA, está considerando la posibilidad de abrir un negocio de cafés en la ciudad A, ciudad de de abrir un negocio de cafés en la ciudad A, ciudad de 50000 habitantes.- Según algunos estudios de mercado 50000 habitantes.- Según algunos estudios de mercado realizados anteriormente, sus negocios tendrán éxito realizados anteriormente, sus negocios tendrán éxito en las ciudades de ese tamaño si la renta anual per en las ciudades de ese tamaño si la renta anual per cápita es de más de 60000$.- También se sabe que la cápita es de más de 60000$.- También se sabe que la desviación estándar de la renta es de 5000$.- Se ha desviación estándar de la renta es de 5000$.- Se ha obtenido una muestra aleatoria de 36 personas y la obtenido una muestra aleatoria de 36 personas y la renta media es de 62300$.- ¿Constituye esta muestra renta media es de 62300$.- ¿Constituye esta muestra una prueba para concluir que debe abrirse un una prueba para concluir que debe abrirse un negocio?.-negocio?.-

SoluciónSolución

Resp: 0.0029Resp: 0.0029

14.- Cuando un proceso de producción funciona 14.- Cuando un proceso de producción funciona correctamente, el número de unidades producidas por correctamente, el número de unidades producidas por hora sigue una distribución normal que tiene una hora sigue una distribución normal que tiene una media de 92,0 y una desviación estándar de 3,6.- Se ha media de 92,0 y una desviación estándar de 3,6.- Se ha tomado una muestra aleatoria de cuatro horas tomado una muestra aleatoria de cuatro horas distintas.-distintas.-

a)a) Halle la media de la distribución de las medias Halle la media de la distribución de las medias muestrales en el muestreo.-muestrales en el muestreo.-

b)b) Halle la variancia de la media muestral.-Halle la variancia de la media muestral.-c)c) Halle el error estándar de la distribución muestral.Halle el error estándar de la distribución muestral.d)d) ¿Cuál es la probabilidad de que la media muestral se ¿Cuál es la probabilidad de que la media muestral se

de más de 93,0 unidades?.-de más de 93,0 unidades?.-

SoluciónSolución

15.- La duración de las lámparas de un fabricante tiene 15.- La duración de las lámparas de un fabricante tiene una media de 1200 horas y una desviación estándar de una media de 1200 horas y una desviación estándar de 400 horas.- La población sigue una distribución 400 horas.- La población sigue una distribución normal.- Suponga que compra nueve lámparas que normal.- Suponga que compra nueve lámparas que puede considerarse que son una muestra aleatoria de puede considerarse que son una muestra aleatoria de la producción del fabricante.-la producción del fabricante.-

a) ¿Cuál es la media de la media muestral de la a) ¿Cuál es la media de la media muestral de la duración?.-duración?.-

b) ¿Cuál es la variancia de la media muestral?.-b) ¿Cuál es la variancia de la media muestral?.-c) ¿Cuál es el error estándar de la media muestral?.-c) ¿Cuál es el error estándar de la media muestral?.-d) ¿Cuál es la probabilidad de que esas nueve lámparas d) ¿Cuál es la probabilidad de que esas nueve lámparas

tengan en promedio una duración de menos de 1050 tengan en promedio una duración de menos de 1050 horas?.-horas?.-

SoluciónSolución

16.- El precio medio de ventas de las viviendas nuevas 16.- El precio medio de ventas de las viviendas nuevas fue en una ciudad de 115000 $ durante un año.- La fue en una ciudad de 115000 $ durante un año.- La desviación estándar poblacional fue de 25000$.- Se desviación estándar poblacional fue de 25000$.- Se extrajo una muestra aleatoria de 100 viviendas nuevas extrajo una muestra aleatoria de 100 viviendas nuevas de esta ciudad.-de esta ciudad.-

a)a) ¿Cuál es la probabilidad de que la media muestral de ¿Cuál es la probabilidad de que la media muestral de los precios de venta fuera de más de 110000$?.-los precios de venta fuera de más de 110000$?.-

b)b) ¿Cuál es la probabilidad de que la media muestral de ¿Cuál es la probabilidad de que la media muestral de los precios de venta estuvieran comprendida entre los precios de venta estuvieran comprendida entre 113000 y 117000$?.-113000 y 117000$?.-

c)c) ¿Cuál es la probabilidad de que la media muestral de ¿Cuál es la probabilidad de que la media muestral de los precios de venta estuvieran comprendida entre los precios de venta estuvieran comprendida entre 114000 y 116000$?.-114000 y 116000$?.-

d)d) Suponga que una vez realizados estos cálculos un Suponga que una vez realizados estos cálculos un amigo le dijera que es casi seguro que la distribución amigo le dijera que es casi seguro que la distribución de los precios de venta de las viviendas nuevas de de los precios de venta de las viviendas nuevas de esta ciudad no sea normal.- ¿Qué respondería?.- esta ciudad no sea normal.- ¿Qué respondería?.-

17.- Se ha tomado una muestra aleatoria de 16 directores 17.- Se ha tomado una muestra aleatoria de 16 directores de empresas de una gran ciudad para estimar el de empresas de una gran ciudad para estimar el tiempo medio que tardan diariamente en desplazarse tiempo medio que tardan diariamente en desplazarse al trabajo.- Suponga que el tiempo poblacional sigue al trabajo.- Suponga que el tiempo poblacional sigue una distribución normal que tiene una media de 87 una distribución normal que tiene una media de 87 minutos y una desviación estándar de 22 minutos.-minutos y una desviación estándar de 22 minutos.-

a)a) ¿Cuál es el error estándar de la media muestral de los ¿Cuál es el error estándar de la media muestral de los tiempos de desplazamiento?.-tiempos de desplazamiento?.-

b)b) ¿Cuál es la probabilidad de que la media muestral sea ¿Cuál es la probabilidad de que la media muestral sea de menos de 100 minutos?.-de menos de 100 minutos?.-

c)c) ¿Cuál es la probabilidad de que la media muestral sea ¿Cuál es la probabilidad de que la media muestral sea de más de 80 minutos?.-de más de 80 minutos?.-

d)d) ¿Cuál es la probabilidad de que media muestral esté ¿Cuál es la probabilidad de que media muestral esté fuera del intervalo 85; 95 minutos?.-fuera del intervalo 85; 95 minutos?.-

SoluciónSolución

18.- En un curso de Economía hay 250 estudiantes.- Se 18.- En un curso de Economía hay 250 estudiantes.- Se pide a cada miembro de una muestra aleatoria de 50 pide a cada miembro de una muestra aleatoria de 50 de estos estudiantes que estime la cantidad de tiempo de estos estudiantes que estime la cantidad de tiempo que ha dedicado a hacer los ejercicios que puso el que ha dedicado a hacer los ejercicios que puso el profesor la semana pasada.- profesor la semana pasada.-

Suponga que la desviación estándar poblacional es de Suponga que la desviación estándar poblacional es de 30 minutos.-30 minutos.-

a)a) ¿Cuál es la probabilidad de que la media muestral sea ¿Cuál es la probabilidad de que la media muestral sea más de 2,5 minutos superior a la media poblacional?.-más de 2,5 minutos superior a la media poblacional?.-

b)b) ¿¿Cuál es la probabilidad de que la media muestral sea Cuál es la probabilidad de que la media muestral sea más de 5 minutos inferior a la media poblacional?.-más de 5 minutos inferior a la media poblacional?.-

c)c) ¿Cuál es la probabilidad de que la media muestral ¿Cuál es la probabilidad de que la media muestral difiera en más de 10 minutos de la media difiera en más de 10 minutos de la media poblacional?.-poblacional?.-

Resp: a) 0.2546 b) 0.0951 c) 0.0086Resp: a) 0.2546 b) 0.0951 c) 0.0086

18 (bis).- El presidente de Distribuidores Díaz SA, cree 18 (bis).- El presidente de Distribuidores Díaz SA, cree que el 30 por ciento de los pedidos a su empresa que el 30 por ciento de los pedidos a su empresa provienen de clientes nuevos.- Se va a usar una provienen de clientes nuevos.- Se va a usar una muestra aleatoria de 100 pedidos para comprobar lo muestra aleatoria de 100 pedidos para comprobar lo que dice, que P = 0,30.-que dice, que P = 0,30.-

a)a) Suponga que el Presidente está en lo correcto y que P Suponga que el Presidente está en lo correcto y que P

= 0,30.- ¿Cual es la distribución de = 0,30.- ¿Cual es la distribución de p para este p para este estudio?.-estudio?.-

b)b) ¿Cuál es la probabilidad de que la proporción ¿Cuál es la probabilidad de que la proporción muestral de muestral de p este entre 0,20 y 0,40?.-p este entre 0,20 y 0,40?.-

c)c) ¿Cuál es la probabilidad de que la proporción ¿Cuál es la probabilidad de que la proporción muestral este a muestral este a ± 0,05 de la proporción poblacional P ± 0,05 de la proporción poblacional P = 0,30?.-= 0,30?.-

SoluciónSolución

19.- Se ha extraído una muestra aleatoria de 250 19.- Se ha extraído una muestra aleatoria de 250 viviendas de una gran población de viviendas viviendas de una gran población de viviendas antiguas para estimar la proporción cuya antiguas para estimar la proporción cuya instalación eléctrica es peligrosa.- Si el 30 por instalación eléctrica es peligrosa.- Si el 30 por ciento de las viviendas tiene realmente una ciento de las viviendas tiene realmente una instalación eléctrica peligrosa, ¿Cuál es la instalación eléctrica peligrosa, ¿Cuál es la probabilidad de que la proporción de probabilidad de que la proporción de viviendas de la muestra que tienen una viviendas de la muestra que tienen una instalación eléctrica peligrosa esté instalación eléctrica peligrosa esté comprendida entre el 25 y el 35 por ciento?.-comprendida entre el 25 y el 35 por ciento?.-

SoluciónSolución

Resp: 0.9146Resp: 0.9146

20.- Se ha estimado que el 43 por ciento de los Licenciados en Administración de Empresas cree que la asignatura de ética empresarial es muy importante para impartir valores éticos a los estudiantes.- Halle la probabilidad de que más de la mitad de una muestra aleatoria de 80 licenciados crea eso.-

Resp: 0.1020

21.- Se toma una muestra aleatoria de 100 votantes para estimar la proporción del electorado que esta a favor de una subida del impuesto sobre la nafta, a fin de obtener más ingreso para reparar las autopistas.- ¿Cuál es el valor más alto que puede tomar el error estándar de la proporción muestral que esta a favor de esta medida?.-

22.- Según la Agencia Tributaria el 75% de todas las declaraciones de la renta da lugar a una devolución.- Se ha tomado una muestra aleatoria de 100 declaraciones de la renta:a) ¿Cuál es la media de la distribución de la proporción muestral de declaraciones que dan lugar a una devolución?.-b) ¿Cuál es la variancia de la proporción muestral?.-c) ¿Cuál es el valor del error estándar de la proporción muestral?.-d) ¿Cuál es la probabilidad de que la proporción muestral sea superior a 0,80?.-

Solución

23.- El dueño de una tienda de discos ha comprobado que el 20% de los clientes que entran en su tienda realizan alguna compra.- Cierta mañana, entraron en esta tienda 180 personas, que pueden ser consideradas como una muestra aleatoria de todos sus clientes,

a) ¿Cuál será la media de la proporción muestral de clientes que realizaron una compra?.-

b) ¿Cuál es la variancia de la proporción muestral?.-

c) ¿Cuál es el error estándar de la proporción muestral?.-

d) ¿Cuál es la probabilidad de que la proporción muestral sea menor que 0,15?.-

24.- El administrador de una gran cadena de hospitales opina que, de entre todos sus pacientes, un 30% generará facturas que se pagan con más de dos días de retraso.- Se toma una muestra aleatoria de 200 pacientes:

a) ¿Cuál es el error estándar de la proporción mensual de pacientes con facturas cuyo pago se retrasará más de dos meses?.-

b) ¿Cuál es la probabilidad de que esta proporción muestral sea inferior a 0,25?

c) ¿Cuál es la probabilidad de que esta proporción muestral sea superior a 0,33?.-

d) ¿Cuál es la probabilidad de que la proporción muestral esté entre 0,27 y 0,33?.-

25.- Una asociación benéfica ha comprobado que el 42% de las personas que hicieron alguna donación el año anterior donarán de nuevo este año.- Se toma una muestra de 300 donantes del año anterior:

a) ¿Cuál es el error estándar de la proporción muestral de donantes que donarán de nuevo este año?.-

b) ¿Cuál es la probabilidad de que más de la mitad de los individuos de esta muestra vuelvan a ser donantes este año?.-

c) ¿Cuál es la probabilidad de que esta proporción muestral este entre 0,40 y 0,45?.-

26.-Una corporación esta considerando una nueva emisión de bonos convertibles.- Sus directores piensan que la oferta resultará atractiva para el 20% de los accionistas actuales.- Supongamos que su creencia es acertada.- Se toma una muestra aleatoria de 130 accionistas.-

a) ¿Cuál es el error estándar de la proporción muestral de accionistas que encontrarán atractiva la oferta?.-

b) ¿Cuál es la probabilidad de que esta proporción muestral sea superior a 0,15?.-

c) ¿Cuál es la probabilidad de que esta proporción muestral esté entre 0,18 y 0,22?.-

d) Supongamos que se toma ahora una muestra de 500 accionistas.- Sin realizar los cálculos, razonar si las probabilidades correspondientes a los apartados b) y c) resultarán en este caso mayores, menores o igual que las calculadas para la muestra anterior.-

27.- Una universidad cuenta con un total de 528 estudiantes de primer curso.- De ellos 211 llevan su propio ordenador a la universidad.- Se toma una muestra aleatoria de 120 estudiantes de primer curso:

a) ¿Cuál es el error estándar de de la proporción muestral de alumnos que llevan su propio ordenador a la universidad?.-

b) ¿Cuál es la probabilidad de que la proporción muestral sea menor que 0,33?.-

c) ¿Cuál es la probabilidad de que la proporción muestral se encuentre entre 0,50 y 0,60?.-

28.- Una fábrica tiene a 439 obreros contratados.- De ellos 239 están preocupados sobre sus futuras pensiones.- Se toma una muestra de 80 obreros y se les interroga con el fin de estimar la proporción de la población que esta preocupada sobre el futuro de la pensión.-

a) ¿Cuál es el error estándar de la proporción muestral de obreros preocupados?.-

b) ¿Cuál es la probabilidad de que la proporción muestral sea menor que 0,50?.-

c)¿Cuál es la probabilidad de que la proporción muestral se encuentre entre 0,5 y 0,6?.-

29.- El año pasado, el 75 por ciento de las compras con tarjetas de crédito en los grandes tiendas Beige fue por menos de 150$.- En una muestra aleatoria de 200 compras con tarjetas de créditos, que probabilidad hay de que las compras de menos de 150$ constituyan:

a)Entre 70 y 80 por ciento.-b) Más de 80 por ciento.-c) Más de 70 por ciento.-

Solución