小林 佑輔

円板形領域損傷モデルにおける 最大流最小カット定理と高速アルゴリズム

joint work with 大槻 兼資

東京大学 情報理工学系研究科

助教の会, 2014年 4月9日

（東大 情報理工 M2，ERATO 理論グループRA）

辺連結度 ～信頼性の指標～

グラフが k 辺連結 どの k-1 辺を取り除いても連結

def

２辺連結 だが

３辺連結でない

ネットワークの信頼性の指標

グラフの基本的な特徴量

辺連結度 ～信頼性の指標～

ネットワークの信頼性の指標

グラフの基本的な特徴量 最大 s-t 辺素パス ＝ 最小 s-t 辺カット

高速なアルゴリズム

s t

[Menger 1927]

[Ford-Fulkerson 1956] 以来 多数の研究

グラフが k 辺連結 どの k-1 辺を取り除いても連結

def

s と t が

s と t が

２辺連結 だが

３辺連結でない

円板形領域損傷モデル Neumayer-Efrat-Modiano (INFOCOM 2012)

辺連結度： リンクの故障に対する信頼性 点連結度： ノードの故障に対する信頼性

地理的な情報を考慮

円板形領域損傷モデル: 円板 中の辺・頂点がすべて損傷

地震や電磁パルス攻撃による影響

集積回路の物理的損傷

通信ネットワークの電波干渉回避

円板形領域損傷モデルにおける 「最大流・最小カット問題」

研究対象

円板形領域損傷モデル

円板最小カット問題 （Min-Cut）

入力: 平面グラフ G=(V, E)

s, t ∈ V , 長さ rb, rp

出力: s と t を分離する 最小個数の円板

s t

rp

rb

中心は の外側

円板最大流問題 （Max-Flow）

出力: 最大本数の s-t パス s.t. どの2本のパスも同じ円板 で損傷しない

【参考】 通常の最大流・最小カット

円板最小カット問題 （Min-Cut）

入力: 平面グラフ G=(V, E)

s, t ∈ V , 長さ rb, rp

出力: s と t を分離する 最小個数の 辺

s t

円板最大流問題 （Max-Flow）

出力: 最大本数の s-t パス s.t. どの2本のパスも同じ 辺 を通らない

円板形領域損傷モデル

円板最小カット問題 （Min-Cut）

入力: 平面グラフ G=(V, E)

s, t ∈ V , 長さ rb, rp

出力: s と t を分離する 最小個数の円板

s t

rp

rb

中心は の外側

円板最大流問題 （Max-Flow）

出力: 最大本数の s-t パス s.t. どの2本のパスも同じ円板 で損傷しない

本研究の成果

最大最小定理

Max-Flow = min 𝑙(𝐶)

𝑤(𝐶) C ： 閉曲線

アルゴリズム

Max-Flow + 1 ≥ Min-Cut ≥ Max-Flow

Max-Flow と Min-Cut を求める高速アルゴリズム

cf. 辺素パスなら Max-Flow = Min-Cut

初の多項式アルゴリズム Neumayer et al. (2012) より高速

計算機実験

頂点数１万程度のグラフで Max-Flow, Min-Cut を高速に計算

本研究の成果

最大最小定理

Max-Flow = min 𝑙(𝐶)

𝑤(𝐶) C ： 閉曲線

アルゴリズム

Max-Flow + 1 ≥ Min-Cut ≥ Max-Flow

Max-Flow と Min-Cut を求める高速アルゴリズム

cf. 辺素パスなら Max-Flow = Min-Cut

初の多項式アルゴリズム Neumayer et al. (2012) より高速

計算機実験

頂点数１万程度のグラフで Max-Flow, Min-Cut を高速に計算

計算機実験 1000 頂点 （ランダム）

: 半径7 , : 半径30

計算環境 Core i7, 2.8 GHz メモリ 8GB

Max-Flow, Min-cut を 1 秒程度で計算

本研究の成果

最大最小定理

Max-Flow = min 𝑙(𝐶)

𝑤(𝐶) C ： 閉曲線

アルゴリズム

Max-Flow + 1 ≥ Min-Cut ≥ Max-Flow

Max-Flow と Min-Cut を求める高速アルゴリズム

cf. 辺素パスなら Max-Flow = Min-Cut

初の多項式アルゴリズム Neumayer et al. (2012) より高速

計算機実験

頂点数１万程度のグラフで Max-Flow, Min-Cut を高速に計算

Max-Flow アルゴリズム

s と t が同一平面上にある場合 (＋ 付加条件)

s t

「上」 から順に 貪欲に パスを選べば良い

同じ で損傷しない中で一番「上」

出力: 最大本数の s-t パス s.t. どの2本のパスも同じ円板 で損傷しない

Max-Flow アルゴリズム

s と t が同一平面上にある場合 (＋ 付加条件)

一般の場合

「上」 から順に 貪欲に パスを選べば良い

同じ で損傷しない中で一番「上」

s t

貪欲に パスを選ぶことを繰り返す

Max-Flow アルゴリズム

s と t が同一平面上にある場合 (＋ 付加条件)

一般の場合

「上」 から順に 貪欲に パスを選べば良い

同じ で損傷しない中で一番「上」

s t

貪欲に パスを選ぶことを繰り返す

十分な回数繰り返せば Max-Flow

本研究の成果

最大最小定理

Max-Flow = min 𝑙(𝐶)

𝑤(𝐶) C ： 閉曲線

アルゴリズム

Max-Flow + 1 ≥ Min-Cut ≥ Max-Flow

Max-Flow と Min-Cut を求める高速アルゴリズム

cf. 辺素パスなら Max-Flow = Min-Cut

初の多項式アルゴリズム Neumayer et al. (2012) より高速

計算機実験

頂点数１万程度のグラフで Max-Flow, Min-Cut を高速に計算

最大最小定理 （円板形領域損傷モデル）

t s

Max-Flow = 1 Min-Cut = 2

Neumayer et al. (2012) の例

最大最小定理

Max-Flow = min 𝑙(𝐶)

𝑤(𝐶) C ： 閉曲線

Max-Flow + 1 ≥ Min-Cut ≥ Max-Flow

cf. 辺素パスなら Max-Flow = Min-Cut

証明は [McDiarmid, Reed, Schrijver, Shepherd, 1994] のアイディアを利用

最大最小定理 （≤ の証明）

t s

Max-Flow = 1 Min-Cut = 2

最大最小定理

Max-Flow = min 𝑙(𝐶)

𝑤(𝐶) C ： 閉曲線

s t

Max-Flow = 1 Min-Cut = 2

C

w(C) : 回転数 C が s と t を分離する回数

l(C) : 長さ

同じ面

最大最小定理 （≤ の証明）

最大最小定理

Max-Flow = min 𝑙(𝐶)

𝑤(𝐶) C ： 閉曲線

s t

Max-Flow = 1 Min-Cut = 2

C

w(C) : 回転数 C が s と t を分離する回数

l(C) : 長さ

同じ面

最大最小定理 （≤ の証明）

最大最小定理

Max-Flow = min 𝑙(𝐶)

𝑤(𝐶) C ： 閉曲線

w(C) ・ Max-Flow ≤ l(C)

2 3

Max-Flow ≤ 𝑙(𝐶)𝑤(𝐶)

1

関連研究： 最大誘導パス

最大誘導パス問題 入力: 平面グラフ G=(V, E)

s, t ∈ V

出力: 最大本数の 誘導 （induced） s-t パス

s t s t

隣りあう頂点を通らない

Not induced Induced

McDiarmid, Reed, Schrijver, Shepherd: Induced Circuits in Planar Graphs, JCTB, 1994.

最大誘導パス問題に対する

最大最小定理 アルゴリズム

McDiarmid et al., 1994

円板形領域損傷モデルに応用

本研究

まとめ

• 最大最小定理

• アルゴリズム

• 計算機実験

円板形領域損傷モデルの 「最大流・最小カット問題」 に対する

今後の課題

実問題への適用

「最先端の理論的結果」 と 「現実に近いモデル」 との融合

そもそもゴールをどこに設定？ 応用側との共同研究？ ソースの公開？

現状： INFOCOM 等の論文紹介 → 適用できる手法を考える