Difdivididas

Universidad de Guadalajara Centro Universitario de Ciencias Exactas e Ingenierías

División de Ciencias Básicas

Departamento de Matemáticas

Interpolación por Diferencias Divididas La forma más simple de interpolación es conectar dos puntos con una línea recta;

f(x)

f(x )

f(x )

x

1

2

1 xxxx2xxxxxxxx

f(x)

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

( )

Interpolación Lineal de Primer Orden

Entre más pequeño sea el intervalo entre los puntos, más exacta es la aproximación, el término;

( ) ( )

Es una aproximación por diferencias divididas que representa a la pendiente o primera derivada.

Ejemplo: Calcular el logaritmo natural de 2 utilizando interpolación lineal entre los puntos a= 1 y b=6.

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

( )

( )

( )

( )

( )

( ) ( )

( )( )




Usando un intervalo más pequeño:

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

( )

( )

( )

( )

( )

( ) ( )

( )( )

El error se debe a que se aproxima una curva mediante una línea recta, una estrategia de aproximación mejorada

es introducir una curvatura que conecta a los puntos, con un polinomio de segundo orden:

( ) ( ) ( )( ) Ecuación 1

( )

Sea;

( )

Substituyendo en la ecuación 1, x = x0 se obtiene;

( ) Ecuación 2

Substituyendo la ecuación 2 en la ecuación 1, para x = x1 se obtiene;

( ) ( )

Ecuación 3

Substituyendo la ecuación 2 y 3 en la ecuación 1, para x = x2 se obtiene;




( ) ( )

( ) ( )

b1 representa la pendiente de la línea que une los puntos x0 y x1

b2(x-x0)(x-x1) introduce la curvatura de segundo orden

b2 es la aproximación por diferencias divididas de la segunda derivada

Ejemplo: Calcular el logaritmo natural de 2 usando un ajuste de segundo orden con tres puntos, x0 = 1, x1= 4 y

x2= 6

Solución:

( ) ( ) ( )

( )

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( ) ( )( )

( ) ( ) ( )( )

Para x = 2 se obtiene

( ) ( ) ( )( )

( ) ( )

( )

( ) ( )

( )( )

Polinomio General de Interpolación por Diferencias Divididas de Newton




( ) ( ) ( )( ) ( ) Ecuación a

Se requieren n+1 puntos para obtener un polinomio de enésimo orden, con estos datos se evalúan los coeficien-

tes bn.

( ) Ecuación b

( ) Ecuación c

( ) Ecuación d

.

.

.

( ) Ecuación e

La primera diferencia dividida se representa con;

( ) ( ) ( )

La segunda diferencia dividida finita se representa la diferencia de las dos primeras diferencias divididas;

( ) ( ) ( )

La enésima diferencia dividida es;

( ) ( ) ( )

Se usan las ecuaciones b, c, d, y e para evaluar los coeficientes de la ecuación a, se obtiene;

( ) ( ) ( )[ ( )] ( )( )[ ( )]

( )( ) ( )[ ( )] Polinomio de interpolación con diferencias divididas de Newton

i xi f(xi) 1era 2nda 3era

0 x0 f(x0) f(x1, x0) f(x2, x1, x0) … f(x3, x2, x1, x0)...

1 x1 f(x1) f(x2, x1) f(x3, x2, x1)

2 x2 f(x2) f(x3, x2)

3 x3 f(x3)

Naturaleza recursiva de las diferencias divididas finitas de Newton




Ejemplo;

Calcular el logaritmo natural de 2 usando un polinomio de interpolación de newton con diferencias divididas de

tercer orden, x0 = 1, x1= 4 x2= 6 y x3= 5

Solución;

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )( ) ( )( )( )


0 1 0 f(x1, x0) f(x2, x1, x0) … f(x3, x2, x1, x0)...

1 4 1.386294 f(x2, x1) f(x3, x2, x1)

2 6 1.791759 f(x3, x2)

3 5 1.609437

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )


0 1 0 0.462098 f(x2, x1, x0) … f(x3, x2, x1, x0)...

1 4 1.386294 0.202732 f(x3, x2, x1)

2 6 1.791759 0.182321

3 5 1.609437

( )

( )


0 1 0 0.462098 -0.051873 … f(x3, x2, x1, x0)...

1 4 1.386294 0.202732 -0.0204510

2 6 1.791759 0.182321

3 5 1.609437




( ) ( )


0 1 0 0.462098 -0.051873 …0.007865

1 4 1.386294 0.202732 -0.0204510

2 6 1.791759 0.182321

3 5 1.609437

( ) ( ) ( )( ) ( )( )( )

( ) ( ) ( )( ) ( )( )( )

Para x = 2

( )

( )

( ) ( )

( )( )

Problema 1).- Una empresa de control de calidad, al estudiar la cantidad mineral contenido en el agua adquiere las medi-

ciones que se muestran en la tabla 1. Completar la tabla de diferencias divididas de Newton que se asocia a las medicio-

nes, y obtener el polinomio de interpolación para estimar cuántos miligramos de mineral se encuentran en 1.6 hectolitros

de agua.

Hectolitros de agua 1 1.5 2 2.5

Cantidad de mineral en miligramos 32 41 48 53

Tabla 1

a). f (1.6) = 21.44 b). f (1.6) = 42.6 c. f (1.6) = 37.8

Problema 2).- Construir la tabla de diferencias divididas con la función f(x) = ln (x) en los puntos x = 1, x = 2,

y x = 4, determinar la solución para ln(3) a partir del polinomio de interpolación de Newton de segundo grado.

a).- ( ) b).- ( ) c).- ( )

Problema 3).- Construir la tabla de diferencias divididas de la función f (x) = x3 en los puntos {0, 1, 3, 4} y, a

partir de ellas, evaluar con el polinomio de interpolación de newton de tercer grado para x = 10

a).- ( ) b).- ( ) c).-

x f(x) 0000 0000 0000

1 32

1.5 41

2 48

2.5 53

Tabla de diferencias divididas




Problema 4).- Completar la tabla de diferencias divididas ó serpentina de Newton a partir de los puntos; (1,

1/2), (0, 0), (1/2, 2/5), (−1, −1/2). X f(x)

1 ½ -0.8 +0.2 +0.4

0 0 -0.5 +0.6

1/2 2/5 -0.56

-1 -½

a).-

X f(x)

1 0.5 -0.8 0.2 0.4

0 0 -0.5 0.6

0.5 0.4 -0.56

-1 -1/2

b).-

x f(x)

1 0.5 0.5 -0.2 0.4

0 0 0.8 0.6

0.5 0.4 0.6

-1 -1/2

c).-

x f(x)

1 0.5 -0.5 0.6 0.4

0 0 -0.8 0.2

0.5 0.4 -0.6

-1 -1/2

5 Completar la tabla de diferencias divididas ó serpentina de Newton a partir de los puntos;

P1= (1, 1/2), P2= (0, 0), P3= (1/2, 2/5), P4= (−1, −1/2).

n X f(x)

1 1 ½ -0.5 +0.6 …...

2 0 0 +0.2

3 1/2 2/5 -0.6

4 -1 -½

a).-

X f(x) 1er 2da 3er

1 0.5 -0.8 0.3 0.3

0 0 -0.5 0.4

0.5 0.4 -0.56

-1 -1/2

b).-

x f(x) 1er 2da 3er

1 0.5 0.5 -0.2 0.5

0 0 0.8 0.4

0.5 0.4 0.4

-1 -1/2

c).-

x f(x) 1er 2da 3er

1 0.5 -0.5 0.6 0.4

0 0 -0.8 0.2

0.5 0.4 -0.6

-1 -1/2

Technology

Difdivididas