Doğrunun analitik i̇ncelenmesi 1

DO!RUNUN ANAL"T"K "NCELENMES" I

I. DO!RUNUN ANAL"T"K "NCELENMES"A. ANAL"T"K DÜZLEMBir düzlem üzerinde, ba!langıç noktaları ortak ve birbirine dik olan iki sayı ekseni-nin olu!turdu"u sisteme dik koordinat sistemi; üzerinde dik koordinat sistemi bulu-nan düzleme analitik düzlem denir.

Analitik düzlemde her nokta, bu noktadan ek-senlere çizilen diklerle bulunan bir (a, b) gerçelsayı ikilisi ile temsil edilir. a ve b gerçel sayıları-na noktanın koordinatları denir. a gerçel sayısınoktanın apsisi, b gerçel sayısı noktanın ordi-natıdır. Buna göre; x eksenine apsisler ekseni,

y eksenine de ordinatlar ekseni denir.

x ekseni üzerinde noktalar (x, 0) biçimindedir. y ekseni üzerindeki noktalar (0, y) bi-çimindedir.

O(0, 0) noktasına ba!langıç noktası ya da orijin denir.

Koordinat sistemini olu!turan eksenler analitik düzlemi dört bölgeye ayırır. Eksen-ler bu bölgelerin hiçbirine dâhil de"ildir.

P(x, y) noktası;

x > 0 ve y > 0 ise I. bölgede

x < 0 ve y > 0 ise II. bölgede

x < 0 ve y < 0 ise III. bölgede

x > 0 ve y < 0 ise IV. bölgededir.

ÖRNEKAnalitik düzlemde A(4 , n + 2) noktası x ekseni üzerinde, B(m –4, 6) noktası yekseni üzerinde oldu#una göre, P(–n, m) noktası hangi bölgededir?

ÇÖZÜMA(4, n + 2) noktası x ekseni üzerinde ise n + 2 = 0

n = –2 dir.

B(m –4, 6) noktası y ekseni üzerinde ise m –4 = 0

m = 4 tür.

P(–n, m) = P(2, 4) noktası I. bölgededir.

ÖRNEKAnalitik düzlemde A(m + 4, n – 2) noktası analitik düzlemin II. bölgesindeoldu#una göre, P(m . n, m – n) noktası hangi bölgededir?

II. bölge(–, +)

I. bölge(+, +)

III. bölge(–, –)

IV. bölge(+, –)

x

y

y

x

bA(a,b)

aO

•

••

3

Birim karelere bölünmü! bir kâ"ıt üzerinde A, B,C, D, E, K, L noktaları !ekildeki gibi i!aretlenmi!-tir. Bu kareli kâ"ıda A, B, C, D, E noktalarındanbiri orijin olacak biçimde bir dik koordinat sistemiyerle!tiriliyor.

K ve L noktalarının orijine uzaklıkları e!it ol-du"una göre, orijin a!a"ıdakilerden hangisi-dir?

A) A B) B C) C D) D E) E

CHK dik üçgeni olu!turuldu"unda

|KC| = 5 birim olur.

|CL| = 5 birim oldu"undan, orijin C noktası olur.

Analitik düzlemde A(n+2, m–1) noktası orijinigösterdi"ine göre, P(n, m) noktası hangi böl-gededir?

II

A B C D E

KDE

BC

LA 3

5

4 H

KDE

BC L

A

2006 / ÖSS

1








P(x, y) noktası;







n = –2 dir.


m = 4 tür.



II. bölge(–, +)

I. bölge(+, +)


IV. bölge(+, –)

x

y

y

x

bA(a,b)

aO

•

••

3








II

A B C D E

KDE

BC

LA 3

5

4 H

KDE

BC L

A

2006 / ÖSS

2








P(x, y) noktası;







n = –2 dir.


m = 4 tür.



II. bölge(–, +)

I. bölge(+, +)


IV. bölge(+, –)

x

y

y

x

bA(a,b)

aO

•

••

3








II

A B C D E

KDE

BC

LA 3

5

4 H

KDE

BC L

A

2006 / ÖSS

3

ÖRNEKAnalitik düzlemde A(–3, 4) ve B(2, 5) noktalarından e!it uzaklıkta ve y ekseniüzerinde bulunan noktanın ordinatı kaçtır?

ÇÖZÜMy ekseni üzerinde bulunan nokta P(0, y) olsun.

|AP| = |BP| ise

9 + 16 – 8y + y2 = 4+ 25 – 10y + y2

2y = 4

y = 2 olur.

ÖRNEKABO ikizkenar üçgen

|OB| = |OA|

B(–3, 4)

Yukarıdaki verilere göre, A noktasının apsisi kaçtır?

ÇÖZÜMA noktası x ekseni üzerinde oldu!undanordinatı 0'dır.

|OA| = |OB|

a = 5 veya a = –5 olur.

A noktası x ekseninin negatif tarafında oldu!undan a = –5 tir.

ÖRNEKAnalitik düzlemde, A(1, 2) ve B(5, –1) noktaları bir karenin ardı"ık iki kö"esidir.

Bu karenin çevresi kaç birimdir?

ÇÖZÜM

Karenin kenar uzunlukları e"it oldu!un-dan Ç(ABCD) = 4 · 5 = 20 birim olur.

| | ( ) ( ( ))

| | ( )

| | .

AB

AB

AB birimdir

1 5 2 1

4 3 16 9

25 5

2 2

2 2

= - + - -

= - + = +

= =

D

A(1, 2) B(5, –1)

C

( )aa

a

3 40 9 16

25

02 2 2 2

2

2

+ = - +

+ = +

=

B(–3, 4)

A(a, 0) O x

y

B(–3, 4)

A O x

y

(– ) ( ) ( ) ( )y y3 0 4 2 0 52 2 2 2- + - = - + -

Do"runun Analitik #ncelenmesi I

6

Analitik düzlemde; A(n – 3, 2 – m) ve B(n + 1, –1 – m) noktaları arasındaki uzaklıkkaç birimdir?

ABO bir üçgen [BA] ! [OA]

A(–4, 6)

Yukarıdaki verilere göre, |BO| uzunlu!u kaçbirimdir?

!ekildeki analitik düzlemde

[PB] ! [PA], |PA| = |PB|, A(–3, –5) ve P(0, –1) dir.

Buna göre, |AB| uzunlu!u kaç birimdir?

5 2

y

x

P

B

A

ll

Oll

13

A(–4, 6)

B O x

y

5

4

Sayfa 7








P(x, y) noktası;







n = –2 dir.


m = 4 tür.



II. bölge(–, +)

I. bölge(+, +)


IV. bölge(+, –)

x

y

y

x

bA(a,b)

aO

•

••

3








II

A B C D E

KDE

BC

LA 3

5

4 H

KDE

BC L

A

2006 / ÖSS

5

Sayfa 3








P(x, y) noktası;







n = –2 dir.


m = 4 tür.



II. bölge(–, +)

I. bölge(+, +)


IV. bölge(+, –)

x

y

y

x

bA(a,b)

aO

•

••

3








II

A B C D E

KDE

BC

LA 3

5

4 H

KDE

BC L

A

2006 / ÖSS

6

ÇÖZÜMII. bölgedeki bir noktanının apsisi negatif, ordinatı pozitiftir.

A(m + 4, n – 2) noktası için

m + 4 < 0 ! m < –4, m negatif (–)

n – 2 > 0 ! n > 2, n pozitif (+) çıkar.

P(m . n, m – n) noktası için

m . n < 0 ve m – n < 0 olur.

P(–, –) noktası III. bölgededir.

ÖRNEK

Analitik düzlemde; A(a – 7, –5) noktası ile B(–2, 5 – a) noktası aynı bölgededir.

Buna göre, a nın alabilece!i tam sayı de!erini bulunuz.

ÇÖZÜMAynı bölgedeki noktaların apsis ve ordinatlarının i!aretleri de aynı olmalıdır.

a – 7 < 0 ve 5 – a < 0

a < 7 ve a > 5 olur

5 < a < 7 oldu"undan a = 6 dır.

ÖRNEKP(a + 6, a – 2) noktası analitik düzlemin IV. bölgesinde oldu!una göre, a nınalabilece!i tam sayı de!erlerinin toplamı kaçtır?

ÇÖZÜMIV. bölgedeki noktaların apsisleri pozitif, ordinatları negatiftir.

P(a + 6 , a – 2) noktası için

a + 6 > 0 ve a – 2 < 0 olmalıdır.

a > –6 ve a < 2 ko!ulunu sa"layan a de"erleri –6 < a < 2 aralı"ındadır.

–5 + (–4) + (–3) + (–2) –1 + 0 + 1 = –14 olur.

B. "K" NOKTA ARASINDAK" UZAKLIKA(x1, y1) ve B(x2, y2) noktaları verilsin. A ve B noktaları arasındaki uzaklık, [AB] do"-ru parçasının uzunlu"udur.

|AB|2 = |BC|2 + |AC|2

|AB|2 = (x1 – x2)2 + (y1 – y2)2

|AB| = ( ) ( )x x y y1 22

1 22- + -

y

x

y1A

O •

•y2

x2 x1

x1–x2C

y1–y2B

!"#

!"

#

A(a – 7, –5) B(– 2, 5 – a)

Do!runun Analitik "ncelenmesi I

4

Analitik düzlemde A(2a, b+3) noktası x ekse-ni üzerinde oldu!una göre, B(1 + a2 , b + 4)noktası hangi bölgededir?

Analitik düzlemde A(a · b, a – b) noktası II.bölgede oldu!una göre, B(a , b) noktası ka-çıncı bölgededir?

A(3a – 1, a + 9) noktasının koordinat eksenle-rine uzaklıkları e"it oldu!una göre, a'nın ala-bilece!i de!erlerin toplamı kaçtır?

3

IV

I

7

Sayfa 4



m + 4 < 0 ! m < –4, m negatif (–)



m . n < 0 ve m – n < 0 olur.


ÖRNEK




a – 7 < 0 ve 5 – a < 0

a < 7 ve a > 5 olur





a + 6 > 0 ve a – 2 < 0 olmalıdır.


–5 + (–4) + (–3) + (–2) –1 + 0 + 1 = –14 olur.


|AB|2 = |BC|2 + |AC|2

|AB|2 = (x1 – x2)2 + (y1 – y2)2

|AB| = ( ) ( )x x y y1 22

1 22- + -

y

x

y1A

O •

•y2

x2 x1

x1–x2C

y1–y2B

!"#

!"

#

A(a – 7, –5) B(– 2, 5 – a)


4




3

IV

I

8



m + 4 < 0 ! m < –4, m negatif (–)



m . n < 0 ve m – n < 0 olur.


ÖRNEK




a – 7 < 0 ve 5 – a < 0

a < 7 ve a > 5 olur





a + 6 > 0 ve a – 2 < 0 olmalıdır.


–5 + (–4) + (–3) + (–2) –1 + 0 + 1 = –14 olur.


|AB|2 = |BC|2 + |AC|2

|AB|2 = (x1 – x2)2 + (y1 – y2)2

|AB| = ( ) ( )x x y y1 22

1 22- + -

y

x

y1A

O •

•y2

x2 x1

x1–x2C

y1–y2B

!"#

!"

#

A(a – 7, –5) B(– 2, 5 – a)


4




3

IV

I

9


A(x1, y1) noktasının orijine uzaklı!ı,

ÖRNEKAnalitik düzlemde A(1, 5) ve B(2, –3) noktaları arasındaki uzaklık kaç birimdir?

ÇÖZÜM

ÖRNEKAnalitik düzlemde; A(3, 2) ve B(6, k) noktaları arasındaki uzaklık 5 birim oldu-!una göre, k nin alabilece!i de!erlerin toplamı kaçtır?

ÇÖZÜM

9 + (k – 2)2 = 25(k – 2)2 = 25 – 9(k – 2)2 = 16

k – 2 = ! 4k1 = 6, k2 = – 2

k1 + k2 = 6 + (–2) = 4 olur.

ÖRNEKA(2, 1), B(5, –3), P(1, a) noktaları için |AP| = |BP| oldu!una göre, a kaçtır?

ÇÖZÜM|AP| = |BP| ise

1 + (1 – a)2 = 16 + (–3 – a)2

1 + 1 – 2a + a2 = 16 + 9 + 6a + a2

– 23 = 8a

bulunur.a823

=-

( – ) ( – ) ( – ) ( )a a2 1 1 5 1 32 2 2 2+ = + - -

| | ( ) ( )

( )

AB k

k

2 5

3 2 5

6 3 2 2

2 2

= - + - =

+ - =

| | ( – ) ( – ) !

( – ) ( )

.

AB x x y y oldu undan

birim olur

1 2 5 3

1 8

65

1 22

1 22

2 2

2

= +

= + +

= +

=

A(x1, y1 ) noktas›n›n; x eksenine uzakl›¤› |y1|, y eksenine uzakl›¤› |x1| dir.

y

xO(0,0)

•x1

y1

"#$

"#

$

A(x1, x2) |OA| = x1+x22 2

olur.

5

Analitik düzlemde; A(3, –1) ve B(a, 2) nokta-ları orijine e!it uzaklıkta oldu"una göre, a nınalabilece"i de"erlerin çarpımı kaçtır?

P(3, k – 2) noktasının x eksenine uzaklı"ı 4 bi-rim oldu"una göre, k nin alabilece"i de"erlertoplamı kaçtır?

Analitik düzlemde A(6, –3) ve B(1, 9) nokta-ları arasındaki uzaklık kaç birimdir?

13

4

–6

10



|AP| = |BP| ise

9 + 16 – 8y + y2 = 4+ 25 – 10y + y2

2y = 4

y = 2 olur.


|OB| = |OA|

B(–3, 4)



|OA| = |OB|





ÇÖZÜM


| | ( ) ( ( ))

| | ( )

| | .

AB

AB

AB birimdir

1 5 2 1

4 3 16 9

25 5

2 2

2 2

= - + - -

= - + = +

= =

D

A(1, 2) B(5, –1)

C

( )aa

a

3 40 9 16

25

02 2 2 2

2

2

+ = - +

+ = +

=

B(–3, 4)

A(a, 0) O x

y

B(–3, 4)

A O x

y

(– ) ( ) ( ) ( )y y3 0 4 2 0 52 2 2 2- + - = - + -


6



A(–4, 6)





5 2

y

x

P

B

A

ll

Oll

13

A(–4, 6)

B O x

y

5

11



|AP| = |BP| ise

9 + 16 – 8y + y2 = 4+ 25 – 10y + y2

2y = 4

y = 2 olur.


|OB| = |OA|

B(–3, 4)



|OA| = |OB|





ÇÖZÜM


| | ( ) ( ( ))

| | ( )

| | .

AB

AB

AB birimdir

1 5 2 1

4 3 16 9

25 5

2 2

2 2

= - + - -

= - + = +

= =

D

A(1, 2) B(5, –1)

C

( )aa

a

3 40 9 16

25

02 2 2 2

2

2

+ = - +

+ = +

=

B(–3, 4)

A(a, 0) O x

y

B(–3, 4)

A O x

y

(– ) ( ) ( ) ( )y y3 0 4 2 0 52 2 2 2- + - = - + -


6



A(–4, 6)





5 2

y

x

P

B

A

llOll

13

A(–4, 6)

B O x

y

5

Şekil hatalı çizilmiş doğrusunu biz çizelim.

12

ÇÖZÜM

I. Yol

C noktasının koordinatları (x0, y0) olsun. 2|AC| = |BC| ! dir.

II. Yol

2|AC| = |BC| ise

A dan B ye apsisler 10 – (–2) = 12 artar.

3k = 12 ! k = 4 olur.

A dan C ye k = 4 arttı!ına göre xo = – 2 + 4 = 2 olur.

A dan B ye ordinatlar –2 – (6) = –8 azalır.

3k = –8 ! k = – olur.

A dan C ye k = – azaldı!ına göre 6 – = olur.

C(xo, yo) = bulunur.

ÖRNEKA(2, –3) ve B(–2, 3) olmak üzere, AB do!rusu üzerinde ve [AB] parçasını

oranında dı"tan bölen C noktasının koordinatları nedir?

ÇÖZÜMC noktası (x, y) olsun

A dan B ye apsisler –2 – (2) = –4 (4 birim azalmı")

k = –4 ! 3k = –12 ! x = –2 – 12 = –14 olur.

A dan B ye ordinatlar 3 – (–3) = 6 (6 birim artmı")

k = 6 ! 3k = 18 ! y = 3 + 18 = 21 olur.

C(x, y) = C(–14, 21) bulunur.

B(–2, 3)A(2, –3) C(x,y)•

k!""#""$ 3k!"""#"""$

| |

| |

BC

AC

34

=

2,310c m

310

38

38

38

C(x0,y0)A(–2,6) B(10,–2)

k 2k

( , )– .

,– .

–

,

–

, ,

C x y1 1

2 1 10

1 1

621 2

1022

2310

2

2

2

232

4

23

12

2326

23210

o o =

+

+

+

=

+

= =

J

L

KKKKK

J

L

KKKKK

J

L

KKKKK

c

N

P

OOOOO

N

P

OOOOO

N

P

OOOOO

m

| |

| |

BC

AC 12

=

Do!runun Analitik #ncelenmesi I

10

Yukarıdaki !ekilde A, B, C noktaları do"rusaldır.

oldu!una göre,

C noktasının koordinatları nedir?

Dik koordinat düzlemi üzerine !ekildeki gibiABCD karesi yerle!tirilmi!tir.

Buna göre, D noktasının koordinatlarının top-lamı kaçtır?

A) 6 B) 7 C) 8 D) 9 E) 10

D noktasından x eksenine dik çizersek olu!anDHC üçgeni ile BOC üçgeni e! üçgenler olur.Aynı açıların kar!ısındaki kenarların e!itli"inden|OB| = |CH| = 4 birim|OC| = |DH| = 3 birimBuradan |OH| = 7 birim|DH| = 3 birim olaca"ından D(x, y) = D(7, 3)x + y = 7 + 3

= 10 bulunur.A B C D E

O C(3,0)

B(0,4) D(x,y)

x"

ll" ll

# %&

'

3

%&'4

H

#

O C(3,0)

B(0,4)

A

D(x,y)

x

2009 / ÖSS

(–5,1)

| |

| |

BC

AB2=

B(–3, 0)A(1, –2) C(m,n)

Sayfa 10

13




ÇÖZÜM


ÇÖZÜM

9 + (k – 2)2 = 25(k – 2)2 = 25 – 9(k – 2)2 = 16

k – 2 = ! 4k1 = 6, k2 = – 2

k1 + k2 = 6 + (–2) = 4 olur.



1 + (1 – a)2 = 16 + (–3 – a)2

1 + 1 – 2a + a2 = 16 + 9 + 6a + a2

– 23 = 8a

bulunur.a823

=-

( – ) ( – ) ( – ) ( )a a2 1 1 5 1 32 2 2 2+ = + - -

| | ( ) ( )

( )

AB k

k

2 5

3 2 5

6 3 2 2

2 2

= - + - =

+ - =

| | ( – ) ( – ) !

( – ) ( )

.


birim olur

1 2 5 3

1 8

65

1 22

1 22

2 2

2

= +

= + +

= +

=


y

xO(0,0)

•x1

y1

"#$

"#

$

A(x1, x2) |OA| = x1+x22 2

olur.

5




13

4

–6

14




ÇÖZÜM


ÇÖZÜM

9 + (k – 2)2 = 25(k – 2)2 = 25 – 9(k – 2)2 = 16

k – 2 = ! 4k1 = 6, k2 = – 2

k1 + k2 = 6 + (–2) = 4 olur.



1 + (1 – a)2 = 16 + (–3 – a)2

1 + 1 – 2a + a2 = 16 + 9 + 6a + a2

– 23 = 8a

bulunur.a823

=-

( – ) ( – ) ( – ) ( )a a2 1 1 5 1 32 2 2 2+ = + - -

| | ( ) ( )

( )

AB k

k

2 5

3 2 5

6 3 2 2

2 2

= - + - =

+ - =

| | ( – ) ( – ) !

( – ) ( )

.


birim olur

1 2 5 3

1 8

65

1 22

1 22

2 2

2

= +

= + +

= +

=


y

xO(0,0)

•x1

y1

"#$

"#

$

A(x1, x2) |OA| = x1+x22 2

olur.

5




13

4

–6

15




ÇÖZÜM


ÇÖZÜM

9 + (k – 2)2 = 25(k – 2)2 = 25 – 9(k – 2)2 = 16

k – 2 = ! 4k1 = 6, k2 = – 2

k1 + k2 = 6 + (–2) = 4 olur.



1 + (1 – a)2 = 16 + (–3 – a)2

1 + 1 – 2a + a2 = 16 + 9 + 6a + a2

– 23 = 8a

bulunur.a823

=-

( – ) ( – ) ( – ) ( )a a2 1 1 5 1 32 2 2 2+ = + - -

| | ( ) ( )

( )

AB k

k

2 5

3 2 5

6 3 2 2

2 2

= - + - =

+ - =

| | ( – ) ( – ) !

( – ) ( )

.


birim olur

1 2 5 3

1 8

65

1 22

1 22

2 2

2

= +

= + +

= +

=


y

xO(0,0)

•x1

y1

"#$

"#

$

A(x1, x2) |OA| = x1+x22 2

olur.

5




13

4

–6

16




ÇÖZÜM


ÇÖZÜM

9 + (k – 2)2 = 25(k – 2)2 = 25 – 9(k – 2)2 = 16

k – 2 = ! 4k1 = 6, k2 = – 2

k1 + k2 = 6 + (–2) = 4 olur.



1 + (1 – a)2 = 16 + (–3 – a)2

1 + 1 – 2a + a2 = 16 + 9 + 6a + a2

– 23 = 8a

bulunur.a823

=-

( – ) ( – ) ( – ) ( )a a2 1 1 5 1 32 2 2 2+ = + - -

| | ( ) ( )

( )

AB k

k

2 5

3 2 5

6 3 2 2

2 2

= - + - =

+ - =

| | ( – ) ( – ) !

( – ) ( )

.


birim olur

1 2 5 3

1 8

65

1 22

1 22

2 2

2

= +

= + +

= +

=


y

xO(0,0)

•x1

y1

"#$

"#

$

A(x1, x2) |OA| = x1+x22 2

olur.

5




13

4

–6

17



m + 4 < 0 ! m < –4, m negatif (–)



m . n < 0 ve m – n < 0 olur.


ÖRNEK




a – 7 < 0 ve 5 – a < 0

a < 7 ve a > 5 olur





a + 6 > 0 ve a – 2 < 0 olmalıdır.


–5 + (–4) + (–3) + (–2) –1 + 0 + 1 = –14 olur.


|AB|2 = |BC|2 + |AC|2

|AB|2 = (x1 – x2)2 + (y1 – y2)2

|AB| = ( ) ( )x x y y1 22

1 22- + -

y

x

y1A

O •

•y2

x2 x1

x1–x2C

y1–y2B

!"#

!"

#A(a – 7, –5) B(– 2, 5 – a)


4




3

IV

I

18


ÖRNEK

Analitik düzlemde P(x, y) noktası A(2, –1) ve B(3, 2) noktalarına e#it uzaklıktaoldu!una göre, x ile y arasındaki ba!ıntıyı bulunuz.

ÇÖZÜM

A(2, –1), B(3, 2) ve P(x, y) noktaları için |AP| = |BP| oldu!una göre;

4 – 4x + x2 + 1 + 2y + y2 = 9 – 6x + x2 + 4 – 4y + y2

2x + 6y – 8 = 0

x + 3y – 4 = 0 olur.

C. B"R DO$RU PARÇASININ ORTA NOKTASININ KOORD"NATLARI

[AB] do!ru parçasının orta noktası P(x0, y0) olsun.

ÖRNEK

A(2, 6) ve B(4, –2) noktaları veriliyor.

[AB] do!ru parçasının orta noktasının orijine olan uzaklı!ı kaç birimdir?

ÇÖZÜM

P noktasının orijine uzaklı!ı

| |OP 3 2

13 birim olur.

2 2= +

=

,

( , ) ( , )

,x y

x y

P x y P

22 4

26 2

3 2

3 2

0 0

0 0

0 0

= + = -

= =

=

• • •A(2, 6) P(x0,y0) B(4, –2)

, .xx x

yy y

dir2 201 2

01 2

=+

=+

• • •A(x1,y1)

P(x0,y0)

B(x2,y2)

( ) ( ) ( ) ( )x y x y2 1 3 22 2 2 2- + - - = - + -

7

A(5, 2) ve B(a + 2, b – 1) noktaları veriliyor.

[AB] do!ru parçasının orta noktası orijin üze-rinde oldu!una göre, a + b toplamı kaçtır?

A(4a + 3, –5) ve B(5 – a, 7) noktalarını birle"-tiren AB do!ru parçasının orta noktası y ek-seni üzerinde oldu!una göre, a kaçtır?

38

!

–8

Yandaki flekilde, D, E, F noktalar› ABC üçgeni-nin kenarlar›n›n orta noktalar›d›r. Bir üçgeniniki kenar›n›n orta noktalar›n› birlefltiren do¤ruparças› üçüncü kenara paralel oldu¤undan,DEFB, DFCE, DFEA dörtgenleri paralelkenarolur.

A

E

FB C

D

19


ÖRNEK


ÇÖZÜM


4 – 4x + x2 + 1 + 2y + y2 = 9 – 6x + x2 + 4 – 4y + y2

2x + 6y – 8 = 0

x + 3y – 4 = 0 olur.



ÖRNEK



ÇÖZÜM


| |OP 3 2

13 birim olur.

2 2= +

=

,

( , ) ( , )

,x y

x y

P x y P

22 4

26 2

3 2

3 2

0 0

0 0

0 0

= + = -

= =

=

• • •A(2, 6) P(x0,y0) B(4, –2)

, .xx x

yy y

dir2 201 2

01 2

=+

=+

• • •A(x1,y1)

P(x0,y0)

B(x2,y2)

( ) ( ) ( ) ( )x y x y2 1 3 22 2 2 2- + - - = - + -

7




38

!

–8


A

E

FB C

D

20


ÖRNEK


ÇÖZÜM


4 – 4x + x2 + 1 + 2y + y2 = 9 – 6x + x2 + 4 – 4y + y2

2x + 6y – 8 = 0

x + 3y – 4 = 0 olur.



ÖRNEK



ÇÖZÜM


| |OP 3 2

13 birim olur.

2 2= +

=

,

( , ) ( , )

,x y

x y

P x y P

22 4

26 2

3 2

3 2

0 0

0 0

0 0

= + = -

= =

=

• • •A(2, 6) P(x0,y0) B(4, –2)

, .xx x

yy y

dir2 201 2

01 2

=+

=+

• • •A(x1,y1)

P(x0,y0)

B(x2,y2)

( ) ( ) ( ) ( )x y x y2 1 3 22 2 2 2- + - - = - + -

7




38

!

–8


A

E

FB C

D

21

ÖRNEKKö!elerinin koordinatları A(2, –2), B(–1, –5), C(3, 7) olan ABC üçgeninin [BC]kenarına ait kenarortayının uzunlu"u kaç birimdir?

ÇÖZÜM

D(x0, y0) = D(1, 1) olur.

birimdir.

D. PARALELKENARIN KÖ#E NOKTALARININKOORD$NATLARI

ABCD paralelkenarının kö!egenleri bir-birini ortalar.

|AK| = |KC| ve

|BK| = |KD| dir.

Orta nokta formülünden

Yani, paralelkenarın kar!ılıklı kö!elerinin apsisleri toplamı birbirine e!ittir. Aynı !ekil-de, kar!ılıklı kö!elerinin ordinatları toplamı da birbirine e!ittir.

Bu özellik; dikdörtgen, kare ve e!kenar dörtgen için de geçerlidir.

ÖRNEKKö!elerinin koordinatları A(–7, –5), B(1, –1), C(a, b), D(–2, 3) olan ABCD dört-geni bir paralelkenar oldu"una göre a + b toplamı kaçtır?

ÇÖZÜM

1 + (–2) = a + (–7)a = 6–1 + 3 = b + (–5)b = 7a + b = 6 + 7 = 13 olur.

A(–7, –5) D(–2, 3)

B(1, –1) C(a, b)

.

xx x x x

x x x x

yy y y y

y y y y bulunur

2 2

2 2

01 3 2 4

1 3 2 4

01 3 2 4

1 3 2 4

&

&

=+

=+

+ = +

=+

=+

+ = +

D(x4, y4) C(x3, y3)

A(x1, y1) B(x2, y2)

K(x0,y0)

| | ( ) ( )AD 2 1 2 1 1 3 102 2 2 2= - + - - = + =

,x y21 3 1

25 7 10 0=

- += =

- +=

B(–1, –5) C(3, 7)D(x0, x0)

A(2, –2)

Do"runun Analitik $ncelenmesi I

8

|OC| = 3 birimA(6, 0)

Yukarıdaki verilere göre, OABC dikdörtgeni-

nin kö!egenlerinin kesim noktasının koordi-

natları toplamı kaçtır?

Kö!eleri A(3, 1), B(5, 3) C(2, 5) ve D(a, b) kö-!egenleri [AC] ve [BD] olan paralelkenarın[BD] kö!egeninin uzunlu"u kaç birimdir?

A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5

Paralelkenardaa + 5 = 3 + 2 ve b + 3 = 5 + 1 oldu!undana = 0 ve b = 3D(a, b) = D( 0, 3) olur.

birimdir.

A B C D E

| | ( ) ( ) 5BD 5 0 3 3 5 02 2 2 2= ! + ! = + =

D(a, b) C(2, 5)

A(3, 1) B(5, 3)

E

2010 / YGS

29

O

C B

y

xA

22


ÖRNEK!ekilde [AB] ! [EC] = {C}

|AC| = |CB|

|DE| = 2|DC|

A(4, –2)

B(6, 4)

D(7, –2)

Yukarıdaki verilere göre E noktasının koordinatları toplamı kaçtır?

ÇÖZÜMC noktası [AB] nin orta noktası oldu"undan

C(a,b) = C(5, 1) dir.C den D ye apsisler 7 – 5 = 2 artar.k = 2 " 2k = 4 , c = 7 + 4 = 11C'den D'ye ordinatlar –2 –1 = –3 azalır.k = –3 " 2k = –6, d = –2–6 = –8 olur.c + d = 11 + (–8) = 3 tür.

F. ÜÇGEN"N A#IRLIK MERKEZ"Kö#elerinin koordinatları

A(x1, y1), B(x2, y2), C(x3, y3) olan ABC üçgeni-nin a"ırlık merkezinin (kenarortaylarının kesimnoktasının) koordinatları G(x0,y0) olsun.

ÖRNEKKö$elerinin koordinatları A(4, 2), B(1,5) ve C(–6, 4) olan ABC üçgeninin a!ırlıkmerkezinin P(2, 1) noktasına uzaklı!ı kaç birimdir?

ÇÖZÜM

–

, ( , )

| |

.

x

y

G ve P

GP

birimdir

34 1 6

31

32 5 4

311

31

311 2 1

231 1

311

949

964

3113

noktaları için

0

2 2

0

=+

=-

=+ +

=

-

= + + -

= + =

cc cm

m m

A(4,2)

G(x0,y0)

B(1,5) C(–6,4)

.

xx x x

y y y olur

3

3

01 2 3

01 2 3

=+ +

+ +y =

A(x1, y1)

G(x0, y0)

B(x2, y2) C(x3, y3)

( )a ve b

26 4 5

24 2

1=+

= =+ -

=

E(c,d)

B(6,4)

A(4,–2)

k D(7,–2)!"#

!$"$# 2kC(a,b)

E

B(6,4)

A(4,–2)

CD(7,–2)

11

Kö!elerinin koordinatları, A(2,4), B(–1,2) veC(3,0) olan ABC üçgeninin BC kenarına aitkenarortayının uzunlu"u kaç birimdir?

A(–1,3) ve B(9,–2) olmak üzere, AB do"ru par-çasını 3|AC| = 2 |BC| olacak !ekilde içten bö-len C noktasının koordinatlarını bulunuz.

Kö!elerinin koordinatları A(4, 2), B(m,–3) veC(5,n) olan ABC üçgeninin a"ırlık merkeziorijinde oldu"una göre, m + n toplamı kaçtır?

–8

(3,1)

ß10

Sayfa 11

23


ÇÖZÜM

D(x0, y0) = D(1, 1) olur.

birimdir.



|AK| = |KC| ve

|BK| = |KD| dir.





ÇÖZÜM

1 + (–2) = a + (–7)a = 6–1 + 3 = b + (–5)b = 7a + b = 6 + 7 = 13 olur.

A(–7, –5) D(–2, 3)

B(1, –1) C(a, b)

.

xx x x x

x x x x

yy y y y

y y y y bulunur

2 2

2 2

01 3 2 4

1 3 2 4

01 3 2 4

1 3 2 4

&

&

=+

=+

+ = +

=+

=+

+ = +

D(x4, y4) C(x3, y3)

A(x1, y1) B(x2, y2)

K(x0,y0)

| | ( ) ( )AD 2 1 2 1 1 3 102 2 2 2= - + - - = + =

,x y21 3 1

25 7 10 0=

- += =

- +=

B(–1, –5) C(3, 7)D(x0, x0)

A(2, –2)


8

|OC| = 3 birimA(6, 0)





A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5


birimdir.

A B C D E

| | ( ) ( ) 5BD 5 0 3 3 5 02 2 2 2= ! + ! = + =

D(a, b) C(2, 5)

A(3, 1) B(5, 3)

E

2010 / YGS

29

O

C B

y

xA

24


ÇÖZÜM

D(x0, y0) = D(1, 1) olur.

birimdir.



|AK| = |KC| ve

|BK| = |KD| dir.





ÇÖZÜM

1 + (–2) = a + (–7)a = 6–1 + 3 = b + (–5)b = 7a + b = 6 + 7 = 13 olur.

A(–7, –5) D(–2, 3)

B(1, –1) C(a, b)

.

xx x x x

x x x x

yy y y y

y y y y bulunur

2 2

2 2

01 3 2 4

1 3 2 4

01 3 2 4

1 3 2 4

&

&

=+

=+

+ = +

=+

=+

+ = +

D(x4, y4) C(x3, y3)

A(x1, y1) B(x2, y2)

K(x0,y0)

| | ( ) ( )AD 2 1 2 1 1 3 102 2 2 2= - + - - = + =

,x y21 3 1

25 7 10 0=

- += =

- +=

B(–1, –5) C(3, 7)D(x0, x0)

A(2, –2)


8

|OC| = 3 birimA(6, 0)





A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5


birimdir.

A B C D E

| | ( ) ( ) 5BD 5 0 3 3 5 02 2 2 2= ! + ! = + =

D(a, b) C(2, 5)

A(3, 1) B(5, 3)

E

2010 / YGS

29

O

C B

y

xA

25


ÖRNEK


ÇÖZÜM


4 – 4x + x2 + 1 + 2y + y2 = 9 – 6x + x2 + 4 – 4y + y2

2x + 6y – 8 = 0

x + 3y – 4 = 0 olur.



ÖRNEK



ÇÖZÜM


| |OP 3 2

13 birim olur.

2 2= +

=

,

( , ) ( , )

,x y

x y

P x y P

22 4

26 2

3 2

3 2

0 0

0 0

0 0

= + = -

= =

=

• • •A(2, 6) P(x0,y0) B(4, –2)

, .xx x

yy y

dir2 201 2

01 2

=+

=+

• • •A(x1,y1)

P(x0,y0)

B(x2,y2)

( ) ( ) ( ) ( )x y x y2 1 3 22 2 2 2- + - - = - + -

7




38

!

–8


A

E

FB C

D

26

Sayfa 7


ÖRNEK

D(1,5)

E(3,2)

F(5,9)

!ekilde ABC üçgeninde D, E ve F bulundukları kenarların orta noktalarıdır.

Buna göre, C noktasının koordinatları toplamı kaçtır?

ÇÖZÜM[DE] ve [DF] çizildi"inde elde edilen DECFdörtgeni bir paralelkenardır.

a + 1 = 5 + 3 ! a = 7

b + 5 = 9 + 2 ! b = 6

a + b = 7 + 6 = 13 olur.

E. B"R DO#RU PARÇASINI, VER"LEN B"R ORANDABÖLEN NOKTANIN KOORD"NATLARI

1

P noktası; [AB] do"ru parçasını oranında içten bölen noktadır.

2

P noktası; [AB] do"ru parçasını oranında dı#tan bölen noktadır.

ÖRNEKA(–2, 6), B(10, –2) noktaları veriliyor.

2|AC| = |BC| olacak $ekilde AB do!ru parçasını içten bölen C noktasının ko-ordinatları nedir?

| || |PBPA

k=

, .xk

x kxy

ky ky

olur1 101 2

01 2

=-

-=

-

-

| || |

.PBPA

k olsun=

A(x1,y1)P(x0,y0) B(x2,y2)

| || |PBPA

k=

.xk

x kxy

ky ky

olur1 101 2

01 2

=+

+=

+

+

| || |

.PBPA

k olsun=

A(x1,y1) P(x0,y0) B(x2,y2)

A

E(3,2)

F(5,9)B C(a,b)

D(1,5)

A

E(3,2)

F(5,9)B C

D(1,5)

9

Kenarlarının orta noktaları sırasıyla

E(–2, –2)

F(0, 0)

G(m, n) ve

H(–1, 2)

noktaları olan bir ABCD dörtgeni a!a"ıdaki gibiçiziliyor.

Buna göre, m + n toplamı kaçtır?

A) 3 B) 4 C) 5 D) 6 E) 7

Kenar orta noktaları birle!tirilirse olu!an EFGHdörtgeni paralelkenar olur.

Bundan dolayı

(–2) + m = 0 + (–1) ! m = 1

(–2) + n = 0 + 2 ! n = 4

ve m + n = 5 olur.

Analitik düzlemde, A(3, 7) ve B(7, –1) noktalarıveriliyor.

AB do!ru parçasını 4 e"it parçaya bölen nok-talardan B ye en yakın olanının koordinatla-rını bulunuz.

(6, 1)

A B C D E

C

DA

E(–2,–2)

B

F(0,0)

H(–1,2)

G(m,n)

C

G

DA

E

B

F

H

2008 / ÖSS

27


ÖRNEK

D(1,5)

E(3,2)

F(5,9)




a + 1 = 5 + 3 ! a = 7

b + 5 = 9 + 2 ! b = 6

a + b = 7 + 6 = 13 olur.


1


2




| || |PBPA

k=

, .xk

x kxy

ky ky

olur1 101 2

01 2

=-

-=

-

-

| || |

.PBPA

k olsun=

A(x1,y1)P(x0,y0) B(x2,y2)

| || |PBPA

k=

.xk

x kxy

ky ky

olur1 101 2

01 2

=+

+=

+

+

| || |

.PBPA

k olsun=

A(x1,y1) P(x0,y0) B(x2,y2)

A

E(3,2)

F(5,9)B C(a,b)

D(1,5)

A

E(3,2)

F(5,9)B C

D(1,5)

9


E(–2, –2)

F(0, 0)

G(m, n) ve

H(–1, 2)



A) 3 B) 4 C) 5 D) 6 E) 7


Bundan dolayı

(–2) + m = 0 + (–1) ! m = 1

(–2) + n = 0 + 2 ! n = 4

ve m + n = 5 olur.



(6, 1)

A B C D E

C

DA

E(–2,–2)

B

F(0,0)

H(–1,2)

G(m,n)

C

G

DA

E

B

F

H

2008 / ÖSS

28


ÖRNEK

D(1,5)

E(3,2)

F(5,9)




a + 1 = 5 + 3 ! a = 7

b + 5 = 9 + 2 ! b = 6

a + b = 7 + 6 = 13 olur.


1


2




| || |PBPA

k=

, .xk

x kxy

ky ky

olur1 101 2

01 2

=-

-=

-

-

| || |

.PBPA

k olsun=

A(x1,y1)P(x0,y0) B(x2,y2)

| || |PBPA

k=

.xk

x kxy

ky ky

olur1 101 2

01 2

=+

+=

+

+

| || |

.PBPA

k olsun=

A(x1,y1) P(x0,y0) B(x2,y2)

A

E(3,2)

F(5,9)B C(a,b)

D(1,5)

A

E(3,2)

F(5,9)B C

D(1,5)

9


E(–2, –2)

F(0, 0)

G(m, n) ve

H(–1, 2)



A) 3 B) 4 C) 5 D) 6 E) 7


Bundan dolayı

(–2) + m = 0 + (–1) ! m = 1

(–2) + n = 0 + 2 ! n = 4

ve m + n = 5 olur.



(6, 1)

A B C D E

C

DA

E(–2,–2)

B

F(0,0)

H(–1,2)

G(m,n)

C

G

DA

E

B

F

H

2008 / ÖSS


ÖRNEK

D(1,5)

E(3,2)

F(5,9)




a + 1 = 5 + 3 ! a = 7

b + 5 = 9 + 2 ! b = 6

a + b = 7 + 6 = 13 olur.


1


2




| || |PBPA

k=

, .xk

x kxy

ky ky

olur1 101 2

01 2

=-

-=

-

-

| || |

.PBPA

k olsun=

A(x1,y1)P(x0,y0) B(x2,y2)

| || |PBPA

k=

.xk

x kxy

ky ky

olur1 101 2

01 2

=+

+=

+

+

| || |

.PBPA

k olsun=

A(x1,y1) P(x0,y0) B(x2,y2)

A

E(3,2)

F(5,9)B C(a,b)

D(1,5)

A

E(3,2)

F(5,9)B C

D(1,5)

9


E(–2, –2)

F(0, 0)

G(m, n) ve

H(–1, 2)



A) 3 B) 4 C) 5 D) 6 E) 7


Bundan dolayı

(–2) + m = 0 + (–1) ! m = 1

(–2) + n = 0 + 2 ! n = 4

ve m + n = 5 olur.



(6, 1)

A B C D E

C

DA

E(–2,–2)

B

F(0,0)

H(–1,2)

G(m,n)

C

G

DA

E

B

F

H

2008 / ÖSS

29


ÖRNEK

D(1,5)

E(3,2)

F(5,9)




a + 1 = 5 + 3 ! a = 7

b + 5 = 9 + 2 ! b = 6

a + b = 7 + 6 = 13 olur.


1


2




| || |PBPA

k=

, .xk

x kxy

ky ky

olur1 101 2

01 2

=-

-=

-

-

| || |

.PBPA

k olsun=

A(x1,y1)P(x0,y0) B(x2,y2)

| || |PBPA

k=

.xk

x kxy

ky ky

olur1 101 2

01 2

=+

+=

+

+

| || |

.PBPA

k olsun=

A(x1,y1) P(x0,y0) B(x2,y2)

A

E(3,2)

F(5,9)B C(a,b)

D(1,5)

A

E(3,2)

F(5,9)B C

D(1,5)

9


E(–2, –2)

F(0, 0)

G(m, n) ve

H(–1, 2)



A) 3 B) 4 C) 5 D) 6 E) 7


Bundan dolayı

(–2) + m = 0 + (–1) ! m = 1

(–2) + n = 0 + 2 ! n = 4

ve m + n = 5 olur.



(6, 1)

A B C D E

C

DA

E(–2,–2)

B

F(0,0)

H(–1,2)

G(m,n)

C

G

DA

E

B

F

H

2008 / ÖSS

30

ÇÖZÜM

I. Yol

C noktasının koordinatları (x0, y0) olsun. 2|AC| = |BC| ! dir.

II. Yol

2|AC| = |BC| ise

A dan B ye apsisler 10 – (–2) = 12 artar.

3k = 12 ! k = 4 olur.

A dan C ye k = 4 arttı!ına göre xo = – 2 + 4 = 2 olur.

A dan B ye ordinatlar –2 – (6) = –8 azalır.

3k = –8 ! k = – olur.

A dan C ye k = – azaldı!ına göre 6 – = olur.

C(xo, yo) = bulunur.

ÖRNEKA(2, –3) ve B(–2, 3) olmak üzere, AB do!rusu üzerinde ve [AB] parçasını

oranında dı"tan bölen C noktasının koordinatları nedir?

ÇÖZÜMC noktası (x, y) olsun

A dan B ye apsisler –2 – (2) = –4 (4 birim azalmı")

k = –4 ! 3k = –12 ! x = –2 – 12 = –14 olur.

A dan B ye ordinatlar 3 – (–3) = 6 (6 birim artmı")

k = 6 ! 3k = 18 ! y = 3 + 18 = 21 olur.

C(x, y) = C(–14, 21) bulunur.

B(–2, 3)A(2, –3) C(x,y)•

k!""#""$ 3k!"""#"""$

| |

| |

BC

AC

34

=

2,310c m

310

38

38

38

C(x0,y0)A(–2,6) B(10,–2)

k 2k

( , )– .

,– .

–

,

–

, ,

C x y1 1

2 1 10

1 1

621 2

1022

2310

2

2

2

232

4

23

12

2326

23210

o o =

+

+

+

=

+

= =

J

L

KKKKK

J

L

KKKKK

J

L

KKKKK

c

N

P

OOOOO

N

P

OOOOO

N

P

OOOOO

m

| |

| |

BC

AC 12

=


10

Yukarıdaki !ekilde A, B, C noktaları do"rusaldır.

oldu!una göre,

C noktasının koordinatları nedir?

Dik koordinat düzlemi üzerine !ekildeki gibiABCD karesi yerle!tirilmi!tir.

Buna göre, D noktasının koordinatlarının top-lamı kaçtır?

A) 6 B) 7 C) 8 D) 9 E) 10

D noktasından x eksenine dik çizersek olu!anDHC üçgeni ile BOC üçgeni e! üçgenler olur.Aynı açıların kar!ısındaki kenarların e!itli"inden|OB| = |CH| = 4 birim|OC| = |DH| = 3 birimBuradan |OH| = 7 birim|DH| = 3 birim olaca"ından D(x, y) = D(7, 3)x + y = 7 + 3

= 10 bulunur.A B C D E

O C(3,0)

B(0,4) D(x,y)

x"

ll" ll

# %&

'

3

%&'4

H

#

O C(3,0)

B(0,4)

A

D(x,y)

x

2009 / ÖSS

(–5,1)

| |

| |

BC

AB2=

B(–3, 0)A(1, –2) C(m,n)

31



|AC| = |CB|

|DE| = 2|DC|

A(4, –2)

B(6, 4)

D(7, –2)







ÇÖZÜM

–

, ( , )

| |

.

x

y

G ve P

GP

birimdir

34 1 6

31

32 5 4

311

31

311 2 1

231 1

311

949

964

3113

noktaları için

0

2 2

0

=+

=-

=+ +

=

-

= + + -

= + =

cc cm

m m

A(4,2)

G(x0,y0)

B(1,5) C(–6,4)

.

xx x x

y y y olur

3

3

01 2 3

01 2 3

=+ +

+ +y =

A(x1, y1)

G(x0, y0)

B(x2, y2) C(x3, y3)

( )a ve b

26 4 5

24 2

1=+

= =+ -

=

E(c,d)

B(6,4)

A(4,–2)

k D(7,–2)!"#

!$"$# 2kC(a,b)

E

B(6,4)

A(4,–2)

CD(7,–2)

11




–8

(3,1)

ß10

32

ÖRNEKABC üçgeninde D, E, F noktaları bulunduklarıkenarların orta noktalarıdır.

D(6,4)

E(0,5)

F(3,3)

Yukarıdaki verilere göre, DEF üçgeninin a!ırlık merkezinin A noktasına uzak-lı!ı kaç birimdir?

ÇÖZÜMDEF üçgeninin a!ırlık merkezi G(xo, yo) olsun.

G(3,4) tür. ABC üçgeninde D, E, F orta noktalar oldu!undan ADFE dörtgeni paralel-kenar olur.

x + 3 = 6 + 0 ! x = 3

y + 3 = 5 + 4 ! y = 6

A(3, 6) dır.

ÖRNEKKö"elerinin koordinatları A(4, –3), B(5, b) ve C(a, 4) olan ABC üçgeninin a!ır-lık merkezi (2, 1) oldu!una göre (a, b) ikilisi nedir?

ÇÖZÜM

(a,b) = (–3,2) olur.

G. ÜÇGEN#N ALANI

Kö"elerinin koordinatları

A(x1, y1), B(x2, y2), C(x3, y3)

olan ABC üçgeninin alanı:

A(x1, y1)

B(x2, y2) C(x3, y3)

3 9 6 , 3

( ),

aa a

bb b

34 5

33 4

1 1 3 2

&

&

+ += + = =-

+ - += + = =

A(4, –3)

B(5, 6) C(a, 4)

G(2, 1)

| | ( – ) ( – )

.

AG

birim olur

3 3 4 62

2 2= +

=

A(x, y)

E(0,5)

F(3,3)B C

D(6,4)

x

y

33 3

3

6 0

4 5 3 4

o

o

=+ +

=

=+ +

=

A

E(0,5)

F(3,3)B C

D(6,4)


12

Kö!elerinin koordinatları A(6,–1), B(3, –3) veC(–1, 3) olan ABC üçgeninin a"ırlık merkezi-nin eksenlere olan uzaklıkları toplamı kaçtır?

ABCD bir paralelkenar

|EB| = 3|ED|

A(3, –8), C(9, 4), D(–4, 2)

Yukarıdaki verilere göre, E noktasının koordi-natlarını bulunuz.

AOB bir üçgen

|AB| = |OB|, B(5, 3)

Yukarıdaki verilere göre, Alan(AOB) kaç bi-rim karedir?

15

O

A

x

y

B(5, 3)

(1,0)

D (–4, 2) C (9, 4)

A(3, – 8) B

E

3Sayfa 12

33


D(6,4)

E(0,5)

F(3,3)




x + 3 = 6 + 0 ! x = 3

y + 3 = 5 + 4 ! y = 6

A(3, 6) dır.


ÇÖZÜM

(a,b) = (–3,2) olur.

G. ÜÇGEN#N ALANI


A(x1, y1), B(x2, y2), C(x3, y3)


A(x1, y1)

B(x2, y2) C(x3, y3)

3 9 6 , 3

( ),

aa a

bb b

34 5

33 4

1 1 3 2

&

&

+ += + = =-

+ - += + = =

A(4, –3)

B(5, 6) C(a, 4)

G(2, 1)

| | ( – ) ( – )

.

AG

birim olur

3 3 4 62

2 2= +

=

A(x, y)

E(0,5)

F(3,3)B C

D(6,4)

x

y

33 3

3

6 0

4 5 3 4

o

o

=+ +

=

=+ +

=

A

E(0,5)

F(3,3)B C

D(6,4)


12



|EB| = 3|ED|

A(3, –8), C(9, 4), D(–4, 2)


AOB bir üçgen

|AB| = |OB|, B(5, 3)


15

O

A

x

y

B(5, 3)

(1,0)

D (–4, 2) C (9, 4)

A(3, – 8) B

E

3

Sayfa 12

34



|AC| = |CB|

|DE| = 2|DC|

A(4, –2)

B(6, 4)

D(7, –2)







ÇÖZÜM

–

, ( , )

| |

.

x

y

G ve P

GP

birimdir

34 1 6

31

32 5 4

311

31

311 2 1

231 1

311

949

964

3113

noktaları için

0

2 2

0

=+

=-

=+ +

=

-

= + + -

= + =

cc cm

m m

A(4,2)

G(x0,y0)

B(1,5) C(–6,4)

.

xx x x

y y y olur

3

3

01 2 3

01 2 3

=+ +

+ +y =

A(x1, y1)

G(x0, y0)

B(x2, y2) C(x3, y3)

( )a ve b

26 4 5

24 2

1=+

= =+ -

=

E(c,d)

B(6,4)

A(4,–2)

k D(7,–2)!"#

!$"$# 2kC(a,b)

E

B(6,4)

A(4,–2)

CD(7,–2)

11




–8

(3,1)

ß10

35



|AC| = |CB|

|DE| = 2|DC|

A(4, –2)

B(6, 4)

D(7, –2)







ÇÖZÜM

–

, ( , )

| |

.

x

y

G ve P

GP

birimdir

34 1 6

31

32 5 4

311

31

311 2 1

231 1

311

949

964

3113

noktaları için

0

2 2

0

=+

=-

=+ +

=

-

= + + -

= + =

cc cm

m m

A(4,2)

G(x0,y0)

B(1,5) C(–6,4)

.

xx x x

y y y olur

3

3

01 2 3

01 2 3

=+ +

+ +y =

A(x1, y1)

G(x0, y0)

B(x2, y2) C(x3, y3)

( )a ve b

26 4 5

24 2

1=+

= =+ -

=

E(c,d)

B(6,4)

A(4,–2)

k D(7,–2)!"#

!$"$# 2kC(a,b)

E

B(6,4)

A(4,–2)

CD(7,–2)

11




–8

(3,1)

ß10

36


D(6,4)

E(0,5)

F(3,3)




x + 3 = 6 + 0 ! x = 3

y + 3 = 5 + 4 ! y = 6

A(3, 6) dır.


ÇÖZÜM

(a,b) = (–3,2) olur.

G. ÜÇGEN#N ALANI


A(x1, y1), B(x2, y2), C(x3, y3)


A(x1, y1)

B(x2, y2) C(x3, y3)

3 9 6 , 3

( ),

aa a

bb b

34 5

33 4

1 1 3 2

&

&

+ += + = =-

+ - += + = =

A(4, –3)

B(5, 6) C(a, 4)

G(2, 1)

| | ( – ) ( – )

.

AG

birim olur

3 3 4 62

2 2= +

=

A(x, y)

E(0,5)

F(3,3)B C

D(6,4)

x

y

33 3

3

6 0

4 5 3 4

o

o

=+ +

=

=+ +

=

A

E(0,5)

F(3,3)B C

D(6,4)


12



|EB| = 3|ED|

A(3, –8), C(9, 4), D(–4, 2)


AOB bir üçgen

|AB| = |OB|, B(5, 3)


15

O

A

x

y

B(5, 3)

(1,0)

D (–4, 2) C (9, 4)

A(3, – 8) B

E

3

37


D(6,4)

E(0,5)

F(3,3)




x + 3 = 6 + 0 ! x = 3

y + 3 = 5 + 4 ! y = 6

A(3, 6) dır.


ÇÖZÜM

(a,b) = (–3,2) olur.

G. ÜÇGEN#N ALANI


A(x1, y1), B(x2, y2), C(x3, y3)


A(x1, y1)

B(x2, y2) C(x3, y3)

3 9 6 , 3

( ),

aa a

bb b

34 5

33 4

1 1 3 2

&

&

+ += + = =-

+ - += + = =

A(4, –3)

B(5, 6) C(a, 4)

G(2, 1)

| | ( – ) ( – )

.

AG

birim olur

3 3 4 62

2 2= +

=

A(x, y)

E(0,5)

F(3,3)B C

D(6,4)

x

y

33 3

3

6 0

4 5 3 4

o

o

=+ +

=

=+ +

=

A

E(0,5)

F(3,3)B C

D(6,4)


12



|EB| = 3|ED|

A(3, –8), C(9, 4), D(–4, 2)


AOB bir üçgen

|AB| = |OB|, B(5, 3)


15

O

A

x

y

B(5, 3)

(1,0)

D (–4, 2) C (9, 4)

A(3, – 8) B

E

3


Alan(ABC) = |a – b|

= |(x1y2 + x2y3 + x3y1) – (x2y1 + x3y2 + x1y3)| olur.

ÖRNEKKö#elerinin koordinatları A(2, 4), B(–5, 6) ve C(4, 3) olan ABC üçgeninin alanıkaç birim karedir?

ÇÖZÜM

ÖRNEKA(–4, 3), B(3, 2) ve C(4, a) noktaları do!rusal oldu!una göre, a kaçtır?

ÇÖZÜMA, B, C noktalarının do!rusal olabilmesi için Alan(ABC) = 0 olmalıdır.

( ) | ( ) |

| |

.

Alan ABC a a

a

a olur

21 3 4 4 17 0

21 7 13 0

713

= + - - + =

- =

=

–434

–4+

–83a12

3a + 4

32a3

+

98

–4a–4a + 17

Alan(ABC) = 0 ise A, B ve C noktalar› do¤rusald›r. (Ayn› do¤ru üzerindedir.)

( ) | – |

.

, .

Alan ABC

birim karedir

21 13 10

21 3

1 5

=

=

=

2–5

42

+

12–15

16

4634

+

–2024

610 13

21

21

x2y1

x3y2

x1y3+b

x1 y1x2 y2x3 y3x1 y1

x1y2

x2y3

x3y1+a

13

Kö!elerinin koordinatları ,

ve C(1, 10) olan ABC üçgeninin alanı kaç br2

dir?

A) 6 B) 8 C) 10 D) 12 E) 24

!ekildeki analitik düzlemde OABC e"kenar dört-gen ve B(4, 2) dir.

Buna göre, Alan(OABC) kaç birim karedir?

5

C B(4, 2)

AOx

y

A B C D E

21 | – 6 – 6 |

21 12

6 br olur.2

=

=

=

35 0

35 0

35

0

–

1 10

12Alan(ABC) =

0

0

6

0

–6

0+–6

+6

– ,B53 0d n,A

53 0d n

2009 / ÖSS

38





ÇÖZÜM



( ) | ( ) |

| |

.

Alan ABC a a

a

a olur

21 3 4 4 17 0

21 7 13 0

713

= + - - + =

- =

=

–434

–4+

–83a12

3a + 4

32a3

+

98

–4a–4a + 17


( ) | – |

.

, .

Alan ABC

birim karedir

21 13 10

21 3

1 5

=

=

=

2–5

42

+

12–15

16

4634

+

–2024

610 13

21

21

x2y1

x3y2

x1y3+b


x1y2

x2y3

x3y1+a

13



dir?

A) 6 B) 8 C) 10 D) 12 E) 24



5

C B(4, 2)

AOx

y

A B C D E

21 | – 6 – 6 |

21 12

6 br olur.2

=

=

=

35 0

35 0

35

0

–

1 10

12Alan(ABC) =

0

0

6

0

–6

0+–6

+6

– ,B53 0d n,A

53 0d n

2009 / ÖSS

39





ÇÖZÜM



( ) | ( ) |

| |

.

Alan ABC a a

a

a olur

21 3 4 4 17 0

21 7 13 0

713

= + - - + =

- =

=

–434

–4+

–83a12

3a + 4

32a3

+

98

–4a–4a + 17


( ) | – |

.

, .

Alan ABC

birim karedir

21 13 10

21 3

1 5

=

=

=

2–5

42

+

12–15

16

4634

+

–2024

610 13

21

21

x2y1

x3y2

x1y3+b


x1y2

x2y3

x3y1+a

13



dir?

A) 6 B) 8 C) 10 D) 12 E) 24



5

C B(4, 2)

AOx

y

A B C D E

21 | – 6 – 6 |

21 12

6 br olur.2

=

=

=

35 0

35 0

35

0

–

1 10

12Alan(ABC) =

0

0

6

0

–6

0+–6

+6

– ,B53 0d n,A

53 0d n

2009 / ÖSS

40





ÇÖZÜM



( ) | ( ) |

| |

.

Alan ABC a a

a

a olur

21 3 4 4 17 0

21 7 13 0

713

= + - - + =

- =

=

–434

–4+

–83a12

3a + 4

32a3

+

98

–4a–4a + 17


( ) | – |

.

, .

Alan ABC

birim karedir

21 13 10

21 3

1 5

=

=

=

2–5

42

+

12–15

16

4634

+

–2024

610 13

21

21

x2y1

x3y2

x1y3+b


x1y2

x2y3

x3y1+a

13



dir?

A) 6 B) 8 C) 10 D) 12 E) 24



5

C B(4, 2)

AOx

y

A B C D E

21 | – 6 – 6 |

21 12

6 br olur.2

=

=

=

35 0

35 0

35

0

–

1 10

12Alan(ABC) =

0

0

6

0

–6

0+–6

+6

– ,B53 0d n,A

53 0d n

2009 / ÖSS





ÇÖZÜM



( ) | ( ) |

| |

.

Alan ABC a a

a

a olur

21 3 4 4 17 0

21 7 13 0

713

= + - - + =

- =

=

–434

–4+

–83a12

3a + 4

32a3

+

98

–4a–4a + 17


( ) | – |

.

, .

Alan ABC

birim karedir

21 13 10

21 3

1 5

=

=

=

2–5

42

+

12–15

16

4634

+

–2024

610 13

21

21

x2y1

x3y2

x1y3+b


x1y2

x2y3

x3y1+a

13



dir?

A) 6 B) 8 C) 10 D) 12 E) 24



5

C B(4, 2)

AOx

y

A B C D E

21 | – 6 – 6 |

21 12

6 br olur.2

=

=

=

35 0

35 0

35

0

–

1 10

12Alan(ABC) =

0

0

6

0

–6

0+–6

+6

– ,B53 0d n,A

53 0d n

2009 / ÖSS

41

14

NELER Ö!REND"K?

"ki Nokta Arasındaki Uzaklık

A(x1, y1) ve B(x2, y2) noktaları verilsin. A ve B noktaları arasındaki uzaklık,

|AB| =

Bir Do#ru Parçasının Orta Noktasının Koordinatları

Paralelkenarın Kö$e Noktalarının Koordinatları

Bir Do#ru Parçasını, Verilen Bir Oranda Bölen Noktanın Koordinatları

P noktası; [AB] do!ru parçasını oranında içten bölen noktadır.

P noktası; [AB] do!ru parçasını oranında dı"tan bölen noktadır.

Üçgenin A#ırlık MerkeziKö"elerinin koordinatları A(x1, y1), B(x2, y2), C(x3, y3) olan ABC üçgeninin a!ırlık merkezinin (kenarortaylarının kesim nokta-sının) koordinatları G(x0,y0) olsun.

Üçgenin AlanıKö"elerinin koordinatları A(x1, y1), B(x2, y2), C(x3, y3) olan ABC üçgeninin alanı:


= |(x1y2 + x2y3 + x3y1) – (x2y1 + x3y2 + x1y3)|21

21

x2y1

x3y2

x1y3+b


x1y2

x2y3

x3y1+a

xx x x

y y y

3

3

01 2 3

01 2 3

=+ +

+ +y =

| || |PBPA

k=

,xk

x kxy

ky ky

1 101 2

01 2=

--

=--

| || |

.PBPA

k olsun=A(x1,y1)P(x0,y0) B(x2,y2)

| || |PBPA

k=

xk

x kxy

ky ky

1 101 2

01 2=

++

=++

| || |

.PBPA

k olsun=A(x1,y1) P(x0,y0) B(x2,y2)

xx x x x

x x x x

yy y y y

y y y y

2 2

2 2

01 3 2 4

1 3 2 4

01 3 2 4

1 3 2 4

&

&

=+

=+

+ = +

=+

=+

+ = +

D(x4, y4) C(x3, y3)

A(x1, y1) B(x2, y2)

K(x0,y0)

,xx x

yy y

2 201 2

01 2=

+=

+• • •A(x1,y1)

P(x0,y0)

B(x2,y2)

( ) ( )x x y y1 22

1 22- + -

14

NELER Ö!REND"K?



|AB| =









= |(x1y2 + x2y3 + x3y1) – (x2y1 + x3y2 + x1y3)|21

21

x2y1

x3y2

x1y3+b


x1y2

x2y3

x3y1+a

xx x x

y y y

3

3

01 2 3

01 2 3

=+ +

+ +y =

| || |PBPA

k=

,xk

x kxy

ky ky

1 101 2

01 2=

--

=--

| || |

.PBPA


| || |PBPA

k=

xk

x kxy

ky ky

1 101 2

01 2=

++

=++

| || |

.PBPA


xx x x x

x x x x

yy y y y

y y y y

2 2

2 2

01 3 2 4

1 3 2 4

01 3 2 4

1 3 2 4

&

&

=+

=+

+ = +

=+

=+

+ = +

D(x4, y4) C(x3, y3)

A(x1, y1) B(x2, y2)

K(x0,y0)

,xx x

yy y

2 201 2

01 2=

+=

+• • •A(x1,y1)

P(x0,y0)

B(x2,y2)

( ) ( )x x y y1 22

1 22- + -

14

NELER Ö!REND"K?



|AB| =









= |(x1y2 + x2y3 + x3y1) – (x2y1 + x3y2 + x1y3)|21

21

x2y1

x3y2

x1y3+b


x1y2

x2y3

x3y1+a

xx x x

y y y

3

3

01 2 3

01 2 3

=+ +

+ +y =

| || |PBPA

k=

,xk

x kxy

ky ky

1 101 2

01 2=

--

=--

| || |

.PBPA


| || |PBPA

k=

xk

x kxy

ky ky

1 101 2

01 2=

++

=++

| || |

.PBPA


xx x x x

x x x x

yy y y y

y y y y

2 2

2 2

01 3 2 4

1 3 2 4

01 3 2 4

1 3 2 4

&

&

=+

=+

+ = +

=+

=+

+ = +

D(x4, y4) C(x3, y3)

A(x1, y1) B(x2, y2)

K(x0,y0)

,xx x

yy y

2 201 2

01 2=

+=

+• • •A(x1,y1)

P(x0,y0)

B(x2,y2)

( ) ( )x x y y1 22

1 22- + -

42

14

NELER Ö!REND"K?



|AB| =









= |(x1y2 + x2y3 + x3y1) – (x2y1 + x3y2 + x1y3)|21

21

x2y1

x3y2

x1y3+b


x1y2

x2y3

x3y1+a

xx x x

y y y

3

3

01 2 3

01 2 3

=+ +

+ +y =

| || |PBPA

k=

,xk

x kxy

ky ky

1 101 2

01 2=

--

=--

| || |

.PBPA


| || |PBPA

k=

xk

x kxy

ky ky

1 101 2

01 2=

++

=++

| || |

.PBPA


xx x x x

x x x x

yy y y y

y y y y

2 2

2 2

01 3 2 4

1 3 2 4

01 3 2 4

1 3 2 4

&

&

=+

=+

+ = +

=+

=+

+ = +

D(x4, y4) C(x3, y3)

A(x1, y1) B(x2, y2)

K(x0,y0)

,xx x

yy y

2 201 2

01 2=

+=

+• • •A(x1,y1)

P(x0,y0)

B(x2,y2)

( ) ( )x x y y1 22

1 22- + -

43

14

NELER Ö!REND"K?



|AB| =









= |(x1y2 + x2y3 + x3y1) – (x2y1 + x3y2 + x1y3)|21

21

x2y1

x3y2

x1y3+b


x1y2

x2y3

x3y1+a

xx x x

y y y

3

3

01 2 3

01 2 3

=+ +

+ +y =

| || |PBPA

k=

,xk

x kxy

ky ky

1 101 2

01 2=

--

=--

| || |

.PBPA


| || |PBPA

k=

xk

x kxy

ky ky

1 101 2

01 2=

++

=++

| || |

.PBPA


xx x x x

x x x x

yy y y y

y y y y

2 2

2 2

01 3 2 4

1 3 2 4

01 3 2 4

1 3 2 4

&

&

=+

=+

+ = +

=+

=+

+ = +

D(x4, y4) C(x3, y3)

A(x1, y1) B(x2, y2)

K(x0,y0)

,xx x

yy y

2 201 2

01 2=

+=

+• • •A(x1,y1)

P(x0,y0)

B(x2,y2)

( ) ( )x x y y1 22

1 22- + -

44

Technology

Doğrunun analitik i̇ncelenmesi 1