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GEOMETRIA DESCRITIVA A11.º Ano
Perpendicularidade entre Planos
© antónio de campos, 2009
Perpendicularidade entre PlanosUm plano é perpendicular a outro plano, se contiver uma recta perpendicular ao outro plano.
Planos Perpendiculares - GeralPretendem-se os traços de um plano δ, perpendicular ao plano α e passando pelo ponto P.
x
fα
p1
P1
P2
p2
Uma recta p que pertence ao plano δ é perpendicular ao plano α.
hα
fδ
hδ
F1
F2
H1
H2
Qualquer outro plano que contenha a recta p é perpendicular ao plano α.
Os traços de um plano oblíquo α são concorrentes num ponto com 2 cm de abcissa e fazem com o eixo x, ângulos de 30º (a.d.) e 45 (a.e.), respectivamente o traço frontal e o traço horizontal. Desenha as projecções de um plano de rampa ρ, perpendicular ao plano α e passando pelo ponto M (-2; 2; 1).
x
y ≡ z
M1
M2
fα
hα
p2
H1
H2
p1
F2
F1
fρ
hρ
Um plano de topo δ faz um diedro de 40º (a.e.) com o Plano Horizontal de Projecção e corta o eixo x num ponto com –3 cm de abcissa. Determina os traços de um plano θ, em que o seu traço horizontal faz um ângulo de 70º (a.d.) com o eixo x, passa pelo ponto T (2; 3; 2) e é perpendicular com o plano δ.
x
y ≡ zfδ
T1
T2
hδ
p2
p1
Uma recta frontal auxiliar p, que pertence ao plano θ vai permitir determinar os traços do plano.
H1
H2
hθ
fθ
É dado um plano horizontal ν, com 4 cm de cota. Determina os traços de um plano perpendicular ao plano ν e contendo o ponto P (3; 2). Que outras soluções são possíveis?
x
P1
P2
fν
Nesta solução, uma recta vertical auxiliar v foi utilizada.
v2
≡ ( v1)
fα
hα
Qualquer plano vertical que passe pelo ponto P será perpendicular ao plano v.
Ainda seria possível como solução, um plano frontal ou um plano de perfil.
Planos Perpendiculares aos Planos BissectoresA mesma regra geral é aplicada: de que um plano é perpendicular a outro plano, se contiver uma recta perpendicular ao outro plano. Com os bissectores é necessário ter em conta as características das rectas contidas nos bissectores.
Os planos bissectores são planos de rampa (passante), e portanto contém rectas fronto-horizontais, rectas oblíquas (passantes) e rectas de perfil (passantes).
No caso de rectas fronto-hrizontais, será sempre um plano de perfil que será perpendicular à recta. Assim os planos de perfil serão sempre perpendiculares aos bissectores.
Planos Perpendiculares ao Bissector β1,3
Pretendem-se os traços de um plano α, perpendicular ao bissector β1,3; utilizando uma recta oblíqua (passante) r, pertencente ao bissector.
x
fα
Uma recta r pertence ao bissector β1,3, por ser passante (passa pelo eixo x) e ser simétrica.
hα
r2
r1
O plano α acaba por ser uma plano simétrico.
Caso a recta do bissector β1,3 fosse uma recta de perfil (passante), o plano perpendicular a essa recta seria um plano de rampa, com os seus traços simétricos em relação ao eixo x.
Planos Perpendiculares ao Bissector β2,4
Pretendem-se os traços de um plano δ, perpendicular ao bissector β2,4; utilizando uma recta oblíqua (passante) s, pertencente ao bissector.
x
fδ ≡ hδ Uma recta s pertence ao bissector β2,4, por ter as suas projecções coincidentes.
s1 ≡ s2
O plano δ acaba por ser uma plano oblíquo com os seus traços coincidentes entre si, e concorrentes com o eixo x.
Caso a recta do bissector β2,4 fosse uma recta de perfil (passante), o plano perpendicular a essa recta seria um plano de rampa, com os seus traços coincidentes entre si.
Uma recta frontal f faz um ângulo de 30º (a.e.) com o Plano Horizontal de Projecção, e tem 3 cm de afastamento. Determina os traços do plano α, perpendicular ao β1,3, e que contém a recta f.
x
f2
f1
H1
H2
fα
hα
O traço frontal do plano é paralelo à projecção frontal da recta, porque o plano α contém a recta f.
Pelo facto do plano α ser perpendicular ao β1,3 têm os seus traços simétricos, fα é simétrico com hα em relação ao eixo x.
Uma recta frontal f faz um ângulo de 30º (a.e.) com o Plano Horizontal de Projecção, e tem 3 cm de afastamento. Determina os traços do plano α, perpendicular ao β2,4, e que contém a recta f.
x
f2
f1
H1
H2
fα ≡
hα
O traço frontal do plano é paralelo à projecção frontal da recta, porque o plano α contém a recta f.
Pelo facto do plano α ser perpendicular ao β2,4 têm os seus traços coincidentes, fα é coincidente com hα.
Um plano α é perpendicular ao β2,4, e o traço frontal do plano faz um ângulo de 60º (a.d.) com o eixo x. Determina as projecções do ponto A (3; 4), contido no plano.
x
Para o ponto ertencer a um plano tem que pertencer a uma recta do plano.
Uma recta frontal do plano com 3 cm de afastamento será utilizada.
fα ≡
hα
f1
f2
A1
A2
H1
H2