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GEOMETRIA DESCRITIVA A11.º Ano
Problemas MétricosÂngulos entre Duas Rectas
© antónio de campos, 2010
GENERALIDADESUm ângulo será toda a superfície plana entre duas semi-rectas com direcções diferentes e a mesma extremidade.
O ângulo entre duas rectas está contido no plano definido pelas duas rectas.
s
r
A
B
B’
C
C’
Os ângulos BÂC e B’ÂC’ são ângulos verticalmente opostos e são geometricamente iguais – têm a mesma amplitude.
s
r
A
O ângulo entre duas rectas é sempre o menor ângulo por estas formado.
O estdudo sobre ângulos trata da V.G. da sua amplitude, utilizando uma qualquer letra minúscula do alfabeto grego para representar o ângulo.
αº
αº
s
r
A
B
B’
C
C’
r’
O
P
Q
Os ângulos BÂC e PÔQ são ângulos de lados directamente paralelos e são geometricamente iguais.
Os ângulos B’ÂC’ e PÔQ são ângulos de lados inversamente paralelos e são geometricamente iguais.
m
n
o
r
αº
αº
αº
Duas rectas paralelas entre si formam, com uma terceira recta concorrente com aquelas, ângulos geometricamente iguais.
Ângulo entre Duas Rectas Horizontais ConcorrentesPretende-se a V.G. do ângulo formado entre as duas rectas, a e b.
x
a2 ≡ b2
a1
b1 P1
P2
Duas rectas concorrentes (no ponto P) definem um plano (plano horizontal).
A V.G. do ângulo entre as duas rectas a e b está no ângulo menor formado entre a1 e b1, com o vértice em P1.
αº
Ângulo entre Duas Rectas Frontais EnviesadasPretende-se a V.G. do ângulo formado entre as duas rectas, a e b.
x
a2
a1
b1
Para transformar duas rectas frontais enviesadas, é necessário obter uma recta b’ paralela à recta b e concorrentes com a recta a, no ponto P.
A V.G. do ângulo entre as duas rectas a e b’ está no ângulo menor formado entre a2 e b’2, com o vértice em P2.
b2
≡ b’1
P1
P2
b’2
αº
São dadas duas rectas frontais, f e f’, concorrentes no ponto A (2; 3). A recta f faz um ângulo de 25º (a.d.) com o Plano Horizontal de Projecção. A recta f’ faz um ângulo de 65º (a.d.) com o Plano Horizontal de Projecção. Determina a V.G. do ângulo entre as duas rectas, f e f’.
x
A1
A2
f1 ≡ f’1
f2
f’2
Duas rectas concorrentes (no ponto P) definem um plano (plano frontal).
A V.G. do ângulo entre as duas rectas f e f’ está no ângulo menor formado entre f2 e f’2, com o vértice em P2.
αº
São dadas duas rectas horizontais, h e h’. A recta h faz um ângulo de 30º (a.d.) com o Plano Frontal de Projecção, e contém o ponto A (2; 2; 2). A recta h’ faz um ângulo de 30º (a.e.) com o Plano Frontal de Projecção, e contém o ponto B (0; 2; 4). Determina a V.G. do ângulo entre as duas rectas, h e h’.
x
y ≡ z
A1
A2
B1
B2
h2
h1
h’2
h’1
Para transformar duas rectas horizontais enviesadas, é necessário obter uma recta h’’ paralela à recta h’ e concorrentes com a recta h, no ponto P.
A V.G. do ângulo entre as duas rectas h e h’’ está no ângulo menor formado entre h1 e h’’1, com o vértice em P1.
≡ h’’2
≡ h’’1
P1
P2
αº
Ângulo entre Duas Rectas Oblíquas ConcorrentesPretende-se a V.G. do ângulo formado entre as duas rectas, r e s.
x
P1
P2
r1
r2 s2
s1
Duas rectas concorrentes (no ponto P) definem um plano θ.
Para determinar a V.G. do ângulo entre as duas rectas r e s é necessário rebater o plano θ para o Plano Horizontal de Projecção.
A V.G. está no ângulo menor formado entre rr e sr, com o vértice em Pr.
H1
H2
H’1
H’2
e1
≡ e2
Pr1
Pr
≡ Hr
≡ H’r
rr sr
αº
Ângulo entre Duas Rectas Oblíquas EnviesadasPretende-se a V.G. do ângulo formado entre as duas rectas, r e s.
x
r2
s2
s1 r1
Primeiro é necessário obter uma recta s’ paralela à recta s e concorrentes com a recta r, no ponto P.
Para determinar a V.G. do ângulo entre as duas rectas r e s’ é necessário rebater o plano formado pelas duas rectas para um plano frontal φ.
A V.G. está no ângulo menor formado entre rr e s’r, com o vértice em Pr.
P1
P2
s’1
s’2
(hφ) ≡ e1M1
M2
N1
N2e2
Pr1
Pr
≡ Mr
≡ Nr
αº
s’r
rr
Ângulo entre uma Recta Oblíqua e uma Recta de Perfil
Pretende-se a V.G. do ângulo formado entre as duas rectas, r e p.
x
p1 ≡ p2
r1
r2
A1
B1
B2
A2
Primeiro é necessário obter uma recta r’ paralela à recta p e concorrentes com a recta r, no ponto A.
Para determinar a V.G. do ângulo entre as duas rectas r’ e p é necessário rebater o plano formado pelas duas rectas para um plano horizontal υ.
A V.G. está no ângulo menor formado entre r’r e pr, com o vértice em Pr. r’1
r’2
(fυ) ≡ e2
C1
C2
≡ Br
≡ Cr
e1Ar1
Ar
pr
r’r
αº
Ângulo entre uma Recta Oblíqua e uma Recta Frontal
Pretende-se a V.G. do ângulo formado entre as duas rectas, r e f.
x
r2
r1
f1
f2
Primeiro é necessário obter uma recta r’ paralela à recta r e concorrentes com a recta f, no ponto P.
Para determinar a V.G. do ângulo entre as duas rectas r’ e f é necessário rebater o plano formado pelas duas rectas para um plano frontal φ que contém a recta f. Um ponto qualquer A da recta r’ permite rebater a recta r’.
A V.G. está no ângulo menor formado entre r’r e fr, com o vértice em Pr.
P1
P2
r’1
r’2
≡ (hφ)
≡ fr
A1
A2
Ar1
Ar
≡ Pr
r’r
αº
São dadas duas rectas oblíquas, r e s, concorrentes num ponto com 3 cm de cota. A recta r é uma recta do β1,3 e a sua projecção frontal faz um ângulo de 30º (a.e.) com o eixo x. A recta s é paralela ao β2,4 e a sua projecção frontal faz um ângulo de 45º (a.e.) com o eixo x. Determina a V.G. do ângulo entre as duas rectas, r e s.
x
r2
r1
s2
P1
P2
s1
Para determinar a V.G. do ângulo entre as duas rectas r e s é necessário rebater o plano formado pelas duas rectas para um plano horizontal υ.
A V.G. está no ângulo menor formado entre rr e sr, com o vértice em Pr.
(fυ) ≡ e2
A1
A2
B1
B2
e1
≡ Ar
≡ Br
Pr1
Pr
rr
sr
αº
São dadas duas rectas oblíquas, m e n. A recta m contém o ponto A (4; 4; 2) e o seu traço frontal tem 0 cm de abcissa e 4 cm de cota. A recta n é paralela ao β2,4, o seu traço horizontal tem –3 cm de abcissa e 4 cm de afastamento e a sua projecção horizontal faz um ângulo de 60º (a.d.) com o eixo x. Determina a V.G. do ângulo entre as duas rectas, m e n.
x
y ≡ z
A1
A2
F2
F1
m2
m1
H1
H2
n1
n2 Primeiro é necessário obter uma recta n’ paralela à recta n e concorrentes com a recta m, no pontoqualquer P da recta m.
Para determinar a V.G. do ângulo entre as duas rectas n’ e p é necessário rebater o plano formado pelas duas rectas para um plano horizontal υ.
A V.G. está no ângulo menor formado entre n’r e pr, com o vértice em Pr.
P1
P2
n’1
n’2
(fυ) ≡ e2
B1
B2
e1 ≡ Ar
≡ Br
Pr1
Pr mr
n’r
αº