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第 19 课 特殊三角形. 基础知识 自主学习. 要点梳理. 1 .等腰三角形: (1) 性质: 相等, 相等,底边上的高线、中线、 顶角的角平分线“三线合一”; (2) 判定:有两边相等、两角相等或两线合一的三角形是等腰 三角形. 2 .等边三角形: (1) 性质: 相等,三内角都等于 ; (2) 判定:三边相等、三内角相等或有一个角是 60° 的等腰三 角形是等边三角形.. 两腰. 两底角. 三边. 60°. A. b c a. c 2. - PowerPoint PPT Presentation
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第 19 课 特殊三角形
基础知识 自主学习
1 .等腰三角形: (1) 性质: 相等, 相等,底边上的高线、中线、 顶角的角平分线“三线合一”; (2) 判定:有两边相等、两角相等或两线合一的三角形是等腰 三角形.2 .等边三角形: (1) 性质: 相等,三内角都等于 ; (2) 判定:三边相等、三内角相等或有一个角是 60° 的等腰三 角形是等边三角形.
要点梳理
两腰 两底角
三边 60°
3 .直角三角形:在△ ABC 中,∠ C = 90°.
(1) 性质:边与边的关系: ( 勾股定理 )a2 + b2 = ; (2) 角与角的关系:∠ A +∠ B = ; (3) 边与角的关系: 若∠ A = 30° ,则 a = ____ c , b = ____c ; 若 a = c ,则∠ A = 30° ;
若∠ A = 45° ,则 a = b = ____c ; 若 a = b ,则∠ A = 45° ; 斜边上的中线 m = c = R. 其中 R 为三角形外接圆的半
径. (4) 判定:
c2
90°C B
A
2
1
b c
a
2
3
2
1
2
2
2
1
③ 如果三角形一条边上的中线等于这条边的一半,那么这个三角形是直角三角形.
① 有一个角是直角的三角形是直角三角形;② 如果三角形的三边长 a 、 b 、 c 满足 a2 + b2 = c2 ,那么这个三角形是直角三角形;
[ 难点正本 疑点清源 ] 1 .等腰三角形的特殊性 “等边对等角”是今后我们证明角相等的又一个重要依据.
“等角对等边”可以判定一个三角形是等腰三角形,同时也是今后证明两条线段相等的重要依据. 等边三角形是等腰三角形,但等腰三角形不一定是等边三角形,等边三角形拥有等腰三角形的所有性质,但不分顶角、底角、腰、底边.因为等边三角形任何一个角都为 60° ,任何一条边都可看做腰或底边. 解答等腰三角形的有关问题时,常作辅助线,构造出“三线合一”的基本图形.在添加辅助线时,要根据具体情况而定,表达辅助线的语句,不能限制条件过多,如一边上的高并且要平分这条边;作一边上的中线并且垂直平分这条边;作一个角的平分线并且垂直对边等等,这些都是不正确的.
2 .直角三角形的特殊性 直角三角形是重要的基本图形之一,它的特征和识别应用非常广泛,把勾股定理运用到实际生活中解决实际问题,常常渗透着数形结合、方程思想. 在利用勾股定理时,一定要看清题中所给的条件是不是直角三角形,所给的边是直角边还是斜边,如果题目无法确定是直角边还是斜边,则需要分类讨论.勾股定理的逆定理是把数转化为形,是通过计算判定一个三角形是否为直角三角形. 实际问题可根据实际情况转化为直角三角形去解,图中无直角时,可通过添加辅助线来构造直角三角形.若图形中有特殊角,如 30° 、 45° 、 60° 的角,在作辅助线时,要注意保留其完整性,以便应用特殊三角形的性质.
题型分类 深度剖析
【例 1 】 (1) 方程 x2 - 9x + 18 = 0 的两个根是等腰三角形的底和腰,则这个三角形的周长为 ( )
A . 12 B . 12 或 15 C . 15 D .不能确定 答案 C
解析 解方程 x2 - 9x + 18 = 0 ,得 x1 = 3 , x2 = 6 ,周长为 3 + 6 +6 = 15 ,应选 C.
(2) 如果等腰三角形的一个内角是 80° ,那么顶角是 ________ 度. 答案 80 或 20
解析 顶角是 80° ,或当底角是 80° 时,顶角是 180° - 2×80° = 20°.
探究提高 在等腰三角形中,如果没有明确底边和腰,某一边可以是底, 也可以是腰.同样,某一角可以是底角也可以是顶角,必须仔细分类讨 论.
题型一 等腰三角形有关边角的讨论
知能迁移 1(1)(2011· 烟台 ) 等腰三角形的周长为 14 ,其一边长为 4 ,那么,它的底边为 ___________________ .
答案 4 或 6
解析 ①等腰三角形的底边为 4 ;②等腰三角形的两腰为 4 时,则底边等于 14 - 4 - 4 = 6.
(2)(2011· 株洲 ) 如图, △ ABC 中, AB = AC ,∠ A = 36° ,AC 的垂直平分线交 AB 于 E , D 为垂足,连接 EC.
① 求∠ ECD 的度数; ② 若 CE = 5 ,求 BC 长.
解 ①∵ DE 垂直平分 AC , ∴CE = AE ,∠ ECD =∠ A = 36°.
5
② 解法一: ∵AB = AC ,∠ A = 36° ,∴∠ B =∠ ACB =72°. ∵∠ECD =∠ A = 36° , ∴∠BCE =∠ ACB -∠ ECD = 36° , ∴∠BEC = 180° - 36° - 72° = 72° =∠ B , ∴ BC = EC = 5. 解法二:
∵AB = AC ,∠ A = 36° , ∴∠B =∠ ACB = 72° , ∴∠BEC =∠ A +∠ ECD = 72° ,
∴∠BEC =∠ B , ∴BC = EC = 5.
题型二 等腰三角形的性质【例 2 】 如图,在等腰 Rt△ABC 中,∠ BAC = 90° ,点 D 是
BC 的中点,且 AE = BF ,试判断△ DEF 的形状.
作等腰三角形的底边中线,构造等腰三角形“三线合一”的基本图形,是常见的辅助线的作法之一.
归纳小结
解题示范——规范步骤,该得的分,一分不丢!
解:连接 AD ,在等腰 Rt△ABC 中, ∵AD 是中线, ∴AD⊥BC ,∠ DAE =∠ BAC = 45° , AD = BD.
又∵∠ B =∠ C = 45° , ∴∠B =∠ DAE.[2 分 ] 在△ BDF 和△ ADE 中, ∴△BDF≌△ADE(SAS) . [4 分 ] ∴DF = DE ,∠ 1 =∠ 2.
又∵∠ 3 +∠ 1 = 90° , ∴∠2 +∠ 3 = 90° ,即∠ EDF = 90°.
∴△DEF 也是等腰直角三角形. [6 分 ]
知能迁移 2 已知:如图, D 是等腰△ ABC 底边 BC 上一点,它到两腰 AB 、 AC 的距离分别为 DE 、 DF. 当 D 点在什么位置时, DE = DF ?并加以证明.
理由如下:∵ AB = AC ,∴∠ B =∠C.
∵DE⊥AB , DF⊥AC , ∴∠DEB =∠ DFC = 90°.
∵ 点 D 是 BC 的中点, ∴BD = CD , ∴△BDE≌△CDF(AAS) , ∴DE = DF.
解 当点 D 在 BC 的中点时, DE = DF.
题型三 等边三角形【例 3 】 (1) 已知:如图, P 、 Q 是△ ABC 边 BC 上两
点,且 BP = PQ = QC = AP = AQ ,求∠ BAC 的度数.
∴∠PAQ = 60° ,∠ APQ = 60°.
∵AP = BP ,∴∠ B =∠ BAP = ×60° = 30°.
同理:∠ C =∠ CAQ = 30° , ∴∠BAC = 30° + 60° + 30° = 120°.
解 ∵ AP = PQ = AQ ,∴△ APQ 是等边三角形.
(2)(2010· 大兴安岭 ) 如图所示,已知△ ABC 和△ DCE 均是等边 三角形,点 B 、 C 、 E 在同一条直线上, AE 与 BD 交于点 O , AE 与 CD 交于点 G , AC 与 BD 交于点 F ,连接 OC 、
FG , 则下列结论: ①AE = BD ; ②AG = BF ; ③FG∥BE ; ④∠BOC =∠ EOC.
其中正确结论的个数 ( )
A . 1 个 B . 2 个 C . 3 个 D . 4 个
归纳小结 在解题的过程中要充分利用等边三角形特有的性质,每个角都相等,每条边都相等,这可以让我们轻松找到证明全等所需的条件.
D
解析 由△ BCD≌△ACE , 可得① AE = BD 成立; 由△ ACG≌△BCF , 可得② AG = BF 成立; ∵△ACG≌△BCF , ∴CG = CF , 又∠ ACD = 60° , ∴△FCG 是等边三角形, ∴∠CFG = 60° =∠ ACB , ∴③FG∥BE 成立; 过 C 画 CM⊥BD , CN⊥AE ,垂足分别是 M 、 N , ∵△BCD≌△ACE , ∴CM = CN , ∴ 点 C 在∠ BOE 的角平分线上, OC 平分∠ BOE , 即④∠ BOC =∠ EOC 成立.
知能迁移 3 如图,在等边△ ABC 中,点 D 、 E 分别在边BC 、 AB 上,且 BD = AE , AD 与 CE 交于点 F.
(1) 求证: AD = CE ; (2) 求∠ DFC 的度数.
解 (1) 在等边△ ABC 中, AB = AC ,∠ BAC =∠ CBA = 60° , 又 BD = AE , ∴△ABD≌△CAE , ∴AD = CE.
(2)∵△ABD≌△CAE , ∴∠BAD =∠ ECA.
∵∠DFC 是△ AFC 的外角, ∴∠DFC =∠ ECA +∠ DAC
=∠ BAD +∠ DAC
=∠ BAC = 60°.
题型四 直角三角形、勾股定理【例 4 】 (1) 如图,已知△ ABC 中,∠ ABC = 90° , AB
= BC ,三角形的顶点在相互平行的三条直线 l1 、 l2 、 l3
上,且 l1 、 l2 之间的距离为 2 , l2 、 l3 之间的距离为 3 ,则 AC 的长是 __________
172
解析 分别过 A、C画 AD⊥ l3,CE⊥ l3,
垂足分别为 D、E,
易证明△ ABD≌ △ BCE,
所以 AD=BE=3,BD=CE=3+2=5.
在 Rt△ ABD中,AB= 32+52= 34,
在 Rt△ ABC中,AB=BC,
所以 AC= 2AB= 2× 34=2 17.
应选 A.
(2) 如图,在钝角三角形 ABC 中, BC = 9 , AB =17 ,
AC = 10 , AD⊥BC ,交 BC 的延长线于 D ,求AD
的长.
9
1017
解 在 Rt△ ABD中,设 CD=x,
则 AD2=AB2-BD2=172-(9+x)2.
在 Rt△ ACD中,AD2=AC2-CD2=102-x2,
∴ 172-(9+x)2=102-x2,解得 x=6,
∴ 在 Rt△ ACD中,AD= 102-62=8.
答:AD的长是 8.
归纳小结 在线段的长无法直接求出时,可利用另一线段把这一线段表示出来,然后利用勾股定理得到一个方程,最后得解,这是利用勾股定理解决线段长的常用方法.
知能迁移 4 (1) 如图,直线 l 上有三个正方形 a 、 b 、 c ,若a 、 c 的面积分别为 5 和 11 ,则 b 的面积为 ( )
A . 4 B . 6 C . 16 D . 55
答案 C
(2)(2011· 鸡西 ) 已知三角形相邻两边长分别为 20 cm 和 30 cm ,第三边上的高为 10 cm ,则此三角形的面积 为 __________cm2.
答案 (100 2+50 3)或(100 2-50 3)
解析 如图①,在 Rt△ ABD中,AB=30,AD=10,
则 BD= 302-102= 800=20 2,
在 Rt△ ACD中,AC=20,AD=10,
则 CD= 202-102= 300=10 3,
∴ BC=20 2+10 3.
∴ S△ ABC=12BC·AD=
12(20 2+10 3)× 10=100 2+50 3.
如图②,同理可得 BC=20 2-10 3,
∴ S△ ABC=12BC·AD=
12(20 2-10 3)× 10
=100 2-50 3.
基础自测
1 . (2011· 济宁 ) 如果一个等腰三角形的两边长分别是 5 cm 和 6 c
m ,那么此三角形的周长是 ( )
A . 15 cm B . 16 cm
C . 17 cm D . 16 cm 或 17 cm
答案 D
解析 这个三角形的周长是 5 + 5 + 6 = 16 或 6 + 6 + 5 = 1
7.
2 . (2011·铜仁 ) 下列关于等腰三角形的性质叙述错误的是 ( )
A .等腰三角形两底角相等 B .等腰三角形底边上的高、底边上的中线、顶角的平分线互 相重合 C .等腰三角形是中心对称图形 D .等腰三角形是轴对称图形
答案 C
解析 等腰三角形是轴对称图形,不是中心对称图形.
3 . (2011·芜湖 ) 如图,已知△ ABC 中,∠ ABC = 45° , F 是高 AD 和 BE 的交点, CD = 4 ,则线段 DF 的长度为 ( )
A . 2 B . 4 C . 3 D . 4
答案 B
解析 在 Rt△ABD 中,∠ ABD = 45° ,可得 AD = BD ,易证△ BDF≌△ADC ,所以 DF = CD = 4.
4.(2011·凉山)如图,在△ ABC中,AB=AC=13,BC=10,
点 D为 BC的中点,DE⊥AB,垂足为点 E,则 DE等于
( )
A. 1013 B.
1513 C.
6013 D.
7513
解析 连接 AD.∵ AC=AB=13,D为 BC中点,
∴ AD⊥ BC.
在 Rt△ ABD中,BD=12BC=5,
∴ AD= 132-52=12.
又∵ S△ ABD=12BD·AD=
12AB·DE,
∴ DE=AD·BD
AB =5× 12
13 =6013.
答案 C
5 . (2011· 鸡西 ) 如图,在 Rt△ABC 中, AB = CB , BO⊥AC ,把△ ABC折叠,使 AB落在 AC 上,点 B 与 AC 上的点 E重合,展开后,折痕 AD 交 BO 于点 F ,连结 DE 、 EF. 下列结论:
①tan∠ADB = 2 ; ② 图中有 4对全等三角形; ③ 若将△ DEF沿 EF折叠, 则点 D 不一定落在 AC 上; ④BD = BF ; ⑤S 四边形 DFOE = S△AOF , 上述结论中正确的个数是 ( )
A . 1 个 B . 2 个 C . 3 个 D . 4 个
答案 C
解析 沿 AD折叠,有△ ABD≌△ AED,
BD=ED,∠AED=∠ABD=90°.
若设 BD=ED=a,则 CD= 2a,
AB=BC=a+ 2a,
所以 tan∠ADB=ABBD=
a+ 2aa =1+ 2,
结论①错误;
图中有△ ABO≌△ CBO,△ ABD≌△ AED,
△ ABF≌△ AEF,△ BDF≌△ EDF
共 4对全等三角形;
画 DG∥ AB交于 AC于 G,△ DEG是等腰直角三角形,
△ DEF沿 EF折叠,点 D一定落在 AC上,结论③错误;
AD平分∠BAC,∠BAD=22.5°,∠BDA=67.5°,
∠BFD=22.5°+45°=67.5°,BF=BD;
S 四边形DFOE=S△ DEF+△ OEF
=12a·a·sin45°+
12a·
22 a·sin45°=
24 a2+
14a2,
S△ AOF=12
2
2 a+a ·2
2 a=14a2+
24 a2,
S 四边形DFOE=S△ AOF;
结论②④⑤正确.
答题规范
考题再现 在△ ABC 中,高 AD 和高 BE 相交于 H ,且 BH
= AC ,求∠ ABC 的度数.学生作答 解:如图 1 , 在 Rt△BHD 和 Rt△ACD 中, ∠C +∠ CAD = 90° , ∠C +∠ HBD = 90° , ∴∠HBD =∠ CAD.
又∵ BH = AC ,∴△ BHD≌△ACD , ∴BD = AD.
∵∠ADB = 90° ,∴∠ ABC = 45°.
9 .三角形的高可能在形外
图 1
规范解答 解:这里的∠ ABC 有两种情况,∠ ABC 是锐角 ( 图 1)
或 ∠ABC 是钝角 ( 图 2) . 如图 2 ,在 Rt△BHD 和 Rt△ACD 中, 易得∠ DCA =∠ DHB.
又∵ AC = BH , ∴△DHB≌△DCA , ∴AD = DB , ∴∠DBA = 45° , ∴∠ABC = 135°.
综上:∠ ABC = 45° 或∠ ABC = 135°.
图 2
老师忠告 1 .同学们都知道,三角形的高有可能在形外,但在实际解
题中,常因忽略这一点而造成错误.为什么常常会忽略三角形的高可能在形外呢?一个主要原因就是同学们头脑中已形成思维定势,一画三角形就不由自主地画成锐角三角形,从而造成漏解的失误.
2 .在解答几何问题时,如果没有给出具体的图形,都应该先考虑是否有多种情况,有些命题在一种情况下成立是真命题,而在另一种情况下就可能不成立,是假命题.
10.易出错的等腰三角形问题
考题再现 已知△ ABC 是等腰三角形,由 A 所引 BC 边上的高恰好等于 BC 边长的一半,试求∠ BAC 的度数.
学生作答
解:如图 3,
∵ AD⊥BC,AD=12BC=BD=CD,
∴ ∠BAD=∠B=∠C=∠CAD=45°,
∴ ∠BAC=90°.
图 3
规范解答 解:题目中并没有指明 BC 是等腰△ ABC 的底或腰. 当 BC 为底时,可求得∠ BAC = 90° ; 当 BC 为腰时,还应对∠ B 的大小进行讨论:
图 4 图 5
(1)顶角 B是锐角时,如图 4,
∵ AD=12BC=
12AB,AD⊥BC,
∴ ∠B=30°,从而∠BAC=∠C=75°.
(2)当顶角 B为直角时,高 AD和腰 AB重合,
与已知矛盾,故∠B≠ 90°.
(3)顶角 B为钝角时,如图 5,
∵ AD=12BC=
12AB,AD⊥BC,
∴ ∠DBA=30°,
从而∠BAC=∠C=12∠DBA=
12× 30°=15°.
因此,本题正确答案为:∠BAC的度数为 90°
或 75°或 15°.
老师忠告 1 .对于等腰三角形问题,当给出的条件 ( 如边、角情况 ) 不
明时,一般要分情况逐一考察,否则,容易出现错解或漏解的错误.
2 .当顶角是锐角时,腰上的高在三角形内;当顶角为直角时,腰上的高与另一腰重合;当顶角为钝角时,腰上的高在三角形外.这是在解与等腰三角形腰上的高有关的问题时,应考虑的几个方面 .
思想方法 感悟提高方法与技巧 1. 掌握分类的思想和方法,可深入理解,有效记忆,便于应用.例如:从三角形三边长的比较,可把三角形分为不等边三角形和等腰三角形,等腰三角形又分为等边三角形和其它等腰三角形;而从最大内角的大小出发,又可以把三角形分为锐角三角形、直角三角形和钝角三角形. 由于两种分类的标准不同,所以一个具体的三角形,在两种分类中,必各属于其中的一类.如等腰直角三角形,在第一种分类中,属于其它等腰三角形;在第二种分类中,属于直角三角形. 2. 在一个三角形中“等边对等角,等角对等边”,当所要求
证的两边、两角位于同一个三角形中,利用等腰三角形来论证它们的相等关系是常用的方法.
3. 等腰三角形“三线合一”的性质,运用广泛而又灵活,在于
三线中只要有任两线重合,则可判定三角形等腰,即第三线也重合. 4. 证明等边三角形的方法一般有两种:一是直接论证三边或三角相等;二是先证明是等腰三角形,再证明其中一角为 60°. 5. 在直角三角形中斜边上中线等于斜边的一半,同时这条中线将直角三角形分成了两个等腰三角形,这一特征在解题中时有运用;在直角三角形中,含锐角 30° 、 45° 这两类是较为特殊的,它们的边、角有一些特殊的数量关系,应该熟记在心.
失误与防范 1 .在解有关等腰三角形的问题时,有一种习惯上的认识,总认为腰大于底,这是造成错解的原因.实际上底也可以大于腰,此时也能构成三角形. 2 .有关等腰三角形的问题,若条件中没有明确底和腰时,一般应从某一边是底还是腰这两个方面进行讨论,还要特别注意构成三角形的条件;同样,在底角没有被指定的等腰三角形中,应就某角是顶角还是底角进行讨论.我们要细心谨慎,注意运用分类讨论的方法,将问题考虑全面,不能想当然. 3 .在已知三角形三边的前提下,判断这个三角形是否为直角三角形,首先要确定三条边中的最大边,再根据勾股定理的逆定理来判定.在解题时,往往受思维定式的影响,误认为如果是直角三角形,则 c就是斜边,从而造成误解.
完成考点跟踪训练 22
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