第四十二课时 空间直角坐标系

1. 了解空间直角坐标系，会用空间直角坐标系表示点的位置。 2. 了解空间两点间的距离公式。

教 材 复 习 1. 空间直角坐标系如右图， OBCD-O1B1C1D1 是单 位正方体 . 以 O 为原点，分别以 O B ，OD ， OO1 的方向为正方向，建立三条数轴： x轴、 y轴、 z轴 . 这时建立了一个空间直角坐标系 Oxyz.

2. 空间两点间的距离公式：2

122

122

12 )()()( zzyyxxd

4. 空间直角坐标系中的对称性(1) 点 (a ， b ， c) 关于 x轴的对称点是：

(2) 点 (a ， b ， c) 关于 y轴的对称点是：

(3) 点 (a ， b ， c) 关于 z轴的对称点是：

3. 空间直角坐标系中的中点坐标公式和三角形重心坐标公式：

(a ， -b ， -c)

(-a ， b ， -c)

(-a ， -b ， c)

4. 空间直角坐标系中的对称性

(5) 点 (a ， b ， c) 关于坐标平面 yoz轴的对称点是 ：(6) 点 (a ， b ， c) 关于坐标平面 xoz轴的对称点是 ：(7) 点 (a ， b ， c) 关于坐标平面 xoy轴的对称点是：

(-a ， b ，c)

(a ， -b ，c)

(a ， b ， -c)

(4) 点 (a ， b ， c) 关于坐标原点的对称点是：(-a ， -b ， -c)

基 础 自 测1. 在空间直角坐标系中，点 (1 ， 2 ， -3)关于 x轴的对称点的坐标是 ( ) A.(1 ， -2 ， 3) B.(-1 ， 2 ， 3) C.(-1 ， -2 ， 3) D.(1 ， -2 ， -3)

A

2. 已知点 A(-1 ， -2 ， 6) ， B(1 ， 2 ， -6) ， O 为坐标原点，则 O ， A ， B 三点 ( ) A. 可以构成直角三角形 B. 可以构成钝角三角形 C. 可以构成锐角三角形 D. 不能构成三角形

D

3. 已知线段 AB 两端点坐标为 A(2 ， -3 ，4) ， B(2 ， 5 ， -3) ，则与线段 AB 平行的坐标平面 ( ) A. 是 xoy平面 B. 是 yoz平面 C. 是 xoz平面 D. 不存在

B

4. 点 A(1 ， 0 ， 1) ， AB 中点坐标为 (3 ， - 4 ， 9) ，则 B 点坐标是 _____________.

(5 ， -8 ， 17)

题型一 求空间点的坐标【例 1 】在四棱锥 P-ABCD 中，底面 ABCD 是一直角梯形， BAD=900 ， AD//BC ， AB=BC=a ， AD=2a ， PA 底面 ABCD ， PDA=300 ， AEPD. 试建立适当的坐标系，求出各点的坐标 .A(0 ， 0 ，0)B(a ， 0 ，0)C(a ， a ，0)

)3

3200( aP ，，

)2

3

20( aa

E ，，D(0 ， 2a ，0)

变 式 演 练1. 设正四棱锥 S-P1P2P3P4 的所有棱长均为a ，建立适当的坐标系，求出各点的坐标 .

xy

z

题型二 中点坐标公式的应用【例 2 】求点 A(1 ， 2 ， -1) 关于 x 轴及坐标平面 xoy 的对称点 B 、 C 的坐标，以及 B 、 C 两点间的距离 .

B(1 ， -2 ， 1) ； C(1 ，2 ， 1) ； 4变 式 演 练2. 求点 P(a ， b ， c) 关于坐标平面、坐标轴及原点的对称点的坐标 .

题型三 空间距离【例 3 】已知正方形 ABCD 、 ABEF 的边长都是 1 ，而且平面 ABCD 与平面 ABEF 互相垂直，点 M 在 AC 上移动 ，点 N在 BF 上移动，若 CM=BN=a( ). (1) 求 MN 的长； (2) 当 a 为何值时，MN 的长最小 .

20 a

2

1)

2

2(

12||

2

2

a

aaMN

2

2|| minMN

变 式 演 练3. 在空间直角坐标系中，解答下列问题： (1) 在 x 轴上求一点 P ，使它与点 P0(4 ，1 ， 2) 的距离为 ； (2) 在 xoy 平面内的直线 x+y=1 上确定一点 M ，使它到点 N(6 ， 5 ， 1) 的距离最小 .

30

P(9 ， 0 ， 0) 或 (-1 ， 0 ， 0)

N(1 ， 0 ，0)

51|| minMN

方法规律：1. 建立空间坐标系后，把空间抽象的推理求值转化为具体的坐标运算，因此正确确定空间直角坐标系内点的坐标以及由点的坐标正确判断点的位置成为解题的关键 .

2. 要熟记各坐标轴及各坐标平面上点的坐标的特点，能熟练地写出其上的点的坐标 . 3. 在识图和标图时，一是要从直观图的角度来确定点的位置；二是要习惯使用右手直角坐标系 .

4. 空间两点 P1(x1 ， y1 ， z1) ， P2(x2 ， y

2 ， z2) 的距离公式中涉及 7 个量，知 6 求1. 5. 特别情况，当 z1=z2=0 时，点 P1(x1 ，y1 ， z1) ， P2(x2 ， y2 ， z2) 都在 xoy 平面内，空间两点的距离公式就成了平面内两点的距离公式 .

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21221 )()(|| yyxxPP

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【高考动向】利用空间向量解决立体几何问题是高考考查的重点之一，其基础是建立空间坐标系，利用点的坐标找出相关的向量坐标，利用向量的运算完成几何问题的计算和证明，同时可类比“由直线方程的一般式找出直线法向量”的方法找出平面的法向量 .