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高中数学 选 修 2 -1. 2.3.1 双曲线的标准方程. 姓名:潘永美 单位:蒋王中学. 双曲线的定义是什么?. 差. 和. 等于常数. 平面内与两定点 F 1 , F 2 的距离的. 2 a ( 2 a >F 1 F 2 > 0). 的点的轨迹. 复习. 1. 椭圆的定义.. MF 1 + MF 2 =2 a ( 2 a >F 1 F 2 > 0 ). 2. 引入问题:. M. o. F. F. 1. 2. 双曲线定义. - PowerPoint PPT Presentation
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高中数学 高中数学 选选修修 22 -1-1
姓名:潘永美单位:蒋王中学
1. 椭圆的定义.和 等于常数
2a ( 2a>F1F2>0) 的点的轨迹 .
平面内与两定点 F1 , F2 的距离的
1F2F 0,c 0,c x
y
O
yxM ,
2. 引入问题:差 双曲线的定义是什么?
复习
MF1+MF2=2a( 2a>F1F2>0)
① 两个定点 F1 , F2—— 双曲线的焦点 ; ② F1F2=2c —— 焦距 .
( 1 ) 2a<2c ;o F2F1
M
平面内与两个定点 F1 , F2 的距离的差的绝对值等于常数(小于 F1F2) 的点的轨迹叫做双曲线 .
( 2 ) 2a >0 .
双曲线定义
思考:( 1 )若 | MF1 -MF2| = F1F2, 则轨迹是什么?( 2 )若 | MF1 -MF2| > F1F2, 则轨迹是什么?
说明
( 3 )若 | MF1 -MF2| =0, 则轨迹是什么?
| MF1-MF2|= 2a (2a<F1F2)
( 1 )两条射线.( 2 )不表示任何轨迹.
( 3 )线段线段 F1F22 的垂直平分线.的垂直平分线.
F2F1
M
xO
y求曲线方程的步骤:双曲线的标准方程
1. 建系 . 以 F1 , F2 所在的直线为 x 轴,线段 F1F2 的中点为原点建立直角坐标系2. 设点.
设 M ( x , y ) , 则 F1( - c,0),F2 ( c,0 )3. 列式 MF1-MF2=±2a
4. 化简.aycxycx 2)()( 2222 即
aycxycx 2)()( 2222
2222
22 )(2)( ycxaycx
222 )( ycxaacx
)()( 22222222 acayaxac 222 bac
)0,0(12
2
2
2 baby
ax
此即为焦点在 x轴上的双曲线的标准方程
12
2
2
2
by
ax
12
2
2
2
bx
ay
F2F1
M
xO
y
O
M
F2
F1
x
y
)00( ba ,
若建系时 , 焦点在 y 轴上呢 ?
看 前的系数,哪一个为正,则在哪一个轴上.22 , yx
22 ..双曲线的标准方程与椭圆的标准方程有何区别与联系 ?
1 .如何判断双曲线的焦点在哪个轴上?问题问题
双曲线与椭圆之间的区别与联系定 义
方 程焦 点
a,b,c 的关系
F ( ±c , 0 ) F ( ±c , 0 )
a>0 , b>0 ,但 a 不一定大于 b , c 2=a2+b2
a>b>0 , a2=b2+ c 2
|MF1 - MF2|=2a MF1 + MF2=2a
椭 圆 双曲线
F ( 0 , ±c ) F ( 0 , ±c )
2 2
2 2 1( 0)x y a ba b
2 2
2 2 1( 0)y x a ba b
2 2
2 2 1( 0, 0)x y a ba b
2 2
2 2 1( 0, 0)y x a ba b
解: ∵ 焦点为 1 2( 5,0), (5,0)F F
∴ 可设所求方程为:2 2
2 2 1x ya b
(a>0,b>0).
∵ 2a=6,2c=10,∴ a=3, c=5.
所以点 P 的轨迹方程为2 2
19 16x y
.
例 1 已知双曲线的两个焦点分别为 1( 5,0)F , 2(5,0)F ,双曲线上动点 P 满足到两焦点距离之差的绝对值为 6,求双曲线的标准方程.
变式训练:1 、已知双曲线的焦距为 10,双曲线上点P 满足到两焦点距离之差的绝对值为 6,求双曲线的标准方程 .
2. 双曲线 的焦点坐为 .1925
22
xy
(1) .一个焦点为 (-3, 0) ,且过点( 2,0 );(2). a=b ,过点 (3, -1) ;
3.3. 写出适合下列条件的双曲线的标准方程.写出适合下列条件的双曲线的标准方程.
使 A , B 两点在 x 轴上,并且点O 与线段 AB 的中点重合
解 : 由声速及在 A 地听到炮弹爆炸声比在 B 地晚 2s, 可知 A地与爆炸点的距离比 B 地与爆炸点的距离远 680m. 因为 |AB|>680m, 所以爆炸点的轨迹是以 A, B 为焦点的双曲线在靠近B 处的一支上 .
例 2 已知 A,B 两地相距 800m, 在 A 地听到炮弹爆炸声比在 B地晚 2s, 且声速为 340m/s, 求炮弹爆炸点的轨迹方程 .
如图所示,建立直角坐标系 xOy,
设爆炸点 P 的坐标为 (x,y) ,则340 2 680PA PB
即 2a=680 , a=340 800AB ∵
800 680 0 , 0PA PB x ∵1( 0)
115600 44400x y
x 2 2
2 800, 400,c c x
y
o
P
BA
因此炮弹爆炸点的轨迹方程为44400b c a 2 2 2
学习小结: 1.通过本节课学习,我们是怎样研究双
曲线的? 通过与椭圆类比,用同样的程序研究双
曲线. 2.本节课主要是了解双曲线的定义及其标准方程推导, 能根据已知条件求双曲线的标准方程, 用双曲线的标准方程处理简单的实际问题.
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