เซต พื้นฐาน ม.4

ทบทวนความร สรวมหาวทยาลย MATHEMATICS 1 by.. ::[MoDErN_SnC®]:: Page 1

เซตคอกลมของสงตาง ๆ เชน เซตของนกเรยนหอง ม.6 เซตของระบบจานวนจรง เปนตน การศกษาเรองเซตถอวาเปนการศกษาพนฐานในการเรยนคณตศาสตรขนสงตอไปเลยทเดยว

คาวาเซตนนมคณสมบตทสาคญคอ 1. ตองสามารถระบไดวา อะไรอยในเซต อะไรไมอยในเซต เชน เมอยกตวอยาง เซตของวนในหนง

สปดาห เราระบไดวา วนจนทร อยในเซตของวน วนพลโต ไมไดอยในเซตของวน 2. สงทอยในเซต ทเราเรยกวา สมาชก (Elements) ตองมคณสมบตทระบไดแจมชด (Well-Defined)

เชน ถาพดถงเซตคนหนาตาด บางครงหากเราลองพจารณาด มาตรฐานความหนาตาดกจะตางกนไป ทาใหไมสามารถระบไดแจมชด

การเขยนเซต สามารถทาได 3 วธ คอ 1. ใชขอความ เชน เซตของจานวนจรง หากเปนเซตทรจกกนด กอาจใชสญลกษณ เชน เรารวา

คอเซตของจานวนจรง (แตกตองกาหนดนยามไวกอนนะ) 2. ใชการแจกแจงสมาชก โดยเขยนสมาชกในเครองหมายปกกา คนดวยเครองหมายจลภาค สงทสาคญ

และมกจะมขอสอบมาหลอกบอย ๆ คอ ตวซาใหมองเปนตวเดยวกน และควรเขยนเรยงลาดบดวย เชน ถาพดถงจานวน กจะเรยงจากนอยไปมาก เปนตน การเรยกชอเซต มกเขยนดวยอกษรพมพใหญ และสมาชก เขยนดวยอกษรพมพเลก กรณทมจานวนสมาชกทมากและเปนสมาชกทมแบบแผนอยางเปนระเบยบ เราใชจดสามจด (...) แทนจานวนสมาชกทมมาก

3. ใชการบอกเงอนไข จะอยในรป {x | ……} สวนหนาคอสวนของตวแปร และสวนหลงเปนเงอนไขของตวแปร ซงเรามกจะพบรปแบบน แทรกอยกบเรองอน ๆ ใน ม.ปลาย

การบอกการเปนสมาชกของเซต ใชสญลกษณ ∈ ในทานองกลบกน การไมเปนสมาชกกใชเครองหมาย ∉ จานวนสมาชกของเซต โดยทวไปใชสญลกษณ n(A) เมอ A คอเซตใด ๆ โดยจะแบงประเภทเปน

1. เซตทมสมาชก กบไมมสมาชก **เซตทมสมาชกตวเดยวเรยกวา Singleton Set** เซตทไมมสมาชก เราจะใชสญลกษณ φ หรอ { } เรยกวาเซตวาง

2. เซตจากดและเซตอนนต เซตจากด คอเซตทนบจานวนสมาชกได กลาวคอม n(A) เซตอนนตคอ เซตทนบจานวนสมาชกไมได เพราะมมากมายไมสนสด ตวอยางขอสอบ (Quo’46) ขอใดตอไปนเปนเซตอนนต

1) {x ∈ +I ⎪3x < 34} 2) {x ∈ I⎪x2 – 4x – 5 < 0} 3) {x ∈ ⎪x เปนจานวนคทหารดวย 3 ลงตว และ x < 100} 4) {x ∈ ⎪x เปนจานวนคทสอดคลองกบอสมการ x2 + 5x - 14 < 0}

เ ซ ต

ทบทวนความร สรวมหาวทยาลย MATHEMATICS 1 by.. ::[MoDErN_SnC®]:: Page 2

มกจะสบสน เชน เมดขาวในจานขาวผด...เปนเซตจากดนะครบ เพราะ เรานบได..แตมนมใครนบบางละ? อกอยางหนงทมกจะงงและถกหลอกกนบอย ๆ เชน

{ } มสมาชก 0 ตว เปนเซตจากด {{}} มสมาชก 1 ตว คอ เซตวาง {{1,2}, 1, 2} มสมาชก 3 ตว (มอง {1, 2} วาเปน Folder ในคอม 1, 2 เปนไฟล เวลา

เรา Drag เลอกไฟลทงหมด มนจะบอกวา เลอก 3 object ไมใช 4 Object) {{}, φ} มสมาชก 1 ตว เพราะวา {} กเหมอนกบ φ คอเซตวาง

ความสมพนธระหวางเซต 1. เซตทเทากน หมายถง เซตทมสมาชกทงสองเซตเหมอนกนเลย 2. เซตทเทยบเทากน หมายถง เซตทมจานวนสมาชกเทากน จะเหมอนกนหรอไมกได

จากความสมพนธดงกลาว เรานามาสรปเปนขอมลเกยวกบเซตจากดหรอเซตอนนตไดดงน 1. ถา A และ B เปนเซตจากด เรยกวา A เทยบเทากบ B เมอ n(A) = n(B) 2. ถา A และ B เปนเซตอนนต เรยกวา A เทยบเทากบ B เมอสามารถนาสมาชกทกตวของ A

และ B มาจบคกนแบบหนงตอหนงได แผนภาพเวนน ออยเลอร

1. แบบ Joint Set 2. แบบ Disjoint Set 3. แบบ Subset

สบเซตและเพาเวอรเซต จานยามไววา A เปนสบเซต B (A ⊂ B) กตอเมอ สมาชกทกตวใน A เปนสมาชกทกตวใน B หากไมเปนสบเซตกน กใชสญลกษณ ⊄ กรณท A ⊂ B แต A ≠ B จะเรยกวา A เปนสบเซตแทของ B กรณท A ⊂ B และ A = B จะเรยกวา A เปนสบเซตไมแทของ B สมมตวามเซตเซตหนงมสมาชก n ตว จานวนสบเซตทงหมด จะได 2n ตว * มาจากการจดหม กรณท 1 ไมเลอกสกตว จะได nC0 กรณท 2 เลอกตวเดยว จะได nC1... กรณท n เลอกทกตว จะได nCn นาเอาทกกรณบวกกน จะได

nC0 + nC0 + ... +

nCn = 2n

จานวนสบเซตแท คอ 2n – 1 (ไมคดกรณท nCn) ถาเซต A มสมาชก n ตว ในการสราง subset ของ A เราจะตองเลอกหยบ สมาชกใดๆ ใน A มา r

ตว (0 ≤ r ≤ n) ซงเลอกได nCr วธ จงสามารถสรปไดวา “ ถา A เปนเซตใดๆ ทมสมาชก n ตว จานวนสบเซตของ A ทมสมาชก r ตว (0≤ r ≤ n) มทงสน nCr สบเซต เชน ถา A = {φ,{φ},{1},{{1}},2,{2}} แลว จงหาจานวนสบเซตของ A ทมสมาชก 2 ตว วธทา เนองจาก A มสมาชก 6 ตว และเราตองการเลอกหยบสมาชกใดๆ ใน A มา 2 ตว เพอมาสรางเปนสบเซต จะมวธการเลอกหยบได 6C2 วธ นนคอ มทงสน

6C2 สบเซต Ans. ตวอยาง ถา A = {1,2,3,4,5,6} B={1,2} จงหาจานวนเซต X ท B⊂X⊂A วธทา “B⊂X” หมายความวา สมาชกทกตวของ B ตองเปนสมาชกของ X นนคอ X จะตองมสมาชกอยางนอย 2 ตว คอ 1,2 อยางแนนอน แต X⊂A แสดงวา อาจจะม 3,4,5,6 รวมอยใน X ดวย อยางนอย 1 ตว เสมอนกบการนบ 3,4,5,6 ไปสรางเปนสมาชกของ X รวมกบ 1,2 จงแยกเปน 5 กรณ กรณท 1) X มสมาชก 2 ตว (ไมไดนา 3,4,5,6 มารวมดวย) สรางได 4C0 เซต กรณท 2) X มสมาชก 3 ตว (เลอก 3,4,5,6 ตวใดตวหนง ไปรวมดวย) สรางได 4C1 เซต กรณท 3) X มสมาชก 4 ตว (เลอกสมาชกทเหลอ 2 ตว ไปรวมดวย) สรางได 4C2 เซต กรณท 4) X มสมาชก 5 ตว (เลอกอก 3 ตว ไปรวมดวย) สรางได 4C3 เซต กรณท 5) X มสมาชก 6 ตว (นาทง 4 ตว ไปรวมดวย) สรางได 4C4 เซต ดงนน จานวนเซต X ทเปนไปไดทงหมด มทงสน 4C0+

4C1+4C2+

4C3+4C4 = 2

4 = 16 เซต

ทบทวนความร สรวมหาวทยาลย MATHEMATICS 1 by.. ::[MoDErN_SnC®]:: Page 3

จากตวอยาง สามารถสรปเปนสตรไดดงน สตรท 1 ถา A และ B เปนเซตจากด แลว จานวนของเซต X ซง A⊂X⊂B มทงสน 2n(A) – n(B) สตรท 2 ถา A และ B เปนเซตจากด แลว จานวนของเซต X ซง A⊄X⊂B มทงสน 2n(A) – 2n(A) – n(B) ตวอยางขอสอบ (Quo’36) ใหเซต A มสมาชก 20 ตว จงหาจานวนสบเซตของ A ทมสมาชกอยางมาก 19 ตว (Quo’38) กาหนดใหเซต A = {a, b, c, d, e, f} และ B = {a, b} แลว จงหาจานวนสบเซตทงหมดทไมเปนเซตวางของเซต A – B เพาเวอรเซต กคอ เซตของสบเซตนนเอง การพจารณาการเปนสมาชก สบเซต และเพาเวอรเซต เราทราบวา; 1. เซตวางเปนสบเซตของทกเซต 2. เปลยนการเปนสมาชกเปนสบเซต (∈→⊂ )

a A∈ → {a} A⊂ ; เตม {} และเปลยน∈→⊂ 3. เปลยนสบเซตเปนสมาชก (⊂→∈)

{a} A⊂ → a A∈ ; ตด {} และเปลยน ⊂→∈ 1. เตม {} และ P; a A∈ → {a} P(A)∈ 2. ตด {} และ P; {a} P(A)∈ → a A∈ 3. เตม P ทงสองขาง; A B⊂ → P(A) P(B)⊂ 4. ตด P ทงสองขาง; P(A) P(B)⊂ → A B⊂

ตวอยางขอสอบ (Quo’30) กาหนด A= {2, {4, 6}} ขอความใดตอไปน ถก

1) P(A) = {φ, 2, {4, 6}, {2, {4, 6}}} 2) P(A) = {φ, {2} , {4, 6}, {2, {4, 6}}} 3) P(A) = {φ, 2, {{4, 6}}, {2, {4, 6}}} 4) P(A) = {φ, {2}, {{4, 6}}, {2, {4, 6}}}

เอกภพสมพทธ (U) คอขอบเขตของเซตทเราจะพจารณา โดยทวไปในระดบ ม.ปลาย กาหนดท

การดาเนนการระหวางเซต

1. การยเนยน (∪) คอ เอาเซตทงหมดมารวมกน ระวง...ตวทซา เขยนแคครงเดยว Keyword : หรอ A ∪ B = {x | x ∈ A หรอ x ∈ B หรอ x เปนสมาชกของทงสองเซต}

2. การอนเตอรเซค (∩) คอ เอาสมาชกทเหมอนกนสาหรบทก ๆ เซตทพจารณา Keyword : และ A ∩ B = {x | x ∈ A และ x ∈ B}

3. ผลตาง (–) คอ สมาชกทอยในเซตหนา แตไมอยในเซตหลง A – B = {x ∈ A และ x ∉ B} 4. คอมพลเมนต คอ สงทอยนอกเซตทงหมด (แตอยใน U อย) A’ = {x | x ∈U และ x ∉ A}

สมบตทสาคญของเซต

1. การกระทาตวเอง A ∪ A = A และ A ∩ A = A 2. การสลบท A ∪ B = B ∪ A และ A ∩ B = B ∩ A 3. การเปลยนกลม (A ∪ B) ∪ C = A ∪ (B ∪ C)

และ (A ∩ B) ∩ C = A ∩ (B ∩ C)

ทบทวนความร สรวมหาวทยาลย MATHEMATICS 1 by.. ::[MoDErN_SnC®]:: Page 4

4. การแจกแจง A ∪ (B ∩ C) = (A ∪ B) ∩ (A ∪ C) และ A ∩ (B ∪ C) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C)

5. เอกลกษณ A ∪ φ = A A ∪ U = U A ∩ φ = φ A ∩ U = A

6. กฎของเดอรมอกอง (A ∩ B) ′ = A′ ∪ B′ และ (A ∪ B) ′ = A′ ∩ B′ 7. คอมพลเมนต A ∪ A′ = U A ∩ A′ = Ø

(A′)′ = A U′ = Ø Ø′ = U **A – B = A ∩ B′ 7 ขอน ตองทาความเขาใจใหด เพราะวาเปนหลกสาคญในการทาเรองเซตใหงายขน

สมบตอน ๆ ทควรทราบ • P(A) ∩ P(B) = P(A∩B) แต P(A) ∪ P(B) ⊂ P(A∪B) • n(P(A) – A) = n(P(A)) – n(P(A) ∩ A) • n(A – P(A)) = n(A) – n(A ∩ P(A)) • (A – B) ∩ (B – A) = φ เสมอ • n(P(A) – A) ∪ n(A – P(A)) = n(P(A) – A) + n(A – P(A))

ตวอยางขอสอบ (O-Net’49) ถา A – B = {2, 4, 6}

B – A = {0, 1, 3} A ∪ B = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}

แลว A ∩ B เปนสบเซตของขอใดตอไปน 1. {0, 1, 4, 5, 6, 7} 2. {1, 2, 4, 5, 6, 8} 3. {0, 1, 3, 5, 7, 8} 4. {0, 2, 4, 5, 6, 8}

(Quo’37) ขอใดตอไปนถก

1) A – B = A′ ∩ B 2) P({a}) = {{φ}, {a}} 3) {x ∈ ⎪x2 = 29} ⊂ φ 4) {x ∈ ⎪0 ≤ x ≤ 1} เปนเซตจากด

ทบทวนความร สรวมหาวทยาลย MATHEMATICS 1 by.. ::[MoDErN_SnC®]:: Page 5

(Quo’38) กาหนดเอกภพสมพทธ U = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} และใหเซต A = {2, 4, 7, 8, 9}, B = {x|x2 – 10x + 21 = 0}, C = {x|2 < x ≤ 6} แลว A ∩ (B′ - C) เทากบเซตในขอใดตอไปน

1) {2} 2) {2, 8} 3) {2, 8, 9} 4) {2, 4, 8, 9}

(Quo’40) กาหนดเอกภพสมพทธ U = {-10, -6, -4, -2, 0, 1, 3, 8} และให A, B และ C ตางเปนสบเซตของ U กาหนดโดย

A = {x ∈ U⎪|x + 1| ≤ 4} B = {-4, -2, 8}

C = {y ∈ U⎪ y = 2 - x

2, x ∈ B}

จงหา (A ⊂ C)′∩ B (Quo’44) กาหนด A = {x ∈ ⎪|x| > x}, B = {x ∈ ⎪x + 2 ≥ 0}

และ C = {x ∈ ⎪x2 < 1} ขอใดถกตอง

1) A ∩ B ∩ C เปนเซตจากด 2) A ∪ B ⊂ C 3) (A – B) ∩ C′ = A – B 4) (B ∪ C)′ = B′ ∪ C′

(Quo’45) กาหนด A = {x ∈ +I ⎪3 หาร x ลงตว},

B = {x ∈ +I ⎪ห.ร.ม. ของ x และ 4 คอ 2} C = {x ∈ +I ⎪x ≥ 80}

จงหาจานวนสมาชกของ (A ∩ B) – C

ทบทวนความร สรวมหาวทยาลย MATHEMATICS 1 by.. ::[MoDErN_SnC®]:: Page 6

(Quo’46) กาหนดให B = {m, n} และ C = {m, n, r} ถา {m) ⊂ A และ A ⊂ C โดยท A ⊄ B แลว ขอใดผด

1) B – A = φ 2) {m} ⊂ A ∩ B 3) (C – A) ∩ B ⊂ {n, r} 4) A ∪ B = {m, n, r}

(Quo’47) กาหนดให A = {x ∈ ⎪|x| ≤ 8}

B = {x ∈ I⎪3 หาร x ไมลงตว} C = {x ∈ ⎪x3 – 3x2 – 4 = 0}

จงหาจานวนสมาชกของ (A ∩ B) × C

การแรเงาเขตพนท หากโจทยใหรปเซตมา แลวถามวา เซตนนคออะไร ให แรเงาทเดยว 1. จบสมาชกทกตวมาอนเตอรเซคกน

2. หาเขตพนทแรเงา ถาไมแรเงาไมตองทาอะไร ถาแรเงาใหใสคอมพลเมนต แลวใชสมบตมาจดรป

แรเงาหลายท ยเนยนเขตพนทแรเงาทงหมด เชน แรเงา 5 ท กยเนยน 5 ชด สมมตวาม A, B, C หากมการแรเงาทเดยว กจะเปน A ∩ B ∩ C

หากแรเงา 2 ท กจะเปน (A ∩ B ∩ C) ∪ (A ∩ B ∩ C) ตวอยางขอสอบ (Quo’30) พนททแรเงาในรป ตรงกบขอใด

1) (A ∪ C) ∩ B 2) (C – B) ∪ A 3) (A ∪ C) ∪ (B – A) 4) (A ∪ B) – (C ∪ B)

ทบทวนความร สรวมหาวทยาลย MATHEMATICS 1 by.. ::[MoDErN_SnC®]:: Page 7

(Quo’39) กาหนด A*B = (A – B) ∪ (B – A)

1) 2) 3) 4) บรเวณทแรเงาขอใดในแผนภาพตอไปนคอ (A*B)*C

การหาจานวนสมาชกเซตจากด กรณ 2 เซต ใชสตร n( A ∪ B ) = n(A) + n(B) + n(C) หรอ กรณ 3 เซต ใชสตร

n( A ∪ B ∪ C) = n(A) + n(B) + n(C) – n( A ∩ B ) – n( A ∩ C) – n(B ∩ C) + n(A ∩ B ∩ C ) แต...การวาดแผนภาพเวนน-ออยเลอร จะดคลองตวกวาการใชสตรนะคราบ.. ตวอยางขอสอบ (O-Net’49)ในการสอบถามพอบานจานวน 300 คน พบวา มคนทไมดมทงชาและกาแฟ 100 คน มคนทดมชา 100 คน และมคนทดมกาแฟ 150 คน พอบานทดมทงชาและกาแฟมจานวนเทาใด

ทบทวนความร สรวมหาวทยาลย MATHEMATICS 1 by.. ::[MoDErN_SnC®]:: Page 8

(Quo’32) จากการสารวจนกศกษาปท 1 คณะวทยาศาสตร จานวน 300 คน ม 150 คน ลงทะเบยนเรยนวชาภาษาองกฤษ ม 80 คน ลงทะเบยนเรยนวชาภาษาไทย ม 60 คน ลงทะเบยนเรยนวชากฏหมาย และม 30 คน ลงทะเบยนทง 3 วชา

ดงนน จานวนนกศกษาอยางนอยทสดทไมไดลงทะเบยนทง 3 วชาน เทากบ.....................คน (Quo’33) การสารวจยานพาหนะ 3 ชนดในหมบาน ซงม 200 ครวเรอน พบวา

100 ครวเรอน มจกรยานถบสองลอ 50 ครวเรอน มจกรยานยนต 20 ครวเรอน มรถยนต 10 ครวเรอน มยานพาหนะทง 3 ชนด ไมมครวเรอนใดทมยานพาหนะ 2 ชนด

จากขอมลดงกลาว ครวเรอนทไมมยานพาหนะใชเลยคอ...............ครวเรอน (Quo’49) ถา A และ B เปนสบเซตของจานวนเตมบวก โดยท A ∪ B = {1, 2, 3, 4} และ A ∩ B = {2} และ A มสมาชก 3 ตว แลวความเปนไปไดของเซต A และเซต B มทงหมดกกรณ

1) 1 2) 2 3) 3 4) 4

ทบทวนความร สรวมหาวทยาลย MATHEMATICS 1 by.. ::[MoDErN_SnC®]:: Page 9

รวมขอสอบ ENTRANCE เรองเซต : สอดคลองกบ A-Net

ทบทวนความร สรวมหาวทยาลย MATHEMATICS 1 by.. ::[MoDErN_SnC®]:: Page 10

ทบทวนความร สรวมหาวทยาลย MATHEMATICS 1 by.. ::[MoDErN_SnC®]:: Page 11

ทบทวนความร สรวมหาวทยาลย MATHEMATICS 1 by.. ::[MoDErN_SnC®]:: Page 12

ทบทวนความร สรวมหาวทยาลย MATHEMATICS 1 by.. ::[MoDErN_SnC®]:: Page 13

ทบทวนความร สรวมหาวทยาลย MATHEMATICS 1 by.. ::[MoDErN_SnC®]:: Page 14

ทบทวนความร สรวมหาวทยาลย MATHEMATICS 1 by.. ::[MoDErN_SnC®]:: Page 15

ทบทวนความร สรวมหาวทยาลย MATHEMATICS 1 by.. ::[MoDErN_SnC®]:: Page 16

ป 2545 (ตลาคม)

1. กาหนดให f(x) = 2136 4x

3− ถา A = {x|x ∈ [-3, 3] และ f(x) ∈ {0, 1, 2, 3}} แลว

จานวนสมาชกของเซต A เทากบเทาใด 2. สาหรบเซต X ใดๆ ให P(x) แทนเพาเวอรเซตของ X และ n(X) แทนจานวนสมาชกของ X ถา A และ

B เปนเซต ซง n(P(A ∩ B) × (A ∪ B)) = 12 แลว n(P(A ∪ B) – P((A – B) ∪ (B – A))) เทากบชอใด

1. 16 2. 32 3. 48 4. 56 ป 2546 (มนาคม) 3. กาหนดให A = {1, 2}, B = P1, 2, 3, …, 10}

เซต {f|f : 1 1A B−⎯⎯⎯→ และม x ∈ A ซง f(x) = x} มจานวนสมาชกเทากบขอใดตอไปน

1. 16 2. 17 3. 18 4. 19

แบบฝกหดเพมเตม : คณตศาสตร 1.. TARO Free Ent 1. กาหนดให A, B, C เปนเซตใด ๆ และ n[(A∩B′) ∩ (B′∪C′)] = 4 n(B) = 5 n(A∩B) = 2 n(C) = 7 จงหาวา n(P(A)) – n(P(B)) เทากบขอใดตอไปน 1. 1 2. 4 3. 16 4. 32 2. ขอความใดตอไปนถกตอง

1. ถา Q เปนเซตของจานวนตรรกยะ และ A = {x ∈Q| x2 − 3 = 0} แลว {x| x ∈ A} ≠ φ

2. ถา A ≠ φ, B ≠ φ และ A ∩ B = φ แลว A′ − B′ = B 3. ถา A ∩ B = φ แลว A = φ หรอ B = φ 4. A ไมเปนสบเซตแทของ B กตอเมอ A ⊄ B หรอ B ⊄ A

3. ให A = {1, a, 2, b, 3, c, 4, d} B = {1, 2, 3} ถามเซต E โดยท E ⊂ A และ E ∩ B ≠ φ

จงหาจานวนเซตของ E 1. 144 2. 224 3. 264 4. 324

ความอดทนทขมขน...ยอมใหผลทหวานชนเสมอ

LABOR OMNIA VINCIT : วรยะ อตสาหะ นามาซงความสาเรจ

::[MoDErN_SnC®]::