บทท� 1

เซต

เซต (SET) หมายถง กลมของส�งตาง ๆ เชน เซตของช�อวนท�งเจด, เซตของจานวนเตมท�ยกกาลงสองแลวมคานอยกวา 7, เซตของจานวนเฉพาะท�หาร 360 ลงตว, ฯลฯ โดยส�งท�อยภายในแตละเซต เรยกวา สมาชก (Element / Member) การแจกแจงสมาชก ในการแจกแจงสมาชก นยมต�งช�อเซตดวยอกษรตวใหญ เชน A, B, C และเขยนสญลกษณแทนเซตดวยวงเลบปกกา ดงน� { } โดยการเขยนแจกแจงสมาชกในเซต จะค�นระหวางสมาชกแตละตวดวยจลภาค (comma) เชน ถาให A แทนเซตของช�อวนในแตละสปดาห และ B แทนเซตของจานวนเตมท�ยกกาลงสองแลวมคานอยกวา 7 จะได A = { อาทตย, จนทร, องคาร, พธ, พฤหสบด, ศกร, เสาร } B = { -2, -1, 0, 1, 2 } หรออาจเขยนเปน B = { 0, 1, -1, 2, -2 } นอกจากน� ในการแจกแจงสมาชก หากพบวาสมาชกตวท�ปรากฏซ� า กจะนบเปนสมาชกตวเดยวกนดวย (ไมควรเขยนซ� า) เชน ถากาหนดให C = { 2, 5, 2, 3, 3, 2 } จะถอวา C เปนเซตท�มสมาชกเพยง 3 ตว ไดแก 2, 3 และ 5 จงควรเขยนเปน C = { 2, 3, 5 } เซตสองเซตจะเทากนกตอเม�อ มจานวนสมาชกเทากน และสมาชกแตละตวของเซตหน�งตองอยในอกเซตหน�งดวย (หรอเซตสองเซตจะเทากนได กเม�อสองเซตน�นเปนเซตเดยวกนน�นเอง) เชน { -2, -1, 0, 1, 2 } = { 0, 1, -1, 2, -2 } C = { 2, 3, 5 } และ D = { 2, 5, 3, 2 } จะสรปไดวา C = D เซต { a, b, c, d, e } ไมเทากบ { a, e, i, o, u } เพราะสมาชกไมเหมอนกน หมายเหต ถาเซตสองเซตเทากน ยอมสรปไดวาจานวนสมาชกตองเทากนดวยเสมอ แตถาทราบวาจานวนสมาชกเทากน กไมจาเปนท�เซตสองเซตตองเทากน เชน C = { 2, 3, 5 } และ D = { 2, 3, 7 } ถงแมจานวนสมาชกจะเทากน แตวา C ≠ D การท�เซตมจานวนสมาชกเทากน จะกลาวไดวา C เปนเซตท� “เทยบเทา” กบ D จานวนสมาชก

เซตท�หาจานวนสมาชกได จะเรยกวาเปน เซตจากด (Finite Set) และสญลกษณท�ใชแทน “จานวนสมาชกของเซต X” กคอ n(X) เชน A = { อาทตย, จนทร, องคาร, พธ, พฤหสบด, ศกร, เสาร } ดงน�น n(A) = 7 เซตท�เลกท�สดท�เปนไปไดคอเซตท�ไมมสมาชกใด ๆ อยเลย เรยกวา เซตวาง (Null Set หรอ Empty Set) ใชสญลกษณเปน { } หรอ ∅ โดยเซตวางน� ถอเปนเซตจากดเชนกนเพราะสามารถหาจานวนสมาชกได น�นคอ n(∅) = 0

2

ลองทาด

{ ∅, 0, 1, {2, 3, 4], {5, {6}}, (7, 8) } มสมาชก …….. ตว คอ ……………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………………………………… { (1, 2), (2, 1), {1, 2}, {2, 1}} มสมาชก ……….. ตว คอ ……………………………………………………………

เซตท�จานวนสมาชกมากจนหาคาไมได จดเปนเซตอนนต (Infinite Set) ตวอยางเชน ให F แทนเซตของจานวนเตมท�นอยกวา 2, G แทนเซตของจานวนใด ๆ ต�งแต 0 ถง 1 การบอกเง�อนไข การเขยนระบถงสมาชกในเซต นอกจากแบบแจกแจงสมาชกแลว ยงมอกรปแบบหน� ง คอ “แบบบอกเง�อนไข” ซ�งเปนการเขยนเซตในรป { ตวแปรแทนสมาชก | เง�อนไขหรอลกษณะของตวแปรน�น ๆ } เชน G = { x | 0 ≤ x ≤ 1 } A = { x | x เปนช�อวนในแตละสปดาห } สมาชกของเซต

สญลกษณท�ใชแทนคากรยาวา “เปนสมาชกของ” คอ ∈ และสญลกษณท�ใชแทนคาวา “ไมเปนสมาชกของ” คอ ∉ เชน A = { x | x เปนจานวนเตมท�ยกกาลงสองแลวมคานอยกวา 7 } 1 ∈ A -2 ∈ A 3 ∉ A เอกภพสมพทธ เอกภพสมพทธ (Relative universe) คอ ขอบเขตของส�งท�เราสนใจ (ในแตละโจทยปญหา) โดยมสญลกษณเปนเซต U ซ�งใชส�อความหมายวา “สมาชกทกตวของเซตทก ๆ เซต (ในโจทยขอน�น) จะตองอยภายในเซต U และเปนท�ตกลงกนวาจะไมสนใจส�งอ�นท�ไมไดอยในเซต U เชน เม�อกาหนดให H = { x | x ≥ 2 } ถาหาก U = { -2, -1, 0, 0.5, 1, 2, 4.5, 7 } จะได H = { 2, 4, 5, 7} แตถาเปล�ยนเปน U = เซตของจานวนเตม กจะได H = { 2, 3, 4, 5, 6, …} หมายเหต เอกภพสมพทธมความสาคญตอการเขยนเซตแบบบอกเง�อนไข เพราะจะทาใหทราบขอบเขตของสมาชกท�ตรงตามเง�อนไขน�น แตถาโจทยปญหาไมไดระบเอกภพสมพทธกากบไว หากเปนเซตของจานวน ใหถอวาเอกภพสมพทธ คอ เซตของ “จานวนจรง” ใด ๆ (ซ�งใชสญลกษณเปนเซต ℝ ) สบเซตและสบเซตแท สบเซต (Subset) หรอ “เซตยอย” คอ เซตท�เลกกวาหรอเทากนกบเซตท�กาหนด โดยตองใชสมาชกรวมกบเซตท�กาหนดเทาน�น โดยประโยค “X เปนสบเซตของ Y” จะใชสญลกษณ � ⊂ และจะเกดข�นกตอเม�อ สมาชกทกตวของเซต X น�นเปนสมาชกของเซต Y ดวย หรอเม�อ X เปนเซตวางกได เชน { 1, 2 } ⊂ { 0, 1, 2 } และสญลกษณท�ใชแทนประโยค “X ไมเปนสบเซตของ Y” คอ � ⊄ จะเกดข�นไดกตอเม�อพบสมาชกบางตวของเซต X ท�ไมเปนสมาชกของเซต Y เชน { 1, 3 } ⊄ { 0, 1, 2 } เน�องจาก 3 ไมไดเปนสมาชกของ { 0, 1, 2 }

3

ลองทาด A = {m, p, r, w} จะไดวา สบเซตของ A คอ _______________________________________________________ _____________________________________________________________________________________________ ขอควรทราบ

1. เซตวางเปนสบเซตของเซตทกเซต 2. เซตทกเซตเปนสบเซตของตวเอง 3. เซตท�มสมาชก n ตว จะมสบเซตท�งส�น 2n แบบ เชน ถา A มสมาชก 4 ตว A จะมสบเซตท�งหมด

24 = 16 จากความหมายของสบเซต ทาใหเรานยามการเทากนของเซตสองเซตไดในอกวธหน� ง น�นคอ “เซต A

เทากบเซต B กตอเม�อ A และ B ตางเปนสบเซตของกนและกน” หรอ A = B กตอเม�อ ( A ⊂ B กตอเม�อ B ⊂ A ) เพาเวอรเซต เพาเวอรเซต (Power Set) คอเซตท�บรรจดวยสบเซตท� งหมดท�เปนไปได เพาเวอรเซตของ A จะใชสญลกษณ P (A) ดงน�น ถา A มสมาชก n ตวแลว P (A) ยอมมสมาชก 2n ตว เชน A = { m, p, r, w } จะได P (A) = { ∅, {m}, {p}, {r}, {w}, {m, p}, {m, r}, …, {m, p, r, w} } และ n (P (A) ) = 24 = 16

ลองทาด 1. ใหเขยนสบเซตทก ๆ แบบ และเขยนเพาเวอรเซตของเซตท�กาหนดให

1) A = { a } มสบเซต ...... แบบ คอ ........................ ดงน�น P (A) = …………………………………… 2) B = { a, b } มสบเซต ….. แบบ คอ .......................... ดงน�น P(B) = ……………………………… 3) C = { 2, 3, 5 } มสบเซต …… แบบ คอ ...........................................................................................

ดงน�น P(C) = ……………………………………………………………………………………… 4) D = ∅ มสบเซต ........ แบบ คอ ...................... ดงน�น P(D) = ………………………………….

2. กาหนด E = { 6, 7 } ใหหา P(E) และ P(P(E)) ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

3. กาหนดให F = { ∅ , 1 , { 2, 3} } ขอความตอไปน� ถกหรอผด 1) 1 ∈ � 2) ∅ ∈ � 3) ∅� ∈ � 4) 2 ∈ � 5) 2,3� ∈ �

4

6) 1 ∈ ���� 7) 1� ∈ ���� 8) ∅ ∈ ���� 9) ∅� ∈ ���� 10) 2,3� ∈ ���� 11) 2,3�� ∈ ����

4. กาหนดให A, B เปนเซตซ�ง A = { 1, 3, 5, 7 } และ B = { 1, 2, 3, 4 , 5, 6, 7 } 1) หาจานวนแบบของเซต X ซ�ง � ∈ ����

……………………………………………………………………………………………………… 2) หาจานวนแบบของเซต X ซ�ง � ∈ ���� และ ���� � 2

……………………………………………………………………………………………………….. 3) หาจานวนแบบของเซต Y ซ�ง � ⊂ และ ⊂ �

……………………………………………………………………………………………………….

แบบฝกหดท� 1.1

5

6

แผนภาพของเซต

การแสดงเซตดวย แผนภาพของเวนนและออยเลอร (Venn-Euler Diagram) ชวยใหเหนลกษณะความเก�ยวของกนของสมาชกระหวางหลาย ๆ เซตไดชดเจนข�น ในการเขยนแผนภาพดงกลาวนยมแทนเอกภพสมพทธ U ดวยกรอบส�เหล�ยม และภายในบรรจรปปด (วงกลม วงร ฯลฯ) ท�ใชแทนขอบเขตของเซต A, B, C ตาง ๆ ซ� งจะตองเขยนใหมบรเวณท�เซตของเซตซอนกน หากวาสองเซตน�นมสมาชกรวมกนดงภาพ

ลองทาด กาหนดเอกภพสมพทธ U = {0,1,2,3,4,…,11} ถา A เปนเซตของจานวนท�นอยกวา 5, B เปนเซตของจานวนค�ท�ไมเกน 9 และ C เปนเซตของจานวนเฉพาะ ใหเขยนแผนภาพแสดงเซต A, B และแสดงเซต A, B, C การดาเนนการเก�ยวกบเซต การดาเนนการเก�ยวกบเซต คอ การทาใหเกดเซตใหมข�นจากเซตท�มอยเดม โดยท�วไปมอย 4 ลกษณะ คอ

1. ยเนยน (Union : ∪) เซต � ∪ � คอ เซตของสมาชกท�งหมดของ A กบ B ผลลพธท�ไดมกจะมจานวนสมาชกเพ�มข�น

7

2. อนเตอรเซกชน (Intersection : ∩) เซต � ∩ � คอ เซตของสมาชกตวท�ปรากฏซ� ากนใน A และ B ผลลพธท�ไดมกจะมจานวนสมาชกนอยลง

สามารถเขยนนยามของยเนยนกบอนเตอรเซกชน ในรปแบบบอกเง�อนไขไดดงน�

� ∪ � � �|x ∈ Aหรอ� ∈ �� � ∩ � � �|x ∈ Aหรอ� ∈ ��

3. คอมพลเมนต (Complement : ‘) เซต A’ คอเซตของสมาชกท�เหลอใน U ท�ไมไดอยใน A สามารถเขยนนยามของคอมพลเมนตในรปแบบบอกเง�อนไขไดดงน� � � �|� ∉ ��

4. ผลตาง (Difference หรอ Relative Complement : - ) เซต B – A คอเซตของสมาชกท�อยใน B แตไม

อยใน A สามารถเรยกวา “คอมพลเมนตของ A ซ�งอยใน B หรอเขยนเปนสญลกษณดงน� � ! � � � ∩ �′ และสามารถเขยนนยามของผลตาง ในรปแบบบอกเง�อนไดดงน� � ! � � �|� ∈ �และ� ∉ ��

ขอสงเกต โดยท�วไป ��� ! �� # ���� ! ���� แตตองคดจาก ��� ! �� � ���� ! ��� ∩ �� คอลบดวยสวนท�ซ� ากนเทากน

ลองทาด

1. ถา A = {2,3,5,7} และ B = {∅, 1, 2, {3, 4}, 5} ใหเขยนแจกแจงสมาชกของเซตตอไปน� 1) � ∪ � 4) �′ 2) � ∩ � 5) B – A 3) �′ 6) A – B

8

2. ใหแรเงาแสดงสวนตาง ๆ ของเซตในแผนภาพ ตามท�กาหนดตอไปน�

1) A – B

2) �� ∪ $� ! �

3) $ ∩ �� ∪ ��′

4) �� ∩ $ � ∪ � สมบตเก�ยวกบเซต สมบตท�เก�ยวกบการดาเนนการของเซต ชวยใหจดรปแบบและสมาชกของเซตท�กาหนดใหไดอยางงายข�น

1. การแจกแจง 1) � ∩ �� ∪ $� � �� ∩ �� ∪ �� ∩ $� 2) � ∪ �� ∩ $� � �� ∪ �� ∩ �� ∪ $� 3) � ! �� ∪ $� � �� ! �� ∩ �� ! $� 4) � ! �� ∩ $� � �� ! �� ∪ �� ! $�

2. คอมพลเมนต 1) �� ∪ �� � �′ ∩ �′ 2) �� ∩ �� � �′ ∪ �′

3. พาวเวอรเซต 1) ���� ∩ ���� � ��� ∩ �� 2) ���� ∪ ���� ⊂ ��� ∪ ��

9

ลองทาด 1. ใหเขยนเซตตอไปน�ในรปอยางงายท�สด

1) �� ! �� ∪ �� ! �� ∪ �� ∩ �� 2) %� ∩ �� ∪ ��& ! %�� ∩ $� ∪ $& 3) �� ∩ � ∩ $ � ∪ �� ∩ � ∩ $ � ∪ �� ∩ � ∩ $� ∪ ��′ ∩ � ∩ $�

แบบฝกหดท� 1.2

10

11

12

13

โจทยปญหาจานวนสมาชก สตรยเนยนสาหรบ 2 – 3 เซต 2 เซต : ��� ∪ �� − ���� + ���� − ��� ∩ �� 3 เซต : ��� ∪ � ∪ $� − ���� + ���� + ��$� − ��� ∩ �� −��� ∩ $� − ��� ∩ $� + ��� ∩ � ∩ $�

ลองทาด 1. จากการสอบถามนกเรยนหองหน�งซ�งมจานวน 30 คน พบวา มนกเรยนชอบเรยนวชาคณตศาสตร 12 คน

ชอบเรยนวชาภาษาองกฤษ 15 คน โดยชอบท�งสองวชาอย 5 คน ถามวามนกเรยนในหองน� ท�ไมชอบท�งสองวชาอยก�คน

...........................................................................................................................................................................................

...........................................................................................................................................................................................

...........................................................................................................................................................................................

...........................................................................................................................................................................................

...........................................................................................................................................................................................

...........................................................................................................................................................................................

...........................................................................................................................................................................................

...........................................................................................................................................................................................

........................................................................................................................................................................................... 2. ในการสอบของนกเรยนช�นหน�ง พบวามผสอบผานวชาคณตศาสตร 37 คน วชาสงคมศกษา 48 คน วชา

ภาษาไทย 45 คน โดยมผท�สอบผานท�งวชาคณตศาสตรและสงคมศกษา 15 คน ท�งสงคมศกษาและภาษาไทย 13 คน ท�งคณตศาสตรและภาษาไทย 7 คน และมผท�สอบผานท�งสามวชาเพยง 5 คน ถามวา ท�กลาวมาน� มนกเรยนอยท�งหมดก�คน

...........................................................................................................................................................................................

...........................................................................................................................................................................................

...........................................................................................................................................................................................

...........................................................................................................................................................................................

...........................................................................................................................................................................................

...........................................................................................................................................................................................

...........................................................................................................................................................................................

...........................................................................................................................................................................................

...........................................................................................................................................................................................

...........................................................................................................................................................................................

14

3. จากการสอบถามผชมขาวทางโทรทศนจานวน 1,000 คน พบวาในกลมน� มผท�ชมทางชองฟรทว 810 คน และมผชมท�งทางชองฟรทวและเคเบ�ลทวอย 650 คน ถามวาในผชมกลมน� มท�งหมดก�คนท�ไดชมทางเคเบ�ลทว

...........................................................................................................................................................................................

...........................................................................................................................................................................................

...........................................................................................................................................................................................

...........................................................................................................................................................................................

........................................................................................................................................................................................... 4. โรงเรยนแหงหน�งมนกเรยน 80 คน และมชมรมกฬา 3 ชมรม คอ ฟตบอล กรฑา และวายน� า นกเรยน

ทกคนตองเปนสมาชกอยางนอย 1 ชมรม ถามนกเรยน 30 คนท�ไมเปนสมาชกชมรมวายน� า มนกเรยน 20 คนท�เปนสมาชกชมรมวายน� าแตไมเปนสมาชกชมรมฟตบอล และมนกเรยน 18 คนท�เปนสมาชกท�งชมรมฟตบอลและชมรมวายน� า แตไมเปนสมาชกชมรมกรฑาแลว จานวนนกเรยนท�เปนสมาชกท�ง 3 ชมรมเทากบเทาใด

...........................................................................................................................................................................................

...........................................................................................................................................................................................

...........................................................................................................................................................................................

...........................................................................................................................................................................................

...........................................................................................................................................................................................

...........................................................................................................................................................................................

...........................................................................................................................................................................................

...........................................................................................................................................................................................

...........................................................................................................................................................................................

...........................................................................................................................................................................................

แบบฝกหดท� 1.3

(40) ในการสอบถามพอบานจานวน 300 คน พบวามคนท�ไมด�มท�งชาและกาแฟ 100 คน มคนท�ด�มชา 100 คน และมคนท�ด�มกาแฟ 150 คน พอบานท�ด�มท�งชาและกาแฟมจานวนก�คน ........................................................................................................................................................................................... ........................................................................................................................................................................................... ........................................................................................................................................................................................... ........................................................................................................................................................................................... ........................................................................................................................................................................................... ........................................................................................................................................................................................... ...........................................................................................................................................................................................

15

(41) นกเรยนกลมหน�งจานวน 50 คน ม 32 คน ไมชอบเลนกฬาและไมชอบฟงเพลง ถาม 6 คนชอบฟงเพลงแตไมชอบเลนกฬา และม 1 คน ชอบเลนกฬาแตไมชอบฟงเพลง แลวนกเรยนในกลมน� ท�ชอบท�งเลนกฬาและฟงเพลง มจานวนก�คน ........................................................................................................................................................................................... ........................................................................................................................................................................................... ........................................................................................................................................................................................... ........................................................................................................................................................................................... ........................................................................................................................................................................................... ........................................................................................................................................................................................... (42) นกเรยน 80 คน เปนนกกฬา 35 คน เปนนกดนตร 27 คน และไมไดเปนท�งนกกฬาและนกดนตร 32 คน ถามวามนกเรยนไมไดเปนนกกฬาหรอไมไดเปนนกดนตร อยก�คน ........................................................................................................................................................................................... ........................................................................................................................................................................................... ........................................................................................................................................................................................... ........................................................................................................................................................................................... ........................................................................................................................................................................................... ........................................................................................................................................................................................... (43) จากการสารวจนกเรยนหองหน�ง พบวาม 20 คนท�เรยนฝร�งเศสหรอคณตศาสตร โดยท�หากเรยนฝร�งเศสแลวตองไมเรยนคณตศาสตร หากมนกเรยน 17 คนท�ไมเรยนคณตศาสตร และม 15 คนท�ไมเรยนฝร�งเศส แลวมก�คนท�ไมเรยนท�งสองวชาน� เลย ........................................................................................................................................................................................... ........................................................................................................................................................................................... ........................................................................................................................................................................................... ........................................................................................................................................................................................... ........................................................................................................................................................................................... ........................................................................................................................................................................................... (44) จากการสอบถามผด�มกาแฟ 20 คน พบวาจานวนผใสครม นอยกวาสองเทาของผใสน� าตาลอย 7 คน และจานวนผท�ใสท�งครมและน� าตาล เทากบจานวนผท�ไมใสท�งครมและน� าตาล ดงน�นมผท�ใสครมท�งหมดก�คน ........................................................................................................................................................................................... ........................................................................................................................................................................................... ........................................................................................................................................................................................... ........................................................................................................................................................................................... ........................................................................................................................................................................................... ...........................................................................................................................................................................................

16

(45) จากการสารวจพนกงานบรษท 34 คน เก�ยวกบการสวมนาฬกา แวนตา และแหวน พบวามพนกงานสวมแวนอยางเดยว 5 คน มจานวนคนสวมนาฬกามากกวาจานวนคนสวมแวนตาอย 1 คน จานวนคนไมสวมนาฬกาเปน 3 เทาของจานวนคนสวมแหวน นอกจากน�น คนสวมแหวนทกคนสวมแวน แตคนสวมนาฬกาไมมคนใดสวมแวน จะมคนสวมนาฬกาก�คน ........................................................................................................................................................................................... ........................................................................................................................................................................................... ........................................................................................................................................................................................... ........................................................................................................................................................................................... ........................................................................................................................................................................................... ........................................................................................................................................................................................... (46) ตมตามไปพกผอนท�พทยา ตลอดชวงเวลาน�นเขาสงเกตไดวามฝนตก 7 วนในชวงเชาหรอเยน โดยถาวนใดฝนตกชวงเชาจะไมตกในชวงเยน ม 6 วนท�ฝนไมตกในชวงเชา และม 5 วนท�ฝนไมตกในชวงเยน ถามวาตมตามไปพกผอนท�พทยาก�วน ........................................................................................................................................................................................... ........................................................................................................................................................................................... ........................................................................................................................................................................................... ........................................................................................................................................................................................... ........................................................................................................................................................................................... ........................................................................................................................................................................................... (47) จากการสารวจสายตาและสขภาพฟนของนกเรยน 160 คน ซ�งมนกเรยนชายอย 100 คน (นกเรยนชายสายตาไมด 30 คน และฟนผ 35 คน) พบวามนกเรยนท�สายตาดและฟนไมผอย 80 คน (เปนชาย 55 คน) และมนกเรยนท�สายตาไมดท�งหมด 50 คน ฟนผท�งหมด 60 คน ถามวามนกเรยนท�สายตาดหรอฟนไมผ รวมท�งหมดก�คน ........................................................................................................................................................................................... ........................................................................................................................................................................................... ........................................................................................................................................................................................... ........................................................................................................................................................................................... ........................................................................................................................................................................................... ........................................................................................................................................................................................... (48) ในจานวนนกเรยน 35 คนซ�งเปนหญง 1 คน ถาพบวาชอบเลนบาสเกตบอลกบฟตบอลอยางนอยคนละอยาง โดยมนกเรยนชาย 16 คนชอบบาสเกตบอล นกเรยนหญง 7 คนชอบฟตบอล นกเรยนชอบบาสเกตบอลท�งหมด 23 คน ฟตบอล 21 คน นกเรยนท�ชอบท�งสองอยางมก�คน ........................................................................................................................................................................................... ........................................................................................................................................................................................... ........................................................................................................................................................................................... ........................................................................................................................................................................................... ........................................................................................................................................................................................... ...........................................................................................................................................................................................

17

(49) โรงเรยนแหงหน�งมนกเรยนชาย 600 คน หญง 500 คน ในจานวนน� มนกเรยนท�มาจากตางจงหวดรวม 300 คน เปนผชาย 200 คน และมนกกฬารวม 50 คน เปนผชาย 30 คน โดยมนกกฬาท�มาจากตางจงหวด 25 คน เปนชาย 15 คน ถามวานกเรยนชายท�ไมไดมาจากตางจงหวด และไมไดเปนนกกฬาดวย ก�คน ........................................................................................................................................................................................... ........................................................................................................................................................................................... ........................................................................................................................................................................................... ........................................................................................................................................................................................... ........................................................................................................................................................................................... ........................................................................................................................................................................................... (50) เซตของจานวนเตมเซตหน�ง หากนา 3 หรอ 4 ไปหาร จะปรากฏวา 4 หารลงตวอยางเดยว 6 จานวน 3 หารลงตวท�งหมด 8 จานวน ซ�งเปนจานวนค 3 จานวน ท�ง 3 และ 4 หารลงตว ม 2 จานวน และ 4 หารไมลงตว 18 จานวน ซ�งเปนจานวนค 4 จานวน ถามวาจานวนสมาชกของเซตน� เปนเทาใด จานวนคในเซตน� มก�จานวน และมจานวนท� 3 หรอ 4 หารไมลงตวก�จานวน ........................................................................................................................................................................................... ........................................................................................................................................................................................... ........................................................................................................................................................................................... ........................................................................................................................................................................................... ........................................................................................................................................................................................... ........................................................................................................................................................................................... (51) เม�อสอบถามนกเรยนกลมหน�งเก�ยวกบอาหารสามประเภท คอ ขนมปง ขาว และกวยเต�ยว ไดขอมลวา ในจานวน 370 คน มอย 140 คนท�ชอบทานขนมปง ม 195 คนท�ชอบทานขาว และม 155 คนท�ชอบทานกวยเต�ยว โดยมนกเรยนท�ชอบทานท�งขนมปงและขาว 50 คน ชอบทานท�งขาวและกวยเต�ยว 45 คน ชอบทานท�งขนมปงและกวยเต�ยว 60 คน และมนกเรยนท�ชอบทานท�งสามประเภทอย 20 คน ใหหาวามนกเรยนกลมน� ก�คนท�ไมชอบอาหารประเภทใดเลย ........................................................................................................................................................................................... ........................................................................................................................................................................................... ........................................................................................................................................................................................... ........................................................................................................................................................................................... ........................................................................................................................................................................................... ...........................................................................................................................................................................................

18

(52) จากขอมลในขอ (51) ใหหาจานวนนกเรยนท�... (52.1) ชอบทานขนมปงเทาน�น (52.2) ชอบทานกวยเต�ยว แตไมชอบทานขนมปง (52.3) ชอบทานท�งขนมปงและกวยเต�ยว แตไมชอบทานขาว (52.4) ไมชอบทานขนมปง (52.5) ชอบทานอาหารดงกลาวอยางนอยสองประเภท (52.6) ชอบทานอาหารดงกลาวอยางมากหน�งประเภท (53) สถาบนสอนภาษาแหงหน�งเปดสอนท�งหมด 3 ภาษา จากการสอบถามผท�ลงทะเบยนเรยน จานวน 42 คน ปรากฏผลดงน� ลงเรยนภาษาองกฤษไว 29 คน ลงเรยนภาษาจนไว 22 คน ลงเรยนภาษาญ�ปนไว 21 คน โดยม 10 คนลงเรยนท�งภาษาองกฤษและจน ม 12 คนลงเรยนท�งภาษาองกฤษและญ�ปน และม 15 คนลงเรยนท�งภาษาจนและญ�ปน ถามวามผท�ลงเรยนครบท�งสามวชาอยก�คน และมผท�ลงเรยนเพยงวชาเดยวเทาน�นรวมก�คน ........................................................................................................................................................................................... ........................................................................................................................................................................................... ........................................................................................................................................................................................... ........................................................................................................................................................................................... ........................................................................................................................................................................................... ........................................................................................................................................................................................... (54) จากการสารวจผฟงเพลง 180 คน พบวา มผชอบเพลงไทยสากล 95 คน เพลงไทยเดม 92 คน และลกทง 125 คน โดยแบงเปน ผชอบเพลงไทยสากลและไทยเดม 52 คน เพลงไทยสากลและลกทง 43 คน เพลงไทยเดมและลกทง 57 คน และทกคนจะชอบฟงเพลงอยางนอยหน�งในสามประเภท ใหหาจานวนผท�ชอบเพลงไทยสากลเพยงอยางเดยว ........................................................................................................................................................................................... ........................................................................................................................................................................................... ........................................................................................................................................................................................... ........................................................................................................................................................................................... ........................................................................................................................................................................................... ........................................................................................................................................................................................... (55) จากการสารวจความนยมของผไปเท�ยวสวนสตว 100 คน พบวา 50 คนชอบชาง 35 คนชอบลง 25 คนชอบหม 32 คนชอบแตชาง 20 คนชอบหมแตไมชอบลง 10 คนชอบชางและลงแตไมชอบหม ใหหาจานวนคนท�ไมชอบสตวท�งสามชนดน� เลย ........................................................................................................................................................................................... ........................................................................................................................................................................................... ........................................................................................................................................................................................... ........................................................................................................................................................................................... ........................................................................................................................................................................................... ...........................................................................................................................................................................................