Квадратные уравнения

11

КвадратныКвадратные е

уравнения.уравнения.

КвадратныКвадратные е

уравнения.уравнения.

Кто ничего не замечает,Кто ничего не замечает,Тот ничего не изучает.Тот ничего не изучает.Кто ничего не изучает,Кто ничего не изучает,Тот вечно хнычет и скучает.Тот вечно хнычет и скучает.

Ф. Сеф. Ф. Сеф.

Кто ничего не замечает,Кто ничего не замечает,Тот ничего не изучает.Тот ничего не изучает.Кто ничего не изучает,Кто ничего не изучает,Тот вечно хнычет и скучает.Тот вечно хнычет и скучает.

Ф. Сеф. Ф. Сеф.

Квадратным уравнением называется уравнение вида ax²+bx+с=0, где a,b,c – произвольные числа, причём a≠0. a,b,c –это коэффициенты квадратного уравнения. а – первый или старший коэффициент,в – второй коэффициент,с – свободный член.Пример квадратного уравнения: 2х²+3х+1=0

Способы решения квадратных Способы решения квадратных уравненийуравнений::

Разложение на множители:Разложение на множители:◊ ◊ используя формулы сокращённого используя формулы сокращённого

умножения;умножения;◊ ◊ выделением квадрата двучлена.выделением квадрата двучлена. Используя формулы нахождения Используя формулы нахождения

корней квадратного уравнения.корней квадратного уравнения. Используя теорему Виета и ей Используя теорему Виета и ей

обратную.обратную.

Решение квадратных уравнений выделением квадрата двучлена.

Пример:x²-6x-7=0

Решение: x²-6x+9=9+7.

(x-3)²=16.

(x-3)=-4 или (x-3)=4.

x1=-1 или x2=7.

Ответ: x1=-1, x2=7.

Существование корней квадратного уравнения и их число зависит от знака выражения D=b²- 4ac.D называют дискриминантом квадратного уравненияЕсли D>0, то уравнение ах²+bх+с=0 имеет два корня.Если D=0, то уравнение ах²+bх+с=0 имеет один корень.Если D<0, то уравнение ах²+bх+с=0 не имеет корней.Формулы корней квадратного уравнения:

-b±√D X1,2 = 2a

Пример решения квадратного уравнения.

12х²-7х+1=0 а=12, в=-7, с=1. D=(-7)²-4·12·1=49-48=1 Т.к. D=1>0, то уравнение имеет

два различных корня.

-(-7)±√1 Х1,2= 2·12 ; х1=1/4, х2=1/3

Ответ: х1=1/4 и х2=1/3

Неполное квадратное Неполное квадратное уравнение.уравнение.

Квадратное уравнение называется неполным, если Квадратное уравнение называется неполным, если хотя бы один из коэффициентов хотя бы один из коэффициентов bb или или cc равен равен

нулю.нулю.Виды неполных квадратных уравнений:Виды неполных квадратных уравнений:

1. 1. ax²+bx=0ax²+bx=0, где , где b≠0b≠0.. ПримерПример: 2: 2x²-6x=0x²-6x=0..

Решение: 2Решение: 2xx((xx-3)=0; 2-3)=0; 2xx=0 или =0 или xx-3=0; -3=0; xx11==00 ; ; xx22=3=32. 2. ax²ax²++c=0c=0, где с≠0., где с≠0.Пример:Пример: 3 3x²-48=0x²-48=0..

Решение: 3Решение: 3x²x²=48; =48; x²x²=48=48::3; 3; x²x²=16; =16; xx1,21,2==±±44..3. 3. ax²ax²=0=0

ПримерПример: -5: -5x²=0x²=0..Решение: Решение: x²=0x²=0; ; xx=0=0. .

Неполное квадратное Неполное квадратное уравнение.уравнение.

Квадратное уравнение называется неполным, если Квадратное уравнение называется неполным, если хотя бы один из коэффициентов хотя бы один из коэффициентов bb или или cc равен равен

нулю.нулю.Виды неполных квадратных уравнений:Виды неполных квадратных уравнений:

1. 1. ax²+bx=0ax²+bx=0, где , где b≠0b≠0.. ПримерПример: 2: 2x²-6x=0x²-6x=0..

Решение: 2Решение: 2xx((xx-3)=0; 2-3)=0; 2xx=0 или =0 или xx-3=0; -3=0; xx11==00 ; ; xx22=3=32. 2. ax²ax²++c=0c=0, где с≠0., где с≠0.Пример:Пример: 3 3x²-48=0x²-48=0..

Решение: 3Решение: 3x²x²=48; =48; x²x²=48=48::3; 3; x²x²=16; =16; xx1,21,2==±±44..3. 3. ax²ax²=0=0

ПримерПример: -5: -5x²=0x²=0..Решение: Решение: x²=0x²=0; ; xx=0=0. .

Определение приведённого квадратного уравнения. Формулы дискриминанта и корней привидённого квадратного уравнения.

Уравнение вида x²+px+q=0, где p и q произвольные числа и первый коэффициент равен 1, называется приведённым квадратным уравнением.

Формула дискриминанта: D=p²-4q. Если D>0, то -p±√D

x1,2 = 2

Если D=0, то x=-p/2 Если D<0, то корней нет.

Пример решения приведённого квадратного уравнения.x²-15x-16=0

Решение: D=(-15)²-4·(-16)=225+64= 289

Т.к. D=289>0, то уравнение имеет два корня:

-(-15)±√289

X1,2 = 2 ; x1=1 и x2=-16.

Ответ: x1=1 и x2=-16.

Немного Немного историиисторииНемного Немного историиистории

В 1591 году Франсуа Виет ввел формулы для решения квадратных уравнений.

Теорема Виета.

Если приведенное квадратное уравнение x²+px+q=0 имеет действительные корни, то их сумма равна -p, а произведение равно q, то естьx1 + x2 = -p ,x1 ·x2 = q

(сумма корней приведенного квадратного уравнения равна второму коэффициенту, взятому с противоположным знаком, а произведение корней равно свободному члену).

Использование теоремы Виета Использование теоремы Виета при решении квадратных при решении квадратных

уравненийуравнений ПРИВЕДЁННЫХПРИВЕДЁННЫХ

xx²+²+pxpx++q=0q=0

xx11++xx22=-p=-p

xx11·x·x22=q=q

ПОЛНЫХПОЛНЫХ

axax²+²+bxbx+c+c=0 =0 xx11++xx22=-b/a=-b/a

xx11·x·x22==cc/a/a

Практическое применение теоремы Виета.

Пример 1. -2x²+7x+4=0

x1+x2=-7/(-2)=3,5

x1·x2=4/(-2)=-2

x1=4, x2=-0,5.Проверка: 4+(-0,5)=3,54·(-0,5)=-2

Ответ: x1=4, x2=-0,5.

Пример 2. x²-9x+20=0

x1+x2=9

x1·x2=20

x1=4, x2=5.Проверка:4+5=94·5=20

Ответ: x1=4, x2=5.

Теорема, обратная теореме Теорема, обратная теореме Виета.Виета.

Если числа Если числа xx11 и и xx22 таковы, что их сумма таковы, что их сумма

равна равна –p–p, а произведение равно , а произведение равно qq,, то то эти числа являются корнями уравнения эти числа являются корнями уравнения xx²+²+pxpx++q=0q=0..

Практическое применение теоремы, обратной теореме Виета.

Пример. Составьте уравнение, если известны

его корни: x1=2, x2=-5.

Решение: Т.к. x1+x2=-p и x1·x2 =q, то 2+(-5)=-3,⇒ p=3 и

2·(-5)=-10, ⇒ q=-10

Составляем уравнение: x²+3x-10=0.

Ответ: x²+3x-10=0.

ПРОВЕРЬ СЕБЯ!Предлагаем

выполнить самостоятельную

работу.

Решите уравнения:

☺1) 5x²-10x+2=0

2) 9x²+6x+1=0

3) 2x²+7x+30=0

☺1) 5x²+x=0

2) -3x²+9=0

3) -20x²=0

☺1) 25x²-10x+1=0

2) x²+5x-14=0

3) 25x²-10x+1=0 продолжение

Решите уравнения(продолжение)☺Составьте квадратное уравнение, если известны его корни: 1) x1=5, x2=3 2) x1 =-0,5, x2=0,2 3) x1=x2=-5☺ 1) При каких значениях m уравнение 4x²+2x-m=0 имеет единственный

корень?2) При каких значениях k и p корнями уравнения kx²+px+3=0 являются числа 1 и -3?

3) Решите уравнение: x²-1 = 2x-1 + 2 3 5

продолжение

ЖЕЛАЕМ УСПЕХОВ!

Где есть желание, найдётся путь!