математик анализ лекц№5

Лекц№5Функцын шинжилгээ, экстремум, функцийн

графикийн хотгор ба гүдгэр нугаралтын цэг, асимптот

Функцийн өсөлт ба бууралтТеорем 8.4 (Функц өсөх(буурах) гарцаагүй нөхцөл) Хэрэв у=f(х) функц (а,b) завсар дээр дифференциалчлагдах бөгөөд өсөж (буурч) байвал түүний уламжлал нь энэ завсар дээр сөрөг бус (эерэг бус), өөрөөр хэлбэл,

I байна.Теорем 8.5(Функц өсөх (буурах) хурэлцээтэй нөхцөл) Хэрэв у=f(х) функц [а,b] хэрчим дээр тасралтгүй, (а,b) дээр дифференциалчлагдахаас гадна а<х<b-ийн хувьд f '(х) > 0, (f '(x) < 0) бол уг функц [а, b] дээр өснө (буурна).

' 0, ' 0f x f x

Функцийн экстремум

Тодорхойлолт 9.1 Хэрэв у=f(х) функцийн х=х1 цэг дээрх утга нь х1 цэгийн орчны бусад бүх цэгүүд дээрх утгаас их, өөрөөр хэлбэл х1 цэгийн орчинд f(x1)>f(x) байвал x1-г максимумын цэг гэх ба f(х1)-г функцийн максимумын утга гэнэ. Хэрэв x2 цэгийн орчинд f(x2)<f(x) байвал х=x2-г минимумын цэг, f(x2)-г минимумын утга гэдэг.

Функцийн максимум ба минимумийг нийлүүлээд функцийн экстпремум гэдэг.

Теорем 9.1(Экстремум байх гарцаагүй нөхцөл) Хэрэв дифференциалчлагдах f(x) функц х=х0 цэгт экстремумтэй бол f '(х) = 0 байна.

Функцийн 1-р эрэмбийн уламжлалыг тэгтэй тэнцүүлдэг эсвэл 1-р уламжлал байхгүй мөн уламжлалыг ± болгодог цэгүүдийг экстремум байж болох сэжигтэй цэгүүд гэдэг.

1-р эрэмбийн уламжлал нь тэг байдаг цэг бүхэн дээр экстремум байх нь алба биш.

Теорем 9.2(Экстремум оршин байх 1-р хүрэлцээтэй нөхцөл)

Хэрэв x0 цэг y=f (x) функцийн сэжигтэй цэг бөгөөд f‘(x) нь х0 цэгийг дайрч өнгөрөхдөө тэмдгээ өөрчилж байвал х=х0 нь у=f (х) функцийн экстремумын цэг болно. Гэхдээ f '(х) функц х0 цэгийг дайрч гарахдаа өөрийн тэмдгийг эерэгээс сөрөгт сольж байвал х0 нь максимумын цэг, сөргөөс эерэгт сольж байвал минимумын цэг болно. Харин f '(х) нь тэмдгээ солихгүй байвал экстремумын цэг болохгүй.Теорем 9.3 (Экстремум оршин байх 2-р хүрэлцээтэй нөхцөл) x0 цэг f (х) функцийн экстремум байх сэжигтэй цэг бөгөөд түүн дээр функцийн II эрэмбийн уламжлал оршин байг. Хэрэв f '(x) 0 ба f “(x)0 бол х0 нь экстремумын цэг болно. f "(хо) > 0 бол x0 нь минимумын, f "(хо) < 0 бол максимум болно. Харин f"(хо) = 0 бол тодорхойгүй.

Функцийн графикийн хотгор ба гүдгэр, нугаралтын цэг

Хэрэв х1 цэгийн орчны функцийн график нь х1 абсцисстэй цэгт татсан шүргэгчийн дээд талд оршиж байвал (х1 ,f(x1)) цэгийг у=f(x) функцийн графикийн хотгор цэг гэнэ.

Хэрэв х2 цэгийн орчин дахь функцийн график шүргэгчийн доод талд оршвол (x2,f(х2)) -ийг гүдгэрийн цэг гэнэ. Функц (а,b) завсрын бүх цэг дээр гүдгэр бол түүнийг уг завсарт гүдгэр функц гэнэ.

Теорем 9.4 у=f(х) функц х=х1 цэг дээр тодорхойлогдсон бөгөөд II эрэмбийн уламжлал нь тасралтгүй байг. Хэрэв f’’(x1) >0, (f’’(x1)<0) бол функцийн график (х1,f(х1)) цэг дээр хотгор (гүдгэр) байна.

Функцийн графикийн гүдгэр хэсгийг хотгороос тусгаарлаж байгаа (х0,f(хо)) цэгийг функцийн графикийн нугаралтын цэг гэдэг.

Теорем 9.5 (Нугаралтын цэгийн зайлшгүй нөхцөл) Хэрэв у=f(х) функц х0

цэг дээр тасралтгүй 2-р эрэмбийн уламжлалтай бөгөөд х0 нь нугаралтын цэг бол f "(х0) = 0 байна.

Дээрхи теоремоос үзвэл f(х) функцийн нугаралтын цэг нь эсвэл f "(х) байх цэгүүд эсвэл f "(х) оршин байхгүй цэг болно. Эдгээр цэгүүд нугаралтын хувьд сэжигтэй цэг гэдэг.

Теорем 9.6 (Нугаралтын цэг байх хүрэлцээтэй нөхцөл) у=f(x) функц 2 дахин тасралтгүй дифференциалчлагдах бөгөөд нугаралтын хувьд сэжигтэй цэгийг дайрч өнгөрөхдөө f "(х) нь тэмдгээ өөрчилж байвал уг цэг нугаралтын цэг болно.

Функцийн графикийн асимптот

Хавтгай дээр у=f(х) муруй ба L шулуун авъя. Муруй дээрээ М(х,у) цэг авч түүнийг муруйн дагуу координатын эхээс төгсгөлгүй холдуулахад М цэгээс L шулуун хүрэх зай тэг рүү тэмүүлж байвал L шулууныг у=f(x) муруйн асимптот гэнэ.

Босоо ба налуу гэсэн хоёр янзын асимптот байна. Эдгээр асимптотыг хэрхэн олохыг авч үзье.

Босоо асимптот. х нь төгсгөлөг ба а цэг рүү тэмүүлж байхад

эсвэл эсвэл

байвал х=a шулууныг у=f(х) муруйн босоо асимптот гэнэ.

0

limx a

f x

0

limx a

f x

limx a

f x

Налуу асимптот. y=f(х) муруй у=кх+b гэсэн налуу асимптоттой юм гэе. Энэ үед

ба

гэж олдог.

limx

f xk

x

limx

b f x kx

Функцийн графикийг уламжлалын тусламжтайгаар байгуулах

Функцийн график нь түүний өөрчлөлтийн явцын тухай хамгийн эвт-эйхэн дүрслэл, төсөөлөл өгдөг. Бид уламжлалын тусламжтайгаар функ-цийн өсөх, буурах завсар, экстремумын цэг болон функцийн графикийн хотгор, гүдгэр, нугаралтын цэг, асимптотыг олж сурсан тул функцийн графикийг нилээд нарийн байгуулах боломжтой боллоо.

Функцийн графикийг байгуулахдаа доорх дэс дарааллыг баримтлан ажиллавал зохимжтой.

1. Функцийн тодорхойлогдох мужийг олох.

2. Функцийн тэгш, сондгой, үетэй зэргийг судлах.

3. Түүний графикийн координатын тэнхлэгүүдтэй огтлолцсон цэгүү-дийг олох.

4. Функцийн тасралтын цэгийг олох, уг муруйн асимптотыг олох.

5. Функцийн өсөх, буурах муж, экстремумын цэгийг олох.

6. Муруйн гүдгэр, хотгор байх завсар, нугаралтын цэгийг олох.

7. Эдгээр бүх зүйлийн тусламжаар функцийн графикийг зурна.

Анхаарал тавьсандбаярлалаа