Багш: Магистр Н.Батчимэг

Засагт Хан дээд сургуульХНУ тэнхим

Лекц№1

Математикийн болон эдийн засгийн функцүүд

Функц түүний өгөгдөх аргууд, график дүрслэл

Өгөгдсөн нөхцөлд янз бүрийн тоон утга авах хэмжигдэхүүнийг хувьсах хэмжигдэхүүн гэж нэрлээд латин цагаан толгойн жижиг үсгүүдээр тэмдэглэнэ. /x, y, z гэх мэт/Өгөгдсөн нөхцөлд ямагт нэг ижил утгатай байх хэмжигдэхүүнийг тогтмол хэмжигдэхүүн гэнэ.Тогтмол хэмжигдэхүүнийг абсолют тогтмол ба параметр гэж ангилна. Ямагт тогтмол утгатай хэмжигдэхүүнийг абсолют тогтмол хэмжигдэхүүн гэнэ. Ж нь:

гэх мэтЗөвхөн өгөгдсөн бодлогын нөхцөлд тогтмол байх хэмжигдэхүүнийг параметр гэнэ.

Тодорхойлолт. Ямар нэгэн X олонлогийн элемент x-ийн утга бүрд Y олонлогийн цор ганц элемент y-ийг харгалзуулан тодорхойлсон дүрмийг y хувьсах хэмжигдэхүүн x-ээс хамаарсан функц гэж нэрлээд

гэж тэмдэглэнэ.

Функц нь аналитик /томъёо/, хүснэгт болон график аргаар өгөгдсөн байж болно.

1. Аналитик арга. Функц нь томъёогоор өгөгдсөн бол түүнийг аналитик аргаар өгөгдсөн функц гэнэ. Жишээ нь:

2. Хүснэгтийн арга. Функц нь аргументийн хоорондох хамаарлыг шууд томъёогоор илэрхийлээгүй боловч аргументийн өгөгдсөн холбогдлууд дахь функцийн утгууд мэдэгдэж байвал түүнийг хүснэгтийн аргаар өгөгдсөн функц гэнэ.

3. Графикийн арга. Функц ба аргументийн хоорондох хамаарлыг үзүүлсэн шугам мэдэгдэж байвал түүнийг графикийн аргаар өгөгдсөн функц гэнэ.

x -2 -1 0 1 2 3

f(x) -7 -2 1 4 9 11

Функцийн ангилал

Аналитик аргаар өгөгдсөн функцыг дараах байдлаар ангилна.

Аналитик аргаар өгөгдсөн

функц

Алгебрийн функц

Рациональ функц

Бүхэл рациональ

функц

Бутархай рациональ

функцИррациональ функц

Трансцендент функц

Алгебрийн функцТодорхойлолт. Хэрэв функцийн утгыг аргументийн

утга ба тогтмол тоонууд дээр төгсгөлөг тооны алгебрийн үйлдлүүд / нэмэх, хасах, үржих, хуваах, язгуур гаргах, тоон зэрэг дэвшүүлэх/ гүйцэтгэх замаар олж байвал түүнийг алгебрийн функц гэнэ.

Рациональ функцТодорхойлолт. Хэрэв алгебрийн функцийн утгыг аргументийн утга дээр язгуур гаргахаас бусад алгебрийн үйлдэл гүйцэтгэж олж байвал түүнийг рациональ функц гэнэ.Тодорхойлолт. Хэрэв рациональ функцийн утгыг аргументийн утга дээр хуваахаас бусад алгебрийн үйлдэл гүйцэтгэж олж байвал түүнийг бүхэл рациональ функц гэнэ.

Тодорхойлолт. Хэрэв рациональ функцийн утгыг аргументийн утга дээр заавал хуваах үйлдэл оролцсон алгебрийн үйлдэл гүйцэтгэж олж байвал түүнийг бутархай рациональ функц гэнэ.

Иррациональ функцТодорхойлолт. Хэрэв алгебрийн функцийн утгыг

аргументийн утга дээр бутархай рациональ зэрэг дэвшүүлэх буюу язгуур гаргах үйлдэл оролцсон алгебрийн үйлдэл гүйцэтгэж олж байвал түүнийг иррациональ функц гэнэ.

Тодорхойлолт. Алгебрийн биш функцийг трансцендент функц гэнэ.

Илтгэгч, логарифм, тригнометр функцүүд нь трансцендент функц болно.

Трансцендент функц

Функцийн тодорхойлогдох муж :Тодорхойлолт. Өгөгдсөн функцийг тодорхой, бодит утгатай байлгах

аргументын утгуудын олонлогийг функцийн тодохойлогдох муж гэнэ. ӨХ x-ийн олонлог юм.

Тодорхойлогдох мужыг гэж тэмдэглэнэ.• y=f(x) y=f(x)=u(x)/V(x) ноогдвор хэлбэртэй бол түүний

хуваарийн илэрхийлэл 0-тэй тэнцүү биш байх шаардлагатай ./v(x)≠0/

• y=f(x) функийн бүрэлдэхүүнд байгаа тэгш зэргийн язгуур доторх илэрхийлэл ≥0 байна

• өгөгдсөн функц илтгэгч юмуу бүрэлдэхүүнд нь илтгэгч функц оролцсон байвал тухайн илтгэгч функцийн суурь тэгээс эрс их бөгөөд 1ээс ялгаатай байна.

• Өгөгдсөн функц log юмуу бүрэлдэхүүнд нь log функц оролцсон байвал тухайн log функцийн доорх илэрхийлэл >0,суурь нь тэгээс эрс их бөгөөд 1ээс ялгаатай байна.

• Тригнометрийн урвуу функц болох arcsinx,arccosx хувьд тодорхойлогдох муж нь[-1;1] хэрчим байх шаардлагатай

Утгын мужФункцийн утгын муж гэдэг нь уг функцийн урвуу функцийн

тодорхойлогдох мужийг хэлнэ.

Жишээ 6:

23 12 7 .y x x функцийн утгын мужийг ол

Бодолт:

22

3 /

2 1

3 4 7 3 2 5

5 53 2

4

2

4

5 23 3

бvтэн кв н г

y x x x

x xx y y y

Тодорхойлолт ёсоор урвуу функцийн тодорхойлогдох мужийг олъё.

5 0 5 0 53

x x x

Иймд утгын муж: 5y 5

x

5;y

Тодорхойлолт. Oxy тэгш өнцөгт координатын системд абцисс тэнхлэг дээр тодорхойлогдох мужийг, ординат тэнхлэг дээр түүний утгын мужийг авна. Тодорхойлогдох мужийн дурын x цэгийг авч, өгөгдсөн дүрмээр y-ийн утгыг олж ординат дээр тэмдэглэнэ. Ийнхүү тодорхойлогдох мужийн бүх цэгийн утгыг олж тэмлэглэвэл хавтгай дээр нэг муруй үүснэ. Дээрх аргаар үүсгэсэн хавтгайн цэгүүдийн геометр дүрслэл болох муруйг y=f(x) функцийн график гэнэ.

У=2x+1

Урвуу функц, түүний график байгуулах нь

Тодорхойлолт. Харилцан нэгэн утгатай буулгалт f-ийн утгын мужийн дурын цэгт түүний эх дүр болох тодорхойлогдох мужийн цор ганц цэгийг оноож буй дүрмийг өгөгдсөн f функцийн урвуу функц гэнэ.

y=f(x)- шууд y=f-1(x)- урвуу функц гэнэ.

Өгөгдсөн функцийн урвуу функцийг олохдоо аргументийг нь /x/ хамааралтай хувьсагчаар /y/ илэрхийлэх шаардлагатай. Дараа нь 2 хувьсагчийн тэмдэглэгээг солино..

Урвуу функц функцийн урвуу функцийг гэж тэмдэглэнэ. f x 1 1y f x

2 5.

y x функцийн урвууфункцийг олъё

Жишээ 2:

х ба y-ийг сольж бичнэ.

2 5x y Үүссэн тэгшитгэлээс y-ийг олно.

11 15 . 52 2

y x y x

f xy x

1f x

Харилцан урвуу функцүүд y=xшулууны хувьд тэгш хэмтэй

байна.

Жишээ 3:

32 5 .y x функцийн урвуу функцийг ол

3 3 3

13 3

12 5 2 5 52

5 52 2

x y y x y x

x xy y

Бодолт:

Жишээ 4:

35 2 .xy функцийн урвуу функцийг ол

Бодолт:

3 35

15 5

5 2 5 2 3 log 2

log 2 3 log 2 3

y yx x y x

y x y x

Жишээ 5:

2 3 .5 7

xy функцийн урвуу функцийг олx

Бодолт:

1

2 3 5 7 2 3 5 3 2 75 7

5 3 5 32 7 5 32 7 2 7

yx x y y x y xyy

x xy x x y yx x

Функцийн зарим чанарууд

1. Тэгш сондгой функц. Хэрэв өгөгдсөн f(x) функцийн хувьд f(-x)=f(x)

байвал тэгш, f(-x)=-f(x) байвал сондгой функц гэнэ. Тэгш функцийн график Oy тэнхлэгийн хувьд тэгш хэмтэй. Сондгой функцийн график координатын эхийн хувьд тэгш хэмтэй байна.Функц бүр тэгш, сондгой байх албагүй. ӨХ тэгш ч биш, сондгой ч биш функц байж болно.

Жишээ : у=2x^4-3x^2+6 ,у=8x^3-7x функцуудийг тэгш сондгой эсэхийг тогтоо

2. Өсдөг буурдаг функц. Хэрэв өгөгдсөн y=f(x) функцийн хувьд аргументийн

x1<x2 байх дурын 2 утгыг хувьд f(x1)<f(x2) нөхцөл биелж байвал өсдөг, харин f(x1)>f(x2) байвал буурдаг функц гэнэ.

Тэнцэл бишийн тэмдэгүүд эрс их биш бол харгалзан үл өсөх, үл буурах гэнэ. Үл өсөх ба үл буурах функцийг хамтад нь монотон функц гэнэ.

3. Үет функц. Дурын x-ийн утга бүрийн хувьд f(x+T)=f(x)

нөхцлийг хангах эерэг тоо T олдож байвал f(x) функцийг үет функц гэнэ.

Дээрх чанарыг хангах Т-үүдын дотроос хамгийн багыг нь тухайн функцийн үе гэнэ.

4.Гүдгэр ба хотгор функц. Өгсөн y=f(x) функцийн аргументийн x1, x2 гэсэн

дурын 2 утгын болон 0<a<1 байх a-ийн утгуудын хувьд f(ax1+(1-a)x2)<=af(x1)+(1+a)f(x2) нөхцөл биелж байвал уг функцийг гүдгэр функц гэнэ.

Хэрэв тэнцэл бишийн тэмдэг нь эрс бага бол эрс гүдгэр функц гэнэ.

Тодорхойлолт. Хавтгай болон шулууны цэгүүдийн олонлогийн хувьд түүний дурын 2 цэгийг холбосон хэрчим уг олонлогтоо бүхлээрээ агуулагддаг бол тухайн олонлогийг гүдгэр олонлог гэнэ. Гүдгэр биш олонлогийг хотгор олонлог гэнэ.

Хэрвээ функцийн графикийн дээр хашигдаж буй олонлог нь гүдгэр бол уг функцийг гүдгэр функц гэнэ.

Үндсэн элементар функцүүдийн хэлбэрүүд1. Зэрэгт функц. Хэрвээ функц y=xa хэлбэртэй байвал зэрэгт функц

гэнэ. Энд a- бодит тоо бөгөөд түүнийг зэрэг илтгэгч гэнэ. Зэрэгт функцийн тодорхойлогдох муж нь зэрэг илтгэгчээсээ хамаардаг.

2. Илтгэгч функц. y=ax , a>0, a=1 хэлбэрийн функцийг илтгэгч функц гэнэ. Энд a- бодит тоо бөгөөд түүнийг илтгэгчийн суурь гэнэ. Энэ функц нь x-ийн бүх утга дээр тодорхойлогдсон эерэг утгатай функц юм. a>1 бол өсдөг, 0<a<1 бол буурдаг функц юм.

3. Логарифм функц. хэлбэрийн функцийн логарифм функц гэнэ. Энд a- бодит тоо бөгөөд түүнийг логарифмын суурь гэнэ. Логарифм функц нь илтгэгч функцийн урвуу функц юм. Энэ функц нь x>0 байх бүх x дээр тодорхойлогддог.

4. Тригнометрийн функцүүд. y=sinx, y=cosx, y=tgx, y=ctgx функцуудыг тригнометрийн функцүүд гэнэ. y=arccosx, y=arcsinx, y=arctgx, y=arcctgx функцууд нь тригнометрийн урвуу функцууд юм.

Давхар функц

Тодорхойлолт. функцуудийн хувьд функцийг давхар буюу нийлмэл функц

гэнэ. Давхар функц нь 2-оос дээш төгсгөлөг тоотой хэд ч

байж болно.Жишээ нь.

z=cos(2x2+5)y=2x2+5; z=cosy функцуудаас бүрдсэн давхар функц байна.z=(x3+2)4

y=x3+2; z=y4 функцуудаас бүрдсэн давхар функц байна.

Эдийн засгийн хэрэглээний функцүүд

Энэ хичээлээр микро ба макро эдийн засагт өргөн хэрэглэгддэг функцүүдийн онцлог шинж, утга агуулгыг авч үзэхээс гадна эдгээр функүүдийн тусламжтай хийгдэх эдийн засгийн зарим тооцоолол, дүгнэлт, үр дүнгүүдтэй танилцах болно.

Эрэлтийн шууд функц Эдийн засгийн тодорхой нөхцөлд өгсөн үнийн түвшинд хүмүүсийн худалдан авахаар санал болгож буй бүтээгдэхүүний тоо хэмжээг эрэлтийн тоо хэмжээ гэнэ.

Бүтээгдэхүүний үнэ өсөхөд эрэлтийн тоо хэмжээ нь ерөнхийдөө буурах хандлагатай байна. Үүнийг эрэлтийн хууль гэнэ.

Авч үзэж буй бүтээгдэхүүний эрэлтийн тоо хэмжээг qd-ээр, үнийг нь р-ээр тэмдэглэвэл эдгээр хувьсах хэмжигдэхүүний хоорондын хамаарлыг дараах функцээр илэрхийлж болно.

qd=f(р)

Тодорхойлолт: Бүтээгдэхүүний эрэлтийн тоо хэмжээг тухайн бүтээгдэхүүний үнээс хамааруулан авч үзэж байгаа эрэлтийн хуульд захирагдах qd=f(р) хэлбэрийн функцийг эрэлтийн шууд функц гэнэ. Эрэлтийн шууд функц нь дараах хэлбэрүүдтэй байдаг. үүнд:

А.qd=a-bp, a,b>0, p,qб 0 –эрэлтийн шугаман функц

Б.qd=a-bp2, a,b>0, p,qб 0 –эрэлтийн квадратлаг функц

В.qd=a+b/p, a,b>0, p,qб 0 –эрэлтийн гиперболлог функц

Жишээ нь:

ОК савангийн эрэлтийн шууд функц нь qd=f(p)=12500-25p гэж өгөгдсөн бол

А. Савангийн үнэ 200₮ байгаа үеийн эрэлтийн тоо хэмжээг ол?

Б. Үнэ 200₮-с 250₮ болж өсөхөд эрэлтийн тоо хэмжээ хэдэн нэгжээр буурах вэ?

В. Үнэ 200₮-с 180₮ болтлоо буурахад эрэлтийн тоо хэмжээ хэдэн нэгжээр өсөх вэ?

Г. Үнэ хэд болоход эрэлт үүсэхээ болих вэ?

Бодолт.

A. Үнэ 200₮ байгаа үед эрэлтийн тоо хэмжээ

qd=f(200)=12500-25*200=7500 нэгж болно.

Б. Эрэлтийн тоо хэмжээ хэдэн нэгжээр бццрахыг олохдоо эрэлтйн функцийн өгөгдсөн 2 үнийн түвшин дээрх утгуудийн ялгавараар тооцно.

qd=f(250)-f(200)=(12500-25*250)-(12500-25*200)=-1250

В. Үнийн түвшингүүдийн зөрүү байна.

qd=f(180)-f(200)=(12500-25*180)-(12500-25*200)=500

Г. Эрэлтийн тоо хэмжээг 0-тэй тэнцүүлэн бодно. Үнэ 500 хүрэхэд эрэлт зогсоно.

qd=0=12500-25*p => p=12500/25=500

Эрэлтийн урвуу функцЗарим тохиолдолд бүтээгдэхүүний үнийг эрэлтийн тоо хэмжээнээс нь хамааруулан судалдаг. Энэ тохиолдолд эрэлтийн урвуу функцийг ашиглана.

Тодорхойлолт. Ямар нэг бүтээгдэхүүний үнийг эрэлтийн тоо хэмжээнээс хамаарсан байдлаар илэрхийлж буй функцийг эрэлтийн урвуу функц гэнэ.

Эрэлтийн урвуу функц нь р=f-1(qd)=g(qd)Өмнө авч үзсэн эрэлтийн 3-н төрлийн функцын урвууг харгалзуулан олбол

А. Р=а/b-(1/b)*qd, a,b>0, p0, 0qd a –эрэлтийн шугаман функцийн урвуу

Б. Р=а/b-(1/b)*qd, a,b>0, p0, 0qd a –эрэлтийн квадратлаг функцийн урвуу

В. Р=b/(qd-а), a,b>0, p0, a<qd –эрэлтийн гиперболлог функцийн урвуу

Нийлүүлэлтийн шууд функц.

Тодорхойлолт. Эдийн засгийн тодорхой нөхцөлд өгсөн үнийн түвшинд пүүсийн зах зээл дээр нийлүүлэхээр төлөвлөж буй бүтээгдэхүүний тоо хэмжээг бүтээгдэхүүний нийлүүлэлтийн тоо хэмжээ гэнэ.

Бүтээгдэхүүний үнэ өсөхөд нийлүүлэлт нь ерөнхийдөө өсөх хандлагатай байдаг. Үүнийг нийлүүлэлтийн хууль гэнэ.

Авч үзэж байгаа бүтээгпэхүүний нийлүүлэлтийг qs- ээр үнийг нь р-ээр тэмдэглэвэл эдгээр хувьсах хэмжигдэхүүнийн хоорондын хамаарлыг дараах функцээр илэрхийлж болно. qs=f(p)

Тодорхойлолт. Бүтээгдэхүүний нийлүүлэлтийг тухайн бүтээгдэхүүний үнээс хамааруулан авч үзэж байгаа нийлүүлэлтийн хуульд захирагдах qs=f(p) хэлбэрийн функцийг нийлүүлэлтийн шууд функц гэнэ. Нийлүүлэлтийн функц нь дараах хэлбэрүүдтэй байна.

А. qs=-a+bp. a,b>0, p0, qs0 нийлүүлэлтийн шугаман функцБ. qs=-a+bp2. a,b>0, p0, qs0 нийлүүлэлтийн квадратлаг функцВ. qs=abp . a>0, b>1, p0, нийлүүлэлтийн илтгэгч функц

Зарим тохиолдолд бүтээгдэхүүний нийлүүлэлтийн тоо хэмжээнээс үнийг нь хамааруулан судлах шаардлага гардаг. Энэ тохиолдолд нийлүүлэлтийн урвуу функцийг ашиглана.

Тодорхойлолт: Бүтээгдэхүүний үнийг түүний нийлүүлэлтийн тоо хэмжээнээс хамааруулан авч үзэж буй функцийг нийлүүлэлтийн урвуу функц гэнэ.

Нийлүүлэлтийн урвуу функцийн хувьд p=f-1(qs)=g(qs);

Нийлүүлэлтийн урвуу функц.

Жишээ нь: ОК савангийн нийлүүлэлтийн шууд функц нь qs=f(p)=-8400+70p гэж өгөгджээ.

A.Савангийн үнэ 200 төгрөг байгаа үед нийлүүлэлтийн тоо хэмжээг ол.

Б. Үнэ 200 аас 250 төгрөг болж өсөхөд нийлүүлэлтийн тоо хэмжээ хэдэн нэгжээр өсөх вэ?

В. Үнэ 200аас 180 болтлоо буурахад нийлэлтийн тоо хэмжээ хэдэн нэгжээр буурах вэ?

Г. Үнэ хэдээс доош байхад саван нийлүүлэгдэхээ болих вэ?

Бодолт:

А. Үнэ 200 байхад нийлүүлэлтийн тоо хэмжээ

qs=f(200)=-8400+70*200=5600 байна.

Б. Нийлүүлэлтийн тоо хэмжээний өсөлт нь өгөгдсөн 2 үнийн түвшингийн зөрүү байна.

qs=f(250)-f(200)=(-8400+70*250)-(-8400+70*200)=3500

В. Үнийн түвшингүүдийн зөрүү

qs=f(180)-f(200)=(-8400+70*180)-(-8400+70*200)=-1400

Г. Нийлүүлэлтийн хэмжээг 0 болгон бодно.

qs=0=-8400+70*p=> p=8400:70=120 үнэ нь 120 болоход пүүс саванг үйлдвэрлэхгүй, учир нь үйлдвэрлэх зардал үнээс давах болно.

Пүүсийн орлогын функц

Пүүс нь микро эдийн засгийн үндсэн 2 субьектийн нэг болох өрхийн аж ахуйгаас үйлдвэрлэлийн хүчин зүйлс болох газар , капитал , хөдөлмөрийг хүчин зүйлсийн захаар дамжуулан худалдан авч тэдгээрийг ашиглан бүтээгдэхүүн үйлдвэрлэдэг аж ахуй нэгж юм.

Тодорхойлолт: Пүүсийн тодорхой хэмжээний бүтээгдэхүүн үйлдвэрлэж худалдаснаас олох орлогыг пүүсийн нийт орлого гэнэ.

Пүүсийн нийт орлогын функц нь шугаман функц байна. Ө.х TR=p*q байна.

Энд p- пүүсийн бүтээгдэхүүний нэгжийн үнэ.

q- үйлдвэрлэж борлуулсан бүтээгдэхүүний тоо хэмжээ

Орлогын функцийн хэлбэр нь тухайн пүүс төгс өрсөлдөөнт эсвэл монополь пүүс үү гэдгээс шалтгаалан өөр өөр байдаг.

Төгс өрсөлдөөнт зах зээл дээр ажиллаж буй тул бүтээгдэхүүний үнэд пүүс өөрөө нөлөөлөх чадваргүй байх тул зах зээлийн эрэлт нийлүүлэлтийн байдлаас шалтгаалан бүтээгдэхүүний үнэ тогтоно.

TR=TR(q)=p*q p-const байна.

Харин пүүс монополь пүүс бол өөрийн зах зээл дээр дангаар ноёрхсон давуу талаа ашиглан бүтээгдэхүүнийхээ үнэд нөлөөлж өөрөө үнээ тогтоох бүрэн чадвартай байх болно. Монополь пүүсийг өөрийн бүтээгдэхүүний үнийг бүтээгдэхүүнийхээ эрэлтэд тулгуурлан тогдоодог.

Монополь пүүсийн бүтээгдэхүүний эрэлт qd=f(p) функцаар илэрхийлэгддэг гэвэл түүний урвуу функц нь p=f-1(qd) болно. Иймд монополь пүүсийн нийт орлого нь тухайн бүтээгдэхүүний борлуулагдах боломжит тоо хэмжээ буюу эрэлтийг үнээр үржүүлж олдоно.

Үүнд: TR=TR(qd)=p*qd=f-1(qd)*qd

Пүүсийн нийт орлогын функцийг бүтээгдэхүүний нэгжийн үнээс хамааруулан дараах байдлаар бичиж болно. TR=TR(p)=p*qd=p*f(p)

Тухайлбал бүтээгдэхүүний эрэлтийн функц шугаман үед

орлогын функцийг олъё. Ө.х эрэлтийн функц нь qd=a-b*p

Эндээс эрэлтийн урвуу функц нь p=f-1(qd)=(a/b)-(1/b)*qd гарах

тул бүтээгдэхүүний эрэлтээс хамаарсан нийт орлогын функц нь

TR=TR(qd)=p*qd=((a/b)-(1/b)*qd)*qd=(a/b)*qd-(1/b)(qd)2 болно.

Нийт орлогын функцийг үнээс хамааруулан тодорхойлбол

TR=TR(p)=p qd=p(a-bp)=ap-bp2

Жишээ нь: Нэгэн монополь пүүсийн бүтээгдэхүүний эрэлтийн функц qd=1000-2p гэж өгөгдсөн бол

А. Тухайн пүүсийн үнээс хамаарсан нийт орлогын функцийг бич

Б. Бүтээгдэхүүний эрэлтээс хамаарсан нийт орлогын функцийг бич.

В. Бүтээгдэхүүний үнэ 300 төгрөг байгаа нөхцөлд олох боломжит орлого хэд байхыг тооцоол.

Г. Үнийг 300аас 250 төгрөг хүртэл бууруулахад пүүсийн нийт орлого хэрхэн өөрчлөгдөхийг тооцоол.

Бодолт:

А.TR=TR(p)=(1000-2p)p=1000p-2p2

Б.TR=TR(qd)=((1000/2)-(1/2)qd) qd=500qd-0.5(qd)2

В.TR=TR(300)=(1000-2*300)*300=400*300=120000

Г.TR=TR(250)=(1000-2*250)*250=500*250=125000 TR=TR(250)-TR(300)=125000-120000=5000

Пүүсийн дундаж орлогын функц

Тодорхойлолт: Пүүсийн нэгж бүтээгдэхүүнээс олж буй орлогыг

дундаж орлого гээд AR гэж тэмдгэлээд AR=TR/qd /Нийт орлогыг бүтээгдэхүүний тоонд хувааж/ гэж олно.

Пүүсийн зардлын функцПүүсийн бүтээгдэхүүн үйлдвэрлэхэд гаргасан зардал нь

тухайн пүүсийн үйлдвэрлэсэн бүтээгдэхүүний тооноос хамаардаг.

Тодорхойлолт: Пүүсийн тодорхой тооны бүтээгдэхүүнийг үйлдвэрлэхэд зарцуулсан бүхий л төрлийн зардлуудын нийлбэрийг пүүсийн нийт зардал гэнэ.

Үйлдвэрлэсэн бүтээгдэхүүний тоог q, пүүсийн нийт зардлыг TC гэвэл эдгээр үзүүлэлтүүдийн хооронд функцэн хамаарал оршдог. Энэхүү хамаарлыг дараах функцээр илэрхийлье. Үүнд TC=TC(q)

Tодорхойлолт: Пүүсийн үйлдвэрлэсэн нэгж бүтээгдэхүүнд ноогдох зардлыг дундаж зардал гэнэ. Дундаж зардлыг AC гэж тэмдгэлээд AC=AC(q)=(TC(q))/q

Тодорхойлолт: Бүтээгдэхүүний тоо хэмжээнээс хамаарахгүй зардлыг тогтмол (FC), харин хамаарч байгаа зардлыг хувьсах зардал (VC)гэнэ.

Зардлын функцын ерөнхий хэлбэр нь TC=TC(q)=aq3+bq2+cq+d, a,c,d>0, b<0

Нийт зардал нь тогтмол болон хувьсах зардлуудын нийлбэртэй тэнцүү байна. Ө.х TC(q)=FC(q)+VC(q);

FC=FC(q)=d VC=VC(q)=aq3+bq2+cq болно.

Тодорхойлолт: Нэгж бүтээгдэхүүнд ноогдож буй тогтмол зардлыг дундаж тогтмол (AFC) ,харин хувьсах зардлыг дундаж хувьсах зардал (AVC) гэнэ.

AFC=FC/q AVC=VC/q

Дундаж зардал нь дээрх 2 дундаж зардлуудын нийлбэр байна.

AC(q)=AFC(q)+AVC(q)

Жишээ нь: Пүүсийн нийт зардлын функц

TC=TC(q)=q3-9q2+30q+25 гэж өгөгдсөн бол

А.10 нэгж бүтээгдэхүүн үйлдвэрлэх үеийн нийт зардал

Б.10 дахь бүтээгдэхүүнийг үйлдвэрлэх үеийн зардал

В. Дундаж зардлын функц

Г. Тогтмол зардлын болон дундаж тогтмол зардлын функц

Д. Хувьсах зардлын болон дундаж хувьсах зардлын функцуудыг тус тус ол.

БодолтА.TC=TC(q)=103-9*102+30*10+25=425

Б.TC(10)-TC(9)=425-(93-9*92+30*9+25)=425-295=130

В.AC=AC(q)=(q3-9q2+30q+25)/q=q2-9q+30+25/q

Г.FC=FC(q)=25 AFC=AFC(q)=25/q

Д.VC=VC(q)=TC(q)-FC(q)=q3-9q2+30q

AVC=AVC(q)=(q3-9q2+30q)/q=q2-9q+30

Ханамжийн функц

Хэрэглэгчийн бүтээгдэхүүнээс авч буй таашаалыг микро эдийн засгийн онолд ханамж гэсэн тусгай үзүүлэлтээр хэмждэг.

Тодорхойлолт: Хэрэглэгчийн ямар нэгэн бүтээгдэхүүний нэгж тутмаас авч буй ханамжийг тухайн бүтээгдэхүүний ахиу ханамж, харин энэ бүтээгдэхүүнээс тодорхой нэгж хүртэлх бүх нэгжээс авсан ахиу ханамжуудын нийлбэрийг нийт ханамж гэнэ.

Аливаа бүтээгдэхүүнээс 1 дор олон нэгжийг хэрэглэх тутам хэрэглэгчийн нэмж хэрэглэж буй нэгжээс авах ахиу ханамжууд нь буурдаг гэж үздэг. Үүнийг ахиу ханамж буурах хууль гэдэг.

Хэрэглэгчийн тодорхой нэгэн бүтээгдэхүүнээс авах нийт ханамжийг дараах функцаар илэрхийлье. Үүнд U=U(x)

Энд х нь тухайн бүтээгдэхүүнээс хэрэглэгчийн хэрэглэсэн хэмжээ

U-нь хэрэглэгчийн уг бүтээгдэхүүнээс х нэгж хүртэл хэмжээтэйг хэрэглэсэн бүх нэгжүүдийн ахиу ханамжуудын нийлбэр буюу нийт ханамжийн хэмжээ.

Хэрэглэгчийн нэг бүтээгдэхүүнээс авах ханамжийг математикт дараах функцуудаар илэрхийлье

А. U(x)=ax, a>0, x>0- Ханамжийн шугаман функц

Б. U(x)=ax , a>0, 0<<1, x>0 –Ханамжийн зэрэгт функц

В.U(x)=(ax)/(b+x) , a,b>0, 0<<1,x>0 –Ханамжийн асимптоттой функц

Жишээ нь: Хэрэглэгчийн нэгэн бүтээгдэхүүнээс авах нийт ханамж нь U(x)=(10x)/(2+x) функцаар илэрхийлэгддэг бол

А. Энэ хэрэглэгчийн 4, 9 болон 16 нэгж бүтээгдэхүүн хэрэглэх үеийн нийт ханамжийг ол?

Б. Энэ хэрэглэгчийн 4-9 нэгж ,9-16 нэгж бүтээгдэхүүнийг хэрэглэх үеийн нэгж бүтээгдэхүүнд оногдох дундаж ахиу ханамжуудыг харьцуулан дүгнэлт гарга.

Бодолт: А.U(4)=(104)/(2+4)=5

U(9)=(109)/(2+9)=6

U(16)=(1016)/(2+16)=6.7

Б. MU1=(U(9)-U(4)) / (9-4)=0.2

MU2=(U(16)-U(9)/(16-9)=0.1 /дундаж ахиу ханамж буурсан байна./

Үйлдвэрлэлийн функц Үйлдвэрлэлийн функц гэсэн ойлголтыг пүүсийн үйл ажиллагааны

үйл явцыг илэрхийлэхэд ашигладаг.Тодорхойлолт. Үйлдвэрлэлийн хүчин зүйлс болох

орцуудыг бүтээгдэхүүн гэсэн гарц болгон хувиргаж буй үйл явцын тогтвортой тоон хамаарлыг илэрхийлсэн эдийн засаг, математикийн загварыг үйлдвэрлэлийн функц гэнэ.

Q- пүүсийн үйлдвэрлэн гаргаж буй бүтээгдэхүүний тооL- хөдөлмөрийн тоо хэмжээ гэвэл Q=F(L) гэж илэрхийлнэ.

Тодорхойлолт: Нэгж хөдөлмөрт ноогдож буй бүтээгдэхүүний хэмжээг хөдөлмөрийн бүтээмж гэнэ.

Хөдөлмөрийн бүтээмжийг үйлдвэрлэлийн функц ашиглан бичнэ.

Хөдөлмөрийн бүтээмжийн функцТодорхойлолт: Хөдөлмөрийн бүтээмж гэдэг нь нэгж

хугацаанд нэг ажилчны бүтээж буй бүтээгдэхүүний тоо хэмжээ эсвэл бүтээгдэхүүний өртөгийн дүнгээр тодорхойлогдоно.

y- нэг ажилчны нэг өдөр хийсэн бүтээгдэхүүний тооx- цагт хийх бүтээгдэхүүний тоо бол өдөрт 8 цаг ажилладаг

ажилчны бүтээгдэхүүний тооy=f(x)=8x болно.Ажил эхэлснээс хойш хөдөлмөрийн бүтээмж буурдаг болz=g(x)=a-bx a>0; b>0a- ажил эхлэх үедээ 1 цагт хийх бүтээгдэхүүний тооb- цаг тутам хөдөлмөрийн бүтээмж буурах коэф

Мөн ажилчин ажил эхэлснээс хойш x0 хугацаа хүртэл хөдөлмөрийн бүтээмж нь өсөөд цааш буурдаг гэе. Тэгвэл x0 цэг дээр хөдөлмөрийн бүтээмж хамгийн өндөр байна.

z=b-(x-x0)2 функцээр тодорхойлогдоно.

ТООН ДАРААЛЛЫН ХЯЗГААР

Лекц№2

Тоон дараалалТодорхойлолт. Натурал тоон аргумент бүхий f(n)

функцийн утгуудын олонлогийг {xn} гэж тэмдэглээд тоон дараалал гэнэ.

{xn} –ийг дарааллын ерөнхий гишүүн гэж нэрлэх бөгөөд дарааллын ерөнхий гишүүн өгөгдөхөд дарааллыг бичиж болно.

Жишээ 1.ерөнхий гишүүн бүхий дарааллыг бич.

Мөн дарааллын эхний гишүүд өгөгдсөнөөр тухайн дарааллын ерөнхий гишүүний томъёог бичиж болно.

Жишээ 2. дарааллын ерөнхий гишүүний томъёог бич.

Тоон дараалал

Тодорхойлолт. Хэрэв дарааллын n-р гишүүн нь n-1-р

гишүүнээсээ их (xn-1<xn) байвал өсөх, хэрэв бага (xn-1>xn)

байвал буурах дараалал гэнэ.

Жишээ 1.xn=3n+1 тоон дараалал өсөх дараалал болохыг батал.

Жишээ 2. тоон дараалал буурах дараалал болохыг батал.

Тоон дараалал

Тодорхойлолт.

Хэрэв дарааллын ямар ч гишүүн нь |xn|<=M (M>0)байвал

дарааллыг зааглагдсан дараалал, хэрвээ xn<Mбол

дээрээсээ,M<=xnбол доороосоо зааглагдсан дараалал гэнэ.

Жишээ 1. дараалал зааглагдсан дараалал болохыг батал.

Тоон дарааллын хязгаар, түүнийг бодох

Тодорхойлолт.

Хэрэв {xn} дараалал, тогтмол тоо a хоёрын хувьд

дурынбагaтоо авахад N=N() оршин байгаад n>N

бүхдугааруудад |xn-a|<тэнцэл биш ямагт биелэгдэж

байвала тоог энэ дарааллын хягаар гэж нэрлээд гэж

тэмдэглэнэ.

Тоон дарааллын хязгаарын чанарууд

Төгсгөлгүй бага хэмжигдэхүүнТодорхойлолт. Хувьсах хэмжигдэхүүн xn нь 0 хязгаартай, өөрөөр хэлбэл байвал түүнийг төгсгөлгүй бага хэмжигдэхүүн гэнэ.Төгсгөлгүй бага хэмжигдэхүүний хувьд дараах чанарууд биелнэ.1. Төгсгөлгүй бага хэмжигдэхүүний нийлбэр, ялгавар, үржвэр нь төгсгөлгүй бага байна.2. Тогтмол тоогоор төгсгөлгүй бага хэмжигдэхүүнийг үржүүлэхэд төгсгөлгүй бага байна. 3. 2 төгсгөлгүй бага хэмжигдэхүүний харьцааны хязгаар

а. Гэсэн тогтмол тоо байвал тэдгээрийг ижил эрэмбийн төгсгөлгүй бага хэмжигдэхүүнүүд гэнэ.

бол xn, yn- г эквивалент хэмжигдэхүүнүүд гэнэ.б. байвал xn-ийг yn-ээс дээд эрэмбийн төгсгөлгүй

бага хэмжигдэхүүн гэнэ.

Төгсгөлгүй их хэмжигдэхүүнТодорхойлолт. Хувьсах хэмжигдэхүүн xn нь ямар нэгэн дугаараасаа эхлэн модулиараа урдчилан өгөгдсөн дурын их тоо М-ээс их, өөрөөр хэлбэл |xn|>M байвал түүнийг төгсгөлгүй их хэмжигдэхүүн гэнэ.

xn төгсгөлгүй их хэмжигдэхүүн бол болно.

Тоон дарааллын хязгаарыг эдийн засагт хэрэглэх нь

Тоон дарааллыг эдийн засагт хэрэглэх нь

Тоон дараалалын хязгаарыг эдийн засгийн онолд өргөн цар хүрээтэй хэрэглэн ,сонирхолтой дүгнэлт үр дүнд хүрдэг. Тэдгээрээс заримтай нь танилцъя.

Үнэ тогтолтын “Аалзны тор” хэлбэрийн загварБид зах зээл дээр тухайлсан нэг бүтээгдэхүүний үнэ

эрэлт, нийлүүлэлтээсээ хамааран хэрхэн тогтдог динамик зүй тогтлыг хугацаанаас хамаарсан үнийн дараалал байдлаар илэрхийлэн судлах тухай авч үзье.

Сонирхож буй бүтээгдэхүүний эрэлтийн динамик функцийг уг бүтээгдэхүүний хугацааны тухайн t агшин дахь үнээс хамаарсан шугаман функц хэлбэрээр

гэж харин нийлүүлэлтийн динамик функцийг хугацааны өмнөх агшины үнээс хамаарсан байдлаар

гэж авъя.

0,; apaq tdt

0,;1 bpbq tst

Амьдрал дээр эрэлт нь тухайн үеийн үнээс хамаарч тогтдог бол харин нийлүүлэлт нь хугацааны өмнөх дохиололоос хамаарч хийгддэг.

Эрэлт нийлүүлэлт тэнцэх нөхцөлд зах зээл дээр үнийн тэнцвэр тогтдог. Тэнцвэрт үнэ тогтох үйл явцыг дараах графикаар харуулъя.

Эхлээд хугацааны t0 агшинд пүүс q0 хэмжээний нийлүүлэлтийг хийж буй гэж үзвэл нийлүүлэлтийн муруй дээр p0 үнэ тогтдог.

Гэвч энэ үед хүмүүс тухайн бүтээгдэхүүн дээр их хэмжээний эрэлт үүсгэж буй тул үнэ цаашид өсч эрэлтийн муруй дээр р1 түвшинд үнэ тогтоно.

Гэвч энэ үед хүмүүс тухайн бүтээгдэхүүн дээр их хэмжээний эрэлт үүсгэж буй тул үнэ цаашид өсч эрэлтийн муруй дээр р1 түвшинд үнэ тогтоно.

Хугацааны эхний агшинтай харьцуулахад 2-р агшинд үнэ өсч байгаа тул нийлүүлэгчид бүтээгдэхүүнийхээ тоог нэмэгдүүлнэ.Нийлүүлэлт өссөнөөс шалтгаалан бүтээгдэхүүний хангамж сайжирч үнэ дахин буурах нөхцөлийг бүрдүүлнэ. Ийнхүү үнэ р2 түвшинд тогтоно.

Үнэ өмнөх агшинаас буурч буй тул нийлүүлэлт багасна.Үүнээс шалтгаалан дахин бүтээгдэхүүний хомсдол үүсч үнэ дараагийн агшинд өснө.Ийнхүү үнэ нэг өсч нэг буурсаар цаашид хугацаа өнгөрөх тусам тэнцвэрт үнэ рүү тэмүүлнэ.Одоо дээрх шинж чанаруудын эрэлт нийлүүлэлтийн өгөгдсөн функцад тулгуурлан тогтооё. Зах зээл дээр тэнцвэр тогтоно гэдэг нь хугацааны ямар нэг агшинаас цааш тухайн бүтээгдэхүүний эрэлт нийлүүлэлтийн тоо хэмжээ тэнцүү болно гэсэн үг.

Жишээ. Хадгаламж эзэмшигч 1000 долларыг жилийн 5 хувийн хүүтэй банкинд хадгалуулсан бол хэдэн жилийн дараа хадгаламжиндаа 1102,5 доллартай болох вэ?Бодолт.

Bt=1102.5 B0=1000 r=5 болно.

Жишээ. Хадгаламж эзэмшигч 50000 төгрөгийг 3 жилийн хугацаатай банкинд хадгалуулж, хугацааны эцэст 66550 төгрөгтэй болсон бол хадгаламжаа жилийн хэдэн хувийн хүүтэй хадгалуулсан бэ?

Бодолт.B3=66550; B0=50000; t=3 орлуулан бодож r хүүг олно.

Жишээ. Хадгаламж эзэмшигч хэдэн төгрөгийг жилийн 10 хувийн хүүтэй банкинд хадгалуулбал 3 жилийн дараа 66550 төгрөгтэй болох вэ?

B3=66550 t=3 r=10%

Хадгаламж эзэмшигч хүүг жилд нэг удаа биш хэд хэдэн удаа тухайлбал хагас жилд, улиралд, сард, өдөр бүр гэх мэт бодуулах бол t жилийн дараа хадгаламжаа хэдэн төгрөгтэй болохыг тогтооё.

Хэрэв хадгаламж эзэмшигч хүүг жилд к удаа бодуулахаар бол B0 хэмжээний төгрөгийг банкинд хадгалуулбал t жилийн дараа хадгаламжиндаа

• Цаашид хүүг минут,секунд тутам ч бодох боломжтой юм. Энэ тохиолдолд олон зэрэгт дэвшүүлэх үйлдлээс зайлсхийж хүүг тасралтгүй бодох буюу жилд хязгааргүй олон удаа бодох томъёог ашигладаг.

Үүнд:Bt=B0* энэ томъёо нь хадгаламжийн хүүг тасралтгүй боддог дүрэм болно

Функцийн уламжлал, түүний хэрэглээ

Лекц 3

Уламжлалын чанарууд

Функцийн дифференциал

Функцийн уламжлалыг эдийн засагт хэрэглэх нь

Лекц№3

Уламжлалыг эдийн засагт хэрэглэх нь

Энэ хичээлээр уламжлалыг эдийн засгийн асуудлуудыг шийдэхэд, тухайлбал

- эрэлт, нийлүүлэлтийн үнээс хамаарсан мэдрэмжийг олох,

- пүүсийн хамгийн их орлогын болон хамгийн бага зардлын хэмжээг тогтоох,

- ахиу хамнамж, ахиу орлого, ахиу зардал, ахиу бүтээгдэхүүнийг тооцоход хэрхэн хэрэглэх боломж, жишээнүүд болон математик арга аппарат ашиглан эдийн засгийн дүгнэлт хийсэнтэй танилцана.

Ахиу ханамж болон ахиу бүтээгдэхүүн тооцох

Тодорхойлолт. Хэрэглэгчийн аливаа бүтээгдэхүүнээс нэг нэгжийг нэмж хэрэглэснээр нийт ханамжид гарч буй өөрчлөлтийг тухайн бүтээгдэхүүнээс авсан ахиу ханамж гэнэ. Ахиу ханамжийг хэрэглэгчийн нийт ханамжийн функц мэдэгдэж байхад тооцож болно.Эдийн засгийн онолд ахиу ханамжийг тооцохдоо нийт ханамжийн өөрчлөлтийг бүтээгдэхүүний хэрэглээний өөрчлөлтөд харьцуулдаг.

MU- хэрэглэгчийн тухайн бүтээгдэхүүнээс х0 хэмжээтэйг хэрэглэж байгаад нэмж нэг нэгжийг хэрэглэх үеийн ахиу ханамжийн хэмжээ - хэрэглэгчийн нэмж хэрэглэсэн бүтээгдэхүүний тоо хэмжээ - нийт ханамжийн өөрчлөлт

Математикт хэрэглэгчийн ахиу ханамжийг нийт ханамжийн функцийн 1-р эрэмбийн уламжлалаар илэрхийлдэг.

Гэхдээ энд хэрэглээний өөрчлөлт бага байх нөхцөлийг ямагт харгалзах шаардлагатай.

Дээрх томъёогоор олсон ахиу ханамж нь хэрэглэгч тухайн бүтээгдэхүүнээс х0 хэмжээтэйг хэрэглэж байгаад нэг нэгжийг нэмж хэрэглэх тохиолдолд авах нийт ханамжийн өөрчлөлт юм.

ЖишээХэрэглэгчийн нэгэн бүтээгдэхүүнээс авсан нийт ханамж

Функцээр илэрхийлэгддэг бол энэ бүтээгдэхүүнээс х=5 болон х=7 нэгж бүтээгдэхүүн хэрэглэж байгаа үеийн ахиу ханамжийг тооц.

Тодорхойлолт. Пүүс үйлдвэрлэлийн богино хугацаанд хувьсаж буй хүчин зүйлээ нэг нэгжээр нэмэгдүүлснээр үйлдвэрлэсэн бүтээгдэхүүний тоонд гарсан өөрчлөлтийг тухайн хүчин зүйлийн ахиу бүтээгдэхүүн гэнэ.

Үйлдвэрлэлийн капиталын хэмжээ тогтмол хөдөлмөрийн тоо хэмжээ хувьсаж буй богино үеийг авч үзвэл үйлдвэрлэлийн функц нь

q=f(L)q- үйлдвэрлэж буй бүтээгдэхүүний тоо хэмжээL- ашиглагдаж буй хөдөлмөрийн тоо хэмжээ

Тодорхойлолт. Пүүс ашиглаж буй хөдөлмөрийнхөө тоо хэмжээг нэг нэгжээр нэмэгдүүлснээр үйлдвэрлэсэн бүтээгдэхүүний тоо хэмээнд гарсан өөрчлөлтийг хөдөлмөрийн ахиу бүтээгдэхүүн гэнэ.

MPL- хөдөлмөрийн ахиу бүтээгдэхүүн - үйлдвэрлэсэн бүтээгдэхүүний өөрчлөлт - хөдөлмөрийн тоо хэмжээний өөрчлөлт

Хөдөлмөрийн ахиу бүтээгдэхүүнийг үйлдвэрлэлийн функцийн нэгдүгээр эрэмбийн уламжлалыг ашиглан

гэж тооцож олно.

ЖишээНэгэн пүүсийн үйлдвэрлэлийн функц

гэж өгөгдсөн бол энэ пүүс L=36 нэгж хөдөлмөр ашиглаж байх үеийн хөдөлмөрийн ахиу бүтээгдэхүүнийг ол.

Энэ пүүс 36 нэгж хөдөлмөр ашиглаж байгаад нэмж нэг нэгжийг ашиглавал бүтээгдэхүүний хэмжээ 6 нэгжээр нэмэгдэнэ.

Ахиу орлого ба ахиу зардал тооцохТодорхойлолт. Пүүс үйлдвэрлэж буй бүтээгдэхүүний тоо хэмжээгээ нэг нэгжээр нэмэгдүүлснээс шалтгаалсан нийт орлогын өөрчлөлтийг ахиу орлого гэнэ.TR- пүүсийн нийт орлогоq- үйлдвэрлэж буй бүтээгдэхүүний тоо хэмжээMR – ахиу орлогоНэмэгдсэн нэгж бүтээгдэхүүнд ноогдох орлогын дундаж өөрчлөлтөөр пүүсийн ахиу орлогыг

гэж тодорхойлно.Бүтээгдэхүүний тооны өөрчлөлт бага байгаа нөхцөлд орлогын өөрчлөлтийг орлогын функцийн 1-р эрэмбийн уламжлалаар тодорхойлж болно.

Жишээ Нэгэн пүүсийн q нэгж бүтээгдэхүүн үйлдвэрлэж байх

үеийн нийт орлогын функц TR=TR(q)=1000*q-5q2 , нийт зардлын функц TC=TC(q)=q3-20q2+400q+32000 гэж өгөгдсөн бол энэ пүүсийн 10 нэгж бүтээгдэхүүн үйлдвэрлэж байх үеийн ахиу орлого болон ахиу зардлыг тооц.

MR=MR(q)=1000-10qMC=MC(q)=3q2-40q+400MR=MR(10)=1000-10*10=1000-100=900MC=MC(10)=3*102-40*10+400=300-400+400=300

Тухайн пүүс 11 дэх бүтээгдэхүүнээ үйлдвэрлэснээр 300 төгрөгийн зардал гаргаж, 900 төгрөгийн орлого олохоор байна. Пүүс үйлдвэрлэлээ нэмэгдүүлэх бүрэн боломжтой гэсэн үг.

Дундаж болон ахиу зардлын холбооНийт дундаж болон ахиу зардлуудын

тодорхойлолтод тулгуурлан тэдгээрийн хоорондын холбоог авч үзье.

TC- пүүсийн нийт зардалAC- дундаж зардалМС- ахиу зардалq- бүтээгдэхүүний тоо хэмжээ

ЖишээПүүсийн дундаж зардлын функц гэж өгөгдсөн бол А. Нийт зардлын функцийг олБ. Ахиу зардлын функцийг олВ. Хувьсах зардлын функц, дундаж хувьсах зардлын

функцийг тус тус ол.

Хөдөлмөрийн ба капиталын ахиу орлогыг тооцох

Тодорхойлолт. Пүүс хөдөлмөрийн тоо хэмжээгээ нэг нэгжээр нэмэгдүүлснээс үүдэн гарсан нийт орлогын өөрчлөлтийг хөдөлмөрийн ахиу орлого, харин капиталын тоо хэмжээгээ нэг нэгжээр нэмэгдүүлэхэд гарсан нийт орлогын өөрчлөлтийг капиталын ахиу орлого гэнэ.

Хөдөлмөрийн ахиу орлого MRL

Капиталын ахиу орлого MRK

Үйлдвэрлэсэн тоо хэмжээнээс хамаарсан нийт орлогын функц ньTR=TR(q)Капитал тогтмол байх үйлдвэрлэлийн богино хугацаанд ашигласан хөдөлмөрийн тоо хэмжээнээс хамаарсан үйлдвэрлэсэн бүтээгдэхүүний хэмжээq=f(L)хөдөлмөр тогтмол байх богино хугацаанд ашиглаж буй капиталын хэмжээнээс хамаарсан үйлдвэрлэсэн бүтээгдэхүүний хэмжээ нь q=g(K)Тйимээс дараах давхар функц болно.TR=TR(L)=TR(f(L)); TR=TR(K)=TR(g(K))

Эдгээр давхар функцээс уламжлал авбалMRL=MR*MPL

MRK=MR*MPK

ЖишээПүүсийн капитал тогтмол байх үеийн үйлдвэрлэлийн

богино хугацаанд тухайн пүүсийн үйлдвэрлэлийн функц ба харин орлогын функц нь бүтээгдэхүүний тоо

хэмжээнээс хамаарсан байсан бол энэ пүүс L=4 нэгж хөдөлмөр

ашиглаж байх үеийн хөдөлмөрийн ахиу орлогыг тооц.

Пүүсийн ашиг хамгийн их байх үеийн орлого зардлын холбоо

Пүүсийн нийт ашгийг нийт орлого, нийт зардлын зөрөөгөөр тодорхойлдог.

TP(q)=TR(q)-TC(q)Зах зээлийн эдийн засагт хувийн хэвшлийн пүүс ашгаа

хамгийн их ашигтай байлгах зорилготой байдаг.Ашгийг хамгийн их байлгах зайлшгүй нөхцөл нь нийт

ашгийн функцийн 1-р эрэмбийн уламжлал 0-тэй тэнцүү байна. TP’(q)=TR’(q)-TC’(q)=MR(q)-MC(q)=0MR(q*)=MC(q*)

q* - пүүсийн хамгийн их ашигтай ажиллаж буй үеийн бүтээгдэхүүний тоо хэмжээ

Дүгнэлт. Пүүс хамгийн их ашигтай байх зайлшгүй нөхцөл нь пүүсийн ахиу орлого бай ахиу зардал нь тэнцүү байх явдал юм.

Пүүс хамгийн их ашигтай ажиллах хүрэлцээтэй нөхцөл нь нийт ашгийн функцийн хоёрдугаар эрэмбийн уламжлалаар тодорхойлогддог.

TP’’(q)=TR’’(q)-TC’’(q)=MR’(q)-MC’(q)<=0TR’’(q*)<=TC’’(q*) MR’(q*)<=MC’(q*)

Дүгнэлт: Пүүс хамгийн их ашигтай ажиллах хүрэлцээтэй нөхцөл нь q* бүтээгдэхүүнийг үйлдвэрлэж байх үед тухайн пүүсийн ахиу орлогын өөрчлөлт, ахиу зардлын өөрчлөлтөөс бага байх шаардлагатай.

ЖишээНэгэн монополь пүүсийн нийт орлого

TR=TR(q)=41.5q-1.1q2

нийт зардал ньTC=TC(q)=150-10q-0.5q2+0.02q3

функцүүдээр илэрхийлэгддэг бол энэ пүүсийн ашиг хамгийн их байх бүтээгдэхүүний тоо хэмжээг ол.

Эрэлт нийлүүлэлтийн үнээс хамаарсан мэдрэмжийг тооцох нь

Эрэлтийн үнээс хамаарсан мэдрэмжийг:

qd- Эрэлтийн шууд функцq-Эрэлтийн тоо хэмжээp- Үнэ

Нийлүүлэлтийн үнээс хамаарсан мэдрэмжийг:

qs- нийлүүлэлтийн тоо хэмжээqs

p-Нийлүүлэлтийн шууд функцp- Үнэ

Эдийн засаг дахь экстремумын бодлогууд

Эдийн засгийн онолд болон бизнесийн аливаа үйл ажиллагаанд шийдвэр гаргахад экстремумын бодлогуудтай олонтоо тохиолддог.

Жишээ №1. (Пүүсийн нийт орлогыг хамгийн их байлгах үнийг олох бодлого) Нэгэн монополь пүүсийн үйлдвэрлэж буй бүтээгдэхүүний эрэлт qd=1000-2p функцээр өгөгдсөн болА. Энэ бүтээгдэхүүнийг борлуулснаас олох орлого хамгийн их байх үнийг олБ. Энэ үнийн түвшинд бүтээгдэхүүний эрэлт хэд байх вэ?В. Хамгийн их орлогыг ол.

Жишээ №2. (Дундаж зардал нь хамгийн бага байх бүтээгдэхүүний түвшинг олох)

Нэгэн пүүсийн дундаж зардал q нэгж бүтээгдэхүүн үйлдвэрлэж байх үед AC=AC(q)=q2-26q+100 функцээр өгөгдсөн бол хамгийн бага дундаж зардалтай байх бүтээгдэхүүний түвшинг ол.

Жишээ №3. (Ашигтай талбай олох бодлого) Нэгэн айл хөрш айлынхаа хашаанд тулгаж тэгш өнцөгт хэлбэрийн гурван тал хашаа барих болов. Гурван талын нийт урт Р. Хашааны талбай хамгийн их байх урт өргөнийг ол.

Тодорхой интеграл

Лекц№4

Тодорхой интеграл

Тодорхойлолт. Хэрэв [a,b] хэрчмийн хуваалтын алхам тэг рүү тэмүүлэх үед интеграл нийлбэр нь [а,в] хэрчмийг хуваах арга цэгийн сонголтоос үл хамааран төгсгөлөг хязгаартай байвал f(x) функцийг [a,b] завсар дээр риман утгаар интегралчлах функц, уг хязгаар болох төгсгөлөг тоог тодорхой интеграл гэж нэрлээд гэж тэмдэглэнэ.

a- г интегралын доод хилb- г интегралын дээд хилf(x) – интеграл доорхи функцf(x)dx – интеграл доорхи илэрхийлэл гэнэ.

Теорем. Хэрэв f(x) нь [a,b] хэрчим дээр интегралчлагдах бөгөөд түүний эх функц F(x) бол f(x) функцээс [a,b] хэрчмээр авсан тодорхой интеграл нь

байна. Үүнийг Нюьтон Лейбницийн томъёо гэнэ.

Тодорхой интегралын геометр хэрэглэх нь

• Тэгш өнцөгт координатын системд хавтгайн дүрсийн талбай олох

• Туйлын координатын системд хавтгайн дүрсийн талбай олох

• Нумын урт олох• Эргэлтийн биеийн эзэлхүүн олох

Тодорхойгүй интегралыг эдийн засагт хэрэглэх нь

Лекц№4

Бид уламжлалыг эдийн засагт хэрэглэх нь сэдвээр эдийн засгийн нийт үзүүлэлтүүдээс харгалзах ахиу үзүүлэлтүүдийг функцуудын нэгдүгээр эрэмбийн уламжлал ашиглан хэрхэн тооцох арга зүйг авч үзсэн.

Тодорхойгүй интегралыг эдийн засагт хэрэглэх нь

Одоо тодорхойгүй интегралын тусламжтай ахиу үзүүлэлт нь ямар нэг функцээр илдэрхийлэгддэг нь мэдэгдэж байгаа нөхцөлд харгалзах нийт үзүүлэлтийн функцийг хэрхэн олох боломжийг сонирхоё.

Нийт ханамжийн функцийг олох

Хувь хэрэглэгч сонгон авсан бүтээгдэхүүнээс х хэмжээтэйг хэрэглэсэн тохиолдолд авах нийт ханамж U=U(x) функцаар илэрхийлэгддэг бол х дэх нэгж бүтээгдэхүүнийг хэрэглэснээр авах ахиу ханамжийг нийт ханамжийн функцийн нэгдүгээр эрэмбийн уламжлалаар

гэж тооцсон билээ.

Нийт ханамжийн функцийг олох

Интеграчлагдах үйлдэл нь дифференциачлагдах үйлдлийн урвуу үйлдэл тул эндээс нийт ханамжийн функц нь

гэж тодорхойлогдоно.

Анхны нөхцөл нь сонгож авсан бүтээгдэхүүнээс х0 хэмжээтэйг хэрэглэж байх үеийн тухайн хэрэглэгчийн авсан нийт ханамж ямар байснаар илэрхийлэгдэнэ.

Жишээ Нэгэн хэрэглэгчийн сонгож авсан

бүтээгдэхүүнээс х дэх нэгжийг хэрэглэх үед авах ахиу ханамж

функцаар илэрхийлэгддэг нь тогтоогдсон бол уг хэрэглэгчийн тухайн бүтээгдэхүүнээс авах нийт ханамжийн функцийг хэрэглэгч 4 нэгж бүтээгдэхүүн хэрэглэх үед нийт ханамж нь 20 нэгж байсан гэсэн анхны нөхцөлд ол.

U(4)=20

Жишээ

Бодолт:Дээр авч үзсэнээр нийт ханамжийн функц нь ахиу

ханамжаас авсан тодорхойгүй интегралаар

Бодлогын нөхцөлд өгснөөр U(4)=20 гэдгээс с=0 болох тул хэрэглэгчийн хийт ханамжийн функц

Нийт бүтээгдэхүүний функцийг олох

Эдийн засгийн богино хугацаанд пүүсийн үйлдвэрлэж буй бүтээгдэхүүний хэмжээ Q нь тухайн пүүсийн хөдөлмөрийн тоо хэмжээ L- ээс хамаарсан Q=f(L) функцээр илэрхийлэгддэг.

Хэрэв пүүсийн үйлдвэрлэлийн функц мэдэгдэж байвал пүүсийн ашигласан L дэх нэгж хөдөлмөрийн ахиу бутээгдэхүүнийг уламжлалын тусламжтай

гэж тооцдог.

Нийт бүтээгдэхүүний функцийг олох

Пүүсийн хөдөлмөрийн ахиу бүтээгдэхүүний функц өгөгдсөн нөхцөлд тухайн пүүсийн үйлдвэрлэлийн функцийг dQ=MPL(L)dL гэж илэрхийлснээр

болно.Анхны нөхцөл нь пүүс L0 хэмжээний

хөдөлмөр ашиглаж байхад үйлдвэрлэж байсан бүтээгдэхүүний хэмжээ Q0- оор илэрхийлэгдэнэ. Q0=f(L0) болно.

Жишээ

Бодолт:

f(10)=800 тул f(10)=100*10-2*102+c=800 гэдгээс с=0 гарч пүүсийн үйлдвэрлэлийн функц

Нэгэн пүүсийн L дэх нэгж хөдөлмөрийн ахиу бүтээгдэхүүн MPL(L)=100-4L функцээр илэрхийлэгддэг нь тогтоогдсон ба 10 нэгж хөдөлмөр ашиглаж байхдаа нийт 800 бүтээгдэхүүн үйлдвэрлэж байсан бол энэ пүүсийн үйлдвэрлэлийн функцийг ол.

Нийт орлогын функцыг олох

Пүүсийн нийт орлогыг TR, үйлдвэрлэж буй бүтээгдэхүүний хэмжээг q гэвэл нийт орлого нь бүтээгдэхүүний тоо хэмжэээнээс хамаарсан TR=TR(q) функцаар илэрхийлэгддэг.

Нийт орлогын функц өгөгдсөн бол q дэх нэгж бүтээгдэхүүний ахиу орлогын функцийг уламжлал ашиглан

гэж тодорхойлдог.

Нийт орлогын функцыг олох

Харин ахиу орлогын функц өгөгдсөн нөхцөлд нийт орлогын функцын томъёог dTR= MR(q)dq хэлбэрээр бичсэнээр

 

гэж тодорхойлж болно. Энэ нь интегралын дурын тогтмолоос

хамаарсан бүл функц болно.Тухайн пүүсийн q0 бүтээгдэхүүн үйлдвэрлэж борлуулах үеийн нийт орлого TR0=TR(q0) мэдэгдсэнээр пүүсийн нийт орлогын функцийг нэг утгатай тодорхойлно.

Жишээ:

Нэгэн пүүсийн q дэх нэгж бүтээгдэхүүний ахиу орлогын функц MR(q)=1000-10q гэж өгөгдсөн ба энэ пүүс q0=6 нэгж бүтээгдэхүүн үйлдвэрлэж байх үеийн нийт орлого TR0=5820 байсан бол тухайн пүүсийн нийт орлогын функцийг ол.

Жишээ:

Бодолт:

Бодлогод өгсөн нөхцөлөөр TR(6)=5820 тул үүнээс с-г олбол TR(6)=1000 6 - 562 + c=5820 гэдгээс с=0 гэж гарна.

Пүүсийн нийт орлого TR=1000q-5q2 функцээр илэрхийлэгдэнэ.

Нийт зардлын функцийг олохПүүсийн нийт зардлыг TC , үйлдвэрлэсэн

бүтээгдэхүүний хэмжээг q гэвэл нийт зардал нь TC=TC(q) функцаар илэрхийлэгдэнэ. Нийт зардлын функц TC=TC(q) өгснөөр q дэх нэгж бүтээгдэхүүний ахиу зардлын функцийг нэгдүгээр эрэмбийн уламжлалаар нь

гэж тодорхойлж болдог .

Нийт зардлын функцийг олох

Харин пүүсийн q дэх нэгж бүтээгдэхүүний ахиу зардлын функц мэдэгдэж байвал dTC=MC(q)dq хэлбэрээр бичсэнээр нийт зардлын функцийг

гэж тодорхойлно.

Энэхүү зардлын функцийн бүлээс тухайн пүүсийн q0 бүтээгдэхүүн үйлдвэрлэх үеийн нийт зардал TC0=TC(q0) өгөгдсөнөөр нийт зардлын функцийг нэг утгатай олдог.

Жишээ:

Пүүсийн q дэх нэгж бүтэгдэхүүний үйлдвэрлэх үеийн ахиу зардлын функц

MC(q)=3q2-40q+400 гэж өггөдсөн ба энэ пүүсийн 10 нэгж бүтээгдэхүүн үйлдвэрлэх үеийн нийт зардал 6200 нэгж байсан бол нийт зардлын функцийг

ол.

Жишээ:

Дээр тодорхойлсон томъёо ёсоор нийт зардлын функц

Бодлогод өгөгдсөнөөр

TC(10)=103-20*102+400*10+c=6200 гэдгээс с=3200 болох тул тухайн пүүсийн зардлын функц

Нийт ашгийн функцийг олох

Пүүсийн нийт ашиг ТР нь TP= TP(q)=TR(q)-TC(q) функц болно. Нийт ашгийн функц өгөгдсөнөөр q дэх нэгж бүтээгдэхүүний ахиу ашгийг түүний нэгдүгээр эрэмбийн уламжлалаар

гэж тодорхойлогдоно.

Нийт ашгийн функцийг олохПүүсийн q дэх нэгж бүтээгдэхүүний

ахиу ашгийн функц өгөгдсөнөөр dTP=MP(q)dq=(MR(q)-MC(q))dq хэлбэрээр бичвэл нийт ашгийн функцийг

гэж тодорхойлж болно.Энэхүү нийт ашгийн функцийн бүлээс тухайн

пүүсийн q0 бүтээгдэхүүн үйлдвэрлэх үеийн нийт ашиг TP0=TP(q0) өгөгдсөнөөр нийт ашгийн функцийг нэг утгатай олдог.

Жишээ:

Бодолт:

Бодлогод өгснөөр TP(2)=1600*2-4*22+c=2684 c= - 500 болох тул тухайн пүүсийн нийт ашгийн функц TP=TP(q)=1600q-4q2-500

Пүүсийн q дэх нэгж бүтээгдэхүүнийг үйлдвэрлэх үеийн ахиу ашгийн функц MP(q)=1600-8q гэж өгөгдсөн ба энэ пүүсийн 2 нэгж бүтээгдэхүүн үйлдвэрлэх үеийн нийт ашиг 3184 байсан бол пүүсийн нийт ашгийн функцийг ол.

ТОДОРХОЙ ИНТЕГРАЛЫГ ЭДИЙН ЗАСАГТ ХЭРЭГЛЭХ НЬ

Лекц№5

Тодорхой интегралыг эдийн засагт хэрэглэх нь

Тодорхой интегралын тусламжтай микро эдийн засгийн эрэлтийн онолд үздэг

- хэрэглэгчийн төлөхөд бэлэн буй мөнгөний хэмжээ, - хэрэглэгчийн хожоог олох, - хөрөнгө оруулалтын төлөвлөгөөнүүдийн илүүдэл

цэвэр ашгийг тооцох, - үйлдвэрийн суурь машины цэвэр өгөөжийг

тодорхойлох - орлогын тэгш бус хуваарилалтын жингийн индексийг

тооцоолох зэрэг асуудлыг шийдэж болно.

ИЛҮҮДЭЛ ЦЭВЭР АШГИЙГ ТООЦООЛОХ

Хөрөнгө оруулалтын 2 төлөвлөгөө байгаа гэе. Эдгээр төлөвлөгөө хэрэгжиж эхэлснээс хойшхи t-р жилд 1-р төлөвлөгөөгөөр олох ашиг R1(t),

2-р төлөвлөгөөгөөр олох ашиг R2(t) байсан болог.

Төлөвлөгөөнүүд хэрэгжиж эхэлснээс хойшхи n жилд 2-р төлөвлөгөөний ашиг 1-р төлөвлөгөөнийхөөс их байсан бол n жилд 2-р төлөвлөгөөний илүүдэл цэвэр ашгийг олох асуудлыг авч үзнэ.

Илүүдэл цэвэр ашгийг NR тэмдэглээд

гэж олно.

Жишээ:Хөрөнгө оруулалтын 2 төлөвлөгөө хэрэгжиж

эхэлснээс хойш t-р жилийн дараа нэгдүгээр төлөвлөгөөгөөр тухайн жилд R1(t)=50+t2 нэгж ашиг, хоёрдугаар төлөвлөгөөгөөр R2(t)=200+5t нэгж ашиг олохоор байв.

А. Хэдэн жилд 1-р төлөвлөгөөнөөсөө 2-р төлөвлөгөө ашигтай байх вэ?

Б. Дээрх хугацаан дах 2-р төлөвлөгөөний илүүдэл цэвэр ашгийг ол.

Жишээ:

Бодолт: А. R1(t)=R2(t) = > 50+t2 =200+5t => t=15; t=-10

Одоогоос цааших 15 жилд 1-р төлөвлөгөөнөөс 2-р төлөвлөгөө ашигтай байна.

Б.

ҮЙЛДВЭРИЙН СУУРЬ МАШИНЫ НИЙТ ЦЭВЭР ӨГӨӨЖИЙГ ТООЦОХ

Үйлдвэрийн суурь машины суурилагдсанаасаа хойшхи n жилд тэр машинаар үйлдвэрлэгдсэн бүтээгдэхүүнээс олох нийт орлогоос, түүний засвар үйлчилгээнд гаргасан нийт зардлыг хассанаар уул суурь машины нийт цэвэр өгөөжийг тодорхойлно.

t-р жилд машинаар үйлдвэрлэгдсэн бүтээгдэхүүнээс олох нийт орлого R(t)засвар үйлчилгээний зардлыг C(t)Нийт цэвэр өгөөжийг

Жишээ

Суурилагдаад t жил болж буй суурь машины тухайн жилийн орлого R(t)=5000-20t2, харин засвар үйлчилгээний зардал C(t)=2000+10t2 болА: хэдэн жилд суурь машины цэвэр өгөөж эерэг байх вэ?Б: дээрх хугацааны нийт цэвэр өгөөжийг ол.Бодолт:А: R(t)=C(t) 5000-20t2=2000-10t2 3000=30t2 t=10Б: /0

10=20000

ХЭРЭГЛЭГЧИЙН ТӨЛӨХӨД БЭЛЭН БУЙ МӨНГӨНИЙ ХЭМЖЭЭГ ТОДОРХОЙЛОХ

Хувь хэрэглэгчийн сонгож авсан тодорхой нэг бүтээгдэхүүний эрэлтийн урвуу функц нь p=D(q) хэлбэрээр өгөгдсөн гэе.р - бүтээгдэхүүний нэгжийн үнэ ,q - эрэлтийн тоо хэмжээ

Тухайн хэрэглэгчийн сонгосон бүтээгдэхүүнээс q0 хүртэлх хэмжээтэйг авахдаа төлөхөд бэлэн буй мөнгөний хэмжээг

0

0( )

q

CW D q dq

Тухайн хэрэглэгчийн сонгосон бүтээгдэхүүнээс q0 хүртэлх хэмжээтэйг авахдаа төлөхөд бэлэн буй мөнгөний хэмжээг дараах графикаар үзүүлье.

q00

p=D(q)

q

p

Өөрөөр хэлбэл хэрэглэгчийн төлөхөд бэлэн буй мөнгөний хэмжээ нь эрэлтийн муруйнаас доош орших зураасласан талбайгаар тодорхойлогдоно.

Жишээ:

Нэгэн хэрэглэгчийн сонгосон бүтээгдэхүүнийн эрэлтийн урвуу функц

байдаг нь тогтоогдсон бол тэрээр түүнээс q0=12 нэгж хүртэлх хэмжээтэйг авахдаа төлөхөд бэлэн буй мөнгөний хэмжээг ол.

Бодолт:

ХЭРЭГЛЭГЧИЙН ХОЖООГ ТОДОРХОЙЛОХХэрэглэгчийн хожоо нь төлөхөд бэлэн буй

мөнгө болон төлөгдөх мөнгөний хэмжээний зөрөөгөөр тодорхойлогддог.

Хэрэглэгч тухайн сонгосон бүтээгдэхүүнээс q0 хэмжээтэйг авахад түүний нэгжийн үнэ нь эрэлтийн муруйгаас p0 гэж олдоно.

Тиймээс төлөгдөх мөнгөний хэмжээ p0 q0 болно. Иймд хэрэглэгчийн хожоо нь

гэж тооцно.0

00

0

)( qpdqqDCSq

Хэрэглэгчийн хожоог тодорхойлохХэрэглэгчийн эрэлтийн муруйн тусламжтай

хэрэглэгчийн хожоог дүрслэн үзүүлье. 

a) Төлөхөд бэлэн мөнгө б) Төлөгдөх мөнгө в)Хэрэглэгчийн хожоо

Жишээ:

Нэгэн хэрэглэгчийн сонгосон бүтээгдэхүүний эрэлтийн урвуу функц p=D(q)=400-2q байсан бол q0=50 нэгж бүтээгдэхүүн худалдан авах үеийн хожоог ол.

Бодолт:Эхлээд р0 үнийг олъё. Үүний тулд эрэлтийн урвуу

функцэд орлуулбал p0=400-2*50=300 гарна. Иймд хэрэглэгчийн хожоо нь

00

0

0

)(=CS qpdqqDq

50

0

500

2 ;25001500040050300)2400( qqdqq

НЭМЭГДСЭН ХАНАМЖИЙГ ТООЦОХ

Хэрэглэгчийн нэгэн бүтээгдэхүүнээс х дэх нэгжийг хэрэглэх үеийн ахиу ханамж

MU=MU(x) функцээр өгөгдсөн тохиолдолд тухайн хэрэглэгч сонгосон бүтээгдэхүүнээс х1-ээс х2 хэмжээтэйг хэрэглэх үеийн нийт ханамжуудын ялгавараар нэмэгдсэн ханамжийг

гэж тооцоолж олно.

Жишээ:

Нэгэн хэрэглэгчийн буузнаас авах ахиу ханамж MU(x)=80-4x функцээр илэрхийлэгддэг нь тогтоогдсон бол түүний 6-аас 11 бууз идэх үеийн нэмэгдсэн ханамжийг ол.

Бодолт:

ХҮН АМЫН ТООГ ТОДОРХОЙЛОХ

Тодорхой сонгож авсан газар нутаг дээр оршин буй хүмүүсийн нийт тоо болон цаг хугацааны өгөгдсөн завсарт өссөн нийт хүн амын тоог тогтоохдоо хүн амын цэвэр өсөлтийн функцийг интеграчилж олдог.

Шилжих хөдөлгөөнийг тооцохгүй тохиолдолд хүн амын тоо нь төрөлтөөр ихэсч , нас баралтаар буурдаг. Үүнийг бүдүүвчээр харуулбал

Сонгож авсан тодорхой газар нутаг дээр t-р жилд оршин сууж буй нийт хүн амын тоог N(t), шинээр төрсөн хүүхдийн тоог A(t) , нас барсан хүний тоог H(t) гэе.

n-р жилийн нийт хүн амын тоо нь цэвэр өсөлтийн функцаас авсан интегралаар

гэж тодорхойлогдоно.

Мөн хугацааны t1-ээс t2 агшины хооронд нэмэгдсэн хүн амын тоог

гэж тооцоолж болно.

n

dttNTnN0

)()(

2

1

)()()( 12

t

t

dttNTtNtNN

Жишээ:

Нэгэн сумын хүн амын цэвэр өсөлт нь сум байгуулагдсанаас хойших t-р жилд NT(t)=500+4 функцаар илэрхийлэгддэг байсан бол

А: сум байгуулагдсанаас хойш 36 дахь жилд энэ сум хэдэн хүнтэй байсан бэ?

Б: сум байгуулагдсанаас хойш 16-аас 25-р жилд нийт хүн ам хэдээр нэмэгдсэн бэ?

t

Бодолт:

25

16

25

16

4500)()16()25( dttdttNTNNN

466338500 25

163

tt

ЛОРЕНЦИЙН МУРУЙ ЖИНГИЙН ИНДЕКС

Макро эдийн засагт тухайн нэг улсын иргэдийн орлогын тэгш бус хуваарилалтыг Лоренцийн муруйгаар илэрхийлдэг.

Оху хавтгайн Ох тэнхлэг дээр хүн амын хувийг , харин Оу тэнхлэг дээр орлогын хувийг авъя.

Хэрвээ хүн амын дурын х хувьд орлогын мөн х хувь харгалзаж байвал тухайн улсад орлого нийт хүн амд тэгш хуваарилагдаж буйг илтгэнэ.

Харин амьдрал дээр орлогын ихэнх хувь нь хүн амын бага хувьд ноогдсон тэгш бус байдал ноёрхож байдаг.

Тэгш бус байдлын зэргийг Жинийн индексээр илэрхийлэгддэг.

 

Зураасалсан хэсгийн талбайг ОАВ гурвалжны талбайд харьцуулсан тоог Жинийн индекс (JI) гэнэ. 0≤ L≤1 утгатай байх ба тэг рүү утга нь дөхөх тусам орлого тэгш хуваарилагдаж байгааг илэрхийлнэ.

Харин нэг рүү тэмүүлэхэд тэгш бус байдлын зэрэг ихэсдэг.

 тул Жинийн индексийг

Хэрэв Лоренцийн муруйн тэгшитгэл y=f(x), Тэгш хуваарилалтын муруйн тэгшитгэл y=x бол

Жишээ:

Нэгэн улсын хувьд Лоренцийн муруй

функцийн графикаар илэрхийлэгдэж байсан бол Жинийн индексийг тооц.

Бодолт: Томъёогоор Жинийн индексийг тооцвол

байна. Эндээс тухайн улсын хувьд орлогын тэгш бус байдал нилээд өндөр байна

100

02

3100

0 10050001)(

50001 dxxxdxxfxJI

5.04

1005000

1100425000

1 2100

02

42

xx