Лекц №2

Тоон дараалал ба функцийн

хязгаар

Натурал тоо n бүхэнд хn тоо

харгалзуулвал

х1, х2,…, хп ,... (1)

гэсэн тоон олонлог үүснэ. Үүнийг

тоон дараалал гэх ба хn-г дарааллын

ерөнхий гишүүн гэнэ.

• Жишээ нь: 1,8,27,...,n3,... дарааллын

ерөнхий гишүүн хn=n3 байна.

Тодорхойлолт: Дурын бага авахад

гэсэн бүх дугааруудад

тэнцэтгэл биш үргэлж биелэгдэж байх

дугаар олдож байвал а тоог (1)

дарааллын хязгаар гэж нэрлээд

гэж тэмдэглэнэ.

0

n N

nx a

N

limn

nx a

(1) дарааллын хязгаар а байна

гэдгийг уг дараалал а руу тэмүүлж

байна гэх бөгөөд заримдаа үед

гэж тэмдэглэдэг.

Дарааллын хязгаар төгсгөлөг байвал

түүнийг нийлдэг дараалал гэнэ.

цэгийг агуулж байгаа дурын (а,b)

завсрыг цэгийн орчин гэдэг.

n

nx a

0x

0x

Хэрэв (1) дараалал а гэсэн төгсгөлөг

хязгаартай бол -ийн хувьд

тэнцэл биш биелэгдэх ѐстой.

Эндээс буюу

гэсэн тэнцэл биш гарна.

N n

nx a

nx a

na x a

Тодорхойлолт: у =f(х) функц а цэгийн

ямар нэг орчинд тодорхойлогдсон

байг. Хэрвээ хичнээн ч бага байж

болох тоо авахад

(2) тэнцэтгэл

бишийг хангасан бүх х-ийн хувьд

(3)

биелэгдэж байхаар тоо олдох бол

А тоог f(х) функцийн үеийн

хязгаар гэнэ.

0

x a

f x a

x a

Жишээ: у = 3х+1 функц үед 7

уруу тэмүүлнэ.

Бодолт:

2x

2

lim 3 1 3 2 1 7x

x

Зарим функцийн хувьд х нь а уруу нэг

талаас нь тэмүүлэхэд нэг янз, нөгөө талаас

нь тэмүүлэхэд өөр янзын хязгаартай

байдаг. Иймд өрөөсгөл хязгаар гэдэг

ойлголт орж ирдэг.

Хэрэв у=f(х) функцийн х нь а руу зөвхөн

баруун талаас нь тэмүүлэхэд b1 гэсэн

хязгаартай байвал түүнийг у=f(х)

функцийн a цэг дээрхи баруун өрөөсгөл

хязгаар гэж нэрлээд

гэж тэмдэглэнэ. 10

lim 0x a

f x b f a

Үүнтэй нэгэн адилаар зүүн өрөөсгөл

хязгаар байна.

Хэрэв у=f(х) функц үед

төгсгөлөг A хязгаартай байвал

байна.

Үүний урвүу өгүүлбэр мөн хүчинтэй.

20

lim 0x a

f x b f a

x a

0 0

lim limx a x a

f x f x A

Тодорхойлолт: Тэг рүү тэмүүлдэг

хувьсах хэмжигдэхүүнийг багасаж

барагдашгүй хэмжигдэхүүн гэнэ.

Хэрэв хувьсах хэмжигдэхүүн

багасаж барагдашгүй бол

lim 0

Багасаж барагдашгүй хэмжигдэхүүн ба

хувьсах хэмжигдэхүүний хязгаарын

хоорондын холбоог тогтоосон теоремыг

авч үзье.

Теорем:Хэрэв хувьсах хэмжигдэхүүн u

ба тогтмол тоо а хоѐрын ялгавар нь

багасаж барагдашгүй хэмжигдэхүүн

байвал а нь u-ийн хязгаар болох ба

урвуугаар, хэрэв бол

(4) байна. Энд а нь

багасаж барагдашгүй хэмжигдэхүүн.

limu a

u a

Багасаж барагдашгүй

хэмжигдэхүүний зарим чанарыг

дурдъя.

1. Төгсгөлөг тооны багасаж

барагдашгүй хэмжигдэхүүний

алгебрын нийлбэр багасаж

барагдашгүй хэмжигдэхүүн байна.

2. Дурын тооны багасаж барагдашгүйхэмжигдэхүүний үржвэр багасажбарагдашгүй хэмжигдэхүүн байна.

Тодорхойлолт: Хувьсаххэмжигдэхүүн u-ийн бүх утгуудабсолют хэмжээгээрээ ямар нэгтөгсгөлөг тоо М-ээс ихгүй бол u-гзааглагдсан хувьсах хэмжигдэхүүнгэнэ.

3.Багасаж барагдашгүй

хэмжигдэхүүнийг зааглагдсан

хэмжигдэхүүнээр үржихэд багасаж

барагдашгүй хэмжигдэхүүн гарна.

Тодорхойлолт: Хязгааргүй уруу

тэмүүлж байгаа хувьсах

хэмжигдэхүүнийг ихсэж барагдашгүй

хэмжигдэхүүн гэнэ.

4. Хэрэв u ихсэж барагдашгүй

хэмжигдэхүүн бол түүний урвуу

хэмжигдэхүүн нь багасаж

барагдашгүй хэмжигдэхүүн байна.

1

u

Хязгаарын тухай үндсэн

теоремууд

Теорем: Хэрэв хувьсах

хэмжигдэхүүн хязгаартай байвал тэр

нь цор ганц байна.

Теорем: Хувьсах хэмжигдэхүүн

төгсгөлөг хязгаартай бол зааглагдсан

байна.

Теорем: Тус бүрдээ төгсгөлөг

хязгаартай тодорхой тооны

функцүүдийн алгебрын нийлбэрийн

хязгаар нэмэгдэхүүн тус , бүрийн

хязгаарын алгебрын нийлбэртэй

тэнцүү байна.

1 2

1 2

lim ...

lim lim ... lim

nx a

nx a x a x a

u x u x u x

u x u x u x

Теорем: Бүгдээрээ төгсгөлтэй хязгаартай

төгсгөлөг тоон функцийн үржвэрийн

хязгаар үржигдэхүүн тус бүрийн

хязгаарын үржвэртэй тэнцэнэ.

1 2

1 2

lim ...

lim lim ... lim

nx a

nx a x a x a

u x u x u x

u x u x u x

Мөрдлөгөө: Тогтмол тоон

үржигдэхүүнийг хязгаарын тэмдгийн

өмнө гаргаж болно.

Теорем: Хэрэв бол

ноогдворын хязгаар хүртвэрийн

хязгаарыг хуваарийн хязгаарт

харьцуулсантай тэнцүү.

lim limx a x a

c u x c u x

lim 0x a

v x

u x

v x

Ж:

3 3 3

2 2 2lim 4 3 4 lim 3lim 4 2 3 2 26x x x

x x x x

33 3

2 2

3 3 32

2

4 lim 3lim4 3 4 2 3 2 26lim

lim 2 8

x x

x

x

x xx x

x x

Теорем: Хэрэв u, v, w хувьсах

хэмжигдэхүүнүүдийн хувьд

гэсэн тэнцэтгэл биш

биелэгдэх бөгөөд u,v нь нэгэн ижил а

тоо руу тэмүүлж байвал w нь мөн а

хязгаартай байна.

Теорем: Монотон зааглагдсан

хувьсах хэмжигдэхүүн хязгаартай

байна.

u v w

Хязгаарын онолд 1 ба 2-р

гайхамшигт хязгаар гэж нэрлэгддэг

дараахь хоѐр хязгаар чухал үүрэг

гүйцэтгэдэг.

0

sinlim 1x

x

x

1

0

1lim 1 lim 1

x

xe

x

е тоог бактерийн үржил, цацрагийн

задрал, хүн амын өсөлт зэрэг процессуудад

шинжилгээ

хийх, статистик, физик, биологи, химийн

болон бусад хэрэглээний олон бодлого

бодоход хэрэглэдэг.

Тасралтгүй оногдох хүүгийн бодлогыг авч

үзье.

Банкны хадгаламжинд анх Q0 нэгж мөнгө

хийв. Банк жил тутамд р% хүү төлдөг. T

жилийн дараахи Qt хадгаламжийн хэмжээ

олох шаардлагатай.0

100

pQ

Энгийн хүүг ашиглах үед хадгаламжийн

хэмжээ жил бүр адилхан хэмжээгээр өснө. Ө.х:

Практикт ихэвчлэн давхар хүүг хэрэглэдэг.

Хэрэв хадгаламжийн хүүг жилд нэг удаа бус

харин n удаа бодвол жил бүр p%-иар өсөж

байгаа учир жилийн хэсэгт -иар өснө.

t жилийн хувьд nt удаа өсөхөд хадгаламжийн

хэмжээ болно.

Хадгаламжийн хүүг сар болгон (n=12), улирал

тутамд (n=4)…г.м (n→) бодож болно.

1 0 2 0 0

21 , 1 , ..., 1

100 100 100t

p p ptQ Q Q Q Q Q

1

n%

p

n

01

100

nt

t

pQ Q

n

Хүү тооцох аргуудаас хамаарсан тооцооны үрдүнг ойлгомжтой болгохын тулд Qt

хадгаламжийн хэмжээг Q0=1 нэгжмөнгө, p=5%, t=20 жил байх үед хүснэгтэндоруулъя.

Практикт тасралтгүй оногдох хүүг хэрэглэх ньховор, нарийн төвөгтэй санхүүгийнасуудлуудын шинжилгээнд болон тухайнтохиолдолд хөрөнгө оруулалтын бодлогыгавч үзэхэд чухал үүрэгтэй.

Энгийн хүүгийн

томъёогоор

Давхар хүүгийн томъёо Тасралтгүй оногдох

хүүгийн томъёогоорn=1 n=2 n=4 n=12 n=365

Хадгаламжийн

хэмжээ, мөнгө 2.0000 2.6355 2.6851 2.7015 2.7126 2.7126 2.7182

Функцийн тасралтгүй чанар

у=f(х) функц х = х0 цэг дээр ба түүний орчинд

тодорхойлогдсон бөгөөд y0=f(x0) байг.

[а,b] хэрчим дээр тодорхойлогдсон у=f(х)

функц авч цэг дээр утгыг бодвол

y0=f(x0) болох ба х0 –д байхаар

өөрчлөлт өгвөл функцийнн утга нь

болно. Энэ үед

ялгаврыг у = f(x) функцын x0 цэг дээрхи

өөрчлөлт гэнэ.

0,x a b

0,x x a b

x

0 0 0y f x x f x

0 0y y f x x

Тодорхойлолт1: Хэрэв у = f(х) функц х = х0

цэг ба түүний орчинд тодорхойлогдож

байвал у = f(х) функцыг х = х0 цэг дээр

тасралтгүй функц гэнэ. Ө.х: аргументын

багасаж барагдашгүй өөрчлөлтөнд функцын

багасаж барагдашгүй өөрчлөлт харгалзаж

байвал у = f(х) функцыг х = х0 цэг дээр

тасралтгүй гэдэг.

0 00 0

lim lim 0x x

f x x f x y

Тодорхойлолт2: Хэрэв у = f(х) функцын х

аргумент х0 уруу тэмүүлэхэд

байвал уул функцыг х = х0 цэг дээр тасралтгүй

гэнэ.

Хэрэв

нөхцөл биелэгдэж байвал f(х)-ыг х = х0 цэг

дээр баруун талаасаа тасралтгүй

бол зүүн талаасаа тасралтгүй функц гэнэ.

0

0limx x

f x f x

0

0 00

lim 0x x

f x f x f x

0

0 00

lim 0x x

f x f x f x

Тодорхойлолт3: Хэрэв у = f(х) функц ямар нэг

(а,b) завсрын бүх цэгүүд дээр тасралтгүй

бөгөөд х = а цэг дээр баруун талаасаа, х = b

дээр зүүн талаасаа тасралтгүй байвал түүнийг

[а,b] хэрчим дээр тасралтгүй гэдэг.

Хэрэв х = х0 цэг дээр у = f(х) функцын

тасралтгүй чанар алдагдаж байвал х0 цэгийг уг

функцын тасралтын цэг гэнэ.

Теорем 1 Хэрэв [а,b] хэрчим дээр монотон

у = f(х) функц утгуудын олонлог ямар нэг Ү

завсрыг бүхэлд нь дүүргэж байвал у = f(х) нь

[а,b] хэрчим дээр тасралтгүй байна.

Энэ теоремыг ашиглан үндсэн элементар

функцүүд тодорхойлогдох муж дээрээ

тасралтгүй, мөн тасралтгүй функцүүд дээр

үйлдэл хийхэд мөн тасралтгүй функц гарна.

Теорем 2: Хэрэв f(х), g(х) функцүүд х = х0 цэг

дээр тасралтгүй бол f(х) g(х) , f(х) • g(х) ба

хэрэв байвал функцүүд x =x0 цэг

дээр тасралтгүй байна.

Теорем 3: Хэрэв функц х = х0 цэг

дээр тасралтгүй u = f(у) функц

дээр тасралтгүй байвал давхар

функц х = х0 цэг дээр тасралтгүй байна,

00g x

f x

g x

y x

0 0y x

u f x

Чанар1. Хэрэв (а,b) хэрчим дээр

тодорхойлогдсон тасралтгүй y=f(x) функц

хэрчмийн төгсгөлийн цэгүүд дээр эсрэг

тэмдэгтэй утга авдаг бол f(с) = 0 байх х = с

цэг [а,b] хэрчмээс ядаж нэг олдоно.

Энэ чанарыг геометр утга нь тасралтгүй

муруй Оx тэнхлэгийн нэг талаас нөгөөд

гарахдаа түүнийг ядаж нэг удаа огтлоно.

y

a b x

Чанар2: Хэрэв [а,b] хэрчим дээр

тодорхойлогдсон у = f(х) функц тасралтгүй

бөгөөд

бол А,В хоѐрын хоорондох дурын с утгыг

функц (а, b) хэрчмийн ямар нэг С цэг дээр

заавал авна.

Чанар3: Хэрэв у = f(х) функц [а, b] дээр

тодорхойлогдсон бөгөөд тасралтгүй бол энэ

хэрчим дээр зааглагдсан байна. Ө.х

байх m,М тоонууд олдоно.

, ,f a A f b B A B

, ,m f x M x a b

Чанар4: Битүү завсар дээр

тодорхойлогдсон бөгөөд тасралтгүй функц

энэ завсар дээр хамгийн их ба бага утгаа

заавал авна.

Багасаж барагдашгүй хэмжигдэхүүнийг

жиших

Багасаж барагдашгүй хэмжигдэхүүн α,β-г

нэгэн ижил х аргументын функцүүд бөгөөд

х→а үед тэг рүү тэмүүлдэг гэж үзье.

Тодорхойлолт1: Хэрэв харьцаа тэгээс

ялгаатай хязгаартай, өөрөөр хэлбэл:

байвал тэдгээрийг ижил эрэмбийн

багасаж барагдашгүй хэмжигдэхүүн гэнэ.

lim 0x a

A

Жишээ1. α=sin x, β= 2х ба х→0 гэе.

Бодолт. Тэгвэл

болох тул sinx, 2x нь х→0 үед ижил эрэмбийн

багасаж барагдашгүй хэмжигдэхүүн байна.

0 0

sin 1lim lim 0

2 2x x

x

x

Тодорхойлолт 2: Хэрэв харьцаа тэг рүү

тэмүүлж байвал,

Ө.х бол β-г α-аас дээд эрэмбийн

багасаж барагдашгүй хэмжигдэхүүн гэнэ.

Хэрэв бол α-г β-тэй харьцуулахад

к эрэмбийн багасаж барагдашгүй

хэмжигдэхүүн гэнэ.

lim 0x a

lim 0k

x aA

Тодорхойлолт 3: Хэрэв багасаж барагдашгүй

хэмжигдэхүүн α,β хоѐрын харьцааны хязгаар

1-тэй тэнцүү бол тэдгээрийг эн чацуу багасаж

барагдашгүй хэмжигдэхүүн гэх бөгөөд α ~ β

гэж тэмдэглэнэ.

Теорем1 Хэрэв α,β хоѐр эн чацуу багасаж

барагдашгүй хэмжигдэхүүн бол α-β нь α-аас

ч, β-аас ч дээд эрэмбийн багасаж барагдашгүй

байна.

Хэрэв α ~ α1 , β~β1 ба бол

байна.

Өөрөөр хэлбэл багасаж барагдашгүй

хэмжигдэхүүнүүдийн харьцааны хязгаар

тэдгээрийг эн чацуу хэмжигдэхүүнээр

солиход өөрчлөгдөхгүй.

limx a

k

1

1

limx a

k

1

1

lim limx a x a

Жишээ: хязгаарыг олъѐ.

Бодолт. х→0 үед tg3x~3х, sin4х ~ 4х

учир эн чацуу багасаж барагдашгүй

хэмжигдэхүүнээр соливол

болно.

0

3lim

sin 4x

tg x

x

0 0

3 3 3lim lim

sin 4 4 4x x

tg x x

x x