经 济 数 学 线 性 代 数

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第 7 讲

矩阵的初等变换

教师：边文莉

一、矩阵的初等变换的概念A定义：对矩阵 施以下述三个内容之一的一次变换，

称为初等变换。（ 1 ）交换矩阵的任意两行（列）（ 2 ）用非零的数 乘矩阵的某一行（列）（ 3 ）把矩阵的某一行（列）的 倍加到另一行（列）

k

k

定义：若矩阵 经过若干次初等变换变为矩阵 ，则称 与 等价。记做 。

A BA B A B

A B（ 1 ）反身性

A A （ 2 ）对称性 则 B A

（ 3 ）传递性 则,A B B C

A B

A C

定理：任意 矩阵必与如下形式的矩阵 等价m nm nD

( )

( ) ( ) ( )

1

0

1, min( , )

0

0 0

0

r r r n r

m nm r r m r n r

E OD r m n

O O

11 12 1

21 22 2 22 2

1

1 2 2

1 0 0 1 0 0

0 0

0 0

n

n n

m m mn m mn

a a a

a a a a a

A

a a a a a

行、列变换 简记

例 1 ：将下列矩阵化为等价标准型

2 1 2 3

4 1 3 5

2 0 1 2

A

解：

2 1 2 1 2 3

4 1 3 5

2 0 1 2

A

2 1 2 3

0 1 1 1

0 1 1 1

第一行乘以 ，第二行乘以 加到第三行12( ) ( 1)

312 21 1

0 1 1 1

0 0 0 0

( 1)

312 21 1

0 1 1 1

0 0 0 0

第一列乘以 加到第二列，乘以 加到第三列，乘以 加到第四列。

12( )

32( )

( 1)

1 0 0 0

0 1 1 1

0 0 0 0

1 0 0 0

0 1 0 0

0 0 0 0

( 1)

二、初等矩阵定义：由单位矩阵经过一次初等变换得到的矩阵称为初等矩阵 . 三种初等行（列）变换对应着三种不同的初等矩阵．1 ．交换两行（或列）的位置

行第

行第

j

i

jiE

1

1

01

1

1

10

1

1

),(

ji rr ji cc

2．以非零数乘某一行（或列）

行第ikkiE

1

1

1

1

))((

ikr ikc

3．把某一行（或列）的 k倍加到另一行（或列）上

行第

行第

j

ik

kjiE

1

1

1

1

))(,(

)( ji krr ( )j ic kc

注：初等矩阵可逆，其逆矩阵也为初等矩阵。

jiEjiE ,, 1

kiEkiE

11

kjiEkjiE ,, 1

定理： 设 是一个 矩阵，对 施行一次初等行变换，相当于在 的左边乘以相应的 阶初等矩阵；对 施行一次初等列变换，相当于在 的右边乘以相应的 阶初等矩阵 .

nmm

nA

A

AA

A

初等变换 初等矩阵

初等逆变换 初等逆矩阵

定理： 阶矩阵 可逆的充要条件是n A EA

A

证明：1 ，必要性

设 的等价标准型为 ，则存在初等方阵使得D

2 1sP P P 1 2 tQ Q Q A D

两端取行列式，由于左端为可逆阵相成所以左端不等于 0 ，所以 故 。证毕0D D E

2 ，充分性

A E 则有

2 1sP P P 1 2 tQ Q Q A E

2 1sP P P 1 2 0tQ Q Q E A

0A

故 可逆A

定理： 设 A 为可逆方阵，则存在有限个初等方阵 .,,,, 2121 ll PPPAPPP 使

证 , A E

使即存在有限个初等方阵 ,,,, 21 lPPP

APEPPPP lrr 121

.PPPA l21即

利用初等变换求逆阵的方法：，有时，由当 lPPPAA 21 0

,11

11

1 EAPPP ll

, 111

11

1

AEPPP ll 及

EPPPAPPP llll1

111

111

11

1

1 AE

EAPPP ll1

111

1

.

)(2 1

AEEA

EAnn

就变成时，原来的变成当把

施行初等行变换，矩阵即对

. ,

343

122

321

1

AA 求设

解

例１

103620

012520

001321

100343

010122

001321

EA

12 2rr

13 3rr

21 rr

23 rr

111100

012520

01120121 rr

23 rr

111100

563020

23100131 2rr

32 5rr

31 2rr

32 5rr

）（ 22 r

）（ 13 r

.

11125

323

2311

A

11110025

323

010

231001）（ 22 r

）（ 13 r

.

1BA矩阵

的方法，还可用于求利用初等行变换求逆阵

E

)()( 11 BAEBAA

)( BA

BA 1

即

初等行变换

例２

.

34

13

52

,

343

122

321

,

BA

BAXX ，其中使求矩阵

解 .1BAXA 可逆，则若

34343

13122

52321

)( BA

122620

91520

52321

31100

91520

41201

31100

64020

23001

12 2rr

13 3rr

21 rr

23 rr

31 2rr

32 5rr

122620

91520

52321

31100

91520

41201

31100

64020

23001

12 2rr

13 3rr

21 rr

23 rr

31 2rr

32 5rr

小结

1. 初等行 ( 列 ) 变换

;1 jiji ccrr

;2 kckr ii

.3 jiji kcckrr

初等变换的逆变换仍为初等变换 , 且变换类型相同．

3. 矩阵等价具有的性质

;1反身性 ;2 对称性 .3 传递性

2. A 初等变换 B .~ BA

4. 利用矩阵的初等变换求矩阵的逆。

E

)( BA

BA 1

初等行变换