线 性 代 数 综 合线 性 代 数 综 合

练 习 题练 习 题

（二）（二）

2 、设1 2

2 3

3 1

,A B

则存在可逆阵 P ，使 P-1AP=B ，其中

P= 。

一、填空题 1 、四阶方阵 A 的特征值为1 、 3 、 4 、 5 ，

A 。11 22 33 44a a a a 则 ；

3 、已知四阶行列式 D 的第三行 元素分别为 -1 ， 3 ， 2 ， 0 ，第 二行元素的余子式依次为 5 ， -2 ， ， 4 ，则 = 。aa

解：因为行列式第三行元素与第二行元素对应的代数余子式乘积之和为零，所以有

1 5 3 2 2 0 4 0a （ ）（ ） （ ） （ ）

解得 1

2a 。

1 2 3

2 4 6 ,

3 6 9

AB

A

则 的秩为 。B

4 、已知 是满秩方阵，且

解：因为 A 为满秩矩阵，所以 A 可以写成有限个初等矩阵的乘积，用有限个初等矩阵左乘矩阵 B ，相当于对矩阵 B 进行了有限次初等行变换，而初等变换不改变矩阵的秩，所以矩阵 B 的秩等于 AB 的秩。而 AB 的秩为 1 ，所以 B 的秩为 1 。

5 、设 1 是实对称阵 的一个特征值，且 ，3B A A

则 。B

A

解： A E 3B=A -A=A A-E

B A A E A E

又因为 1 是实对称矩阵 A 的一个特征值，

0 0A E B

二、选择题

1 2 2 3 2 1

1 2 2 3 1 3

1 1 2 1 3

1 2 3 1

( ) , ,

( ) , ,

( ) , ,

( ) , ,

A a a a a a a

B a a a a a a

C a a a a a

D a a a a

、、、、

1 2 3, ,a a a1 、设 线性无关，则下列向量组线性相关的是（ ）；

解；设一组数 使 1 2 3, ,k k k

1 1 2 2 2 3 3 3 1( ) ( ) ( ) 0k k k

1 3 1 1 2 2 2 3 3( ) ( ) ( ) 0k k k k k k

1 2 3, , 线性无关，所以

1 3

1 2

2 3

( ) 0

( ) 0

( ) 0

k k

k k

k k

解得 1 2 3k k k

令1 2 3 1k k k 则有一组不全为零的数使

122331 ()()()0

所以选（ A ）

2 、设 A 是 n 阶矩阵，且 A 的行列式 0,A 则 A 中 ；

（ A ）必有一列元素为零；

（ B ）必有两列元素对应成比例；

（ C ）必有一列向量是其余列向量的线性组合；

（ D ）任一列向量是其余列向量的线性组合。

解：由 可知， A 的列向量组是线性相关的，

所以其中至少有一个列向量可由其余列向量线性表

示，因此选（ C ）。

0,A

3 、设 A,B 均是 n 阶正交阵 , 若 则 A+B 必为 ( )

0,A B

(A) 、初等阵； (B) 、正交阵； (C) 、对称阵； (D) 、奇异阵。

解：

1 1 1 1( )A A B B B A 1 1 1( ) ( )A A B B A B

1 1 1

1 1 1 1 1

( ) ( )A A B B A B

A A B B A B B A B

1 1, ,

( ) 0 0

0 0

T T TA A B B A A

A B A B A B

A B A B

选（ C ）

4 、已知

1 20 1 0 , 1 0 0 ,

1 0 1 0 0 1

P P

1 0 0 0 1 0

2 4 6 1 2 3 ,

3 6 9 4 8 12

B

1 2 3 2 4 6

A= ，

1

2 1

( ) ;

( ) ;

A P

C P PA2AP、

、2

1 2

( ) ;

( )

B P

D PP A1AP、

、 。

则 = ( ) B

解：选（ C ）

5 、设 β 能由 线性表示，但不能由 线性表示，则 ( ) ；

1 2, 1 2 3, ,

(A) 、 不能由 线性表示，但能由 β ， 线性表示；

1 2, 1 2,

3

(D) 、 能由 线性表示，也能由 β ， 线性表示。

1 2, 1 2, 3

(C) 、 能由 线性表示，但不能由 β ， 线性表示；

1 2, 1 2, 3

(B) 、 不能由 线性表示，也不能由 β ， 线性表示；

1 2, 1 2,

3

解：若 能由 线性表示 ，因为 能由 ， 线性表示，则 能由 线性表示，与已知矛盾，所以不能选（ C）（ D）；

33

1 2, 1 2,

1 2,

3 1 2, 若 能由 ， 线性示，则有

3 1 2 1 3 2k k k

1 1 2 2 3 3

3 1 1 2 1 2 3 2(1 ) ( ) ( )k k k

1 2, 3 1(1 ) 0k 时 可由， 线性表示，

与已知矛盾，所以选（ B ）

1 、解矩阵方程 三、计算题

11 2 0

22 0 2

2

T

x

。

解：由已知得1 2 1

2 0 2

0 2 2

TX

，

对矩阵2 1

2 0 2

0 2 2

1

施行初等行变换

2 1

2 0 2

0 2 2

1

1 2 1

~ 0 4 4

0 2 2

1 0 1

~ 0 1 1

0 0 0

11 1

1TX X

，

2 、设

0 0 1 2

0 0 0 1

1 0 0 0

0 1 2 -3A=

1A求

解：对矩阵（ A E ）施行初等行变换1 0 0 0 1 0 0 0

0 1 2 3 0 1 0 0

0 0 1 2 0 0 1 0

0 0 0 1 0 0 0 1

1 0 0 0 1 0 0 0

0 1 2 0 0 1 0 3~

0 0 1 0 0 0 1 2

0 0 0 1 0 0 0 1

1 0 0 0 1 0 0 0

0 1 0 0 0 1 2 7~

0 0 1 0 0 0 1 2

0 0 0 1 0 0 0 1

1

1 0 0 0

0 1 2 7

0 0 1 2

0 0 0 1

A

3 、验证

的一个基，并求 3 (3,1,2)Ta 3R为2(1, 1,0) , (2,1,3) ,T Ta a 1

在这组基下的坐标。 (5,0,7)T

解：1 2 3 1 2 3

1 1 1 0 3 4

0 3 2 0 3 2

1 2 3

0 3 4 6 0

0 0 2

1 2 3 ， ， 为 3R 的一个基

令1 1 2 2 3 3k k k

1 2 3k k k， ，求 就是解方程组

1

1 2 3 2

3

k

k

k

（ ）

1 2 3 （ ）对矩阵 施行初等行变换1 2 3 5 1 2 3 5

1 1 1 0 ~ 0 3 4 5

0 3 2 7 0 3 2 7

5 51 13 3 3 3

543 3

1 0 1 0

~ 0 3 4 5 ~ 0 1

0 0 2 2 0 0 1 1

1 0 0 2

~ 0 1 0 3

0 0 1 1

所以 在这组基下的坐标为 2 ， 3 ， -1 。

4 、设 1 0 1 2

0 1 2 1,

2 1 2 1

1 2 1 0

A

求矩阵 A 的秩及 A 的列向量组的极大无关组。解：对矩阵 A 施行初等行变换

1 0 1 2 1 0 1 2

0 1 2 1 0 1 2 1~ ~

0 1 2 3 0 0 4 4

0 2 0 2 0 0 4 4

A

1 0 0 2

0 1 0 1~

0 0 1 1

0 0 0 0

所以矩阵 A 的秩为 3 ，第一列、第二列、

第三列为 A 的列向量组的一个极大无关组。

四、证明题

的一个特征值，且 ≠ 0 。

1 、若 n 阶可逆阵 A 的任意行元素之和都等于 ，证明： 为矩阵 Aa a

a证：由已知

11 12 1

21 22 2

1 2

1 1

1 1

1 1

1 1

n

n

n n nn

a a a a

a a a aa

a

a a a a

因为 0a 所以 a 为矩阵 A 的一个特征值。

2 、矩阵 A 满足 A2+ 6A + 8E=0 ，

且 A=AT ， 证明： A+3E 是正交阵。

证：由2 6 8 0 3A A E A E E 2得（ ）

3 3A E A E -1A+（ ） （可逆，且 3E） （ ）3 3

3 3

T T

T

A A A E A E

A E A E

-1

（ ）

（ ） （ ）所以 A+3E 为正交矩阵。

1 1 2 2 2 3 3 3 1, , ,a a a a a a

3 、知向量组 是齐次线性方程组 AX=0 的基础解系，且

1 2 3, ,a a a

证明：向量组 也是AX=0 的一个基础解系。

1 2 3, ,

解： 1 2 3 ， ， 为齐次线性方程组的基础解系，故 1 2 3 ， ， 为齐次线性方程组的解，所以只需证 线性无关，1 2 3 ， ，

1 2 3 1 1 2 2 3 3, , 0k k k k k k 设 使

1 3 1 1 2 2 2 3 3( ) ( ) ( ) 0k k k k k k 即

1 2 3, , ,因为 线性无关 所以

1 3

1 2

2 3

( ) 0

( ) 0

( ) 0

k k

k k

k k

解得 1 2 3k k k =0 所以

1 2 3 ， ， 线性无关，所以

1 2 3 ， ， 亦是齐次线性方程组的基础解系。

(1) 、 的值。,x y

(2) 、求一个可逆阵 ，使P 1P AP A

五、设 1 1 1

4 ,

3 3 5

A x y

已知 A 有 3 个线性无关的特征向量， = 2 是 的二重特征值，求： A

解：由题意可知， A 可对角化，必有 R （ A-2E ） = 1 ，于是

1 1 1

( 2 ) 2

3 3 3

A E x y

1 1 1

~ 0 2

0 0 0

x x y

2 0 2,

0 2

x x

x y y

必有 解得

1 2 3 10TrA 又由

3 32 2 6 解得) 0,A E x A 求由 出( 的特征向量

1 2 2 当 时，

1 21 1 0 1 0 1T TP P （， ，）， （，，）3 36 1 2 3 TP ， （， ，），当 时 于是有可逆阵

1 2 3

1 1 1

P= P P P = -1 0 -2（ ） ，0 1 3 使得

1

2

2

6

P AP

六、已知

1 2 3

1 7 4 10

1 1 0, , ,

3 2 4

0 2 1 3

ya a a

x

,x y(1) 、 取什么值时， 能由 唯一的线 1 2, ,a a a

性表示，并写出表达式；,x y(2) 、 取什么值时， 能由 线性表示；1 2, ,a a a

,x y(3) 、 取什么值时， 能由 多种线性1 2, ,a a a表示，并写出表达式。

解：对矩阵 1 2 3B （ ）施行初等行变换

1 2 3

1 7 4 10

1 1 0

3 2 4

0 2 1 3

yB

x

（ ）

1 4

3 4

( 3)( 1)

1 1 1 1

1 1 0

1 1 1

0 2 1 3

~r rr r y

x

2 1

3 1( 1)

1 1 1 1

0 2 1 1

1 0 0 0

0 2 1 3

~r r

r r

y

x

2 4( 1)

1 1 1 1

0 0 0 2

1 0 0 0

0 2 1 3

~r r y

x

2 4

1 1 1 1

0 2 1 3

1 0 0 0

0 0 0 2

~r r

x

y

1 2 32y ,当 时， 不能由 线性表示

y=2 x 1 ,当 且 时1 2 3 ,能由 唯一线性表示

表示式为

123 2 =0

1 2 3 y=2 x=1 ,当 且 时 能由 多种线性表示1 12 2

312 2

1 0

0 1~

0 0 0 0

0 0 0 0

B

1 2 3

3,

2

cc c R

c+1

=2

达式为 -表

七、设 A 是正定阵，试证存在正定阵 B ，使得 A=B2 。

证：设 1 2, , , n 是 A 的特征值，因 A 是正定矩阵，

0( 1,2, . ),i i n 故且存在正交矩阵 P ，使 1 2

1 2 1 2, , , ( , , , )n nP AP diag diag

2 11 2( , , , )nA P diag P

1

12

n

P P

1

12

n

P P

2B

1

12

n

B P P

其中 显然 B 为正定阵，且有

2A B

完完

解：一、1 、

11 22 33 44a a a a

1 2 3 4 1 3 4 5 13

1 2 3 4 1 3 4 5 60.A

2 、 A 经过第一行与第二行交换，再进行第一列与第二列交换，然后第二行与第三行交换，再进行第二列与第三列交换即得 B 。而每次初等行变换相当于用一个初等矩阵左乘矩阵 A ，每次列变换相当于用一个初等矩阵右乘矩阵 A 。所用的初等矩阵为

1 2

0 0 1

1 0 0

0 1 0

P PP

因为 11 1P P 1

2 2P P ，1 1

2 1 1 2P P APP B 所以

1

0 1 0

1 0 0

0 0 1

P

，

2

1 0 0

0 0 1

0 1 0

P

，