КВАНТОВЫЕ СИСТЕМЫ, КАНАЛЫ, ИНФОРМАЦИЯ

КВАНТОВЫЕ СИСТЕМЫ, КАНАЛЫ, ИНФОРМАЦИЯ

А. С. Холево

Математический институт им. В. А. Стеклова РАН

• Немного истории

• Общее понятие канала

• Квантовая теорема кодирования

• Проблема аддитивности 

• Сцепленность квантовых состояний

• Каналы, разрушающие сцепленность

• Другие темы

Теория информации

• Дата рождения: середина XX в, 1940-1950е.

Цифровое представление и обработка данных, коды сжатия данных, исправления ошибок,…

• Концепции: случайный источник, энтропия, канал, код, пропускная способность, …

• Методы: теория вероятностей, дискретная математика, комбинаторная геометрия,…

К Т И• Дата рождения: вторая половина XX в.

Математические основы – 1970е.

Новая волна (квантовая криптография,

коммуникационные протоколы,

эффективные алгоритмы) – 1990е

• Концепции: квантовое состояние, энтропия, канал, пропускные способности, сцепленность…

• Методы: некоммутативная теория вероятностей, алгебры операторов, полилинейная алгебра, случайные матрицы,…

Передача информации

w’ =1001…11… w =1101…01…

кодирование канал декодирование

Вероятность ошибки P{w’≠w}

Пропускная способность канала

состояние на входе Sw

состояние на выходе Sw’

Процедура измерения

результат y параметры x

приготовление динамика измерение

Точность измерения

Оптимальная процедура ?

состояние на входе Sx

состояние на выходе Sx’

Статистические состояния систем

(dim H<∞)

Ф-М словарь• Система (носитель информации) = С*-алгебра операторов A ⊆B(H)

• Классическая система = коммутативная алгебра C(X)

• Квантовая система = алгебра всех операторов B(H)

• Составные системы A⊗B. Гибридные системы

A11

Akk

a22

a33

…

……

…

0

0

Структура алгебры

Состояния• Состояние = линейный положительный нормированный

функционал E(X), X∈ A (математическое ожидание)

• Выпуклое множество состояний Σ(A) ⊆ A*. • Классическое состояние ← распределение

вероятностей P на X

• Квантовое состояние ← оператор плотности ρ в H

}Tr,:{)(

)(Tr)E(

10

H

HBX X, X

p1

p2

……

…

…

…

0

0..

pk

ρ =UU*

P = [p1, p2, …, pk], pj≥0, ∑ pj=1

Классические и квантовые состояния

Классический бит

0

1

Квантовый бит „q-бит“

Симплекс Пространство состояний

……

e

Пример: элементарные системы

Классические и квантовые каналы

Канал = линейное положительное нормированное отображение

ноположитель; 1,2,...n Idn

ρ ρ’

nId

12 12'

X’X *

вполне

Φ: A* → B*Φ*: B → A

⊗

Произведение каналов

)Id()Id( 212121

1

2Id

12 '12

2

1Id⊗ ⊗

Структура канала

• Теорема СтайнспрингаТеорема Стайнспринга: Отображение Φ*:B → B (H) вполне положительно ⇔ Φ* расширяется до *-гомоморфизма π:

• СледствиеСледствие:: [квантовый канал, ]

V VXVX KH :,)()( **

IVV VV

VV)(

:V

jj

*j

j

*jj

AA

CBA

BA

C

;

Tr

изометрия

)(),(

*

H

HHH

HBBHBA

Открытая квантовая система

окружение

система

⊗U

Φ(ρ)

Φ(ρ)=Tr0U(ρ⊗ρ0)U*

ΦI(ρ)

ρ

ρ0

(Полу)классические каналы

• A или B коммутативна: положительность Φ ⇔ полная положительность

• A и B коммутативны: классический канал = марковский оператор

• A=C(X) : приготовление состояния (кодирование)

• B=C(Y) : измерение (декодирование) разложение единицы:

xxxP

x

pP

x

IM M

MyP

yyy

y

,

Tr)(

0

Теорема кодирования

Гипотеза аддитивностиСцепленность против аддитивности

Пропускная способность

0n

DE ww RC 'Pmin:sup)( ,

w’=1001…11

классическаяинформация

вероятностьошибки P{w’≠w}

w=1101…01

классическаяинформация: сообщений

⊗ ⋮ n⊗

кодирование E декодирование D

Классическая пропускная способность:

nR2

Теорема кодирования (Теорема кодирования (HSWHSW))

H

HppHC

jj

j

xxx

xxx

p xx

энтропияквантовая

loglogTr)(

))(())((max)(,

ансамбль условная выходная энтропия выходная энтропия

nCC nn /)(lim)(

χ

Гипотеза аддитивности

каналових классическ для явыполняетс

, для

)(C)(C)(C

)(C)(Clim)C(

ьспособност пропускная аяклассическ

);(C)(C

всех

n

n n

nn

n

21

2121

1

?

?

Что мешает доказать это для квантовых каналов?

Сцепленность квантовых состояний

Разделимые состояния в

Не-разделимые = сцепленные состояния: Пример:

j

jj P

conv cl

21

2112

21

,

:HH

Сцепленность против аддитивности

йкодировани разделимых только ниемиспользова с

ьспособност пропускная аяклассическ)(C

состояний разделимых ансамблям по только

max)(C)(C

ансамблям всем поmax)(C

12

12

21

21

V ? ⇒! (Hastings, 2008)

Разделимое кодирование

классическая

информация

классическая

информация

.

. n

.

разделимое сцепленное кодирование декодирование

Пропускная способность:

)()( CC

Разделимые кодирование/декодирование

)()( CCShannon

классическая

информация

классическая

информация

.

. n

.

разделимое разделимое кодирование декодирование

Пропускная способность:

Аддитивность: кодированиесцепленными состояниями

не увеличивает проп. способность

• Классические каналы

• q-битные бистохастические каналы (dim H=2)

• Деполяризующие каналы и др. (dim H<∞)

√ Каналы, разрушающие сцепленность, и комплементарные к ним (dim H≤∞)

√ Бозонные гауссовские каналы (dim H=∞) ???

Каналы, разрушающие сцепленность

)(dim H

Каналы, разрушающие сцепленность

nIdсцепленное 12

разделимое' -12

Для РС-каналов гипотеза аддитивности выполняется в наиболее сильной форме (Shor; Широков)

Структура РС-канала

ТТ. Канал Φ разрушает сцепленность ⇔

Φ(ρ) = ∫ρx Pρ(dx), Pρ(B)=Tr ρM(B) X разложение

единицы

ρ измерение x приготовление ρ’

M ρx

Комплементарные каналы

2121

~,

~и,пар для ноодновремен

выполнена тиаддитивнос Гипотеза

*Tr~

Tr

гаСтайнспринизометрия

~

VV)(

*VV)(

:V

B

V A

С

AA

AA

CBA

B

C

H

H

HHH

Т.Т.

{РС-каналы}~={диагональные каналы}

21

~,

~каналовых диагональн для

выполнена тиаддитивнос Гипотеза

~)()(

~

всех

B

V A

С

Адамараие произведен

Построение изометрии VТТ. Φ РС-канал ⇔

D

YHHHH

HY

D

DYHDY

HH

Y

a(y)b(y)yV

L V

1b(y) b(y)

, dya(y)

a(y) , ,

2CCBA

B

A

BA

,))((

),(,:

:,:

,)(

,':,22

Комплементарный канал Φ РС-канал ⇔

канал)(dephasing ыйдиагональн

)),(()(:~

),()(

:,:

,)(

,':,

L в ядро ,yy)b(y)b(y

dya(y)b(y)b(y)

1b(y) b(y)

, dya(y)

a(y) , ,

2

B

A

BA

Y

D

HY

D

DYHDY

HH

Y

Y

1212

2

22

Бозонные системы

Классическая система ⇐симплектическое пространство (Z,Δ)

Квантование ⇐система Вейля в H, ККС:

W(z1) W(z2) = exp (iz1TΔz2) W(z2) W(z1)

Бозонный канал: (HA,WA) → (HB,WB)

Открытая бозонная система

окружение

система

⊗

квадратичныйгамильтониан

U

Φ(ρ)=Tr0U(ρ⊗ρ0)U*

ρ

ρ0

гауссовское

состояние

Критерий РС для бозонных гауссовских каналов

)(Tr*)()()(

,,

][

]exp[)())((*

BABB

Z

BBB

AT

B

AT

B

BT

BBBABB

dzMzWzW

KK2

i

2

i

KK2

i

z z2

1ilzKzWzW

B

ТТ. Бозонный гауссовский канал ΦK,l,α разрушает сцепленность ⇔

Пример: аттенюатор/усилитель

a0: <a0*a0>=N

a’ a k

)()(

*,'

,'

CC

k1,minN PC

1k a kkaa

1,k akkaa

2

02

02

1

1

Аттенюатор/усилитель a0: <a0*a0>=N

a’ a k

)()(

log)log()()(

)(

*

)()()()()(

Gauss

Gauss

CC

xxxxxg

NkN

E aa

CNgNEkg CC

11

120

002

??

Другие направления

• Весь спектр пропускных способностей квантового канала

• Квантовые коды, исправляющие ошибки

• Алгоритмы сжатия квантовой информации

• Некоммутативная теория статистических решений

• Количественные характеристики сцепленности

• Сложность квантовых вычислений

• Квантовые криптографические протоколы

А. С. ХолевоА. С. Холево

КВАНТОВЫЕ СИСТЕМЫ, КВАНТОВЫЕ СИСТЕМЫ,

КАНАЛЫ, ИНФОРМАЦИЯКАНАЛЫ, ИНФОРМАЦИЯ

Использование сцепленностивход↔выход

1110100100…01101000110… ⊗ ⋮ n⊗

сцепленное состояние

ψAB

ρA ρB

Пропускная способность

)(

))(~

())(()(max

)(

C

HHH

Cea

Выигрыш Cea(Φ):C(Φ) = 2 для идеального канала Φ=Id →∞ для шумного канала Φ

Квантовая взаимная информация I(A;B) Аддитивность.

Квантовая информация

01

nDE RQ 'maxmin:sup)( ,

квантоваяинформация:

ρ

⊗ ⋮ n⊗

кодирование E декодирование D

Квантовая пропускная способность:

nR2Hdim

квантоваяинформация:

ρ’

Теорема кодированияТеорема кодирования

))(~

())((max)(

HHQ

выходная энтропия обменная энтропия

nQQ nn /)(lim)(

когерентная информация

• Супераддитивность

• Коды, исправляющие ошибки

• Вычисления, устойчивые к ошибкам

Квантовая информация

⊗

Q(Φ)

Q→(Φ) = Q(Φ)Q←(Φ) ≥ Q(Φ)

0110001010…

1001000111…

Q=0

Q=0

Q>0⊗Q=0

Q=0

Q=0

Пропускные способностис дополнительными ресурсами

C ≨ C← ≨ C↔ ≨ Cea=2Qea

Q ≨ Q← ≨ Q↔ ≨ Qea

≨ ≨ ≨ ≨

• Вместо A* -- предсопряженное пространство A* ,

порожденное нормальными состояниями

• Энтропия «почти всюду» бесконечна, всюду разрывна

• Аналог теоремы кодирования имеет место при ограничениях на входе канала

• Возникают «непрерывные» ансамбли состояний

• Важный класс – «системы с непрерывными переменными»

Hdim

Глобальная эквивалентность

Сχ(Φ) аддитивна для всех каналов ⇔

Ĥ(Φ1 ⊗Φ2)= Ĥ(Φ1)+ Ĥ(Φ2),

где Ĥ(Φ)=minρ H(Φ(ρ)) (Shor)

Подход через р-нормы (AH):

║Φ║1→p=maxρ TrΦ(ρ)p; p>1

мультипликативность p-норм?

Поиски контрпримераМультипликативность p-норм нарушается:

• p≥4,783, dim H =3 (Werner-AH)

Φ(ρ)=(d-1)-1(I- ρT)

--------------------------------------------------------------------

• p>2, dim H →∞ (Winter);

• 1<p≤2, dim H →∞ (Hayden); Метод (неконструктивный): случайные унитарные каналы:

Φ(ρ)=Σj pjUj ρUj*

• Контпример к аддитивности (?), dim H →∞

(Hastings, 2008)

Gaussian channels

Canonical variables (CCR) Gaussian environment Gaussian states Gaussian states Energy constraint

PROP For arbitrary Gaussian channel with energy constraint an optimal generalized ensemble (GE) exists.CONJ Optimal GE is a Gaussian probability measure supported by pure Gaussian states with fixed correlation matrix. (GAUSSIAN CHANNELS HAVE GAUSSIAN OPTIMIZERS?)

Holds for c-c, c-q, q-c Gaussian channels

------------------------------------------------------------

RRE

RKKRRR

T

ee

'