Цифровая обработка сигналов

20 феврвля 2003 Компьютерная графика Лекция 3 Астана

1

Цифровая обработка сигналов

Лекция 3

Астана, 20 февраля 2003Исползуются материалы из лекции А. Ван Дама

20 феврвля 2003 Компьютерная графика Лекция 3 Астана

2

Междисциплинарность

20 феврвля 2003 Компьютерная графика Лекция 3 Астана

3

Сигналы и системы

20 феврвля 2003 Компьютерная графика Лекция 3 Астана

4

Однородность

20 феврвля 2003 Компьютерная графика Лекция 3 Астана

5

Аддитивность

20 феврвля 2003 Компьютерная графика Лекция 3 Астана

6

Линейные системы

• y(t) = L{x(t)}

• L{af + bg} = aL{f} + bL{g}

•L{ag} = aL{g}

•L{f + g} = L{f} + L{g}

20 феврвля 2003 Компьютерная графика Лекция 3 Астана

7

Инвариантность к сдвигу

20 феврвля 2003 Компьютерная графика Лекция 3 Астана

8

Инвариантность по времени

• if y(t) = f(x(t)), then y(t-T) = f(x(t-T))

• if y[n] = f(x[n]), then y[n-m] = f(x [n-m])

20 феврвля 2003 Компьютерная графика Лекция 3 Астана

9

СВЕРТКА

Convolution

20 феврвля 2003 Компьютерная графика Лекция 3 Астана

10

Дискретизация во временной области

i

inixnx ][][][

0,0

0,1][

n

nn

20 феврвля 2003 Компьютерная графика Лекция 3 Астана

11

Дельта-функцияИмпульсный отклик

20 феврвля 2003 Компьютерная графика Лекция 3 Астана

12

Свертка в ЦОС (DSP)

k

khknxny ][][][

20 феврвля 2003 Компьютерная графика Лекция 3 Астана

13

Свертка

dttgtxfxgxf )()()()(

• Свертка (перемножение) двух функций эквивалентна перемножению (свертке) их образов Фурье

• Фильтрация: умножение на фильтр в частотной области или свертка в пространственной.

20 феврвля 2003 Компьютерная графика Лекция 3 Астана

14

Свертка с прямоугольным ядром

20 феврвля 2003 Компьютерная графика Лекция 3 Астана

15

Дискретная свертка

1

0

1

0

L

Ll

M

Mmmlmjliji gfhgfh ,,,:

• g называется фильтромфильтром или ядром сверткиядром свертки• Замечание: с точки зрения математики f и g

абсолютно равноправны...

• Двумерный случай

20 феврвля 2003 Компьютерная графика Лекция 3 Астана

16

Пример свертки

20 феврвля 2003 Компьютерная графика Лекция 3 Астана

17

Комоненты выходного сигнала

20 феврвля 2003 Компьютерная графика Лекция 3 Астана

18

Два способа вычисления выходного сигнала

• Каждая точка сигнала превращается в функцию h ( в нужную точку и умноженную на величину данной точки сигнала ), а потом все эти функции складываются.

• Вычисляется значение каждой точки в результирующем сигнале как взвешенная сумма некоторого множества соседних точек исходного сигнала. Коэффициенты этой суммы совпадают с импульсной характеристикой линейной системы, развернутой относительно точки 0.

20 феврвля 2003 Компьютерная графика Лекция 3 Астана

19

Машина свертки

20 феврвля 2003 Компьютерная графика Лекция 3 Астана

20

Анализ Фурье

The Discrete Fourier Transform

20 феврвля 2003 Компьютерная графика Лекция 3 Астана

21

Преобразование Фурье

dxxixfF )exp()()(

dxiFxf )exp()(2

1)(

)(arg)(tg,)()( FFA

• Преобразование Фурье (образ Фурье):

• Обратное преобразование Фурье:

Преобразование Фурье

20 феврвля 2003 Компьютерная графика Лекция 3 Астана

22

Дискретный случай

2

0

2

0

2

0

)(2cos

2sin

2cos][

N

k

kk

N

kk

N

kk N

nkC

N

knB

N

knAnx

1

0

2cos][

2 N

ik N

kiix

NA

1

0

2cos][

1 N

ik N

kiix

NA

1

0

2sin][

2 N

ik N

kiix

NB

12

,...,1 N

k

2,0

Nk

2,...,0

Nk

20 феврвля 2003 Компьютерная графика Лекция 3 Астана

23

Ряд Фурье для прямоугольного импульса

20 феврвля 2003 Компьютерная графика Лекция 3 Астана

24

Спектр некоторых функций

20 феврвля 2003 Компьютерная графика Лекция 3 Астана

25

Пример преобразования Фурье

0 50 100 150 200 2500

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

)(xf

)(F

-100 -50 0 50 100-10

0

10

20

30

40

50

60

70

80

20 феврвля 2003 Компьютерная графика Лекция 3 Астана

26

Низкочастотная фильтрация

)(xf

)(F

-100 -50 0 50 100-10

0

10

20

30

40

50

60

70

80

0 50 100 150 200 2500

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

20 феврвля 2003 Компьютерная графика Лекция 3 Астана

27

Фильтрация

• Фильтрация — выделение (или подавление) частотных составляющих сигнала.

• ФильтрФильтр — функция, осуществляющая фильтрацию.

• Высоко-Высоко- и низкочастотныенизкочастотные фильтры. (High-pass and low-pass filters)

Фильтрация

20 феврвля 2003 Компьютерная графика Лекция 3 Астана

28

Фильтры низкой и высокой частоты

20 феврвля 2003 Компьютерная графика Лекция 3 Астана

29

Гауссиан (sigma=16)

20 феврвля 2003 Компьютерная графика Лекция 3 Астана

30

Гауссиан (sigma=32)

20 феврвля 2003 Компьютерная графика Лекция 3 Астана

31

2-D Gaussian kernel

20 феврвля 2003 Компьютерная графика Лекция 3 Астана

32

Размытие (blur)

1

121

1

6

1

20 феврвля 2003 Компьютерная графика Лекция 3 Астана

33

Размытие (прод)

12321

24542

35653

24542

12321

74

1

20 феврвля 2003 Компьютерная графика Лекция 3 Астана

34

Увеличение резкости

1

151

1

20 феврвля 2003 Компьютерная графика Лекция 3 Астана

35

Свертка - дифференцирование

20 феврвля 2003 Компьютерная графика Лекция 3 Астана

36

Выделение контура

1

141

1

+ порог

20 феврвля 2003 Компьютерная графика Лекция 3 Астана

37

Тиснение

1

101

1

+ сдвиг яркости

20 феврвля 2003 Компьютерная графика Лекция 3 Астана

38

Примеры фильтров

• Размытие (blur)

20 феврвля 2003 Компьютерная графика Лекция 3 Астана

39

Примеры фильтров

• Повышение четкости (sharpen)

20 феврвля 2003 Компьютерная графика Лекция 3 Астана

40

Примеры фильтров

• Нахождение границ (edges)

20 феврвля 2003 Компьютерная графика Лекция 3 Астана

41

Примеры фильтров

• Тиснение (embossing)

20 феврвля 2003 Компьютерная графика Лекция 3 Астана

42

Как работает маска фильтра

20 феврвля 2003 Компьютерная графика Лекция 3 Астана

43

Масштабирование изображений

Scaling Up and Down

20 феврвля 2003 Компьютерная графика Лекция 3 Астана

44

Растянуть сигнал

20 феврвля 2003 Компьютерная графика Лекция 3 Астана

45

Реконструкция сигнала

20 феврвля 2003 Компьютерная графика Лекция 3 Астана

46

Повторная дискретизация

20 феврвля 2003 Компьютерная графика Лекция 3 Астана

47

Нужна ли реконструкция?

20 феврвля 2003 Компьютерная графика Лекция 3 Астана

48

Треугольный фильтр

20 феврвля 2003 Компьютерная графика Лекция 3 Астана

49

Вычисление нового значения

20 феврвля 2003 Компьютерная графика Лекция 3 Астана

50

Вычисление нового значения

20 феврвля 2003 Компьютерная графика Лекция 3 Астана

51

Увеличение в 3 раза

20 феврвля 2003 Компьютерная графика Лекция 3 Астана

52

Увеличение в 2 раза

20 феврвля 2003 Компьютерная графика Лекция 3 Астана

53

Свертка

20 феврвля 2003 Компьютерная графика Лекция 3 Астана

54

Ядро свертки

20 феврвля 2003 Компьютерная графика Лекция 3 Астана

55

Универсальный фильтр

20 феврвля 2003 Компьютерная графика Лекция 3 Астана

56

Псевдокод Вычисление значения пиксела k в целевом изображении  

function h-hat(int k, float a){ //returns float float sum = 0, weights_sum = 0; int left, right; if (a > 1){

left = ceil(k/a - 1.0); right = floor(k/a + 1.0);

} else { left = ceil(k/a - 1.0/a); right = floor(k/a + 1.0/a);

} for (int i = left; i <= right, i++){

sum += g(i - k/a, a) * orig_image.Pi;

weights_sum += g(i - k/a, a); } result = sum/weights_sum;

}

20 феврвля 2003 Компьютерная графика Лекция 3 Астана

57

Двумерный случай

20 феврвля 2003 Компьютерная графика Лекция 3 Астана

58

Квадратная маска

20 феврвля 2003 Компьютерная графика Лекция 3 Астана

59

Материалы для чтения

Задание №2. Цифровая обработка сигналов.

http://graphics.cs.msu.su/courses/cg02b/

assigns/hw-2/hw2.html

А. Лукин «Введение в цифровую обработку сигналов»

http://graphics.cs.msu.su/courses/cg02b/

library/dspcourse.pdf