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デジタル情報処理デジタル情報処理
標本化定理プ(サンプリング定理)
Sampling TheoremSampling Theorem
佐藤 嘉伸yoshi@image.med.osaka-u.ac.jp
http://www.image.med.osaka-u.ac.jp/member/yoshi/p g jp y
アナログ信号アナログ信号1000
800
600
400
600
400
200
100 200 300 400 500
アナログ信号のデジタル化
1000標本化(サンプリング)
(計算機に入力するため )連続信号から離散的な信号値
800
(計算機に入力するため、)連続信号から離散的な信号値の系列を取り出す。通常、一定間隔で信号値を取り出す。この操作を標本化(サンプリング)という。
600
この操作を標本化(サンプリング)という。
400
600
400
200
100 200 300 400 500
アナログ信号のデジタル化
1000標本化(サンプリング)
(計算機に入力するため )連続信号から離散的な信号値
800
(計算機に入力するため、)連続信号から離散的な信号値の系列を取り出す。通常、一定間隔で信号値を取り出す。この操作を標本化(サンプリング)という。
600
この操作を標本化(サンプリング)という。
400
600
400
200
100 200 300 400 500
アナログ信号のデジタル化
1000標本化(サンプリング)
(計算機に入力するため )連続信号から離散的な信号値
800
(計算機に入力するため、)連続信号から離散的な信号値の系列を取り出す。通常、一定間隔で信号値を取り出す。この操作を標本化(サンプリング)という。
600
この操作を標本化(サンプリング)という。
687
400
600
420400
232
375290 270
200 1453
126181
100 200 300 400 500
アナログ信号のデジタル化
1000標本化(サンプリング)
疑問点 このような広い間隔で標本化すれば 元の
800
疑問点:このような広い間隔で標本化すれば、元の連続信号の情報はかなり失われるのではないか?
600
400
600
400
200
100 200 300 400 500
アナログ信号のデジタル化
1000標本化(サンプリング)
疑問点 この間隔で 情報の損失はどの程度か?
800
疑問点:この間隔で、情報の損失はどの程度か?
600
400
600
400
200
100 200 300 400 500
アナログ信号のデジタル化
1000標本化(サンプリング)
疑問点 ここまで小さい間隔なら 情報の損失は無
800
疑問点:ここまで小さい間隔なら、情報の損失は無視できる程度では? しかし、保証はあるのか?
600
400
600
400
200
100 200 300 400 500
アナログ信号のデジタル化
1000標本化(サンプリング)
「標本化定理 疑問点 対する答 を与
800
「標本化定理」は、疑問点に対する答えを与える。標本化定理は 情報 損失が さ 無 すなわち
600
標本化定理は、情報の損失がいっさい無い、すなわち、元の連続信号を完全に復元するための標本化間隔の条件を与える
400
600 与える。
400
200
100 200 300 400 500
標本化定理(サンプリング定理)1 0 0 0
8 0 0
1 0 0 0
元の連続信号
4 0 0
6 0 0
100001 0 0 2 0 0 3 0 0 4 0 0 5 0 0
2 0 0
空間軸時間軸
8000
10000
そのフーリエ変換
時間軸
4000
6000
2000
周波数50 100 150 200 250
周波数
標本化定理(サンプリング定理)1 0 0 0
8 0 0
1 0 0 0
元の連続信号
4 0 0
6 0 0
100001 0 0 2 0 0 3 0 0 4 0 0 5 0 0
2 0 0
空間軸時間軸
8000
10000 時間軸
そのフーリエ変換
4000
6000 仮定; 元の連続信号が帯域制限されている = ある最大周波数以下の周
2000
周波数
波数成分しか含まない。
50 100 150 200 250周波数
最大周波数ωmax
標本化定理(サンプリング定理)1 0 0 0
8 0 0
1 0 0 0
元の連続信号
4 0 0
6 0 0
1 0 0 2 0 0 3 0 0 4 0 0 5 0 0
2 0 0
空間軸時間軸
0 . 5
1 時間軸
- 3 - 2 - 1 1 2 3
- 0 . 5
- 1
最大周波数ωmaxの正弦波周期 半分( ) 間隔 標本化の周期の半分(以下)の間隔で標本化
すれば、情報の損失は全く無い。
標本化定理(サンプリング定理)1 0 0 0
8 0 0
1 0 0 0
元の連続信号
4 0 0
6 0 0
1 0 0 2 0 0 3 0 0 4 0 0 5 0 0
2 0 0
空間軸時間軸
0 . 5
1 時間軸周期 T
- 3 - 2 - 1 1 2 3
- 0 . 5
- 1
最大周波数ωmaxの正弦波の周期 T の半分(以下)の間隔で標本の周期 T の半分(以下)の間隔で標本化すれば、情報の損失は全く無い。
標本化定理(サンプリング定理)1 0 0 0
8 0 0
1 0 0 0
元の連続信号
4 0 0
6 0 0
1 0 0 2 0 0 3 0 0 4 0 0 5 0 0
2 0 0
空間軸時間軸
0 . 5
1 時間軸
- 3 - 2 - 1 1 2 3
- 0 . 5
- 1
最大周波数ωmaxの正弦波周期 半分( ) 間隔 標本化の周期の半分(以下)の間隔で標本化
すれば、情報の損失は全く無い。
標本化定理(サンプリング定理)1 0 0 0
8 0 0
1 0 0 0
元の連続信号
4 0 0
6 0 0
1 0 0 2 0 0 3 0 0 4 0 0 5 0 0
2 0 0
空間軸時間軸
0 . 5
1 時間軸
- 3 - 2 - 1 1 2 3
- 0 . 5
- 1
最大周波数ωmaxの正弦波周期 半分( ) 間隔 標本化の周期の半分(以下)の間隔で標本化
すれば、情報の損失は全く無い。
標本化定理(サンプリング定理)1 0 0 0
8 0 0
1 0 0 0
元の連続信号
4 0 0
6 0 0
1 0 0 2 0 0 3 0 0 4 0 0 5 0 0
2 0 0
空間軸時間軸時間軸
復元可能
離散的な信号値の系列
標本化定理(サンプリング定理)の証明
• おおまかな手順– 標本化(サンプリング)された連続信号を数学的に表現する。
– これをフーリエ変換する。• 周波数領域において、情報の損失の有無がはっき周波数領域において、情報の損失の有無がはっきりと確認できる。
– 周波数領域において、元の信号成分のみを周波数領域において、元の信号成分のみを取り出す。
– 逆フーリエ変換する– 逆フ リエ変換する。
• 元の連続信号になっているはずである。
標本化定理(サンプリング定理)の証明1 0 0 0
6 0 0
8 0 0
1 0 0 0
元の連続信号 f (x)
2 0 0
4 0 0
1 0 0 2 0 0 3 0 0 4 0 0 5 0 0
くし型関数 Comb(x)x
くし型関数 Comb(x)
x
離散的な信号値の系列
f (x) Comb(x)
x
標本化定理(サンプリング定理)の証明
離散的な信号値の系列
f (x) Comb(x)f (x) Comb(x)
x
フーリエ変換
8 0 0 0
1 0 0 0 0
2 0 0 0
4 0 0 0
6 0 0 0
5 0 0 1 0 0 0 1 5 0 0 2 0 0 0
標本化定理(サンプリング定理)の証明
8 0 0
1 0 0 0
元の連続信号 f (x)
2 0 0
4 0 0
6 0 0
1 0 0 2 0 0 3 0 0 4 0 0 5 0 0
2 0 0
フーリエ変換
8 0 0 0
1 0 0 0 0
8 0 0 0
1 0 0 0 0
2 0 0 0
4 0 0 0
6 0 0 0
2 0 0 0
4 0 0 0
6 0 0 0
5 0 0 1 0 0 0 1 5 0 0 2 0 0 05 0 0 1 0 0 0 1 5 0 0 2 0 0 0
標本化定理(サンプリング定理)の証明
離散的な信号値の系列
f (x) Comb(x)f (x) Comb(x)
x
フーリエ変換
8 0 0 0
1 0 0 0 0
2 0 0 0
4 0 0 0
6 0 0 0
5 0 0 1 0 0 0 1 5 0 0 2 0 0 0
標本化定理(サンプリング定理)の証明
離散的な信号値の系列
f (x) Comb(x)f (x) Comb(x)
x
フーリエ変換矩形関数を掛け算する
8 0 0 0
1 0 0 0 0
2 0 0 0
4 0 0 0
6 0 0 0
5 0 0 1 0 0 0 1 5 0 0 2 0 0 0
標本化定理(サンプリング定理)の証明
元の信号の周波数成分取り出し
8 0 0 0
1 0 0 0 0
2 0 0 0
4 0 0 0
6 0 0 0
5 0 0 1 0 0 0 1 5 0 0 2 0 0 0
標本化定理(サンプリング定理)の証明
逆フーリエ変換
8 0 0 0
1 0 0 0 0
2 0 0 0
4 0 0 0
6 0 0 0
5 0 0 1 0 0 0 1 5 0 0 2 0 0 0
標本化定理(サンプリング定理)の証明
8 0 0
1 0 0 0
元の連続信号 f (x)
2 0 0
4 0 0
6 0 0
1 0 0 2 0 0 3 0 0 4 0 0 5 0 0
2 0 0
逆フーリエ変換
8 0 0 0
1 0 0 0 0
2 0 0 0
4 0 0 0
6 0 0 0
5 0 0 1 0 0 0 1 5 0 0 2 0 0 0
定標本化定理(サンプリング定理)の証明
• 標本化間隔を広くすると、どうなるか?• 標本化間隔を狭くすると、どうなるか?
標本化定理(サンプリング定理)の証明• 標本化間隔を広くすると、どうなるか?
離散的な信号値の系列f (x) Comb(x)
x
フーリエ変換時間・空間領域で広くなれば、周波数領域では狭くなる。 リ 変換
8 0 0 0
1 0 0 0 0
4 0 0 0
6 0 0 0
8 0 0 0
5 0 0 1 0 0 0 1 5 0 0 2 0 0 0
2 0 0 0
標本化定理(サンプリング定理)の証明
離散的な信号値の系列
f (x) Comb(x)
x
フーリエ変換リ 変換
8 0 0 0
1 0 0 0 0
4 0 0 0
6 0 0 0
8 0 0 0
5 0 0 1 0 0 0 1 5 0 0 2 0 0 0
2 0 0 0
標本化定理(サンプリング定理)の証明• 標本化間隔を広くすると、どうなるか?
離散的な信号値の系列f (x) Comb(x)
x
フーリエ変換時間・空間領域で広くなれば、周波数領域では狭くなる。 リ 変換
8 0 0 0
1 0 0 0 0
4 0 0 0
6 0 0 0
8 0 0 0
5 0 0 1 0 0 0 1 5 0 0 2 0 0 0
2 0 0 0
標本化定理(サンプリング定理)の証明
もとの信号の周波数成分は、抽出できない。もとの信号の周波数成分は、抽出できない。
8 0 0 0
1 0 0 0 0
4 0 0 0
6 0 0 0
8 0 0 0
5 0 0 1 0 0 0 1 5 0 0 2 0 0 0
2 0 0 0
標本化定理(サンプリング定理)の証明
• 標本化間隔を狭くすると、どうなるか?離散的な信号値の系列
f (x) Comb(x)
x
フーリエ変換時間・空間領域で狭くなれば、周波数領域では広くなる。 リ 変換
8 0 0 0
1 0 0 0 0
8 0 0 0
1 0 0 0 0
4 0 0 0
6 0 0 0
8 0 0 0
4 0 0 0
6 0 0 0
8 0 0 0
5 0 0 1 0 0 0 1 5 0 0 2 0 0 0
2 0 0 0
5 0 0 1 0 0 0 1 5 0 0 2 0 0 0
2 0 0 0
標本化定理(サンプリング定理)の証明
もとの信号の周波数成分は、余裕も持って抽出できる。もとの信号の周波数成分は、余裕も持って抽出できる。
8 0 0 0
1 0 0 0 0
4 0 0 0
6 0 0 0
8 0 0 0
5 0 0 1 0 0 0 1 5 0 0 2 0 0 0
2 0 0 0
演習問題:Mathematicaによる「標本化定理」の証明授業ホ ムペ ジ(• 授業ホームページ(www.image.med.osaka-u.ac.jp/member/yoshi/の授業ページ)の、以下のデジタル信号データファイルをダウンロードせよ。ドせよ。– 信号データ(「標本化定理」演習用) 連続信号データファイル
• データファイル(長さ8192)信号振幅1倍信号振幅1倍
– くし型関数データ(「標本化定理」演習用)• データファイル(長さ8192)
– 間隔8– 間隔16– 間隔32間隔64– 間隔64
– 間隔128– 矩形関数データ(「標本化定理」演習用)
デ タフ イル(長さ8192)• データファイル(長さ8192)– 幅512 (くし型関数 間隔8 に対応)
– 幅256 (くし型関数 間隔16 に対応)
幅128 (くし型関数 間隔32 に対応)– 幅128 (くし型関数 間隔32 に対応)
– 幅64 (くし型関数 間隔64 に対応)
– 幅32 (くし型関数 間隔128 に対応)
演習問題:Mathematicaによる「標本化定理」の証明授業ホ ムペ ジ(• 授業ホームページ(www.image.med.osaka-u.ac.jp/member/yoshi/の授業ページ)の、以下のデジタル信号データファイルをダウンロードせよ。ドせよ。– 信号データ(「標本化定理」演習用)
• グラフとして、プロットする。フ リエ変換して グラフとしてプロットする• フーリエ変換して、グラフとしてプロットする。
– くし型関数データ(「標本化定理」演習用)• データファイル(長さ8192)
初 び グ プ– 最初は、間隔16を選び、グラフとしてプロットする。– 信号データ(連続信号)と「くし型関数」を掛け算して(標本化を行って)、グラフとしてプロットする。
それをフーリエ変換して グラフとしてプロットする– それをフ リエ変換して、グラフとしてプロットする。
– 矩形関数データ(「標本化定理」演習用)• データファイル(長さ8192)
幅256 (間隔16に対応)を選び グラフとしてプロットする– 幅256 (間隔16に対応)を選び、グラフとしてプロットする。– さきほどのフーリエ変換の結果と掛け算して、グラフとしてプロットする。– それを逆フーリエ変換して、グラフとしてプロットする。
» この結果は 標本化された離散値の系列から復元されたものである» この結果は、標本化された離散値の系列から復元されたものである。» 標本化する前の信号データのプロットと比較する。
以上を、異なる標本化間隔でもやってみる。
演習問題:Mathematicaによる「標本化定理」の証明
• 標本化間隔が広い場合(例えば、間隔64の場合)には、元の連続波形を復元することができなくなる。そのような場合に、適切続波形を復元することができなくなる。そのような場合に、適切な連続波形復元を行えるようにするために、どのような前処理を行えばよいか? 考えよ。
考えた方法をM h i で実装して その有効性を確かめよ• 考えた方法をMathematicaで実装して、その有効性を確かめよ。
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