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デジタル情報処理デジタル情報処理
標本化定理プ（サンプリング定理）
Sampling TheoremSampling Theorem
佐藤 嘉伸[email protected]
http://www.image.med.osaka-u.ac.jp/member/yoshi/p g jp y
アナログ信号アナログ信号1000
800
600
400
600
400
200
100 200 300 400 500
アナログ信号のデジタル化
1000標本化（サンプリング）
（計算機に入力するため ）連続信号から離散的な信号値
800
（計算機に入力するため、）連続信号から離散的な信号値の系列を取り出す。通常、一定間隔で信号値を取り出す。この操作を標本化（サンプリング）という。
600
この操作を標本化（サンプリング）という。
400
600
400
200
100 200 300 400 500
アナログ信号のデジタル化
1000標本化（サンプリング）
（計算機に入力するため ）連続信号から離散的な信号値
800
（計算機に入力するため、）連続信号から離散的な信号値の系列を取り出す。通常、一定間隔で信号値を取り出す。この操作を標本化（サンプリング）という。
600
この操作を標本化（サンプリング）という。
400
600
400
200
100 200 300 400 500
アナログ信号のデジタル化
1000標本化（サンプリング）
（計算機に入力するため ）連続信号から離散的な信号値
800
（計算機に入力するため、）連続信号から離散的な信号値の系列を取り出す。通常、一定間隔で信号値を取り出す。この操作を標本化（サンプリング）という。
600
この操作を標本化（サンプリング）という。
687
400
600
420400
232
375290 270
200 1453
126181
100 200 300 400 500
アナログ信号のデジタル化
1000標本化（サンプリング）
疑問点 このような広い間隔で標本化すれば 元の
800
疑問点：このような広い間隔で標本化すれば、元の連続信号の情報はかなり失われるのではないか？
600
400
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200
100 200 300 400 500
アナログ信号のデジタル化
1000標本化（サンプリング）
疑問点 この間隔で 情報の損失はどの程度か？
800
疑問点：この間隔で、情報の損失はどの程度か？
600
400
600
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アナログ信号のデジタル化
1000標本化（サンプリング）
疑問点 ここまで小さい間隔なら 情報の損失は無
800
疑問点：ここまで小さい間隔なら、情報の損失は無視できる程度では？ しかし、保証はあるのか？
600
400
600
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200
100 200 300 400 500
アナログ信号のデジタル化
1000標本化（サンプリング）
「標本化定理 疑問点 対する答 を与
800
「標本化定理」は、疑問点に対する答えを与える。標本化定理は 情報 損失が さ 無 すなわち
600
標本化定理は、情報の損失がいっさい無い、すなわち、元の連続信号を完全に復元するための標本化間隔の条件を与える
400
600 与える。
400
200
100 200 300 400 500
標本化定理（サンプリング定理）1 0 0 0
8 0 0
1 0 0 0
元の連続信号
4 0 0
6 0 0
100001 0 0 2 0 0 3 0 0 4 0 0 5 0 0
2 0 0
空間軸時間軸
8000
10000
そのフーリエ変換
時間軸
4000
6000
2000
周波数50 100 150 200 250
周波数
標本化定理（サンプリング定理）1 0 0 0
8 0 0
1 0 0 0
元の連続信号
4 0 0
6 0 0
100001 0 0 2 0 0 3 0 0 4 0 0 5 0 0
2 0 0
空間軸時間軸
8000
10000 時間軸
そのフーリエ変換
4000
6000 仮定； 元の連続信号が帯域制限されている ＝ ある最大周波数以下の周
2000
周波数
波数成分しか含まない。
50 100 150 200 250周波数
最大周波数ωmax
標本化定理（サンプリング定理）1 0 0 0
8 0 0
1 0 0 0
元の連続信号
4 0 0
6 0 0
1 0 0 2 0 0 3 0 0 4 0 0 5 0 0
2 0 0
空間軸時間軸
0 . 5
1 時間軸
- 3 - 2 - 1 1 2 3
- 0 . 5
- 1
最大周波数ωmaxの正弦波周期 半分（ ） 間隔 標本化の周期の半分（以下）の間隔で標本化
すれば、情報の損失は全く無い。
標本化定理（サンプリング定理）1 0 0 0
8 0 0
1 0 0 0
元の連続信号
4 0 0
6 0 0
1 0 0 2 0 0 3 0 0 4 0 0 5 0 0
2 0 0
空間軸時間軸
0 . 5
1 時間軸周期 T
- 3 - 2 - 1 1 2 3
- 0 . 5
- 1
最大周波数ωmaxの正弦波の周期 T の半分（以下）の間隔で標本の周期 T の半分（以下）の間隔で標本化すれば、情報の損失は全く無い。
標本化定理（サンプリング定理）1 0 0 0
8 0 0
1 0 0 0
元の連続信号
4 0 0
6 0 0
1 0 0 2 0 0 3 0 0 4 0 0 5 0 0
2 0 0
空間軸時間軸
0 . 5
1 時間軸
- 3 - 2 - 1 1 2 3
- 0 . 5
- 1
最大周波数ωmaxの正弦波周期 半分（ ） 間隔 標本化の周期の半分（以下）の間隔で標本化
すれば、情報の損失は全く無い。
標本化定理（サンプリング定理）1 0 0 0
8 0 0
1 0 0 0
元の連続信号
4 0 0
6 0 0
1 0 0 2 0 0 3 0 0 4 0 0 5 0 0
2 0 0
空間軸時間軸
0 . 5
1 時間軸
- 3 - 2 - 1 1 2 3
- 0 . 5
- 1
最大周波数ωmaxの正弦波周期 半分（ ） 間隔 標本化の周期の半分（以下）の間隔で標本化
すれば、情報の損失は全く無い。
標本化定理（サンプリング定理）1 0 0 0
8 0 0
1 0 0 0
元の連続信号
4 0 0
6 0 0
1 0 0 2 0 0 3 0 0 4 0 0 5 0 0
2 0 0
空間軸時間軸時間軸
復元可能
離散的な信号値の系列
標本化定理（サンプリング定理）の証明
• おおまかな手順– 標本化（サンプリング）された連続信号を数学的に表現する。
– これをフーリエ変換する。• 周波数領域において、情報の損失の有無がはっき周波数領域において、情報の損失の有無がはっきりと確認できる。
– 周波数領域において、元の信号成分のみを周波数領域において、元の信号成分のみを取り出す。
– 逆フーリエ変換する– 逆フ リエ変換する。
• 元の連続信号になっているはずである。
標本化定理（サンプリング定理）の証明1 0 0 0
6 0 0
8 0 0
1 0 0 0
元の連続信号 f (x)
2 0 0
4 0 0
1 0 0 2 0 0 3 0 0 4 0 0 5 0 0
くし型関数 Comb(x)x
くし型関数 Comb(x)
x
離散的な信号値の系列
f (x) Comb(x)
x
標本化定理（サンプリング定理）の証明
離散的な信号値の系列
f (x) Comb(x)f (x) Comb(x)
x
フーリエ変換
8 0 0 0
1 0 0 0 0
2 0 0 0
4 0 0 0
6 0 0 0
5 0 0 1 0 0 0 1 5 0 0 2 0 0 0
標本化定理（サンプリング定理）の証明
8 0 0
1 0 0 0
元の連続信号 f (x)
2 0 0
4 0 0
6 0 0
1 0 0 2 0 0 3 0 0 4 0 0 5 0 0
2 0 0
フーリエ変換
8 0 0 0
1 0 0 0 0
8 0 0 0
1 0 0 0 0
2 0 0 0
4 0 0 0
6 0 0 0
2 0 0 0
4 0 0 0
6 0 0 0
5 0 0 1 0 0 0 1 5 0 0 2 0 0 05 0 0 1 0 0 0 1 5 0 0 2 0 0 0
標本化定理（サンプリング定理）の証明
離散的な信号値の系列
f (x) Comb(x)f (x) Comb(x)
x
フーリエ変換
8 0 0 0
1 0 0 0 0
2 0 0 0
4 0 0 0
6 0 0 0
5 0 0 1 0 0 0 1 5 0 0 2 0 0 0
標本化定理（サンプリング定理）の証明
離散的な信号値の系列
f (x) Comb(x)f (x) Comb(x)
x
フーリエ変換矩形関数を掛け算する
8 0 0 0
1 0 0 0 0
2 0 0 0
4 0 0 0
6 0 0 0
5 0 0 1 0 0 0 1 5 0 0 2 0 0 0
標本化定理（サンプリング定理）の証明
元の信号の周波数成分取り出し
8 0 0 0
1 0 0 0 0
2 0 0 0
4 0 0 0
6 0 0 0
5 0 0 1 0 0 0 1 5 0 0 2 0 0 0
標本化定理（サンプリング定理）の証明
逆フーリエ変換
8 0 0 0
1 0 0 0 0
2 0 0 0
4 0 0 0
6 0 0 0
5 0 0 1 0 0 0 1 5 0 0 2 0 0 0
標本化定理（サンプリング定理）の証明
8 0 0
1 0 0 0
元の連続信号 f (x)
2 0 0
4 0 0
6 0 0
1 0 0 2 0 0 3 0 0 4 0 0 5 0 0
2 0 0
逆フーリエ変換
8 0 0 0
1 0 0 0 0
2 0 0 0
4 0 0 0
6 0 0 0
5 0 0 1 0 0 0 1 5 0 0 2 0 0 0
定標本化定理（サンプリング定理）の証明
• 標本化間隔を広くすると、どうなるか？• 標本化間隔を狭くすると、どうなるか？
標本化定理（サンプリング定理）の証明• 標本化間隔を広くすると、どうなるか？
離散的な信号値の系列f (x) Comb(x)
x
フーリエ変換時間・空間領域で広くなれば、周波数領域では狭くなる。 リ 変換
8 0 0 0
1 0 0 0 0
4 0 0 0
6 0 0 0
8 0 0 0
5 0 0 1 0 0 0 1 5 0 0 2 0 0 0
2 0 0 0
標本化定理（サンプリング定理）の証明
離散的な信号値の系列
f (x) Comb(x)
x
フーリエ変換リ 変換
8 0 0 0
1 0 0 0 0
4 0 0 0
6 0 0 0
8 0 0 0
5 0 0 1 0 0 0 1 5 0 0 2 0 0 0
2 0 0 0
標本化定理（サンプリング定理）の証明• 標本化間隔を広くすると、どうなるか？
離散的な信号値の系列f (x) Comb(x)
x
フーリエ変換時間・空間領域で広くなれば、周波数領域では狭くなる。 リ 変換
8 0 0 0
1 0 0 0 0
4 0 0 0
6 0 0 0
8 0 0 0
5 0 0 1 0 0 0 1 5 0 0 2 0 0 0
2 0 0 0
標本化定理（サンプリング定理）の証明
もとの信号の周波数成分は、抽出できない。もとの信号の周波数成分は、抽出できない。
8 0 0 0
1 0 0 0 0
4 0 0 0
6 0 0 0
8 0 0 0
5 0 0 1 0 0 0 1 5 0 0 2 0 0 0
2 0 0 0
標本化定理（サンプリング定理）の証明
• 標本化間隔を狭くすると、どうなるか？離散的な信号値の系列
f (x) Comb(x)
x
フーリエ変換時間・空間領域で狭くなれば、周波数領域では広くなる。 リ 変換
8 0 0 0
1 0 0 0 0
8 0 0 0
1 0 0 0 0
4 0 0 0
6 0 0 0
8 0 0 0
4 0 0 0
6 0 0 0
8 0 0 0
5 0 0 1 0 0 0 1 5 0 0 2 0 0 0
2 0 0 0
5 0 0 1 0 0 0 1 5 0 0 2 0 0 0
2 0 0 0
標本化定理（サンプリング定理）の証明
もとの信号の周波数成分は、余裕も持って抽出できる。もとの信号の周波数成分は、余裕も持って抽出できる。
8 0 0 0
1 0 0 0 0
4 0 0 0
6 0 0 0
8 0 0 0
5 0 0 1 0 0 0 1 5 0 0 2 0 0 0
2 0 0 0
演習問題：Mathematicaによる「標本化定理」の証明授業ホ ムペ ジ（• 授業ホームページ（www.image.med.osaka-u.ac.jp/member/yoshi/の授業ページ）の、以下のデジタル信号データファイルをダウンロードせよ。ドせよ。– 信号データ（「標本化定理」演習用） 連続信号データファイル
• データファイル（長さ８１９２）信号振幅１倍信号振幅１倍
– くし型関数データ（「標本化定理」演習用）• データファイル（長さ８１９２）
– 間隔８– 間隔１６– 間隔３２間隔６４– 間隔６４
– 間隔１２８– 矩形関数データ（「標本化定理」演習用）
デ タフ イル（長さ８１９２）• データファイル（長さ８１９２）– 幅５１２ （くし型関数 間隔８ に対応）
– 幅２５６ （くし型関数 間隔１６ に対応）
幅１２８ （くし型関数 間隔３２ に対応）– 幅１２８ （くし型関数 間隔３２ に対応）
– 幅６４ （くし型関数 間隔６４ に対応）
– 幅３２ （くし型関数 間隔１２８ に対応）
演習問題：Mathematicaによる「標本化定理」の証明授業ホ ムペ ジ（• 授業ホームページ（www.image.med.osaka-u.ac.jp/member/yoshi/の授業ページ）の、以下のデジタル信号データファイルをダウンロードせよ。ドせよ。– 信号データ（「標本化定理」演習用）
• グラフとして、プロットする。フ リエ変換して グラフとしてプロットする• フーリエ変換して、グラフとしてプロットする。
– くし型関数データ（「標本化定理」演習用）• データファイル（長さ８１９２）
初 び グ プ– 最初は、間隔１６を選び、グラフとしてプロットする。– 信号データ（連続信号）と「くし型関数」を掛け算して(標本化を行って）、グラフとしてプロットする。
それをフーリエ変換して グラフとしてプロットする– それをフ リエ変換して、グラフとしてプロットする。
– 矩形関数データ（「標本化定理」演習用）• データファイル（長さ８１９２）
幅２５６ （間隔１６に対応）を選び グラフとしてプロットする– 幅２５６ （間隔１６に対応）を選び、グラフとしてプロットする。– さきほどのフーリエ変換の結果と掛け算して、グラフとしてプロットする。– それを逆フーリエ変換して、グラフとしてプロットする。
» この結果は 標本化された離散値の系列から復元されたものである» この結果は、標本化された離散値の系列から復元されたものである。» 標本化する前の信号データのプロットと比較する。
以上を、異なる標本化間隔でもやってみる。
演習問題：Mathematicaによる「標本化定理」の証明
• 標本化間隔が広い場合（例えば、間隔６４の場合）には、元の連続波形を復元することができなくなる。そのような場合に、適切続波形を復元することができなくなる。そのような場合に、適切な連続波形復元を行えるようにするために、どのような前処理を行えばよいか？ 考えよ。
考えた方法をM h i で実装して その有効性を確かめよ• 考えた方法をMathematicaで実装して、その有効性を確かめよ。
