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1.2 n 阶行列式的定义. 一、 n 级排列及奇偶性. 定义 1.1. 由数 1,2,…,n 组成的一个有序数组,称为一个 n 级排列. 由 1,2,…,n 所组成的所有不同的 n 级排列共有 n! 个 . 1 2 … n 是唯一的一个按从小到大次序组成的排列 , 称为 n 级标准排列. 例如 ,3 级排列共有 6 个不同的排列,即 1 2 3 2 3 1 3 1 2 1 3 2 2 1 3 3 2 1. 其中 1 2 3 是 3 级标准排列. 定义 1.2. 逆序数为偶数的排列称为 偶排列 ,逆序数为奇数的排列称为 奇排列. 例 1. 例 2. - PowerPoint PPT Presentation
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1.2 n阶行列式的定义
一、 n 级排列及奇偶性定义 1.1
由数 1,2,…,n 组成的一个有序数组,称为一个 n 级排列 .
由 1,2,…,n 所组成的所有不同的 n 级排列共有 n!个 . 1 2 … n 是唯一的一个按从小到大次序组成的排列 , 称为 n 级标准排列 .
例如 ,3 级排列共有 6 个不同的排列,即1 2 3 2 3 1 3 1 21 3 2 2 1 3 3 2 1
其中 1 2 3是 3 级标准排列 .
定义 1.2
逆序数为偶数的排列称为偶排列,逆序数为奇数的排列称为奇排列 .
例 1
例 2
定义 1.3
将一个排列中某两个数的位置互换而其余的数不动,就得到另一个排列,这种对排列的变换方法称为对换 .
例如,排列 2413 经过 2 与 3 兑换后,就得到排列 3412 ;排列 32415 经过2 与 1 兑换后,就得到排列 31425.
由计算逆序数可知,奇排列 2413 变成了偶排列 3412 ;而偶排列 32415 却变成了奇排列 31425.
证明 设排列为
ml bbabaa 11 ml bbbaaa 11
除 外,其它元素的逆序数不改变 .b,a
a b的逆序数不变 ;经对换后 的逆序数增加 1 ,
当 时,ba
任一排列经过一次对换后必改变其奇偶性 .定理 1.1
当 时,ba
经对换后 的逆序数不变 , 的逆序数减少 1.a b
因此对换相邻两个元素,排列改变奇偶性 .
设排列为 nml cbcbabaa 111
现来对换 与a .b
次相邻对换mnml ccbbabaa 111
次相邻对换1mnml ccabbbaa 111
,111 nml cbcbabaa
次相邻对换12 m ,111 nml cacbbbaa
所以一个排列中的任意两个元素对换,排列改变奇偶性 .
nml ccbbbaaa 111
三阶行列式
333231
232221
131211
ααα
ααα
ααα
322113312312332211 aaaaaaaaa
332112322311312213 aaaaaaaaa
规律( 1 )三阶行列式是行列式中取自不同行、不同列的三个元素乘积的代数和(共有 3!=6 项)
二、三阶行列式展开式的规律
6.2
( 2 )每项中三个元素的行指标构成一个三级排列,在式( 2.6 )中,行指标的排列都是标准排列1 2 3 ,列指标构成的三阶排列各不相同,因此式( 2.6 )中每项的一般形式为:
7.2
例如322113 aaa 列标排列的逆序数为
,211312
322311 aaa 列标排列的逆序数为 ,101132
偶排列
奇排列
正号
,负号
.)1(321
321321
)(
333231
232221
131211
jjjjjj aaa
aaa
aaa
aaa
nnnn
n
n
njjjjjjτ
aaa
aaa
aaa
A
aaa
n
nn
n
n
21
22221
11211
21)(
2
记作
.)1(的代数和
个元素的乘积取自不同行不同列的阶行列式等于所有个数组成的由
21
21
三、 n 阶行列式的定义定义 1.4
8.2
为这个排列的逆序数.)(
的一个排列,,,2,1为自然数其中
21
21
n
n
jjjτ
njjj
n
n
n
njjjjjj
jjjτ
nnnn
n
n
aaa
aaa
aaa
aaa
A
21
21
21
21
21
22221
11211
1
10.2
例 3 计算上三角行列式
n
n
nn
a a a
a a
a
11 12 1
22 2
分析
展开式中项的通项是 .21 21 nnjjj ααα
其中不为零的项只有 .2211 nnααα
nn
naaa
2211
121
.2211 nnaaa
解
n
n
nn
a a a
a a
a
11 12 1
22 2
行列式的不同表示方法
niii
iiiτ
n
n αααA 21
)(
21
211
n
nn
nn
jjjjijiji
jjjτiiiταααA
21
2211
2121 )()(1 14.2
16.2
设 是取定的某一固定排列niii
21
n
nn
nn
iiijijiji
jjjτiiiταααA
21
2211
2121 )()(1 15.2
设 是取定的某一固定排列njjj
21
特别 取定标准排列njjj
21
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