140101 Construcción de Una Distribución de Frecuencias

Sheet1Problemas de Distribucin de FrecuenciasEstadstica Descriptiva o Metodolgica.La Estadstica Descriptiva es la parte de la estadstica que describe y resume una serieo conjunto de datos.Para realizar este proceso la Estadstica Descriptiva hace nfasis en tres aspectos:1. La forma de la distribucin. Para describir como estn distribuidos los datos utiliza una herramientallamada Distribucin de Frecuencias y presenta los datos o informacin por medio de tablas(cuadros) y grficas.2. Las medidas de tendencia central y/o de posicin. Estas medidas resumen la informacin a unaspocas cifras que se consideran que representan el conjunto o serie de datos.3. Las medidas de variabilidad. Estas medidas nos indican que tan variables o diferentes son losdatos en general respectos de las medidas de tendencia central o de posicin.Distribucin de Frecuencias.Una distribucin de frecuencias es la disposicin tabular en clases o categoras y las correspondientesfrecuencias de un conjunto o serie de datos.Pasos para la construccin de una Distribucin de Frecuencias1.-Recopilar los datos originales22413545323730263416313338314737254334362933393133313744324119344738322639304235Datos que representan el nmero de meses de duracin de una muestra de40 bateras para automvilesN =402.-Ordenar la informacin3.-Identificar el Mayor y el menor valor2216M =473419m =1625224.-Determinar el Rango Total Recorrido: variabilidad de la variable3325R = M - m4726R =3141265.-Determinar el Nmero Tentativo de Clases o Categorias16294330Existen al menos tres (3) mtodos utilizables para la determinacin del3130nmero tentativo de Clases o Categoras que podramos tener en una3831Distribucin de Frecuencias.3531A.-A travs de la experiencia del investigador3131B.-Utilizando la potencia de 2; es decir 2NIC, me indica el nmero3431mximo deseable de datos asociados con el NIC = nmero de3732intervalos de clases3232C.-Utilizando la Regla de Sturgess que dice que K = nmero tenta-4532tivo de intervalo de clases, se puede determinar con la expresin3333K = 1 + 3.3 x log10 N, donde N = al nmero de datos observados3633o por evaluarRegla de Sturgess4433Nmero de clasesNmero mximo de datosN =402634nic2niclog10 N=1.6020603234532K =NTIC3834664K =6.2867982935712832358256393695123737101024313733376.-Determinar el tamao del intervalo de clases = tic4138tic = R / nic30383039Luego tic = 31/ 6 =5.1666666667redondeamos la cifra y tendremos que el tic =5473939417.-Determinar cul ser el Primer Lmite Inferior de Clase = LIC1941Existen al menos dos (2) mtodos para la determinacin del primer lmite inferior4242A.-El lmite inferior del primer intervalo de clase es un mltiplo del tamao del2643intervalo de clase (tic) igual o menor que el ms pequeo de los datos3744tic =5m =16mltiplo de 5 = 153145esto implicaLic =153447B.-El lmite inferior del primer intervalo es el menor valor observado3547m =16Lic =161,365Ahora podemos proceder con la construccin de dos (2) distribuciones de frecuencia8 A.-Tomando en consideracin el resultado 7.A donde Lic = 15ticClasesLiLsXiFrecuencia51519172LS = Li siguiente -1 =1952024221Li siguiente = Li anterior + tic =2052529274530343215Dados los lmites de cada clase o categora procedemos535393710a agrupar los datos de acuerdo a la clase a la cual correspondan54044425Para ello iremos a la columna de datos ordenados y realizaremos54549473dicho conteo550Construiremos clases hasta el mximo valor observado408 B.-Tomando en consideracin el resultado 7.B donde Lic = 16ticClasesTambin podemos determinar los Lmites Superiores de ClaseLiLsXiFrecuenciaTomando en consideracin el tic; es decir, el tamao del intervalo5162018236de clase. Para ello utilizaremos la siguiente expresin:521252324652630285140LS = Lic + tic - A* donde A es un factor de ajuste y depender531353315495de la forma de expresar cuantitativamente la variable que se est53640388304evaluando.A*54145436258Si la variable est en unidades15465048296Con un dgito dcimal0.1551con dos dgitos decimales0.01401375con tres dgitos decimales0.001y as sucesivamente9.-Determinar los Puntos Medios o Marcas de Clase.El Punto Medio o Marca de Clase de Cada Clase o Categora es el valor ms representativo de dicha clase.Es la Semisuma de los lmites de clase de cada clase o categoria, y se representa por Xi y se calcula as:Xi = (Li + Ls) / 2En el punto 8.-A, el primer punto medio es (15 + 19) / 2 =17En el punto 8.-B, el primer punto medio es (16 + 20) / 2 =1810.-Determinacin de los Lmites Reales de Clase o Fronteras de ClaseDados los lmites de clases, podemos determinar los lmites reales de clase o fronteras de clase. Se consideraque los lmites anteriores son nominales. Los lmites reales son el punto medio o la semisuma entre dos lmitesnominales adyacentes. El lmite real inferior de una clase es la semisuma entre el lmite inferior de esa clasey el lmite superior de la clase anterior; y el limite real superior ser la semisuma entre el lmite superior de esaclase y el siguiente lmite inferiorLIRi = (LIi + Ls(i-1) anterior) / 2LSRi = (LSi + Li(i+1) siguiente) / 2LSR 1 = lmite superior real de la 1 clase =19.5Primera Distribucin 8.- ALSR 2 = lmite superior real de la 2 clase =24.5LSR 1 = lmite superior real de la 1 clase =20.5Segunda Distribucin 8.- BLSR 2 = lmite superior real de la 2 clase =25.5Recordar que el Lmite Superior Real o Frontera Superior Real de una clase es Lmite Inferior Real de lasiguiente clase.11.-Construir Histograma y Poligono de FrecuenciasEstas grficas sern explicadas en clase12.-Ojivas Ascendentes y Ojivas DescendentesA los efectos de la construccin de estas grficas necesitaremos las columnas de frecuencias acumuladas ascendentesy las frecuencias acumuladas descendentesAgregaremos informacin adicional a nuestra tablaticClasesFrecuenciaLiLsXififaafadfirfaarfadr515191722400.0500.0501.000520242213380.0250.0750.950525292747370.1000.1750.92553034321522330.3750.5500.82553539371032180.2500.8000.450540444253780.1250.9250.200545494734030.0751.0000.07555000.000401.00012.-Promedios Simples y Promedios PonderadosMedia Aritmtica = Mx =Promedios Simples:Son aquellos en los que a los distintos trminos de la serie o conjunto de valores, se le atribuye la mismaimportancia; es decir, la misma participacin.Promedios Ponderados:Son aquellos en los que a cada trmino de la serie o conjunto de valores, se encuentra influido por un factor cuanti-tativo que modifica totalmente su participacin en dicho clculo. Este factor se le denomina peso o ponderacinMedia Aritmtica = Mx =Es el valor ms representativo de un conjunto de valores, es el puntode equilibrio, el centro de gravedad de la serie.Dados un conjunto de valores X1, X2, , Xn de la variable X, decimos que la Media Aritmtica resulta de lasuma de todos estos valores, divididos entre el nmero de ellos; y se representa as:.Media Aritmtica = Mx == (X1 + X2 + + Xn) / N = (xi) / N, donde N = al nmero de valoresticClasesFrecuenciadidi =LiLsXifiXi * fi(Xi - Mx)di * fi(Xi - A)(Xi - A) * fi5151917234-17.125-34.250-15-305202422122-12.125-12.125-10-1052529274108-7.125-28.500-5-20530343215480-2.125-31.875005353937103702.87528.750550540444252107.87539.37510505454947314112.87538.6251545550401,3650.00085Mtodo GeneralMedia Aritmtica = Mx == (X1 + X2 + + Xn) / N donde N = al nmero de valoresMX =( Xi )/ N Xi =1,365y N =40MX =34.125Media Aritmtica en una Distribucin de Frecuencias.Mx = Media o Promedio Aritmtico = (Xi * fi) / fi=34.125MX =34.125PRIMER MTODO ABREVIADO O DE LOS DESVIOS CUALESQUIERAVeamos la definicin de DESVIOSDados un conjuntos n de valores de la variable Xi; es decir, X1, X2, , Xn y un valor arbitrario A cuales-quiera, definimos el desvio cualesquiera y lo denotamos por di, como la diferencia entre cada uno delos Xi y A; es decir, di = Xi - A.Luegod1 =X1 - Ad2 =X2 - ASumando a ambos miembros de la igualdaddn =Xn - Ad1 + d2 ++ dn =X1 + X2 + + Xn - ( A+ + A)o lo que es lo mismo:di = Xi - nAa.-Para datos no agrupadosMx ==A + di / ndonde:A = al valor arbitrario cualesquieradi = Xi - Ayn = al nmero de valoresc.-Para datos agrupados en distribuciones de frecuencias=Mx = A + { (Xi -A)*fi} / fi = {(di * fi )} / nya que fi = nSi A = 32, entonces( (Xi -A)*fi) / fi =2.125(ver tabla anterior)Mx = 32 + 85 /40 =34.125SEGUNDO MTODO ABREVIADO O DE LOS DESVIOS UNITARIOSEste mtodo solo se aplica a "Distribuciones de Frecuencias"Deben satisfacerse dos (2) condiciones:1.-La distribucin a evaluar debe de tener los tic (tamao de intervalo de clase o amplitudde clase) iguales entre si. Es decir, los tic deben tener el mismo valor.2.-El valor A a seleccionar tiene que ser ahora el valor de un punto medio o marca de clase delconjunto de valores por evaluar; es decir, A ser igual a un Xi, donde Xi es un punto medio.Nos damos cuenta que A no es ahora un valor arbitrario cualquiera, sino uno de los valores delos puntos medios o marca de clase del conjunto de valores que se est evaluando.La expresin para determinar los desvios unitarios, y lo denotamos por ui, es:Ui = (Xi - A )/ tico lo que es lo mismoUi = di / ticya que di = Xi - A como vimosanteriormente.Ui puede asumir los valores Ui = {0, 1, 2, 3, 4, ...}y entoces nuestra expresin para la Media Aritmtica es:=Mx = A + [( {((Xi -A) / tic)*fi} / fi] * tic = A + [{(Ui * fi )} / n] * ticticClasesFrecuenciadi =LiLsXifiXi - 32Ui = di / ticUi * fi51519172-15-3-652024221-10-2-252529274-5-1-4530343215000535393710511054044425102105454947315395504017Seleccionamos 32 como nuestro valor de punto medioresolviendo la ecuacin, tenemos:=32 + (17 / 40) * 5 =34.125c.q.dPROPIEDADES DE LA MEDIA ARITMTICA

Sheet12.7610.15712.25537.9511

Puntos MediosFrecuenciasPuntos MediosFrecuenciasPoligono de Frecuencias

Sheet267511

FrecuenciasClasesFrecuenciasHistograma de Frecuencias

Sheet3023722323740

Lmites de ClasesFrecuencias AcumuladasOjiva Ascendente

Sheet44038373318830

Lmites de ClasesFrecuencias AcumuladasOjiva Descendente

Sheet5ClasesticLiLsXiFrecuencia515191725202422152529274530343215535393710540444255454947350400617253112.7610.15712.25537.951115020222531307435221540321045375504031540220381253743033153518104085453350040

Sheet5

Puntos MediosFrecuenciasPuntos MediosFrecuenciasPoligono de Frecuencias

FrecuenciasClasesFrecuenciasHistograma de Frecuencias

&APage &PLmites de ClasesFrecuencias AcumuladasOjiva Ascendente

Lmites de ClasesFrecuencias AcumuladasOjiva Descendente

LiLsXiFrecuenciaX * Fdidi * fiXi - Mx(Xi - Mx) * fi162018236-15-30-3-6-16.375-32.750212523246-10-20-2-4-11.375-22.7502630285140-5-25-1-5-6.375-31.8752222313533154950000-1.375-20.62534343640388304540183.62529.0002525414543625810602128.62551.750333346504829615303613.62527.25047475141414013755511016164343Mx =34.37534.37534.37531313838353531313434373732324545333336364444262632323838292932323939373731313333414130303030474739391919424226263737313134343535

Data Original en ColumnaData ordenadaticCLASES O CATEGORASfrecuenciasLICLSCfi51519222321634M =4752024134381934m =1652529425292235530341533322535RT = M - m =3153539104739263654044541372637NIC =6545493163129375043333037tic = RT / NIC =5.17403141303838303138Luego35303139tic =53147313934393141Mltiplos de tic = 5371932415, 10, 15, 20. 324232424526324333373344363133454434334726353447

2 a la potencia NICData Original en ColumnaData ordenadaNmero de ClasesNmero Mximo de datosNIC2NICValor de la variableA*53222321634M =47664En unidades enteras134381934m =167128un decimal0.1252922358256dos decimales0.0133322535RT = M - m =319512tres decimales0.001473926361010244137263716312937tic = RT / NIC =5.1743333037Regla de Sturgess3141303838303138N =403530313931473139log10 N =1.60206343931413.3 x log10 N =5.2873719324132423242K =6.28745263243K =633373344363133454434334726353447