46 ตรีโกณมิติ...

คมอประกอบสอการสอน วชาคณตศาสตร

เรอง

ตรโกณมต (เนอหาตอนท 3)

ฟงกชนตรโกณมต 1

โดย

รองศาสตราจารย จตรจวบ เปาอนทร

สอการสอนชดน เปนความรวมมอระหวาง คณะวทยาศาสตร จฬาลงกรณมหาวทยาลย กบ

ส านกงานคณะกรรมการการศกษาขนพนฐาน (สพฐ.) กระทรวงศกษาธการ

คมอสอการสอนวชาคณตศาสตร โดยความรวมมอระหวาง ส านกงานคณะกรรมการการศกษาขนพนฐาน และ คณะวทยาศาสตร จฬาลงกรณมหาวทยาลย

1

สอการสอน เรอง ตรโกณมต สอการสอน เรอง ตรโกณมต มจ านวนตอนทงหมดรวม 15 ตอน ซงประกอบดวย

1. บทน า เรอง ตรโกณมต 2. เนอหาตอนท 1 อตราสวนตรโกณมต

- สมบตของรปสามเหลยมมมฉากและทฤษฎบทพทาโกรส - อตราสวนตรโกณมต - อตราสวนตรโกณมตของมม 30 45 และ 60

3. เนอหาตอนท 2 เอกลกษณของอตราสวนตรโกณมตและวงกลมหนงหนวย - เอกลกษณของอตราสวนตรโกณมต - วงกลมหนงหนวย การวดมมและหนวยของมม

4. เนอหาตอนท 3 ฟงกชนตรโกณมต 1 - ฟงกชนตรโกณมตของคาจรงและของมม - คาฟงกชนตรโกณมตของมม 30 45 และ 60

5. เนอหาตอนท 4 ฟงกชนตรโกณมต 2 - ความแตกตางและความสมพนธของอตราสวนตรโกณมต กบฟงกชนตรโกณมต - คาฟงกชนตรโกณมตของมมในจตภาคตาง ๆ

6. เนอหาตอนท 5 ฟงกชนตรโกณมต 3 - คาฟงกชนตรโกณมตของผลบวกและผลตางของมม - สตรผลคณ ผลบวกและผลตางของฟงกชนตรโกณมต

7. เนอหาตอนท 6 กฎของไซนและกฎของโคไซน - กฎของไซน - กฎของโคไซน

8. เนอหาตอนท 7 กราฟของฟงกชนตรโกณมต - การเปดตารางหาคาฟงกชนตรโกณมต - กราฟของฟงกชนตรโกณมต

คมอสอการสอนวชาคณตศาสตร โดยความรวมมอระหวาง ส านกงานคณะกรรมการการศกษาขนพนฐาน และ คณะวทยาศาสตร จฬาลงกรณมหาวทยาลย

2

9. เนอหาตอนท 8 ฟงกชนตรโกณมตผกผน

- ฟงกชนตรโกณมตผกผน - สมบตและความสมพนธของฟงกชนตรโกณมตผกผน

8. แบบฝกหด (พนฐาน 1) 9. แบบฝกหด (พนฐาน 2) 10. แบบฝกหด (พนฐาน 3) 11. แบบฝกหด (พนฐาน 4) 12. แบบฝกหด (ขนสง) 13. สอปฏสมพนธ เรอง มมบนวงกลมหนงหนวย 14. สอปฏสมพนธ เรอง กราฟของฟงกชนตรโกณมตและฟงกชนตรโกณมตผกผน 15. สอปฏสมพนธ เรอง กฎของไซนและกฎของโคไซน

คณะผจดท าหวงเปนอยางยงวา สอการสอนชดนจะเปนประโยชนตอการเรยนการสอนส าหรบคร และนกเรยนทกโรงเรยนทใชสอชดนรวมกบการเรยนการสอนวชาคณตศาสตร เรอง ตรโกณมต นอกจากนหากทานสนใจสอการสอนวชาคณตศาสตรในเรองอนๆทคณะผจดท าไดด าเนนการไปแลว ทานสามารถดชอเรอง และชอตอนไดจากรายชอสอการสอนวชาคณตศาสตรทงหมดในตอนทายของคมอฉบบน

คมอสอการสอนวชาคณตศาสตร โดยความรวมมอระหวาง ส านกงานคณะกรรมการการศกษาขนพนฐาน และ คณะวทยาศาสตร จฬาลงกรณมหาวทยาลย

3

เรอง ตรโกณมต (ฟงกชนตรโกณมต 1) หมวด เนอหา ตอนท 3 (3 / 8) หวขอยอย 1. ฟงกชนตรโกณมตของคาจรงและของมม 2. คาของฟงกชนตรโกณมตของมม 30 45 และ 60 จดประสงคการเรยนร เพอใหผเรยน 1. เกดความเขาใจในมโนทศนของฟงกชนตรโกณมตของคาจรงและของมม 2. สามารถหาคาฟงกชนตรโกณมตของมม 0 90 180 270 และ 360 ได 3. สามารถหาคาฟงกชนตรโกณมตของมมบางมมในจตภาคท 1 (30 45 และ 60) ได ผลการเรยนร ผเรยนสามารถ 1. บอกบทนยามของฟงกนตรโกณมตของคาจรงและของมมได 2. หาคาฟงกชนตรโกณมตของมม 0 90 180 270 และ 360 ได 3. หาคาฟงกชนตรโกณมตของมม 30 45 และ 60 ได

คมอสอการสอนวชาคณตศาสตร โดยความรวมมอระหวาง ส านกงานคณะกรรมการการศกษาขนพนฐาน และ คณะวทยาศาสตร จฬาลงกรณมหาวทยาลย

4

เนอหาในสอการสอน

เนอหาทงหมด

คมอสอการสอนวชาคณตศาสตร โดยความรวมมอระหวาง ส านกงานคณะกรรมการการศกษาขนพนฐาน และ คณะวทยาศาสตร จฬาลงกรณมหาวทยาลย

5

1. ฟงกชนตรโกณมตของคาจรงและของมม

คมอสอการสอนวชาคณตศาสตร โดยความรวมมอระหวาง ส านกงานคณะกรรมการการศกษาขนพนฐาน และ คณะวทยาศาสตร จฬาลงกรณมหาวทยาลย

6

1. ฟงกชนตรโกณมตของคาจรงและของมม เราเรมดวยเรองฟงกชนตรโกณมตของคาจรงกอน โดยในตอนแรกจะกลาวถงสองฟงกชน คอ ฟงกชนไซนและฟงกชนโคไซน

คมอสอการสอนวชาคณตศาสตร โดยความรวมมอระหวาง ส านกงานคณะกรรมการการศกษาขนพนฐาน และ คณะวทยาศาสตร จฬาลงกรณมหาวทยาลย

7

และเพอใหนกเรยนไดเขาใจในมโนทศนของฟงกชนไซนและฟงกชนโคไซน จงเขยนกราฟของฟงกชนทงสอง ประกอบกบบทนยามไปดวยกน ส าหรบคาจรง ตาง ๆ ถาเราหาคา x และ y ได จากวงกลมหนงหนวยท าใหเราสามารถเขยนกราฟไดดงน

คมอสอการสอนวชาคณตศาสตร โดยความรวมมอระหวาง ส านกงานคณะกรรมการการศกษาขนพนฐาน และ คณะวทยาศาสตร จฬาลงกรณมหาวทยาลย

8

ถาเราอยากทราบเรนจของฟงกชนทงสอง พจารณาไดดงน

คมอสอการสอนวชาคณตศาสตร โดยความรวมมอระหวาง ส านกงานคณะกรรมการการศกษาขนพนฐาน และ คณะวทยาศาสตร จฬาลงกรณมหาวทยาลย

9

ตอไปจะแนะน าใหรจก เอกลกษณของฟงกชนตรโกณมต ซงกคอความสมพนธของฟงกชนไซนกบ ฟงกชนโคไซน

นกเรยนจะเหนวา เอกลกษณนกคอความสมพนธของ sin () และ cos () ส าหรบทกคาจรง ซงตอไปนกเรยนสามารถน าไปใชได และกอนทจะน าเอกลกษณของฟงกชนไซนและโคไซนไปใช

คมอสอการสอนวชาคณตศาสตร โดยความรวมมอระหวาง ส านกงานคณะกรรมการการศกษาขนพนฐาน และ คณะวทยาศาสตร จฬาลงกรณมหาวทยาลย

10

เราจะพจารณาเครองหมายของ sin () และ cos () เมอ อยในชวงตาง ๆ ดงน 3

0, , , , ,2 2 2

และ 3

, 22

ตอไปเปนตวอยางทใชเอกลกษณตรโกณมต และสมบตทเกยวกบเครองหมายของคา sin และ cos

คมอสอการสอนวชาคณตศาสตร โดยความรวมมอระหวาง ส านกงานคณะกรรมการการศกษาขนพนฐาน และ คณะวทยาศาสตร จฬาลงกรณมหาวทยาลย

11

ตวอยางเพมเตม

ตวอยาง ก าหนดให sin () = 3

4 และ < <

3

2

จงหาคาของ cos ()

วธท า ใชเอกลกษณตรโกณมต sin2 + cos

2 = 1

แลว cos() =

2

2 3 71 sin 1

4 4

แต 3

2

ดงนน cos () < 0 ฉะนน cos () =

7

4

เมอเรานยามฟงกชนไซนและฟงกชนโคไซนจากจด (x, y) บนวงกลมหนงหนวย จะเหน (x, y) จะวนกลบมาทเดม ถาคาจรง เปลยนไปเปนคาจรง + 2 หรอคาจรง – 2

คมอสอการสอนวชาคณตศาสตร โดยความรวมมอระหวาง ส านกงานคณะกรรมการการศกษาขนพนฐาน และ คณะวทยาศาสตร จฬาลงกรณมหาวทยาลย

12

สรปไดวา

คมอสอการสอนวชาคณตศาสตร โดยความรวมมอระหวาง ส านกงานคณะกรรมการการศกษาขนพนฐาน และ คณะวทยาศาสตร จฬาลงกรณมหาวทยาลย

13

ตอไปเราจะหาคาฟงกชนไซนและฟงกชนโคไซนของคาจรงบางคา จากรป

เมอเราได เซตของคาจรงทท าใหคาไซนเปน 0 และเซตของคาจรงทท าใหคาโคไซนเปน 0 ตอไปเราจะน าไปประกอบการนยามฟงกชนตรโกณมตอก 4 ฟงกชน

คมอสอการสอนวชาคณตศาสตร โดยความรวมมอระหวาง ส านกงานคณะกรรมการการศกษาขนพนฐาน และ คณะวทยาศาสตร จฬาลงกรณมหาวทยาลย

14

แตกอนอนเรามาหาคาฟงกชนจากตวอยางตอไปนกน

ฟงกชนตรโกณมตทเหลออก 4 ฟงกชน จะนยามดงน

และหาเอกลกษณตรโกณมตไดอก 2 เอกลกษณ คอ

คมอสอการสอนวชาคณตศาสตร โดยความรวมมอระหวาง ส านกงานคณะกรรมการการศกษาขนพนฐาน และ คณะวทยาศาสตร จฬาลงกรณมหาวทยาลย

15

เมอเรามฟงกชนตรโกณมตครบทง 4 ฟงกชนแลว เราจะแสดงคาฟงกชนตรโกณมตของคาจรงบางคาโดย ตารางตอไปน

และสมบตของฟงกชนตรโกณมตทเกยวกบมม และมม + 2n , n

คมอสอการสอนวชาคณตศาสตร โดยความรวมมอระหวาง ส านกงานคณะกรรมการการศกษาขนพนฐาน และ คณะวทยาศาสตร จฬาลงกรณมหาวทยาลย

16

เมอเรานยามฟงกชนตรโกณมตของคาจรงไปแลว คราวนจะนยามฟงกชนตรโกณมตของมมกนบาง

คมอสอการสอนวชาคณตศาสตร โดยความรวมมอระหวาง ส านกงานคณะกรรมการการศกษาขนพนฐาน และ คณะวทยาศาสตร จฬาลงกรณมหาวทยาลย

17

นกเรยนจะไดเหนวา คาฟงกชนไซนของมม เรเดยน จะเทากบคาฟงกชนไซนของคาจรง

และ คาฟงกชนโคไซนของมม เรเดยน จะเทากบคาฟงกชนโคไซนของคาจรง ซงตอไปจะใชแทนกนได ตอไปจะนยามฟงกชนตรโกณมตอน ๆ ของมมกน

และในท านองเดยวกบฟงกชนไซนและฟงกชนโคไซน เราจะไดดวยวา คาฟงกชนตรโกณมตของมม เรเดยน จะเทากบคาฟงกชนตรโกณมตของคาจรง เมอไดความสมพนธของมมทมหนวยเปนเรเดยนกบคาจรงใด ๆ แลว เราสามารถหาคาฟงกชนตรโกณมต

คมอสอการสอนวชาคณตศาสตร โดยความรวมมอระหวาง ส านกงานคณะกรรมการการศกษาขนพนฐาน และ คณะวทยาศาสตร จฬาลงกรณมหาวทยาลย

18

ของมมบางมม (0, 90, 180, 270 และ 360) ไดดงน

ตวอยางเพมเตม ตวอยาง จงหาคาฟงกชนตรโกณมตของมมตอไปน

1. sin (–270) = sin3

2

= sin3

22

= sin

2

= 1

2. cos (450) = cos5

2

= cos 22

= cos

2

= 0

3. tan (540) = tan (3) = tan(2 + ) = tan() = 0

4. cosec (–90) = cosec 2

= cosec 22

= cosec 3

2

= –1

5. sec (–180) = sec (–) = sec(2 – ) = sec() = –1

6. cot (630) = cot 7

2

= cot 32

2

= cot 3

2

= 0

ตวอยาง ก าหนดให sec () = 5

3 และ

2

< < จงหาคาของ tan ()

คมอสอการสอนวชาคณตศาสตร โดยความรวมมอระหวาง ส านกงานคณะกรรมการการศกษาขนพนฐาน และ คณะวทยาศาสตร จฬาลงกรณมหาวทยาลย

19

วธท า ใชเอกลกษณตรโกณมต sec

2 – tan

2 = 1

แลว tan () =

2

2 5 4sec 1 1

3 3

แต 2

< < ดงนน sin () > 0 และ cos () < 0 แลว tan () < 0

ฉะนน tan () = 4

3

ตวอยาง ก าหนดให cot () = 1

3 และ < < 3

2

จงหาคาของ cosec ()

วธท า ใชเอกลกษณตรโกณมต cosec

2 – cot

2 = 1

แลว cosec () =

2

2 1 101 cot 1

3 3

แต < < 3

2

ดงนน sin () < 0 แลว cosec () < 0

ฉะนน cosec () = 10

3

ตวอยาง ก าหนดให tan () = –2 และ 32

< < 2 จงหาคาของ cos ()

วธท า ใชเอกลกษณตรโกณมต sec

2 – tan

2 = 1

แลว sec () = 2 21 tan 1 ( 2) 5

แต 3

2

< < 2 ดงนน cos () > 0 แลว cos () =

1

5

แบบฝกหดเพมเตม

คมอสอการสอนวชาคณตศาสตร โดยความรวมมอระหวาง ส านกงานคณะกรรมการการศกษาขนพนฐาน และ คณะวทยาศาสตร จฬาลงกรณมหาวทยาลย

20

เรอง ฟงกชนตรโกณมตของคาจรงและของมม

1. ก าหนดให sin () = 2

3 จงหาคาของ cos ()

2. ก าหนดให cos () = 1

5 และ 3

2

< < 2 จงหาคาของ sin ()

3. ก าหนดให sin 6

5

= – 0.5878 จงหาคาของ cos 6

5

4. ก าหนดให cos 3

4

= – 0.707 จงหาคาของ sin 3

4

5. จงหาคาของฟงกชนตรโกณมตของมมตอไปน

5.1 7

2

เรเดยน 5.2 900

5.3 8 เรเดยน 5.4 – 450

6. จงบอกคาจรง มา 3 จ านวนทท าให

6.1 sin () = 0 6.2 cos () = 1

6.3 sin () = –1 6.4 cos () = 0

6.5 tan () = 0 6.6 cosec () = 1

6.7 sec () = –1 6.8 cot () = 0

7. ก าหนดให tan () = 3 และ < < 3

2

จงหาคาของ sec ()

8. ก าหนดให cosec () = –2 และ 32

< < 2 จงหาคาของ cot ()

9. ก าหนดให cosec2 + cot

2 =

7

2 และ 0 < <

2

จงหาคาของ sin ()

10. ก าหนดให sin () = 3

5 และ 90 < < 180 จงหาคาของ cos( ) cot( )

cosec( ) tan( )

คมอสอการสอนวชาคณตศาสตร โดยความรวมมอระหวาง ส านกงานคณะกรรมการการศกษาขนพนฐาน และ คณะวทยาศาสตร จฬาลงกรณมหาวทยาลย

21

2. คาฟงกชนตรโกณมตของมม 30 45 และ 60

2. คาฟงกชนตรโกณมตของมม 30 45 และ 60

คมอสอการสอนวชาคณตศาสตร โดยความรวมมอระหวาง ส านกงานคณะกรรมการการศกษาขนพนฐาน และ คณะวทยาศาสตร จฬาลงกรณมหาวทยาลย

22

เราจะใชความรเกยวกบวงกลมหนงหนวยในการหาคาฟงกชนตรโกณมตของมมบางมม (30 45 และ 60) ซงมมเหลานอยในจตภาคท 1

เรมจากการหาคา sin (45) และ cos (45)

สรปเปน

sin (45) = sin 2

4 2

cos (45) = cos 2

4 2

คมอสอการสอนวชาคณตศาสตร โดยความรวมมอระหวาง ส านกงานคณะกรรมการการศกษาขนพนฐาน และ คณะวทยาศาสตร จฬาลงกรณมหาวทยาลย

23

การหาคา sin (30) และ cos (30)

สรปเปน การหาคา sin (60) และ cos (60)

สรปเปน สรปเปนตารางเพอการจดจ าของนกเรยน

sin (30) = sin 1

6 2

cos (30) = cos 3

6 2

sin (60) = sin 3

3 2

cos (60) = cos 1

3 2

คมอสอการสอนวชาคณตศาสตร โดยความรวมมอระหวาง ส านกงานคณะกรรมการการศกษาขนพนฐาน และ คณะวทยาศาสตร จฬาลงกรณมหาวทยาลย

24

นกเรยนจะไดเหนวา คาฟงกชนไซนจะเพมขนจาก 1 2 3

2 2 2, , เมอมมเพมขนในจตภาคท 1

และคาฟงกชนโคไซนจะลดลงจาก 3 2 1

2 2 2 , , เมอมมเพมขนในจตภาคท 1

และจะไดคาฟงกชนตรโกณมตอน ๆ ของมม 30 45 และ 60 ดงน

30 45 60

6

เรเดยน 4

เรเดยน 3

เรเดยน

1

3 3

2 2

3

2

3 2

3 1

3

ตวอยาง จงหาคาฟงกชนตรโกณมตตอไปน

มม

tan ()

cosec ()

sec ()

cot ()

1

1

2

2

คมอสอการสอนวชาคณตศาสตร โดยความรวมมอระหวาง ส านกงานคณะกรรมการการศกษาขนพนฐาน และ คณะวทยาศาสตร จฬาลงกรณมหาวทยาลย

25

1. sin 9

4

= sin 24

= sin

2

4 2

2. sin(– 300) = sin(– 360 + 60) = sin (60) = 3

2

3. cos 11

6

= cos 11

26

= cos

3

6 2

4. cos(765) = cos(720 + 45) = cos (45) = 2

2

5. tan 7

3

= tan 23

= tan 3

3

6. tan(– 330) = tan(– 360 + 30) = tan (30) = 1

3

7. cosec 5

3

= cosec5

23

= cosec

2

3 3

8. cosec (405) = cosec (360 + 45) = cosec (45) = 2

9. sec 13

6

= sec 26

= sec

2

6 3

10. sec (– 660) = sec (– 720 + 60) = sec (60) = 2

11. cot 17

4

= cot 44

= cot

4

= 1

12. cot (– 300) = cot (– 360 + 60) = cot (60) = 1

3

คมอสอการสอนวชาคณตศาสตร โดยความรวมมอระหวาง ส านกงานคณะกรรมการการศกษาขนพนฐาน และ คณะวทยาศาสตร จฬาลงกรณมหาวทยาลย

26

แบบฝกหดเพมเตม เรอง

คาฟงกชนตรโกณมตของมม 30 45 และ 60

1. จงหาคาฟงกชนตรโกณมตของมมตอไปน

1.1 25

4

เรเดยน 1.2 – 690

1.3 23

6

เรเดยน 1.4 420

2. จงหาของ

2.1 sin 13

6

cos 3

+ sin 9

4

cos 4

2.2 3 tan 6

– tan 11

6

2.3 2 cosec 3

+ sec 9

4

2.4 tan2 7

3

+ sec2 11

6

3. ก าหนดให sin () = 2

2 และ –2 < <

3

2

จงหาคาของ tan ()

4. ก าหนดให cos () = 3

2 และ 2 < <

5

2

จงหาคาของ cosec ()

5. ก าหนดให = 30 จงหาคาของ 3 4cos(2 ) sin(3 )

3 4sin(2 ) cos(3 )

6. ก าหนดให = 3

จงหาคาของ 2sin( ) 3cos(3 )

3sin 2cos(6 )

2

7. จงหาผลเฉลยในชวง 0,2

ของสมการตอไปน

7.1 sin (x) = cos (x)

7.2 4 cos2(x) + 2( 3 – 1) cos (x) – 3 = 0

คมอสอการสอนวชาคณตศาสตร โดยความรวมมอระหวาง ส านกงานคณะกรรมการการศกษาขนพนฐาน และ คณะวทยาศาสตร จฬาลงกรณมหาวทยาลย

27

สรปสาระส าคญประจ าตอน

คมอสอการสอนวชาคณตศาสตร โดยความรวมมอระหวาง ส านกงานคณะกรรมการการศกษาขนพนฐาน และ คณะวทยาศาสตร จฬาลงกรณมหาวทยาลย

28

สรปสาระส าคญประจ าตอน

คมอสอการสอนวชาคณตศาสตร โดยความรวมมอระหวาง ส านกงานคณะกรรมการการศกษาขนพนฐาน และ คณะวทยาศาสตร จฬาลงกรณมหาวทยาลย

29

คมอสอการสอนวชาคณตศาสตร โดยความรวมมอระหวาง ส านกงานคณะกรรมการการศกษาขนพนฐาน และ คณะวทยาศาสตร จฬาลงกรณมหาวทยาลย

30

เอกสารอางอง

1. ด ารงค ทพยโยธา, เสรมความรมงสโอลมปกคณตศาสตรโลกตรโกณมต,

โรงพมพแหงจฬาลงกรณมหาวทยาลย, 2550.

คมอสอการสอนวชาคณตศาสตร โดยความรวมมอระหวาง ส านกงานคณะกรรมการการศกษาขนพนฐาน และ คณะวทยาศาสตร จฬาลงกรณมหาวทยาลย

31

ภาคผนวกท 1 แบบฝกหด / เนอหาเพมเตม

คมอสอการสอนวชาคณตศาสตร โดยความรวมมอระหวาง ส านกงานคณะกรรมการการศกษาขนพนฐาน และ คณะวทยาศาสตร จฬาลงกรณมหาวทยาลย

32

แบบฝกหดระคน

1. ถา 4 tan () = 3 และ < < 3

2

แลวคาของ 5sin( ) 3cos( )

3cos( ) sin( )

คอขอใด

ก 9 ข 9

7 ค 3 ง 1

2. ถา cosec () = 5

4 และ cos () < 0 แลวคาของ 3 tan () + cot () – 2cos () คอขอใด

ก 89

20 ข 71

20 ค 89

20 ง 71

20

3. จงหาคาของ 5 cos2

3

+ 4

3 sin

2

6

ก 11

12 ข 9

4 ค 19

12 ง 49

12

4. ถา x1 และ x2 เปนผลเฉลยของสมการ x2

– (sec 60) x – 3 tan 45 = 0 จงหาคาของ x1 + x2 ก 2 ข –2 ค 3 ง –1

5. ก าหนดให sec2 + tan

2 =

7

2 และ < < 3

2

จงหาคาของ cos ()

ก 2

5 ข 2

5 ค 2

3 ง 2

3

6. จงหาคาของ 21 2sin ( )

3(cot( ) tan( ))sin( )cos( )

ก 13

ข 1

3 ค 3 ง –3

7. ถา 1 และ 2 เปนผลเฉลยของสมการ 3 cos

2 + sin

2 = 1 และ 1 [0, ]

และ 2 [2, 3] จงหาคา 3 1 + 2 ก ข 2 ค 3 ง 4

คมอสอการสอนวชาคณตศาสตร โดยความรวมมอระหวาง ส านกงานคณะกรรมการการศกษาขนพนฐาน และ คณะวทยาศาสตร จฬาลงกรณมหาวทยาลย

33

8. ถา 1 และ 2 เปนคาจรงในชวง 02

,

ซงเปนผลเฉลยของสมการ

cosec () + 2 sin () = 3 แลว | 1 – 2 | มคาเทาใด

ก 4

ข 3

ค

2

ง 3

4

9. ถา 1 และ 2 เปนคาจรงในชวง 02

,

ซงเปนผลเฉลยของสมการ

tan2 () – ( 3 1 ) tan () + 3 = 0 แลว 1 + 2 มคาเทาใด

ก 12

ข 7

12

ค 5

12

ง 2

10. ถา = 30 จงหาคาของ cos(2 ) 2sin(3 )

sin( ) 3cos(3 )

ก –1 ข 1 ค 5 ง 5

3

คมอสอการสอนวชาคณตศาสตร โดยความรวมมอระหวาง ส านกงานคณะกรรมการการศกษาขนพนฐาน และ คณะวทยาศาสตร จฬาลงกรณมหาวทยาลย

34

ภาคผนวกท 2 เฉลยแบบฝกหด

คมอสอการสอนวชาคณตศาสตร โดยความรวมมอระหวาง ส านกงานคณะกรรมการการศกษาขนพนฐาน และ คณะวทยาศาสตร จฬาลงกรณมหาวทยาลย

35

เฉลยแบบฝกหด เรองฟงกชนตรโกณมตของคาจรงและของมม

1. 5

3 2. 2 6

5

3. 0.809 4. 0.70721

5. ขอ มม sin cos tan cosec sec cot

5.1 7

2

1 0 – 1 – 0

5.2 900 0 –1 0 – –1 –

5.3 8 0 1 0 – 1 –

5.4 – 450 –1 0 – –1 – 0

6. 6.1 0, , – 6.2 0, 2, –2

6.3 3 7

2 2 2

, , 6.4 3

2 2 2

, ,

6.5 0, , – 6.6 5 9

2 2 2, ,

6.7 , –, 3 6.8 3

2 2 2

, ,

7. 10 8. 3

9. 2

5 10. 96

165

คมอสอการสอนวชาคณตศาสตร โดยความรวมมอระหวาง ส านกงานคณะกรรมการการศกษาขนพนฐาน และ คณะวทยาศาสตร จฬาลงกรณมหาวทยาลย

36

เฉลยแบบฝกหด เรองคาฟงกชนตรโกณมตของมม 30 45 และ 60

1.

ขอ มม sin cos tan cosec sec cot

1.1 25

4

2

2 2

2

2 2

1.2 – 690 1

2 3

2

1

3 2

3 3

1.3 23

6

1

2 3

2

1

3 2

3 3

1.4 420 3

2

1

2 3 2

3 1

3

2. 2.1 3

4 2.2 2 3

3

2.3 4 3 2

3 2 2.4 13

3

3. 1 4. 2

5. 4 32

3 6. 3 3

3

7. 7.1 4

7.2

3

เฉลยแบบฝกหดระคน 1. ค 2. ง 3. ค 4. ก 5. ง 6. ก 7. ง 8. ข 9. ข 10. ค

1 1

2

2

2

คมอสอการสอนวชาคณตศาสตร โดยความรวมมอระหวาง ส านกงานคณะกรรมการการศกษาขนพนฐาน และ คณะวทยาศาสตร จฬาลงกรณมหาวทยาลย

37

รายชอสอการสอนวชาคณตศาสตร จ านวน 92 ตอน

คมอสอการสอนวชาคณตศาสตร โดยความรวมมอระหวาง ส านกงานคณะกรรมการการศกษาขนพนฐาน และ คณะวทยาศาสตร จฬาลงกรณมหาวทยาลย

38

รายชอสอการสอนวชาคณตศาสตร จ านวน 92 ตอน

เรอง ตอน

เซต บทน า เรอง เซต

ความหมายของเซต

เซตก าลงและการด าเนนการบนเซต

เอกลกษณของการด าเนนการบนเซตและแผนภาพเวนน-ออยเลอร

สอปฏสมพนธเรองแผนภาพเวนน-ออยเลอร

การใหเหตผลและตรรกศาสตร บทน า เรอง การใหเหตผลและตรรกศาสตร

การใหเหตผล

ประพจนและการสมมล

สจนรนดรและการอางเหตผล

ประโยคเปดและวลบงปรมาณ

สอปฏสมพนธเรองหอคอยฮานอย

สอปฏสมพนธเรองตารางคาความจรง

จ านวนจรง

บทน า เรอง จ านวนจรง

สมบตของจ านวนจรง

การแยกตวประกอบ

ทฤษฏบทตวประกอบ

สมการพหนาม

อสมการ

เทคนคการแกอสมการ

คาสมบรณ

การแกอสมการคาสมบรณ

กราฟคาสมบรณ

สอปฏสมพนธเรองชวงบนเสนจ านวน

สอปฏสมพนธเรองสมการและอสมการพหนาม

สอปฏสมพนธเรองกราฟคาสมบรณ

ทฤษฎจ านวนเบองตน บทน า เรอง ทฤษฎจ านวนเบองตน

การหารลงตวและจ านวนเฉพาะ (การหารลงตวและตวหารรวมมาก) ตวหารรวมมากและตวคณรวมนอย

ความสมพนธและฟงกชน บทน า เรอง ความสมพนธและฟงกชน

ความสมพนธ

คมอสอการสอนวชาคณตศาสตร โดยความรวมมอระหวาง ส านกงานคณะกรรมการการศกษาขนพนฐาน และ คณะวทยาศาสตร จฬาลงกรณมหาวทยาลย

39

เรอง ตอน

ความสมพนธและฟงกชน โดเมนและเรนจ

อนเวอรสของความสมพนธและบทนยามของฟงกชน

ฟงกชนเบองตน

พชคณตของฟงกชน

อนเวอรสของฟงกชนและฟงกชนอนเวอรส

ฟงกชนประกอบ

ฟงกชนชก าลงและฟงกชนลอการทม บทน า เรอง ฟงกชนชก าลงและฟงกชนลอการทม

เลขยกก าลง

ฟงกชนชก าลงและฟงกชนลอการทม

ลอการทม

อสมการเลขชก าลง

อสมการลอการทม

ตรโกณมต บทน า เรอง ตรโกณมต

อตราสวนตรโกณมต

เอกลกษณของอตราสวนตรโกณมต และวงกลมหนงหนวย

ฟงกชนตรโกณมต 1

ฟงกชนตรโกณมต 2

ฟงกชนตรโกณมต 3

กฎของไซนและโคไซน

กราฟของฟงกชนตรโกณมต

ฟงกชนตรโกณมตผกผน

สอปฏสมพนธเรองมมบนวงกลมหนงหนวย

สอปฏสมพนธเรองกราฟของฟงกชนตรโกณมต

สอปฏสมพนธเรองกฎของไซนและกฎของโคไซน

ก าหนดการเชงเสน บทน า เรอง ก าหนดการเชงเสน

การสรางแบบจ าลองทางคณตศาสตร

การหาคาสดขด

ล าดบและอนกรม บทน า เรอง ล าดบและอนกรม

ล าดบ

การประยกตล าดบเลขคณตและเรขาคณต

ลมตของล าดบ

ผลบวกยอย

อนกรม

ทฤษฎบทการลเขาของอนกรม

คมอสอการสอนวชาคณตศาสตร โดยความรวมมอระหวาง ส านกงานคณะกรรมการการศกษาขนพนฐาน และ คณะวทยาศาสตร จฬาลงกรณมหาวทยาลย

40

เรอง ตอน

การนบและความนาจะเปน .

บทน า เรอง การนบและความนาจะเปน

การนบเบองตน

การเรยงสบเปลยน

การจดหม

ทฤษฎบททวนาม

การทดลองสม

ความนาจะเปน 1

ความนาจะเปน 2

สถตและการวเคราะหขอมล

บทน า เรอง สถตและการวเคราะหขอมล

บทน า เนอหา

แนวโนมเขาสสวนกลาง 1

แนวโนมเขาสสวนกลาง 2

แนวโนมเขาสสวนกลาง 3

การกระจายของขอมล

การกระจายสมบรณ 1

การกระจายสมบรณ 2

การกระจายสมบรณ 3

การกระจายสมพทธ

คะแนนมาตรฐาน

ความสมพนธระหวางขอมล 1

ความสมพนธระหวางขอมล 2

โปรแกรมการค านวณทางสถต 1

โปรแกรมการค านวณทางสถต 2

โครงงานคณตศาสตร การลงทน SET50 โดยวธการลงทนแบบถวเฉลย

ปญหาการวางตวเบยบนตารางจตรส

การถอดรากทสาม

เสนตรงลอมเสนโคง

กระเบองทยดหดได