ติวสบายคณิต เล่ม 3 บทที่ 8 ฟังก์ชันตรั ...¸ªรุปเข้ม-M08... · บทที่ 8 ฟังก์ชันตรีโกณมิติ

ติวสบายคณิต เล่ม 3 http://www.pec9.com บทที่ 8 ฟังก์ชันตรัโกณมิติ

1

เฉลยตะลุยข้อสอบเข้ามหาวิทยาลยั บทที ่ 8 ฟงัก์ชนัตรีโกณมิติ

1. ตอบข้อ 2.

แนวคิด จาก tan 1211 = tan 165o

= – tan (180o – 165o) = – tan 15o = – tan (60o – 45o)

= –

45tan 60tan 145tan 60tan

= –

(1)3 113

tan 1211 = 3 1

3 1

2. ตอบข้อ 3. แนวคิด เน่ืองจากมุม A , B มีค่าระหวา่ง 0 – 90o และจาก tan45o = 1 แต่ tan A = 2 และ tan B = 3 แสดงวา่มุม A และ B มีค่ามากกวา่ 45o ดงันั้น A + B จึงมีค่ามากกวา่ 90o คืออยูค่วอดรันตท่ี์ 2 ( ตรงน้ีจะสามารถตอบขอ้. 4

3π ไดท้นัที เพราะเป็นตวัเลือกเดียวท่ีอยูใ่นควอดรันตท่ี์ 2 )

จาก tan (A + B) = B tan A tan 1B tan Atan

จะได ้ tan (A + B) = (2)(3) 13 2

tan (A + B) = –1 ในควอดรันต ์2 จะได ้ (A + B) = 180o – 45o (A + B) = 135o (A + B) = 4

3π

http://www.pec9/


2


แนวคิด จาก cos – sin = 35

จะได ้ ( cos – sin )2 = 2

35

cos2 – 2 cos sin + sin2 = 95

( cos2 + sin2) – 2 cos sin = 95

1 – 2 sin cos = 95

1 – 95 = 2 sin cos ( ใชสู้ตร 2sincos = sin2 )

94 = sin2

4. ตอบข้อ 3. แนวคิด จาก osin10

osin30 – ocos10ocos30

=

cos10 sin10

cos30 sin10cos10 sin30 ( ใช้สูตร sin(A – B) = sinA cosB – sinB cosA)

=

cos10 osin10)10 sin(30

=

cos10 osin10

20sin

=

cos10 osin10

)102(sin ( ใช้สูตร sin 2A = 2 sinA cosA )

=

cos10 osin10cos10 10sin 2

= 2

5. ตอบ 2 แนวคิด จาก

25 cot 1x = (1 – cot 20o)

จะได ้ x = (1 – cot 20o) (1 – cot 25o)

x =

20sin 20 cos 1

25sin 25 cos 1

x =

20sin 20 cos 20sin

25sin 25 cos 25sin

x =

20sin 70sin 20sin

25sin 65sin 25sin

http://www.pec9/


3

x =

20sin 27020sin 27020 cos 2

25sin 26525sin 26525 cos 2

x =

20sin )25(sin 45 cos 2

25sin )20(sin 45 cos 2

x =

20sin

25sin 45 cos 2

25sin

20sin 45 cos 2

x = 4

22

22

x = 2


แนวคิด จาก A 2sin3A 2sin – A 2cos

3A 2cos = 2

จะได ้ A 2cos A 2sin A 2sin 3A 2cos A 2cos 3A 2sin

= 2

A 2cos A 2sinA)sin 3A cos A cos 3A(sin A)sin 3A cos A cos 3A(sin

= 2

A 2cos A 2sinA) (3Asin A) (3Asin

= 2

A 2cos A 2sin2Asin 4Asin

= 2

A 2cos A 2sinA cos Asin 2 2A cos 2Asin 2

= 2

A cos Asin 2A cos 2Asin 2

= 1

A cos Asin 2A cos A) cos Asin (2 2 = 1

cos 2A = 41

7. ตอบข้อ 2. แนวคิด จาก Bsin

Asin = 32

sin A = 32 sin B ( ยกก าลงัสองทั้งสองขา้ง )

sin2A = 34 sin2B

จาก B cosA cos =

21

cos A = 2

1 cos B ( ยกก าลงัสองทั้งสองขา้ง )

cos2A = 21 cos2B

http://www.pec9/


4

น า + จะได ้ sin2 A + cos2 A = 3

4 sin2 B + 21 cos2 B ( แทนค่า cos2B = 1 – sin2B ) 1 = 3

4 sin2 B + 21 (1 – sin2 B) ( น า 6 คูณตลอด ) 6 = 8 sin2 B + 3 (1 – sin2 B) 6 = 8 sin2 B + 3 – 3 – sin2 B 3 = 5 sin2 B sin2 B = 53

และจาก cos2 B = 1 – sin2 B จะได ้ cos2 B = 1 – 53 = 52

สุดท้ายจะได ้ tan2 B = B 2cosB 2sin =

5253 = 2

3

8. ตอบข้อ 4. แนวคิด จาก 5 cos 3A cosA + 5 sin 3A sin A = –3 ( น า 5 หารตลอด ) cos 3A cos A + sin 3A sin A = –

53

cos (3A – A) = –53

cos 2A = –53

2 cos2 A – 1 = –53

cos2 A = 51

cos A = 5

1

เน่ืองจาก 0 A 2 คืออยูใ่นควอดรันตท่ี์ 1

ค่า cos A ตอ้งเป็นบวก จึงไดว้า่ cos A = 5

1

จากรูป จะไดว้า่ tan A = 12 = 2


แนวคิด จาก cos x = 3 (1 – sin x) เม่ือ x [0 , 4] จะได ้ cos2 x = ( 3 (1 – sin x) )2

5

1

2 A

http://www.pec9/


5

cos2 x = 3 (1 – sin x )2 ( แทนค่า cos2x = 1 – sin2x ) 1 – sin2 x = 3 (1 – 2 sin x + sin2 x) 1 – sin2 x = 3 – 6 sin x + 3 sin2 x

0 = 4 sin2 x – 6 sin x + 2 ( เอา 2 หารตลอด ) 0 = 2 sin2 x – 3 sin x + 1

0 = (2 sin x – 1) (sin x – 1) จะได ้ 2 sin x – 1 = 0 และ sin x – 1 = 0

sin x = 21 sin x = 1

x = 30o , 150o x = 90o

แต่ 150o จะท าใหส้มการเป็นเทจ็ จึงไดว้า่ x = 30o , 90o และเน่ืองจากโจทยก์ าหนด 0 x 720o

จึงไดว้า่ x = 30o , 90o , (30o+360o) , (90o+360o) x = 2

5 , 613 , 2 , 6

10. ตอบข้อ 2. แนวคิด โจทยใ์หห้า cos A โดยท่ี 0 A 240o และ 5 – 3 sin 3A มีค่ามากท่ีสุด

เน่ืองจาก –1 sin 3A 1 ค่า 5 – 3 sin 3A จะมีค่ามากท่ีสุด เม่ือ sin 3A = –1 3A = 270o , (270o+360o) , (270o+720o) 3A = 270o , 630o , 990o A = 90o , 210o , 330o ตอบในช่วง 0 A 240o จะได ้ A = 90o , 210o เท่านั้น

สุดทา้ยจะได ้ cos A = cos 90o , cos 210o = 0 , – 23

ค าตอบทั้งสองท่ีไดน้ี้เป็นสับเซตของ { – 23 , – 2

1 , 0 }

http://www.pec9/


6

11. ตอบ 0 แนวคิด ขั้นที ่ 1 จาก (sin + cos)2 = 2

3 sin2 + 2 sin cos + cos2 = 2

3 (sin2 + cos2) + 2 sin cos = 2

3 ( แทน 2 sin cos = sin2 ) 1 + sin 2 = 2

3 sin 2 = 2

1 2 = 30o , 150o = 15o , 75o

แต่โจทยก์ าหนด 0 45o ดงันั้นตอ้งตอบ = 15o เท่านั้น

สุดท้าย จะได ้ arccos(tan3) = arccos(tan 3x15o) = arccos(tan 45o) = arccos(1) = 0

12. ตอบ 3 แนวคิด จาก 2 arcsin (x2 – 3x + 1) + 180o = 0

จะได ้ 2 arcsin (x2 – 3x + 1) = –180o arcsin (x2 – 3x + 1) = –90o x2 – 3x + 1 = sin (–90o) x2 – 3x + 1 = –1 x2 – 3x + 2 = 0 (x – 1)(x – 2) = 0

x = 1 , 2 สุดท้ายจะได ้ ผลบวกค าตอบ = 1 + 2 = 3

13. ตอบข้อ 4. แนวคิด จาก tan (arccos x) = – 3 จะได ้ arccos x = 120o ( ใชค่้าในช่วง 0 arccos 180o เท่านั้น ) x = cos 120o

x = – 21

http://www.pec9/


7

สุดท้าย จะได ้ x sin(2arccos x) = (– 21 ) sin(2arccos(– 2

1 )) = (– 2

1 ) sin(2x120o) = (– 21 ) (sin240o)

= (– 21 ) (– 2

3 )

= 43

14. ตอบข้อ 4.

แนวคิด ขั้นที ่ 1 สมมติ A = arcsin

51 ( ค่า arcsin เป็นลบแสดงวา่อยูค่วอดรันต ์4 )

จะได ้ sin A = 5

1

จากรูป จะได ้

tan A = ชิดขา้ม – 21

สุดท้ายจะได ้

5

1arcsin 2tan = tan(2A) = A2 tan 1

A tan 2

= 2)21( 1)212(

= – 4

3

15. ตอบ 8.8 แนวคิด ขั้นที ่ 1 สมมติ A = arctan 2

1 จะได ้ tan A = 2

1 จากรูป จะไดว้า่

cos A = 5

2 , sin A = 5

1

และสมมติ B = arcsin 31

จะได ้ sin B = 31

จากรูป จะไดว้า่ cot B = 8

สุดท้ายจะได ้ sin (2 arctan 21 ) + cot2 (arcsin 3

1 ) = sin (2A) + cot2 B = sin (2A) + cot2 B = 2 sin A cos A + cot2 B

1

2

A

5

8

1

B

3

5

2

–1 A

http://www.pec9/


8

= 2 (5

1 ) (5

2 ) + ( 8 )2

= 0.8 + 8 = 8.8

16. ตอบข้อ 4. แนวคิด ขั้นที ่1 หาค่า tan ( arcsin (– 5

3 ) ) ( arcsin เป็นลบ แสดงวา่อยูใ่นควอดรันตท่ี์ 4) สมมุติ arcsin (– 5

3 ) = A จะได ้ – 5

3 = sin A จากรูป จะไดว้า่

tan (arcsin (– 53 ) ) = tan A = ชิด

ขา้ม = – 43

สุดท้ายจะได ้

tan ( 4 + arcsin (– 5

3 )) = tan(45o+A) = A tan 45 tan 1A tan 45tan

= )( (1) 1

)( 1

4

3

4

3

= 7 1

17. ตอบ 3

แนวคิด จาก sec (2 arcsin 31 ) =

)3

1arcsin (2 cos1 ( ใชสู้ตร cos 2A = 1 – 2 sin2A )

จะได ้ = 2

)

31(arcsin sin 2 1

1

= 2

31 2 1

1

sec (2 arcsin 31 ) = 3

A ชิด = 4

ฉาก = 5 ข้าม = –3

http://www.pec9/


9

18. ตอบข้อ 2.

แนวคิด จาก cos (2 arcsin x) + 2 = 4 sin2 (arccos x) (ใช ้ arccos x = arcsin 2x1 cos 2A = 1 – 2 sin2 A ) 1 – 2(sin [arcsin x])2 + 2 = 4 (sin (arcsin 2x1 )2

1 – 2x2 + 2 = 4 22x1

– 2x2 + 3 = 4 (1 – x2) – 2x2 + 3 = 4 – 4x2 2x2 = 1

x2 = 21

x = +2

1 , –2

1

สุดท้ายจะได ้ ผลคูณค าตอบ = +2

1 –2

1 = – 21

19. ตอบข้อ 1.

แนวคิด โจทยบ์อก arccos x – arcsin x = 30o และจาก arccos x + arcsin x = 90o น า + จะได ้ 2 arccos x = 120o

arccos x = 60o และ x = cos 60o x = 21

สุดท้ายจะได ้ arccos x – arctan 2x = 60o – arctan 2 ( 21 ) = 60o – arctan 1 = 60o – 45o = 15o = 12

π

20. ตอบข้อ 4. แนวคิด จากรูปจะได ้ Asin

BC = Bsin AC

o60sin

6 = Bsin 1

sin B = 6

1 sin60o A B

C

1 6

60o

http://www.pec9/


10

sin B = 23

1 23

sin B = 22

1

สุดท้ายจะได ้ cos 2B = 1 – 2sin2B = 1– 2(22

1 )2 = 43

21. ตอบ 0.75

แนวคิด โจทยบ์อก B = arctan

31 = 30o

จาก ABC จะไดว้า่

3Asin = 2

30sin

sin A = 23 sin 30o

sin A = 23 ( 2

1 )

sin A = 43

สุดท้ายจะได ้ sin (A + B) + sin (A – B) = (sin A cos B + sin B cos A) + (sin A cos B – sin B cos A)

= 2 sin A cos B ( แทนค่า sin A = 43 และ B = 30o )

= 2 ( 43 ) cos 30o

= 2 ( 43 ) ( 2

3 ) = 0.75

22. ตอบข้อ 1. แนวคิด ขั้นที ่ 1 ใชก้ฎของโคไซน์ b2 = a2 + c2 – 2ac cos B 52 = 82 + 72 – 2(8)(7) cos B 25 = 64 + 49 – 112 cos B

cos B = 1411

B C

A

2

3 30o

A

B C

b = 5 c = 7

a = 8

http://www.pec9/


11

ขั้นที ่ 2 หา sin2 2B จาก cos 2( 2B ) = 1 – 2 sin2 ( 2B )

cos B = 1 – 2 sin2 ( 2B ) 1411 = 1 – 2 sin2 ( 2B ) 2 sin2 2B = 14

3 sin2 2B = 28

3

23. ตอบข้อ 1. แนวคิด จาก B + C = arccos ( 15

1 ) จะได ้ cos (B + C) = 15

1

เน่ืองจาก A + B + C = 180o A = 180o – (B + C)

cos A = cos (180o – (B + C)) cos A = cos 180o cos (B + C) + sin 180o sin (B + C) cos A = (–1) ( 15

1 ) + (0) sin (B + C) cos A = 15

1

สุดท้ายจะได ้ BC2 = AB2 + AC2 – 2 (AB)(AC) cosA BC2 = 32 + 52 – 2 (3)(5) ( 15

1 ) BC2 = 32 BC = 32 BC = 216 BC = 4 2

C A

B

5

3

http://www.pec9/


12

24. ตอบข้อ 1. แนวคิด ขั้นที ่1 คิด ABC ใชก้ฎ cosine

สมมุติความยาว AB = x จะได ้ 72 = x2 + 52 + 2(x)(5) cos 120o 49 = x2 + 25 – 10x (– 2

1 ) 0 = x2 + 5x 24 0 = (x – 3) (x + 8) x = 3 , –8 ใชแ้ต่ค่าบวก จะได ้ x = 3

ขั้นที ่ 2 เพิ่มเติมรูปดงัแสดง คิด BCE จะได ้

sin 30o = 5 y

21 = 5

y 2.5 = y สุดท้าย คิด ACD

พื้นท่ี = 21 (ฐาน) (สูง) = 2

1 (8) (2.5 + 3) = 22

25. ตอบข้อ 2. แนวคิด ลองวาดรูป หนา้จัว่ จะไดด้งัน้ี คิด ACD (คร่ึงขวา) จะได ้

ชิดขา้ม = tan 15o

8AD = tan (60o – 45o)

8AD =

45 tan 60 tan 145 tan 60tan

8AD = (1) )3( 11 3

8AD = 1) 3(1) 3(

1) 3(1) 3(

8AD = 222

1 3

21 32 3

C

A

B 7

5

120o x

C

D A

B

x

5

30o

8

y

3

y

x = 3

A

B C D 8 8 15o 15o

150o

http://www.pec9/


13

8AD = 232 4

AD = 8 ( 232 4 )

AD = 8 ( 2 – 3 ) สุดท้ายคิด ABC ( ทั้งหมด ) พื้นท่ี ABC = 21 (ฐาน) (สูง) = 21 (16) 8 (2 – 3 ) = 64 (2 – 3 )

http://www.pec9/

Documents

ติวสบายคณิต เล่ม 3 บทที่ 8 ฟังก์ชันตรั ...¸ªรุปเข้ม-M08... · บทที่ 8 ฟังก์ชันตรีโกณมิติ