View
628
Download
4
Category
Preview:
DESCRIPTION
by I Wayan Bawa Parmita
Citation preview
LINGKARAN SEMBILAN TITIK
DAN VISUALISASINYA DENGAN MAPLE
Oleh
I WAYAN BAWA PARMITA
1
BAB I
PENDAHULUAN
1.1 Latar Belakang
Segitiga adalah bangun datar yang terjadi dari tiga buah ruas garis yang menghubungkan
tiga buah titik yang tidak segaris. Segitiga didefinisikan sebagai poligon yang hanya
memiliki tiga buah sisi. Selain itu, ada yang mendefinisikan segitiga sebagai gabungan ketiga
ruas garis hubung dua-dua titik dari tiga titik yang tidak segaris. Suatu segitiga biasanya
dinyatakan dengan “∆”.
Segitiga memiliki garis – garis yang istimewa yaitu garis tinggi (Altitude), garis berat
(Median), dan garis bagi sudut (Bissectrice). Garis tinggi (Altitude) suatu segitiga adalah ruas
garis yang berujung di titik sudut suatu segitiga dan di sisi depannya atau perpanjangannya
dan tegak lurus garis pemuat sisi depan tersebut. Sehingga dalam suatu segitiga terdapat tiga
buah garis tinggi. Garis berat (Median) suatu segitiga adalah ruas garis yang berujung di titik
sudut suatu segitiga dan di titik tengah sisi di hadapan sudut tersebut. Sehingga dalam suatu
segitiga terdapat tiga buah garis berat. Garis bagi sudut (bissectrice) adalah ruas garis yang
melalui titik sudut segitiga dan membagi sudut itu menjadi dua bagian yang sama besarnya
yang ujung – ujungnya terletak pada titik sudut tersebut dan pada sisi di depan sudut
tersebut. Dengan demikian, dalam suatu segitiga juga terdapat tiga buah garis bagi sudut.
Ketiga garis – garis diatas dikatakan istimewa karena dari masing – masing garis tersebut
perpotongan masing – masing garis itu terletak pada satu titik. Dalam hal ini, perpotongan
ketiga garis tinggi suatu segitiga atau perpanjangannya terletak pada suatu titik. Begitu juga
dengan garis berat dan garis bagi sudut.
Garis – garis yang memuat ketiga garis tinggi suatu segitiga berpotongan di suatu titik
yang disebut dengan orthocenter. Titik potong ketiga buah garis berat disebut dengan
centroid. Sedangkan titik potong ketiga garis bagi sudut disebut dengan incenter.
Selain orthocenter, centroid, dan incenter, dalam suatu segitiga juga terdapat suatu titik
yang disebut dengan circumcenter, yaitu titik potong ketiga garis sumbu dalam suatu
segitiga. Circumcenter ini merupakan titik pusat dari lingkaran luar segitiga itu sendiri.
Sesuai dengan definisi, segitiga memiliki tiga buah sisi. Dari masing – masing sisi
segitiga terdapat sebuah titik tengah sisi. Dari masing - masing garis tinggi pada suatu sudut
segitiga terdapat titik yang berpotongan dengan sisi dihadapan sudut tersebut atau
perpanjangannya. Kemudian dari orthocenter, ditarik garis ke masing – masing titik sudut
segitiga dan diperoleh tiga buah titik dari masing –masing ruas garis itu, dimana titik yang
dimaksud adalah titik tengah orthocenter dengan titik sudut segitiga. Sehingga kesembilan
titik yang diperoleh terdapat pada lingkaran, yang disebut dengan lingkaran sembilan titik.
2
Pembahasan mengenai pembuktian keberadaan kesembilan titik – titik tersebut pada
suatu lingkaran masih jarang dibahas. Oleh karena itu penulis merasa tertarik untuk
membahas masalah tersebut dan mencoba membahasnya dalam makalah ini. Selain itu juga
dibuat suatu visualisasi dengan Pemrograman Maple sehingga pembahasan masalah ini
menjadi semakin menarik dan mudah. Melalui program Maple ini juga akan mempermudah
melihat bahwa dari suatu segitiga terdapat sembilan buah titik yang terdapat pada lingkaran.
1.2 Rumusan Masalah
Masalah yang akan dibahas dalam makalah ini adalah “Bagaimana membuktikan dan
menunjukkan bahwa dari suatu segitiga terdapat sembilan titik yang terdapat pada
lingkaran?”
Dalam hal ini kesembilan titik yang dimaksud adalah titik tengah masing-masing sisi
segitiga, titik potong garis tinggi dari masing – masing titik sudut dengan sisi dihadapan
sudut tersebut atau perpanjangannya, dan titik tengah ketiga ruas garis yang menghubungkan
orthocenter dengan masing-masing titik sudut.
1.3 Tujuan
Tujuan dari penulisan makalah ini adalah untuk membuktikan dan menunjukkan bahwa
dari suatu segitiga terdapat sembilan titik yang terdapat pada suatu lingkaran.
3
BAB II
PEMBAHASAN
2.1 Teori – Teori yang Mendasari
2.1.1 Kesebangunan Segitiga
Teorema A :
Jika suatu garis memotong dua sisi masing-masing atas bagian yang sama
panjangnya, maka garis tersebut sejajar dengan sisi segitiga yang tak terpotong.
D adalah titik tengah AC dan E adalah titik tengah BC
Maka AB //DE .
Bukti:
Karena D adalah titik tengah AC dan E adalah titik tengah BC , maka dapat dituliskan
BC
BE
AC
AD
Dari kasus ini, terdapat dua kemungkinan, yaitu DE //AB atau DE//AB .
Andaikan DE//AB , maka ada E’ pada BC dengan E ≠ E’ sehingga AB//'DE .
Dengan itu juga dapat dituliskan bahwa
BC
BE'
AC
AD
Akibatnya BC
BE'
AC
AD atau BE'BE
Artinya pada BC ada dua titik berlainan E dan E’ yang jaraknya sama terhadap titik B.
Hal ini tidak mungkin, karena melalui satu titik di luar sebuah garis dapat dibuat tepat
satu garis yang sejajar dengan garis yang pertama.
Karena itu, kondisi yang berlaku haruslah DE//AB .
A B
C
D E
gambar 1
4
A B
C D
gambar 3
E
Karena 2
1
AB
DE
BC
BE
AC
AD , maka perbandingan 1:2DE:AB
Sehingga AB2
1DE
Teorema B:
Suatu trapesium adalah sama kaki jika dan hanya jika kedua diagonalnya sama panjang.
Bukti:
Akan dibuktikan dua hal yaitu:
1). Jika suatu trapesium sama kaki maka kedua diagonalnya sama panjang.
Perhatikan ∆ ABD dan ∆ BAC
BCAD (diketahui)
ABAB (berimpit)
m(DAB) = m(BAC), karena ABCD trapesium
sama kaki
Maka BACABD menurut S – Sd – S
Akibatnya BDAC
2). Jika kedua diagonal trapesium sama panjang maka trapesium tersebut sama kaki.
Diketahui BDAC .
Melalui C dibuat garis sejajar DB sehingga memotong perpanjangan ABdi E
BECD adalah suatu jajar genjang, sehingga CABDCE
∆ CAE adalah segitiga sama kaki, sehingga m(DBA) = m(CEA) (sudut sehadap).
Dengan demikian m(CAB) = m(DBA).
Jadi CABDBA menurut Sd – S – Sd
Sehingga BCAD
A B
C D
gambar 2
5
Dari 1). dan 2). dapat disimpulkan bahwa Suatu trapesium adalah sama kaki jika dan hanya
jika kedua diagonalnya sama panjang.
2.1.2 Dalil Stewart
Dalil Stewart dapat digunakan untuk menentukan panjang suatu ruas garis yang
dibuat dari suatu titik sudut yang memotong sisi atau perpanjangan sisi dihadapan
sudut tersebut.
Pada ∆ BCD berlaku
ED2222 qqra ∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙ (1)
Pada ∆ ABD berlaku
ED2222 pprc ∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙ (2)
Kedua ruas persamaan (1) dikalikan dengan p
ED2222 pqpqprpa ∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙ (3)
Kedua ruas persamaan (2) dikalikan dengan q
ED2222 pqqpqrqc ∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙ (4)
Jumlahkan Persamaan (3) dan (4) akan menghasilkan:
ED2ED2222222 pqpqqppqqrprqcpa
222222 qppqqrprqcpa
pqqprqpqcpa 222
bpqbrqcpa 222
A
B
C D E
c a
r
q p
b
gambar 4
6
bpqqcpabr 222 ∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙ (5)
Maka berlakulah hubungan bpqqcpabr 222 yang disebut dengan Dalil Stewart.
Dengan menggunakan Dalil Stewart, dapat dihitung panjang ruas garis berat dari sudut siku-
siku pada segitiga siku-siku, seperti pada gambar 5
Menurut Dalil Stewart maka
bpqqcpabr 222
Dalam hal ini, karena BD adalah garis berat, maka b2
1CDAD
Sehingga bqp2
1
Substitusikan p dan q pada persamaan (5), diperoleh:
2222
4
1
2
1
2
1bbbcbabr
Kedua ruas pada persamaan di atas dibagi dengan b, maka diperoleh
2222
4
1
2
1
2
1bcar
Karena ∆ ABC siku-siku di B, maka menurut Theorema Phytagoras b2 = a
2 + c
2
Sehingga persamaan menjadi:
22222
4
1
2
1
2
1cacar
22222
4
1
4
1
2
1
2
1cacar
222
4
1
4
1car
222
4
1car
A B
C
D
c
a b
2
1
b2
1
r
gambar 5
7
22
4
1br
br2
1
Jadi AC2
1CDADBD
Sehingga panjang ruas garis berat segitiga siku-siku dari sudut siku-sikunya sama dengan
setengah dari hipotenusa dari segitiga siku-siku itu sendiri.
2.2 Lingkaran Sembilan Titik
Jika deketahui sebarang segitiga, maka titik tengah masing-masing sisi, titik potong garis
tinggi dari masing-masing titik sudut dengan sisi di hadapan sudut tersebut, dan titik tengah
yang menghubungkan orthocenter dengan titik sudut segitiga terdapat pada suatu lingkaran.
.
Pada gambar 6, Misalkan ∆ ABC,
a) Ao adalah titik tengah BC , B
o adalah titik tengah AC , dan C
o adalah titik tengah
AB ;
b) A’ adalah titik potong garis tinggi dari titik A dengan BC , B’ adalah titik potong
garis tinggi dari titik B dengan AC , dan C’ adalah titik potong garis tinggi dari titik
C dengan AB ;
c) A” adalah titik tengah AH , B” adalah titik tengah BH , dan C” adalah titik tengah
CH .
gambar 6
8
Maka kesembilan titik-titik Ao, B
o, C
o, A’, B’, C’, A”, B”, C”, berada pada lingkaran dengan
pusat N, yaitu titik tengah orthocenter (H) dengan circumcenter (R).
Untuk membuktikan bahwa kesembilan titik di atas berada pada lingkaran, dapat dilakukan
dengan beberapa langkah:
1. Perhatikan segi empat A’AoC
oB
o pada gambar 7,
A’Ao // B
oC
o (menurut teorema A terhadap ∆ ABC)
ini berarti A’AoC
oB
o adalah sebuah trapesium.
∆ AA’B siku-siku di A’ dan Co adalah titik tengah AB , maka
AB2
1ACCA' oo (berdasakan Dalil Stewart)
Pada ∆ ABC, Ao adalah titik tengah BC dan B
o adalah titik tengah AC . Sehingga
AB2
1BA oo
Karena ooo CB// AA' dan ooo BACA' , maka A’AoC
oB
o adalah trapesium
samakaki.
Pada trapesium sama kaki selalu dapat dibuat lingkaran luar yang menyinggung
keempat titik sudutnya.
Sehingga lingkaran luar ∆ AoB
oC
o pasti memuat A’.
Dengan memperhatikan segi empat BoB’A
oC
o pada gambar 7, analog dengan cara
di atas didapatkan bahwa lingkaran luar ∆ AoB
oC
o pasti memuat B’.
A B
C
Ao
Bo
Co
B’
C’
A’
B”
C”
A”
H
R
N
gambar 7
9
Dengan memperhatikan segi empat AoB
oC’C
o pada gambar 7, analog dengan cara
di atas didapatkan bahwa lingkaran luar ∆ AoB
oC
o pasti memuat C’.
2.
Perhatikan ∆ ABH pada gambar 8,
A” adalah titik tengah AH dan Co adalah titik tengah AB .
Sehingga BH// CA" o . (berdasarkan teorema A terhadap ∆ ABH)
Berarti BB'// CA" o .
Perhatikan ∆ ABC,
Ao adalah titik tengah BC dan C
o adalah titik tengah AB .
Sehingga AC//CA oo . (berdasarkan teorema A)
ini memberikan bahwa AoC
oA” adalah siku-siku.
Karena ∆ A”CoA
o siku-siku di C
o dan ∆ A”A’A
o siku-siku di A’, maka sisi di
hadapannya yaitu oAA" adalah diameter dari lingkaran luar yang melalui Co dan
A’.
Karena lingkaran ini melalui Ao, C
o, dan A’, maka lingkaran ini juga melalui A”.
Analog dengan cara di atas, didapatkan:
Lingkaran ini melalui Bo, A
o, dan B’, maka lingkaran ini juga melalui B”.
Lingkaran ini melalui Co, B
o, dan C’, maka lingkaran ini juga melalui C”.
A B
C
Ao
Bo
Co
B’
C’
A’
B”
C”
A”
H
R
N
gambar 8
10
Dari proses di atas, diperoleh bahwa kesembilan titik-titik Ao, B
o, C
o, A’, B’, C’, A”, B”, C”,
berada pada suatu lingkaran.
2.3 Pusat dan Jari-Jari Lingkaran Sembilan Titik
Perhatikan ABH pada gambar 9, A adalah titik tengah AHdan B adalah titik tengah
BH . Sehingga AB // B"A" dan B"A" = AB2
1.
Perhatikan BCH, B adalah titik tengah BH dan C adalah titik tengah CH . Sehingga
CB // C"B" dan C"B" = BC2
1.
Perhatikan ACH, A adalah titik tengah AHdan C adalah titik tengah CH . Sehingga
AC // C"A" dan C"A" = AC2
1.
Ini berarti bahwa ABC ABC = 1 : 2 dengan orthocenter yang sama yaitu H.
Perhatikan kembali ABC , telah dibuktikan bahwa A, B, dan C pada Lingkaran
Sembilan Titik. Ini berarti Lingkaran Sembilan Titik adalah lingkaran luar A B C.
Pusat lingkaran luar ABC adalah circumcenter segitiga itu sendiri yaitu R. Sehingga
pusat dari lingkaran luar ABC adalah N, dimana N adalah titik tengah antara
orthocenter dan circumcenter ABC, atau HR2
1HN . Berarti pusat Lingkaran
Sembilan Titik adalah N.
A B
C
A’
B’
C’
Ao B
o
Co
A” B”
C”
H
N
R
gambar 9
11
Perhatikan BRH pada gambar 9, B adalah titik tengah BH dan N adalah titik tengah
HR , sehingga BR2
1NB"danBR//NB" .
Karena R adalah titik pusat lingkaran luar ABC dan N adalah titik pusat lingkaran
sembilan titik, maka jari-jari lingkaran sembilan titik adalah setengah dari lingkaran luar
ABC.
2.4 Lingkaran Sembilan Titik dengan Maple
Dengan menggunakan Maple, dapat dengan mudah ditunjukkan bahwa kesembilan titik-
titik yang dimaksud di atas berada pada suatu lingkaran.
Dalam program ini, user dapat memasukkan titik-titik koordinat segitiga yang diinginkan
pada pendefinisian segitiga. Dalam makalah ini akan diperlihatkan visualisasi dari segitiga
ABC dengan koordinat titik A(-3,0), B(0,5), dan C(5,0).
Adapun langkah dan sintak dari program Lingkaran Sembilan Titik dengan Maple adalah
sebagai berikut:
> restart;
> with(geometry):
Mendefinisikan Segitiga ABC.
> triangle(ABC,[point(A,-3,0), point(B,0,5), point(C,5,0)]):
Menentukan titik tengah dari BC, AC, AB.
> midpoint(A0,B,C):
midpoint(B0,C,A):
midpoint(C0,A,B):
Titik Kordinat A0, B0, dan C0
> 'A0'=coordinates(A0);
'B0'=coordinates(B0);
'C0'=coordinates(C0);
A0
,
5
2
5
2
B0 [ ],1 0
C0
,
-3
2
5
2
12
Menentukan orthocenter dan circumcenter dari ABC.
> orthocenter( H, ABC ):
circumcircle( L, ABC,'centername'=R ):
Titik Koordinat orthocenter dan circumcenter
> 'H'=coordinates(H);
'R'=coordinates(R);
H [ ],0 3
R [ ],1 1
Menentukan Garis tinggi dari ABC.
> altitude(AA1, A, ABC, A1):
altitude(BB1, B, ABC, B1):
altitude(CC1, C, ABC, C1):
Koordinat Titik A1, B1, dan C1
> 'A1'=coordinates(A1);
'B1'=coordinates(B1);
'C1'=coordinates(C1);
A1 [ ],1 4
B1 [ ],0 0
C1
,
-15
17
60
17
Menentukan titik - titik A11, B11, C11, yaitu titik tengah orthocenter dengan titik-titik sudut
segitiga ABC.
> midpoint(A11, A, H):
midpoint(B11, B, H):
midpoint(C11, C, H):
Koordinat Titik A11, B11, dan C11
> 'A11'=coordinates(A11);
'B11'=coordinates(B11);
'C11'=coordinates(C11);
A11
,
-3
2
3
2
B11 [ ],0 4
C11
,
5
2
3
2
13
Lingkaran dengan pusat N yaitu titik tengah antara orthocenter dengan circumcenter dan
berjari-jari 1/2*jari-jari circumcenter
> circle( L1, [midpoint(N, H, R), 1/2*radius(L)] ):
Persamaan Lingkaran L1
> Equation(L1);
enter name of the horizontal axis > x;
enter name of the vertical axis > y;
x2 y2 x 4 y 0
> radius(L1);
1
217
Cek bahwa A0, B0, C0, A1, B1, C1, A11, B11, C11 pada lingkaran L1.
> IsOnCircle(A0, L1);
IsOnCircle(B0, L1);
IsOnCircle(C0, L1);
IsOnCircle(A1, L1);
IsOnCircle(B1, L1);
IsOnCircle(C1, L1);
IsOnCircle(A11, L1);
IsOnCircle(B11, L1);
IsOnCircle(C11, L1);
true
true
true
true
true
true
true
true
true
14
Visualisasi dari Lingkaran Sembilan Titik.
>draw([ABC(style=line,color=blue),A0,B0,C0,H,A1,B1,C1,A11,B11,
C11,AA1(symbol=point),BB1(symbol=point),CC1(symbol=point),R,L(
style=line, color=magenta), N, L1(style=line, filled=true,
color='COLOR'(RGB,2,2,0.8))],scaling=constrained,style=point,
symbol=circle,axes=normal);
Pada program ini, user dapat menentukan titik-titik koordinat segitiga yang
diinginkan. Setelah segitiga didefinisikan, program akan mencari titik-titik yang dimaksud
dan menghitung koordinatnya.
Dalam program ini, didefinisikan bahwa
- A0, B0, dan C0 masing-masing adalah titik tengah BC , AC , dan AB .
- A1 adalah titik potong garis tinggi dari titik A dengan BC , B1 adalah titik potong
garis tinggi dari titik B dengan AC , dan C1 adalah titik potong garis tinggi dari titik
C dengan AB .
- A11 adalah titik tengah AH , B11 adalah titik tengah BH , dan C11 adalah titik
tengah CH .
Didefinisikan juga bahwa H adalah orthocenter dari segitiga dan R adalah circumcenter dari
segitiga. Dari R, dapat dibuat lingkaran luar segitiga L.
L1 adalah lingkaran sembilan titik yang dimaksud dengan titik pusat N, dimana N adalah
titik tengah antara H dan R.
15
Yang paling penting disini adalah akan ditunjukkan bahwa kesembilan titik yang
dimaksud berada pada lingkaran L1. Pada program ini dituliskan dengan “IsOnCircle(Nama
Titik,Lingkaran L1”); jika output adalah “True” maka benar bahwa titik tersebut berada pada
lingkaran L1. Visualisasi dari segitiga dan lingkaran sembilan titiknya ditunjukkan dengan
perintah “draw”.
Lingkaran sembilan titik ini dapat terjadi dari suatu segitiga, karena dari tiap-tiap sisi
diperoleh tiga buah titik, dari titik potong garis tinggi dengan sisi di hadapannya diperoleh
tiga titik, dan dari titik tengah orthocenter dengan titik sudut diperoleh tiga buah titik seperti
pada gambar 6 dan 10. Akan tetapi, ada suatu kasus pada segitiga siku-siku dimana terdapat
titik-titik yang berimpit. Dapat dilihat pada gambar 11 bahwa sisi tegak dari segitiga siku-
siku merupakan garis tinggi. Sehingga akan bertemu di satu titik. Jelas juga bahwa
orthocenter terletak pada titik yang sama yaitu pada titik sudut sikunya. Akibatnya titik
tengah sisi-sisi tegaknya berimpit dengan titik tengah orthocenter dengan titik sudut
lancipnya. Jadi pada segitiga siku-siku walaupun sebenarnya terdapat sembilan titik, yang
terlihat hanyalah lima titik karena ada titik-titik yang berimpit.
gambar 11; segitiga siku-siku gambar 10; segitiga tumpul
16
Demikian halnya dengan segitiga sama sisi dan segitiga sama kaki. Karena adanya titik-titik
yang berimpit, maka tidak terlihat sembilan titik yang berada pada suatu lingkaran.
Gambar 12; segitiga sama kaki Gambar 13; segitiga sama sisi
Gambar 14; segitiga siku-siku sama kaki
17
BAB III
PENUTUP
3.1 Simpulan
Berdasarkan pembahasan di atas, dapat disimpulkan bahwa
1. Pada sebuah segitiga terdapat sembilan titik yang dilalui oleh sebuah lingkaran,
dimana kesembilan titik tersebut diperoleh dari titik tengah masing-masing sisi
segitiga, titik potong garis tinggi dari masing-masing titik sudut dengan sisi di
hadapan sudut tersebut atau perpanjangannya, dan titik tengah yang menghubungkan
orthocenter dengan titik sudut segitiga. Hal ini dapat dibuktikan dengan menggunakan
teori-teori kesebangunan segitiga, poligon dan lingkaran seperti pada
pembahasansebelumnya. Lingkaran yang melalui kesembilan titik ini disebut dengan
Lingkaran Sembilan Titik.
2. Titik pusat lingkaran sembilan titik adalah titik tengah antara orthocenter dan
circumcenter segitiga dengan jari-jari setengah dari jari-jari lingkaran luar segitiga itu
sendiri.
3. Visualisasi kesembilan titik yang dimaksud terlihat pada segitiga sembarang. Melalui
Maple, ternyata untuk kasus-kasus khusus seperti segitiga sama sisi terlihat enam titik,
segitiga sama kaki terlihat delapan titik, segitiga siku-siku terlihat lima titik, dan
segitiga siku-siku sama kaki terlihat empat buah titik. Hal ini disebabkan karena pada
kasus-kasus khusus tersebut terdapat titik-titik yang berimpit.
3.2 Saran
Pada segitiga-segitiga yang khusus seperti segitiga sama sisi, segitiga sama kaki, dan
segitiga siku-siku tidak terlihat adanya sembilan titik yang terletak pada suatu lingkaran
karena adanya titik-titik yang berimpit. Oleh karena itu bagi pembaca yang berminat, dapat
melakukan pengkajian lebih mendalam terhadap permasalahan ini, serta memeriksa apakah
ada kemungkinan terdapat titik-titik lain yang terdapat pada lingkaran yang sama.
Bagi pembaca yang berminat bisa menyempurnakan program visualisasi lingkaran
sembilan titik yang penulis sajikan dalam makalah ini dengan menggunakan Maple atau
software yang lain. Karena program yang penulis sajikan masih kurang efisien yaitu harus
melakukan beberapa kali eksekusi untuk memperlihatkan visualisasi lingkaran sembilan titik.
Program ini belum bisa memperlihatkan visualisasi lingkaran sembilan titik hanya dalam
sekali eksekusi.
18
DAFTAR PUSTAKA
Greenberg, Marvin Jay. 1980. Euclidean and Non Euclidean Geometry. New York: W.H.
Freeman and Company
Wallace E.C.1992. Roads To Geometry. New Jersey: Prentice – Hall Inc.
Wardana, M.Jusuf, 1956. Ilmu Ukur Datar (Planimatra). Bandung: Pustaka Pakuan
19
DAFTAR ISI
KATA PENGANTAR ............................................................................................... ii
DAFTAR ISI ……………………………………………………………………….. iii
BAB I PENDAHULUAN
1.1 Latar Belakang ……………………………………………………………….. 1
1.2 Rumusan Masalah ……………………………………………………….…… 2
1.3 Tujuan ………………………………………………………………………... 2
BAB II PEMBAHASAN
2.1 Teori-Teori yang Mendasari ………………………………………………… 3
2.2 Lingkaran Sembilan Titik …………………………………………………… 7
2.3 Pusat dan Jari-Jari Lingkaran Sembilan Titik ……………………………….. 10
2.4 Lingkaran Sembilan Titik dengan Maple …………………………………… 11
BAB III PENUTUP
3.1 Simpulan …………………………………………………………………….. 17
3.2 Saran ………………………………………………………………………… 17
DAFTAR PUSTAKA
iii
Recommended