Bài 2 Biến ngẫu nhiên và phân phối xác suất

Bài 2Biến ngẫu nhiên và phân phối xác suất

Biến ngẫu nhiên

Biểu diễn định lượng các kết quả của thí nghiệm ngẫu nhiên

X là biến ngẫu nhiên

(

:

)

X

X

B

X(B)

Biến ngẫu nhiên

Biến ngẫu nhiên

Biến ngẫu nhiên rời rạc

Biến ngẫu nhiên liên tục

Biến ngẫu nhiên rời rạc

Có miền giá trị là tập hữu hạn hoặc vô hạn đếm được

Ví dụ Tung một con xúc sắc 2 lần

Đặt X là số lần mặt 4 điểm xuất hiện. X có thể nhận

các giá trị 0, 1, hoặc 2.

Tung đồng xu 5 lần

Đặt Y là số lần xuất hiện mặt hình.

Thì Y = 0, 1, 2, 3, 4, hoặc 5

Biến ngẫu nhiên rời rạc

Ví dụ

Tung một con xúc sắc cân đối và đồng chất

Đặt X = Số lần tung cho đến khi mặt 6 điểm xuất hiện.

X = 0, 1, 2, …

Phân phối xác suất của biến ngẫu nhiên rời rạc

Xét biến ngẫu nhiên rời rạc X nhận các giá trị x1, x2, …, xn.

Hàm xác suất của X:

Để đơn giản, ký hiệu pi=f(xi)=P(X=xi)

ĐK

( ) ( )i if x P X x

( ) 0if x

1

( ) 1n

ii

f x

x1 x2 Xn-1xn

f(x1)

f(x2)

f(xn-1) f(xn)

1

Phân phối xác suất của biến ngẫu nhiên rời rạc

Thí nghiệm: Tung 2 đồng xu.Đặt X: số lần xuất hiện mặt hình.

S

S

S

S

H

H

H H

4 khả năng có thể xảy raPhân phối xác suất

x P(x)

0 1/4 = .25

1 2/4 = .50

2 1/4 = .25

0 1 2 x

.50

.25

Xác

su

ất

Biến ngẫu nhiên liên tục

Có miền giá trị là R hoặc một tập con của R. Ví dụ

- Chiều cao, cân nặng.

- Thời gian để hoàn thành 1 công việc.

Phân phối xác suất của biến ngẫu nhiên liên tục

Hàm mật độ xác suất

f(x) gọi là hàm mật độ xác suất của biến ngẫu nhiên liên tục X nếu

) ( ) 0

) ( ) 1

x

ii f x dx

i f x

Phân phối xác suất của biến ngẫu nhiên liên tục

Tìm P(a<X<b)?f(x) P a x b( )≤≤

P a x b( )<<=

( ) ( )b

a

P a X b f x dx a b

Phân phối xác suất của biến ngẫu nhiên liên tục

Lưu ý:

Do đó

( ) ( ) 0c

c

P X c f x dx

( ( )

( ) ( )

) XP b

P a X b P a X b

a X b P a

Hàm phân phối xác suất

Xét biến ngẫu nhiên X, hàm phân phối xác suất của X, ký hiệu F(x), được định nghĩa như sau

Xác suất X thuộc (a,b]

( ) xF x P X

)( ( ) ( )b F aP b Fa X

Hàm phân phối xác suất

Tính chất

1) .

2) F(x) là hàm không giảm: nếu a<b thì F(a)

F(b).

3)

0 ( ) 1F x

) lim(

(

( ) 0

) lim ( ) 1x

x

F

F

F x

F x

Nếu X là biến ngẫu nhiên liên tục có hàm phân phối F(x) thì hàm mật độ f(x) = F’(x) tại những điểm liên tục của X.

Hàm phân phối xác suất của biến ngẫu nhiên rời rạc

Xét biến ngẫu nhiên rời rạc X nhận n giá trị x1, x2, …, xn (x1<x2< …< xn) với các xác suất tương ứng p1, p2, …, pn.

Với pi = P(X=xi).

Bảng phân phối xác suất của X X x1 x2 … xn-1 xn

P p1 p2 … pn-1 pn

Hàm phân phối xác suất của biến ngẫu nhiên rời rạc

Hàm phân phối xác suất của X tại điểm x0

Cụ thể

)xP(X)F(x 00

0

0x x

F(x )i

ip

Hàm phân phối xác suất của biến ngẫu nhiên rời rạc

1

1 2

2 3

1

1

1 2

2 1 1

0 ,

,

,)( ) (

,

,1n n n

n

p

p pF x P

x x

x x x

x x xx

p p p x x x

x x

X

Hàm phân phối xác suất của biến ngẫu nhiên rời rạc

Ví dụ

Tung con xúc sắc cân đối và đồng chất.

Đặt

X = “Số điểm mặt trên con xúc sắc”

Lập bảng phân phối xác suất cho X.

Viết hàm phân phối.

Hàm phân phối xác suất của biến ngẫu nhiên rời rạc

Ví dụ

Tung một đồng xu cân đối.

Đặt

X = Số lần tung cho đến khi xuất hiện mặt hình.

Lập bảng phân phối xác suất cho X.

Viết hàm phân phối.

Hàm phân phối xác suất của biên ngẫu nhiên liên tục

Xét biến ngẫu nhiên liên tục X có hàm mật độ xác suất f(x), hàm phân phối xác suất của X

( ) ( )x

F x P X f u dux

Hàm phân phối xác suất của biên ngẫu nhiên liên tục

Ví dụXét biến ngẫu nhiên liên tục X có hàm mật độ xác suất

Tìm hàm phân phối F(x). Tính P(1<X<3/2).

2 ,0 23

( 8,

)0

xf x

x

Kỳ vọng của biến ngẫu nhiên

Là giá trị trung bình theo xác suất của tất cả các giá trị có thể có của biến ngẫu nhiên.

Kỳ vọng phản ánh giá trị trung tâm của phân phối xác suất

Kỳ vọng của biến ngẫu nhiên rời rạc

Xét biến ngẫu nhiên rời rạc X có bảng phân phối xác suất

Với pi = P(X=xi) và .

X x1 x2 … xn-1 xn

P p1 p2 … pn-1 pn

1

1n

ii

p

Kỳ vọng của biến ngẫu nhiên rời rạc

Kỳ vọng của X

Kỳ vọng thường được ký hiệu là .

Tổng quát

1

n

i ii

EX x p

( )x

EX xP X x

Kỳ vọng của biến ngẫu nhiên rời rạc

Ví dụ

Tung con xúc sắc. Đặt

X = Số điểm mặt trên con xúc sắc. Tính EX.

EX = 1x1/6 + 2x1/6 + … + 6x1/6 = 7/2

X 1 2 3 4 5 6

P 1/6 1/6 1/6 1/6 1/6 1/6

Kỳ vọng của biến ngẫu nhiên liên tục

Xét biến ngẫu nhiên liên tục X có hàm mật độ xác suất f(x).

Kỳ vọng của X

( )EX xf x dx

Ví dụ. Cho biến ngẫu nhiên liên tục X có hàm mật độ

Tính EX.

2 ,0 1

0(

,)

xxf x

Tính chất của kỳ vọng

1) EC = C, C: hằng số

2) E(CX) = C.EX

3) E(X + Y)=EX + EY

4) E(XY) = EX.EY nếu X và Y độc lập

5) Cho hàm số h(x), khi đó

nếu X rời rạc

nếu X liên tục

1

( ) ( )n

i ii

Eh x h x p

( ) ( ) ( )Eh x h x f x dx

Tính chất của kỳ vọng

Ví dụ

Cho h(x) = x2, h(X)=X2

nếu X rời rạc

nếu X liên tục

1

22i

n

ii

EX x p

2 2 ( )EX x f x dx

Phương sai của biến ngẫu nhiên

Biểu thị độ phân tán của các giá trị của biến ngẫu nhiên xung quanh giá trị trung bình của nó. Nếu phương sai bé thì các giá trị của X tập trung gần trung bình.

Xét biến ngẫu nhiên X có kỳ vọng EX, phương sai của

X

Phương sai thường được ký hiệu là 2.

2

2 2

( )

( ) =

VarX E X EX

EX EX

Phương sai của biến ngẫu nhiên rời rạc

Xét X là biến ngẫu nhiên rời rạc. Ký hiệu = EX.

hoặc

22

1

( )n

i ii

VarX E X EX x p

22 2

1

2n

ii

VarX EX EX x p

Phương sai của biến ngẫu nhiên rời rạc

Ví dụ

Tung 2 đồng xu. Đặt

X = Số lần xuất hiện mặt hình.

Tính VarX.

Bảng phân phối xác suất

X 0 1 2

P 0.25 0.5 0.25

EX=0x0.25 + 1x0.5 + 2x0.25=1VarX = EX2 – (EX)2 = = (0x0.25 + 1x0.5 + 4x0.25) – 1 = 0.5

Phương sai của biến ngẫu nhiên liên tục

Xét X là biến ngẫu nhiên liên tục có hàm mật độ xác suất f(x).

Ký hiệu = EX.

hoặc

22( ) ( )VarX E X EX x f x dx

22 2 2( )VarX EX EX x f x dx

Phương sai của biến ngẫu nhiên liên tục

Ví dụCho biến ngẫu nhiên liên tục X có hàm mật độ xác suất

Tính EX, VarX.

2 ,0 23

( 8,

)0

xf x

x

Độ lệch tiêu chuẩn

Độ lệch tiêu chuẩn của một biến ngẫu nhiên, là căn bậc hai của phương sai.

Ký hiệu: .

2 VarX

Tính chất của phương sai

1) Var(c)=0, c:hằng số

2) Var(cX)=c2VarX

Var(X+c)=VarX

3) Var(X + Y) = VarX + VarY nếu X và Y độc lập.