BİLİM ve...

1

BİLİM ve TEKNOLOJİDEKİ GELİŞMİŞLİĞİN MATEMATİKSEL

TEMELİ

Prof. Dr. İrfan ŞİAP

isiap@yildiz.edu.tr

Yıldız Teknik Üniversitesi

Matematik Bölümü

Temmuz 2011

2

SUNUM AKIŞI

Bilim, Teknoloji ve Matematik nedir? Uygulamalı ve Soyut Matematik Nedir? Matematik ve Görüntü İşleme Matematik ve Hata Düzelten Kodlar Matematik ve Şifreleme Matematik ve Tıp Teknolojisi DNA ve Matematik Sorular

3

Bilim, Matematik ve Teknoloji

BİLİM: Gözlem, benzerlikler ve örüntüler yardımıyla çevremizdeki doğal olayları araştırmaktır.

MATEMATİK: Örüntüleri, düzen ve niceliklerin özelliklerini, ölçümlerini ve aralarındaki ilişkileri araştıran bilim dalıdır.

TEKNOLOJİ: Bilgi üretimi ve uygulaması ile problemleri çözen; sistemler üretilerek yeniliklerin uygulanmasıdır.

4

Aralarındaki ilişki nedir?

BİLİM: Doğayı anlamaya yardımcı olur.

MATEMATİK: Ölçme, tahminde bulunma, olaylar arasında bağıntı kurmaya yardımcı olur.

TEKNOLOJİ: istek ve ihtiyaçlarımızı karşılamak için gerekli yazılım, donanım ve sistemleri sağlar.

BİLİM ve TEKNOLOJİDEKİ GELİŞMİŞLİĞİN MATEMATİKSEL TEMELİ Şubat 2010 -TUSSİDEBİLİM ve TEKNOLOJİDEKİ GELİŞMİŞLİĞİN MATEMATİKSEL TEMELİ Temmuz 2011

5

Matematik, Bilim ve Teknoloji arasındaki ilişki:

Bilim teknoloji için bilgi kaynağı sağlar.Matematik hem bilim hem de teknoloji

için bir araçtır. Teknoloji bilim için araç ve malzeme

sağlar.

MATEMATİK VE BAZI ALANLAR6

MATEMATİKEKONOMİ

Toplumda ve Teknolojide Matematik7

Problem/Uygulama Matematiğin KatkısıMRI veCAT Görüntüleme Integral dönüşümleri, geometriİnternet: arama motorları, sıkıştırma Graf (Çizge) Teorisi, Lineer Cebir, dalgacıklar

(wavelets)Finans Olanaklarını Değerlendirme Black-Scholes modeli ve Monte Carlo simülasyonuUydu ve Benzeri Görüntü Alma Görüntü işleme, veri derlemeGüvenlik ve Emniyet Sayılar Teorisi, Şifreleme, KombinatörikAtmosfer ve Okyanusları Modelleme Dalgacıklar, istatistik, sayısal analizİnsan Genlerin Analizi Veri madenciliği, örüntü tanıma, algoritmalarİlaç tasarımı Veri madenciliği, istatistik, optimizasyonDijital Eğlence, Animasyon Görüntü işleme, geometrik ve grafik algoritmalarAeordinamik Tasarım Diferensiyel denklemler, optimizasyonDeprem Analizi ve Tahminler İstatistik, dinamik sistemler

8

MATEMATİK

Uygulamalı Matematik: Çevremizdeki doğal olayları modelleme ve bu modellerin özelliklerini inceleme ile ilgilenir.

Soyut Matematik: Aksiyomlar ile belirlenmiş kümeler üzerindeki işlemleri inceleme ile ilgilenir.

9

Matematik ve Teknolojik Uygulamaları

DNA ve Matematik

Üzerinde Durulacak Ana Başlıklar

Dijital Bilgi depolama ve aktarımıGörüntü işleme Kodlar- Hata Düzelten KodlarŞifrelemeX ışını –Tomografi ve Radon Dönüşümü

10

GÖRÜNTÜ İŞLEME

Hırsız banka soyar

Araba ile kaçar

Polis tarafından takip edilir.

İyi Haber: Arabanın plakasının fotoğrafı çekilir.

Kötü Haber: Fotoğraf net değildir!

11

Görüntü işleme

Fotoğraf-Plaka

Bozulmuş Fotoğraf

12

Problemin Çözümü

Fotoğraf

f(x)

Etki eden

g(x)

Bozulmuş Foto

h(x) = f(x)*g(x)

Matematik yardımıyla bozulmaya neden olan g(x) fonksiyonu hesaplanarak, fotoğraftaki hata düzeltilebilir!

13

Görüntü işlendikten sonra:

Plaka okunabiliyor!

14

DİJİTAL GÖRÜNTÜLER

CD DVD MOBİL İLETİŞİM ARAÇLARI TV …

Görüntünün sayısal temsili

15

Diğer Uygulamalar

Animasyon- PIXAR Trigonometri: HareketlerCebir: ParlaklıkAnaliz: Işıklandırma100 adet süper bilgisayar-1/24 saniyelik bir film için 5-6 saat gerekli!

16

CD ve İçindeki Matematik-Hata Düzelten Kodlar

CD

Galois

1sn lik müzik yaklaşık:4 321 800 bit (bit: 0 veya 1)

1 CD dijital formda yaklaşık: 5 km bit!

Yeni bir CD: ortalama

500000 hata olabilir (van Lint)

17

ÖRNEKLERLE KODLAMA HATA KONTROLÜ VE DÜZELTME

Örnek 1: International Standard Book Number (ISBN)

9-758-64403-3

Dil Basımevi kontrol hanesi (bit)Kitap numarası9 - 758 - 64403 - 3

18

18

1 2 3 4 5 6 7 8 9 3 mod 119 7 5 8 6 4 4 0 3

Dil Basımevi kontrol hanesi (bit)Kitap numarası9 - 758 - 64403 - 3

Genel olarak: ISBN No:

5 71 2 3 4 6 8 9 10d d d d d d d d d d

510 1 2 3 4

76 8 9

1 2 3 4 56 7 8 9 mod 11

d d d d d dd d d d

10 10d X

ISBN kodlaması bir hata tespit edebilir!

19

Ali, Oya’ın güvenli bir şekilde geçebileceği güzergah yönünü aşağıdaki gibi verir:

KKBKKBBGGBBKKKKBBK

C1 = {00, 01, 10, 11}

000001000001011111010100000000010100

{K, B, G, D}

C2 = {000, 011, 101, 110}

C3 = {00000, 01101, 10110, 11011}

1 hata tespit edilebilir.

1 hata düzeltebilir.

20

BİLGİ TRANSFER ŞEMASI

1011

zararlıetki

1010010

10110101011010

1011

Güncel hayatımızda bu şekilde hataları düzeltme örneğimiz var mı?

21

Örnek 4:"KODLAMA“ sözcüğü

Haberleşme-Depolama Kanalın Özellikleri:

0.1y hatalı sembol ulaşma olasılığı

0.9d hatasız sembol ulaşma olasılığı.

Kodlamadan önce:

7 0.48d doğru bilginin ulaşma olasılığı:

Uzaydan Görüntü İletme:

22

Kodlamadan sonra: ( 5 kez tekrar kodu ile)

“KKKKKOOOOODDDDDLLLLLAAAAAMMMMMAAAAA”

doğru harfi dekodlama olasılığı 5 4 3 25 10 0.99d d y d y

doğru bilginin ulaşma olasılığı! 7(0.99) 0.94

(Tekrarlı) Kodlama yapmadan önce doğru bilgi ulaşma olasılığı:

Kodlamadan sonra ise;7(0.99) 0.94

7 0.48d

23

ŞİFRELEME - KRİPTOGRAFİ

Sade Metin Şifreleme

(Anahtar kullanılır)

Şifrelenmiş

MetinÇözümleme

DeşifrelemeSade Metin

Gönderen Alıcı

24

Simetrik Şifreleme Örneği

Permütasyon Şifrelemesi:

A B C Ç D E F G Ğ H İ I J K L M N O Ö P R S Ş T U

Ü V Y Z

Z A BC

Ç

D

E

F

G

Ğ H İ IJ K LM NO Ö P RSŞ T U

Ü

V Y

A L İ Ğ S D

29! Şifreleme anahtarı mevcuttur.

Deneme yanılma ile çözme bilgisayar desteği ile yıllar alır!

İstatistik işe yarar mı?

25

Simetrik Şifreleme Örneği-2

A B C Ç D E F G Ğ H İ I J K L M N O Ö P R S Ş T U0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1

011

12

13

14

15

16

17

18

19

20

21

22

23

24

Ü V Y Z25 26 27 28

A 0 00000

B 1 00001

Y 27 11011

Z 28 11100

İkili Sistemde-5 uzunluğunda

26

Simetrik Şifreleme Örneği-2 devamı

ALİ 0000001001001010

Bir paragraf yaklaşık 200 kelime

Yaklaşık 600 karakter (harf)

Anahtar = Gelişigüzel (Keyfi) 0 ve 1 lerden oluşan bi sıralı dizi olsun.

Örneğin: 011001001110010010111000110…..1001

2600 Durum sözkonusu Çok güvenli

Pratik yani kullanışlı değil! Neden?

Anahtar Değişimi Gizli Yapılmalı!

Yer, Zaman, Olanaklar!

27

Asimetrik (Açık) Şifreleme Örneği

dinlemeAyça Kaya

Aralarında herhangi bir gizli ön iletişim yok

28

The Diffie-Hellman (1976) Anahtar Değişimi(Açık Şifreleme Metodu)

Zq – özel q seçimi yapılır! Ör: Z5={0,1,2,3,4} q = | Zq | g –Zq grubun üreteci

Ayça Kaya

x ← Zqh1 = gx

y ← Zqh2 = gy

çıktıkA=(h2)x

çıktıkB=(h1)y

gyx gxyEŞİT!

29Diffie-Hellman Metodun Güvenirliği

h1 = gx h2 = gyG,g

Bilinmekte- Halka Açık!

gyx bilinmiyor?

gyx ?

30

Anahtar Kırmak için gerekli zaman!

Anahtar Uzunluğu(bits)

Olası Anahtar Seçeneklerin sayısı

106 çözümleme/ µshızında gerekli zaman

32 232 = 4.3 x 109 2.15 mili saniye

56 256 = 7.2 x 1016 10 saat

128 2128 = 3.4 x 1038 5.4 x 1018 yıl

168 2168 = 3.7 x 1050 5.9 x 1030 yıl

31

Anahtarı Bulmak için Gerekli Zaman

128 bits AES standardı olarak kullanılmakta (2001’den günümüze.)256 bits ABD Çok Gizli İletişim için kullanılmakta

32

RSA – AÇIK ŞİFRELEME ÖRNEĞİ

Bu metodun güvenliği bir sayının (yeterince büyük) çarpanlarına ayrılışının güç (zaman alması) üzerine kuruludur.

77 nin asal çarpanları? 7 ve 11

70058167 nin asal çarpanları nedir? 8867 ve 7901

33

Mesaj şifreleme için kullanılacak küçük sayılan bir anahtar örneği:

27997833911221327870829467638722601621070446786955428537560009929326128400107609345671052955360856061822351910951365788637105954482006576775098580557613579098734950144178863178946295187237869221823983

Asal çarpanları nelerdir?

34

Çarpanlara Ayırma – Bir Örnek

N=pq ve

p = 3532461934402770121272604978198464368671197400197625023649303468776121253679 423200058547956528088349

q = 792586995447833303334708584148005968773797585736421996 0734330341455767872818 152135381409304740185467

N= 279978339112213278708294676387226016210704467869 55428537560009929326128400107609345671052955360856061822351910951365788637105954482006576775098580557613579098734950144178863178946295187237869221823983

RSA-200 challenge, 5/9/05 tarihinde çarpanlarına Jens Franke’in ekibi tarafından BonnÜniversitesi (Almanya) da ayrıldı. Ödül 20,000 A.B.D $.

35

Dijital Fotoğraflarda Bilgi Saklama(Steganography)

Her bir rengi temsil eden sayı grubunun sonuna iki hane eklenmiştir.

(Şifreleyen kişi bilmektedir!)

Son iki haneler kullanılarak yukarıdaki gizlenmiş resim elde edilir!

36

Matematik ve TIP Teknolojisi

CAT = Computerised axial tomography

Roengten tarafından icat edilen X-Ray tabanlıdır.

X-Ray: Gölge!

İYİ Kemik (sert doku) incelemesi

KÖTÜ Yumuşak doku incelemesi

37

MODERN MATEMATİK İLE DAHA İYİSİ YAPILABİLİR

Modern CAT Tarayıcıları

CAT Tarayıcıları: Çeşitli sayı ve açılarda X – ışınları göndererek elde edilen verileri matematik yardımıyla fotoğrafa çevirirler!

38

X ışının ölçülmesi ile Nesnenin Şeklinin Belirlenmesi

X-Işın Kaynağı

Nesne

Detektör

X

Detektör deki X ışının yoğunluğu nesnenin

kalınlığına bağlıdır.

Kalınlığı ölçebiliyoruz … Şekli çizebilir miyiz?

Yoğunluk

X

39

CAT’ in Çalışması

Kaynak ve Detektörleri hareket ettirerek, Nesnenin gölgeleri farklı açılardan elde edilir ve X-ışın yoğunlukları ölçülür

40

nesne

kaynak

detektör

X-ışınıρ : Nesnenin merkezinden olan uzaklık

θ : X-ışının açısı

X-Işının Sönümü R(ρ, θ) yi hesaplayalım:

41

Nesne

ρ

θ

Nesnenin Radon Transformu!

R(ρ, θ)’nın grafiği

42

Nesne

R(ρ, θ)’nın grafiği

ρ

θ

kenar kenar

kenar kenar

43

R(ρ, θ)’nın hesaplanması

R(ρ, θ)’nin hesaplanması = nesnenin f(x,y) yoğunluk fonksiyonun hesaplanması

•Radon (1917) tarafından Matematik formül keşfedildi

• Bu formülü kullanacak bilgisayar ve

makinaların icatı için 60 yıl geçmesi gerekiyordu! • Cormack cihazı keşfetti ve Nobel ödülü aldı!

• Radon ödül almadı!

44

Radon Formülü

Radon dönüşümü

Geri Dönüşüm (projeksiyon)

Bir çok farklı uygulamalar:

•X-ışını ve mumyalar

•Isıyı gözlemek

•Uzaktan Algılama …

45

Radon Dönüşümü - Mayınlar

Mayınlar kırsal (orman, vs…) alanlarda yaprak veya benzeri doğal bitkiler ile örtülüdür. Tetikleyici tel gibi tuzaklar gözle kolayca tespit edilememektedir.

46

Tuzak-mayınları tetikleyen tel(ler), nerede?

47

Dijital Foto ile görüntü ve Radon Dönüşümü

••

•

•

x

y

θ

f(x,y)

Radon dönüşümü

ρ

R(ρ,θ)

R(ρ,θ) deki yüksek yoğunluklu noktalar fotoğraftaki tel tuzaklarını göstermektedir!

Noktaları tespit ettikten sonra geri dönüşüm (ters fonksiyon) ile teller tespit edilir!

48

Geri Dönüşüm ile Mayınlar Tespit edilir:

DNA VE MATEMATİK49

…ACGTGACTGAGGACCGTGCGACTGAGACTGACTGGGTCTAGCTAGACTACGTTTTATATATATATACGTCGTCGTACTGATGACTAGATTACAGACTGATTTAGATACCTGACTGATTTTAAAAAAATATT…

DNA DİZİLİMİ E.Coli bakterisi: 5 Milyon Bazı var!

İnsan:1 çekirdek3 Milyar

50DNA Dizilimi (shotgun)

Gelişigüzel kesitler

Bilinen uzaklık İleri-geri okumalar

~500 bp~500 bp

hedef DNA

DNA Dizilimi51

Hedef DNA: AAATGCG

Kesitlerden-DNA Dizlimi Tek değildir!

Kesitler: ACT, CTA, TAC

Farklı dizimler aynı kesitlere sahip olabilir!

TTTTTTTTATACACGCGC

İdeal durum

HEDEF: ……TTTTACGC……TTTTTTTTATACACGCGCTGA

Hatalı Durum

DNA 1: ACTACDNA 2: TACTA

1958

EULER- Konigsberg Köprüleri (1736)54

Köprülerin Grafik (Çizge) Gösterimi55

7-Köprü56

Karalara Ulaşım Yolları57

Euler Yaklaşımı58

Hamilton Problemi - NP Zor

Köprülerden en fazla bir kez geçmek koşuluyla tüm köprüleri kullanmak üzere başlangıç noktasına dönecek şekildeki seyahat yolunu bulma.

Köprüler Köşe, Yollar Kenar ise: Tüm köşelerden geçmek üzere an az kenar kullanma problemine Hamilton Problemi denir.

59

Euler (1736) bu problemi denk olan: Köprüleri yol, yolları köşe olmak üzere değiştirdi .Soru (Euler Yolu): Her köşeden tam bir kez geçmek üzere tüm köşeleri içeren, başlangıç noktasına dönmek koşuluyla en kısa seyahat!

ÖRNEK- 4 lü kesitlerden dizilim elde etme

Kesitler: {ATAG, TAGG, AGGC, GGCA, GCAG, CAGG,

AGGA}

60

AGGA

CAGG

AGGC

GCAG

ATAG

GGCA

TAGG

ÖRNEK- 4 lü kesitlerden dizilim elde etme61

AGGA

CAGG

AGGC

GCAG

ATAG

GGCA

TAGG

ATAGTAGGAGGCGGCAGCAGCAGGAGGA

ATAGGCAGGA

ÇÖZÜM: HAMİLTON YOLU

DNA DİZİMİ İLE İLGİLİ LİTERATÜR

Bilinen en iyi uygulamalar:

Tabu arama algoritması: Blazewicz et al., 2000Overlapping windows heuristic: Blazewicz et al.,

2002SOPAS – Genetik algoritma: Endo, 2004

62

DİZİLİMİ BULMA PROBLEMİ63

İdeal Durum (tekrar ve hata olmaksızın) Duruma karşılık gelen çizgede Eulerian yol bulma

problemine denktir. (Pevzner, 1989) Lineer zamanlı bir algoritme (Fleischner, 1990)

Genel durum: NP-zorluğunda bir problem

DNA İLE ÇALIŞAN BİLGİSAYARLAR64

DNA computers, tomorrow’s realityLila Kari

] L.Adleman. Molecular computation of solutions to combinatorial problems.

Science v.266, Nov.1994, 1021– 1024.L.Adleman. On constructing a molecular computer,ftp: /ftp/pub/csinfo/papers/adleman/molecular computer.ps

65

Matematiğin Diğer Uygulama Alanları

•Modelleme (Doğal olaylar, vs.)•Hızlı Hesaplamalar (Bilgisayar, Animasyon-Filmler, Quantum!)•Yaklaşık Hesaplamalar (Modeller, Hesap

makinaları)•İstatistik ve Olasılık (Bankacılık, Sosyal olaylar,vs.)•Veri Düzenleme (Bilgisayar, vs.)•Optimizasyon (Ulaştırma, internet, vs.)• Kombinatöriyel Matematik, Algoritmalar (DNA)

66

MATEMATİK VAZGEÇİLMEZDİR!

Matematik alanındaki gelişmeler Teknolojide kullanılacak olan araçların inşası ve geliştirilmesi için olanaklar (denklemler…) sağlar.

Dolayısıyla, Matematik Teknolojinin gelişmesi için vazgeçilmez bir araçtır.

GALILEO GALILEI (1600)

DOĞA KİTABI MATEMATİK DİLİYLE YAZILMIŞTIR

67

TEŞEKKÜRLER

Siz DinleyenlereVe

Bu etkinliği organize edenSayın Prof. Dr. Mehmet AYİle Ekibi ve destekleri için

TÜBİTAK-BİDEB’naTeşekkürler