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Bruckenkurs Mathematik
Vorlesung
Dreiecke und Vektorrechnung
Kai Rothe
Technische Universitat Hamburg
0 Bruckenkurs Mathematik, c©K.Rothe, Vorlesung Dreiecke und Vektorrechnung
Geometrie des Dreiecks . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
Rechtwinklige Dreiecke . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
Trigonometrische Formeln . . . . . . . . . . . . . . . 4
Satz des Pythagoras . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
Vektoren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
Rechnen mit Vektoren . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
Euklidische Norm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
Skalarprodukt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
Kreuzprodukt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
Bruckenkurs Mathematik, c©K.Rothe, Vorlesung Dreiecke und Vektorrechnung 1
Geometrie des Dreiecks
α β
γ
ab
c (= g)
h
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HHHHHH
HHHHHH
HHHHHH
HHHHHHHH
�r
h = Hohe
α, β, γ: Winkel im Dreieck
a, b, c: gegenuberliegende Seitenlangen zu α, β, γ,
g = Grundseitenlange
2 Bruckenkurs Mathematik, c©K.Rothe, Vorlesung Dreiecke und Vektorrechnung
Was ist uber ein beliebiges Dreieck bekannt?
• Flacheninhalt
F =1
2· g · h
•Winkelsumme
α + β + γ = 180◦
• Sinussatza
sinα=
b
sin β=
c
sin γ
• Kosinussatz
c2 = a2 + b2 − 2ab cos γ
Bruckenkurs Mathematik, c©K.Rothe, Vorlesung Dreiecke und Vektorrechnung 3
Rechtwinklige Dreiecke
α
a = r cosα Ankathete
b = r sinαGegenkathete
Hypotenuse = c = r
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Die Ankathete ist diejenige Seite, die an dem betrach-teten Winkel α liegt.
Die Gegenkathete ist diejenige Seite, die gegenuberdem betrachteten Winkel α liegt.
Die Hypotenuse ist diejenige Seite, die gegenuberdem rechten Winkel liegt.
4 Bruckenkurs Mathematik, c©K.Rothe, Vorlesung Dreiecke und Vektorrechnung
Trigonometrische Formeln
sin (Winkel) =Gegenkathete
Hypotenuse
cos (Winkel) =Ankathete
Hypotenuse
tan (Winkel) =Gegenkathete
Ankathete
In Formeln:
sinα =b
c⇔ b = c sinα
cosα =a
c⇔ a = c cosα
tanα =b
a=
sinα
cosα
Bruckenkurs Mathematik, c©K.Rothe, Vorlesung Dreiecke und Vektorrechnung 5
Satz des Pythagoras
a2 + b2 = c2
a
a a2
b
b
b2c
c
c2
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AAAAAAAAAAAAAAA
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6 Bruckenkurs Mathematik, c©K.Rothe, Vorlesung Dreiecke und Vektorrechnung
Zerlegungsbeweis
(a + b)2 = c2 + 4 · ab2⇔ a2 + b2 = c2
a
a
a
b
b
b
c
c2
ab
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AAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAA
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Bruckenkurs Mathematik, c©K.Rothe, Vorlesung Dreiecke und Vektorrechnung 7
Vektorrechnung
Warum Vektoren?
Manche Großen wie Temperatur oder Masse- skalare Großen -
sind allein durch eine Zahl bestimmbar.
Andere Großen wie Geschwindigkeit oder Kraft benoti-gen neben einer Zahl die Angabe der Richtung:
Sie konnen durch einen Pfeil dargestellt werden, derdurch Lange und Richtung eindeutig bestimmt ist.
Solche Großen nennt man vektorielle Großen.
8 Bruckenkurs Mathematik, c©K.Rothe, Vorlesung Dreiecke und Vektorrechnung
Was ist ein Vektor?
Ein Vektor ist anschaulich ein Pfeil in der Ebene R2
oder im Raum R3 mit einer Richtung und einer Lange.
Mathematisch korrekt versteht man unter einem Vektoreinen geordneten 2-Tupel (bzw. einen 3-Tupel)
(x1x2
)∈ R2 bzw.
x1x2x3
∈ R3.
x-Achse
y-Achse
x1
x2
-
6
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Bruckenkurs Mathematik, c©K.Rothe, Vorlesung Dreiecke und Vektorrechnung 9
Rechnen mit Vektoren
Mit Vektoren kann man wie folgt rechnen:
Addition:Seien x, y ∈ R3 zwei beliebige Vektoren:
x + y =
x1x2x3
+
y1y2y3
=
x1 + y1x2 + y2x3 + y3
.
Skalare Multiplikation:Sei x ∈ R3 ein beliebiger Vektor und λ ∈ R eine belie-bige Zahl (=Skalar):
λx = λ
x1x2x3
=
λx1λx2λx3
.
Bemerkung:Bei Addition und skalarer Multiplikation im R2 fehltentsprechend die dritte Komponente.
10 Bruckenkurs Mathematik, c©K.Rothe, Vorlesung Dreiecke und Vektorrechnung
Beispiel
Addition:
(28
)︸ ︷︷ ︸
~x
+
(6−2
)︸ ︷︷ ︸
~y
=
(2 + 68− 2
)=
(86
)︸ ︷︷ ︸~x+~y
x-Achse
y-Achse
~x
~x + ~y
~y
2 8
6
8
-
6
������������������������PPPPPPPPPPPPPPPPPPq
�����������������������>
Bruckenkurs Mathematik, c©K.Rothe, Vorlesung Dreiecke und Vektorrechnung 11
Differenz zweier Vektoren
x-Achse
y-Achse
~a
~b
~b− ~a
-
6
������������������������PPPPPPPPPPPPPPPPPPq
�����������������������>
12 Bruckenkurs Mathematik, c©K.Rothe, Vorlesung Dreiecke und Vektorrechnung
Beispiel
Skalare Multiplikation:
2 ·(
43
)︸ ︷︷ ︸
~x
=
(2 · 42 · 3
)=
(86
)︸ ︷︷ ︸
2~x
x-Achse
y-Achse
4 8
3
6
~x
2~x
-
6
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�����������������������>
Bruckenkurs Mathematik, c©K.Rothe, Vorlesung Dreiecke und Vektorrechnung 13
Lange eines Vektors im R2
Durch den Satz von Pythagoras erhalt man die Langeeines Vektors in der Ebene:
Sei x :=
(x1x2
)∈ R2, dann ist die Lange des Vektors
x, also der Abstand vom Nullpunkt, gegeben durch
‖x‖ :=√x21 + x22.
x-Achse
y-Achse
x1
√x21 + x22
x2
-
6
�����������������������>
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14 Bruckenkurs Mathematik, c©K.Rothe, Vorlesung Dreiecke und Vektorrechnung
Lange eines Vektors im R3
Diese Langenberechnung kann man analog im dreidi-mensionalen Raum ausfuhren.
Sei x :=
x1x2x3
∈ R3,
dann ist die Lange des Vektors x gegeben durch:
‖x‖ :=√x21 + x22 + x23.
x-Achse
y-Achse
z-Achse
x1
x2x3
√x21 + x22 + x23
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6
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Bruckenkurs Mathematik, c©K.Rothe, Vorlesung Dreiecke und Vektorrechnung 15
Euklidische Norm
Die Abbildung
‖·‖ : R2 → R+0
x 7→ ‖x‖ ,die jedem Vektor eine Lange zuordnet, wirdeuklidische Norm genannt. Sie besitzt fur x, y ∈ IR2
und λ ∈ IR folgende Eigenschaften:
1. ||x|| ≥ 0 ,
2. ||x|| = 0 ⇒ x = 0 ,
3. ||λ · x|| = |λ| · ||x|| ,4. ||x+y|| ≤ ||x||+||y|| Dreiecksungleichung .
x-Achse
y-Achse
||~x||||~y||
||~x + ~y||
-
6
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����
����
����
����
����
��1
����������������HHH
HHHHHH
HHHj
Dreiecksungleichung fur Vektoren ~x, ~y
16 Bruckenkurs Mathematik, c©K.Rothe, Vorlesung Dreiecke und Vektorrechnung
Durch die Norm kann auch ein Abstand zwischen zweiPunkten definiert werden, indem man die Lange derDifferenz der beiden Vektoren bestimmt:
Gegeben seien zwei Vektoren
x :=
(x1x2
)∈ R2, y :=
(y1y2
)∈ R2 ,
dann ist der Abstand zwischen x und y definiert durch
‖x− y‖ =√
(x1 − y1)2 + (x2 − y2)2.
Auf Grund der Eigenschaften des Betrages gilt fur denAbstand und x, y, z ∈ IR2:
1. ‖x− y‖ ≥ 0 ,
2. ‖x− y‖ = 0 ⇒ x = y ,
3. ‖x− y‖ = ‖y − x‖ ,
4. Dreiecksungleichung
‖x− y‖ ≤ ‖x− z‖ + ‖z − y‖ .
Bruckenkurs Mathematik, c©K.Rothe, Vorlesung Dreiecke und Vektorrechnung 17
Skalarprodukt
Die Lange eines Vektors konnen wir nun berechnen.
Wie sieht es mit der Richtung aus, d.h. mit dem Win-kel des Vektors zur (bspw.) x-Achse?
Den Winkel zwischen zwei Vektoren kann man mit Hilfedes Skalarprodukts messen:
Das Skalarprodukt zwischen zwei Vektorenx, y ∈ R2 ist wie folgt definiert:
〈·, ·〉 : R2 × R2 → R,(x, y) 7→ 〈x, y〉 ,
und
〈x, y〉 := x1y1 + x2y2 =
2∑k=1
xkyk.
18 Bruckenkurs Mathematik, c©K.Rothe, Vorlesung Dreiecke und Vektorrechnung
Skalarprodukt: anschaulich
Das Skalarprodukt ordnet zwei Vektoren x, y ∈ R2 eineskalare Große 〈x, y〉 ∈ R zu.
Anschaulich entspricht dies der Multiplikation der Lange‖x‖ des Vektors x mit der Lange ‖y‖ cos(x, y) des aufx projizierten Vektors y:
〈x, y〉 = ‖x‖ ‖y‖ cos∠(x, y)
mit ∠(x, y) ∈ [0, π], Winkel zwischen x und y.
Daraus ergeben sich bereits wichtige Eigenschaften desSkalarprodukts:
Bruckenkurs Mathematik, c©K.Rothe, Vorlesung Dreiecke und Vektorrechnung 19
Eigenschaften des Skalarproduktes
〈x, y〉 = 0 ⇔ ∠(x, y) =π
2,
〈x, y〉 < 0 ⇔ π
2< ∠(x, y) < π,
〈x, y〉 > 0 ⇔ 0 < ∠(x, y) <π
2.
Der Winkel φ =: ∠(x, y) ∈ [0, π) zwischen zwei Vekto-ren x, y ∈ R2 berechnet sich dann durch:
cos(φ) =〈x, y〉‖x‖ ‖y‖
.
Dasselbe gilt ganz analog im R3 (und allgemein im Rn).
20 Bruckenkurs Mathematik, c©K.Rothe, Vorlesung Dreiecke und Vektorrechnung
Skalarprodukt und euklidische Norm
Die euklidische Norm kann mit Hilfe des Skalarproduk-tes wie folgt definiert werden:
‖x‖ =√〈x, x〉.
Es gelten folgende Rechenregeln fur das Skalarprodukt:
Weitere Eigenschaften des Skalarproduktes
Seien x, y, z ∈ R2 und λ, µ ∈ R beliebig:
Symmetrie: 〈x, y〉 = 〈y, x〉 .
Linearitat: 〈λx + µy, z〉 = λ 〈x, z〉 + µ 〈y, z〉 .
Positive Definitheit:〈x, x〉 ≥ 0 und 〈x, x〉 = 0 ⇔ x = 0.
Bruckenkurs Mathematik, c©K.Rothe, Vorlesung Dreiecke und Vektorrechnung 21
cos(φ) =〈a, b〉‖a‖ ‖b‖
=
⟨a
‖a‖,b
‖b‖
⟩
Beispiel
a = (1, 0) , b =1√2
(1, 1) ⇒ ‖a‖ = 1 = ‖b‖
⇒ cos(φ) = 〈a, b〉 = 1 · 1√2
+ 0 · 1√2
=1√2
⇒ φ =π
4
x-Achse
y-Achse
1
1
φ
cos(φ)� -
~a/ ‖~a‖
~b/∥∥∥~b∥∥∥
-
6
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22 Bruckenkurs Mathematik, c©K.Rothe, Vorlesung Dreiecke und Vektorrechnung
Kreuzprodukt im R3
Benotigt man einen dritten Vektor, der zu zwei gege-benen Vektoren senkrecht steht, kann man diesen mitHilfe des Kreuzproduktes berechnen.
Seien also zwei Vektoren x, y ∈ R3 gegeben.
Gesucht ist z ∈ R3,so dass z = (z1, z2, z3)auf x = (x1, x2, x3) undauf y = (y1, y2, y3) senkrecht steht, d.h.
〈x, z〉 = 0 ∧ 〈y, z〉 = 0
⇔ x1z1 + x2z2 + x3z3 = 0
∧ y1z1 + y2z2 + y3z3 = 0
⇒ z1 = −(x2z2 + x3z3)/x1∧ −y1(x2z2 + x3z3)/x1 + y2z2 + y3z3 = 0
Bruckenkurs Mathematik, c©K.Rothe, Vorlesung Dreiecke und Vektorrechnung 23
⇒ z1 = −x2z2/x1 − x3z3/x1
∧(y2 −
y1x2x1
)z2 +
(y3 −
x3y1x1
)z3 = 0,
⇒ z1 = −x2z2/x1 − x3z3/x1∧ (x1y2 − x2y1)︸ ︷︷ ︸ z2 + (x1y3 − x3y1)︸ ︷︷ ︸ z3 = 0 .
Wahlt man
z2 = −(x1y3 − x3y1) ∧ z3 = x1y2 − x2y1 ,
so ist die letzte Gleichung erfullt und man erhalt:
z1 = −x2z2/x1 − x3z3/x1
= x2(x1y3 − x3y1)/x1 − x3(x1y2 − x2y1)/x1
= x2x1y3/x1 − x2x3y1/x1 − x3x1y2/x1 + x3x2y1/x1,
⇒ z1 = x2y3 − x3y2 .
24 Bruckenkurs Mathematik, c©K.Rothe, Vorlesung Dreiecke und Vektorrechnung
Durch obige Rechnung ist also ein Vektor z senkrechtauf x und y bestimmt:
Man schreibt z = x × y und bezeichnet z als dasKreuzprodukt von x und y.
Definition des Kreuzproduktes
× : R3 × R3 → R3
(x, y) 7→ x× y, wobei
x× y =
x1x2x3
× y1y2y3
=
x2y3 − x3y2x3y1 − x1y3x1y2 − x2y1
.
Bemerkung:
Im Unterschied zu allen obigen Definitionen, die sichganz analog in den n-dimensionalen Raum Rn
ubertragen lassen, ist das Kreuzprodukt hier nur imR3 definiert.
Bruckenkurs Mathematik, c©K.Rothe, Vorlesung Dreiecke und Vektorrechnung 25
Beispiel
123
× 4
56
=
2 · 6− 3 · 53 · 4− 1 · 61 · 5− 2 · 4
=
−36−3
Probe
⟨ 123
,
−36−3
⟩ = 1 · (−3) + 2 · 6 + 3 · (−3) = 0
⟨ 456
,
−36−3
⟩ = 4 · (−3) + 5 · 6 + 6 · (−3) = 0
26 Bruckenkurs Mathematik, c©K.Rothe, Vorlesung Dreiecke und Vektorrechnung
Eigenschaften des Kreuzproduktes
x× y = −y × x, x, y ∈ R3 schiefsymmetrisch
x× x = 0, x ∈ R3,
(λx)× y = λ(x× y), λ ∈ R, x, y ∈ R3.
Sind zwei Vektoren x, y ∈ R3 linear abhangig, d.h. gibtes ein
λ ∈ R \ {0} , so dass x = λy gilt,
dann ist das Kreuzprodukt null: x× y = 0.
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