Br uckenkurs Mathematik Vorlesung Dreiecke und Vektorrechnung · Br uckenkurs Mathematik, c K.Rothe, Vorlesung Dreiecke und Vektorrechnung 7 Vektorrechnung Warum Vektoren? Manche

Bruckenkurs Mathematik

Vorlesung

Dreiecke und Vektorrechnung

Kai Rothe

Technische Universitat Hamburg

0 Bruckenkurs Mathematik, c©K.Rothe, Vorlesung Dreiecke und Vektorrechnung

Geometrie des Dreiecks . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

Rechtwinklige Dreiecke . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

Trigonometrische Formeln . . . . . . . . . . . . . . . 4

Satz des Pythagoras . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

Vektoren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

Rechnen mit Vektoren . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

Euklidische Norm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

Skalarprodukt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

Kreuzprodukt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

Bruckenkurs Mathematik, c©K.Rothe, Vorlesung Dreiecke und Vektorrechnung 1

Geometrie des Dreiecks

α β

γ

ab

c (= g)

h

��HHH

HHHHHH

HHHHHH

HHHHHH

HHHHHHHH

�r

h = Hohe

α, β, γ: Winkel im Dreieck

a, b, c: gegenuberliegende Seitenlangen zu α, β, γ,

g = Grundseitenlange


Was ist uber ein beliebiges Dreieck bekannt?

• Flacheninhalt

F =1

2· g · h

•Winkelsumme

α + β + γ = 180◦

• Sinussatza

sinα=

b

sin β=

c

sin γ

• Kosinussatz

c2 = a2 + b2 − 2ab cos γ


Rechtwinklige Dreiecke

α

a = r cosα Ankathete

b = r sinαGegenkathete

Hypotenuse = c = r

��

��

��

��

��

��

��

��

��

�r

Die Ankathete ist diejenige Seite, die an dem betrach-teten Winkel α liegt.

Die Gegenkathete ist diejenige Seite, die gegenuberdem betrachteten Winkel α liegt.

Die Hypotenuse ist diejenige Seite, die gegenuberdem rechten Winkel liegt.


Trigonometrische Formeln

sin (Winkel) =Gegenkathete

Hypotenuse

cos (Winkel) =Ankathete

Hypotenuse

tan (Winkel) =Gegenkathete

Ankathete

In Formeln:

sinα =b

c⇔ b = c sinα

cosα =a

c⇔ a = c cosα

tanα =b

a=

sinα

cosα


Satz des Pythagoras

a2 + b2 = c2

a

a a2

b

b

b2c

c

c2

��

��

��

��

��

��

��

��

��

��

AAAAAAAAAAAAAAA

AAAAAAAAAAAAAAA

�p


Zerlegungsbeweis

(a + b)2 = c2 + 4 · ab2⇔ a2 + b2 = c2

a

a

a

b

b

b

c

c2

ab

2��

��

��

��

��

��

��

AAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAA

��

��

��

��

��

��AAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAA

�q


Vektorrechnung

Warum Vektoren?

Manche Großen wie Temperatur oder Masse- skalare Großen -

sind allein durch eine Zahl bestimmbar.

Andere Großen wie Geschwindigkeit oder Kraft benoti-gen neben einer Zahl die Angabe der Richtung:

Sie konnen durch einen Pfeil dargestellt werden, derdurch Lange und Richtung eindeutig bestimmt ist.

Solche Großen nennt man vektorielle Großen.


Was ist ein Vektor?

Ein Vektor ist anschaulich ein Pfeil in der Ebene R2

oder im Raum R3 mit einer Richtung und einer Lange.

Mathematisch korrekt versteht man unter einem Vektoreinen geordneten 2-Tupel (bzw. einen 3-Tupel)

(x1x2

)∈ R2 bzw.

x1x2x3

∈ R3.

x-Achse

y-Achse

x1

x2

-

6

�r


Rechnen mit Vektoren

Mit Vektoren kann man wie folgt rechnen:

Addition:Seien x, y ∈ R3 zwei beliebige Vektoren:

x + y =

x1x2x3

+

y1y2y3

=

x1 + y1x2 + y2x3 + y3

.

Skalare Multiplikation:Sei x ∈ R3 ein beliebiger Vektor und λ ∈ R eine belie-bige Zahl (=Skalar):

λx = λ

x1x2x3

=

λx1λx2λx3

.

Bemerkung:Bei Addition und skalarer Multiplikation im R2 fehltentsprechend die dritte Komponente.


Beispiel

Addition:

(28

)︸︷︷︸

~x

+

(6−2

)︸︷︷︸

~y

=

(2 + 68− 2

)=

(86

)︸︷︷︸~x+~y

x-Achse

y-Achse

~x

~x + ~y

~y

2 8

6

8

-

6

��PPPPPPPPPPPPPPPPPPq

��>


Differenz zweier Vektoren

x-Achse

y-Achse

~a

~b

~b− ~a

-

6

��PPPPPPPPPPPPPPPPPPq

��>


Beispiel

Skalare Multiplikation:

2 ·(

43

)︸︷︷︸

~x

=

(2 · 42 · 3

)=

(86

)︸︷︷︸

2~x

x-Achse

y-Achse

4 8

3

6

~x

2~x

-

6

��>

��>


Lange eines Vektors im R2

Durch den Satz von Pythagoras erhalt man die Langeeines Vektors in der Ebene:

Sei x :=

(x1x2

)∈ R2, dann ist die Lange des Vektors

x, also der Abstand vom Nullpunkt, gegeben durch

‖x‖ :=√x21 + x22.

x-Achse

y-Achse

x1

√x21 + x22

x2

-

6

��>

�r


Lange eines Vektors im R3

Diese Langenberechnung kann man analog im dreidi-mensionalen Raum ausfuhren.

Sei x :=

x1x2x3

∈ R3,

dann ist die Lange des Vektors x gegeben durch:

‖x‖ :=√x21 + x22 + x23.

x-Achse

y-Achse

z-Achse

x1

x2x3

√x21 + x22 + x23

�

-��

6

��

��>

�r


Euklidische Norm

Die Abbildung

‖·‖ : R2 → R+0

x 7→ ‖x‖ ,die jedem Vektor eine Lange zuordnet, wirdeuklidische Norm genannt. Sie besitzt fur x, y ∈ IR2

und λ ∈ IR folgende Eigenschaften:

1. ||x|| ≥ 0 ,

2. ||x|| = 0 ⇒ x = 0 ,

3. ||λ · x|| = |λ| · ||x|| ,4. ||x+y|| ≤ ||x||+||y|| Dreiecksungleichung .

x-Achse

y-Achse

||~x||||~y||

||~x + ~y||

-

6

��

��

��

��

��

��

��1

��HHH

HHHHHH

HHHj

Dreiecksungleichung fur Vektoren ~x, ~y


Durch die Norm kann auch ein Abstand zwischen zweiPunkten definiert werden, indem man die Lange derDifferenz der beiden Vektoren bestimmt:

Gegeben seien zwei Vektoren

x :=

(x1x2

)∈ R2, y :=

(y1y2

)∈ R2 ,

dann ist der Abstand zwischen x und y definiert durch

‖x− y‖ =√

(x1 − y1)2 + (x2 − y2)2.

Auf Grund der Eigenschaften des Betrages gilt fur denAbstand und x, y, z ∈ IR2:

1. ‖x− y‖ ≥ 0 ,

2. ‖x− y‖ = 0 ⇒ x = y ,

3. ‖x− y‖ = ‖y − x‖ ,

4. Dreiecksungleichung

‖x− y‖ ≤ ‖x− z‖ + ‖z − y‖ .


Skalarprodukt

Die Lange eines Vektors konnen wir nun berechnen.

Wie sieht es mit der Richtung aus, d.h. mit dem Win-kel des Vektors zur (bspw.) x-Achse?

Den Winkel zwischen zwei Vektoren kann man mit Hilfedes Skalarprodukts messen:

Das Skalarprodukt zwischen zwei Vektorenx, y ∈ R2 ist wie folgt definiert:

〈·, ·〉 : R2 × R2 → R,(x, y) 7→ 〈x, y〉 ,

und

〈x, y〉 := x1y1 + x2y2 =

2∑k=1

xkyk.


Skalarprodukt: anschaulich

Das Skalarprodukt ordnet zwei Vektoren x, y ∈ R2 eineskalare Große 〈x, y〉 ∈ R zu.

Anschaulich entspricht dies der Multiplikation der Lange‖x‖ des Vektors x mit der Lange ‖y‖ cos(x, y) des aufx projizierten Vektors y:

〈x, y〉 = ‖x‖ ‖y‖ cos∠(x, y)

mit ∠(x, y) ∈ [0, π], Winkel zwischen x und y.

Daraus ergeben sich bereits wichtige Eigenschaften desSkalarprodukts:


Eigenschaften des Skalarproduktes

〈x, y〉 = 0 ⇔ ∠(x, y) =π

2,

〈x, y〉 < 0 ⇔ π

2< ∠(x, y) < π,

〈x, y〉 > 0 ⇔ 0 < ∠(x, y) <π

2.

Der Winkel φ =: ∠(x, y) ∈ [0, π) zwischen zwei Vekto-ren x, y ∈ R2 berechnet sich dann durch:

cos(φ) =〈x, y〉‖x‖ ‖y‖

.

Dasselbe gilt ganz analog im R3 (und allgemein im Rn).


Skalarprodukt und euklidische Norm

Die euklidische Norm kann mit Hilfe des Skalarproduk-tes wie folgt definiert werden:

‖x‖ =√〈x, x〉.

Es gelten folgende Rechenregeln fur das Skalarprodukt:

Weitere Eigenschaften des Skalarproduktes

Seien x, y, z ∈ R2 und λ, µ ∈ R beliebig:

Symmetrie: 〈x, y〉 = 〈y, x〉 .

Linearitat: 〈λx + µy, z〉 = λ 〈x, z〉 + µ 〈y, z〉 .

Positive Definitheit:〈x, x〉 ≥ 0 und 〈x, x〉 = 0 ⇔ x = 0.


cos(φ) =〈a, b〉‖a‖ ‖b‖

=

⟨a

‖a‖,b

‖b‖

⟩

Beispiel

a = (1, 0) , b =1√2

(1, 1) ⇒ ‖a‖ = 1 = ‖b‖

⇒ cos(φ) = 〈a, b〉 = 1 · 1√2

+ 0 · 1√2

=1√2

⇒ φ =π

4

x-Achse

y-Achse

1

1

φ

cos(φ)� -

~a/ ‖~a‖

~b/∥∥∥~b∥∥∥

-

6

--��

�r


Kreuzprodukt im R3

Benotigt man einen dritten Vektor, der zu zwei gege-benen Vektoren senkrecht steht, kann man diesen mitHilfe des Kreuzproduktes berechnen.

Seien also zwei Vektoren x, y ∈ R3 gegeben.

Gesucht ist z ∈ R3,so dass z = (z1, z2, z3)auf x = (x1, x2, x3) undauf y = (y1, y2, y3) senkrecht steht, d.h.

〈x, z〉 = 0 ∧ 〈y, z〉 = 0

⇔ x1z1 + x2z2 + x3z3 = 0

∧ y1z1 + y2z2 + y3z3 = 0

⇒ z1 = −(x2z2 + x3z3)/x1∧ −y1(x2z2 + x3z3)/x1 + y2z2 + y3z3 = 0


⇒ z1 = −x2z2/x1 − x3z3/x1

∧(y2 −

y1x2x1

)z2 +

(y3 −

x3y1x1

)z3 = 0,

⇒ z1 = −x2z2/x1 − x3z3/x1∧ (x1y2 − x2y1)︸︷︷︸ z2 + (x1y3 − x3y1)︸︷︷︸ z3 = 0 .

Wahlt man

z2 = −(x1y3 − x3y1) ∧ z3 = x1y2 − x2y1 ,

so ist die letzte Gleichung erfullt und man erhalt:

z1 = −x2z2/x1 − x3z3/x1

= x2(x1y3 − x3y1)/x1 − x3(x1y2 − x2y1)/x1

= x2x1y3/x1 − x2x3y1/x1 − x3x1y2/x1 + x3x2y1/x1,

⇒ z1 = x2y3 − x3y2 .


Durch obige Rechnung ist also ein Vektor z senkrechtauf x und y bestimmt:

Man schreibt z = x × y und bezeichnet z als dasKreuzprodukt von x und y.

Definition des Kreuzproduktes

× : R3 × R3 → R3

(x, y) 7→ x× y, wobei

x× y =

x1x2x3

× y1y2y3

=

x2y3 − x3y2x3y1 − x1y3x1y2 − x2y1

.

Bemerkung:

Im Unterschied zu allen obigen Definitionen, die sichganz analog in den n-dimensionalen Raum Rn

ubertragen lassen, ist das Kreuzprodukt hier nur imR3 definiert.


Beispiel

123

× 4

56

=

2 · 6− 3 · 53 · 4− 1 · 61 · 5− 2 · 4

=

−36−3

Probe

⟨ 123

,

−36−3

⟩ = 1 · (−3) + 2 · 6 + 3 · (−3) = 0

⟨ 456

,

−36−3

⟩ = 4 · (−3) + 5 · 6 + 6 · (−3) = 0


Eigenschaften des Kreuzproduktes

x× y = −y × x, x, y ∈ R3 schiefsymmetrisch

x× x = 0, x ∈ R3,

(λx)× y = λ(x× y), λ ∈ R, x, y ∈ R3.

Sind zwei Vektoren x, y ∈ R3 linear abhangig, d.h. gibtes ein

λ ∈ R \ {0} , so dass x = λy gilt,

dann ist das Kreuzprodukt null: x× y = 0.

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